高中数学必修1函数知识总结
一、函数的有关概念
1．函数的概念：设A 、B 是非空的 ，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有 的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．函数的三要素为 找错误：①其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；
②与x 的值相对应的y 值叫做函数值，所以集合B 为值域。
注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 专项练习1.求函数的定义域： 类型1.⑴22153x x y x --=
+ ⑵0
(21)y x =- ⑶2214log (1)
y x x =
+-+
总结：
能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 类型2 抽象函数求定义域：
1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 方法总结
练习1.已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域为 练习2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2
的定义域为
2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法总结 练习1.若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，求函数()f x 的定义域．
练习2. 已知函数2
(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域方法总结 练习1.若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 练习2、已知函数的定义域为，则y=f(3x-5)的定义域为________。
4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
核心方法总结 ①
②
专项练习2相同函数 判断方法①
②
例1.
专项练习3函数的值域
一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ．
二次函数
()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为 ，当0a <时的值域
反比例函数()0k
y k x
=
≠的值域为{}0y R y ∈≠．指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为 对数函数
()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ．
1.二次函数在给定区间上的值域问题
(1)y ＝x 2+2x+3（0≤x ≤2） (2) y ＝3－2x －x 2 （－3≤x ≤-1）
(3)y ＝x 2+2x+3 （－3≤x ≤1） (4) y ＝3－2x －x 2 （－2≤x ≤1）
2．已知k ∈R ，求函数2
21y kx kx =++，x ∈[－3,2]的最值
3．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在0≤x ≤1时有最大值2，求a 的值．
总结二次函数求值域方法①
② ③
2.换元法
(1)y ＝2x －3＋134-x
(2)y ＝x+1 +x 21- （3）4321(02)x x
y x =-?+≤≤
3.单调性法
(1)()x x y 2log 2
2+-= (2))2(21log 2
1≥???
??+=x x y x
4.分离常数法 形如cx d
y ax b
+=
+ (1)y ＝12++x x (2) y ＝1
2
21
-+x x (3) y ＝x x -+12( 1 类型4求函数的解析式 1.待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法． 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ． 2、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式注意函数定义域 例2已知x x x f 2)1(+=+，求()f x ． 变式2．已知2 (1)23f x x x +=++，求f (x )的解析式． 3、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，注意所求函数()f x 的定义域 例3已知x x x f 2)1(+=+，求()f x ． 变式3．已知2 (1)23f x x x +=++，求f (x )的解析式． 4、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式． 例4 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f ． 变式4．已知()2()f x f x x --= 求函数f (x )的解析式． 二、函数的性质 1．函数单调性 （1）．设函数y=f(x)的定义域为I ，①如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2， ，那么就说f(x)在区间D 上是增函数。②区间D 称为 y=f(x)的单调增区间；如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2， ，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D 称为y=f(x)的单调减区间. 注意：1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2、必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1 3、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 用定义证明1 ()f x x x =+ 在[)1,+∞上单调递增 总结：函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1 2 作差f(x 1)－f(x 2)； 3 变形（通常是因式分解和配方）； 4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； 5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． 2.求函数的单调区间 （2）.已知函数的单调区间求参数的范围 练习已知函数2 -∞上是减函数，则实数a的取值范围=+-+在区间(],4 f x x a x ()2(1)2 （3）.复合函数 如果y=f(u),(u ∈M),u=g(x),(x ∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x ∈A) 称为f 是g 的复合函数。复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下： 复合函数单调性：口诀：同增异减 u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)] 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 （4）、判断 函数的单调性常用的结论 ①函数()y f x =-与()y f x =的单调性相反； ②当函数()y f x =恒为正或恒有负时， 1 ()y f x = 与函数()y f x =的单调性相反； ③函数()y f x =与函数()y f x C =+（C 为常数）的单调性相同； ④当C > 0（C 为常数）时，()y f x =与()y C f x =的单调性相同； 当C < 0（C 为常数）时，()y f x =与()y C f x =的单调性相反； ⑤函数()f x 、()g x 都是增（减）函数，则()()f x g x +仍是增（减）函数； ⑥若()0,()0f x g x >>且()f x 与()g x 都是增（减）函数，则()()f x g x 也是增（减）函数； 若()0,()0f x g x <<且()f x 与()g x 都是增（减）函数，则()()f x g x 也是减（增）函数； ⑦设()0f x >，若()f x 在定义域上是增函数，则 ()n f x 、()(1)n f x n >都是增函数，而1 ()f x 是减函数. 2．函数的奇偶性 （1）偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有 ，那么f(x)就叫做偶函数． 奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有 ，那么f(x)就叫做奇函数． 注意：1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2、 由函数的奇偶性定义可知具有奇偶性的函数定义域关于原点对称． 3.具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 4若一个函数为奇函数且在原点有定义则(0)______f = 5既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）. (1) 判断函数的奇偶性 1．1 ()f x x x =+ 2. f (x )＝x 2 , x ∈[2,3]. 6．定义在R 上的函数f （x ）满足对任意x ，y ∈R 都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ），求证：f （x ）为奇函数． 总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域； 2 确定f(－x)与f(x)的关系； 3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．有时用f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定。 （2）奇偶性与单调性的关系 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全； 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. （3）用奇偶性求函数值 （4）已知函数的奇偶性求函数的解析式
相关主题
文本预览