平新乔《微观经济学十八讲》第16讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理
1．考虑一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下
()()2
11212,u x x x x = ()118,4e = ()()()21212,ln 2ln u x x x x =+ ()23,6e =
（1）描绘出帕累托有效集的特征（写出该集的特征函数式）； （2）发现瓦尔拉斯均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数()()2
11212,u x x x x =，可得121122MU x x =，1
22122MU x x =，故消费者1的边际替代率为12
1
1112212
121
2121
22MU x x x MRS MU x x x ===。 同理可得消费者2的边际替代率为222
12
21
2x MRS x =。
在帕累托有效集上的任一点，每个消费者消费两种物品的边际替代率都相同，即：
12
1212MRS MRS =
从而有：
12
2
21211
2x x x x = ① 又因为212210x x =-，21
1121x x =-，把这两个式子代入①式中，就得到了帕累托有效集的
特征函数：
1122
1111
10422x x x x -=- ② （2）由于瓦尔拉斯均衡点必然位于契约曲线上，所以在均衡点②式一定成立。此外在均衡点处，预算线和无差异曲线相切（如图16-1所示），这就意味着边际替代率等于预算线的斜率，即：
1112
12121
121
1418x p x MRS p x x -===- ③ 联立②、③两式，解得：1
158/4x =，1258/11x =。
进而有21112126/4x x =-=，2
1221052/11x x =-=。
图16-1 均衡时边际替代率等于预算线的斜率
2．证明：一个有n 种商品的经济，如果（1n -）个商品市场上已经实现了均衡，则第n 个市场必定出清。
证明：假设第k 种商品的价格为k p ，{}1,2,,k n ∈ 。系统内存在I （I 为正整数）个消费者，第i 个消费者拥有第k 种物品的初始禀赋为i k e ，而第i 个消费者对第k 种商品的消费量为k i x ，根据瓦尔拉斯定律可知系统中的超额的市场价值为零，即：
()
1
0n
i i
k k k k i I
i I
p x e =∈∈-=∑∑∑
当前1n -个商品市场已经实现均衡，即前1n -个商品市场的超额需求为零，这时有：
(
)()
()11
n i i i i
k k k n k k k i I
i I
i I
i I
i i n
k
k
i I
i I
i i k k
i I
i I
p x e p x e p x e x e -=∈∈∈∈∈∈∈∈-+-=∑∑∑∑∑-=∑∑=∑∑
由此就可以得出第n 个市场的超额需求也为零，即第n 个商品市场也实现了均衡。
3．有一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下
(){}11212,min ,u x x x x = ()130,0e =
()212
,2v p y p p =
()20,20e =
注意：第2个消费者的效用函数在这里是间接效用函数。 （1）发现瓦尔拉斯一般均衡。
（2）如果禀赋状态为()15,0e =，()20,2e =，重新计算一般均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数的形式可以得到相应的马歇尔需求函数为：
1
11121212
30p m
x x p p p p ==
=++ 对消费者2，根据罗伊恒等式(),i
i v p x p m v m
??=-
??，可以得到他的马歇尔需求函数为：
22
101,22i i i
p m x i p p =
==
均衡时，每种商品市场都会出清，这就意味着：
12
122
30202002p p p p p +-=+ 解得
1212
p p =，从而有：111210x x ==；2120x =；2
210x =。 （2）若禀赋状态为()15,0e =，()20,2e =。此时消费者1的马歇尔需求函数为：
1
11121212
5p m
x x p p p p ==
=++ 消费者2的马歇尔需求函数为：222i i i
p m
x p p ==，1,2i =。由均衡时，每种商品市场出清，即：
12122520p p p p p +-=+，解得1214
p p =，进而可得11121x x ==；214x =，2
21x =。
4．假定在一个经济中只有三种商品（1x ，2x ，3x ），对于2x 与3x 的超额需求函数为
221313/2/1ED p p p p =-+- 321314/2/2ED p p p p =-- （1）请证明这些函数关于1p 、2p 与3p 是零次齐次的。
（2）运用瓦尔拉斯法则表示，如果230ED ED ==，1ED 也一定为零。能否同样用瓦尔拉斯法则去计算1ED ？
（3）请解有关均衡相对价格21/p p 与31/p p 的方程组，32/p p 的均衡值是多少？
解：（1）对任意的0t >，有：
()()()()
3322221111
3322331111
3
21321422422tp p tp p
ED tp ED p tp tp p p tp p tp p
ED tp ED p tp tp p p =-+-=-+-==--=--=
所以2ED 和3ED 关于1p 、2p 与3p 是零次齐次的。
（2）根据瓦尔拉斯法则可知，均衡时每种商品的超额需求的价值之和为零，即：
1230ED ED ED ++= ①
如果230ED ED ==由①可知10ED =，把2ED 和3ED 的表达式代入①式中，可以解得：
33222111111
3
214223p p p p p
ED p p p p p =-+-++=-+ （3）当市场达到均衡时，必有230ED ED ==，即：
32
11
321
1321422
p p p p p p p p ?-=-???
?-=?? 解得：
2
1
31
35p p p p ?=????=??
