第二章 解析函数
（一）
1.证明:0>?δ,使{}0001/),(t t t t δδ+-∈?,有)()(01t z t z ≠,即C 在)(0t z 的对应去心邻域内无重点,即能够联结割线)()(10t z t z ,是否就存在数列{}01t t n →,使
)()(01t z t z n =,于是有
0)
()(lim )(0
10100
1=--='→t t t z t z t z n n t t n
此与假设矛盾.
01001),(t t t t t >?+∈δ 因为 [])()(arg )
()(arg
010
101t z t z t t t z t z -=--
所以 []])
()(lim arg[)()(arg
lim )()(arg lim 0
101010101010
10
1t t t z t z t t t z t z t z t z t t t t t t --=--=-→→→
因此,割线确实有其极限位置,即曲线C 在点)(0t z 的切线存在,其倾角为
)(arg 0t z '.
2.证明:因)(),(z g z f 在0z 点解析,则)(),(00z g z f ''均存在.
所以 )()()()()
()(lim )()()()(lim )()
(lim 0
00
00000000z g z f z z z g z g z z z f z f z g z g z f z f z g z f z z z z z z ''=
----=--=→→→ 3.证明:()()()
()()3322
,0,0,,0,00x y x y u x y x y x y ≠?-?
=+??=?
()()()
()()
3322
,0,0,,0,00x y x y v x y x y x y ≠?+?
=+??=?
于是()()()00,00,00,0lim
lim 1x x x u x u x
u x
x →→-===,从而在原点()f z 满足C R -条件,
但在原点，()()()()()'0,00,0x x u iv u iv f f z z z
+-+-=
()()()
()()()33
3311i x y i z
x y z ??+--+??=
??+??
当z 沿0y x =→时,有()()
()
'2
12f f z i z x --+= 故()f z 在原点不可微.
4.证明:(1)当0≠z 时,即y x ,至少有一个不等于0时,或有y x u u ≠,,或有y x u u ≠-,故z 至多在原点可微.
(2)在C 上处处不满足C R -条件. (3)在C 上处处不满足C R -条件. (4)
221y
x yi
x z z z z ++==,除原点外, 在C 上处处不满足C R -条件. 5.解:(1) y x y x v xy y x u 22),(,),(==,此时仅当0==y x 时有 xy v xy u x v y u x y y x 22,22-=-===== 且这四个偏导数在原点连续,故)(z f 只在原点可微. (2) 22),(,),(y y x v x y x u ==,此时仅当y x =这条直线上时有 00,22=-=====x y y x v u y v x u
且在y x =这四个偏导数连续,故)(z f 只在y x =可微但不解析. (3) 333),(,2),(y y x v x y x u ==,且
00,9622=-=====x y y x v u y v x u 故只在曲线
02
12
3
12
=-
x y 上可微但不解析.
(4) 32233),(,3),(y y x y x v xy x y x u -=-=在全平面上有
xy v xy u y x v y x u x y y x 66,33332222-=-=-=-==-= 且在全平面上这四个偏导数连续,故可微且解析. 6.证明:(1)y y x x iu v iv u z f D yi x z -=+='=∈+=?)(0,
(2)设().f z u iv =+则()f z u iv =-，由()f z 与()f z 均在D 内解析知
,,x y y x u v u v ==-,,x y y x u v u v =-=
结合此两式得0x y x y u u v v ====，故,u v 均为常数,故)(z f 亦为常数. (3)若0)(=≡C z f ,则显然0)(≡z f ,若0)(≠≡C z f ,则此时有0)(≠z f ,且
2
)()(C z f z f ≡,即)
()(2
z f C z f ≡也时解析函数,由(2)知)(z f 为常数.
(4)设().f z u iv =+,若C y x u ≡),(,则0,0≡≡y x u u ,由C R -条件得 0,0≡=≡-=x y y x u v u v 因此v u ,为常数, 则)(z f 亦为常数.
7.证明：设,f u iv g i f p iQ =+==+则,,f u iv g v iu =-=-由 ()f z 在D 内解析
知,x y y x u v u v ==-
从而 ,x x y v y y x p v u Q p v u Qx ==-====- 因而()g z 亦D 内解析.
