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天津市2017年普通高等学校招生考试
数学(文史类)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
参考公式：
如果事件A ,B 互斥,那么()()()P A B P A P B =+.
棱柱的体积公式V Sh =.其中S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高.
球的体积公式34
3
V R π=.其中R 表示球的半径.
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给
出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}1,2,6A =,{}2,4B =，{}=1,2,4C ，则()C A B = ( ) A .{}2
B .{}1,2,34，
C .{}1,246，，
D .{}1,2,346，， 2.设x R ∈,则“20x -≥”是“11x -≤”的
( )
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
3.有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
( )
A .45
B .35
C .25
D .15
4.阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为19,则输出的值为 ( )
A .0
B .1
C .2
D .3
5.已知双曲线22
22=1(0,)x y a b a b
-＞＞0的右焦点为F ,点A 在双曲线的渐
近线上,OAF △是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的
方程为 ( ) A .22
=1412x y -
B .22
=1124
x y - C .2
2=13
x y -
D .22
=13
y x -
6.已知奇函数()
f x 在
R
上是增函数.若
0.8221
=(log ),=(log 4.1),=(2)5
a f
b f
c f -,则a ,b ,c 的大小关系为
( ) A .a b c ＜＜ B .b a c ＜＜ C .c b a ＜＜ D .c a b ＜＜
7.设函数()=2s i n ()R f x x x ω
?+∈,,其中0ω?π＞，
＜.若5π
()=28
f ,11π
()=08
f ,且()f x 的最小正周期大于2π，则
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效----------------
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( )
A .2π=,=
312ω? B .211π
=,=312ω?-
C .111π=,=324ω?-
D .17π=,=324
ω?
8.已知函数2,1,2, 1.
()=x x x x x f x ++≥???＜设a R ∈,若关于x 的不等式在x
()a 2f x ≥+上
恒成立,则a 的取值范围是
( )
A .[]2,2-
B
.??-?? C
.2,?-?
D
.?-?
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.已知R α∈,i 为虚数单位,若
i
2i
α-+为实数,则a 的值为 .
10.已知R α∈,设函数()=ln f x x x α-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，
则l 在y 轴上的截距为 .
11.已知一个正方形的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .
12.设抛物线2=4y x 的焦点为F ,准线为l .已知点C 在l 上,以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若120FAC ∠=,则圆的方程为 .
13.若,a b R ∈,0ab ＞,则4441
a b ab
++的最小值为 .
14.在ABC △中,60A ∠=,3AB =,2AC =.若=2BD BC uu u r uu u r ,AE AC AB
λ=-uu u r uuu r uu u r
(R λ∈),且=4AD AE ?-uuu r uu u r
，则λ的值为 .
三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)
在ABC ?中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知
s i n =4s i n
a A
b B
,222)ac a b c --. (I )求cos A 的值；
(II )求sin(2)B A -的值.
16.(本小题满分13分)
电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告
600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ,y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
(I )用x ,y 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域；
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(II )问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多？
17.(本小题满分13分)
如图,在四棱锥P ABCD -中,AD PDC ⊥平面,AD BC ∥,PD PB ⊥,=1AD ,
3BC =,4CD =,2PD =.
(I )求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； (II )求证：PD PBC ⊥平面；
(III )求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.
18.(本小题满分13分)
已知{}n a 为等差数列,前n 项和为*n (N )S n ∈,{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,114=11S b . (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式；
(Ⅱ)求数列{}2n n a b 的前n 项和*(N )n ∈.
19.(本小题满分14分)
设,R a b ∈，a 1≤.已知函数32()=63(4)b f x x x a a x ---+,()=()x g x e f x . (Ⅰ)求()f x 的单调区间；
(Ⅱ)已知函数=()y g x 和=x y e 的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切
线，
(i )求证：()f x 在0=x x 处的导数等于0；
(ii )若关于x 的不等式()x g x e ≤在区间[]001,1x x -+上恒成立,求b 的取值范围.
