高中数学圆的方程典型例题
类型一：圆的方程
例1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y=0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.
分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内.
解法一：(待定系数法)
设圆的标准方程为(x —a)2? (y —b)2= r2.
???圆心在y = 0上，故b = 0 .
圆的方程为(x-a)2、y2=r2.
又???该圆过A(1,4)、B(3,2)两点.
厂 2 2
.(1 —a) +16 =r
? ?丿
2 2
(3—a) +4 = r
解之得：a=—1 , r2=20 .
所以所求圆的方程为(x ? 1)2y2=20 .
解法二：(直接求出圆心坐标和半径)
因为圆过A(1,4)、B(3, 2)两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线I上，又因为
4一2
k AB 1，故I的斜率为1，又AB的中点为(2,3)，故AB的垂直平分线I的方程为：1-3
y -3 = x -2 即x - y 1=0 .
又知圆心在直线y =0上，故圆心坐标为C(-1,0)
?半径r = AC|=J(1+1)2+42=』云.
故所求圆的方程为(x ? 1)2? y2=20 .
又点P(2,4)到圆心C(-1,0)的距离为
d =|PC =$(2+1)2 +42=JN>r .
???点P在圆外.
2 2
例2求半径为4,与圆x y -4x-2y-4 =0相切，且和直线y = 0相切的圆的方程.
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分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解.
解：则题意，设所求圆的方程为圆C：(x-a)2? (y-b)2二r2.
圆C与直线y =0相切，且半径为4,则圆心C的坐标为C1(a , 4)或c2(a,_4).
又已知圆x2y2—4x-2y_4=0的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3.
若两圆相切，贝U CA = 4 -3 = 7或CA = 4—3 = 1.
2 2 2 2 2 2
(1)当C i(a,4)时，(a-2) ? (4-1) =7 ,或(a-2) (4-1) =1 (无解)，故可得
a =2 _2.、10 .
???所求圆方程为(X -2 -2.10)2(y 一4)2=42，或(x-2 2. 10)2- (y 一4)2=42.
(2)当C2(a,-4)时，(a_2)2(一4_1)2=72,或(a - 2)2(-4 -1)2= 12(无解),故a = 2 士26 .
???所求圆的方程为(x - 2 - 2、、6)2，(y ? 4)2=42，或(x -2 2. 6)2(y 4)^42.
说明：对本题，易发生以下误解：
由题意，所求圆与直线y=0相切且半径为4 ,则圆心坐标为C(a,4),且方程形如
2 2 2 2 2 2 2 2
(x -a) (y -4) = 4 .又圆x y -4x -2y-4 = 0，即(x-2) (y -1) = 3 ,其圆心为
A(2,1)，半径为3?若两圆相切，则CA =4 3 .故(a -2)2? (4 -1)2=72，解之得a = 2 一2、10 ?所以欲求圆的方程为(x-2-2 一10)2，(y-4)2=42，或(^2 2. 10)2(y-4)2=42.
上述误解只考虑了圆心在直线y = 0上方的情形，而疏漏了圆心在直线y = 0下方的情形?另外，误
解中没有考虑两圆内切的情况?也是不全面的.
例3求经过点A( 0,5)，且与直线x-2y=0和2x ■ y = 0都相切的圆的方程.
分析：欲确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标.又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上.
解：???圆和直线x-2y=0与2x，y=0相切，
?圆心C在这两条直线的交角平分线上，
又圆心到两直线x -2y =0和2x ^0的距离相等.
?x-2y| |x+2y|
??
5 5
???两直线交角的平分线方程是 x ?3y=0或3x_y=0 . 又???圆过点A(0,5),
?圆心C 只能在直线3x-y=0上. 设圆心C(t, 3t)
?/ C 到直线2x+y=0的距离等于 AC
化简整理得t 2 -6t ? 5 = 0 . 解得：t = 1或t = 5
?圆心是(1,3)，半径为.5或圆心是(5,15)，半径为5、、5 .
???所求圆的方程为(x-1)2 ? (y -3)2 =5或(x-5)2 ? (y -15)2 =125 .
说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到 圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法.
例4、设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2; (2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为 3:1，在满足条件
(1) (2)的所有圆中，求圆心到直线 丨：x-2y=0的距离最小的圆的方程.
分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程.满足两个 条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线 的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方 程.
解法一：设圆心为P(a , b)，半径为r . 贝U P 到x 轴、y 轴的距离分别为 b 和a . 由题设知：圆截 x 轴所得劣弧所对的圆心角为
90，故圆截x 轴所得弦长为,2r .
2 2
?- r =2b
又圆截y 轴所得弦长为2.
? 2 2
…r a 1 .
又??? P(a , b)到直线x-2y =0的距离为
2t+3t
-t 2
(3t-5)2
.
a —
2b 5
二 5d 2 =|a —2b 2
2 2
=a 4b - 4ab _a 2
4b 2
—2(a 2
b 2
)
= 2b 2
_a 2
=1
代入方程得
当且仅当 a = b 时取“=” 号，此时gin
5
这时有』；b 2
2b 2
_a 2
=1
心或
b =1
a = —1
b = -1
又 r 2 =2b 2 =2
故所求圆的方程为(x -1)2 (y -1)2 = 2或(x 1)2 ( y 1)2 = 2 解法同解法一，
二 a 2 =4b 2 _4 5bd 5d 2. 将a 2 =2b 2 -1代入上式得：
2b 2
_4、5bd 5d 2
1 = 0 .
上述方程有实根，故
■ -8(5d 2
-1)-0 ,
a —2
b d= 5
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又2b2二a2 1 ??? a = 1 .
由a —2b =1知a、b同号.
故所求圆的方程为(x -1)2? (y -1)2= 2 或(x 1)2? ( y T)2= 2 .
说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢?
类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程
例5已知圆O: x2? y2=4，求过点P 2,4与圆0相切的切线.
解：???点P 2,4不在圆0上，
?切线PT的直线方程可设为y二k x - 2 4
根据d = r
-2k 4聖
1 k2
解得心
4
所以
3
y = — x -2 4
4
即3x-4y 10 =0
因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在?易求另一条切线为
x=2 .
说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解.
本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决(也要注意漏解).还可以运用X°x ? y°y =r2，求出切点坐标x°、y°的值来解决，此时没有漏解.
