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9_4第二型曲面积分

第九章
第四节对坐标的曲面积分
一、有向曲面及曲面元素的投影二、对坐标的曲面积分的概念与性质三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系
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一、有向曲面及曲面元素的投影
? 曲面分类双侧曲面单侧曲面
曲面分内侧和外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和右侧
曲面分上侧和下侧
2

? 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向表示 : 方向余弦侧的规定
cos α
cos β
cos γ
封闭曲面外侧内侧
> 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧
? 设 Σ 为有向曲面, 其面元 ?S 在 xoy 面上的投影记为 (?S ) x y , ( ?S ) x y 的面积为 (?σ ) x y ≥ 0 , 则规定
(?S ) x y
(?σ ) x y , 当cos γ > 0时 = ? (?σ ) x y , 当cos γ < 0时当cos γ ≡ 0时 0,
类似可规定 ( ?S ) yz , ( ?S ) zx
3

二、对坐标的曲面积分的概念与性质
1. 引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
v = ( P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R ( x, y, z ))
求单位时间流过有向曲面 ∑ 的流量Φ . 分析: 若 ∑ 是面积为S 的平面, 法向量: n = (cos α , cos β , cos γ ) 流速为常向量: v 则流量
n
v
θ
S
Φ = S ? v cosθ
=S v?n
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对一般的有向曲面∑ , 对稳定流动的不可压缩流体的速度场 v = ( P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R ( x, y, z )) 用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 进行分析可得 Φ = lim
n
ni
vi
∑ λ →0
n
设 ni = (cos α i , cos β i , cos γ i ) , 则
λ →0 i =1
n
i =1
vi ? n i ?Si
Σ
Φ = lim ∑ [ P (ξ i ,ηi , ζ i ) cos α i + Q(ξ i ,ηi , ζ i ) cos β i
+ R (ξ i ,ηi , ζ i ) cos γ i ] ?Si
= lim
[ P (ξ i ,ηi , ζ i )(?Si ) y z + Q(ξ i ,ηi , ζ i )(?Si ) z x ∑ λ →0
i =1
+ R (ξ i ,ηi , ζ i )(?Si ) x y ]
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2. 定义. 设 ∑ 为光滑的有向曲面, P( x, y, z ), Q( x, y, z ),
R( x, y, z ) 在 ∑ 上有界，对Σ 的任意分割和在局部面元上
任意取点，记λ为局部面元的最大直径，若下极限存在
[P(ξ i ,ηi , ζ i )(?Si ) y z ∑ λ →0
lim
i =1
n
+ Q(ξ i ,ηi , ζ i )(?Si ) z x + R (ξ i ,ηi , ζ i )(?Si ) x y ]
P dx
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积分, 或第二型曲面积分. 记作
∫∫Σ Pd y d z + Qd z d x + Rd x d y
P, Q, R 叫做被积函数; ∑ 叫做积分曲面.
dy Q
dz R
6

∫∫Σ P d y d z 称为P 在有向曲面∑上对 y, z 的曲面积分; ∫∫Σ Q d z d x 称为Q 在有向曲面∑上对 z, x 的曲面积分; ∫∫Σ Rd x d y 称为R 在有向曲面∑上对 x, y 的曲面积分.
引例中, 流过有向曲面 ∑ 的流体的流量为
Φ = ∫∫ Pd y d z + Qd z d x + Rd x d y
Σ
若记 ∑ 正侧的单位法向量为 n = ( cos α , cos β , cos γ ) 令 d S = n d S = (d yd z , d zd x, d x d y )
A = ( P ( x, y , z ) , Q ( x, y , z ) , R ( x, y , z ) )
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
7

∫∫Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∫∫ A ? n d S = ∫∫ A ? d S Σ Σ
3. 性质 (1) 若 ∑ = ∪ ∑ i , 且 ∑ i 之间无公共内点, 则
i =1 k
∫∫Σ A ? d S = ∑ ∫∫∑ i A ? d S
i =1
k
(2) 用Σˉ 表示 Σ 的反向曲面, 则
∫∫Σ
?
A ? d S = ? ∫∫ A ? d S
Σ
8

