2012高考数学理最后冲刺【六大解答题】
统计和概率专练
1.某学校为调查高三年学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））.已知图（1）中身高在170 ~175cm的男生人数有16人．
图（1）图（2）
（Ⅰ）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？
（Ⅱ）根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大（百分几）的把握认为“身高与性别有关”?
（Ⅲ）在上述80名学生中，从身高在170～175cm之间的学生中按男、女性别分层抽样的方法，抽出5人，从这5人中选派3人当旗手，求3人中恰好有一名女生的概率．
参考公式：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
参考数据：
本小题主要考查频
图、22
?列率分布直方
联表和概率等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）直方图中，因为身高在170 ~175cm 的男生的频率为0.0850.4?=， 设男生数为1n ，则1
160.4n =
，得140n =.………………………………………4分
由男生的人数为40，得女生的人数为80-40=40.
（Ⅱ）男生身高cm 170≥的人数30405)01.002.004.008.0(=??+++=，女生身高cm 170≥的人数440502.0=??，所以可得到下列列联表：
…………………………………………6分 2
2
80(3036104)34.5810.82840403446
K
??-?=
≈>???， (7)
分
所以能有99．9％的把握认为身高与性别有关；…………………………………………8分
（Ⅲ）在170～175cm 之间的男生有16人，女生人数有4人．
按分层抽样的方法抽出5人，则男生占4人，女生占1人. ………………………9分 设男生为1234,,,A A A A ，女生为B . 从
5
人
任
选
3
名
有:123(,,),A A A 124(,,),A A A 12(,,),A A B 134(,,),A A A 13(,,),A A B 14(,,),A A B
234(,,),
A A A 23(,,),
A A
B 24(,,),
A A
B 34(,,)
A A
B ,共10种可
能，………………………………10分
3
人
中
恰
好
有
一
名
女
生
有:12(,,),A A B 13(,,),A A B 14(,,),A A B 23(,,),A A B 24(,,),A A B 34(,,),A A B 共6种可能，………………………11分
故所求概率为
63 105
=．
2.某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，
得到的频率分布表如下左图所示．
（I）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（Ⅲ）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？
解：
（Ⅰ）由题意知，第2组的频数为0.3510035
?=人,
第3组的频率为
30
0.300 100
=,
频率分布直方图如下:
………………………………………………………………4分（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组
分别为:
第3组:30
63
60
?=人.
第4组:20
62
60
?=人.
第5组:
106160
?=人,
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.…………………………………………8分 （Ⅲ）设第3组的3位同学为123,,A A A ,第4组的2位同学为12,B B ,第5组的1位同学为1C ,
则从六位同学中抽两位同学有15种可能如
下:12(,),A A 13(,),A A 11(,),A B 12(,),A B 11(,),A C 23(,),A A 21(,),A B 22(,),
A B 21(,),
A C
31(,),A B 32(,),A B 31(,),A C 12(,),B B 11(,),B C 21(,),B C 其中第4组的2位同学至少有
一位同学
入
选
的
有:11(,),A B 12(,),A B 21(,),A B 22(,),A B 31(,),A B 12(,),B B 32(,),A B 11(,),B C 21(,),
B C
共9种．
所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为
93.15
5=
3.对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，
随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数. （第18题图） 根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；
（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)
内的人数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人
参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率. 解（Ⅰ）由分组[20,25)内的频数是4，频率是0.1知，
40.1M
=，所以40M =
因为频数之和为40，所以424240m +++=，10m =.10
0.2540
m
p M ==
=---4分
因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405
a =
=?----------6分
（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人. ……----8分 （Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人， 设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b
2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况， ……10分
而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种，所以所求概率为114115
15
P =-
=
5.某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
（I ）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求
a ，
b ，
c 的值；
(Ⅱ)在（I ）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1，x 2，x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1，y 2，现从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率． 解：(Ⅰ)由频率分布表得a ＋0.2＋0.45＋b ＋c ＝1，即a ＋b ＋c ＝0.35.
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b ＝3
20
0.15.
等级系数为5的恰有2件，所以c ＝2
20
＝0.1.
从而a ＝0.35－b －c ＝0.1.