2 2 - 2 2
例 6 两圆G：x y D1x E1y F^ 0与C2： x y D2x ? E2y F2 = 0 相交于A、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程.
分析：首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程
太繁?为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧.
解：设两圆G、C2的任一交点坐标为(X。，y。)，则有：
2 2
x。y。D M E』0 F1 =0 ①
2 2
x0 Y0 D2x0 E2% F2 =0 ②
①—②得：(D1 -D2)X° (E1 -E2)y°h -F2 =0 .
A、B的坐标满足方程Q -D2)x ?伯- E2)y * R-F2 = 0 .
二方程
(D i - D 2)x ? (E i -E 2)y F i -F 2=0是过A 、B 两点的直线方程. 又过A 、B 两点的直线是唯一的.
???两圆C i 、C 2的公共弦AB 所在直线的方程为(D i -D 2)x ? (E i -E 2)y ? F i - F 2 =0 .
说明：上述解法中，巧妙地避开了求 A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去 求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标?从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧， 从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本 质认识?它的应用很广泛. 例7、过圆x 2 y 2 =i 外一点M (2,3)，作这个圆的两条切线 MA 、MB ，切点分别是 A 、B ，求 直线AB 的方程。
练习:
2 2
1?求过点M(3,i)，且与圆(x-i) y -4相切的直线丨的方程. 解：设切线方程为 y -i = k(x -3)，即kx - y - 3k ?
i = 0 ,
???圆心(i,0)到切线丨的距离等于半径 2 , 3
?切线方程为 y-i
(x-3)，即 3x ，4y-i3 = 0, 4
当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为 x = 3，圆心(i,0)到此直线的距离等于半径 2 ,
故直线x = 3也适合题意。
所以，所求的直线丨的方程是3x ? 4y -i3 = 0或x = 3.
22
5 2、过坐标原点且与圆 x y -4x ? 2y
0相切的直线的方程为 ________
2
解：设直线方程为 y = kx ，即kx - y 二0.v 圆方程可化为(x -2)2 ? (y ? i)2 = ◎，?圆心为(2,
2
i y x .
3
2
2
3、已知直线5x i2y ^0与圆x -2x y =0相切，则a 的值为
解：.??圆(x -i)2 - y 2 =i 的圆心为
1 = i ,解得 a = 8或 a = —i8.
^52 i22 i
类型三：弦长、弧问题
y 2
，解得T
-i ，半径为 二° ?依题意有
2
2k i k 2
i
，解得k =一3或k =丄
2
?直线方程为 y - -3x 或
i ,
i , 0),半径为
例8求直线丨：3x -y -6 = 0被圆C : x2y2-2x -4y = 0截得的弦AB的长.
例9、直线3x y -2...3 = 0截圆x2y2=4得的劣弧所对的圆心角为_______________
解：依题意得，弦心距d = J3，故弦长AB| =2jr2—d2 =2，从而△ OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为.AOB .
3
例10、求两圆x2? y2-x ? y -2 = 0和x2y2 = 5的公共弦长
类型四：直线与圆的位置关系
例11、已知直线...3x ? y - 2?,3二0和圆x2y^ 4，判断此直线与已知圆的位置关系.
例12、若直线y = x ? m与曲线y = 4-x2有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.解：???曲线y —、4 - X2表示半圆x2y2=4（y 一0）,???利用数形结合法，可得实数m的取值范围是一2 _ m ：：： 2 或m = 2.. 2 .
2 2
例13圆（X-3）（y -3） =9上到直线3x 4y -1^ 0的距离为1的点有几个？
分析：借助图形直观求解?或先求出直线11、|2的方程，从代数计算中寻找解答.
解法一：圆（x -3）2（y 一3）2=9的圆心为0,3,3），半径r =3.
3 工3 +
4 汉3_11|
设圆心O1到直线3x+4y —11=0的距离为d，则d = ------------- , _1=2 v3 .
乂32+42
如图，在圆心O1同侧，与直线3x 4y -1^0平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点，这两
个交点符合题意.
又r -d =3-2 =1.精品文档
???与直线3x ?4y_11 =0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. ???符合题意的点共有 3个.
解法二：
符合题意的点是平行于直线 3x 4y -1^0，且与之距离为1的直线和圆的交点.设
Im+11|
所求直线为3x ? 4y ? m = 0 ,则d
1,
<32 +42
? m 11 二 5，即 m = -6，或 m = -16，也即
l ：x 4y —6 = 0，或 l 2
：3x 4y —16 = 0 .
2 2
设圆O ：x-3) ?(y-3) =9的圆心到直线l 1、J 的距离为d 1、d ?，则
? 11与。1相切，与圆。1有一个公共点；I ?与圆。1相交，与圆。1有两个公共点.即符合题意的 点共3个.
说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
|3汉 3 + 4汉3 — 11
设圆心01到直线3x+4y —11 =0的距离为d ，贝U d =——f
_ =2<3 .
(32 +42
???圆01到3x 4y -1^ 0距离为1的点有两个.
显然，上述误解中的 d 是圆心到直线3x ? 4y -11 =0的距离，d :: r ，只能说明此直线与圆有 两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为
1.
到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所 求的点就是这两条平行直线与圆的公共点.求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关 系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断.
练习1：直线x y =1与圆x 2 ? y 2 -2ay = 0 (a 0)没有公共点，贝U a 的取值范围是 _______
..
2
2
练习2 :若直线y 二kx ? 2与圆(x-2) '(y-3) =1有两个不同的交点，贝y k 的取值范围
是 __________ .
32
42
d 2 =
3 3
4 3-16
32
42
=1.
解：依题意有
解得 -2 -1 ：：： a ：：： . 2 -1. ? a
- 0 , 0 ：： a ：： 2 -1. a -1
-，、…，|2k-1 . 一 4 4解：依题意有-------- 1，解得0 ：：： k , ? k的取值范围是(0,).