4. 对坐标的曲面积分存在的充分条件若R (x, y, z) 在有向光滑曲面∑上连续，则
∫∫Σ Rd x d y 存在.
对 ∫∫ P d y d z 和 ∫∫ Q d z d x 也有类似的充 Σ Σ 分条件.
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三、对坐标的曲面积分的计算法
定理1. 设光滑曲面∑ : z = z ( x, y ) , ( x, y ) ∈ Dx y 取上侧,
R ( x, y, z ) 是 ∑ 上的连续函数, 则
∫∫Σ R( x, y, z ) d x d y = ∫∫D
如果积分曲面 Σ 取下侧, 则
xy
R ( x, y , z ( x, y ) ) d x d y
∫∫Σ R( x, y, z ) d x d y = ? ∫∫Dx y R( x, y, z ( x, y )) d x d y
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说明: ? 若 ∑ : x = x( y, z ) , ( y, z ) ∈ D y z , 则有
∫∫Σ P( x, y, z ) d ydz = ± ∫∫Dy z P( x( y, z ) , y, z ) d y d z
? 若 ∑ : y = y ( z , x) , ( z , x) ∈ Dz x , 则有
(前正后负)
∫∫Σ Q( x, y, z ) d z d x = ± ∫∫Dz x Q (x, y ( z, x) , z ) d z d x
(右正左负)
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例1. 计算 ∫∫ ( x + y ) d y d z + ( y + z ) d z d x + ( z + x) d x d y ∑ z 其中 ∑ 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧.
y
x
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例1. 计算 ∫∫ ( x + y ) d y d z + ( y + z ) d z d x + ( z + x) d x d y ∑ z 其中 ∑ 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧. 解: 利用对称性. 原式 = 3∫∫ ( z + x) d x d y
∑
y
x
a ( x ≤ a, y ≤ a) ∑ : z = ∑ 的顶部 1 2 2 2 取上侧
a, y ≤ a) ( x ≤ ∑ 的底部 ∑ 2 : z = ? a 2 2 2 取下侧 = 3 [ ∫∫ ( z + x) d x d y + ∫∫ ( z + x) d x d y ] ∑1 ∑2 a a = 3 [ ∫∫ ( + x) d x d y ? ∫∫ (? + x) d x d y ] Dx y 2 Dx y 2 = 3 a ∫∫ d x d y = 3 a 3 D
xy
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例2. 计算曲面积分 ∫∫ xyz d x d y, 其中 ∑ 为球面 x 2 + ∑
+ y 2 + z 2 = 1 外侧在第一和第八卦限部分.
思考: 下述解法是否正确: 根据对称性 ∫∫∑ xyz d x d y = 0
z
∑2 1 y ∑1
o Dx y x
14

例2. 计算曲面积分 ∫∫ xyz d x d y, 其中 ∑ 为球面 x 2 + ∑
+ y 2 + z 2 = 1 外侧在第一和第八卦限部分.
思考: 下述解法是否正确: 根据对称性 ∫∫∑ xyz d x d y = 0 解: 把 ∑ 分为上下两部分
z
∑2 1 y ∑1
o Dx y x
∑1 : z = ? 1 ? x 2 ? y 2
∑2 : z = 1 ? x2 ? y2 ? x2 + y2 ≤ 1 ( x, y ) ∈ D x y : ? ?x ≥ 0 , y ≥ 0
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∴
∫∫∑ x y z d x d y = ∫∫∑ x y z d x d y + ∫∫∑ x y z d x d y = ? ∫∫ xy (? 1 ? x 2 ? y 2 ) d x d y D + ∫∫ xy 1 ? x 2 ? y 2 d x d y D
1 2 xy xy
= 2 ∫∫ = 2 ∫∫
=∫ =2
π
0
Dx y Dx y
xy 1 ? x2 ? y2 d x d y r sin θ cosθ
dθ
2
z
1 ? r rd rd θ
2
∑2 1 y ∑1
16
2 sin 2θ
∫
1 3 r 0
1? r d r
2
o Dx y x
15

