概率论与数理统计教材习题解答
苏敏邦
目录
习题1 (3)
习题2 (11)
习题3 (17)
习题4 (23)
习题5 (29)
习题1
1.在1,2,3,4,四个数中可重复地先后取两个数，写出这个随机事件的样本空间及事件A =“一个数是另一个数的2倍”，B =“两个数组成既约分数”中的样本点。
解 Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1)，（3，2），（3，3），（3，4），（4，1）（4，2），（4，3），（4，4}）；
A ={（1，2），（2，1），（2，4），（4，2）；
B ={（1，2），（1，3}，（1，4），（2，1），（2，3），（3，1)，（3，2），（3，4），（4，1）（4，3）}
2. 在数学系学生中任选一名学生．设事件A ＝{选出的学生是男生}，B ＝{选出的学生是三年级学生}，C ＝{选出的学生是科普队的}．
(1)叙述事件ABC 的含义．
(2)在什么条件下，ABC ＝C 成立？ (3)在什么条件下，C ?B 成立？
解 (1)事件ABC 的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员．
(2)由于ABC ?C ，故ABC ＝C 当且仅当C ?ABC ．这又当且仅当C ?AB ，即科普队员都是三年级的男生．
(3)当科普队员全是三年级学生时，C 是B 的子事件，即C ?B 成立． 3.将下列事件用A ，B ，C 表示出来： （1）只有C 发生；
（2）A 发生而B ，C 都不发生； （3）三个事件都不发生；
（4）三个事件至少有一个不发生； （5）三个事件至少有二个不发生； （6）三个事件恰有二个不发生； （7）三个事件至多有二个发生； （8）三个事件中不少于一个发生。
解 （1）ABC ；（2）ABC ：（3）ABC （4）A B C ；（5）AB BC AC ；（6）ABC ABC ABC ；
（7）ABC ；（8）A B C 。 4.设A ，B ，C 是三个随机事件，且===
==)()(,4
1)()()(CB P AB P C P B P A p 0，
8
1
)(=
AC P ,求A ，B ，C 中至少有一个发生的概率． 解 设D ＝{A ，B ，C 中至少有一个发生}，则D ＝A ＋B ＋C ，于是 P (D )＝P (A ＋B ＋C )
＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )＋P (ABC )． 又因为
,4
1)()()(=
==C P B P A P ,0)()(==CB P AB P 81)(=AC P ,
而由P (AB )＝0，有P (ABC )＝0，所以
?=-=
8
58143)(D P 5.掷两枚匀称的硬币，求它们都是正面的概率．
解 设A ＝{出现正正}，其基本事件空间可以有下面三种情况： (Ⅰ)Ω1＝{同面、异面}，n 1＝2．
(Ⅱ)Ω2＝{正正、反反、一正一反}，n 2＝3． (Ⅲ)Ω3＝{正正、反反、反正、正反}，n 3＝4．
于是，根据古典概型，对于(Ⅰ)来说，由于两个都出现正面，即同面出现，因此，m 1
＝1，于是有
2
1)(=
A P ． 而对于(Ⅱ)来说，m 2＝1，于是有
3
1
)(=A P ．
而对于(Ⅲ)来说，m 3＝1，于是有
4
1)(=
A P ． 6.口袋中装有4个白球，5个黑球。从中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。
解 试验的基本事件（样本点）总数29n C =，设A=“取得两个白球”，则A 包含的基本事件数24m C =，有古典概型有
2
4291
()6
C P A C ==
7.两封信任意地向标号为1，2，3，4的四个邮筒投递，求：（1）第三个邮筒恰好投入一封信的概率；（2）有两个邮筒各有一封信的概率。
解 （1）设事件A 表示“第三个邮筒恰好投入一封信”。两封信任意投入4个邮筒，共有42种等可能投法，组成事件A 的不同投法有2×3种，于是
263()48
P A =
= （2）设B 表示“有两个邮筒各有一封信”，则
242
2!3
()44
C P A ?== 8.在100个产品中有70件一等品，20件二等品，10件三等品，规定一、二等品为合格
品，考虑这批产品的合格率与一、二等品率的关系。
解 设事件A ，B 分别表示产品为一、二等品，显然事件A 与B 互补相容，并且事件A B 表示产品为合格品，于是
70()100P A =
，20()100P B =,702090
()100100
P A B +== .
可见 ()()()P A B P A P B =+
9.三只外观相同的钢笔分别属于甲、乙、丙三人．如今三人各取一只，求：（1）恰好取
到自己的笔的概率；（2）都没有取到自己的笔的概率．
分析 设D 1＝{都取到自己的笔}，D 2＝{都没有取到自己的笔}．这是一个古典概型问题．我们有
因此?==
3
)(,6)(21D P D P 10.设随机事件B 是A 的子事件，已知P (A )＝1/4，P (B )＝1/6，求P (B |A )．
解 因为B ?A ，所以P (B )＝P (AB )，因此
?===
3
2
)()()()()|(A P B P A P AB P A B P
11.在100件产品中有5件是不合格的，无放回地抽取两件，问第一次取到正品而第二
次取到次品的概率是多少？
解 设事件
A ＝{第一次取到正品}，
B ＝{第二次取到次品}．
用古典概型方法求出
.0100
95
)(=/=
A P 由于第一次取到正品后不放回，那么第二次是在99件中(不合格品仍是5件)任取一件，所以
?=
99
5)|(A B P 由公式(1－4)，
?=
?