8.解:(1)由32233),(,3),(y y x y x v xy x y x u -=-=,则有 222233,6,6,33y x v xy v xy u y x u y x y x -==-=-=
故y x y x v v u u ,,,为连续的,且满足C R -条件,所以()z f 在z 平面上解析,且 22236)33()(z xyi y x i v u z f x x =+-=+='
(2) ()()()(),cos sin ,cos sin x x u x y e x y y y v x y e y y x y =-?=- ()cos sin cos x x y u e x y y y y v =-+= ()sin sin cos x y x u e x y y y y v =--+=-
故()f z 在z 平面上解析，且
()()()'cos 1sin sin 1cos x x
f z e y x y y ie y x y y =?+-+?+-????????
(3)由xshy y x v xchy y x u cos ),(,sin ),(==,则有
xchy v xshy v xshy u xchy u y x y x cos ,sin ,sin ,cos =-===
故y x y x v v u u ,,,为连续的,且满足C R -条件,所以()z f 在z 平面上解析,且 z xshyi xchy i v u z f x x cos sin cos )(=-=+=' (4)由xshy y x v xchy y x u sin ),(,cos ),(-==,则有
xchy v xshy v xshy u xchy u y x y x sin ,cos ,cos ,sin -=-==-= 故y x y x v v u u ,,,为连续的,且满足C R -条件,所以()z f 在z 平面上解析,且 z xshyi xchy i v u z f x x sin cos sin )(-=--=+=' 9.证明:设,i z x yi re θ=+=则cos ,sin ,x r y r θθ== 从而cos sin ,sin cos r x y x y u u u u u r u r θθθθθ=+=-+
cos sin ,sin cos ,r x y x y v u v v v r v r θθθθθ=+=-+
再由11
,r r u v v u r r
θθ==-，可得,x y y x u v u v ==-，因此可得()f z 在点z 可微且
()()()'11
cos sin sin cos x y r r f z u iu r u u i r u u r r θθθθθθ=-=--+
()()1
cos sin sin cos r i u i u r θθθθθ=--+
()()cos sin sin cos r r i u i v θθθθ=-++ ()()cos sin r r i u iv θθ=-+ ()()1cos sin r r r r r
u iv u iv i z
θθ=
+=++
10.解:(1)x y i x z i e e e 2)21(22--+--== (2)2
2
22
2
2y z
xyi
y z
z e e e -+-==
(3) 2
2
2
2
2
2
11
x yi x
y i
x iy
x y
x y
x y z
e e
e
e
e
--
++++===?
所以2222
1Re cos x y
x y x y z
e e ++??= ???
11.证明:(1)因为)sin (cos y i y e e e e e x yi x yi z z +=?==+ 因此 )sin (cos y i y e e x z -=
而)sin (cos y i y e e e e e x yi x yi z z -=?==--,得证.
(2)因为 i
e e z iz
iz 2sin --=
所以 z i
e e i e e z iz
iz z i z i sin 22sin =+=-=
--- (3)因为2
cos iz
iz e e z -+=
所以z e e e e z iz
iz z i z i cos 2
2cos =+=+=
-- 12.证明:分别就m 为正整数,零,负整数的情形证明,仅以正整数为例 当1=m 时,等式自然成立. 假设当1-=k m 时,等式成立.
那么当k m =时,kz z k z k z e e e e =?=-1)()(,等式任成立. 故结论正确.
13.解:(1) )1sin 1(cos 333i e e e e i i +=?=+
(2) ()()()
11cos 12i i i i e e i ---+-=
()
112
i i i e e -+++=
cos11sin1122e i e e e ????
=
++- ? ?????
14.证明:(1)由于z z g z z f ==)(,sin )(在点0=z 解析
且01)0(,0)0()0(≠='==g g f 因此 11
cos sin lim
0==
=→z z z
z z
(2)由于0)(,1)(=-=z g e z f z 在点0=z 解析,且01)0(,0)0()0(≠='==g g f
因此 11
lim
0==-=→z z z z e z
e
(3)由于z z z g z z z z f sin )(,cos )(-=-=在点0=z 解析, 且1)0(,0)0()0(,0)0()0(,0)0()0(='''=''=''='='==g g f g f g f 因此 3cos 1sin cos 1lim sin cos lim
00
=-+-=--→→z
z
z z z z z z z z z 15.证明：2
cos iz
iz e e z -+=
)cos()cos(cos nb a b a a +++-+
=2
22)
()()()(nb a i nb a i b a i b a i ia ia e e e e e e +-++-+-++++++ =??