于是
33122153
p p p p p p ==。
5．考虑一种两人、两物品的纯粹交易经济。消费者的效用函数与禀赋如下
()()11121212,123 8,30u x x x x x x e =++= ()()22121212,89 10,10u x x x x x x e =++=
求：
（1）对两种物品的超额需求函数。 （2）为该经济决定均衡价格比率。 解：（1）由题设所给的效用函数可以得出每个消费者的马歇尔需求函数为：
()()1
121
11221212511,21 ,922p p x p p x p p p p =
+?=?+ ()()22
2111221212
119,9 ,122p p x p p x p p p p =
+?=?+ 所以两种商品的超额需求函数为：
1
2222111111
1
211122
2
222
5
1810219183015221119103091401530
22p p p ED x x p p p p p
p ED x x p p p =+--=
+++-=-=+--=?++?+-=-
（2）当经济达到均衡时，每个市场的超额需求为零，即：
2112
30
1515300p p
p p -=-= 解得：
1
2
2p p =。
6．判断下列命题，并给出理由：
（1）如果知道了契约线，则我们就知道了任何交易的结果。
（2）如果已达到了帕累托有效，则就无法使任何人的状况再得以改善。 答：（1）错误。理由如下：
契约线是埃奇沃斯方框图中所有帕累托有效的分配点的集合，但是对于一个具体的交易而言，其最终结果还依赖于每个消费者的初始禀赋，如图16-2所示，其中A 和B 是初始禀赋点，可见不同的初始禀赋导致不同的均衡结果。
图16-2 不同的初始禀赋导致不同的均衡
（2）错误。理由如下：
帕累托有效是指在不损害其他任何人的利益的条件下，不能使经济系统中某些人的境况变得更好。但是如果允许损害某些人的利益，那么对帕累托有效的配置而言，就有可能使某些人的境况变得更好。比如在一个包括两个消费者和一种商品的经济中，其中一个人拥有全部的商品，而另一个人一无所有，这是一个帕累托有效的配置；但是现在让情况反过来，使得原来一无所有的人拥有全部商品，那么这个人的境况就得到了改善。
7．请证明：
在两物品、两个消费者的纯粹交易经济里，帕累托有效的一个必要条件是
11
22
111122
22
u x u x u x u x ????=???? 这里，上标表示人，下标表示物。
证明：根据定义，帕累托有效的资源配置可以通过以下最大化问题得到：
()
()1212112211
112222
1212max
,, 1,2
x x x x i i i u x x u x x u
x s x i t e =.+=.=，，，，
构造这个问题的拉格朗日函数：
()()()()()112211122212121212121211112222,,,,,L x x x x u x x u u x x x x e x x e λμμ??=---+--+-??
效用最大化的一阶条件为：
1
111111
111222
222112
22222
0000L u x x L u x x L u x x L u x x μμλμλμ??=-=????=-=????=-=????=-=??
从而可得到：
1122111
1122
222
u x u x u x u x μμ????==????
8．在—个岛上，有200磅粮食要在两个孤立无援的水手之间分配。第一个水手的效用
函数为1u 1F 是由第一个水手消费的数量。对于第二个水手，其粮食消费的效用
函数为2u =
（1）如果粮食在两个人之间平均分配，他们各自的效用是多少？ （2）如果他们的效用相等，粮食应如何分配？
（3）要使两个人的效用之和最大，应如何分配粮食？
（4）假设第二个水手的能够求生的效用水平是5，如果想要在第二个水手得到最低效用水平的前提下使效用之和最大化，应如何分配粮食？
（5）假定两个水手都赞成的社会福利函数为1/21/212W u u =。那么，在两个水手之间应怎
样分配粮食才能使社会福利最大化？
解：（1）如果粮食在两个人之间平均分配，即12100F F ==。他们各自的效用分别是：
110u ==
20.55u =
= （2
=
时，解得120.25F F =。 又因为12200F F +=，从而解得140F =，2160F =。故他们的效用相等，则第一个水手
消费40磅粮食，第二个水手消费160磅粮食。
（3）两个人的效用和最大化问题为：
12
12
12..200.50
F F F F F s F t +=，从约束条件中解出2F ，并把它代入目标函数式中，就有：
()0.5
0.5110200
max 0.5200F F F ≤≤+-
从一阶条件解得：1160F =，240F =。要使两人效用之和最大，第一个水手和第二个水手分别消费粮食160磅、40磅。
（4）这相当于求解如下最优化问题：
12
12
122.. 200 10m 0
0.5F F s t F F F F F +=≥， 从式12 200F F +=中解出2F ，并把它代入目标函数式中，就有：
11125max
0.5200F F F ≤≤-由于目标函数式在1160F =时，取得惟一的最大值。所以，当1160F ≤时，目标函数式的
值随着1F 的增加而增加，又因为2100F ≥。
所以满足题目条件的解为1100F =，从而2100F =。故如果想要在第二个水手得到最低效用水平的前提下使效用之和最大化，两个水手各消费100磅粮食。
（5）将两个水手的效用函数代入社会福利函数中，可得：
()141412122,W F F F 又12200F F +=，则()(
)()1/4
1412111,200W F F W F F ==-，社会福利最大化的一阶条件为：
(
)()1/43/4
341411111d 2002000d W F F F --=--= 解得：1100F =，因此21200100F F =-=。
故要使社会福利最大化，两个水手各消费100磅粮食。
9．甲有6瓶汽水，1块面包；乙有1瓶汽水，4块面包。两人对汽水与面包的效用函
数一样，都为u xy =，x 为汽水瓶数，y 为面包块数。现在相互交换汽水与面包，但只能整瓶与整块地换。甲先提议：“我要用A 瓶汽水换你B 块面包”。问；
（1）A 与B 各为多少时，交换才可能成功，且对甲最有利？
（2）如果()()1/ln ln u a x y =+，A 与B 又将是多少？
解：（1）甲的起始效用是6，乙的起始效用是4。如果甲用A 瓶汽水换B 个面包，则交换后，甲的净增效用为：
()()6166A B B A AB -+-=--
乙的净增效用为：
()()1444A B A B AB +--=--
下面对A 和B 所有可能的值进行枚举，得到表16-1，特别地，表中只列出了两个人的净增效用都大于零的组合（每一方格中的第一个数字是甲的净增效用，第二个数字是乙的净增效用）。
表16-1 交换带给每个人的净增效用
观察上表可知，对甲最有利的交换是：甲用1瓶汽水交换乙的2块面包。
（2）由于1
ln u u a
'=，每个人的新的效用函数只是原来效用函数的单调变换，根据单调
变换的性质可知新的效用函数表示的每个人的偏好并没有变化。因此对甲最有利的交换仍然是：甲用1瓶汽水交换乙的2块面包。
10．设有两种产品，鱼6吨和肉9吨，分给甲、乙两人。甲分到A 吨鱼，B 吨肉；乙分到C 吨鱼，D 吨肉。甲、乙的效用函数分别为
1132
1124
==C u A B
u D
甲乙
（1）请推导：当分配方案达到帕累托最优时，A 、B 所满足的关系式。（注：表示成()A f B =的形式。）
（2）如果有三种产品，鱼6吨、肉9吨和蛋12吨，分给甲、乙两人。甲分到A 吨鱼，B 吨肉，C 吨蛋；乙分到D 吨鱼，E 吨肉，F 吨蛋。甲、乙的效用函数分别为
1113
2
41116
2
4=C
=u A B u D E F
甲乙
请推导：当分配方案达到帕累托最优时，A 、B 、C 所满足的关系式。（注：表示成()A f B =，()A g C =的形式。
） 解：（1）由甲的效用函数11
3
2
=甲u A B 可得，113212A MU A B -=甲
，2
13213
B MU A B -=甲。故甲关于
鱼和肉的边际替代率为：1
1321
1
23212213
3A
AB
B MU B
MRS A MU A B A B --===甲甲。 同样可得乙关于鱼和肉的边际替代率为2
