二次函数
1. 了解二次函数的有关概念．
2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。
3. 确定实际问题中二次函数的关系式。 一、知识链接：
1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。
2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数 二、自主学习：
《
1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。
分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = .
支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．
3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。
4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处
。
5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________．
、
三、合作交流：
（1）二次项系数a 为什么不等于0
答： 。 （2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗
答： . 四、跟踪练习
1．观察：①2
6y x =；②2
35y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④3
2y x x =-；⑤
213y x x
=-+；⑥()2
21y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。（只填序
号）
？
2.2
(1)31m
m
y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________．
5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿
化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
二次函数2
y ax =的图象
【学习目标】
1．知道二次函数的图象是一条抛物线； 2．会画二次函数y ＝ax 2的图象；
·
3．掌握二次函数y ＝ax 2的性质，并会灵活应用．（重点）
一、知识链接：
1.画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。
2.一次函数图象的形状是 ；. 二、自主学习
（一）画二次函数y ＝x 2的图象． x "
…
－3 －2 －1 0 1 2
3 $
…
y ＝x 2
…
，
…
在图（3）中描点，并连线 】
)
1.思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗为什么连线中我们应该注意什么 答：
2.归纳：
…
① 由图象可知二次函数2
x y =的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经
x y
-1-2-3-41234-1-2
1
2345678910O （1） x y
-1-2-3-41234-1-2
1
2345678910O （2）
x
y
-1-2-3-41234-1
-2
1
2345678O （3）
过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线； ②抛物线2
x y =是轴对称图形，对称轴是 ； ③2
x y =的图象开口_______；
④ 与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线2
x y =的顶点坐标是 ；
它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y 有最 值等于0.
⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈
趋势；即x <0时，y 随x 的增大而 ，x >0时，y 随x 的增大而 。 （二）例1在图（4）中，画出函数2
2
1x y =
，2x y =，22x y =的图象．
$
归纳：抛物线2
2
1x y =
，2x y =，22x y =的图象的形状都是 ；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数a _______0；开口
都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．
.
归纳：抛物线2
2
1x y -
=，2x y -=，22x y -=的的图象的形状都是 ；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数a _______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”
或“低”） ． 例2 请在图（4）中画出函数22
1x y -=，2x y -=，2
2x y -=
的图象． 列表：
(
,
三、合作交流：
归纳：
抛物线2
ax y =的性质 0的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 0时y 随x 的增大而 。
3．在前面图（4）中，关于x 轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些
答： 。由此可知和抛物线
2ax y =关于x 轴对称的抛物线是 。
4．当
a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________；当a ＜0时，a 越大，抛物线的
开口越_________；因此，a 越大，抛物线的开口越________。 四、课堂训练 1．函数2
7
3x y =
的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x ＝___________时，有最_________值是_________．
。
2. 函数2
6x y -=的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x ＝___________时，有最_________值是_________．
3. 二次函数()2
3x m y -=的图象开口向下，则m___________．
4. 二次函数y ＝mx
2
2-m 有最高点，则m ＝___________．
5. 二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示，则k 的取值范围为___________． 6．若二次函数2
ax y =的图象过点（1，－2），则a 的值是___________．
7．如图，抛物线①2
5x y -=②2
2x y -= ③2
5x y =④2
7x y = 开口从小到大排列是
___________________________________；（只填序号）其中关于x 轴对称的两条抛物线是 和 。
8．点A （2
1，b ）是抛物线2
x y =上的一点，则b= ；过点A
作x 轴的平行线交抛物线另一点B 的 坐标是 。
9．如图，A 、B 分别为2
ax y =上两点，且线段AB ⊥y 轴于点（0,6），若AB=6，则该抛物线的表达式为 。
【
10. 当m= 时，抛物线m
m
x m y --=2
)1(开口向下．
11.二次函数2
ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．
（1）求a 、b 的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小．
26.1.3
二次函数()k h x a y +-=2
的图象（一）
一、知识链接：直线12+=x y 可以看做是由直线x y 2= 得到的。
—
练：若一个一次函数的图象是由x y 2-=平移得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。
关系吗
猜想： 。 二、自主学习
（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数2x y =，12+=x y ，12
-=x y 的图象．
(
【
2．可以发现，把抛物线2
x y =向______平移______个单位，
就得到抛物线12
+=x y ；把抛物线2
x y =向_______平移______个单位，就得到抛物线
1
2-=x y .