例3. 设∑ 是六面体 0 ≤ x ≤ a,0 ≤ y ≤ b,0 ≤ z ≤ c 的外侧 , a 2b c 计算 I = ∫∫ | x ? | d y d z + | y ? | d z d x + | z ? | d x d y 3 3 4 Σ
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例3. 设∑ 是六面体 0 ≤ x ≤ a,0 ≤ y ≤ b,0 ≤ z ≤ c 的外侧 ,
a 2b c 计算 I = ∫∫ | x ? | d y d z + | y ? | d z d x + | z ? | d x d y 3 3 4 Σ a a a 解: ∫∫ | x ? | d y d z = ∫∫ (a ? )d y d z ? ∫∫ | 0 ? |d y d z 3 3 3 Σ 0≤ y ≤b 0≤ y ≤b
0≤ z ≤ c 0≤ z ≤ c
2 1 1 = abc ? abc = abc 3 3 3 2b abc 类似的，有 | y ? | d zd x = ? ∫∫ 3 3 Σ c abc | z ? | d xd y = ∫∫ 4 2 Σ 1 1 1 1 所以，I = abc + (? abc) + abc = abc. 3 3 2 2
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四、两类曲面积分的联系
定理2. 设∑：z = z (x, y) 为有向曲面，zx与zy连续， P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 在∑上连续， ∑法向量的方向余弦为 cos α , cos β ,cos γ , 则
∫∫∑ Pd y d z + Qd z d x + Rd x d y = ∫∫ ( Pcos α + Qcos β + Rcos γ ) d S ∑
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∫∫∑ Pd yd z + Qd zd x + Rd xd y
= ∫∫
( Pcos α + Qcos β + Rcos γ ) d S ∑
dS = n dS = (d ydz , dzdx, dxd y )
令 A = ( P, Q, R ), n = (cos α , cos β , cos γ )
向量形式
∫∫∑ A ? d S = ∫∫∑ A ? n d S
A n = A ? n ( A 在 n 上的投影)
= ∫∫ A n dS
∑
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数学专业毕业论文-第二型曲线积分与曲面积分的计算方法

师范大学本科毕业论文题目：第二型曲线积分与曲面积分的计算方法专业：数学与应用数学系班：数学与信息科学系2006级数本2班毕业年份：姓名：学号：指导教师：职称：教授

目录本科毕业论文任务书 (1) 本科毕业论文开题报告 (3) 本科毕业论文登记表 (5) 毕业论文论文正文文稿 (7) 本科毕业论文答辩记录 (15)

西北师范大学本科毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目第二型曲线积分与曲面积分的计算方法学生姓名系、专业、班级数学与信息科学系数学与应用数学2006级数本2班毕业年份2010年学号指导教师职称教授一、文献查阅指引 1. 查阅的专著 [1] 华东师大数学系. 数学分析(下)[M]，第三版. 高等教育出版社，2001，224-231. [2] 刘玉琏，傅沛仁等.数学分析讲义(下)[M]，第四版.高等教育出版社，2003，75-388. [3] 林源渠，方企勤. 数学分析解题指南[M]. 北京大学出版社，2001，38-362. [4] 陈文灯. 数学复习指南[M]. 世界图书出版社，2000，276-287. [5] 田勇.硕士研究生入学考试历年真题解析[M]. 机械工业出版社，2002，175-188. [6] 华中科技大学数学系.考研特别快车—数学[M].华中科技大学出版社，2001，04-212 2. 查阅的学术论文及期刊 [1] 孙一生.第二型曲线与曲面积分计算的基本方法与技巧[J].《哈尔滨师范大学自然科学学报》，1989，5（2）：106-112 . [2] 陈少元.第二型曲线积分计算方法与技巧[J]. 科技信息（学术版），2007（1）. 3. 查阅的相关网站 [1]http //https://www.doczj.com/doc/4e8280438.html,/Periodical_lygzyjsxyxb200604029.aspx . 二、内容要求 1. 提出第二型曲线积分与曲面积分的基本计算方法. 2. 查阅相关的资料、书籍对所用到的基本计算方法进行分析，并加以概括与总结. 3. 论文中所用到的实例必须具有典型代表性，而且逻辑推理性强、分析恰当. 4. 论文可以借鉴相关的研究成果，但不能抄袭.

探讨第二型曲面积分的计算方法

目录摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 0 前言 (1) 1直接利用公式进行计算 (1) 2利用积分曲面的对称性进行计算 (3) 3利用两类曲面积分之间的联系进行计算 (6) 4利用高斯公式进行计算 (6) 参考文献 (9)

探讨第二型曲面积分的计算方法姓名：李亚平学号：20105031272 数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师：张萍职称：讲师摘要：本文总结了有关第二类曲面积分的几种算法，对每种计算方法均配以典型例题加以诠释．关键词：曲面积分；二重积分；投影区域；高斯公式． The application of symmetry to the calculation of curvilinear integral and camber integral Abstract:Some theorems and methods for simplifying curvilinear integral and camber integral calculations by means of symmetry have been introduced in this essay ．And the proves of theorems is also included ． Key Words ：symmetry ；curvilinear integral ；camber integral ；gauss formula ． 0 前言众所周知，第二型曲面积分的计算比较繁琐，但是若能分类，利用曲面的对称性、两类曲面积分之间的联系、高斯公式、图形结合等方法系统的来解答第二型曲面积分，有时候就能使第二型曲面积分的计算相对简单、易懂，故此篇文章就第二型曲面积分的几种常见计算方法为中心进行展开讨论． 1 利用公式直接进行计算大家知道，若()z y x R ,,在光滑有向曲面()()xy D y x y x z z ∈=∑,,,:上连续，则()??∑ dxdy z y x R ,,存在，且有计算公式： ()()()d x d y y x z y x R d x d y z y x R xy D ????±= ∑,,,,, (1) 其中xy D 表示∑在xOy 面上的投影区域，当曲面取上侧时(1)的右端取“+”号，取下侧时取“—”号．