所以a ＝0.1，b ＝0.15，c ＝0.1. ………………6分
(Ⅱ)从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，所有可能的结果为：
{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 1，y 1}，{x 1，y 2}，{x 2，x 3}，{x 2，y 1}，{x 2，y 2}，{x 3，y 1}，{x 3，y 2}，{y 1，y 2}．
设事件A 表示“从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件为：
{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 2，x 3}，{y 1，y 2}，共4个． 又基本事件的总数为10，
故所求的概率P (A )＝4
10
＝0.4. ………………12分
6. 已知A 、B 、C 三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着
号码1，另一个球标着号码2，现从A 、B 、C 三个箱子中各摸出1个球。 （1）若用数组（x ，y ，z ）中的x 、y 、z 分别表示从A 、B 、C 三个箱子中摸出的球的
号码，请写出数组（x ，y ，z ）的所有情形，并回答一共有多少种； （2）如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由。
(1)解：数组(x ，y ，z )的所有情形为：(1，1，1)，(1，1，2)，(1，2，1)，(1，2，2)，(2，1，
X 1 2 3 4 5 频率
a
0.2
0.4
b
c
1)，(2，1，2)，(2，2，1)，(2，2，2)，共8种 6分
注：列出所有情形，得6分，列出5种以上情形，得4分．
(2)解：摸出的三个球号码的和可能为3，4，5，6，故记“所摸出的三个球号码之和为i ”为事件A i (i = 3，4，5，6) 8分
易知，事件A 3包含有1个基本事件，事件A 4包含有3个基本事件，事件A 5包含有3个基本事件，事件A 6包含有1个基本事件 10分 ∴34561331()()()()8
8
8
8
P A P A P A P A =
=
=
=
，，，
7.为了淮北市争创“全国文明城市”，市文明委组织了精神文明建设知识竞赛。 统计局调
查中心随机抽取了甲．乙两队中各6名组员的成绩，得分情况如下表所示：
（1）根据表中的数据，哪个组对精神文明建设知识的掌握更为稳定？
（2）用简单随机抽样方法从乙组6名成员中抽取两名，他们的得分情况组成一个样本，
求抽出的两名成员的分数差值至少是4分的概率。 解析：（1）由题意可知，
()879088888785846
1=+++++=甲X ， ………………1分
()87908988878682
61=+++++=
乙X (2)
分
(
)4
])
8790(87-88)8788()8787()8785()8784([612
222222
=-++-+-+-+-=）（甲
S ……3分
(
)
3
20])8790(87-89)8788()8787()8786()8782([6
12
222222
=
-++-+-+-+-=
）（乙S ……4分 因为3
204<
，所以甲组的成绩比乙组稳
定。 ………6分
（2）从乙组抽取两名成员的分数，所有基本事件为（用坐标表示）：（82，86），（82，87），（82，87），（82，89），（82，90），（86，87），（86，88），（86，89），（86，90），
（87，88）（87，89）（87，90），（88,89），（88,90），（89，90）共15种情况。 ………………8分
则抽取的两名成员的分数差值至少是4的事件包含：（82，86），（82，87），（82，87），（82，89），（82，90），（86，90）共6种情
况。 ………………10分
由古典概型公式可知，抽取的两名成员的分数差值至少是4分的概率P=
5
2
8.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
（I ）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为，，求事件“m ，n
均小于25”的概率；
（II ）请根据3月2日至3月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程???y
bx a =+； （III ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则
认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（II ）所得的线性回归方程是否可靠？
（参考公式：回归直线方程式???y
bx a =+，其中1
2
2
1
???,n
i
i
i n
i i x y
n x y
b a
y b x x n x
==-==--∑∑
） （I ）m ，n 构成的基本事件（m ，n ）有：（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，
30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共有10个．
………………………………………………………………2分
其中“m ，n 均小于25”的有1个，其概率为110
． ………………………4分
（II ）∵12,27,x y == ∴2
2
2
2
11251330122631227
51113123122
b ?+?+?-??=
=
++-?． ………………………6分
于是，5271232
a =-?=-． ……………………………………………8分
故所求线性回归方程为5?32
y x =-． …………………………………………9分
（III ）由（2）知5?32
y
x =-，
当x =10时，y =22；当x =8时，y =17． ………………………………………11分
与检验数据的误差均为1，满足题意.
故认为得到的线性回归方程是可靠的．
9.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等。
（1）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率； （2）求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率. （Ⅰ）当12p q ==
时，ξ～13,
2B ?
?
??
?
.--------------------------3分 故1332
2
E np ξ==?=
，()1
13131224
D np p ξ?
?=-=?
?-= ???. ---------6分 （Ⅱ）ξ的可取值为0,1,2,3.
2
214(0)(1)3
3
27P ξ==--=
2
1
322
2
2
2
22
21212
(1)(1(1(1(2()()3333333327P C ξ==
-
+-
-
=+=
； 122221
1219(2)(1)(1)()33333327
P C ξ==??-+-=
； 22
12
(3)(3327
P ξ==
?=
--------------------10分 ξ的分布列为
412924
012327
27
27
27
3E ξ=?
+?
+?+?
= ----------------------
12分
10. 为了解学生喜欢数学是否与性别有关，对50个学生进行了问卷调查得到了如下的列联表：
(参考公式：2
2
()
()()()()
na d b c K a b c d a c b d -=
++++，其中n abc d
=+++) .
分
（2）∵2
2
50(2015105)
8.3337.87930202525
K ??-?=≈>???------------------------10分
∴有99.5％的把握认为喜爱数学与性别有关.---------------------12分
11. 为了比较注射,A B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选200只老鼠做试验,将这200只老鼠随机地分成两组,每组100只,其中一组注射药物A (称为A 组),另一组注射药物
B(称为B组),则,A B两组老鼠皮肤疱疹面积(单位:2
mm)的频率分布表、频率分布直方图分别如下.
(Ⅰ)为方便,A B两组试验对比,现都用分层抽样方法从
,A B两组中各挑出20只老鼠,求A B、两组成肤疱疹
面积同为[60,65)的这一区间应分别挑出几只?
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,将,A B两组挑出的皮肤疱疹面积
同为[60,65)这一区间上的老鼠放在一起观察,几天
后,从中抽取两只抽血化验,求B组中至少有1只被
抽中的概率.