3．抛物线2x y =，12+=x y ，12
-=x y 的形状_____________．开口大小相同。 三、知识梳理：（一）抛物线k ax y +=2
特点：
1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；
2. 顶点坐标是
； 3. 对称轴是 。
（二）抛物线k ax y +=2与2y ax =形状相同，位置不同，k ax y +=2是由2
y ax = ：
平移得到的。（填上下或左右）二次函数图象的平移规律：上 下 。
（三）a 的正负决定开口的 ；a 决定开口的 ，即a 不变，则抛物线的形
状 。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值 。 三、跟踪练习：
1.抛物线2
2x y =向上平移3个单位，就得到抛物线__________________； 抛物线2
2x y =向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．
2．抛物线232
+-=x y 向上平移3个单位后的解析式为 ，它们的形状__________，当x = 时，y 有最 值是 。
3．由抛物线352
-=x y 平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是 ，是把原抛物线向 平移 个单位得到的。
4. 写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线2
x y -=的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．
…
5. 抛物线142+=x y 关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________．
6.二次函数k ax y +=2
()0≠a 的经过点A （1，-1）、B （2，5）. ⑴求该函数的表达式；
⑵若点C(-2，m ),D （n ，7）也在函数的上，求m 、n 的值。
26.1.3
二次函数()k h x a y +-=2
的图象（二）
二、自主学习
画出二次函数2)1(+=x y ，2
)1(-=x y 的图象；先列表：
归纳：（1）2
)1(+=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。
图象有最 点，即x = 时，y 有最 值是 ；
在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时y 随x 的增大而 。
2
)1(+=x y 可以看作由2
x y =向 平移 个单位形成的。
^
（2）2
)1(-=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ， 图
象有最 点，即x = 时，y 有最 值是 ；
在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时y 随x 的增大而 。
2)1(+=x y 可以看作由2x y =向 平移 个单位形成的。
三、知识梳理
（一）抛物线2
)(h x a y -=特点：
1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；
2. 顶点坐标是 ；
3. 对称轴是直线 。
（二）抛物线2)(h x a y -=与2y ax =形状相同，位置不同，2)(h x a y -=是由2
y ax = 平移得到的。（填上下或左右）
~
结合学案和课本第8页可知二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。
（三）a 的正负决定开口的 ；a 决定开口的 ，即a 不变，则抛物线的形状 。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值 。 四、课堂训练
1．抛物线()2
23y x =+的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大。
2. 抛物线2
2(1)y x =--的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大。 3. 抛物线2
21y x =-的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______； 4.抛物线2
5y x =向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________． 5. 抛物线2
4y x =-向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．
…
6．将抛物线()2
123
y x =-
-向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为__________． 7．抛物线()2
42y x =-与y 轴的交点坐标是_______，与x 轴的交点坐标为________． 8. 写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线2
2y x =-都相同的二次函数解析式
_______________．
二次函数()k h x a y +-=2
的图象（三）
九年级下册 编号05
【学习目标】1．会画二次函数的顶点式()k h x a y +-=2
的图象；
2．掌握二次函数()k h x a y +-=2
的性质；
【学习过程】 )
一、知识链接：
1.将二次函数2
-5y x =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。 2.将抛物线2
y x =-的图象向左平移3个单位后的抛物线的解析式为 。 二、自主学习
在右图中做出()2
12y x =--的图象：
观察：1. 抛物线()2
12y x =--开口向 ； 顶点坐标是 ；对称轴是直线 。
2. 抛物线()2
12y x =--和2
y x =的形状 ，位
置 。（填“相同”或“不同”）
`
3. 抛物线()2
12y x =--是由2
y x =如何平移得到的
答：
。 三、合作交流
平移前后的两条抛物线a 值变化吗为什么
答： 。 四、知识梳理
结合上图和课本第9页例3归纳： （一）抛物线2
()+y a x h k =-的特点：
%
1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；
2. 顶点坐标是 ；
3. 对称轴是直线 。
（二）抛物线2()+y a x h k =-与2y ax =形状 ，位置不同，2
()+y a x h k =-是由
2y ax =平移得到的。
抛物线a 值 。 五、跟踪训练 1.二次函数2)1(212+-=
x y 的图象可由22
1
x y =的图象（ ） A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
…
B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
2.抛物线()2
1653
y x =--+开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，
当x ＝ 时，y 有最 值为 。 3.填表：
'
4.函数()2
231y x =--的图象可由函数2
2y x =的图象沿x 轴向 平移 个单位，
再沿y 轴向 平移 个单位得到。
5.若把函数()2
523y x =-+的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 。
6. 顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线2
12
y x =相同的解析式为（ ） A ．()2
1232
y x =
-+ B ．()2
1232
y x =
+- :
C ．()2
1232
y x =
++
D ．()2
1232
y x =-
++ 7.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线
22y x =相同，对称轴和抛物线()2
2y x =-相同，
且顶点纵坐标为0，求此抛物线的解析式.
