【考纲要求】
1.结合二次函数图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．
3.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
4.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
5.会作简单的函数图像并能进行图像变换。
6.结合图像理解函数、方程、不等式之间的关系。 【知识网络】
【考点梳理】
考点一：一元二次方程的根与函数图像的关系
1. 当x R ∈时，二次方程2
0ax bx c ++=（0≠a ）的根的个数可以用判别式
24b ac ?=-与0的关系进行判断；
2. 二次方程2
0ax bx c ++=（0≠a ）的根1x 、2x 与系数的关系：12b x x a
+=-
，12c x x a
=
； 3.二次方程2
0ax bx c ++=（0≠a ）的根的分布：结合2
()f x ax bx c =++（0a >）
的图像可以得到一系列有关的结论（0a <可以转化为0a >）： （1）方程()0f x =的两根中一根比r 大，另一根比r 小?()0f r <.
函数的图像
图像与性质、图像变换
幂指对函数
二分法
二次函数
（2）二次方程()0f x =的两根都大于r 240
2(
)0
Δb ac b
r
a f r ?=-≥???->??>??
（3）二次方程()0f x =在区间(,)p q 内有两根240
2()0()0
Δb ac b p q a
f q f p ?=-≥?
?<-
?>??
（4）二次方程()
0f x =在区间(,)p q 内只有一根?()()0f q f p ?<，或()0f p =而另一根在(,)p q 内，或()0f q =而另一根在(,)p q 内.
（5）方程()0f x =的一根比p 小且一根比q 大（p q <）()0
()0
f p f q
考点二：零点 1. 函数的零点
(1) 一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值为0，即()0=f a ，则a 叫做这个函数的零点．
(2) 对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具下列性质：
① 当它通过零点（不是偶次零点）时函数值符号改变； ② 相邻两个零点之间的所有的函数值保持符号不变。
(3)函数零点的性质是研究方程根的分布问题的基础，是通过对二次函数的零点的研究而推出的．是由特殊到一般的思想方法。
2.二分法
(1) 已知函数()y f x =在区间[a ，b]上连续的，且()()0? (2)二分法定义的基础，是函数零点的性质；二分法定义本身给出了求函数零点近似值的步骤．只要按步就班地做下去，就能求出给定精确度的函数零点． （3）二分法求函数零点的近似值的步骤，渗透了算法思想与程序化意识．此步骤本身就是一个解题程序。这种程序化思想在计算机上得到了广泛的应用． 考点三：图像变换 （一） 函数图像 1.作图方法： 以解析式表示的函数作图像的方法有两种，即列表描点法和图像变换法，掌握这两种方法是本节的重点．运用描点法作图像应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图像的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图像变换法作函数图像要确定以哪一种函数的图像为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点． 2.作函数图像的步骤： ①确定函数的定义域；②化简函数的解析式； ③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）、特殊点（如：零点、极值点、与轴的交点）； ④描点连线，画出函数的图像。 （二） 图像变换 图像变换包括图像的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等。 （1）平移变换（左加右减，上加下减） 把函数()f x 的图像向左平移(0)a a >个a 单位，得到函数()f x a +的图像， 把函数()f x 的图像向右平移(0)a a >个a 单位，得到函数()f x a -的图像， 把函数()f x 的图像向上平移(0)a a >个a 单位，得到函数()f x a +的图像， 把函数()f x 的图像向下平移(0)a a >个a 单位，得到函数()f x a -的图像。 （2）伸缩变换 ①把函数()y f x =图像的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的1 w 倍得()y f x ω= (0<ω<1) ②把函数()y f x =图像的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1 w 倍得()y f x ω= (ω>1) ③把函数()y f x =图像的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的w 倍得()y f x ω= (ω>1) ④把函数()y f x =图像的横坐标不变， 纵坐标缩短到原来的w 倍得()y f x ω= (0<ω<1) （3）对称变换： ①函数()y f x =和函数()y f x =-的图像关于x 轴对称 函数()y f x =和函数()y f x =-的图像关于y 轴对称 函数()y f x =和函数()y f x =--的图像关于原点对称 函数()y f x =和函数1 ()y f x -=的图像关于直线y x =对称 简单地记为：x 轴对称y 要变，y 轴对称x 要变，原点对称都要变。 ②对于函数)(x f y =(x R ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数()f x 的对称轴是 2 b a x += （4）翻折变换： ①把函数y=f(x)图像上方部分保持不变，下方的图像对称翻折到x 轴上方，得到函数 ()y f x =的图像； ②保留y 轴右边的图像，擦去左边的图像，再把右边的图像对称翻折到左边，得到函数()y f x =的图像。 【典型例题】 类型一：图像变换 例1．写出下列函数作图过程，然后画出下列函数图像的草图. （1）211 x y x -= - （2）(1)2y x x =+- （3）|lg |y x = （4）|1| 2x y += 【解析】（1）212(1)11 2111x x y x x x --+===+ --- 先作出函数x y 1 =的图像， 再把函数x y 1=的图像向右平移一个单位得到函数11 -=x y 的图像， 最后把函数11 -=x y 的图像向上平移2个单位， 得到函数1 21 y x =+-的图像。 （2） 22 2(2) (1)22(2) x x x y x x x x x ?-++ （3）首先作出函数x y lg =的图像， 再把函数x y lg =的图像x 轴上方保持不变， 把x 轴下方的图像对称地翻折到x 轴上方， 即得函数|lg |y x =的图像。 （4）首先作出函数x y 2=的图像， 然后把x y 2=的图像y 轴右边的保持不变，去掉y 轴左边的图像， 再把y 轴右边的图像对称地翻折到y 轴左边，即得函数| |2x y =的图像， 最后把函数| |2x y =的图像向左平移一个单位， 得到函数|1| 2 x y +=的图像。 【总结升华】 作函数图像的基本方法有两种： (1)描点法 ； (2)图像变换法：利用基本初等函数变换作图，其中掌握好(1)平移变换；(2) 对称变换；(3) 伸缩变换。 举一反三： 【变式】作出下列函数的图像 (1))1(2+-=x x y (2)1lg +=x y (3)1 2--= x x y 【答案】 类型二：一元二次方程的根的分布 例2．已知函数2 2 ()(1)(2)f x x a x a =+-+-的一个零点比1大，一个零点比l 小。求实数a 的取值范围． 【解析】 方法一：设方程2 2 (1)(2)0x a x a +-+-=的两根分别为1x 、2x （211x x >>） 则21(1)(1)0x x --< 即2121()10x x x x -++< 由韦达定理得：2 (2)(1)10a a -+-+< 即2 20a a +-<，解得：21a -<< 方法二：函数2 2 ()(1)(2)f x x a x a =+-+-的大致图像如图： 则(1)0f < 即2 (2)(1)10a a -+-+< 解得：21a -<< 【总结升华】1. 这类题为方程的实根分布问题，解决此类问题一定要注意结合图像，从判别式、韦达定理、对称轴、端点函数值的大小、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件。函数与方程联系密切，可把函数问题转化为方程问题解决，也可用数形结合法。 2. 函数y=ax 2 +bx+c, 当a ≠0时，才是二次函数，具体问题时，切忌忽略讨论a=0的情况。 3．三个”二”次的关系是高考考查的重中之重，把二次方程和二次不等式的问题从二次函数的观点出发运用数形结合思想分析处理是高考应考必须落实的基本思路。 举一反三： 【变式】已知方程2 (3)10mx m x +-+=至少有一正根，求实数m 的取值范围. 【答案】从二次函数的观点出发，结合函数图像与x 轴交点的位置解决问题并对m 进行分类讨论。 令2()(3)1f x mx m x =+-+， 则函数()y f x =的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧， （1）若0m =，则()31f x x =-+与x 轴交点1 (,0)3 ，符合题意。 （2）若0m ≠，∵(0)1f =，即函数()y f x =的图像一定过点(0,1)，有 ①当0m >时，()y f x =的图像开口向上，只有下图所示情形符合题意， ∴0 02b a ?≥?? ?->??即2(3)40302m m m m ?--≥??-->??,解得01m <≤. ②当0m <时，()y f x =的图像开口向下，必然有一个交点在原点右侧，符合 题意. 综上可得(,1]m ∈-∞ 类型三：零点的判定 例3. 求方程 213 33+-=x x x 的解的个数． 【解析】作出函数13=y x 和22211315 3()3324=+-=+-y x x x 的图像， 且32=-x 时，215 4 =-y ，12=-y ，有12>y y （如图） 由图像可以知道：函数13=y x 和2 2133 =+-y x x 的图像的交点的个数为3， 即方程 3 213303 x x x +--=的解的个数为3. 【总结升华】1.本题在求解的过程中，只需作出反映函数性状的“大致”图像，结合函数的单调区间便可解决本问题，只要得出极大值为正，极小值为负，便可立即得到原方程有3个根． 2.把方程问题转化为函数问题，将方程和函数紧密联系起来，利用数形结合思想解决问题比较方便。通过计算作方程所对应函数的函数值表格或作出函数的图像，用函数值的变化情况分析零点所在的区间，然后再利用单调性确定个数。 3. 对于超越方程的根，无法用代数的方法求得它的具体的解，只能把方程问题转化为函数问题确定它的解的个数.例如：2 30x x -=，lg x x =，10sin 0x x +=等。 举一反三： 【变式】方程2 30x x -=的实数解的个数为 。 【答案】作2=y x 和3=x y 的图像（如图） 当0x >时，2 3>x x ，因此方程2 30x x -=有一个实数根．
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