【解】(Ⅰ)由A组频数分布表可知,A组中[60,65)这一小组的频数为20,………1分由B组频率分布直方图可知,B组中[60,65)这一小组的频率为
1(0.0550.0450.0650.035)0.1
-?+?+?+?=…………………3分
所以这一小组频数为1000.110
?=……………………4分
由于是分层抽样,所以
20
204
100
?=,
20
102
100
?=…………………5分
即A B
、两组中成肤疱疹面积同为[60,65)的这一区间应分别挑出4只、2只………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,A B两组中[60,65)这一区间上挑出的老鼠分别有4只、2只, 设编号分别为1,2,3,4;5(B组),6(B组),…………………7分
则从中抽取两只的所有基本事件如下
(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6); (2,3), (2,4), (2,5),(2,6); (3,4), (3,5),(3,6); (4,5),(4,6); (5,6)
共有15个……………………………………8分
显然事件C={B组中至少有1只被抽中}发生包含了以下9个基本事件,
(1,5), (1,6); (2,5),(2,6); (3,5),(3,6); (4,5),(4,6); (5,6)……………10分
所以由古典概型知
93 ()
155 P C==
12.已知集合{2,0,1,3},
A=-在平面直角坐标系中，点M(x,y)的坐标,
x A y A
∈∈。（1）请列出点M的所有坐标；
（2）求点M不在x轴上的概率；
（3）求点M正好落在区域
50
x y
x
y
+-<
?
?
>
?
?>
?
上的概率。
解：（1） 集合A＝{-2,0,1,3},点M(x,y)的坐标,
x A y A
∈∈，∴点M的坐标共有：4416
?=个，分别是：
（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（0,-2），（0,0），（0,1），（0,3）；
（1,-2），（1,0），（1,1），（1,3）；（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3）…………………….4分 （2）点M 不在x 轴上的坐标共有12种：
（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（1,-2），（1,0），（1,1），（1,3）； （3,-2），（3,0），（3,1），（3,3） 所以点M 不在x 轴上的概率是112316
4
P =
=………………………………………..8分
（3）点M 正好落在区域50
00x y x y +-
>??>?
上的坐标共有3种：（1,1），（1,3），（3,1）
故M 正好落在该区域上的概率为2316P =
13.中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100 ml(不含80)之间，属于酒后贺车；在80 mg /100 ml (含80)以上时，属醉酒贺车，对于酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员公安机关将给予不同程度的处罚．
某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦
查行动中，依法检查了250辆机动车，查出酒后
驾车和醉酒贺车的驾驶员20人，下图是对这20人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求：此次抽查的250人中，醉酒驾车的人数；
(2)从血液酒精浓度在[70,90)范围内的驾驶员中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率． 解: (1)
(2)因为血液酒精浓度在[70,80)内范围内应抽3人，记为a ，b ，c ， [80,90)范围内有2人，记为d ，e ，则从中任取2人的所有情况为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(
c ，
d )，(c ，
e )，(d ，e )，共10种…………………………………………….8分
恰有一人的血液酒精浓度在[80,90)范围内的情况有(a ，d )，(a ，e )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，共6种，……………………………………………………………………….10分
设“恰有1人属于醉酒驾车”为事件A ，则P (A )＝610＝3
5.……
14. 2.5P M 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国
2.5P M 标准采用世卫组织设定的最宽限值， 2.5P M 日均值在35微克/立方米以下空气质
量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标.
某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的 2.5
P M监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出2天.
（Ⅰ）求恰有一天空气质量超标的概率;
（Ⅱ）求至多有一天空气质量超标的概率.
解：由茎叶图知：6天有4天空气质量未超标，有
2天空气质量超标.…………2分
记未超标的4天为,,,
a b c d，超标的两天为,e f．则从6天中抽取2天的所有情况为：a b，ac，a d，ae，af，bc，b d，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，基本事件数为15．…………4分
（Ⅰ）记“6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A，可能结果为：ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，基本事件数为8．
∴()
8 15
P A=；……………6分
（Ⅱ）记“至多有一天空气质量超标”为事件B，
“2天都超标”为事件C，其可能结果为ef，…………………………8分
故()
1 15
P C=，…………………………………………………………10分
15.为加强中学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进教育教学改革，郑州市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛.某校举行选拔赛，共有200名学生参加，为了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：
(I)若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000,001,002,…，199，试写出第二组第一位学生的编号；
(II) 求出a,b,c,d,e 的值(直接写出结果），并作出频率分布直方图；
(III)若成绩在85.5?95. 5分的学生为二等奖,问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？
[解析] (Ⅰ)编号为004. ……3分
(Ⅱ) a ，b ，c ，d ，e 的值分别为
13, 4, 0.30, 0.08， 1.…… ……8分 (Ⅲ)在被抽到的学生中获二等奖的人数 9＋2＝11(人)，占样本的比例是
1150
＝0.22，
即获二等奖的概率为22%，所以获二等奖 的人数估计为200×22%＝44(人)．
答：获二等奖的大约有44人．……12分
16.某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
（I ）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求
a ，
b ，
c 的值；
(Ⅱ)在（I ）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1，x 2，x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1，y 2，现从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率． 解：(Ⅰ)由频率分布表得a ＋0.2＋0.45＋b ＋c ＝1，即a ＋b ＋c ＝0.35.