二次函数()k h x a y +-=2
的图象（四）
一、知识链接：
1.抛物线2
2(+1)3y x =--开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x ＝ 时，y 有最 值为 。当x 时，y 随x 的增大而增大. 2. 抛物线22(+1)3y x =--是由2
2y x =-如何平移得到的答： 。 二、自主学习
（
1.抛物线的顶点坐标为（2，-3），且经过点（3,2）求该函数的解析式 分析：如何设函数解析式写出完整的解题过程。
:
二、跟踪练习：
如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. AO= 3米，现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系.求出这条抛物线的函数解析式；
。
三、能力拓展 1.知识准备
如图抛物线()2
14y x =--与x 轴交于A,B 两点，交y 轴于点D ，抛物线的顶点为点C （1） 求△ABD 的面积。 （2） 求△ABC 的面积。
（3） 点P 是抛物线上一动点，当△ABP 的面积为4时，求所有符合条件的点P 的坐标。 （4） $
（5）
点P 是抛物线上一动点，当△ABP 的面积为8时，求所有符合条件的点P 的坐标。
（6） 点P 是抛物线上一动点，当△ABP 的面积为10时，求所有符合条件的点P 的坐标。
|
二次函数2
y ax bx c =++的图象
【学习过程】 一、知识链接：
1.抛物线()2
231y x =+-的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当x = 时y 有最 值是 ；当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小。
2. 二次函数解析式2
()+y a x h k =-中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。
~
二、自主学习：
（一）、问题：（1）你能直接说出函数222
++=x x y 的图像的对称轴和顶点坐标吗 （2）你有办法解决问题（1）吗
解：
】
222++=x x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 .
（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的图像性质.
（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：
①222+-=x x y ②522
12++=x x y ③
c bx ax y ++=2
{
（5）归纳：二次函数的一般形式c bx ax y ++=2
可以用配方法转化成顶点式： ，因此抛物线c bx ax y ++=2
的顶点坐标是 ；对称轴是 ，
（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。
用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
①4322+-=x x y ②222++-=x x y ③x x y 42
--=
（二）、用描点法画出122
12
-+=
x x y 的图像. <
（1）顶点坐标为 ；
（2）列表：顶点坐标填在 ；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．）
·
（3）描点，并连线：
（4）观察：①图象有最 点，即x = 时，y 有最 值是 ；
②x 时，y 随x 的增大而增大；x 时y 随x 的增大而减小。
]
③该抛物线与y 轴交于点 。
④该抛物线与x 轴有 个交点. 三、合作交流 求出122
12
-+=
x x y 顶点的横坐标2-=x 后，可以用哪些方法计算顶点的
纵坐标计算并比较。
用待定系数法求二次函数的解析式
一、知识链接：
)
已知抛物线的顶点坐标为（-1，2），且经过点（0,4）求该函数的解析式. 解：
二、自主学习
1.一次函数b kx y +=经过点A(-1,2)和点B(2,5),求该一次函数的解析式。
分析：要求出函数解析式，需求出b k ,的值，因为有两个待定系数，所以需要知道两个点的坐标，列出关于b k ,的二元一次方程组即可。 解：
！
2. 已知一个二次函数的图象过（1，5）、（1,1--）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。
分析：如何设函数解析式顶点式还是一般式答： ；所设解析式中有 个待定系数，它们分别是 ，所以一般需要 个点的坐标；请你写出完整的解题过程。 解：
》
三、知识梳理
用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：设顶点式()k h x a y +-=2
和一般
式2
y ax bx c =++。
1．已知抛物线过三点，通常设函数解析式为 ；
2．已知抛物线顶点坐标及其余一点，通常设函数解析式为 。 四、跟踪练习：
5.如图，直线33+=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，过A,B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0），
"
（1）求该抛物线的解析式；
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.
…
用函数观点看一元二次方程（一）
一、知识链接：
…
1.直线42-=x y 与y 轴交于点 ，与x 轴交于点 。
2.一元二次方程02
=++c bx ax ，当Δ 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ 时，方程有两个相等的实数根；当Δ 时，方程没有实数根；
3.对比第1题各方程的解，你发现什么
三、知识梳理：
⑴一元二次方程02
=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数c bx ax y ++=2
与x 轴
交点的 .（即把0=y 代入c bx ax y ++=2
）
⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为21x x 、）
x
y
( , )
( , )
O
x
y
( , )
O
x
y
O
二次函数c
bx
ax
y+
+
=2与一元二次方程0
2=
+
+c
bx
ax
与x轴有个交点?
ac
b4
2-0，方程有的
实数根
与x轴有个交点；这个交点
是点
?
ac
b4
2-0，方程有
实数根
与x轴有个交点?ac
b4
2-0，方程实数根.
⑶二次函数c
bx
ax
y+
+
=2与y轴交点坐标是.
四、跟踪练习
2．抛物线3
4
2+
-
=x
x
y与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是；
3.二次函数6
4
2+
-
=x
x
y，当x＝________时，y＝3．
4.如图，一元二次方程0
2=
+
+c
bx
ax的解为。
5.如图，一元二次方程3
2=
+
+c
bx
ax的解为。
6. 已知抛物线9
2
2+
-
=kx
x
y的顶点在x轴上，则k＝____________．
7．已知抛物线1
2
2-
+
=x
kx
y与x轴有两个交点，则k的取值范围是_________．
用函数观点看一元二次方程（二）
一、知识链接：
根据c
bx
ax
y+
+
=2的图象和性质填表：（0
2=
+
+c
bx
ax的实数根记为
2
1
x
x、）
（1）抛物线c
bx
ax
y+
+
=2与x轴有两个交点?ac
b4
2-0；
（2）抛物线c
bx
ax
y+
+
=2与x轴有一个交点?ac
b4
2-0；
（5）
（3）抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴没有交点?ac b 42
- 0.