????--?+--?+-+ib b
n i ia ib b n i ia e e e e e e 111121)1()1(
=
)2cos(2
sin 21
sin
nb a b b
n ++=右边
同理证明(2).
16.证明:(1) z i e e i i e e i e e iz z
z z z iz i iz i sinh 222)sin()()(=-?=-=-=
--- (2) z e e e e iz z z iz i iz i cosh 22)cos()()(=+=+=
-- (3) z i i
e e i e e iz iz
iz iz iz sin 22)sinh(=-?=-=
-- (4) z z iz i iz cos )cos()cos()cosh(=-=?=
(5) z i z
z
i iz iz iz tanh cosh sinh )cos()sin()tan(===
(6) z i z
z
i iz iz iz tan cos sin )cosh()sinh()tanh(===
17.证明:(1) 1)(sin )(cos )(222222=+=+=-iz iz ishz z ch z sh z ch
(2) 111sec 222222
2
=+=
+=+z
ch z
sh z ch z sh z ch z th z h (3) )sin()sin()cos()cos()cos()(21212121iz iz iz iz iz iz z z ch -=+=+ 2121shz shz chz chz +=
18.证明:(1) xshy i xchy iy x yi x yi x z cos sin )sin(cos )cos(sin )sin(sin +=+=+= (2) xshy i xchy iy x yi x yi x z sin cos )sin(sin )cos(cos )cos(cos +=-=+= (3) y x y xsh y xch xshy i xchy z 2222222
2
sinh sin cos sin cos sin sin +=+=+= (4) y x y xsh y xch xshy i xchy z 2222222
2
sinh cos sin cos sin cos cos +=+=-=
19.证明: chz e e e e shz z
z z z =+='-='--2)2()( shz e e e e chz z
z z z =-='+='--2
)2()( 20.解:(1) )31arg(31ln )31ln(i i i i z +++=+= )23
(2ln ππ
k i ++= ),1,0( ±=k
(2)由于2
ln i
z π=
,则有i i e z i
=+==2
sin
2
cos
2π
π
π
(3)由于)2(1ππk e e i z +=-=,故)2(ππk i z += (4)z z sin cos -=,即1tan -=z ,所以 ππk i i i z +-=+-=
4
11ln 21 (5) 设,z x iy =+由12tgz i =+得
()()sin 122cos iz iz iz iz z
i e e i e e z
--=+→-=-+
2255iz i e →=-+22cos 25y e x -→=-，1
sin 25
x =
41ln 5,54y e y -→==
且1112,222tg x x arctg π????
=-=-+ ???????
11ln 5224z arctg i π????→=
-++ ???????
21.证明:因)1arg(1ln )1ln()1ln(-+-=-=-θθθi i i re i re re z ,所以
)cos 21ln(2
1
)sin ()1(ln 1ln )]1Re[ln(222θθθθr r r re re z i i -+=+-=-=- 22.解: 3
2)(3)()(π
θk z i
k e
z r z w +=,)2,1,0;2)(0;(=<<∈k z G z πθ
利用i i w -=)(定2,=k k ,再计算)(2i w -
23.解: 2,22π
π
i
i e i e ==-,由3
2)2(-=-w 定1,=k k ,再计算i e
i w π4
51)(=
24.解: )
24
(2ln )]
2)1(arg(1[ln )
1ln()1(ππ
πk i k i i i i i i i
e
e
e
i +-+++++===+
)24
(2
ln
ππ
k i e
e +-?= ),2,1,0( ±±=k
ππk i k i i i i e e e e 23ln )]23(arg 3[ln 3ln 3-++?=== ),2,1,0( ±±=k
25.解:z 在z 平面上沿0=z 为圆心,1>R 为半径的圆周C 从A 走到B ,经过变换
4z w =,其象点w 在w 平面上沿以0=w 为心,14>R 为半径的象圆周从A '走
到B ',刚好绕1+=w w 的支点-1转一整周,故它在B '的值为B w '+1.因此
1)
()(4+-=-=R z f z f A
B
.
