第一章
1.定解条件：边界条件和初始条件统称为定解条件。边界条件又有Dirichlet 边界条件（也称第一类边界条件）、Neumann 条件,也称第二类边界条件、Robin 边界条件，第三类边界条件。P3-4
2.定解问题：一个微分方程（组）和相对应的定解条件合在一起就构成了一个定界问题。又分有初始问题（Cauchy 问题），只有初始条件没有边界条件的定界问题；边值问题，只有边界条件没有初始条件的定解问题；混合问题，两者都有。对于边值问题，根据边界条件不同，又可以分为第一、第二和第三边值问题。 P11
3.定解问题的适定性
从数学上看，判断一个定解问题是否合理，即是否能够完全描述给定的物理状态，一般来说有一下三个标准：
⑴解的存在性：所给定的定解问题至少存在一个解。
⑵解的惟一性：所给定的定解问题至多存在一个解。
⑶解的稳定性：当给定条件以及方程中的系数有微小变动时，相应的解也只有微小变动。 定解问题解的存在性、惟一性和稳定性统称为定解问题的适定性。P12
4.Dirichlet 、Neumann 定解问题
定解条件只有Dirichlet 条件没有初始条件的定解问题叫做Dirichlet 定解问题。 定解条件只有Neumann 条件没有初始条件的定解问题叫做Neumann 定解问题。
5.热传导Fourier 定律：热量以传导形式传递时，单位时间内通过单位面积所传递的热量与当地温度梯度成正比。对于一维问题，可表示为:Φ＝-λA(dt/dx)
其中Φ为导热量，单位为W,λ为导热系数,A 为传热面积，单位为m2, t 为温度，单位为K, x 为在导热面上的坐标。
6.Hooke 弹性定律：在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比。χχεσE =
7.发展方程：所描述的物理过程随时间而演变,如:波动方程、热传导方程等
8.在热传导方程中，如果温度分布稳定，即0u t =，则三维热传导方程f u a u 2t +?=变为
0f u =+?，此方程为Poisson 方程。特别地，若f(x,y,z)=0，即0u =?，则为Laplace 方程。
Poisson 方程或Laplace 方程统称为位势方程。
9.二阶线性偏微分方程分类方法
022*******=++++++F Cu u B u B u A u A u A ηξηηξηξξ的二阶主部为yy xy xx u A u A u A 2212112++。
若二阶主部作成的判别式在区域Ω中的某点
），（00y x 02211212>-≡?a a a ，则称方程在这点），（00y x 是双曲型的；若某点），（00y x 022112
12=-≡?a a a ，称方程在这点），（00y x 是
抛物型的；若某点），（00y x 02211212<-≡?a a a ，则称方程在这点），（00y x 是椭圆型的。
第二章
1.特征值： 使常微分方程边值问题具有非零解的数λ称为这个边值问题的特征值，相对应的非零解称为这个特征值的特征函数。P26
2.Sturm-Liouville 问题： 常微分边值问题，以及求它的所有特征值和特征函数的问题。
3.驻波：有节点的振动波。
4.腹点：使振幅达到最大值的点。
5.节点：点n)0,1,...,(k ==
n
kl x k ，在任何时刻t 都使0t)(x ,u n =的点。 6.基频：在所有的驻波频率l a l a n πωπω==1n 中，最小，称为基频。 7.固有基频：ρππωT l n l a n ==n 为弦的固有频率。
8. 三角函数系的正交性: 1，cosx ，sinx ，cos2x ，sin2x ，…cosnx ，sinnx ，构成了一个三角函数系,其中任意两个不同的函数的乘积在[-π,π]上的积分必为零.