2 2 f~ 3、圆x2y2?2x?4y-3=0上到直线x y 仁0的距离为、、2的点共有(). (A ) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个(D) 4 个 分析：把x2+y2+2x+4y —3 =0 化为(x+ 1 f+(y+2 f =8 ,圆心为(―1, —2 ),半径为 r =2 2，圆心到直线的距离为.2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2，所以选C. 4、过点P -3, - 4作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆C: x-1 2? y 2 ^4有公共点，如 图所示. 分析：观察动画演示，分析思路. 解：设直线I的方程为 y y 4 二k x 3 即 kx_y 3k_4=0 根据d _r有 k +2+3k —4 ----- . _<2 d k2 _ 整理得 2 3k -4k =0 解得 类型五：圆与圆的位置关系 问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？ .. 2 2 2 2 例14、判断圆G：x y ?2x-6y-26=0与圆C2 : x y -4x 2y ^0的位置关系， 例15：圆x2y2-2x = 0和圆x2y24y =0的公切线共有 _____________________ 条。 解: 圆(x -1)2y2=1 的圆心为0,1,0),半径r^1，圆x2(y 2)2=4的圆心为02(0,-2), 半径「2=2 。1。2 =(5,「1 +「2 =3,「2 —「1 =1.T「2 —「1 TO1O2I V「1 +「2 ,???两圆相 交?共有2 精品文档 条公切线。 练习 2 2 2 2 2 2 1 ：若圆x y -2mx m -4=0与圆x y ? 2x -4my 4m -8 = 0相切，则实数m的取 值集合是___________ . 2 2 2 2 解：???圆(x -m) - y =4的圆心为O^mQ)，半径几=2，圆(x 1) - (y-2m) =9的圆心为 。2(—1,2m),半径D=3 ,且两圆相切，??? O1O2 =几+「2 或O1O2 = R — A , /. I 2 2I 2 2 12 5 .(m 1) (2m) =5 或.(m 1) (2m) =1 ,解得m 或m = 2，或m = 0或m =--, 12 5 ?实数m的取值集合是{ , ,0,2}. 5 2 2：求与圆x2y2=5外切于点P(-1,2)，且半径为2?.、5的圆的方程? 2 2 解：设所求圆的圆心为O,a,b)，则所求圆的方程为(x-a) ，(y-b) = 20.v两圆外切于点P ,一1 1 2 2 ? OP 二丄001，二(一1,2) (a, b) , ? a =「3,b =6，?所求圆的方程为(x 3)2(y-6)2=20. 3 3 类型六：圆中的对称问题 2 2 例16、圆x y -2x -6y - 9 =0关于直线2x y ^0对称的圆的方程是______________________ 例17自点A -3,3发出的光线I射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在 的直线与圆C: x2? y2「4x—4y ? 7 = 0相切 (1)求光线I和反射光线所在的直线方程. (2)光线自A到切点所经过的路程. 分析、略解：观察动画演示，分析思路.根据对称关系，首先求出点 的对称点A 的坐标为-3, -3，其次设过A的圆C的切线方程为 根据d二r，即求出圆C的切线的斜率为 y 二k x 3 -3 图 k = 4或k = 3 4 进一步求出反射光线所在的直线的方程为 4x - 3y '3=0 或3x-4y-3=0 精品文档 最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为 4x 3y 3 = 0 或3x 4y-3 = 0 2 2 2 光路的距离为A'M，可由勾股定理求得AM\ =|AC _CM| =7 . 说明：本题亦可把圆对称到x轴下方，再求解. 类型七：圆中的最值问题 例18:圆x2? y2_4x _4y _10 =0上的点到直线x - y_14=0的最大距离与最小距离的差是 _ 解：???圆(x-2)2? (y _2)2=18的圆心为(2 , 2)，半径r=：3?.2 ,???圆心到直线的距离 10 =5.2 r , ???直线与圆相离，?圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 <2 （d r） -（d -r）=2r =6、2 . 例19 (1)已知圆Oi：(x -3)2? (y 一4)2=1 , P(x , y)为圆O上的动点，求d = x2? y2的最大、最 小值. (2)已知圆O2：(x ? 2)2? y2=1 , P(x, y)为圆上任一点.求乂三的最大、最小值，求x-2y的x -1 最大、最小值. 分析：(1)、⑵两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决. 解: (1)(法1)由圆的标准方程(x—3)2(y_4)2=1. 可设圆的参数方程为丿力3+ 2, （6是参数）. y =4 +sin 日， 则d = x2y2=9 6cos^ cos2二16 8sin sin2 4 =26 6co^ 8sin v - 26 10cosQ -）（其中tan ）. 3 所以d max = 26 10 = 36 , d min = 26 -10 = 16 . (法2)圆上点到原点距离的最大值d1等于圆心到原点的距离d；加上半径1,圆上点到原点距离的最小值d2等于圆心到原点的距离d；减去半径1. 所以d“ = ? 32? 42? 1 = 6 . d2= *3242-1 =4 . 所以d max =36 . d min =16 . y -2 sin v - 2 x -1 cos v - 3 得sin v -1 COST - 2 —3t , 1 t2sin(v - ) = 2 _ 3t 即的最大值为3 3，最小值为上虫. x -1 4 4 此时x-2y = -2 COST -2sin v - -2 、、5cos(v )- 所以x -2y的最大值为-^ ,5，最小值为-2 -5 . V —2 (法2)设k，则kx-y-k，2=0 ?由于P(x , y)是圆上点，当直线与圆有交点时，如x -1 图所示， 两条切线的斜率分别是最大、最小值. 所以:LzZ的最大值为，最小值为出卫 x T 4 4 令x -2y =t，同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值. 所以x -2y的最大值为-2」5，最小值为-2 - 5 ? 2 2 (2)(法1)由(x 2) y =1得圆的参数方程: J—"。叭是参数. y = sinB, ?令 sin v - 2 cos v - 3 l+l =sin(8 —?)| 兰1n 3 3十：3 3 4 4 所以t max 3 ? 、3 ,t min -2k-k 2 1 k2 =1，得k = -2 -m =1, 2 2 例20：已知A(—2,0) , B(2,0)，点P 在圆(x —3)2+(y —4)2=4上运动，则PA + PB 的最小值是.解：设P(x,y)，贝V PA2+|PB2 =(x+2)2+y2十(x—2)2+y2 =2(x2+y2)+8 = 2OP2+8.设圆心 2 2 为C(3,4)，则0P mi n =OC —r=5—2=3，二PA +|PB 的最小值为2汉32+8 =26. 练习： 1：已知点P(x,y)在圆x2(y -1)2-1上运动. (1 )求红1的最大值与最小值；(2)求2x y的最大值与最小值. x-2 解：(1)设=k，则k表示点P(x, y)与点(2, 1)连线的斜率?当该直线与圆相切时，k取得x -2 最大值与最小值.由」2k l y，解得k=±鱼，.?.红！的最大值为€3，最小值为—』3. J k f 3 x-2 3 3 (2)设2x ? y = m，则m表示直线2x - y = m在y轴上的截距.当该直线与圆相切时，m取得最大值与最小值?由[已=1，解得m = 1 ±J5 ,??? 2x + y的最大值为1 + J5，最小值为1 -V5. <5 2设点P(x , y)是圆x2y2 =1是任一点，求u二上的取值范围. x + 1 分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替x、y，转化为三角问题来解决. 