第一型曲面积分.

例5? 设有空间闭区域仏={（x 』,z ）|L 十b + z* 炉,z"}, 。2 ={（*』，Z ）|x2 + y' + z* 炉,xno 』no,zno},则有（「） (A) Jff = 4fJf xdv a \ 口 2 (C) JjJ 皿=4jJJz 加 2 n 2 解：由对称性， JJj xdv = 0, JJJ xdv JJf ydv = 0, JJf ydv 工? n. ?2 Jjj xyzdv = 0, JJJ xyzdv □ 门2 3.含绝对值函数的二重积分的计算例1计算血-兀2|db ?其中6-1 W0"" 解先去掉绝对值符号，如图川y_p|db D =jj (x 2-j)da + JJ(y-x 2 )da Di 4-D J D 、訂:时:（宀刃与+匸时:0-兀湎=*? (B) |JJ ydv = 4jjj ydv

4、交换积分次序的方法 1.计算fdxfxb - dy 解由于卜一心堤无法积出类型，则需交换积分次序， y \ /歹=x V D： O^x

第二型曲线积分与曲面积分的计算方法

第二型曲线积分与曲面积分的计算方法摘要：本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目. 关键词：曲面积分；曲线积分 1 引言第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义. 2 第二型曲线积分例1 求()()()sin cos x x I e y b x y dx e y ax dy =-++-?，其中a ，b 为正的常数，L 为从点A （2a ，0）沿曲线 o （0，0）的弧. 方法一：利用格林公式法 L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ?? ??+=- ????????，P(x ，y)，Q （x ，y ）以及它们的一阶偏导数在D 上连续，L 是域D 的边界曲线，L 是按正向取定的. 解：添加从点o （0，0）沿y=0到点A （2a,0）的有向直线段1L , ()()()()()()1 1 sin cos sin cos x x L L x x L I e y b x y dx e y ax dy e y b x y dx e y ax dy =-++---++-?? 记为12I I I =- ，则由格林公式得：()1cos cos x x D D Q P I dxdy e y a e y b dxdy x y ??????=-=---- ??????????? ()()22 D b a dxdy a b a π =-= -?? 其中D 为1L L 所围成的半圆域，直接计算2I ,因为在1L 时，0y =，所以dy =0

第二类曲面积分的计算方法

第二类曲面积分的计算方法赵海林张纬纬摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式 Stokes 公式向量计算形式 1 引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++ , ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则 cos .S v S v n θΦ==?? 若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积.

第二类曲面积分的计算方法

第二类曲面积分的计算方法 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

第二类曲面积分的计算方法赵海林张纬纬摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公式，积分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式 Stokes公式向量计算形式 1 引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧. 由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为

(,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++, ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积. (2) 近似 (,,)i i i i i M S ξηζ?∈?，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替i S ?上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过i S ?指定侧的流量的近似值： (3) 求和 (4) 取极限定义 .S S i i 的面积，他们的符号由的方向来确定若的法线正向与轴正向成锐角时, z .S xy i i i S xoy S z ?在平面的投影区域的面积为正反之,若法线正向与轴正向成钝角时, .S xy i i xoy S ?他在平面的投影区域的面积为负在各个小曲面上任取一点,(,) i i i ξηζ. 若 lim 1 T n i P →=∑,(,)i i i ξηζyz i S ?0 lim 1 T n i Q →=+ ∑,(,)i i i ξηζzx i S ?0 lim 1 T n i R →=+ ∑,(,)i i i ξηζxy i S ?存在，或者

第二类曲面积分的计算方法

第二类曲面积分的计算方法赵海林张纬纬摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式 Stokes公式向量计算形式 1 引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念