2CD D
MRS C
=
。 当分配方案达到帕累托最优时，两个人的边际替代率相等，即：
322B D
A C
=
① 把9D B =-和6C A =-分别代入①式中，整理得：
1836B
A B
=
- （2）甲关于鱼和肉以及鱼和蛋之间的边际替代率分别为132AB B MRS A =
和12AC C MRS A
=； 乙关于鱼和肉以及鱼和蛋之间的边际替代率分别为2
2DE E MRS D =
和2
3DF F MRS D
=。 当分配方案达到帕累托最优时，两个人的边际替代率相等，即：
322B E
A D
=
② 23C F
A D
=
③ 把6D A =-，9E B =-和12F C =-分别代入②、③式中整理得到：
()1836B
A f
B B ==- ()1236C
A f C C
==
-
新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一:直接考查勾股定理 例１.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理 222a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二:利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米? 解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,．已 知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理! 根据勾股定理AC 2+BC 2＝AB 2， 即ＡＣ2+9２=1５2,所以AC ２ =144,所以AC=12. 例题２ 如图(8），水池中离岸边D 点１.5米的C 处,直立长着一根芦苇，出水部分B Ｃ的长是0.５米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC. 解析:同例题１一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2. 由题意可知△AC Ｄ中,∠ACD=90°,在Ｒt △ACD 中,只知道CD ＝１．5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下(仅供参考）: 解:如图2,根据勾股定理，AC 2+CD 2=A Ｄ2 设水深AC= x 米，那么AD ＝A Ｂ=AC+CB ＝x +0.5 ｘ２+1．52=( x ＋0.5）2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三:勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ＡＢCD 中，E 是ＢC 边上的中点,F 是AB 上一点，且AB FB 4 1= 那么△ＤEF 是直角三角形吗?为什么? C B D A
1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是() A．8B．217 C．6 2 D．219 解析：选D.根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c＝219. 2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则sin A的值为() A. 57 19 B. 21 7 C. 3 38D．－ 57 19 解析：选A.c2＝a2＋b2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19. ∴c＝19. 由a sin A＝ c sin C得sin A＝ 57 19. 3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________． 解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为4a2＋4a2－a2 2·2a·2a＝ 7 8. 答案：7 8 4．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．解：法一：根据余弦定理得 b2＝a2＋c2－2ac cos B. ∵B＝60°，2b＝a＋c， ∴(a＋c 2) 2＝a2＋c2－2ac cos 60°， 整理得(a－c)2＝0，∴a＝c. ∴△ABC是正三角形． 法二：根据正弦定理， 2b＝a＋c可转化为2sin B＝sin A＋sin C. 又∵B＝60°，∴A＋C＝120°， ∴C＝120°－A， ∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)， 整理得sin(A＋30°)＝1， ∴A＝60°，C＝60°. ∴△ABC是正三角形． 课时训练一、选择题 1．在△ABC中，符合余弦定理的是() A．c2＝a2＋b2－2ab cos C B．c2＝a2－b2－2bc cos A C．b2＝a2－c2－2bc cos A D．cos C＝a2＋b2＋c2 2ab 解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题． 2．(2011年合肥检测)在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是() A.12 13 B. 5 13
第四章电路定理 重点： 1叠加定理 2、戴维南定理和诺顿定理 难点： 1熟练地运用叠加定理、戴维南定理和诺顿定理分析计算电路。 2、掌握特勒根定理和互易定理，理解这两个定理在路分析中的意义。 4-1叠加定理 网络图论与矩阵论、计算方法等构成电路的计算机辅助分析的基础。其中网络图论主要讨论电路分析中的拓扑规律性，从而便于电路方程的列写。 4.1.1几个概念 1.-------------------- 线性电路Lin ear circuit 由线性元件和独立源组成的电路称为线性电路。 2.----------------------- 激励与响应excitatio n and response 在电路中，独立源为电路的输入，对电路起着“激励”的作用，而其他元件的电压与电流只是激励引起的“响应”。 响应r 激励e 3.------------------------------ 齐次性和可加性homoge neity property and additivity property “齐次性”又称“比例性”，即激励增大K倍，响应也增大K倍；“可加性”意为激励的和产生的响应等于激励分别产生的响应的和。“线性”的含义即包含了齐次性和可加性。 齐次性:
4.1.2叠加定理 1. 定理内容 在线性电阻电路中，任一支路电流（电压）都是电路中各个独立电源单独作用时在 该支路产生的电流（电压）之叠加。此处的“线性电阻电路” ，可以包含线性电阻、独立 源和线性受控源等元件。 2. 定理的应用方法 将电路中的各个独立源分别单独列出，此时其他的电源置零一一独立电压源用短路 线代替，独立电流源用开路代替一一分别求取出各独立源单独作用时产生的电流或电压。 计算时，电路中的电阻、受控源元件及其联接结构不变。 4.1.3关于定理的说明 1?只适用于线性电路 2?进行叠加时，除去独立源外的所有元件，包含独立源的内阻都不能改变。 3. 叠加时应该注意参考方向与叠加时的符号 4. 功率的计算不能使用叠加定理 4.1.4例题 1. 已知：电路如图所示 激励Ke _______ k 系 统 响应Kr : 激励e i + e 2 响应r i +「2 可加性:
第十章 一般均衡理论和福利经济学 内 容 提 要 本章的重点是一般均衡理论和福利经济学。 一般均衡理论包括三个部分的内容：一般均衡的概念及其存在性问题；简单的一般均衡模型；一般均衡与经济效率问题。 一般均衡的概念建立在局部均衡的基础之上。所谓局部均衡分析方法是指将单个市场孤立起来，只考察某个市场均衡价格和均衡数量的研究方法，即假定该市场的变动不影响其他市场，其他市场也不影响该市场。一般均衡分析方法就是将所有的市场放在一起，同时研究所有市场均衡价格与均衡产量决定的方法。瓦尔拉斯、阿罗和德布鲁等经济学家证明了一般均衡的存在性，认为一般均衡模型应该包括4个基本条件：所有市场都是完全竞争市场；每个消费者都是产品需求者和要素供给者，他们在一定的约束条件下追求效用最大化；每个厂商都是要素的需求者和产品的供给者，他们在生产函数的约束下追求利润最大化；不考虑中间产品，只考虑最终产品的生产和交换。在这4个基本条件下，一般均衡是存在的，并且在一定的条件下，只存在唯一的一组相对价格可以实现一般均衡。 简单的一般均衡模型建立在3个假设前提上：1、经济由生产部门和消费部门构成，所有的生产均由生产部门完成，所有投入品均由消费者提供，没有中间产品。2、经济中有H 个居民，每个居民都是商品的需求者和要素的供给者，他在要素收入的约束下根据效用最大化原则将其所有收入用于购买各种商品，其偏好即效用函数为既定不变。3、经济中有K 个厂商，每个厂商都是要素的需求者和商品的供给者，他在生产函数的约束下生产各种商品以使其利润最大化，没有投资和中间产品，生产函数既定不变。根据假设，一般均衡模型中包含三类方程： 1、消费者对商品的需求方程（∑===H h ih i d r i Q Q 1),,2,1( ）及对要素的供给方程 （∑=++==H h jh j s n r r j Q Q 1),,2,1( ） ；
典型例题 知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A.CD、EF、 GH C. AB、CD GH B.AB、EF、GH D. AB、CD EF 愿路分乐屮 1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠 2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断?』 解答过整屮 在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇 EF = Q抡於十￡尸° = Q +F二艮 同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5 计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. * 縮題后KJ思专：* 1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形? 因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口* 2.在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜 迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6
"不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐
3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从 卅形s—个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一 ①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过 程.a 4?在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初 例玉如圏，有一块直角三角形?椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m?现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、* C/) "禎 B. 3cm G-Icni n題童分析，本题着查勾股定理的应用刎 ：）解龜思路；車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ?进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定 理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸 九4 解龜后的思琴尸 勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。 方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。 例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占 明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。 清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。” “是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！” “但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？” 占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角
余弦定理详解 余弦定理定义及公式 余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。是勾股定理在一般三角形情形下的推广。 a2=b2+c2-2bccosA 余弦定理证明 如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到： 将等式同乘以c得到： 运用同样的方式可以得到： 将两式相加： 向量证明
正弦定理和余弦定理 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （1）已知三角形的两角与一边，解三角形 （2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 （3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。 余弦定理 是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三 边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起 来更为方便、灵活。 直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值 在△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF?EFcos∠DFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，在斜三棱柱ABC-A1B1C1的中ABB1A1与BCC1B1所成的二面角的平面角为θ，则得到的类似的关系式是_____． 答案: ． 解析: 由平面和空间中几何量的对应关系，和已知条件可写出类比结论 解：平面中的点、线、面分别对应空间中的线、面、体，平面中的长度对应空间中的面积，平面中线线的夹角，对应空间中的面面的夹角 故答案为： 证明如下：如图斜三棱柱ABC-A1B1C1 设侧棱长为a 做面EFG垂直于侧棱AA1、BB1、CC1，则∠EFG=θ 又∵ 在△EFG中，根据余弦定理得：EG2=EF2+FG2-2EF?FG?COSθ
余弦定理 一、教材分析 本节主要研究xxxxxx，分两课时，这里是第一课时。它是在学生已经学习了正弦定理的内容，初步掌握了正弦定理的证明及应用，并明确了用正弦定理可以来解三角形的基础上进行学习的。通过利用平面几何法、坐标法(两点的距离公式)、向量的模,正弦定理等方法推导余弦定理，学生会正确理解余弦定理的结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”问题，体会方程思想，理解余弦定理是勾股定理的特例, 从多视角思考问题和发现问题，形成良好的思维品质,激发学生探究数学，应用数学的潜能，培养学生思维的广阔性。 二、学情分析 本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。 本节内容是人教B版普通高中课程标准实验教科书必修5第一章第一节余弦定理的第一课时。余弦定理是关于任意三角形边角之间的另一定理，是解决有关三角形问题与实际应用问题（如测量等）的重要定理，它将三角形的边和角有机的结合起来，实现了"边"和"角"的互化，从而使"三角"与"几何"有机的结合起来，为求与三角形有关的问题提供了理论依据，同时也为判断三角形的形状和证明三角形中的等式提供了重要的依据。教科书首先通过设问的方式，指出了"已知三角形的两边和夹角，无法用正弦定理去解三角形"，进而通过直角三角形中的勾股定理引导学生去探究一般三角形中的边角关系，然后通过构造直角三角形去完