解法一：设圆x2y2 =1上任一点P(cos",sin^) 则有x = COST , y =sin —[0,2二) sin 日一2 丄? a c ?u , ? ucos ：u 二sin ：- 2 cos^ +1 ?u COST - si nr - -(u 2). 即.u21 sin(v -)二u 2 ( tan 二u) ??? sin(日 _巧=(u22). V u +1 又??? sin(8 _毋)<1 ?* <1 、'u2+1 3 解之得：u岂 4 分析二：U二匚2的几何意义是过圆x2y2=1上一动点和定点(-1,2)的连线的斜率，利用 x 1 此直线与圆X2? y2=1有公共点，可确定出u的取值范围. 解法二：由u二匚2得：y -2 =u(x ? 1)，此直线与圆x2y2=1有公共点，故点(0,0)到 x +1 直线的距离d空1 . 3 解得：u _ -3. 4 另外，直线y -2二u(x ? 1)与圆x2y^1的公共点还可以这样来处理： 由丿2" )消去y 后得：(u2+1)x2+(2u2+4u)x+ (u2+4u+3) = 0 , x2+y2 =1 此方程有实根，故.：=(2u24u)2_4(u21)(u24u 3) _ 0, 3 解之得：u _ -—. 4 说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量u的范围问题转化成三角函数的 有关知识来求解.或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便. 2 2 2 2 2 3、已知点A(—2,—2), B(—2,6), C(4,-2)，点P 在圆x2+y2 =4 上运动，求|PA + PB + PC 的 最大值和最小值? 类型八：轨迹问题 1 例21、基础训练：已知点M与两个定点0(0,0), A(3,0)的距离的比为，求点M的轨迹方程? 2 例22、已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3),端点A在圆(x 1)2y^ 4上运动，求线段AB 的中点M的轨迹方程 例23如图所示，已知圆O: x2? y2=4与y轴的正方向交于A点，点B在直线y = 2上运动，过B 做圆O的 高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 直线与圆的方程单元测试卷 一。选择题 1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值 依次为（ B ） （A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-4 2.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ A ） (A) 11<<-a (B) 10<- 一选择题（共 55 分，每题 5 分） 1. 已知直线经过点 A(0,4)和点 B （ 1， 2），则直线 AB 的斜率为（ ） A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在 2．过点 ( 1,3) 且平行于直线 x 2 y 3 0 的直线方程为（ ） A ． x 2y 7 0 B ． 2x y 1 0 C ． x 2y 5 0 D ． 2x y 5 0 3. 在同一直角坐标系中，表示直线 y ax 与 y x a 正确的是（ ） y y y y O x O x O x O x A B C D 4．若直线 x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直，则 a=（ ） A ． 2 B ． 2 C ． 3 3 3 3 2 D ． ( 2 5.过 (x ， y )和 (x ， y )两点的直线的方程是 ) 1 1 2 2 A. y y 1 x x 1 y 2 y 1 x 2 x 1 B. y y 1 x x 1 y 2 y 1 x 1 x 2 C.( y 2 y 1 )( x x 1) (x 2 x 1 )( y y 1) 0 D.( x 2 x 1)( x x 1) ( y 2 y 1 )( y y 1 ) 0 6、若图中的直线 L 1 、 L 2、 L 3 的斜率分别为 K 1、K 2、 K 3 则（ ） A 、 K ﹤ K ﹤ K L 3 1 2 3 L B 、 K ﹤ K ﹤ K 2 1 3 C 、 K 3﹤ K 2﹤ K 1 o x D 、 K 1﹤K 3﹤ K 2 L 1 7、直线 2x+3y-5=0 关于直线 y=x 对称的直线方程为（ ） A 、 3x+2y-5=0 B 、 2x-3y-5=0 C 、 3x+2y+5=0 D 、 3x-2y-5=0 8、与直线 2x+3y-6=0 关于点 (1,-1)对称的直线是（ ） A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0 直线与圆的方程测试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题(本大题共18小题，每小题4分，共72分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出，错选、多选或未选均无分. 1.点M 1(2,-5)与M 2(5,y)之间的距离是5，则y=（ ） A.-9 B.-1 C.-9或-1 D. 12 2. 数轴上点A 的坐标是2，点M 的坐标是-3，则|AM|=（ ） A.5 B. -5 C. 1 D. -1 3. 直线的倾斜角是3 2π，则斜率是（ ） A.3-3 B.3 3 C.3- D.3 4. 以下说法正确的是（ ） A.任意一条直线都有倾斜角 B. 任意一条直线都有斜率 C.直线倾斜角的范围是(0,2 π) D. 直线倾斜角的范围是(0,π) 5. 经过点(4, -3)，斜率为-2的直线方程是（ ） A. 2x+y+2=0 B.2x-y-5=0 C. 2x+y+5=0 D. 2x+y-5=0 6. 过点(2,0)且与y 轴平行的直线方程是（ ） A.x=0 B.y=0 C.x=2 D.y=2 7. 直线在y 轴上的截距是-2，倾斜角为0°，则直线方程是（ ） A.x+2=0 B.x-2=0 C.y+2=0 D.y-2=0 8. “B ≠0”是方程“Ax+By+C=0表示直线”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分且必要条件 D.非充分非必要条件 9. 直线3x-y+2 1=0与直线6x-2y+1=0之间的位置关系是（ ） A.平行 B.重合 C.相交不垂直 D.相交且垂直 10.下列命题错误．． 的是（ ） A. 斜率互为负倒数的两条直线一定互相垂直 B. 互相垂直的两条直线的斜率一定互为负倒数 C. 两条平行直线的倾斜角相等 D. 倾斜角相等的两条直线平行或重合 11. 过点(3,-4)且平行于直线2x+y-5=0的直线方程是（ ） A. 2x+y+2=0 B. 2x-y-2=0 C. 2x-y+2=0 D.2x+y-2=0 12. 直线ax+y-3=0与直线y=2 1x-1垂直，则a=（ ） A.2 B.-2 C. 21 D. 2 1- 13. 直线x=2与直线x-y+2=0的夹角是（ ） 高二数学《直线和圆的方程》综合测试题 一、 选择题： 1．如果直线l 将圆：04222=--+y x y x 平分，且不通过第四象限，那么l 的斜率取值范围是（ ） A ．]2,0[ B ．)2,0( C ．),2()0,(+∞-∞ D ．),2[]0,(+∞-∞ 2.直线083=-+y x 的倾斜角是( ) A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 3. 若直线03)1(:1=--+y a ax l ，与02)32()1(:2=-++-y a x a l 互相垂直， 则a 的值为（ ） A ．3- B ．1 C ．0或2 3 - D ．1或3- 4. 过点)1,2(的直线中被圆04222=+-+y x y x 截得的弦长最大的直线方程 是( ) A.053=--y x B. 073=-+y x C. 053=-+y x D. 053=+-y x 5.过点)1,2(-P 且方向向量为)3,2(-=的直线方程为( ) A.0823=-+y x B. 0423=++y x C. 0132=++y x D. 0732=-+y x 6.圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 3 3 = 的距离是( ) A. 2 1 B. 23 C.1 D. 3 7.