=
=396
1999
5
10095
)|()()(A B P A P AB P
12.五个人抓一个有物之阄，求第二个人抓到的概率．
解 这是一个乘法公式的问题．设A i ＝{第i 个人抓到有物之阄}(i ＝1，2，3，4，5)，有
?=+?=+=+=Ω=2121212111222)(A A A A A A A A A A A A A
根据事件相同，对应概率相等有
).|()()()(121212A A P A P A A P A P ==
又因为
,4
1)|(,54)(,51)(1211===
A A P A P A P 所以
?=?=
5
1
4154)(2A P 13.加工某一零件共需经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2％、3％、5％、3％，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率．
答案是：0.124(或1－0.98×0.97×0.95×0.97)．
14.一批零件共100个，其中有次品10个．每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第一、二次取到的是次品，第三次才取到正品的概率．
答案是：)98
9099910010(0084.0??或
． 15.由以往记录的数据分析，某船只在不同情况下运输某种物品，损坏2％，10％，90％的概率分别为0.8，0.15和0.05．现在从中随机地取三件，发现这三件全是好的，试分析这批物品的损坏率为多少？
分析 设
B ＝{三件都是好的}，A 1＝{损坏率为2％}， A 2＝{损坏率为10％}，A 3＝{损坏率为90％}，
则A 1，A 2，A 3两两互斥，且A 1∪A 2∪A 3＝Ω．已知P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.15，P (A 3)＝0.05，且
3198.0)|(=A B P ， 3290.0)|(=A B P ， 3310.0)|(=A B P ．
由全概率公式可知
)()|()(3
1
i i i A P A B P B P ∑==
05.01.015.090.08.098.0333?+?+?= 8624.0≈．
由贝叶斯公式，这批物品的损坏率为2％，10％，90％的概率分别是
,8731.08624.08
.098.0)()()|()|(3111≈?==B P A P A B P B A P
,1268.08624.015
.090.0)()()|()|(3222≈?==B P A P A B P B A P
.0001.08624
.005
.01.0)()()|()|(3333≈?==B P A P A B P B A P
由于P (A 1|B )比P (A 2|B )，P (A 3|B )大得多，因此可以认为这批货物的损坏率为2％．
16. 袋中有15个小球，其中7个是白球，8个是黑球．现在从中任取4个球，发现它们颜色相同，问它们都是黑色的概率为多少？
解 设A 1＝“4个球全是黑的”，A 2＝“4个球全是白的”，A ＝“4个球颜色相同”．
使用古典概型，有P (A 1)＝41548/C C ，P (A 2)＝415
47/C C ．而A ＝A 1∪A 2且A 1A 2＝?，得 4
15
4
7
4821)()()(C C C A P A P A P +=+=． 所以概率是在4个球的颜色相同的条件下它们都是黑球的条件概率，即P (A 1|A )．注意到A 1?A ，A 1A ＝A 1，有
?=+===3
2
)()()()()|(4
74848111C C C A P A P A P A A P A A P 17.设袋中有4个乒乓球，其中1个涂有白色，1个涂有红色，1个涂有蓝色，1个涂有
白、红、蓝三种颜色．今从袋中随机地取一个球，设事件
A ＝{取出的球涂有白色}，
B ＝{取出的球涂有红色}，
C ＝{取出的球涂有蓝色}． 试验证事件A ，B ，C 两两相互独立，但不相互独立．
证 根据古典概型，我们有n ＝4，而事件A ，B 同时发生，只能是取到的球是涂有白、红、蓝三种颜色的球，即m ＝1，因而
?=
4
1)(AB P 同理，事件A 发生，只能是取到的球是涂红色的球或涂三种颜色的球，因而
?==?==
2
142)(2142)(B P A P 因此，有 ,4
1
2121)()(=?=B P A P
所以 P (AB )＝P (A )P (B )，
即事件A ，B 相互独立．
类似可证，事件A ，C 相互独立，事件B ，C 相互独立，即A ，B ，C 两两相互独立，但是由于
,4
1)(=
ABC P 而 ,4
181212121)()()(=/=??=C P B P A P 所以A ，B ，C 并不相互独立．
18.设两两相互独立的三事件A ，B ，C ，满足：ABC ＝?，P (A )＝P (B )＝P (C )＜
2
1
,并且16
9
)(=
++C B A P ，求事件A 的概率． 分析 设P (A )＝p ．由于ABC ＝?，有P (ABC )＝0，根据三个事件两两独立．．．．
情况下的加法公式，有
P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (A )P (B ) －P (B )P (C )－P (A )P (C )＋P (ABC )，
即 ,16
90332
=+-p p 亦即 ,016
3
2
=+-p p 解得 41=
p 或4
3
(由题意舍去)． 于是 ?=4
1
)(A P
19设A ，B 是两个随机事件，且0＜P (A )＜1，P (B )＞0，)|()|(A B P A B P =，则P (AB )＝P (A )P (B )．
分析 由公式
()()()
(|),(|),()()1()
P AB P AB P AB P B A P B A P A P A P A =
==- 由题设 ),|()|(A B P A B P =
即 ,)
(1)
()()(A P B A P A P AB P -=
于是，有
()()(()())()()()(),P AB P A P AB P AB P A P AB AB P A P B =+=+=
即A 、B 相互独立．
20.设两个随机事件A ，B 相互独立，已知仅有A 发生的概率为4
1
，仅有B 发生的概率为
4
1
，求 P (A )，P (B )． 分析 方法1 因为P (A )＞0，P (B )＞0，且A 与B 相互独立，所以AB ≠?(想一想为什么)．一方面
P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (A )P (B )； (1－6)
另一方面
).()(2
1)()()()()(B P A P B P A P B A P B A P B A P +=
++=+ (1－7)
由于)()(B A P B A P =，有
),()()()(B P AB B A P AB B A P A P =+=+=
于是由式(1－6)，式(1－7)有
,))((2
1
))(()(222A P A P A P +=
-
即 ?===
-2
1)(,21)(,41))(()(2
B P A P A P A P 方法2 因为A 与B 相互独立，所以A 与B 也相互独立．由于)()(B A P B A P =，有
P (A )＝P (B )，
于是
,4
1
))(1)(())(1)(()()()(=-=-==A P A P B P A P B P A P B A P
因此 ?==2
1
)()(B P A P
21.用高射炮射击飞机，如果每门高射炮击中飞机的概率是0.6，试问：(1)用两门高射炮分别射击一次击中飞机的概率是多少？(2)若有一架敌机入侵，至少需要多少架高射炮同时射击才能以99％的概率命中敌机？
解 (1)令
B i ＝{第i 门高射炮击中敌机}(i ＝1，2)，A ＝{击中敌机}．
在同时射击时，B 1与B 2可以看成是互相独立的，从而21,B B 也是相互独立的，且有
P (B 1)＝P (B 2)＝0.6，.4.0)(1)()(121=-==B P B P B P
方法1(加法公式)由于A ＝B 1＋B 2，有
P (A )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)－P (B 1)P (B 2)
＝0.6＋0.6－0.6×0.6＝0.84．
方法2(乘法公式) 由于21B B A =，有
,16.04.04.0)()()()(2121=?===B P B P B B P A P
于是 .84.0)(1)(=-=A P A P