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b ＝3
20
0.15.
等级系数为5的恰有2件，所以c ＝2
20
＝0.1.
从而a ＝0.35－b －c ＝0.1.
X 1 2 3 4 5 频率
a
0.2
0.4
b
c
所以a ＝0.1，b ＝0.15，c ＝0.1. ………………6分
(Ⅱ)从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，所有可能的结果为：
{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 1，y 1}，{x 1，y 2}，{x 2，x 3}，{x 2，y 1}，{x 2，y 2}，{x 3，y 1}，{x 3，y 2}，{y 1，y 2}．
设事件A 表示“从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件为：
{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 2，x 3}，{y 1，y 2}，共4个． 又基本事件的总数为10， 故所求的概率P (A )＝4
10
＝0.4.
17. 已知A 、B 、C 三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着号码1，另一个球标着号码2，现从A 、B 、C 三个箱子中各摸出1个球。
（1）若用数组（x ，y ，z ）中的x 、y 、z 分别表示从A 、B 、C 三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组（x ，y ，z ）的所有情形，并回答一共有多少种；
（2）如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由。
(1)解：数组(x ，y ，z )的所有情形为：(1，1，1)，(1，1，2)，(1，2，1)，(1，2，2)，(2，1，
1)，(2，1，2)，(2，2，1)，(2，2，2)，共8种 6分
注：列出所有情形，得6分，列出5种以上情形，得4分．
(2)解：摸出的三个球号码的和可能为3，4，5，6，故记“所摸出的三个球号码之和为i ”为事件A i (i = 3，4，5，6) 8分
易知，事件A 3包含有1个基本事件，事件A 4包含有3个基本事件，事件A 5包含有3个基本事件，事件A 6包含有1个基本事件 10分 ∴34561331()()()()8
8
8
8
P A P A P A P A =
=
=
=
，，，
18．有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查．某中学A B 、两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A 班5名学生得分为：5，8，9，9，9；B 班5名学生得分为：6，7，8，9，10． （Ⅰ）请你估计A B 、两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些； （Ⅱ）如果把B 班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率． 解：（Ⅰ）∵A 班的5名学生的平均得分为(58999)++++÷58=， ………1分
方差2
22222
11[(58)(88)(98)(98)(98)] 2.45S =
-+-+-+-+-=；……3分
B 班的5名学生的平均得分为(678910)++++÷58=， ……………………4分
方差2
22222
21[(68)(78)(88)(98)(108)]25
S =
-+-+-+-+-=． ……6分
∴ 2
2
12S S >，
∴ B 班的预防知识的问卷得分要稳定一些． …………………………8分
（Ⅱ）从B 班5名同学中任选2名同学的方法共有10种， …………………10分 其中样本6和7，6和8，8和10，9和10的平均数满足条件，故所求概率为
5
210
4=．
19.近年来，我国机动车拥有量呈现快速增加的趋势，可与之配套的基础设施建设速度相对
迟缓，交通拥堵问题已经成为制约城市发展的重要因素，为了解某市的交通状况，现对
其6条道路进行评估，得分分别为5、6、7、8、9、10规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：
（1）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级。
（2）用简单随机抽样方法从6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本
的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。
解：（1）7.5x =合格---------------------6分
（2）基本事件为（5，6）（5，7）（5，8）（5，9）（5，10）（6，7）（6，8）（6，9）（6，10）（7，8）（7，9）（7，10） （8，9）（8，10）（9，10）共15个7()15P A =
19．（本小题满分12分）
一工厂生产甲, 乙, 丙三种样式的杯子,每种样式均有500ml 和700ml 两种型号,
某天的产量如右表(单位:个):
按样式进行分层抽样，在该天生产的杯子中抽取100个,其中有甲样式杯子25个. （I ）求z 的值； （II ）用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个500ml 杯子的概率．
解: （I ）设该厂本月生产的乙样式的杯子为n 个,在丙样式的杯子中抽取x 个，由题意得,
255000
8000
x =
,所以x=40. -----------2分
则100－40－25＝35，所以，
,355000
25n
=n=7000，
故z ＝2500 ----------6分 （II ）设所抽样本中有m 个500ml 杯子,
因为用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本, 所以
,5
5000
2000m =,解得m=2 -----------9分
也就是抽取了2个500ml 杯子,3个700ml 杯子,分别记作S 1,S 2;B 1,B 2,B 3,则从中任取2个的所有基本事件为(S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),(B 1 ,B 2), (B 2 ,B 3) ,(B 1 ,B 3)共10个,其中至少有1个500ml 杯子的基本事件有7个基本事件: (S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),所以从中任取2个,
至少有1个500ml 杯子的概率为
710
.