2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++v v v v , ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++v v v v 则若∑为曲面，流速v v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积. (2) 近似 (,,)i i i i i M S ξηζ?∈?，以点i M 处的流速()i i v v M =v v 和单位法向量i n v 分别代替 i S ?上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过i S ?指定侧的流量的近似值： (3) 求和 (4) 取极限 2.1.2 定义

第二型曲面积分的计算方法

龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/4e8280438.html, 第二型曲面积分的计算方法作者：周三章赵大方来源：《科教导刊》2014年第24期摘要本文从化归的角度，介绍利用高斯公式和合一投影法简化第二型曲面积分的计算，并结合实例予以说明。关键词第二型曲面积分高斯公式合一投影法中图分类号：O172.2 文献标识码：A Methods of Computing the Second Surface Integral ZHOU Sanzhang[1]， ZHAO Dafang[2] （[1]College of Mechatronics and Control Engineering， Hubei Normal University，Huangshi， Hubei 435002； [2] College of Mathematics and Statistics， Hubei Normal University， Huangshi， Hubei 435002） Abstract This paper introduces how to simplify the caculation of the Second Surface Integral by utilizing the Gauss formula and Projection method， there application are illustrated by some typical example. Key words the second surface integral； Gauss formula； projection 高等数学的学习中，第二型曲面积分的计算是一个难点。计算第二型曲面积分方法比较多，计算的难易程度也不同。如果运用化归的思想，通常可以达到事半功倍的效果。化归的思想具体表现在运用合一投影法，高斯公式简化求解过程。本文以几例具体来说明以上两种计算方法。 1 利用高斯公式转化为三重积分计算引理[1]：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数（），（），（）在具有一定阶连续偏导数，则有（ + + ） = + + ，或

(完整版)第一类曲面积分习题

例1．计算积分1dS z ∑??，∑是球面2222 x y z R ++=被平面z h =（0h R <<）截出的顶部。例2．计算积分xydS ∑ ?? ò，∑是圆柱面221x y +=与平面0z =，2x z +=围成的立体的全表面。例3．求()(,,)F t f x y z dS ∑ = ?? ，其中∑为2222x y z t ++=（0t >），被积函数2(,,)0 z x y f x y z z ≥?+=? ?< 例4．计算积分 222 1dS x y z ∑++??，⑴∑是球面2222 x y z R ++=；⑵∑是介于平面0z =，1z =之间的圆柱面222x y R +=。例5．计算积分2z dS ∑ ?? ，其中∑：2222x y z R ++=。例6．计算积分()x y z dS ∑ ++?? ，∑是上半球面2222x y z ++=被旋转抛物面22 z x y =+截出的顶部。例7．计算曲面积分 ()xy yz zx dS ∑ ++?? ，∑ 为锥面z =被圆柱面222x y ay +=（0a >）所截下的部分。例8．计算半径为a 的均匀半球壳的重心。例1．计算积分1dS z ∑??，∑是球面2222 x y z R ++=被平面z h =（0h R <<）截出的顶部。解：∑ ：z = xoy 面上的投影区域D ：2222x y R h +=-， = = 1dS z ∑??σ=?? 222 D R d R x y σ=--??22D R rdrd R r θ=-??22200r R d dr R r πθ=-?

第二类曲线积分的计算22749

第二类曲线积分的计算作者：钟家伟指导老师：张伟伟摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。关键词：第二类曲线积分二重积分参数积分对称性原理斯托克斯公式第二类曲面积分 1 引言本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点 ,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割

第二类曲面积分的计算方法定稿版

第二类曲面积分的计算方法 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++, ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积. (2) 近似 (,,)i i i i i M S ξηζ?∈?，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替 i S ?上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过i S ?指定侧的流量的近似值： (3) 求和 (4) 取极限

数学分析第二型曲面积分

第二型曲面积分练习题 2012.12.28--------陈科豪 1计算（1）S xyzdxdy ??，其中S 是球面2221x y z ++=在0,0x y ≥≥部分，并取球面外侧。（2）3S x dzdy ??，其中S 是椭球面 2222221x y z a b c ++=的上半部分，并选取外侧。（3）S (2)x z dzdy zdxdy ++??，其中[]{}22(,,)/z=,0,1S x y z x y z =+∈，选取上侧。（4）222 S x dzdy y dzdx z dxdy ++??，其中S 是球面2222()()()x a y b z c R -+-+-=，并选取外侧为正向。（5）S yzdzdx ??，其中S 是球面2221x y z ++=的上半部分，并选取外侧为正向。 (6) S xydydz yzdzdx xzdxdy ++??,其中S 是由平面0x y z ===和1x y z ++=所围的四面体表面病区外侧为正向。 (7) S ()()()x y dydz y z dzdx z x dxdy +++++??其中S 是以原点为中心,边长为2的立方体表面,选取外侧为正向。 (8) 22 S ()()y x z dydz x dzdx y xz -+++??,其中S 是0x y z ===和x y z a ===六个平面所围的立方体的表面, 选取外侧为正向。 (9) S ()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy -+-+-??,其中S 是圆锥面z =,z h ≤, (0)h >,并选取曲面外侧。 (10) 22S (1)x dydz y dzdx x dxdy ++-?? ，其中S 是上半球面z =选取其上侧。