(2)令n 是以99％的概率击中敌机所需高射炮的门数，由上面讨论可知，
99％＝1－0.4n 即 0.4n ＝0.01，
亦即
.026.53979
.02
4.0lg 01.0lg ≈--==
n
因此若有一架敌机入侵，至少需要配置6门高射炮方能以99％的把握击中它．
22.设某人从外地赶来参加紧急会议．他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是
31110510、、及52
，如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来迟到的概率分别为41、?12
131、 试问：(1)他迟到的概率；(2)此人若迟到，试推断他是怎样来的可能性最大？
解 令A 1＝{乘火车}，A 2＝{乘轮船}，A 3＝{乘汽车}，A 4＝{乘飞机}，B ＝{迟到}．按题意有：
,103)(1=
A P ,51)(2=A P ,101)(3=A P ,5
2)(4=A P
,41)|(1=
A B P ,31)|(2=A B P ,12
1
)|(3=A B P .0)|(4=A B P (1)由全概率公式，有
?=?+?+?+?==∑=203
052121101315141
103)|()()(4
1
i i i A B P A P B P
(2)由贝叶斯公式
),4,3,2,1()
|()()
|()()|(4
1
==
∑=i A B P A P A B P A P B A P j
j
j i i i
得到
.0)|(,18
1
)|(,94)|(,21)|(4321====
B A P B A P B A P B A P 由上述计算结果可以推断出此人乘火车来的可能性最大．
23.三人同时向一架飞机射击，设他们射中的概率分别为0.5，0.6，0.7．又设无人射中，飞机不会坠毁；只有一人击中飞机坠毁的概率为0.2；两人击中飞机坠毁的概率为0.6；三人射中飞机一定坠毁．求三人同时向飞机射击一次飞机坠毁的概率．
.解 设A i ＝{第i 个人射中}(i ＝1，2，3)，有
P (A 1)＝0.5， P (A 2)＝0.6， P (A 3)＝0.7．
又设B 0＝{三人都射不中}，B 1＝{只有一人射中}，B 2＝{恰有两人射中}，B 3＝{三人同时射中}，C ＝{飞机坠毁}．由题设可知
,0)|(0=B C P ,2.0)|(1=B C P ,6.0)|(2=B C P ,1)|(3=B C P
并且
.06.03.04.05.0)()()()()(3213210=??===A P A P A P A A A P B P
同理
)()(3213213211A A A A A A A A A P B P ++= )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=
123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++
＝0.5×0.4×0.3＋0.5×0.6×0.3＋0.5×0.4×0.7 ＝0.29；
P (B 2)＝0.44； P (B 3)＝0.21．
利用全概率公式便得到
)|()()(3
i i i B C P B P C P ∑==
＝0.06×0＋0.29×0.2＋0.44×0.6＋0.21×1
＝0.532．
24.两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率；又：如果任意取出的零件经检查是废品，求它是由第二台机床加工的概率．
答案是：0.973；0.25．
习题2
1．掷两枚匀称的骰子，X＝{点数之和}，求X的分布．
解概率空间{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}
点数和等于2 （1，1），
点数和等于3 （1，2），（2，1），
点数和等于4 （1，3），（2，2），（3，1）
点数和等于5 （1，4），（2，3），（3，2），（4，1）
点数和等于6 （1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）
点数和等于7 （1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（6，1），（5，2）
点数和等于8 （2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）
点数和等于9 （3，6），（4，5），（5，4），（6，3）
点数和等于10 （4，6），（5，5），（6，4）
点数和等于11 （5，6），（6，5）
点数和等于12 （6，6）}
答案是：
2．设一个盒子中装有5个球，标号为1，2，3，4，5，在其中等可能地任取3个，用表示取出的球的最大号码数，求随机变量X的分布律．
解X的可能取值为3，4，5．从5个球中任取3个的取法有3
510
C=种．则
事件{X=3}就相当于“取出的3个球的标号为（1，2，3）”，
1 {3}
10
P X==．
事件{X=4}就相当于“取出的3个球的标号为（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4）”，3
{4}
10
P X==．
事件{X=5}就相当于“取出的3个球的标号为（1，2，5），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，
5），（2，4，5），（3，4，5）”，
63
{5}
105
P X===．故X的分布律为
3．已知离散型随机变量X 的可能取值为-2，0，21a ，32a ，54a
，7
8a
，试求概率{||2|0}P X X ≤≥． 解 4
1
{}i i P X x ==∑=1a +32a +54a +78a 37
18a ==
解得 8
37
a =
故的分布律为
{||2|0}P X X ≤≥{||2,0}
{0}P X X P X ≤≥=
≥=22
29
=
4．设某电子产品正品率为0.75，次品率为0.25．现对该批电子产品进行测试，以随机变量X
表示首次测得正品，，求随机变量X 的分布律． 提示，参考例2．6．答1{}0.750.25k P X k -==?，k =1，2，…
5. 设100件产品中有95件合格品，5件次品，现从中有放回的取10次，每次任取一件．求：（1）所取10件产品中所包含次品数的概率分布；（2）10件产品中恰有2件次品的概率；（3）10件产品中至少有2件次品的概率． 解 因为是有放回的抽取，所以10次抽取是独立、重复进行的，每次取得次品的概率为0.05，因此这是一个10重伯努利试验．
（1）设所取的19件产品中所含有的次品数为X ，则~(10,0.05)X B ，其概率分布为
1010{}(0.05)(0.95)k
k k P X k C -==?，k =1，2， (10)
（2）所求的概率为
2210210{2}(0.05)(0.95)0.0746P X C -==?≈
（3）所求的概率为 {2}1{2}P X P X ≥=-<
00101
1910101(0.05)(0.95)(0.05)(0.95)0.0861C C =-?-?≈
6．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5．在袋中同时取3只球，用X 表示取出的3
只球中的最小号码数，求X 的分布函数． 解 X 的可能取值为3，2，1．
23
2323
253545136(3)/,(2)/,(1)/,101010
P X C C P X C C P X C C ===
====== 即X 的分布阵为
从而X 的分布函数为
0,1,
6,12,
10()9,23,101, 3.x x F x x x
?≤
7．设离散型随机变量X 的分布函数为
0,10.4,11
()0.8,131,
3
x x F x x x <-??-≤
≤
试求：（1）X 的概率分布；（2）{2|1}P X X <≠．
{2,1}{2|1}{1}P X X P X X P X <≠-<≠-=
≠-{1}0.42
{1}{3}0.40.23
P X P X P X =====+++
求Y ＝X ＋1的概率分布．
解 由y i ＝2i x ＋1(i ＝1，2，…，5)及X 的分布，得到
把f (x i )＝2i x ＋
1相同的值合并起来，并把相应的概率相加，便得到Y 的分布，即
1
(5)(2)(2),2P Y P X P X ===-+==
3
(2)(1)(1),10
P Y P X P X ===-+==
1
(1)(0)5
P Y P X ====?