20．一化工厂因排污趋向严重，2011年1月决定着手整治。经调研，该厂第一个月的污染60
污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式： ()204(1)f x x x =-≥，2
20()(4)(1)3
g x x x =
-≥，2()30log 2(1)h x x x =-≥，
其中x 表示月数，()()()f x g x h x 、、分别表示污染度． （参考数据：4771.03lg ,3010.02lg ==）
（Ⅰ）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；
（Ⅱ）如果环保部门要求该厂每月的排污度均不能超过60，若以比较合理的模拟函数预测，该厂最晚在何时开始进行再次整治？
（Ⅰ） (2)40,(2)26.7,(2)30f g h =≈= …………3分
(3)20,(3) 6.7,(3)12.5f g h =≈≈ …………6分
由此可得()h x 更接近实际值，所以用()h x 模拟比较合理. …………7分 （Ⅱ）因2()30log 2h x x =-在4x ≥上是增函数，又因为(16)60h = ………12分 这说明第一次整治后有16个月的污染度不超过60， 故应在2012年5月起开始再次整治．
21. 某校高三年级共有450名学生参加英语口语测试，其中男生250名，女生200名。现按
性别用分层抽样的方法从中抽取45名学生的成绩。 （I ）求抽取的男生与女生的人数？
（II ）从男生和女生中抽查的结果分别如下表1和表2；
表1
表2
解析：（Ⅰ）由抽样方法知，被抽取的男生人数为250×
45
450
＝25，
被抽取的女生人数为200×
45
450
＝20．……………………………………………2分 （Ⅱ）男生甲和女生乙被抽到的概率均为0．1，所以男生甲与女生乙至少有1人被抽到的概率：P ＝1－（1－0．1）2＝0．19．……………………………………………………………7分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，m ＝25－（3＋8＋6）＝8，n ＝20－（2＋5＋5）＝8，据此估计 男生平均分为65×3＋75×8＋85×8＋95×6
25＝81．8，
女生平均分为65×2＋75×5＋85×8＋95×5
20＝83；
这450名学生的平均分数为81.8×25＋83×20
45
≈82．33．
22. 设平顶向量m a ＝ （ m , 1）, n b = ( 2 , n )，其中 m ， n ∈{1,2,3,4}. （I ）请列出有序数组（ m ，n ）的所有可能结果；
（II ）记“使得m a ⊥（m a -n b ）成立的（ m ，n ）”为事件A ，求事件A 发生的概率。
（II ）由得，即。由于，故
事件A 包含的基本事件为（2，1）和（3，4），共2个。又基本事件的总数为16，故所求的
概率为。 (12)
23.某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；
(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；
(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率.
解：(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，(2分)
由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.0825，(4分)
(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4；(6分) 频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为4
25
÷10＝0.016.(8分)
(3)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6， 在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,5)，(4,6)， (5,6)共15个，(10分)
其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个， 故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是9
15
＝0.6.(12分)
24.甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2, 红桃3, 红桃4, 方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． （1)设(,)i j 分别表示甲、乙抽到的牌，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况．
（2)若甲 抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲乙约定：若甲抽到的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜。你认为此游戏是否公平，说明你的理由。
26. 某车间在两天内，每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产出了1件、2件次品.而质检部门每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过.
（Ⅰ）求第一天产品通过检查的概率；
（Ⅱ）（文）求两天全部通过的概率. （解：（Ⅰ）∵随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品. ∴第一天通过检查的概率为5
34
10
4
9
1=
=
C C P . ……………………………4分
（Ⅱ）同（Ⅰ），第二天通过检查的概率为3
14
10
4
8
2=
=
C C P . …………………9分
因第一、第二天是否通过检查相互独立， ……………………………10分 所以，两天全部通过检查的概率为5
1315321=?=
=P P P . …………12分
27.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的
程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率； （2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，
求出y 关于x 的线性回归方程;并预报当温差为9 0
C 时的种子发芽数。
解：（1）设抽到不相邻的两组数据为事件A ，从5组数据中选取2组数 据共有10种情况：（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（2，3）
（2，4）（2，5）（3，4）（3，5）（4，5），
····················3分
其中数据为12月份的日期数．每种情况都是可能出现的， 事件A 包括的基本事件有6种． ∴P （A ）=
35
∴选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是3
5
····················6分
（2）由数据，求得 ．
····················8分
由公式，求得b=
52
∴y 关于x 的线性回归方程为5?2
y
=x-3．
····················10分
由此可以预报当温差为9 0C 时的种子发芽数为19或20颗 ····················12分 28.现从3道选择题和2道填空题中任选2题.