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题-----------------
无---------------
效
----------------
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
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20.(本小题满分14分)
已知椭圆()22
22=10x y a b a b
+＞＞的左焦点为(,0)F c -,右顶点为A ,点E
的坐标为(0,)c ,EFA △的面积为2
2
b .
(I )求椭圆的离心率；
(II )设点Q 在线段AE 上,3=2
FQ c ,延长线段FQ 与椭圆交于点P ,点M ,N 在x 轴上,PM QN ∥,且直线PM 与直线QN 间的距离为c ,四边形PQNM 的面积为3c . (i )求直线FP 的斜率； (ii )求椭圆的方程.
2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
文科数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1．【答案】B
【解析】由题意知{}1,2,4,6A B =，∴(){}1,2,4A B C =.
2．【答案】B
【解析】由x 11-≤，得0x 2≤≤，∵022x x ≤≤?≤，202x x ≤≠≤≤，
故“2x 0-≥”是“x 11-≤”的必要而不充分条件，故选B . 3．【答案】C
【解析】从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取
法：（红，黄），（红，蓝），（红，绿），
（红，紫），（黄，蓝），（黄，绿），（黄，紫），（蓝，绿），（蓝，
紫），（绿，紫）而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），共4种，故所求概率42
105
P ==. 4．【答案】C
【解析】由程序框图可知，N 的取值依次为19,18,6,2.故输出N
的值为2. 5．【答案】D
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【解析】由OAF △是边长为2的等边三角形可知，
2c =，tan 603b
a ==又222c a
b =+，联立可得1a
=，b ，∴双曲线的方程为
2
2
13
y x -=.
6．【答案】C 【解析】由
()
f x 是奇函数可得，221
(log )(log 5)5
a f f =-=，∵
0.8
222
l o g 5l o g 4.1l o g 4
22=＞
＞
＞，且函数
()f x 是增函数，∴c b a ＜＜. 7．【答案】A 【解析】由5π
(
)28
f =，11π()08f =，()f x 的最小正周期2πT ＞，可得11π5π3π8844T -==，∴3πT =，∴2π2
==3π3ω.再由5π()28f =及π?＜得π=12
?．
8．【答案】A
【解析】作出()f x 的图象如图所示，
=||2
x
y a +的图象经过点(0,2)时，可知=2a ±.当
2x y a =
+的图象与2y x x
=+的图象相切时，由
2
2x a x x
+=+，得2240x ax -+=，由=0?，并结合图象可得2a =.要使()||2
x
f x a ≥+恒成立，当0a ≤时，需满足2a -≤，即20a -≤≤，
当a ＞0时，需满足2a ≤，所以22a -≤≤.
第Ⅱ卷
二、填空题 9.【答案】2-
【解析】因为i (i)(2i)21(2)i
=2i (2i)(2i)5
a a a a -----+=
++-为实数，所以+2=0a ，
即=2a -. 10．【答案】1
【解析】因为'1
()f x a x
=-，所以'(1)1f a =-，又'(1)f a =，所以切线
l 的方程为(1)(1)y a a x -=--，令=0x ，得=1y . 11．【答案】9
π2
【解析】设正方体的棱长为a ，则2618a
=，得a =
，设该正方体
外接球的半径为R
，则23R ==，得3
2
R =
，所以该球的体积为334439ππ()π3
3
2
2
R ==.
12．
【答案】22(1)(=1x y ++
【解析】由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为(1,)C a -(0)a ＞则
(0,)A a ,又(1,0)F ，所以(1,0)AC =-uu u r ，(1,)AF a =-uu u r ，由题意得AC uuu r 与AF uu u r
的夹角为120
，得1
cos1202=
=-
，解得
a
，所以圆的方程为22(1)(1x y ++=.
13．【答案】4
【解析】
44334141
=a b a b ab b a ab
++++
，由基本不等式得，334111
44a b ab b a ab ab ab ++≥=+≥，当且仅当334a b b a
=，14ab ab =同
时成立时等号成立.