9.某店内有4名售货员，据经验每名售货员平均在1 h 内只用秤15 min ，问该店通常情况下应配制几台秤？
解 设X i ＝{第i 个售货员使用秤}，则X i ～B (1，0.25)．令4
1i i S X ==∑，于是S ～B (4，0.25)．考
虑到
P (S ≤2)＝1－P (S ＞2)＝1－P (S ＝3)－P (S ＝4)
3
3441(0.25)(0.75)(0.25)C =--
＝1－0.0469－0.0039≈0.95
故该商店通常情况下应配制2台秤． 10.设二维随机向量(X ，Y )共有6个取正概率的点，它们是：(1，－1)，(2，－1)，(2，0)(2，2)，(3，1)，(3，2)，并且(X ，Y )取得它们的概率相同，求(X ，Y )的联合分布 解 由于6个点取得的概率相同，均为
1，而6个1
的和为1，因此其余概率为0．
11
试求：（1)1
3{,04}22
P X Y <<<<；（2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤． 解：（1)13{,04}22
P X Y <<<<
{1,1}{1,2}{1,3}P X Y P X Y P X Y ===+==+==
110044
=++= （2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤
{1,3}{1,4}{2,3}{2,4}P X Y P X Y P X Y P X Y ===+==+==+==
1150016416
=+
++= 12．设二维随机向量(X
求 (1)X 与Y 的边缘分布．
(2)X 关于Y 取值y 1＝0.4的条件分布． (3)Y 关于X 取值x 2＝5的条件分布． 解 (1)由公式
()(1,2,3),i i ij
j
p p X x p i ?====∑
()(1,2),j j ij
i
p
p Y y p j ?====∑
(2)计算下面各条件概率：
1121112111(,)(,)0.1530.303
(|),(|),()0.8016()0.808
p x y p x y p x y p x y p y p y =
=====
31311(,)0.357
(|)()0.8016
p x y p x y p y =
==?
因此，X 关于Y
(3)同样方法求出Y 关于X 取值x ＝5的条件分布为
13.设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机向量(X ，Y )联合分布律及关于X 和关
分析 应注意到X 与Y 相互独立． 解 由于
P (X ＝x 1，Y ＝y 1)＝P (Y ＝y 1)－P (X ＝x 2，Y ＝y 1)
111,6824
=
-= 考虑到X 与Y 相互独立，有
P (X ＝x 1)P (Y ＝y 1)＝P (X ＝x 1，Y ＝y 1)，
11
1
24{}146
P X x ===?
所以
求二维随机向量的函数Z 的分布：（1）=+;(2)=．
15．已知X 和Y 的概率分布为
101~11
1424X -?? ? ?
???，01~1122Y ??
? ? ???
而且{0}1P XY ==．
（1）求X 和Y 的联合分布；（2）问X 与Y 是否相互独立？为什么？
解 （1）由{0}1P XY ==，即{00}1P X Y ===或，所以
{11}{1,1}0P X Y P X Y =-=====，
因此X 与Y 的联合分布和边缘分布有如下形式
根据联合分布与边缘分布的关系，不难把表中打“*”号的位置上的数值求出，于是，得到
（2）因1{1,0}4P X Y =-==，而111
{1}{0}424
P X P Y =-==?≠
所以X 与Y 不独立．
习题3
1．设2
10()10
x f x x x ?>?
=+??≤?当当 f (x )是否为分布密度函数？如何改造？
解 由于
π
()d ,2
f x x +∞
-∞
=?
所以f (x )不是分布密度函数．令
2
2
1,0,2()()π1π0,
0.
x p x f x x x ??
>?==+??≤?
则p (x )是分布密度函数．
2.设随机变量X 的分布密度函数为
01
()0Cx x p x ≤≤?=?
?
其他当 求(１)常数C ；(２)P (0.3≤X ≤0.7)；(３)P (－0.5≤X ＜0.5)．
解 (1)由p (x )的性质，有
21
1001
1()d d |,22
x p x x Cx x C C +∞
-∞
===?=?
?
所以C ＝2．
(2)0.7
20.70.30.3
(0.30.7)2d |0.4.P X x x x ≤≤===?
(3)0
0.5
20.500.5
(0.50.5)0d 2d |0.25.P X x x x x --≤≤=+==?
?