曲面积分精解

第一节第一类曲面积分内容要点一、第一类曲面积分的概念与性质定义1 设曲面∑是光滑的, 函数),,(z y x f 在∑上有界, 把∑任意分成n 小块i S ?(i S ?同时也表示第i 小块曲面的面积),在i S ?上任取一点),,,(i i i ζηξ作乘积 ),,2,1(),,(n i S f i i i i =??ζηξ 并作和 ,),,(1 ∑=??n i i i i i S f ζηξ 如果当各小块曲面的直径的最大值0→λ时, 这和式的极限存在, 则称此极限值为),,(z y x f 在∑上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为 ∑??=→∑ ?=n i i i i i S f dS z y x f 10 ),,(lim ),,(ζηξλ (4.2) 其中),,(z y x f 称为被积函数，∑称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法 .),(),(1)],(,,[),,(22 ????++=∑xy D y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f (4.3) 例题选讲例 1 计算曲面积分,??∑z dS 其中∑是球面2222a z y x =++被平面)0(a h h z <<=截出的顶部. 解 ∑的方程为.222y x a z --= ∑在xOy 面上的投影区域:xy D {} .),(2222h a y x y x -≤+ 又,12 2 2 22 y x a a z z y x --= ++利用极坐标故有 ?? ?? -=∑ xy D r a adxdy z dS 22 220 202 22 2r a rdr d a r a ardrd h a D xy -=-=? ? ?? -θ θ π 2 20 22)(212h a r a In a -??????--=π .2h a aIn π= 例2（E01）计算,)(??∑ ++dS z y x 其中∑为平面5=+z y 被柱面252 2=+y x 所截得的部分. 解积分曲面 ∑-=,5:y z 其投影域},25),({22≤+=y x y x D xy

第二型曲面积分

§2 第二型曲面积分教学目的：掌握第二型曲面积分的定义和计算公式．教学内容：曲面的侧；第二型曲面积分的定义和计算公式． (1) 基本要求：掌握用显式方程的第二型曲面积分的定义和计算公式． (2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公式，掌握两类曲面积分的联系．教学建议： (1) 本节的重点是要求学生必须掌握第二型曲面积分的定义和计算公式，要强调一、二型曲面积分的区别，要讲清确定有向曲面侧的重要性． (2) 本节的难点是用隐式方程或参数方程给出的曲面的第二型曲面积分的计算公式以及两类曲面积分的联系，可对较好学生要求他们掌握．教学程序：曲面的侧双侧曲面的概念、曲面的侧的概念背景：求非均匀流速的物质流单位时间流过曲面块的流量时，利用均匀流速的物质流单位时间流过平面块的流量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤，来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义．一第二型曲面积分的概念与性质定义设函数P ，Q ，R 与定义在双侧曲面S 上的函数．在S 所指定的一侧作分割T 它把S 分成n 个小曲面n S S S ,,21 （n i ,,2,1 =），分割T 的细度{}的直径i n i S T ≤≤=1max ，以yz i S ?， zx i S ?，xy i S ?分别为i S 在三个坐标上的投影区域的面积，它们的符号由i S 的方向来确定．如i S 的法线正向与z 轴正向成锐角时，i S 在xy 平面上的投影区域的面积xy i S ?为正，反之，如i S 的法线正向与z 轴正向成钝角时，i S 在xy 平面上的投影区域的面积xy i S ?为负（n i ,,2,1 =）．在每个小曲面i S 任取一点()i i i ζηξ,,，若极限 ()∑=→?n i i i i i T yz S P 1 ,,lim ζηξ +()∑=→?n i i i i i T zx S Q 1 ,,lim ζηξ +()∑=→?n i i i i i T xy S R 1 ,,lim ζηξ 存在且与分割T 与点()i i i ζηξ,,的取法无关，则称此极限为函数P ，Q ，R d 曲面S 所指定的一侧的第二型曲面积分，记为 ()()()??++S dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,, (1) 上述积分(1)也可写作 ()??S dydz z y x P ,,+()??S dzdx z y x Q ,,+()??S dxdy z y x R ,, 第二型曲面积分的性质（1）若??++S i i i dxdy R dzdx Q dydz P （n i ,,2,1 =）都存在，i c （n i ,,2,1 =），为常数，则有 dxdy R c dzdz Q c dydz P c n i i i n i i i S n i i i ?? ? ??+??? ??+??? ??∑∑?? ∑===111 =∑??=++n i S i i i i dxdy R dzdx Q dydz p c 1