26.证明：
()f z =可能的支点为0，1，∞
由于 3|12+，故()f z 的支点为0,1z =，因此在将z 平面沿实轴从0到期割开后，就可保证变点z 不会单绕0或者说转一周，于是在这样割开后的z 平面上()f z 就可以分出三个单值解析分支. 另由已知 ()arg f z π=得
()()arg c i f z
i f i e π?=
()2arg 1arg 3c c i z z e
?
?
?-+??
?=
32342i ππ??
+?????
=
712
i e
π=.
(二)
1.证明:由()2
1z f z z =-得()()
2'
2211z f z z +=-，从而于是()f z 在D 必常数
()()()(
)()()
2
2
'
2222111111z z
f z z z f z z z z
+-+?==---()4
242121Re m z I z i z z -+=+- 所以 ()()4
'421Re 12Re z f z z f z z z ??-?= ? ?+-??
由于1z <，因此4
10,z ->且
(
)
2
4
42
22
12Re 1210z z z z z
+-≥+-=->
故()()'Re 0f z z f z ??
?> ? ???
.
2.证明:同第一题
2
2
1Im 2111)()(1z
z
i z z z z f z f z -+-=-+='''+. 3.证明:题目等价域以下命题:设1,E E 为关于实轴对称的区域,则函数在E 内解析
)(z f ?在1E 内解析.
设)(z f 在E 内解析,对任意的10E z ∈,当1E z ∈时,有E z E z ∈∈,0,所以
)()
()(lim )()(lim
00
00000
z f z z z f z f z z z f z f z z z z '=--=--→→ 这是因为)(z f 在E 内解析,从而有)()()(lim 00
00
z f z z z f z f z z '=--→,由0z 的任意性可
知, )(z f 在1E 内解析. 4.证明:(1)由于)(21
),(21z z i
y z z x -=+=,根据复合函数求偏导数的法则,即可得证. (2)
)(21)(21x v
y u i y v x u z v i z u z f ??+??+??-??=??+??=??
所以
x v y u y v x u ??-=????=??,,得 0=??z
f
5.证明: x y sh y sh x y xch yi x z 222222sin )sin 1(sin )sin(sin +=-+=+= 所以 z x y sh shy sin sin 22=+≤ 而 z y shy Im =≥ ,故左边成立.
右边证明可应用z sin 的定义及三角不等式来证明. 6.证明:有 R ch y ch y sh y sh x z 222222
1sin sin ≤=+≤+= 即 chR t ≤sin
又有 R ch y ch y sh y x z 222222
1sinh cos cos ≤=+≤+= 7.证明:据定义,任两相异点21,z z 为单位圆1 2 122 212 12121) 32()32()()(z z z z z z z z z f z f -++-++=-- 0112222121=-->--≥++=z z z z 故函数)(z f 在1 8.证明:因为)(z f 有支点-1,1,取其割线[-1,1],有 (1) 1018 2)(,8 )(arg ie c e i f z f π π -=- =? (2) i c c e i f z f i z f 8 52)(,8 5)(arg ,811)(arg 32ππ π=--=?-=? 9.解: 因为)(z f 有支点∞±,,1i ,此时支割线可取为:沿虚轴割开],[i i -,沿实轴割开 ],1[+∞,线路未穿过支割线,记线路为C , )]arg())(arg()1arg([21 )(arg i z i z z z f c c c c ??+--?+-?=? 2]0[21π π-=-= 故 i z f 5)(-=. 10.证明：因为() f z =的可能支点为0,1,z =∞,由题知()f z 的支点为 0,1,z =于是在割去线段0Re 1≤≤的平面上变点就不可能性单绕0或1转一 周，故此时可出两二个单值解析分支,由于当z 从支割线上岸一点出发，连续变动到1z =-时，只z 的幅角共增加 2 π ，由已知所取分支在支割线上岸取正值，于是可认为该分支在上岸之幅角为0，因而此分支在1z =-的幅角 为2 π ，故( )21i f e π-==,i f 162)1(-=-''.
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