14
．【答案】
3
11
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【解析】因为2BD DC =uu u r uuu r
，所以2212()3333
AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r
，因为
AE AC AB λ=-uu u r uuu r uu u r
，所以22121212(+)()()333333AD AE AB AC AC AB AB AC AB AC λλλ?=?-=-++-?uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu
u r uu u r ，因为
60A ∠=，3AB =，2AC =，
1212189λ4(λ)323λλ24333323AD AE ?=-?+?+-???=-++-=-uuu r uu u r ，解得3λ=11
.
三、解答题 15.【答案】(Ⅰ
)5
- (Ⅱ
)5
-
【解析】(Ⅰ)由sin =4sin a A b B ，及=sin sin a b
A B
，得2a b =.
由222)ac a b c --
，及余弦定理，得2225cos =25
b c a A bc ac +-==-
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)，
可得sin A ，代入sin 4sin a A b B =，
得sin sin 4a A B b =
=.
由(Ⅰ)知，A
为钝角，所以cos B .于是4sin 2=2sin cos =5B B B ，23
cos 2=12sin =5
B B -，故
(
)43sin 2=sin 2cos cos 2sin =(55B A B A B A --?--16.【答案】(Ⅰ)见解析
(Ⅱ)电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收
视人次最多.
【解析】(Ⅰ)由已知，x ，y 满足的数学关系式为7060600,5530,2,0,0,
x y x y x y x y +≤??+≥??
≤??≥?≥??即
7660620,0,0,
x y x y x y x y +≤??+≥??
-≤??≥?≥??，， 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：
(Ⅱ)设总收入人次为z 万，则目标函数为=60+25z x y . 考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-
+，这是斜率为12
5
-，随z 变化的一族平行直线.25z 为直线在y 轴上的截距，当25z
取得最
大值时，z 的值最大.又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线6025z x y =+经过可行域上的点M 时，即z 最大.
解方程组766020x y x y +=??-=?
，
，，得点M 的坐标为(6,3).
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总
收视人次最多.
17．【答案】(Ⅰ
)
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(Ⅱ) 因为AD PDC ⊥平面，直线PD PDC ?平面，所以AD PD ⊥，又因为
BC AD ∥，所以PD BC ⊥，又PD PB ⊥，所以PD PBC ⊥平面.
(Ⅲ
【解析】(Ⅰ)如图，由已知AD BC ∥，故D A P ∠或其
补角即为异面直线AP 与BC 所成的角.因为
AD PDC ⊥平面，所以AD PD ⊥.在Rt PDA △中，由
已知，
得AP ==，
故
c o s AD DAP AP ∠==
.
所以，异面直线AP 与BC
.
(Ⅱ)因为AD PDC ⊥平面，直线PD PDC ?平面，所以AD PD ⊥，又因为
BC AD ∥，所以PD BC ⊥，又PD PB ⊥，所以PD PBC ⊥平面.
(Ⅲ)过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连结PF ，则DF 与平面
PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角.
因为PD PBC ⊥平面，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以DFP
∠为直线DF 和平面PBC 所成的角.
由于AD BC ∥，DF AB ∥，故1BF AD ==，由已知，得2CF BC BF =-=.
又AD DC ⊥，故B
C D C
⊥，在Rt DCF △中，
可得DF =
=，
在Rt DPF △
中，可得sin 5
PD DFP DF ∠=
=.
所以，直线AB 与平面PBC
18．【答案】(Ⅰ)32n a n =-，2n b n =. (Ⅱ)()2
342
16n n T n +=-+.
【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为
q .由已知2312b b +=，得()2
112b q q +=，而12b =，所以260q q +-=.又
因为0q ＞，解得2q =，所以，2n b n =.
由3412b a a =-，可得138d a -=①.由11411S b =，可得1516a d +=②，联
立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-.
所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2n
n b =.
(Ⅱ)设数列{}2n n a b 的前n 项和为n T ，由
262n a n =-，有()2342102162622n
n T n =?+?+?++-?，
()()23412421021626826-22n n n T n n +=?+?+?+
+-?+?，
上述两式相减，得
()231
1
24262626262212(12)4(62)212
(34)216
n n n n n n T n n n +++-=?+?+?+
+?--??-=---?-=---
得()2
342
16n n T n +=-+.