戴维南定理典型例子_戴维南定理解题方法 什么是戴维南定理戴维南定理（又译为戴维宁定理）又称等效电压源定律，是由法国科学家L·C·戴维南于1883年提出的一个电学定理。由于早在1853年，亥姆霍兹也提出过本定理，所以又称亥姆霍兹-戴维南定理。其内容是：一个含有独立电压源、独立电流源及电阻的线性网络的两端，就其外部型态而言，在电性上可以用一个独立电压源V和一个松弛二端网络的串联电阻组合来等效。在单频交流系统中，此定理不仅只适用于电阻，也适用于广义的阻抗。戴维南定理在多电源多回路的复杂直流电路分析中有重要应用。 戴维南定理（Thevenin‘stheorem）：含独立电源的线性电阻单口网络N，就端口特性而言，可以等效为一个电压源和电阻串联的单口网络。电压源的电压等于单口网络在负载开路时的电压uoc；电阻R0是单口网络内全部独立电源为零值时所得单口网络N0的等效电阻。戴维南定理典型例子戴维南定理指出，等效二端网络的电动势E等于二端网络开路时的电压，它的串联内阻抗等于网络内部各独立源和电容电压、电感电流都为零时，从这二端看向网络的阻抗Zi。设二端网络N中含有独立电源和线性时不变二端元件（电阻器、电感器、电容器），这些元件之间可以有耦合，即可以有受控源及互感耦合；网络N的两端ɑ、b接有负载阻抗Z（s），但负载与网络N内部诸元件之间没有耦合，U（s）=I（s）/Z（s）。当网络N中所有独立电源都不工作（例如将独立电压源用短路代替，独立电流源用开路代替），所有电容电压和电感电流的初始值都为零的时候，可把这二端网络记作N0。这样，负载阻抗Z（s）中的电流I（s）一般就可以按下式1计算（图2）式中E（s）是图1二端网络N的开路电压，亦即Z（s）是无穷大时的电压U（s）；Zi（s）是二端网络N0呈现的阻抗；s是由单边拉普拉斯变换引进的复变量。 和戴维南定理类似，有诺顿定理或亥姆霍兹－诺顿定理。按照这一定理，任何含源线性时不变二端网络均可等效为二端电流源，它的电流J等于在网络二端短路线中流过的电流，并联内阻抗同样等于看向网络的阻抗。这样，图1中的电流I（s）一般可按下式2计算（图
社会福利思想（复习提纲） 2010.10.10 第一章社会福利概述 一、填空或选择题 1、实现社会福利的途径有：政府、慈善机构或社团、社区及私人提供。▲▲ 2、从全球来看，社会福利是随着人类历史的发展而不断增加起内涵的，进入20世纪，社会福利才逐渐走向 制度化和社会化。 3、对于社会福利与社会保障的关系，我国一般将社会福利从属于社会保障。社会保障体系框架由四个部分 组成：社会救助（最低的社会保障）、社会保险（工薪）、社会福利（最高）、社会优抚与安置保障（军人及家属）。▲▲ 4、中国自20世纪50年代开始建立的社会福利制度是以城镇职工福利为核心的一套相互分割、封闭运行的 福利制度，它的主要内容有职工集体福利、特殊社会福利、社区社会福利。▲▲ 5、世界社会福利事业的发展进程，经历了从剩余型社会福利到制度型社会福利再到发展型社会福利的三个 不同的发展阶段。▲▲ 6、20世纪20年代，英国福利经济学的创始人庇古提出通过收入均等化来实现增进全民社会福利。▲ 7、福利国家最早出现于英国坎特伯雷大主教威廉.邓普1941年所著的<<公民与教徒>>,1948年英国“贝拂里 奇报告”率先在世界范围内建成了“福利国家”。英国在20世纪90年代大刀阔斧的推行住房补贴制度改革，西方福利国家改革的共同特点或趋势是福利私营化、福利提供的分散化和多元化。▲ 8、从相信市场、自由放任的资本主义经济，到国家干预、全面保障的社会福利制度，社会福利的发展经历 了从市场到国家的过程，再从全面福利的危机到福利多元化、乃至进一步发展到市场化和私营化，重新倡导市场机制的作用。 9、我们进行社会福利思想研究的方法论：马克思主义历史唯物论、阶级斗争理论、逻辑学基本原理，至于 社会福利思想研究的具体方法：阶段法、国别法、学派法、人物法、文献法。▲▲ 二、名词 1、社会福利▲▲p4页 2、社会福利思想▲p29页 3、福利国家p21页 三、问答 1、社会福利的特征▲▲p9 2、福利国家危机的表现p23 3、从社会福利的世界发展进程和发展趋势来看，改革和完善中国的社会福利制度，给我们有那几方面的思 考。P28▲▲ 第二章古代社会福利思想 一、填空或选择题 1、先秦是指中国从原始社会进入阶级社会后最初历经的几个朝代——夏、商、西周、春秋、战国直至秦统 一以前的社会历史发展时期。▲ 2、春秋战国时代，诸子百家的社会福利思想：管仲、老子、庄子、孔子、孟子、墨子的社会福利思想。老 子的思想（理想社会，寡欲、无知、知足的政治主张），孔子的思想（礼治，正名分，贫富不均及其解决办法，理想社会形态），孟子（仁学、仁政、小康社会），墨子（民之三患、抨击小盗为盗，大盗为义、提出兼爱说）▲▲ 3、柏拉图的《理想国》的主要内容：社会阶级结构，共产制度，共妻制，男女平等▲ 二、问答 1、原始社会的福利制度和福利思想的主要内容或观点p36、
勾股定理课时练（1） 1. 在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2 2 2AC BC+ +的值是（） A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是______ cm（结果不取近似值）. 3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？ 5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米. 6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米? 7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度. 8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。求CD的长. 9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长. 10. 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北 7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？
福利经济学的主要特点是：以一定的价值判断为出发点，也就是根据已确定的社会目标，建立理论体系；以边际效用基数论或边际效用序数论为基础，建立福利概念；以社会目标和福利理论为依据，制定经济政策方案。第一章 1、了解边沁、霍布斯、帕累托、罗尔斯.森等人的基本思想 边沁：功利主义是福利经济学的哲学基础，提倡自由放任的经济原则，认为个人追求自己的利益最大化，整个社会要实现绝大多数人的最大福利。 边沁认为人生的目的都是为了使自己获得最大幸福，增加幸福总量。幸福总量可以计算，伦理就是对幸福总量的计算。边沁把资产阶级利益说成是社会的普遍利益，把资产阶级趋利避害的伦理原则说成是所有人的功利原则，把“最大多数人的最大幸福”标榜为功利主义的最高目标。 帕累托：V.帕累托的“最优状态”概念和 A.马歇尔的“消费者剩余”概念是福利经济学的重要分析工具。 帕累托最优状态是指这样一种状态，任何改变都不可能使任何一个人的境况变好而不使别人的境况变坏。按照这一规定，一项改变如果使每个人的福利都增进了，或者一些人福利增进而其他的人福利不减少，这种改变就有利；如果使每个人的福利都减少了，或者一些人福利增加而另一些人福利减少，这种改变就不利。 罗尔斯：原始状态下的平等优先原理。各方将选择的原则是处在一种"词典式序列"（lexical order）中的两个正义原则，第一个原则是平等自由的原则，第二个原则是机会的公正平等原则和差别原则的结合。其中，第一个原则优先于第二个原则，而第二个原则中的机会公正平等原则又优先于差别原则。这两个