三、知识梳理：
⑴a 的符号由 决定：
①开口向 ? a 0；②开口向 ? a 0. ⑵b 的符号由 决定： ① 在y 轴的左侧 ?b a 、 ；
② 在y 轴的右侧 ?b a 、 ； ③ 是y 轴 ?b 0.
⑶c 的符号由 决定： ①点（0，c ）在y 轴正半轴 ?c 0； ②点（0，c ）在原点 ?c 0； ③点（0，c ）在y 轴负半轴 ?c 0.
⑷ac b 42
-的符号由 决定：
①抛物线与x 轴有 交点? ac b 42- 0 ?方程有 实数根； ②抛物线与x 轴有 交点?ac b 42
- 0 ?方程有 实数根； ③抛物线与x 轴有 交点?ac b 42
- 0 ?方程 实数根； ④特别的，当抛物线与x 轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点. 四、典型例题：
抛物线c bx ax y ++=2
如图所示：看图填空： （1）a _____0；（2）b 0；（3）c 0; （4）ac b 42
- 0 ;(5)2a b +______0； （6）0a b c ++????；（7）0a b c -+????； （8）930a b c ++????；（9）420a b c ++???? 五、跟踪练习：
1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式
（1）方程02=++c bx ax 的根为___________；（2）方程2
3ax bx c ++=-的根为__________；
（3）方程2
4ax bx c ++=-的根为__________；（4）不等式2
0ax bx c ++>的解集为________；（5）不等式2
0ax bx c ++<的解集为_____ ___；
2.根据图象填空：（1）a _____0；（2）b 0；（3）c 0; （4）ac b 42
- 0 ;(5)2a b +______0； （6）0a b c ++????；（7）0a b c -+????；
22．1二次函数的图像和性质（一） 一、学习目标 1．知识与技能目标： （1）理解并掌握二次函数的概念； （2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式； （3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。 二、学习重点难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 2．难点：理解二次函数的概念。 三、教学过程 （一）创设情境、导入新课： 回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？ （二）自主探究、合作交流： 问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。问题2：n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系? 问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。 问题5：什么是二次函数？ 形如。 问题6：函数y=ax2+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？
（三）尝试应用： 例1． 关于x 的函数 是二次函数， 求m 的值． 注意：二次函数的二次项系数必须是 的数。 例2． 已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7。求这个二次函数的解析式．(待定系数法) （四）巩固提高： 1．下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=3x －1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2－2x+1; (5)y=x 2－x(1+x); (6)y=x － 2+x ． 2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。 3、n 支球队参加比赛，每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。 4、已知二次函数y=x2+px+q ，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为－ 5， 求这个二次函数的解析式． （五）小结： 1．二次函数的一般形式是 。2．会用 法求二次函数解析式。 （六）作业设计 22．1二次函数 y=ax 2的图像和性质（二） 一．学习目标： m m 2 21)x (m y --=
本资源的初衷，是希望通过网络分享，能够为广大读者提供更好的服务，为您水平的提高提供坚强的动力和保证。内容由一线名师原创，立意新，图片精，是非常强的一手资料。 二次函数 教学目标知识 技能 1.通过回顾教材，说出二次函数的定义；能画出二次函数的图象；能从图象上认识二 次函数的性质；掌握各类函数之间的平移规律. 2.通过练习，能够根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实 际问题. 过程 方法 通过让学生练习，进一步体会数学建模思想，进一步体验用配方法和数形结 合思想等解决问题的方法. 情感 态度 1．通过问题情境和探索活动的创设，激发学生的学习兴趣； 2．让学生感受到数学与人类生活的密切联系，体会到学习数学的乐趣. 重点有关二次函数的基础知识及二次函数的实际应用. 难点灵活运用二次函数的有关知识解决实际问题. 环节教学问题设计教学活动设计 知识回顾1.二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，在对称轴右侧，y随x的增 大而，在对称轴左侧，y随x的增大而；当a＜0时，在对 称轴右侧，y随x的增大而 , 在对称轴左侧，y随x的增大而 . 2.抛物线y=ax2+bx+c，当a＞0时图象有最点，此时函数有最 值；当a＜0时图象有最点，此时函数有最值 3．抛物线8 2 2- - =x x y的对称轴为直线____，顶点坐标为___，与 y轴的交点坐标为____； 4.如何平移3 )1 ( 3 1 2- + - =x y 的图象可得到函数2 3 1 2+ - =x y. 5.已知二次函数c bx ax y+ + =2的 教师引入课题后利用 学案出示问题组.学生 自主完成填空， 教师巡视学生完成情 况，然后找学生说出答 案，同时要求学生总结 解决以上问题所运用的 知识点、方法及规律. 3、4两题要指导学生画 出草图，养成据图分析 问题的习惯， 教师指导学生利用数
基础知识反馈卡·22.1.1 时间：10分钟满分：25分 一、选择题(每小题3分，共6分) 1．若y＝mx2＋nx－p(其中m，n，p是常数)为二次函数，则() A．m，n，p均不为0 B．m≠0，且n≠0 C．m≠0 D．m≠0，或p≠0 2．当ab>0时，y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是() 二、填空题(每小题4分，共8分) 3．若y＝x m－1＋2x是二次函数，则m＝________. 4．二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图J22-1-1，则k的取值范围为________． 图J22-1-1
三、解答题(共11分) 5．在如图J22-1-2所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数 y ＝2x 2 和y ＝－12 x 2的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边 长为1)： 图J22-1-2 (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线y ＝2x 2，当x ______时，抛物线上的点都在x 轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数y ＝－12 x 2 ，对于一切x 的值，总有函数y ______0；当 x ______时，y 有最______值是______．