3．设连续型随机变量X 的分布函数为
22
01()111221
2
A
x Bx x F x Cx x x x
求：（1）A ，B ，C 的值；（2）X 的概率密度函数；（3）{12}P X ≤≤．
解 （1）由连续型随机变量的性质，可知，()F x 是一个连续函数．考察()F x 在x =0，x =1，
x =2处的连续性，有
lim ()x F x A -
→=，2
00lim ()lim 0x x F x Bx +
+
→→==，所以A =0； 2
11lim ()lim x x F x Bx B --→→==，21113lim ()lim(1)22x x F x Cx x C ++→→=--=-，可知B 32
C =- 2
221lim ()lim(1)232
x x F x Cx x C --→→=--=-，2lim ()1x F x +
→=，可知231C -=． 所以C =2，1
2
B =．
（2）X 的概率密度函数为 ,01()2,120,x x f x x x ≤
=-≤
其他
（3）{12}P X ≤≤(3)(1)F F =-2111(2111)22
=-?-?-=
． 4．在一个公共汽车站有甲、乙、丙三人，分别等1，2，3路车．设等车的时间（分钟）服从[0，5]上的均匀分布，求3人中至少有2人等车时间不超过2分钟的概率． 解 设每人等车的时间为X ，则X 的密度函数为
1
,05()50,x f x ?≤≤?
=???其他
3人中每人“等车不超过2分钟”的概率为
2
12
{2}55
P X dx ≤==?
3人中等车不超过2分钟的人数2
~(3,)5
Y B
故2
2323{2}0.35255
P Y C ??≥=?= ??? 5．设X ～N (0，1)，求P (X ＜2.35)，P (X ＜－1.25)以及P (|X |＜1.55)． 解 P (X ＜2.35)＝Ф(2.35)
查表
0.9906．
P (X ＜－1.25)＝Ф(－1.25)＝1－Ф(1.25)＝1－0.8944＝0.1056． P (|X |＜1.55)＝P (－1.55＜X ＜1.55)＝Ф(1.55)－Ф(－1.55) ＝2Ф(1.55)－1＝2×0.9394－1＝0.8788． 6．设X ～N (1，22)，求P (0＜X ≤5)． 解 这里μ＝1，σ＝2，β＝5，α＝0，有
2,0.5.βμαμ
σσ
--=- 于是
P (0＜X ≤5)＝Ф(2)－Ф(－0.5)＝Ф(2)－[1－Ф(0.5)]
＝Ф(2)＋Ф(0.5)－1＝0.9772＋0.6915－1＝0.6687． 7．设X ～N (2，32)，求：(Ⅰ)P {－1≤X ≤8}；(Ⅱ)P {X ≥－4}；(Ⅲ)P {X ≤11}． 解 由于X ～N (2，32)，即μ＝2，σ＝3，因此 (Ⅰ)P {－1≤X ≤8}＝2
{12}(2)(1)3
X P --≤
<=Φ-Φ- ＝(2)(1)1Φ+Φ-＝0.9772+0.8413－1＝0.8185
(Ⅱ)P {X ≥－4}＝22
{
2}1{2}33X X P P -->-=-≤-1(2)(2)=-Φ-=Φ＝0.9772 (Ⅲ) P {X ≤11}＝2
{3}3
X P -≤=(3)Φ＝0.9987
8．某科考试成绩服从正态分布2(70,10)N ，在这次考试人中，及格者100人（及格分数为60），计算
（1）不及格人数；（2）成绩在前10名的人数在考生中的比例；（3）估计第10名考生的成绩．
解 设考生的考生成绩为X ，X ~2(70,10)N ，首先参加考试的人数n ．
{60}1{60}P X P X ≥=-<60701(1)0.841310-??
=-Φ=Φ= ???
这表明及格人数占考试人数的比例为84.13%，即
100
0.8413n
=，1000.8413n =
（1）不及格人数占占考试人数的比例为15.87%，因此不及格人数为
100
0.15870.1587190.8413
n =?
≈
（2）成绩在前10名的人数在考生中的比例为
100.8413108.4%100
n =?≈ （3）设第10名考生的成绩为0x ，则
0{}0.08413P X x ≥=，0{}0.91587P X x <=，即0700.9158710x -??Φ= ???
查正态分布表，得
070
1.3710
x -=，083.784x =≈． 或者在EXCEL 的单元格中键入的“=NORMINV (0.91587，70，10）”，求得．
9. 31设一个纺织工人照顾800个纱锭，在(0，T ]时间内每个纱锭断头的概率为0.005，求在(0，T ]内：(１)最大可能的断头数；(２)断头次数不超过10的概率．
解 设断头数为X ，则X ～B (800，0.005)．由于n 很大，p 很小，所以可用近似公式
800800
()0.0050.995
e ,!
k
k k k
P X k C
k λλ--==??≈
这里λ＝np ＝800×0.005＝4．
实际上可认为X 近似服从P (λ)． (1)最大可能的断头数是3和4．
(2)10
4
4(10)e 0.99716!k k P X k -=≤≈=∑
10．设X ～U (0，1)，并且Y ＝X 2，求Y 的分布密度p 2(y )．
解：0
(){}{1)Y F y P Y y P X dx y =<===<<
故()()1)Y Y f y F y y '==
<<
11．设平面区域D 由曲线1
y x
=及直线20,1,y x x e ===所围成，二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布，求(,)X Y 的联合分布密度函数.
解 由于区域D 的面积
2
11
2e A dx x
==?
， 所以(,)X Y 的联合分布密度函数为 1
11,0(,)20x e y F x y x ?≤≤≤≤?