圆4)1()3(:221=++-y x C 关于直线0=-y x 对称的圆2C 的方程为:( ) A. 4)1()3(22=-++y x B. 4)3()1(22=-++y x C. 4)3()1(22=++-y x D. 4)1()3(22=++-y x 8.过点)1,2(且与两坐标轴都相切的圆的方程为（ ） A ．1)1()1(22=-+-y x B ．25)5()5(22=-++y x C ．1)1()1(22=-+-y x 或25)5()5(22=-+-y x D ．1)1()1(22=-+-y x 或25)5()5(22=-++y x 9. 直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于N M ,两点，若≥||MN 则k 的取值范围是( ) A ．3 [,0]4 - B ．[ C ．[ D ．2 [,0]3 - 10. 下列命题中，正确的是（ ） A ．方程 11 =-y x 表示的是斜率为1，在y 轴上的截距为2的直线； B ．到x 轴距离为5的点的轨迹方程是5=y ； C ．已知ABC ?三个顶点)0,3(),0,2(),1,0(-C B A ，则 高AO 的方程是0=x ； D ．曲线023222=+--m x y x 经过原点的充要条件是0=m . 11.已知圆0:22=++++F Ey Dx y x C ,则0==E F 且0 西中高一（14）（15）班《直线与圆的方程》单元测试 韩世强 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1．在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 6 5π D ． 3 2π 2．如下图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是( ) 3．若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于（ ） A ．1 B ．13- C ．2 3 - D ．2- 4． 若直线023022=--=++y x y ax 与直线 平行，那么系数a 等于( ) A ．3- B ．6- C ．2 3 - D ．3 2 5. 圆x 2+y 2 －4x =0在点P （1，3）处的切线方程为（ ） +3y －2=0 +3y －4=0 －3y +4=0 －3y +2=0 6 若圆C 与圆1)1()2(2 2=-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（ ） A ．1)1()2(2 2=++-y x B ．1)1()2(2 2=-+-y x C ．1)2()1(2 2=++-y x D ．1)2()1(2 2 =-++y x 7．已知两圆的方程是x 2 ＋y 2 ＝1和x 2 ＋y 2 －6x －8y ＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切 8．过点(2,1)的直线中，被圆x 2 ＋y 2 －2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程为( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x ＋y －7＝0 C ．x ＋3y －5＝0 D ．x －3y ＋1＝0 9．若点A 是点B (1,2,3)关于x 轴对称的点，点C 是点D (2，－2,5)关于y 轴对称的点，则|AC |＝( ) 高中数学必修二测试题七 班级 姓名 座号 一、选择题（每小题5分，共50分. 以下给出的四个备选答案中，只有一个正确） 1. 1．直线20x y --=的倾斜角为( ) A ．30? ; B ．45? ; C. 60? ; D. 90?; 2.将直线3y x =绕原点逆时针旋转90?，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） A.1133y x =-+ ; B. 113 y x =-+ ; C.33y x =- ; D.31y x =+; 30y m -+=与圆2 2 220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ） A ．-; B ．- C D ．4．过点(0,1)的直线与圆22 4x y +=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（ ） A ．2 ; B ．; C ．3 ; D ．5.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线034=-y x 和x 轴都相切，则该圆的标准 方程是（ ） A. 1)3 7()3(22=-+-y x ; B. 1)1()2(2 2=-+-y x ; C. 1)3()1(2 2=-+-y x ; D. 1)1()2 3(22=-+-y x ; 6.已知圆1C ：2 (1)x ++2 (1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方 程为（ ） A.2 (2)x ++2 (2)y -=1 ; B.2 (2)x -+2 (2)y +=1; C.2 (2)x ++2 (2)y +=1; D.2 (2)x -+2 (2)y -=1 7.已知圆C 与直线0=-y x 及04=--y x 都相切，圆心在直线0=+y x 上，则圆C 的 方程为（ ） A.2 2 (1)(1)2x y ++-= ; B. 2 2 (1)(1)2x y -++= C. 2 2 (1)(1)2x y -+-= ; D. 2 2 (1)(1)2x y +++= 8．设A 在x 轴上，它到点P 的距离等于到点(0,1,1)Q -的距离的两倍，那么A 点的坐标是( ) A.（1，0，0）和（ -1，0，0） ; B.（2，0，0）和（-2，0，0）; C.（12，0，0）和（1 2 -，0，0） ; D.（，0，00，0） 直线方程 一选择题 １． 已知直线经过点A(0,4)和点B(1,２)，则直线ＡB 的斜率为（ ） A.３ B.-2 C. ２ D. 不存在 2．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．072=+-y x Ｂ.012=-+y x C ．250x y --= D ．052=-+y x 3. 在同一直角坐标系中,表示直线y ax =与y x a =+正确的是( ） x y O x y O x y O x y O A B C D 4.若直线x +a y+2＝0和2ｘ＋3ｙ+1＝0互相垂直，则a =( ) A.32- B ．32 C.2 3 -? D.23 5．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为( ） Ａ. 23 B ．32 C ．32- ?Ｄ． 2 3 - ６、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K ) A 、Ｋ1﹤K 2﹤K 3 B 、Ｋ2﹤K 1﹤K ３ Ｃ、K 3﹤K 2﹤K １ D 、K １﹤K 3﹤K 2 ７、直线2x+3y-5=０关于直线y=x Ａ、3ｘ＋2ｙ-５=0 B 、２x-３ｙ-5=0 C 、3ｘ+2y ＋5=0 D 、3x －2y －5=０ 8、与直线2x+3ｙ-６＝０关于点（1,-1)对称的直线是（ ) A.3x-２y-6＝０ B.２ｘ+３ｙ+7=0 C. 3x-2y-1２=0 D. 2ｘ＋3ｙ+８＝０ 9、直线５x －２y-10＝0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b ，则（ ) A.a=2,ｂ＝５; B.a ＝2,b ＝5-; C.a=2-,b=5； D.a ＝2-,b=5-. 10.平行直线x －y +1 = 0,x －y －1 ＝ 0间的距离是 ?( ） Ａ． 2 2 B.2?C ．2 D.22 11、过点Ｐ(4，-1）且与直线3x-4y ＋6＝0垂直的直线方程是（ ) A 4ｘ+3y －1３＝0 B 4ｘ－３y-19=0 C 3x －4ｙ－１6=0 Ｄ 3x+4y －８=0 二填空题(共20分,每题5分） 12. 过点(1,２）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 __； x 2011—2012学年度第二学期 2010级数学期中试卷 姓名班级成绩 一、单项选择：（10*4） 1、已知直线L的方向向量为（1、2），则直线的斜率K=（） A、1 B、2 C、3 D、4 2、已知直线L的倾斜角为45゜，则直线的斜率K=（） A、1 B、2 C、3 D、4 3、已知直线L上的两个点A（1、2）、B( 4、14)，则直线的斜率 K=（） A、1 B、2 C、3 D、4 4、判断下列关系错误的是（）。 