黄冈师范学院考试试卷
2001─2002学年度第一学期期末考试A 卷
科目:概率论
姓名:_______
一、叙述下列概念的定义(5分×4=20分):
1.概率的公理化定义
2.古典概型
3.随机变量
4.随机变量序列{ξn }(n=1,2,…)依概率收敛于随机变量ξ
二、选择题(请将每小题唯一正确的答案序号写在答卷纸上,2分×10=20分)
1.已知事件A 与B 互不相容,P(A)>0,P(B)>0,则: A. P( B A
)=1 B.P(AB)=P(A) ·
P(B) C. P(AB)=0 D. P(AB)>0 2.设A 1,A 2,…,A n 是事件,则事件的概率具有的如下性质中不正确的是: A.P(Ω)=1 B.P(Φ)=0 C.P(
n i i
A 1=)=∑=n
i i
A P 1
)( D.P(A i
)≥0 (1≤i≤n)
3.已知P(A)=0.3,P(B)=0.5,P(A|B)=0.32,则P(B A )= A. 0.42 B. 0.428 C. 0.52 D. 0.528
4.一次抛二枚骰子,出现的点数之和为偶数的概率是
A. 0.5
B. 0.4
C. 0.45
D. 0.6 5.设ξ与η的数学期望和方差都存在,则下列等式中正确的是: A. D(ξ+η)=D ξ+D η B.D(ξ·η)=D ξ·D η C. E(ξ+η)=E ξ+E η D.E(ξ·η)=E ξ·E η 6.设ξ～b(k;n,p),且E ξ=2.4,D ξ=1.44,则n 与p 分别为:
A.n=4,p=0.6
B.n=6,p=0.4
C.n=8,p=0.3
D.n=24,p=0.1
7.设随机变量ξ取两个值a 1,a 2(a 2>a 1),且P(ξ=a 1)=0.6,又E ξ=1.4,D ξ=0.24,则ξ的分布列为:
A.???? ??4.06.010
B.???? ??4.06.0b a
C.???? ??+4.06.01n n
D.???
? ??4.06.021
8.设p(x)=cosx 是随机变量ξ的密度函数,则x∈
A.[0,
2π] B.[2
π,π] C.[0,π] D.[23π,47π]
9.已知(ξ,η)的联合密度为p(x,y)=?
?
?≤≤≤≤-其它,00,10,)1(24x
y x y x ,则)|(|y x p ηξ=
A.???≤≤≤≤其它,00,10,2x y x y
B.?
??≤≤≤≤-其它,00,10),1(2x
y x y
C.??
?≤≤≤≤其它,00,10,2x y x x D.???≤≤≤≤-其它,
00,10),1(2x
y x x
10.设ξ～U[0,1],则ξ的特征函数为:
A.it e it 1--
B.it e it
C.it e it -
D.it
e it 1
-
三、判断题(对的打“√”,错的打“×”,并请将答案写在答卷纸上,2分×5=10
分).
1.若随机变量ξ～e(λ),则有ξλξD E =.
2.若随机变量ξ与η的协方差为cov ()ηξ,,且ξ与η相互独立,则cov ()ηξ,=0.
3.二维连续型随机变量??
?
?
??=21ξξξ的协方差矩阵B 是正定矩阵. 4.设有一列随机变量,,,,21 ηηη若()∞→?→?n L
n ηη,则)(∞→?→?n P
n ηη.
5.设ξ与η独立,都服从(0,1)上的均匀分布,则???<<=其它,010,1)|(|x y x p ηξ.
四、填空题(请将答案写在答卷纸上,2分×5=10分)
1.设随机变量()ηξ,的联合密度为p(x,y),ξ与η独立,则p(x,y)=________________.
2.设随机变量ξ的密度为p(x)=?
??<<其它,02
0,5.0x x ,则ξ的一阶原点矩为__________,一阶
中心矩为__________.
3.设D(X),D(Y)都不为０,若有常数a≠o 与b,使Ｐ{Y=aX+b}=1,这时X 与Y 的相关系数
XY ρ=.
4.设()ηξ,～N(1,1,2,2,0),则E ξ=_______,D η=________,cov ()ηξ,=________.
5.设()ηξ,～N(1,1,1,1,1),则E(ξ|η=2)=__________.
五、计算题(10分×4=40分)
1.N 个人同乘一辆长途汽车,沿途有n 个车站,每到一个车站时,如果没有人下车,则不停车.设每个人在任一站下车是等可能的,求停车次数的平均数.
2.从5双不同尺码的鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少?
3.一个螺丝钉的重量是个随机变量,其期望值是1克,标准差是0.1克.求一盒(100个)螺丝钉重量大于102克的概率.(已知Φ(2)=0.97725)
4.设ξ与η相互独立,分别是自由度为n 及m 的2χ-分布的随机变量,试求m
n η
ξ
ζ=
的密度函数.