所以，数列{}2n n a b 的前n 项和为()2
342
16n n +-+.
19．【答案】(Ⅰ)1
2
（2）（ⅰ）34
（ⅱ）（1）递增区间为()a -∞，，
()4a -+∞，
，递减区间为()a 4a -，.（2）（ⅰ）()x f 在0x=x 处的导数等于0.（ⅱ）b 的取值范围是[]7,1-.
22
x y =11612
+ 【解析】(Ⅰ)由32()63(4)f x x x a a x b =---+，可得
[]'2()3123(4)3()(4)f x x x a a x a x a =---=---.
令'()=0f x ，解得x a =，或4x a =-，由||1a ≤，得4a a -＜
.
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x '()f x ()f x 所以，()f x 的单调递增区间为()a -∞，，(4,)a -+∞，单调递减区间为
(,4)a a -
(Ⅱ)(i )因为'()(()())x g x e f x f x =+，由题意知0
00
'0(),()x x g x e g x e ?=??=??
所以00000'
00()(()())x x
x x f x e e e f x f x e ?=??+=??
，解得0'0()1()0f x f x =???=?? 所以，()f x 在0x x =处的导数等于0.
(ii )因为()x g x e ≤，00[11]x x x ∈-+，，由0x e ＞，可得()1f x ≤.
又因为0(x )1f =，'0()0f x =，故0x 为()f x 的极大值点，由(Ⅰ)知0x a =. 另一方面，由于|1|a ≤，故14a a +-＜，由(Ⅰ)知()f x 在(1,)a a -内单调
递增，在(,1)a a +内单调递减，故当0x a =时，
()()1f x f a ≤=在
[1,1]a a -+上恒成立，从而()x g x e ≤在00[1,1]x x -+上恒成立.
由32()63(4)1f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤.
令32()261t x x x =-+，[1,1]x ∈-，所以'2()612t x x x =-，令'()0
t x
=，解得2
x =(舍去)，或0x =.
因为(1)7t -=-，(1)3t =-，(0)1t =，因此，()t x 的值域为[7,1]-. 所以，b 的取值范围是[7,1]-.
20．【答案】（1）12（2）（ⅰ）34（ⅱ）22
x y =11612
+
【解析】(Ⅰ)设椭圆的离心率为
e .由已知，可得2
1()22
b c a c +=
，又
由222b a c =-，可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=，又因为01e ＜＜，解得12
e =.
所以，椭圆的离心率为12
.
(Ⅱ)(i )依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =-＞，则直线FP 的
斜率为
1m
由(Ⅰ)知2a c =，可得直线AE 的方程为
12x y
c c
+=，即220x y c +-=，与直线FP 的方程联立，可解得(22)2
m c
x m -
=+，32c y m =+，即点Q
的坐标为(22)3(
,)22m c c
m m -++. 由已知3||2c FQ =，有222(22)33[
]+()()222m c c c
c m m -+=++，整理得2340m m -=，所以43m =，即直线FP 的斜率为3
4
.
(ii )由2a c =，可得b =，故椭圆方程可以表示为22
22143x y c c
+=.
由(i )得直线
FP 的方程为
3430
x y c -+=，与椭圆方程联立
22233430
1
43x y c x y c
c -+=???+=??，消去y ,整理得2276130x cx c +-=，解得137
c
x =-
(舍去)，或x c =. 因此可得点
3(c,
)2
c
P ,进而可得5||2
c
FP ==,所以
53||||||22
c c
PQ FP FQ c =-=-=.
由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，
故直线PM 和QN 都垂直于直线FP . 因为QN FP ⊥，所以339||||tan 248
c c
QN FQ QFN =?∠=
?=，所以FQN △的面
积为2
127||||232
c FQ QN =
，同理FPM △的面积等于2
7532
c ，由四边形
PQNM 四边形的面积为3c ，得22
752733232
c c c -=，整理得22c c =，又
由0c ＞，得2c =.
所以，椭圆的方程为22
11612
x y +=.
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