=???当其他
第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σ μ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）???>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==-Λ为未知参数。 解：（1）X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θn n n i i x x x c θ x f θL Λ 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL
习题7-1 1.选择题 (1)设总体X 的均值口与方差 /都存在但未知，而X 1,X 2,L ,X n 为来 自X 的样本，则均值 口与方差 (T 2的矩估计量分别是 (). (A) X 和 (B) 1 n X 和—(X n i 1 i )2 . (C) 口和 2 (T ? 1 (D) X 和一 n n (X i i 1 x)2. 解 选 (D). (2) 设X : U[0, ],其中 e >0为未知参数，又X ,,X 2,L ,X n 为来自总体 X 的样本 ,则e 的矩估计量是( ). (A) X . (B) 2X . (C) max{X i }. (D) m i^ X i } . 解选(B). 2.设总体X 的分布律为 其中0v B v 为未知参数,X1, X 2,…,X.为来自总体X 的样本，试求e 的矩 估计量. 解 因为 E (X )=(- 2)x3 e +1x(1 -4 e )+5x e =1-5 e ,令 1 5 X 得到 的矩估计量为 3.设总体X 的概率密度为
f(x ；) (1)x ,0 x 1, 0, 其它? 其中 0> -1是未知参数，X,冷… ,X n 是来自 X 的容量为n 的简单随机样本 求 ： (1) 的矩估计量； ⑵ 0的极大似然估计量? 解 总体X 的数学期望为 - 1 9 2X 1 令E(X) X ,即一1 X,得参数B 的矩估计量为？ ? 2 1 X 设X 1, X 2,…,x n 是相应于样本X 1, X 2,…,X n 的一组观测值，则似然函 数为 n (1)n X i , 0 x i 1, i 1 0, 其它. In x i 1 In X i i 1 4.设总体X 服从参数为 的指数分布，即X 的概率密度为 E(X) 1 xf(x)dx o ( 1)x dx 当 0
一．填空题 1．ABC 2、50? 3、20? 4、60? 二．单项选择题 1、B 2、C 3、C 4、A 5、B 三．计算题 1．（1）略 （2）A 、321A A A B 、321A A A ?? C 、321321321A A A A A A A A A ?? D 、321321321321A A A A A A A A A A A A ??? 2．解 )()()()(AB P B P A P B A P -+=?= 8 5 812141=-+ 8 3 )()()()(=-=-=AB P B P AB B P B A P 8 7 )(1)(=-=AB P AB P 2 1 )()()])([(=-?=?AB P B A P AB B A P 3．解：最多只有一位陈姓候选人当选的概率为53 14 6 2422=-C C C 4．)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? = 85 5．解：（1）n N n A P ! )(= （2）n n N N n C B P ! )(=、 （3）n m n m n N N C C P --=)1()(
一．填空题 1．0．8 2、50? 3、 32 4、73 5、4 3 二．单项选择题 1、D 2、B 3、D 4、B 三．计算题 1． 解：设i A ：分别表示甲、乙、丙厂的产品（i =1，2，3） B ：顾客买到正品 )/()()(11A B P A P B P =)/()(22A B P A P +)/()(33A B P A P + = 83.065.05 1 85.0529.052=?+?+? 83 34 )()/()()/(222== B P A B P A P B A P 2．解：设i A ：表示第i 箱产品（i =1，2） i B ：第i 次取到一等品（i =1，2） （1） )/()()(1111A B P A P B P =)/()(212A B P A P +=4.030 18 21501021=?+? （2）同理4.0)(2=B P （3）)/()()(121121A B B P A P B B P =)/()(2212A B B P A P + = 19423.029 17301821499501021=??+?? 4856.04 .019423 .0)()()/(12112=== B P B B P B B P （4）4856.04 .019423 .0)()()/(212121=== B P B B P B B P 3． 解：设i A ：表示第i 次电话接通（i =1，2，3） 101)(1= A P 10191109)(21=?= A A P 10 1 8198109)(321=??=A A A P
概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．
第一章 随机事件与概率 § 随机试验 随机事件 一、选择题 1. 设B 表示事件“甲种产品畅销”，C 表示事件“乙种产品滞销”，则依题意得A=BC .于是对立事件 {}A B C ==甲产品滞销或乙产品畅销，故选D. 2. 由A B B A B B A AB =?????=Φ，故选D.也可由文氏图表示得出. 二 写出下列随机试验的样本空间 1. {}3,420，， 2 []0,100 3. z y x z y x z y x z y x ,,},1,0,0,0|),,{(=++>>>=Ω分别表示折后三段长度。 三、（1）任意抛掷一枚骰子可以看作是一次随机试验，易知共有6个不同的结果.设试验的样本点 ""1,2,3,4,5,6i i i ω==出点点， ；则{}246,,A ωωω=，{}36,B ωω= （2）{}135,,A ωωω=，{}1245,,,B ωωωω=，{}2346,,,A B ωωωω=，{}6AB ω=， {} 15,A B ωω= 四、（1）ABC ；（2）ABC ；（3）“A B C 、、不都发生”就是“A B C 、、都发生”的对立事件，所以应记为ABC ；（4）A B C ；（5）“A B C 、、中最多有一事件发生”就是“A B C 、、中至少有二事件发生”的对立事件，所以应记为：AB AC BC .又这个事件也就是“A B C 、、中至少有二事件不发生”，即为三事件AB AC BC 、、的并，所以也可以记为AB AC BC . § 随机事件的概率 一、填空题 1. 试验的样本空间包含样本点数为10本书的全排列10！，设{}A =指定的3本书放在一起，所以A 中包含的样本点数为8!3!?，即把指定的3本书捆在一起看做整体，与其他三本书全排，然后这指定的3本书再全排。故8!3!1 ()10!15 P A ?= =。 2. 样本空间样本点7!5040n ==，设事件A 表示这7个字母恰好组成单词SCIENCE ，则因为C 及C, E 及E 是两两相同的，所以A 包含的样本点数是2!2!4A =?=，故
、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）
习题7.1 1.设总体X服从指数分布 试求的极大似然估计.若某电子元件的使用寿命服从该指数分布,现随机抽取18个电子元件,测得寿命数据如下(单位:小时): 16, 19, 50, 68, 100, 130, 140, 270, 280, 340, 410, 450, 520, 620, 190, 210, 800, 1100. 求的估计值. 解: 似然函数为 令 得 2.设总体X的概率密度为 其他 试求(1)的矩估计的极大似然估计 解: (1) 的矩估计 (2) 似然函数为
令 解得 3.设总体X服从参数为的泊松分布试求的矩估计和极大似然估计(可参考例7-8) 解:由服从参数为的泊松分布 由矩法,应有 似然函数为 解得的极大似然估计为 习题7.2 1.证明样本均值是总体均值的相合估计 证: 由定理知是的相合估计 2.证明样本的k阶矩是总体阶矩的相合估计量 证: 是的相合估计 3.设总体为其样品试证下述三个估计量 (1) (2)