原则的要义是平等地分配各种基本权利和义务，同时尽量平等地分配社会合作所产生的利益和负担，坚持各种职务和地位平等地向所有人开放，只允许那种能给最少受惠者带来补偿利益的不平等分配，任何人或团体除非以一种有利于最少受惠者的方式谋利，否则就不能获得一种比他人更好的生活。所谓"公平的正义"即意味着正义原则是在一种公平的原初状态中被一致同意的，或者说，意味着社会合作条件是在公平的条件下一致同意的，所达到的是一公平的契约，所产生的也将是一公平的结果。 阿玛蒂亚-森：能力主义公平观，以满足认得需要最为公平的基础。需要如何测定，只重视需要没考虑生产能力 2、请举出两个序数度量的例子 3、如何界定理性的偏好：理性偏好(Rational Preference)可以定义为一个 偏好关系满足二元关系中的完备性和传递性，即： 完备性：对于所有的, 有x?y或者y?x，或者同时成立， 传递性：对于所有的，如果x?y且y?z，则x?z。 4、经济学家一般假设人们是自身快乐水平的最好裁判，这一假设合理吗？ 5、什么情况下个人的偏好选择与其福祉(快乐)相偏离？这对我们有什么启示？偏好实际是潜藏在人们内心的一种情感和倾向，它是非直观的，引起偏好的感性因素多于理性因素。偏好有明显的个体差异，也呈现出群体特征。 偏好与福祉相偏离：信息不完全、了解错误信息、错误的认知、非理性偏好6、人类发展关注哪几个指标?人类发展指数关注的指标：健康长寿，用出生时预 期寿命来衡量；教育获得，用成人识字率(2/3权重)及小学、中学、大学综合入学率(1/3权重)共同衡量；生活水平，用人均实际GDP(PPP美元)来衡量。
余弦定理练习题 1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝1 3 ，那么AC 等于( ) A ．6 B ．2 6 C ．3 6 D ．46 2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( ) D ．2 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2 ＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150° ? 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2 )tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( ) 或5π6 或2π 3 5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对 6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) B ．2 3 或2 3 D ．2 ~ 9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________． 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数． 11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________． 12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝1 3 ，S △ABC ＝43，则b ＝________. 15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 2 4 ，则角C ＝________. 16．三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2 －23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长． ` 18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为1 6 sin C ，求角C 的度数． ： 19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π 4 )的值． 20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状． —
福利经济学 本书体系，本十一章，导论、福利经济学的基础理论、社会经济福利制度、公平与收入分配、贫困与反贫困、教育与卫生、失业与就业、人口控制与人口老龄化、人口流动与城乡统筹、资源环境与可持续发展、社会保障制度的建立与完善。前面谈三章理论，后面八章谈应用的各方面。 第一章导论 第一节社会经济学及其产生和发展 一、福利与福利经济学 （一）福利 1、福利。福利分为个人福利和社会福利。 2、个人福利。指一个人获得的满足。这种满足包括个人物质生活需要或个人精神生活需要。 3、社会福利，是指一个社会全体成员的个人福利的总和或个人福利的集合。 4、经济福利，能够直接或间接用货币来衡量的那部分社会福利。 （二）福利经济学 1、庇古，研究增进世界的或某一国家的经济福利的主要影响。 2、李特尔，最好是把福利经济学看成是研究经济体系的一种形态比另一种形态是好还是 坏，以及一种形态是否应转变为另一种形态的问题。 3、萨缪尔森，一门关于组织经济活动的最佳途径，收入最佳分配以及最佳税收制度的学科。（三）福利经济学的两个内容 1、社会资源配置在什么条件下达到最优，如何才能达到最优？ 2、国民收入如何分配才能使社会全体成员的经济福利达到最大化。 即公平与效率，效率有定论，公平在争论。 （四）研究前提：市场机制。 二、福利经济学的产生与发展 （一）背景 19世纪20年代，哲学派别功利主义或效用主义，边沁、穆勒的影响下，把人们道德行为的目的看作个人自身福利的提高，社会行为的目的是增进全社会福利。 19世纪70年代边际革命，把数学引进了效用。 （二）产生与发展 1、旧福利经济学。 庇古1920年出版了《福利经济学》，个人的福利可以用效用来表示，社会福利是个人福利的加总。国民收入水平越高，社会福利越大；国民收入越平均，社会福利就越大。 旧福利经济学特征，第一，经济学是解决物质福利的；第二，使用物质福利来表示效用概念；第三，效用以基数表示，边际效用递减。 2、新福利经济学（20世纪30年代） 罗宾斯认为从论理来看，效用不能用基数表示。希克斯利用帕累托标准发展出了新福利经济学。 新福利经济学特征：第一，经济学是解决稀缺性问题的；第二，使用偏好来表示效用，相对更具有主观性；第三，只使用序数效用，避免个人效用比较；第四，普遍使用帕累托标准及有关的边际条件；第五，关于补偿检验的争论 3、新福利经济学的挑战
勾股定理全章知识点和典型例习题 一、基础知识点： 1?勾股定理 内容：____________________________________________________________ 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b，斜边为c，那么__________________ 2 ?勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 3 ?勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C 90 , 则 __________________________________________ ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定 理解决一些实际问题 4. 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a , b , c满足a2 b2c，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能 形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以 a , b , c为三边 的三角形是直角三角形；若 _________ ，时，以a , b , c为三边的三角形是钝角三角形；若__________________ ，时，以a , b , c为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a , b , c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a , b , c满足a2 c2 b2, 那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 5. 勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 b2 c2中，a , b , c为正整数时，称a , b , c为 一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13; 7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数： 2 2 n 1,2n,n 1 （n 2, n 为正整数）； 2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （n为正整数）m2 n2,2mn,m2 n2（m n, m , n为正整数）7 .勾股定理的应用