第二型曲面积分论文

目录 1 引言 (1) 2 文献综述 (1) 3预备知识 (1) 3.1第二型曲面积分的定义 (1) 3.2第二型曲面积分的性质 (2) 4常用计算公式 (2) 5 MATHEMATICA相关知识 (4) 6第二型曲面积分的计算 (5) 6.1用MATHEMATICA计算 (5) 6.2分项投影法 (6) 6.3参数法 (8) 6.4利用高斯公式 (8) 6.5定义法 (12) 6.6解题技巧（轮换对称性） (14) 7结论 (15) 7.1主要观点 (15) 7.2启示 (15) 7.3局限性 (15) 7.4努力方向 (16) 参考文献 (17)

1 引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，因而显得更加复杂，繁琐。在第二型曲面积分的学习过程中，学生必须在理解概念的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧。由于第二型曲面积分的的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定难度，本文就第二型曲面积分的的计算方法进行了归纳和总结，并用计算机辅助求解. 2 文献综述众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了第二型曲面积分的计算.刘玉琏在文献《数学分析讲义》中介绍了第二型曲面积分的概念、性质，并且给出计算第二型面积分的定理.在文献《数学试题精选与大体技巧》中概括了第二型曲面积分被积函数的类型.薛嘉庆在文献《高等数学题库精编》总结了根据被积函数类型的不同，有不同的计算方法，并且列举了相应的例子.在文献《数学分析简明教程》中探究第二型曲面积分可以化为定积分来计算公式并给出相应的证明.在文献《华东师范大学教学系》介绍了在第二型曲面积分的计算中将路径的参数方程表示出来，在文献《高等数学解题方法与技巧》简述了做题常用的技巧.阳明盛.林建华在文献《Mathemactica基础及数学软件》中给出了用数学软件Mathemactica解题的调用格式. 3预备知识 3.1 第二型曲面积分的定义设S为光滑的有向曲面，P（x,y,z）,Q(x,y,z),R(x,y,z) 在S上有界，把S任意分成n块有向曲面，△S i ，i=1,2......，n，记△S i 在xy平面上的有向投影为（△S i ） xy ，(ε i ， i η， i ζ)为△S i 上任取定的一点, T为每个△S i 的直径中的最大者,作和数， ∑n i R ( i ε， i η， i ζ)（△S i ） xy . 如果lim > - T ∑n i R ( i ε， i η， i ζ)（△S i ） xy 总存在，则称此极限值为R任有向曲面S 上沿xy平面的第二型曲面积分，记为?? S Rdxdy.

第5讲曲面积分习题

第一型曲面积分简化计算 1．2222:(0)S x y z R R ++=>，则（1）S xdS =òò （2 ）S = （3） 2S x dS =òò 利用二重积分计算 1．（BHP272）计算2()S I ax by cz d dS = +++òò，其中2222:(0)S x y z R R ++=> 2．设22 2:122 x y S z ++=的上半部分，点(,,)P x y z S ?，P 为S 在点P 处的切平面， (,,)x y z r 为点(0,0,0)O 到平面P 的距离，求(,,)S z I dS x y z r =òò。第二型曲面积分（一）积分曲面不封闭方法一：直接化为二重积分方法二：化为对面积的曲面积分（积分曲面为平面）方法三：添加曲面使之封闭,用高斯公式 1．计算[(,,)][2(,,)][(,,)]S I f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy =+++++òò,其中f 为连续函数， S 为平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧。

2．计算332223(1)S I x dydz y dzdx z dxdy =++-òò,其中S 是曲面221(0)z x y z =--3的上侧。[]p - (二)曲面积分封闭方法一:直接化为二重积分计算(不能用高斯公式时) 方法二:借助高斯公式化为三重积分(注意高斯公式的条件) 1．[BHP275] 计算z S I = ，其中S 为锥面z =与平面1,2z z ==所围立体表面外侧。 2．计算32222()S xdydz ydzdx zdxdy I x y z ++= ++òòò，其中S 为不穿过坐标原点的光滑闭曲面，方向取外侧。练习：计算:32222()S xdydz ydzdx zdxdy I x y z ++= ++òòò，222:224S x y z ++=取外侧。