A、与一条直线平行的非零向量叫做这条直线的方向向量 B、与一条直线垂直的非零向量叫做这条直线的法向量 C、一条直线 L向上的方向与X轴正方向所成的最小正角a， 叫做直线L的倾斜角 D、斜截式方程：y=kx+b中，k是它的斜率，而b称为 直线 L在X轴上的截距 5、判断下列关系错误的是（）。 A、方程式：Ax+By+C=0 (A,B不全为零)称为直线的一般式方程， 而向量（A、B）为直线Ax+By+C=0的一个法向量 B、方程式：Ax+By+C=0 (A,B不全为零)称为直线的一般式方程， 而向量（B、-A）或（-B、A）为直线Ax+By+C=0的一个方向向量 C、如果已知直线的斜率为K，则（1、K）是该直线的一个方向向量 D、方程式：x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆 6、圆：(x-1) 2+（y-3）2=5中，圆心坐标为（）。 A、（1、3） B、（-1、3 ） C、（3、-1） D、（-1、-3） 7、圆：(x-1) 2+（y-3）2=25中，则该圆的半径为（）。 A、1 B、3 C、5 D、25 8、直线：3x-4y-1=0的一个法向量为（） A、（3、4） B、（3、-4 ） C、（4、3） D、（4、-3） 9、已知直线a：2x-4y+7=0和直线b: x-2y +5=0，则两直线的 位置关系为（）。 A、平行 B、相交 C、重合 D、无法判断 10、判断下列关系错误的是（）。 A、与直线Ax+By+C=0 (A,B不全为零)平行的直线都可以表示成 Ax+By+D=0 （D≠C） B、与直线Ax+By+C=0 (A,B不全为零)垂直的直线都可以表示成 Bx-Ay+D=0 （D≠C） C、圆的方程式：(x-a) 2+（y-b）2=r2称为圆的标准方程式 D、圆的方程式：x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的标准方程式 二、填空题：（6*4） 11、过点P（1、2），且一个法向量为（3、4）的直线方程为 12、过点P（1、-2），且一个方向向量为（-1、3）的直线方程 为。 13、已知直线L过点P（1、2），且斜率为-2，则直线L的方程式 为。 14、圆心坐标为（-2、1），半径为2的圆的标准方程式为 15、圆的一般方程式为：x2+y2+4x-6y-12=0，则圆心坐标为 该圆的半径为 圆的方程题型总结 一、基础知识 1．圆的方程 圆的标准方程为___________________；圆心_________，半径________. 圆的一般方程为___________ _________ ____；圆心________ ，半径__________. 二元二次方程2 2 0Ax Cy Dx Ey F 表示圆的条件为： (1)_______ _______； (2) _______ __ . 2.直线和圆的位置关系： 直线0Ax By C ++=，圆2 2 2 ()()x a y b r -+-=，圆心到直线的距离为d. 则：（1）d=_________________； （2）当______________时，直线与圆相离； 当______________时，直线与圆相切； 当______________时，直线与圆相交； （3）弦长公式：____________________. 3. 两圆的位置关系 圆1C :2 2 21 1 1x a y b r ； 圆2C :2 2 22 2 2x a y b r 则有：两圆相离? _____________________； 两圆外切 ?______________________； 两圆相交?______________________； 两圆内切?_____________________； 两圆内含?_____________________. 二、题型总结： （一）圆的方程 1. ★2 2 310x y x y ++--=的圆心坐标 ，半径 . 2．★★点(1,2-a a )在圆x 2+y 2－2y －4=0的内部，则a 的取值范围是（ ） A ．－1所表示的曲线关于直线y x =对称，必有（ ） A ．E F = B ．D F = C ． D E = D ．,,D E F 两两不相等 4．★★★圆03222 2 2 =++-++a a ay ax y x 的圆心在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5. ★若直线34120x y 与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB 为直径的圆的方程是 （ ） A. 2 2430x y x y B. 22430x y x y C. 2 2 434 0x y x y D. 2 2 438 0x y x y 6. ★★过圆2 2 4x y +=外一点()4,2P 作圆的两条切线,切点为,A B ,则ABP ?的外接圆方程是（ ） A. 42x y --2 2 ()+()=4 B. 2x y -2 2 +()=4 C. 42x y ++2 2 ()+()=5 D. 21x y -+2 2 ()+()=5 7. ★过点1,1A ,1,1B 且圆心在直线20x y 上的圆的方程（ ） A. 2 2 3 14x y B.2 2 3 1 4x y C. 22 1 1 1x y D. 2 2 1 1 1x y 8．★★圆2 2 2690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是 （ ） A ．2 2 (7)(1)1x y +++= B ．2 2 (7)(2)1x y +++= C ． 2 2 (6)(2)1x y +++= D ．2 2 (6)(2)1x y ++-= 第四章单元测试题 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是( ) A．相离B．相交 C．外切D．内切 2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为( ) A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0 C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0 3．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为( ) A．1，－1 B．2，－2 C．1 D．－1 4．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，6)的切线方程是( ) A．x＋6y－10＝0 x－2y＋10＝0 C．x－6y＋10＝0 D．2x＋6y－10＝0 5．点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是( ) A．(－3,3，－1) B．(－3，－3，－1) C．(3，－3，－1) D．(3,3,1) 6．若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点，点C是点D(2，－2,5)关于y轴对称的点，则|AC|＝( ) A．5 C．10 7．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为( ) 或－ 3 和－2 8．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是( ) A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0 C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0 圆与方程测试题 一、选择题 1．若圆C的圆心坐标为(2，－3)，且圆C经过点M(5，－7)，则圆C的半径为()． A．5B．5 C．25 D．10 2．过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()． A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 3．