·绝密·
卷号：
黄冈师范学院考试
试题参考答案及评分标准
专业名称：数学及应用数学 试卷类型： A 卷
课程名称： 概 率 论 命题日期：2001-12-23
一、叙述下列概念的定义(每小题5分，共20分)
1.概率是定义在σ-代数?上的一个非负的、规范的、可列可加的集函数.
2.具有下述两个特征的随机试验所对应的数学模型称为古典概型.
(1)样本空间的元素(即基本事件)只有有限个，不妨设为n 个，记为1ω、2ω、…、n ω； (2)每个基本事件出现的可能性是相等的，即有)()()(21n P P P ωωω=== . 3.定义在样本空间Ω上，取值于实数域R 的变量)(ωξξ=，称作随机变量.
4.如果0>?ε，有1)|(|lim =<-∞
→εξξn n P ，则称随机变量序列}{n ξ依概率收敛于ξ.记作
ξξP n n ∞
→lim 或)(∞→?→?n P
n ξξ. 二、选择题(每小题2分，共20分)
1.C
2.C
3.B
4.A
5.C
6.B
7.D
8.A
9.D 10.D
三、填空题(每小题2分，共10分)
1.)()(y P x P ηξ?
2.
3
4
, 0 3.1± 4. 1 , 2 , 0 5. 2 四、判断题(每小题2分，共10分)
1.√
2.√
3.×
4.×
5.√
五、计算题(每小题10分，共40分)
1.解：设停车次数为ξ.
令i ξ表示在第i 站停车的次数，则?
?
?=.,1;,0站有人下车在第站无人下车
在第i i i ξ(i =1，2，…，n ).
因为N
i n
P )11()0(-==ξ，所以N
i i n
P P )1
1(1)0(1)1(--==-==ξξ. 又∑==
n i i 1
ξξ，所以])11(1[])11(1[)(1
1
1
N n
i N n i i n i i n
n n E E E --=--===∑∑∑===ξξξ.
答：停车次数的平均数为])11(1[N
n
n -
-. 2.解：设事件A 为“4只鞋子中至少有2只配成一双”.显然，样本点总数为10只鞋子中任
取4只的组合数，即4
10C n ==210.
事件A 所包含的样本点数为25
12122415C C C C C k +==130. 所以21
13
210130)(===
n k A P . 3.解：设第i 个螺丝钉的重量为i ξ(i =1，2，…，n )，则 由已知i E ξ=1，i i D ξσξ=
=0.1，(i =1，2，…，n )，n =100.
所以)102(
100
1
>∑=i i P ξ=1-)102(100
1
≤∑=i i P ξ=1-)102(100
1
n
E n n E n P i i
i i
i i
??-≤
??-∑=σξξσξξξ
=1-)2100
1.0100
(100
1
≤?-∑=i i
P ξ
≈1-)2(Φ=1-0.97725=0.02275
4.解：自由度为n 的2χ-分布的密度函数为
???
????≤>Γ=--.0,0;0,)
2(21)(2
122x x e x n
x p x n n 由此容易求得
n
ξ
的密度函数为
??
?
?
???≤>Γ=--.0,0;0,)()
2(2)(212
2x x e nx n n x p nx
n n n ξ 同理可求得
m
η
的密度函数为
??
?
?
???≤>Γ=--.0,0;0,)()
2(2)(2122x x e mx m m
x p mx
m m m η 于是由卷积公式得
?+∞∞
-=dx x yx p x y p ),(||)(ζ=?∞
-
--
-ΓΓ02
12
2
2
12
2
)
()
2(2)
()
2
(2dx e
mx m m e
nxy n n x
mx m m nxy n n
=
?
∞+--+-+ΓΓ?0
2
)
(1212
2
2
2
)2
()2(2
dx e
x
y
m n m n m ny x n m n
n m m n
令t m ny x =+)(，则有
)(y p ζ=
?
∞-
-+-+++ΓΓ?0
2
12
12
2
2
2)()()2
()2(2
dt m ny e m
ny t y
m n m
n t n
m n
n
m m n
=?∞--+++-+Γ?+ΓΓ+Γ0
212221222)
2(21)()2()2()2(
dt e t n m m ny y m n m n n m t n m n m n m n
m n
=2
122
2)()2()2()2(
n
m n
m n m ny y m n m n n m +-+ΓΓ+Γ. 即为所要求的. 其中
?
∞
--+++Γ0
2
122
)
2
(2
1dt e t
n m t
n m n
m 恰好是自由度为
2
n
m +的2χ-分布的密度函数的积分，所以等于1.