(3) 都是的无偏估计,并求出每一估计量的方差,问哪个方差最小? 证: 都是的无偏估计 故的方差最小. 4.设总体其中是未知参数又为取自该总体的样品为样品均值 (1)证明是参数的无偏估计和相合估计 (2)求的极大似然估计 (1)证: 是参数的无偏估计 又 是参数的相合估计 (2)故其分布密度为 其他 似然函数 其他 因对所有有
习题7.3 1.土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验.已知这批材料的抗断强度.现从中 抽取容量为6的样本测得样本观测值并算的求的置信度的置信区间 解: 置信度为的置信区间是 2.设轮胎的寿命X服从正态分布,为估计某种轮胎的平均寿命,随机地抽取12只轮胎试用,测得它们的 寿命(单位:万千米)如下: 4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.7 试求平均寿命的的置信区间(例7-21,未知时的置信区间) 解:查分布表知 平均寿命的的置信区间为 3.两台车床生产同一种型号的滚珠,已知两车床生产的滚珠直径X,Y分别服从 其中未知现由甲,乙两车床的产品中分别抽出25个和15个,测得 求两总体方差比的置信度0.90的置信区间. 解:此处 的置信度0.90的置信区间为: 4.某工厂生产滚珠,从某日生产的产品中随机抽取9个,测得直径(单位:毫米)如下: 14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8 设滚珠直径服从正态分布,若 (1)已知滚珠直径的标准差毫米; (2)未知标准差
第一章概率论基本概念 一、填空 1.（1）AUBUC (2) (3) A B C A B C A B C -- - - -- ??A B B C AC -- -- -- ??2. 0.7 (注释: P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)= P(A)+P(B)-P(A)*P(B|A) ) 3. 3/7 (注释: ) ()()()()1()()()()P A B P A P B P A B P A P B P B P AB - - - ?=+-=-+-+4.77 221A ?- 5. 0.75 (注释: , 此时不能直接用BEYES 公式,因为要得到一个划分.)() (|)() P AB P B A P A = [掌握]二、选择 1.A 2.D 3.B 4.D 5.A 三、计算题 1.全概率公式求解： 设能开门记为事件A ，B0为取到0把能开门的锁，B1为取到一把能开门的锁，B2为取到两把能开门的锁 P(A)=P(B0)P(A|B0)+ P(B1)P(A|B1)+ P(B1)P(A|B1)=8/15 2.设3本一套放在一起记为A ，两套各自放在一起记为B ，两套中至少有一套放在一起记为C (1)13783710 101 ()=15 A A A P A A =(2) 35435410 101 ()=210 A A A P B A =(3) 3847354384735410 102 ()=21 A A A A A A A P C A +-=3.设购买空调记为A,购买电脑记为B,购买DVD 记为C (1) P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=0.15+0.12+0.2+-0.06-0.1-0.05+0.02 =0.28 (2)()()()()-2() P A B B C AC P A B P B C P AC P A B C -- -------- -- --- ??=++ (3)()1() P A B C P A B C --- =-??[掌握]4. 全概率公式求解：设取得正品记为A, 取到的产品来自甲厂记为B1, 取到的产品来自乙厂记为B2, 取到的产品来自丙厂记为B3, ()(1)(|1)(2)(|2)(3)(|3)0.92 P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=
概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）
6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P
第三章测试题 1箱子里装有12件产品,其中两件是次品.每次从箱子里任取1件产品,共取两次(取后不放回).定义随机变量X Y ，如下: 0X=1???，若第一次取出正品，若第一次取出次品 0Y=1??? ，若第二次取出正品，若第二次取出次品 (1)求出二维随机变量X Y （，）的联合分布律及边缘分布律； （2）求在Y=1的条件下，X 的条件分布律。 解 （2） 2 设二维随机变量 X Y （，）的概率密度Cy(2-x),0x 1,0y x, f(x,y)=0,.≤≤≤≤??? 其他 （1）试确定常数C ；（2）求边缘概率密度。 解 （1）1)(=??+∞∞-+∞∞-dy dx x f 即1)2(100=??-x dxdy x Cy x ，5 12 = ∴C 3设X Y （，）的联合分布律为： 求（1）Z X Y =+的分布律；（2）V min(X ,Y )=的分布律 （2）
4设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 服从(0,1)上的均匀分布，Y 的概率密度为： y 212Y e ,y 0 f (y )0,y 0 -??>=? ≤?? （1）求X 和Y 的联合概率密度； （2）设含有a 的二次方程为2 a 2Xa Y 0++=，试求a 有实根的概率。 解 （1）X 1,0x 1 f (x )0,other <<<==∴-other y x e y f x f y x f y Y X , 00,10,21)()(),(2 （2）2 a 2Xa Y 0++=有实根，则0442≥-=?Y X ，即求02 ≥-Y X 的概率 ?-=??=??=≥---≥-1 01 00 20 2 2 22 121),(}0{dx e dy e dx dxdy y x f Y X P x x y y x 3413.0)0()1(211 2 2=Φ-Φ=?- dx e x π ，π23413.010 22=?∴-dx e x
《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。
第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解 （1）}, 100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级 人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。
（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y) 0 <概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率 为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=， < 概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,01 0,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则 a =________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2 +ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 概率统计练习册习题解答 苏州科技学院 概率论与数理统计》活页练习册习题解答 信息与计算科学系 概率论与数理统计教材编写组 2013 年12 月 习题1-1 样本空间与随机事件 1选择题 （1）设A,B,C为三个事件，则A,B,C中至少有一个不发生”这一事件可表示为（D） （A）AB IJ AC U BC（B）A U B U C（C ）AB CU A B C UA BC （D ） AUBUC （2）设三个元件的寿命分别为T1,T2,T3，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件系统的寿命超过t”可表示为（D） A ;T1T2T3k B ITT2T3 t? C :min 汀,T2,T3? t? D ;max：T1，T2,T3i >t? 2?用集合的形式表示下列随机试验的样本空间「与随机事件A:对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A表示射击次数不超过5次”。 