以点(－3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()． A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16 C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝19 4．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为()． A．0或2 B．2 C．2D．无解 5．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝20在x轴上截得的弦长是()． A．8 B．6 C．62D．43 6．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系为()． A．内切B．相交C．外切D．相离 7．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是()． A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0 8．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的公切线有且仅有()． A．4条B．3条C．2条D．1条 9．在空间直角坐标系中，已知点M(a，b，c)，有下列叙述： 点M关于x轴对称点的坐标是M1(a，－b，c)； 点M关于y oz平面对称的点的坐标是M2(a，－b，－c)； 点M关于y轴对称的点的坐标是M3(a，－b，c)； 点M关于原点对称的点的坐标是M4(－a，－b，－c)． 其中正确的叙述的个数是()． A．3 B．2 C．1 D．0 10．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(2，－1，6)的距离是()． A．243B．221C．9 D．86 二、填空题 11．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为． 12．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为． 13．以点C(－2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是． 14．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，试确定常数a的值． 15．圆心为C(3，－5)，并且与直线x－7y＋2＝0相切的圆的方程为． 16．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程是． 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 2224)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2 = ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解． 解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-： ． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆04242 2 =---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2 2 2 7)14()2(=-+-a ，或2 2 2 1)14()2(=-+-a (无解)，故可得 1022±=a ． ∴ 所 求 圆 方 程 为 2 224)4()1022(=-+--y x ，或 2224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2 2 2 7)14()2(=--+-a ，或2 2 2 1)14()2(=--+-a (无解)，故 622±=a ． ∴ 所 求 圆 的 方 程 为 2 224)4()622(=++--y x ，或 2224)4()622(=+++-y x ． 说明：对本题，易发生以下误解： 由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如 2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其 圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2 2 2 7)14()2(=-+-a ，解 《直线与圆的方程》练习题1 一、 选择题 1.方程x 2+y 2 +2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值 依次为（ B ） （A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-4 2.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ A ） (A) 11<<-a (B) 10<- 8.一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22 :(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是 （ A ） A ．4 B ．5 C ．321- D ．26 9．直线0323=-+y x 截圆x 2 +y 2 =4得的劣弧所对的圆心角是 ( C ) A 、 6π B 、4π C 、3π D 、2 π 10.如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域(含边界)，A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点P (x ，y )、点P ′(x ′，y ′)满足x ≤x ′且y ≥y ′，则称P 优于P ′.如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧 ( ) A.AB B.BC C.CD D.DA [答案] D [解析] 首先若点M 是Ω中位于直线AC 右侧的点，则过M ，作与BD 平行的直线交ADC 于一点N ，则N 优于M ，从而点Q 必不在直线AC 右侧半圆内；其次，设E 为直线AC 左侧或直线AC 上任一点，过E 作与AC 平行的直线交AD 于F .则F 优于E ，从而在AC 左侧半圆内及AC 上(A 除外)的所有点都不可能为Q ，故Q 点只能在DA 上． 二、填空题 11.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是 (13,13)- ． 12.圆：0642 2 =+-+y x y x 和圆：062 2 =-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是 390x y --= 13.已知点A(4,1)，B(0,4)，在直线L ：y=3x-1上找一点P ，求使|PA|-|PB|最大时P 的坐标是 （2,5） 14.过点A (－2,0)的直线交圆x 2＋y 2 ＝1交于P 、Q 两点，则AP →·AQ →的值为________． [答案] 3 [解析] 设PQ 的中点为M ，|OM |＝d ，则|PM |＝|QM |＝1－d 2，|AM |＝4－d 2.∴|AP →|＝4－d 2 －1－d 2，|AQ →|＝4－d 2＋1－d 2 ， 直线与圆的方程复习题 一、选择题 1．若直线0=-+a ay x 与直线01)32(=---y a ax 垂直,则a 的值为 ( ) A ．2 B ．-3或1 C ．2或0 D ．1或0 2．从集合}10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{中任取三个不同的元素作为直线0:=++c by ax l 中c b a ,,的值，若直线l 倾斜角小于?135，且l 在x 轴上的截距小于1-，那么不同的直线l 条数有 A 、109条 B 、110条 C 、111条 D 、120条 3．已知圆222:()()(0)C x b y c a a -+-=>与x 轴相交，与y 轴相离，圆心(,)C b c 在第一象限，则直线0ax by c ++=与直线10x y ++=的交点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知两点(2,3)M -、(3,2)N --，直线l 过点(1,1)P 且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 A ．