（Ⅰ）求选出的2题都是选择题的概率；（Ⅱ）求选出的两题中至少1题是选择题的概率. 解（Ⅰ）记“选出两道都是选择题”为A ，5题任选2题，共有10种，
其中，都是选择题有3种．……………2分 ∴ 3()10
P A =． (4)
分
（Ⅱ）．记“选出1道选择题，1道填空题”为B, ∴ 236()10
10P B ?=
=
……………………………10分
所以，至少有1道选择题的概率 369()()10
10
10
P P A P B =+=
+
=
……………12分
29.先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x 表示第1枚骰子出现的点数，y 表示第2枚骰子出现的点数． （Ⅰ）求点),(y x P 在直线1-=x y 上的概率； （Ⅱ）求点),(y x P 满足
x y 42
<的概率．
解：（Ⅰ）每颗骰子出现的点数都有6种情况，
所以基本事件总数为3666=?个. …………………… 2分 记“点),(y x P 在直线1-=x y 上”为事件A ，A 有5个基本事件：
)}5,6(),4,5(),3,4(),2,3(),1,2{(=A ， …………………… 5分 .365)(=
∴A P
…………………… 6分
（Ⅱ）记“点),(y x P 满足x y 42<”为事件B ，则事件B 有17个基本事件: 当1=x 时，;1=y 当2=x 时，2,1=y ； …………………… 7分
当3=x 时，3,2,1=y ；当4=x 时，;3,2,1=y …………………… 9分 当5=x 时，4,3,2,1=y ；当6=x 时，4,3,2,1=y ． 11分 .36
17)(=∴B P
12分
30.有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4．
（Ⅰ）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的
数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率；（Ⅱ）摸球方法与（Ⅰ）同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？
解：（Ⅰ）用(),x y （x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构
成的基本事件，则基本事件有：
()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、()2,1、()2,2、()2,3、()2,4、()3,1、()3,2、()3,3、()3,4、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4，共16
个； -------------------3分
设：甲获胜的的事件为A ，则事件A 包含的基本事件有：()2,1、()3,1、()3,2、()4,1、
()4,2、()4,3，
共有6个；则 ------------------------------5分63()16
8
P A ==
------------------------------6分
（Ⅱ）设：甲获胜的的事件为B ，乙获胜的的事件为C;事件B 所包含的基本事件有：()1,1、
()2,2、()3,3、()4,4，共有4个；则 -------------------------8分
41()16
4
P B =
= 13()1()14
4
P C P B ∴=-=-
=
----------------------10分
()()P B P C ≠，所以这样规定不公平. -----------------11分
答：（Ⅰ）甲获胜的概率为38
;（Ⅱ）这样规定不公平. -----------------------12分
2012年新课标1卷数学(文科) 第I 卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合2 {|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则（ ） A ．A B B ．B A C ．A B = D ．A B φ= 2．复数32i z i -+= +的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i -- 3．在一组样本数据（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）（2n ≥，1x ，2x ，…，n x 不全相等） 的散点图中，若所有样本点（i x ，i y ）（i =1，2，…，n ）都在直线1 12 y x =+上，则这组样本 数据的样本相关系数为（ ） A ．－1 B ．0 C ． 12 D ．1 4．设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， 21F PF ?是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ A ．12 B ．2 3 C ．34 D ．45 5．已知正三角形ABC 的顶点A （1，1），B （1，3），顶 点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部， 则z x y =-+的取值范围是（ ） A ．（12） B ．（0，2） C ．1，2） D ．（0，1+ 6．若执行右边和程序框图，输入正整数N （2N ≥）和 实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B ，则（ ） A ．A B +为1a ，2a ，…，N a 的和 B ．2 A B +为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数 C ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a
1.【2015·新课标II】某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； 价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率． 2.【2015·福建】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
3.【2015·山东】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10 分；若能被10整除，得1分. 整除，得1 （I）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ； （II）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX. 4.【2015·安徽】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所 需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.
2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数 学（文史类） 参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 2 4S R p = 如果事件相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ? 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3 43V R p = 在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1) (0,1,2,,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 第一部分 （选择题 共60分） 注意事项： 1、选择题必须使用2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。 2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。 一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、设集合{,}A a b =，{,,}B b c d =，则A B = （ ） A 、{}b B 、{,,}b c d C 、{,,}a c d D 、{,,,}a b c d 2、7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ） A 、21 B 、28 C 、35 D 、42 3、交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为（ ） A 、101 B 、808 C 、1212 D 、2012 4、函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是（ ）
高中数学之概率与统计 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的 概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质?? ?? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算 ?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1． 在五个数字12345，，，，中，。 例2． 若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． [解答过程]0.3提示:13 35C 33. 54C 10 2P ===?
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷II) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2 ＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i 3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．13 B ．13- C ．19 D ．1 9- 4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α， l β，则( )． A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2 的系数为5，则a ＝( )． A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )． A ．1111+23 10+++ B ．1111+2!3! 10!+++ C ．1111+23 11+++ D ．1111+2!3! 11!+++ 7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)， (0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时， 以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c 9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥?? +≤??≥(-)? 若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则 a ＝( )． A ．14 B ．1 2 C ．1 D ．2
全国一卷真题分析---概率统计 1.（2011年）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的 概率为0.3，设各车主购买保险相互独立. (Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率； (Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望． 2.（2012年）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果 当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进16朵玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，N n ）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 以100天记录的各需求量的频率作为 各需求量发生的概率． （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． 3.（2013年）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中 优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下， 这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为1 2， 且各件产品是否为优质品相互独立． （1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望． 1