正弦定理、余弦定理综合应用 例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1 sin 2 B = ， 由ABC △为锐角三角形得π6B = ． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π?? +=+π-- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ???1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ???． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336 A πππ <+<， 所以1sin 23A π??+< ???． 3A π??<+< ?? ? 所以，cos sin A C +的取值范围为322?? ? ?? ?，． 例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1 sin 6 C ，求角C 的度数． 解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=， 两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得1 3 BC AC =g ， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()21 22 AC BC AC BC AB AC BC +--= =g g ， 所以60C =o ． 例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ， 且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6 π . 例4.设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60o ，c =3b.求a c 的值； 解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117 ()2,3329 c c c c c +-=g g g 故3a c = 例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===, 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 61 2 例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若() C a A c b cos cos 3=-， 则=A cos _________________. 3 例7.(2009年广东卷文)已知ABC ?中， C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=o ，则b = 【解析】0000000 sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=
XX教育一对一个性化教案 授课日期：2014 年月日学生姓名许XX 教师姓名授课时段2h 年级8 学科数学课型VIP 教学内容勾股定理及逆定理 教学重、难点重点：运用勾股定理判定一个三角形是否为直角三角形。难点：运用用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题。 教学步骤及突出教学方法一、知识归纳 1、勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a，b，c满足222 a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22 a b +与较长边的平方2c作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222 a b c +<，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222 a b c +>，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a，b，c及222 a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222 a c b +=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边。 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。 2、勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222 a b c +=中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数： 22 1,2,1 n n n -+（2, n≥n为正整数）； 22 21,22,221 n n n n n ++++（n为正整数） 2222 ,2, m n mn m n -+（, m n >m，n为正整数）
解三角形 【考纲说明】 1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 【知识梳理】 一、正弦定理 1、正弦定理：在△ABC 中，R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为△AB C 外接圆半径）。 2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R === （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++. 3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABC abc S ah ab C ac B bc A R A B C R ?====== 4、正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一） （2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 二、余弦定理 1、余弦定理：A bc c b a cos 22 2 2 -+=?bc a c b A 2cos 2 2 2 -+= B ac a c b cos 22 2 2 -+=?ca b a c B 2cos 2 2 2 -+= C ab b a c cos 22 2 2 -+=?ab c b a C 2cos 2 2 2 -+= 2、余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一） （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）： （3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.