第二类曲面积分的五种求法

万方数据

第二类曲面积分的五种求法作者：吴燕作者单位：东南大学,吴健雄学院,江苏,南京,210018 刊名：考试周刊英文刊名：KAOSHI ZHOUKAN 年，卷(期)：2009，""(33) 被引用次数：0次参考文献(2条) 1.严子谦数学分析 2004 2.同济大学数学教研室高等数学 2001 相似文献(6条) 1.期刊论文甘泉第二型曲面积分的参数形式计算 -高等数学研究2010,13(1) 给出"第二型曲面积分"的一种计算方法,即在曲面的参数形式下直接将曲面积分转化成参数区域上的一个二重积分,由此可使"第二型曲面积分"的计算问题得到简化.此法是对菲赫金哥尔茨<微积分学教程>所给"第二型曲面积分的参数形式计算"的一个改进. 2.期刊论文陈定元.王业庆.CHEN Ding-yuan.WANG Ye-qing一种有效计算第二型曲面积分的方法-安庆师范学院学报(自然科学版)2008,14(1) 第二型曲面积分的计算是高等数学中的一个难点.利用二重积分和高斯公式计算第二型曲面积分不是很方便,借助第一型曲面积分与第二型曲面积分的关系,得出了一种有效计算第二型曲面积分的方法:向量形式计算法,该方法避免了传统计算方法对曲面侧面的判定和高斯公式条件的限定,物理意义明确,计算过程简单. 3.学位论文邓乐斌黎曼积分中的问题和反例2007 20世纪初期，勒贝格(Lebesgue)测度与积分理论的发展奠定了近代分析数学的基础，而这一变革和发展的根基就是经典的黎曼(Riemann)积分。因而Riemann积分的概念和理论是十分重要的．在数学分析的教学中，Riemann积分占据了主导内容，同时也是学习数学分析的后续课程一常微分方程、复变函数论、实变函数论、概率论以及力学课程的重要基础。本文主要分析探究了高等数学和数学分析教材中的积分计算和积分证明中出现的错误，总结了正确解决这些问题所需要注意的问题，事实证明正确理解Riemann积分的相关概念和性质是关键。本文具体由以下六章构成：第一章介绍了相关背景和本文选题的动机和意义。第二章述叙了不定积分、定积分、第二型曲面积分的有关定义、性质和计算方法。第三章给出了现行的高等数学教材中出现的不定积分中的常见错误。第四章总结了定积分证明或计算中出现的常见错误。第五章分析了第二型曲面积分计算中的错误以及应该注意的问题。第六章对Riemann积分中容易出现的错误进行了小结，并指出正确理解Riemann积分的概念是正确解题的基础。 4.期刊论文杨孝先.殷保群计算第二型曲面积分的实例分析-高等数学研究2001,4(1) 今以同济大学数学教研室编<高等数学>(第四版)下册,总习题十的第3题第(4)小题为例,介绍几种计算曲面积分的方法,并简单地给出了该小题的正确解答. 5.期刊论文尹水仿关于对称性在积分计算中的应用补遗-高等数学研究2002,5(1) <高等数学研究>杂志第4卷第1期介绍了对称性在二重积分、三重积分、第一型曲线积分和第一型曲面积分计算中的应用,其方法可参见该期杂志P24-27.除以上应用外,本文还要介绍对称性在第二型曲线积分和第二型曲面积分计算中的应用. 6.期刊论文梁存利高数考研中有关曲面积分问题的求解方法-考试周刊2009,""(46) 最近几年考研高等数学试题中所出现的有关曲面积分的问题主要有第一型曲面积分、第二型曲面积分的计算,以及有关性质的考查.本文以考研高等数学试题为例探讨了曲面积分问题的主要的求解方法,即利用公式转化为二重积分的方法、利用对称性求曲面积分的方法、高斯公式法,以及利用两种曲面间的关系法等. 本文链接：https://www.doczj.com/doc/4e8280438.html,/Periodical_kszk200933061.aspx 授权使用：铁道学院(tdxy)，授权号：5e3ab8ec-76cb-4f51-a35f-9da5014bbc6f，下载时间：2010年6月30日

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9_4第二型曲面积分

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