11 12 13 3 5 7 2 2 4 6 9 1 5 5 7 图1 统计与概率专题 一、知识点 1、随机抽样：系统抽样、简单随机抽样、分层抽样 1、用简单随机抽样从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男生被抽到的概率是( ) A ． 1001 B ．251 C ．5 1 D ． 5 1 2、为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为( ) A ．40 B ．30 C ．20 D ．12 3、某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人 C ．7人 D ．12人 2、古典概型与几何概型 1、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是( ) A ．83 B ．32 C ．31 D ．4 1 2、如图所示，在正方形区域任意投掷一枚钉子，假设区域内每一点被投中的可能性相等，那么钉子投进阴影区域的概率为____________． 3、线性回归方程 用最小二乘法求线性回归方程系数公式1 2 211 ???n i i i n i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑，． 二、巩固练习 1、随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图1， 这12位同学购书的平均费用是（ ） A.125元 B.5.125元 C.126元 D.5.126元 2、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，时速在[50,60) 的汽车大约有（ ） A .30辆 B . 40辆 C .60辆 D .80辆 3、某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师 的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其 他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 ______人． 4、执行下边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ． 0.04 0.030.020.01频率 组距时速8070605040开始 10n S ==， S p
2012高考理科数学全国卷1试题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题 （1）复数131i i -+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i - （2 ）已知集合{1A =，{1,}B m =，A B A = ，则m = （A ）0 （B ）0或3 （C ）1 （D ）1或3 （3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += （4）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中 ， 2AB = ，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为 （A ）2 （B （C （D ）1 （5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{ }n n a a +的前100项和为 （A ） 100101 （B ）99101 （C ）99100 （D ）101100 （6）ABC ?中，AB 边的高为CD ，若CB a = ，CA b = ，0a b ?= ，||1a = ，||2b = ， 则AD = （A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455 a b - （7）已知α 为第二象限角，sin cos αα+=，则cos 2α=
（A ）3- （B ）9- （C ）9 （D ）3 （8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= （A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45 （9）已知ln x π=，5log 2y =，1 2z e -=，则 （A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << （10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c = （A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1 （11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 （A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种 （12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37 AE BF ==。动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16 （B ）14 （C ）12 （D ）10
统计概率大题题型总结 题型一 频率分布直方图与茎叶图 例1.（2013广东理17）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如 图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有名优秀工人的概率. 例2.（2013新课标Ⅱ理）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t 该产品获利润500 元,未售出的产品,每t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X (单位:t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将T 表示为X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率; 1 7 9 2 0 1 5 3 0 第17题图
(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T 的数学期望. 变式1. 【2015高考重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下： 08912 58 200338312 则这组数据的中位数是（ ） A 、19 B 、20 C 、21.5 D 、23 /频率组距0.010 0.0150.0200.0250.030100110120130140150需求量/x t
2012年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修Ⅱ） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 注意事项： 全卷满分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。 3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题 （1）复数 131i i -+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i - （2 ）已知集合{1A =，{1,}B m =，A B A = ，则m = （A ）0 （B ）0或3 （C ）1 （D ）1或3 （3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124x y += （4）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中 ， 2AB = ，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为 （A ）2 （B （C （D ）1 （5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列1 1 {}n n a a +的前100项和为 （A ）100101 （B ）99101 （C ）99100 （D ）101 100
高考数学概率与统计 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-
第16讲概率与统计 概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本课时就学生易犯错误作如下归纳总结： 类型一“非等可能”与“等可能”混同 例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率． 错解掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为 P=1 11 剖析以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36 种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=5 36 ． 类型二“互斥”与“对立”混同 例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（） A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对 错解A 剖析本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在： (1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对 立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生． 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C．
类型三 “互斥”与“独立”混同 例3 甲投篮命中率为O ．8，乙投篮命中率为，每人投3次，两人恰好都命中2次的 概率是多少? 错解 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中 两次为事件A+B ，P(A+B)=P(A)+P(B)： 22223 30.80.20.70.30.825c c ?+?= 剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰 好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．互斥事件是指 两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个 事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关 系是根本不同． 解： 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独 立， 则两人都恰好投中两次为事件A·B ，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 类型四 “条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同 例4 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次， 求第二次才取到黄色球的概率． 错解 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球” 为事件C,所以P(C)=P(B/A)=6293 =. 剖析 本题错误在于P(A ?B)与P(B/A)的含义没有弄清, P(A ?B)表示在样本空间S 中,A 与B 同时发生的概率；而P （B/A ）表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。 解: P （C ）= P(A ?B)=P （A ）P （B/A ）= 46410915 ?=. 备用
2012年全国高考理科数学试题-全国卷2(含解析) 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。第I卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。．．．．．．．．． 第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题 1、复数-1+3i= 1+i A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A＝{1.3. m}，B＝{1，m} ,AB＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3
3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 x2y2x2y2A +=1 B +=1 1612128x2y2x2y2C +=1 D +=1 84124 4 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，CC1=22 E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列(A)的前100 项和为1009999101 (B) (C) (D) 101101100100 （6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B）(C) (D) （7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=3，则cos2α= 3 (A) -5555 （B）- (C) (D) 3993 （8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上， |PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2= (A)1334 （B）(C) (D) 4545 （9）已知x=lnπ，y=log52，z=e，则(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x 12 (10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝ （A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 （11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有
18题-高考数学概率与统计知识点