基础知识反馈卡·22.1.2 时间：10分钟 满分：25分 一、选择题(每小题3分，共6分) 1．下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( ) A ．y ＝x 2＋1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝(x ＋1)2 D ．y ＝(x －1)2 2．二次函数y ＝－x 2＋2x 的图象可能是( ) 二、填空题(每小题4分，共8分) 3．抛物线y ＝x 2 ＋14 的开口向________，对称轴是________． 4．将二次函数y ＝2x 2＋6x ＋3化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式是________． 三、解答题(共11分) 5．已知二次函数y ＝－1 2 x 2＋x ＋4. (1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (2)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？
课题：1.1二次函数 教学目标： 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式 教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学设计： 一、创设情境，导入新课 问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题） 二、 合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： （1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( Cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2) （一）教师组织合作学习活动： 1、先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。 2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 （1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112 （二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。 x
第二十二章二次函数 22．1 二次函数的图象和性质 22．1.1 二次函数 1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式． 3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围． 重点 二次函数的概念和解析式． 难点 本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力． 一.创设情境，导入新课 问题1 现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2 很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)．
二.合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)； (2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)． (一)教师组织合作学习活动： 1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式． 2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨． (1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000 (3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法． 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式． 板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function)，称a为二次项系数，b为一次项系数，c
第二十二章二次函数 22．1二次函数的图象和性质 22．1.1二次函数 教学目标 1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系． 2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式． 3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围． 教学重点 二次函数的概念和解析式． 教学难点 本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力． 教学过程 一、创设情境，导入新课 问题1现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)． 二、合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)； (2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)． (一)教师组织合作学习活动： 1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式． 2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨． (1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000(3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法． 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a ≠0)的形式． 板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
《二次函数》教案 第一课时 ★新课标要求 一、知识与技能 1．能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围．2．注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯．二、过程与方法 1．让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系模型的过程． 2．使学生进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系，发展概括及分析问题、解决问题的能力． 三、情感、态度与价值观 通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点． ★教学重点 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围．★教学难点 本课时的难点是通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律． ★教学方法 注意让学生参与对问题的分析、讨论过程，在探索中了解二次函数及相关的概念；结合列函数式的讨论，可适当引导学生对问题的结论进行猜想． ★教学过程 一、引入新课 1．设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为x m，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积y m2．试将计算结果填写在下表的空格中， 2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大，最大面积为50m2． 对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见．形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0＜x＜10． 对于3，教师可提出问题，(1)当AB=x m时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0＜x＜10)就是所求的函数关系式． 二、进行新课 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0．1元，其销售量可增加10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：