解：Q = {l,2,3,，}； A = {1,2,3,4,}。 3?设某工人连续生产了4个零件，A i表示他生产的第i 个零件是正品（i=123,4 ），试用A表示下列各事件： （1 ）只有一个是次品； (2)至多有三个不是次品；卜- A- A3 一A4 习题1-2 随机事件的概率及计算 1填空题 (1)已知 A B，P(A)=0.4，P(B)=0.6，贝P(A)二—0.6，P(AB)二 二0 ，P(AB)二0.4。 P(A B) (2)设事件A与B互不相容，P(A) =0.4, P(B) = 0.3，则P(AB)= 0.3 ，P(AU B)= 0.6 。 2 ?选择题 (1)如果P(AB) =0，则(C ) (A) A与B互不相容(B) A 与B互不相容 (C) P(A_B)二P(A) (D) P(A_B) =P(A) _P(B) (2)两个事件A与B是对立事件的充要条件是 (C ) (A) P(AB) = P(A) P(B) (B) P(AB) =0 且P(A B) =1 《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系 2．运算规则（1）（2）（3）（4） 3．概率满足的三条公理及性质：（1）（2）（3）对互不相容的事件，有（可以取）（4）（5） （6），若，则，（7）（8） 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若，则（2）乘法公式：若为完备事件组，，则有（3）全概率公式： （4） Bayes公式： 7．事件的独立 性：独立（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分 布 1．离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）（3）对 任意， 2．连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）（2）； （3）对任意， 4．分布函数，具有以下性质（1）；（2）单调非降；（3）右连续；（4），特别；（5）对离散随机变量，； （6）为连续函数，且在连续点上， 5．正态分布的 概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有（1）；（2）；（3） 若，则；（4）以记标准正态分布的上侧分位 数，则 6．随机变量的函数（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导 数，，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量 1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有（1）；（2 （3）， 2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有 （1）；（2）（4）（3）；，3．二维均匀分布，其中为的面积 4．二维正态分布 且； 5．二维随机向量的分布函数有（1）关于单调非降；（2）关 于右连续；（3）；（4），，；（5）；（6）对 二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性独立（1） 离散时独立（2）连续时独立（3）二维正态分布独立，且 7．随机变量的函数分布（1）和的分布的密度（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续 时， ；，； (3) 二维时， (4)； （5）；（6）；（7）独立时， 2．方差（1）方差，标准差（2）； （3）；（4）独立时， 3．协方差 （1）；；；（2）（3）；（4）时， 称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5） 4．相关系数；有， 5．阶原点矩，阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律 3．中心极限定理（1）设随机变量独立同分布， 或，或 概率论与数理统计习题集及答案《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章概率论的基本概念 § 1 .1随机试验及随机事件 1.(1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T 出现的情形.样本空间是：S= ____________ ； (2)一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数样本空间是：S= _______________________； 2.(1)丢一颗骰子.A:出现奇数点，则 A_______ ; B: 数点大于2,贝U B= (2) 一枚硬币连丢2次，A :第一次出现正面，贝y A=______________ ； B:两次出现同一面，贝I」= ________ ; C : 至少有一次出现正面，则C= . § 1 .2随机事件的运算 1.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表 示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为：.(2)A 与B都发生,而C不发生表示为：_____ 」 (3)A与B都不发生，而C发生表示 为： ___ J4)A 、B、C中最多二个发生表示为：. (5)A、B、C中至少二个发生表示 为： _______ * (6)A. B. C中不多于一个发生表 示为： _______ ? 贝［| 2* T§iS^{xiO 概率论习题库 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设,A B 为两个随机事件，且B A ?，则下列式子正确的是 A ．)()(A P B A P =? B ．()()P AB P A = C ．()()|P B A P B = D ．()()()P B A P B P A -=- 2. 设),(~2σμN X ,那么当σ增大时，{}-P X μσ<= A ．增大 B ．不变 C ．减少 D ．增减不定 3．设()()()()~,E X-1X 21,X P poission λλ-==????分布且则 Ａ．1 B. 2 C ．3 D ．0 4．设),(~2σμN X ，其中μ已知,2σ未知,123X , X ,X ,为其样本， 下列各项 不是统计量的是 Ａ. 321X X X ++ Ｂ. {}123min X ,X ,X Ｃ. 2 3 i 2 i 1X σ =∑ Ｄ．1X μ- 5．在0H 为原假设，1H 为备择假设的假设检验中，显著性水平为α是 A.}{00成立接受H H P B.}{11成立接受H H P C.}{10成立接受H H P D.}{01成立接受H H P 1．A 2.B 3.A 4.C 5.D 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设,A B 为两个随机事件，且A B ?，则下面正确的等式是： (A))()()(A P B P A B P -=-； (B))(1)(A P AB P -=； (C))()|(B P A B P =； (D))()|(A P B A P =。 2. 设X ~2(,)N μσ,那么概率{2}P X μ<+ (A) 随μ增加而变大; (B) 随μ增加而减小； (C) 随σ增加而不变; (D) 随σ增加而减小 3. 设1{0,0}5 P X Y ≥≥=,2{0}{0}5 P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= (A) 15 ; (B) 25 ; (C) 35 ; (D) 45 4. 设总体X ,12,,,n X X X ???是取自总体X 的一个样本, X 为样本均值，则 不是总体期望μ的无偏估计量的是 (A) X ; (B) 1n i i X =∑; (C) 1230.20.30.5X X X ++; (D) 123X X X +- 5. 设总体X ~()2,N μσ，其中2σ已知, μ未知, 123, ,X X X 为其样本， 下 列各项中不是统计量的是概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)
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