高考数学第18题（概率与统计） 1、求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝ ) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝ k n k k n p p C --)1(. 其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结
的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表. 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++2 1 P P (1) ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布 n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个 随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n ，并且k n k k n k q p C k P P -===)(ξ，其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的 分布列如下： 称这样随机变量ξ服从二项分布，记作),(~p n B ξ ，其中n 、p 为参数，并记：) ,;(p n k b q p C k n k k n =- . （2） 几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机
绝密*启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 理科数学 注息事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效· 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。 第一卷 一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 （1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素 的个数为（ ） ()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10 【解析】选D 5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） ()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种 【解析】选A 甲地由1名教师和2名学生：12 2412C C =种 （3）下面是关于复数2 1z i = -+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- ()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34 【解析】选C 22(1) 11(1)(1) i z i i i i --= ==---+-+-- 1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-
【精品】2007——2017年高考数学全国卷概率统计大题 2007某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6.经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元;若顾客采用分期付款，商场获得利润250元. (Ⅰ)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率; (Ⅱ)求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率. 记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A 表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”． 2 ()(10.6) 0.064 P A =-=，()1()10.0640.936P A P A =-=-=． （Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”． 0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”． 1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”． 则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，12 13()0.60.40.432P B C =??=． 01()()P B P B B =+01()()P B P B =+0.2160.432=+0.648=． 2008 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率． （20）解：记A 1、A 2分别表示依方案甲需化验1次、2次，B 表示依方案乙需化验3次，A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知A 2与B 独立，且 B A A A 21+=, 5 1C 1)A (P 15 1= = ，5 1A A )A (P 25 142= = ，5 2) (1 3 3 51224= ??= C C C C B P 。 P(A )=P(A 1+A 2·B) =P(A 1)+P(A 2·B)=P(A 1)+P(A 2)·P(B) =5 25 15 1? += 25 7 所以 P(A)=1-P(A )= 25 18=0.72 2009 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。 （Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；
辅导讲义：概率与统计 一、知识回顾： 1、总体、个体、样本、样本容量： 总体：在统计中，所有考察对象的全体。 个体：总体中的每一个考察对象。 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本。 样本容量：样本中个体的数目。 2、统计的基本思想:用样本估计总体，即通常不直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况。 3、抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。 4、简单随机抽样：一般地，从个体为N烦人总体中逐个不放回地取出n个个体作为样本（n (3)随机数表是统计工作者用计算机生成的随机数，并保证表中的每个位置上的数字是等可能出现的。 8、抽签法—编号、制签、搅拌、抽取，关键是“搅拌”后的随机性；随机数表法—编号、选数、取号、抽取，其中取号的方向具有任意性。 9、简单随机抽样的特点： 它的总体个数有限的； 它是逐个地进行抽取； 它是一种不放回抽样； 它是一种等概率抽样． 10、系统抽样： 将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每个部分中抽取一个个体作为样本，这样的抽样方法称为系统抽样。也可称为“等距抽样”。 注：如果个体总数不能被样本容量整除时该怎么办？ (1)随机将这1003个个体进行编号1，2，3，……1003。 (2)利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体(可以随机数表法),剩下的个体数1000能被100整除，然后按系统抽样的方法进行。 11、系统抽样的步骤： （1）采用随机的方式将总体中的 N 个体编号。 （2）整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔k 。当 n N （为总体中的个体的个数，n 为样本容 量）是整数时，取n N k = ；当n N 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N '能被n 整 除，这时取n N k ' = ，并将剩下的总体重新编号； （3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l ； （4）按照一定的规则抽取样本，通常将编号为k n l k l k l l )1(2-+++，，，， 的个体抽出。 12、简单随机抽样、系统抽样的特点是什么？ 简单随机抽样：①逐个不放回抽取；②等可能入样；③总体容量较小。 系统抽样：①分段，按规定的间隔在各部分抽取；②等可能入样；③总体容量较大。 13、分层抽样：一般地，当总体由差异明显几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较明显的几部分，然后按照各部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法 有限性 2012年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修Ⅱ） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 注意事项： 全卷满分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效．．．．．．．．． 。 3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题 （1）已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，{|D x x =是菱形}，则 （A ）A B ? （B ）C B ? （C ）D C ? （D ）A D ? （2）函数1)y x = ≥-的反函数为 （A ）)0(12≥-=x x y （B ）)1(12≥-=x x y （C ）)0(12 ≥+=x x y （D ）)1(12≥+=x x y （3）若函数()sin ([0,2])3 x f x ??π+=∈是偶函数，则=? （A ）2 π （B ）32π （C ）23π （D ）35π （4）已知α为第二象限角，3sin 5 α=，则sin 2α= （A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）25 24 （5）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ）2211612x y += （B ）22 1128 x y += 2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试 数学理工农医类(辽宁卷 ) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1，3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则( U A )∩( U B )＝( ) A ．{5,8} B ．{7,9} C ．{0,1,3} D ．{2,4,6} 2．复数 2i 2i -=+( ) A ．34i 55- B ．34i 55+ C ．41i 5- D ．31i 5 + 3．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．a ＋b ＝a －b 4．已知命题p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则p 是( ) A ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0 D ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0 5．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A ．3×3！ B ．3×(3！)3 C ．(3！)4 D ．9！ 6．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 7．已知sin α－cos α 2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．2 C 2 D ．1 8．设变量x ，y 满足10,020,015,x y x y y -≤?? ≤+≤??≤≤? 则2x ＋3y 的最大值为( ) A ．20 B ．35 C ．45 D ．55 9．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是( ) 题高考数学概率与统计 知识点 Corporation standardization office #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8 高考数学第18题（概率与统计） 1、求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的 概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质?? ?? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 2.离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值 i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表. 机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 为随由概 率的性质可知，任一离散型随机变量的 分布列都具有下述两个性质： （1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布2012年高考真题——文科数学(全国卷)Word版
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题 高考数学概率与统计知识点
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