教学内容 二次函数的图象与性质（1） 本节共需7课时 本课为第1课时 主备人：黄维贤 教学目标 会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． 教学重点 通过画图得出二次函数特点 教学难点 识图能力的培养 教具准备 坐标小黑板一块 课型 新授课 教学过程 初 备 统 复 备 情境导入 我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数 x y 3= x y 3 =的图象分别是 、 ，那么二次函数2 x y =的图象是什么呢？ （1）描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时 如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的 值时，y 的值如何？ （2）观察函数2 x y =的图象，你能得出什么结论？ 实践与 探索1 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？ （1）22x y = （2）2 2x y -= 共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点． 不同点：2 2x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边， 曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升． 22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最 高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降． 注意点： 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．
实践与探 索2 例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2． （1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2． 分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内． 解（1）由题意，得)0 ( 16 1 2> =C C S． 列表： 描点、连线，图象如 图26．2．2． （2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周 长是4cm． （3）根据图象得， 当C≥8cm时，S≥4 cm2． 注意点： （1）此图象原点处为空心点． （2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． 2 4 6 8 … … 小结与作 业课堂小结： 通过本节课的学习你有哪些收获？课堂作业： 课本P 习题 家庭作业： 《九年级教辅资料》对应题 教学后记：
单元备课 一、单元名称：二次函数 二、单元教学内容及教材分析 “二次函数”这章主要要求学生在掌握好原来的一次函数、正比例函数的基础上，进一步学习二次函数的初步知识。本章采用由简入繁的方式对各种形式的二次函数进行了系统的学习。尤其与旧教材不同的是，加入了函数的平移，从而对函数的图像进行了更深入的理解。 对二次函数的表达式问题中，要求了三种形式，而且对二次函数表达式的确定要求的也非常具体。对二次函数与一元二次方程的关系中，也与旧教材有鲜明的对比。在这一节中，一直采用探究的形式对一元二次方程的根的情况和二次函数进行对比、研究。最后，对二次函数的应用部分，教材中大胆采用了前几年的部分中考题，让人感到紧跟中考方向。另外，从题目的难度看，虽然比旧教材的题目减少了，但是题目的难度却有增无减，这给教师的教和同学们的学都是一个大的考验。 三、单元教学重点难点 重点：1.掌握各种形式的二次函数的图像和性质，并会求解二次函数的表达式。 2.学会分析简单的二次函数的有关问题。 难点1、二次函数与一元二次方程的关系。 2、二次函数的应用题。 四、单元教学目标 1.知识与技能：让学生掌握各种形式的二次函数的图像和性质，并会求解二次函数的表达式。 2.过程与方法：通过学习和探究会分析简单的二次函数的有关问题。 3.情感态度价值观：要让学生认识到轴对称图形的美感，并理解二次函数的应 用之广泛。 五、主要教学方法、手段、选用的教学媒体 本章主要采用讨论探索和类比学习的方法，对教材内容让学生先学后教，让学生首先有一个基本的认识，然后指导学生先对基本的题目进行自学、讨论，然后总结规律，最后教师进行点评。选用班班通媒体辅助教学。 六、单元课时安排 22.1 二次函数的图象和性质 7课时 22.2 二次函数与一元二次方程 2课时 22.3 实际问题与二次函 3课时 小结 1课时 第二十二章单元测试题选讲 2课时
二次函数 【教学目标】 （1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围； （2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯。 【重点难点】 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 【教学过程】 一、试一试 问题1(P2) 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中： 2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1：可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。 对于2：可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。 对于3：教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．
二、提出问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 三、观察，概括 1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答； (1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个? (各有1个) (2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式? (分别是二次多项式) (3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点? (都是用自变量的二次多项式来表示的) (4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？ 让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。2．二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项． 四、课堂练习 1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=5x＋1；(2)y=4x2－1；(3)y=2x3－3x2；(4)y=5x4－3x＋1 2．P4练习第1，2题。 五、小结 1．请叙述二次函数的定义． 2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。 六、作业：P4习题26.1 第1-4题。 【课后反思】