戴维宁定理 一、知识点： 1、二端(一端口) 网络的概念： 二端网络：具有向外引出一对端子的电路或网络。 无源二端网络：二端网络中没有独立电源。 有源二端网络：二端网络中含有独立电源。 2、戴维宁（戴维南）定理 任何一个线性有源二端网络都可以用一个电压为U OC的理想电压源和一个电阻R0串联的等效电路来代替。如图所示： 等效电路的电压U OC是有源二端网络的开路电压，即将负载R L断开后a 、b两端之间的电压。 等效电路的电阻R0是有源二端网络中所有独立电源均置零（理想电压源用短路代替，理想电流源用开路代替）后, 所得到的无源二端网络 a 、b两端之间的等效电阻。
二、例题：应用戴维南定理解题： 戴维南定理的解题步骤： 1.把电路划分为待求支路和有源二端网络两部分，如图1中的虚线。 2.断开待求支路，形成有源二端网络（要画图），求有源二端网络的开路电压UOC。 3.将有源二端网络内的电源置零，保留其内阻（要画图），求网络的入端等效电阻Rab。 4.画出有源二端网络的等效电压源，其电压源电压US=UOC（此时要注意电源的极性），内阻R0=Rab。 5.将待求支路接到等效电压源上，利用欧姆定律求电流。 例1：电路如图，已知U1=40V，U2=20V，R1=R2=4Ω，R3=13 Ω，试用戴维宁定理求电流I3。 解：(1) 断开待求支路求开路电压 U OC U OC = U2 + I R2 = 20 +2.5 ? 4 = 30V 或：U OC = U1– I R1 = 40 –2.5 ? 4 = 30V U OC也可用叠加原理等其它方法求。 (2) 求等效电阻R0 将所有独立电源置零（理想电压源 用短路代替，理想电流源用开路代替） (3) 画出等效电路求电流I3 例2：试求电流I1 A 5.2 4 4 20 40 2 1 2 1= + - = + - = R R U U I Ω = + ? =2 2 1 2 1 0R R R R R A 2 13 2 30 3 OC 3 = + = + = R R U I
第三讲总剩余分析、福利经济学及社会选择的基本理论 注：本讲的内容建议阅读An dreu M as-colell等三人编写的《M icroeconomic T heory》 一．总剩余——社会总福利的一种度量 0．回顾 （1）边际（marginal）与总量(total)的关系：总量是相应的所有边际数量的加总。 （2）商品x的市场需求曲线与市场供给曲线。 1．消费者剩余（consumer surplus） （1）总效用与边际效用的货币表示 A为了方便起见，效用可以用人们愿意支付的最高金额（经济学称之为支付意愿）来度量；支付意愿实际上就反映了相应产品对消费者的价值。 B总效用就是指总支付意愿；边际效用就是指边际支付意愿，经济学也经常称之为需求价格。 （2）边际消费者剩余就是指消费者边际支付意愿与实际支付的市场交易单位价格之间的差额。消费者总剩余是指消费者总支付意愿与总支付金额之间的差额（能够在图形上显示出消费者剩余）。 （3）观察市场实际交易单位价格与边际支付意愿（或边际效用）之间的关系。 2．生产者剩余(producer surplus) （1）边际生产者剩余就是指生产者实际获得的交易单位价格与愿意接受的最低单位价格之间的差额。生产者总剩余是指生产者实际获得的总交易金额与愿意接受的最低金额之间的差额。 （2）生产者意愿接受的最低单位价格就是相应产品的边际成本，即供给曲线的高度，它反映了用来生产该产品的资源的机会成本，或者说这些资源所用来生产的其他产品的最大市场价值。 （3）生产者剩余并不等同于企业获取的利润。 3．总剩余 （1）总剩余＝消费者剩余＋生产者剩余（能够在图形上显示出总剩余）。经济学通常以总剩余作为资源给社会带来的总福利的度量指标。 （2）对“剩余”的研究有三位代表性人物：Marshall；Hicks；Harberger。本讲所提及的“剩余”概念是源自于Marshall的定义——一个非常粗糙的定义。 （3）消费者剩余与生产者剩余概念其实反映的就是消费者和生产者从市场交易中获得的利益，由此可以看出自由自愿的市场交易对买卖双方均是有利的。