344k -≤≤ B ．34 k ≥或4k ≤- C ．344k ≤≤ D ．344k -≤≤ 5． 已知直线a 与直线b 垂直,a 平行于平面α,则b 与α的位置关系是( ) A.b∥α B.b α C.b 与α相交 D.以上都有可能 6．平行直线03125=++y x 与052410=++y x 的距离是（ ） A.132 B.131 C. 261 D.265 7．过点(1,1)A -且与线段3230(11)x y x --=-≤≤相交的直线倾斜角的取值范围是（ ） A.[,]42ππ B.[,)2ππ C.[0,][,)42πππU D.(0,][,]42 πππU 8．过点()2,11A 作圆01644222=--++y x y x 的弦，其中弦长为整数的共有（ ） A ．16条 B ．17条 C ．32条 D ．34条 9．直线03)1(:1=--+y a ax l 与02)32()1(:2=-++-y a x a l 互相垂直，则a 的值是（ ） A ．3- B ．1 C ．0或23 - D ．1或3- 10．圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是（ ） A ．（2，3） B ．（-2，3） C ．（-2，-3） D ．（2，-3） 11．经过圆0222=++y x x 的圆心C ，且与直线x+y ＝0垂直的直线方程是（ ） A ．01=--y x B. 01=+-y x C.01=-+y x D. 01=++y x 12．若曲线C ：04542222=-+-++a ay ax y x 上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为（ ） A ．)2,(--∞ B ．)1,(--∞ C ．),1(∞+ D ．),2(∞+ 二、填空题 13．已知直线斜率的绝对值等于１，直线的倾斜角 ． 14．过点(1,3)A -且平行于直线230x y -+=的直线方程为 15．在空间直角坐标系O-xyz 中，若A(1,3,2)关于y 轴的对称点为A 1，则线段AA 1的长度为 16．设曲线y=（ax ﹣1）e x 在点A （x 0，y 1）处的切线为l 1，曲线y=（1﹣x ）e ﹣x 在点B （x 0，y 2）处的切线为l 2．若存在 ，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为 ． 17．若直径为2的半圆上有一点P ，则点P 到直径两端点,A B 距离之和的最大值 高中数学直线与圆精选题目（附答案） 一、两直线的位置关系 1．求直线斜率的基本方法 (1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k ＝tan α. (2)公式法：已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则斜率k ＝y 2－y 1 x 2－x 1. 2．判断两直线平行的方法 (1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2?l 1∥l 2. (2)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l 1∥l 2. 3．判断两直线垂直的方法 (1)若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1?l 1⊥l 2. (2)已知直线l 1与l 2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l 1⊥l 2. 1.已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)； (2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)－b ＝0，① 又l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 解①②组成的方程组得??? a ＝2， b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b ＝1－a .③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数， 即4 b ＝－(－b )．④ 由③④联立，解得??? a ＝2， b ＝－2或????? a ＝23 ，b ＝2. 经检验此时的l 1与l 2不重合，故所求值为 ??? a ＝2， b ＝－2或????? a ＝23 ， b ＝2. 注： 已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0 (1)对于l 1∥l 2的问题，先由A 1B 2－A 2B 1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l 1和l 2是否重合，若重合，舍去． (2)对于l 1⊥l 2的问题，由A 1A 2＋B 1B 2＝0解出字母的值即可． 2．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－4 3 C ．2 D ．3 解析：选D 由2a －6＝0得a ＝3.故选D. 3．已知直线x ＋2ay －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( ) A.32 B.32或0 C ．0 D ．－2 解析：选A 当a ＝0时，两直线的方程化为x ＝1和x ＝1，显然重合，不符合题意；当a ≠0时，a －11＝a 2a ，解得a ＝3 2.故选A. 二、直线方程 1．直线方程的五种形式 第八章：直线与圆测试题 、选择题(本大题共10小题，每小题3 分, 共 30 分) 1?点M 2,1与点N 5, 1的距离为 A ,13 B 、 ,14 C 、 .15 2.在平面内，一条直线倾斜角的范围是 0,2 B 、 0, C 、 ,0 3.直线x=3的倾斜角是 A 、 00 B 4.已知 口 A (- 5,: A -1 B 5.如图直线l 1 ,12 A k 2 > k 3 B k 2 > k 1 > k 3 C k 3 > k 2 > k 1 D k 2 > k 3 > k 1 6.经过点(1 ,2) 、1 1 A 、 y ,B( 0, 300 -3) 7.直线2x A 1 2 8.直线x A 、相交 、900 、不存在 则直线AB 斜率为 ,I 3的斜率分别为 k 1 , k 2 , k a 则 且倾斜角为45°的直线方程为 ( ) A y 2x C 、 y x 3 0与两坐标轴围成的三角形面积为 、18 2x 0和y 1 0的位置关系是 B 、平行 C 、重合 D 、以上都不对 9.过点A（2,1），且与直线2x y 10 0垂直的直线I的方程为（） A、x2y 0 B 、2x y 0 C 、x2y 0D、2x y 0 10.圆心为(-1,4 ) ，半径为5的圆的方程为() A、(x1)2 (y4)225 B、(x1)2(y4)225 C、(x1)2 (y4)2 5 D、(x1)2(y4)25 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知A（7,4），B（3,2），则线段AB的中点坐标是_________ . 12. 直线y 1 0的倾斜角为, 13. 经过点（1，3），（5，11）的直线方程为_____________________ 14. 直线y kx 1 经过（2，-9 ），贝U k= ___________________ 15. 直线mx y 6 0与直线2x 3y 6 0平行，则m= _______ 16. 原点到直线4x 3y 8 0的距离为 ____________ 17. 已知圆的方程为x2 y2 2x 4y 0，则圆心坐标为 ___________________ ,半径为___ 18. 直线与圆最多有多少个公共点 ___________ 三、解答题（本大题共6小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤） 19. 已知三角形的顶点是A（1，5）,B（1，1）, C（6 ，3）,求证：ABC是等腰三角 形。（6分）直线与圆的方程典型例题
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