22.1 二次函数的图象和性质 一、内容和内容解析 1．内容 二次函数的概念． 2．内容解析 本章是在学习了一次函数的基础上，继续进行函数的学习，是对函数知识的完善与提高，为高中继续学习函数作准备． 学习一种函数包括以下基本内容：(1)通过具体实例认识这种函数；(2)探索这种函数的图象和性质；(3)利用这种函数解决实际问题；(4)探索这种函数与相应方程等的关系．本章“二次函数”的学习也是从以上几个方面展开的． 二次函数的概念是通过具体问题引入的，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立函数中的数量关系和变化规律．这些内容的学习有助于学生初步形成建模思想，提高学习数学的兴趣和应用意识． 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：理解二次函数的定义． 二、目标和目标解析 1．目标 (1)通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义． (2)通过探索实际问题中两个变量之间的关系的过程，向学生渗透类比思想、建模思想，让学生体会数学与生活之间的联系． 2．目标解析 达成目标(1)的标志是：学生能够通过实例列出函数解析式，通过观察解析式的共同点归纳出二次函数的定义，并知道表示二次函数的解析式中字母的意义，能根据给出的函数解析式判断一个函数是不是二次函数． 目标(2)体现在学生达成目标(1)的活动的过程中，达成的标志是：学生在正确描述出函数解析式的过程中，积极类比、思考，以自身的实际经验为基础，体会二次函数与生活之间的联系． 三、教学问题诊断分析 学生在思考y ＝6x 2，m ＝221n －n 2 1，y ＝20x 2＋40x ＋20的共同特征时，发现函数的特征不容易统一，所以引导学生先回忆一次函数的定义，对比一次函数与以上等式的异同，发现以上等式右边为自变量的二次式，并发现二次项系数a ≠0是必要条件，而b ，c 为常数即可． 基于以上分析，本节课的教学难点是：从实例中归纳出二次函数的定义及二次函数的辨析． 四、教学过程设计 1．由实际生活引入二次函数 多媒体显示第二十二章章前图等图片． 问题1 花园的喷水池喷出的水，河上架起的拱桥都会形成一条曲线，这些曲线是否能用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？ 师生活动：学生观察图片，并阅读章引言的内容．这些都是实际生活中经常见到的，这些都将在本章——二次函数中学习． 设计意图：通过实际问题说明二次函数存在于生活中以及学习二次函数的必要性． 2．通过实例，归纳二次函数的定义 问题2 正方体的棱长为x ，那么正方体的表面积y 与x 之间有什么关系？ 师生活动：学生独立思考，正方体共有六个面，它们都是全等的正方形，边长为x ，一个面
26.1.1 二次函数 1. 了解二次函数的有关概念． 2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。 3. 确定实际问题中二次函数的关系式。 一、知识链接： 1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数 二、自主学习： 1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。 分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = . 2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。 4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？ 。 5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 三、合作交流： （1）二次项系数a 为什么不等于0？ 答： 。 （2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？ 答： . 四、跟踪练习 1．观察：①2 6y x =；②2 35y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④3 2y x x =-；⑤ 213y x x =-+；⑥()2 21y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。（只填序号） 2.2 (1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________． 5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
第2课时实际问题与二次函数（2） ※教学目标※ 【知识与技能】 将生活实际问题转化为数学问题，进一步体验二次函数在生活中的应用. 【过程与方法】 通过对生活中实际问题的探究,体会数学在生活实际中的广泛应用，发展数学思维. 【情感态度】 感受数学在生活中的应用，激发学生学习热情，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神. 【教学重点】 利用二次函数解决有关拱桥问题. 【教学难点】 建立二次函数的数学模型. ※教学过程※ 一、问题导入 问题为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 答案解：（1）由题意，得() 7002045201600 y x x =--=-+. （2）P=()()()2 2 402016002024006400020608000 x x x x x --+=-+-=--+，∵x≥45，a=-20＜0，∴当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元. （3）由题意，得()2 206080006000 x --+=.解得 150 x=，270 x=． ∵抛物线()2 20608000 P x =--+的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元.又x≤58，∴50≤x≤58.∵在201600 y x =-+中，20 k=-＜0，∴y随x的增大而减小.∴当x=58时，y最小值=-20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒. 二、探索新知 探究图中是抛物线形拱桥，当拱桥离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？ 提问 （1）石拱桥桥拱的形状可以近似地看成是抛物线吗？ （2）将本体转化为二次函数问题，需要求出二次函数解析 式，根据题中条件，求二次函数解析式的前提是什么？ （3）题中“水面下降1m的含义是什么？”水面下降的同
第二十二章二次函数分析与教学建议 （一）．二次函数在初中数学教材中的分析 二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。 二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。 （二）本章课时安排 本章教学时间约需15课时，具体安排如下： 22．1节二次函数…………………………7课时
《二次函数复习》教学案 班级：初三18班年级：九设计者：李玲时间：2015年10月16日
关基础知识．同学们之间可以相互补充，体现团结协作精神．同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性． 基础知识之基础演练 二次函数是生活中最常见的一类函数，它有着自己固有的性质，反映的是轴对称性和增减性； 我们要突出反映二次函数的轴对称性、顶点坐标，我们就可以把一般式改写成顶点式；如果想知道抛物线与x轴两个交点的情况，我们可以把一般式写出交点式； 刚刚我们回顾了二次函数的性质，我们发现二次函数的图像能够直观地反映函数的特性，而数又能细致刻画函数图像的大小和位置，下面就让我们遵循着数形结合的线索，继续对二次函数进行深入的研究。
难点突破之思维激活1、如果把抛物线绕 ()4 12+ + - =x y顶点旋转 180°，则该抛物线对应的解析式是 . 若把新抛物线再向右平移2个单位，向下平 移3个单位，则得到的抛物线对应的解析式 是 . 抛物线的平移——点的平移 难点突破之聚焦中考2、问题①，结合图像思考： 方程 ()1 4 12= + + -x 有几个实数解？ 问题②，结合图像思考： 当m为何值时，方程 ()m x= + + -4 12 1）有两个不相等的实数根； 2）有两个相等的实数根； 3）没有实数根？ 问题③ 其实方程、不等式本身就 有一个代数的解法，我们现在 也用图像解法 我们通过三个题目把这 个知识的层次性展示出来，方 程、不等式都可以转化成函数 的图像来解
若直线 m kx y +=1与抛物线 c bx ax y ++=22交于A （1,0） 、B （-1，4） 两点，观察图像填空： 1）方 程 m kx c bx ax +=++2的解 为 ； 2）不等式 m kx c bx ax +>++2的解 为 ； 3）不等式 m kx c bx ax +<++2的解 为 ； 反思与 提高 1、本节课你印象最深的是什么？ 2、通过本节课的函数学习，你认为自己 还有哪些地方是需要提高的？ 3、在下面的函数学习中，我们还需要注意 哪些问题？ 教者归纳本章知识网络图示 让学生自己总结一节课的得失，教者进行适当的点评．真正体现出学生是学习的主体．为今后自主学习奠定基础，由此达到数学教学的新境界——提升思维品质，形成数学素养．
第二十二章二次函数单元教学计划 （一）．二次函数在初中数学教材中的分析 二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。 二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。 （二）本章课时安排 本章教学时间约需15课时，具体安排如下： 22．1节二次函数…………………………7课时
第二十二章二次函数单元测试 一、单选题(共10题；共30分) 1、西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是() A、y＝－(x－)2＋3 B、y＝－3(x＋)2＋3 C、y＝－12(x－)2＋3 D、y＝－12(x＋)2＋3 2、抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是( ) A、B、C、D、 3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 A、2 B、4 C、8 D、16 4、抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线对应的函数关系式为 A、 B、C、D、 5、下列关系式中，属于二次函数的是(x是自变量)()
A、y= B、y= C、y= D、y=ax2+bx+c 6、下列函数解析式中，一定为二次函数的是() A、y=3x﹣1 B、y=ax2+bx+c C、s=2t2﹣2t+1 D、y=x2+ 7、抛物线y=﹣2x2+4的顶点坐标为( ) A、(4，0) B、(0，4) C、(4，2) D、(4，﹣2) 8、已知矩形的周长为36m，矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的一条边长为xm，圆柱的侧面积为ym2，则y与x的函数关系式为( ) A、y=﹣2πx2+18πx B、y=2πx2﹣18πx C、y=﹣2πx2+36πx D、y=2πx2﹣36πx 9、已知将二次函数y=x2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣4x﹣5，则b，c的值为( ) A、b=0，c=6 B、b=0，c=﹣5 C、b=0，c=﹣6 D、b=0．c=5 10、(2020?梧州)2020年5月22日﹣29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=﹣ x2+bx+c的一部分(如图)，其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是( ) A、y=﹣ x2+ x+1 B、y=﹣ x2+ x﹣1 C、y=﹣ x2﹣ x+1 D、y=﹣ x2﹣ x﹣1 二、填空题(共8题；共30分) 11、在实验中我们常常采用利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=﹣x+3，利用两图象交点的横坐标来求一元二次方程x2+x﹣3=0的解，也可以在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2﹣3和直线y=﹣x，用它们交点的横坐标来求该方程的解．所以求方程的近似解也可以利用熟悉的函数________和________的图象交点的横坐标来求得．
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质课题： 22.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 （2）． 1 课时 教学设计 课标要求 1、让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质． 2、理解二次函数y＝a(x－h)2、y＝ax2之间的关系． 教材及学情分析 1、教材分析： 二次函数”这一章是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一，学生在学习了正比例函数、一次函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是今后学习其它初等函数的基础，因此，这部分对学生学习函数内容有着承上启下的作用，对培养和提高学生用函数模型（函数思想）来解决实际问题，逐步提高分析问题，解决问题的能力有着一定的作用。 2、学情分析 九年级的学生，在讲本节课之前，已经学习了一次函数的概念、图像和性质，从知识结构上看他们已经具备了继续探究二次函数的图像和性质的基础。学生自主探究和合作交流的能力较强，并且他们比较、分析、抽象和概括的能力也有较大提高。但也有一些问题，求函数的解析式、由函数图象得出有用的信息的能力有待提高。 课时教学目标 1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象． 2．让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质． 3．理解二次函数y＝a(x－h)2、y＝ax2之间的关系． 重点理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，二次函数y＝a(x－h)2、y＝ax2之间的关系难点理解二次函数y＝a(x－h)2、y＝ax2之间的关系． 教法学法 指导 启发法发现法练习法 教具 准备 课件 教学过程提要
第22章 二次函数单元测试题 一、选择题（共24分） 1、抛物线1)3(22+-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．(3，1) B ．(3，－1) C ．(－3，1) D ．(－3，－1) 2、将抛物线y =（x ﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ） A ． y =（x ﹣2）2 B ． y =（x ﹣2）2+6 C ． y =x 2+6 D ． y =x 2 3、已知二次函数y =x 2－3x +m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x 2－3x +m =0的两实数根是（ ） A ．x 1=1，x 2=－1 B ．x 1=1，x 2=2 C ．x 1=1，x 2=0 D ．x 1=1，x 2=3 4、下列二次函数中，图像以直线x =2为对称轴，且经过点(0,1)的是 （ ） A 、1)2(2+-=x y B 、1)2(2++=x y C 、3)2(2--=x y D 、3)2(2-+=x y 5、若x 1,x 2(x 1 ＜x 2)是方程(x －a )(x －b ) = 1(a < b )的两个根，则实数x 1,x 2,a,b 的大小关系为（ ） A ．x 1＜x 2＜a ＜b B ．x 1＜a ＜x 2＜b C ．x 1＜a ＜b ＜x 2 D ．a ＜x 1＜b ＜x 2 6、)0(1≠+=k n kx y 与二次函数)0(2 2≠++=a c bx ax y 的图象相交于A (1-，5)、B (9，2)两点，则关于x 的不等式c bx ax n kx ++≥+2 解集为( ) A 、91≤≤-x B 、91<≤-x C 、91≤<-x D 、1-≤x 或9≥x 7、已知两点),3(),,5(21y B y A -均在抛物线)0(2 ≠++=a c bx ax y 上，点 ),(00y x C 是该抛物线的顶点，若021y y y ≥>，则0x 的取值范围是（ ） A ．50->x B ．10->x C ．150-<<-x D ．320<<-x 8、若二次涵数y =ax +bx +c (a ≠0)的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，且x 1
相关主题
文本预览