9.Fourier 级数：∑∞=++=1
n n 0sinnx)b cosnx (a 2a (x) (x)n f f 满足一定条件，则
若
10.矩形域、圆域上的laplace 问题：P41，P44
11.分离变量法解题步骤
(1)将偏微分方程的定解问题通过分离变量得到相应的常微分方程特征值问题；
(2)求解特征值问题，确定特征值与特征函数；
(3)求解满足原偏微分方程和边界条件的解；
(4)利用叠加原理，将解叠加，并利用初始条件和齐次边界条件确定叠加系数，从而得到偏微分方程定解问题的解。
第三章
1.Fourier 变换：若f(x) 满足傅氏积分定理条件，则称表达式()i ()d +∞
--∞=?x F f x e x ωω 为
f(x)Fourier 变换。
https://www.doczj.com/doc/4713210232.html,place 变换：若f(x) 在[0,+∞]上有定义，对于复数p, 则称表达式
()0()d +∞-=?px F p f x e x 为f(x) Laplace 变换。
3.Fourier 性质：
线性性质：F[g]F[f]][βαβα+=+g f F
位移性质：c)-(]F[f(x)e [f(x)],e
c)]-[f(x ^icx -ic -λλf F F == 微分性质：[f(x )])(i (x )]F[f
F[f(x )],i (x )][f m (m)'F F λλ==
https://www.doczj.com/doc/4713210232.html,place 性质： 线性性质：[g(x)][f(x)](x)](x)[L L g f L βαβα+=+
平移性质：0)a)-(Re(p )-F(p f(x )]L[e (p),[f(x )]x
>==αα则设F L
微分性质：(0)-(0)p -...-(0)p -(0)p -(x)]L[p (x)]L[
f(0),-(x)]pL[(x)][1)-(n 2)-(n '2-n 1-n n (n)'f f f f f f f f L ==
5.Fourier 变换求解偏微分方程的基本步骤
（1） 根据自变量的变化范围及定解条件的情形,确定关于那个变量作变换,对方程两边施以 Fourier 变换,使偏微分方程转化为关于未知函数的Fourier 变换(像函数)的常微分方程
（2）对定解条件进行相应的变换,导出常微分方程的定解条件
（3）解常微分方程定解问题,求得原定解问题解的像函数
（4）对所得像函数进行逆变换,得偏微分方程定解问题形式解
（5）必要时,验证在一定条件下,形式解就是所求问题的古典解
6.Fourier 变换,Laplace 变换的存在条件：（╮(╯_╰)╭）
第四章
1.无限长弦自由振动的d ’Alembert 公式
ξξψ??d u at x at x ?++++=-t)(x,)(2a
1at)]-(x at)(x [21 2,行波速度：ρ
T =
a 3.特征变换 自变量变换 ?
??=+=at x at x -ηξ ，称为特征变换,行波法也叫特征线法。 4.特征线：分析其物理意义表明, 在 xot 平面上斜率为a
1±的两族直线：常数=±at x ，对一维波动方程研究起重要作用，称这两族直线为一维波动方程的特征线。波动沿特征线传播。P100
5.球对称性：指u(x,t)与θ?,变量无关，至于r 有关。P104
6.d ’Alembert 公式的物理意义（╮(╯_╰)╭）
7.行波法与驻波法的区别（尽力了╮(╯_╰)╭）
第五章
1.二元函数的二阶中央差商
2
x )(y)x ,-u(x y)2u(x ,-y)x ,u(x ??+?+ 2.逼近误差：差商与导数之间的误差表明插上逼近导数的车程度。
3.差分方程：将微分方程中的导数用相应的差商近似代替所得的有限形式的方程。
4.有限差分法求解应用问题的一般步骤
⑴离散求解域；
⑵用时间向前差分和空间中间差分格式代替控制方程的对应项；
⑶差分化;
⑷选择适当的计算方法求解线性代数方程组；
⑸将求解结果用云图、等值线、动画等方式展示出来，以供实际应用参考。
5.简述用数值差分法求解偏微分方程的基本原理：（我搵唔到╮(╯_╰)╭)
⑴将连续求解域划分成差分网格（最简单的差分网格是矩形网格），用有限个节点代替原连续求解域；
⑵用差商代替控制微分方程中的导数；
⑶建立含有限个未知数的节点差分方程组；
⑷代入初始和边界条件后求解差分方程组。
第六章
1. Dirichlet 定解问题：在区域Ω内找一个调和函数, 它在边界Ω?上的值已知。 ?
??Ω?∈=Ω∈=?)x x (x , u )x x (x ,0u 321321f 2. Neumann 定解问题：在区域Ω内找一个调和函数, 它在边界Ω?上的法向导数已知。 ?????Ω?∈=??Ω∈=?)x x (x ,)x x (x ,0u 321321f n
u 3. 二维三维Laplace 方程基本解 P118
0)(x 3n ,412,1log 21(x)≠???????===x
n x ππφ r U r U 1,1ln 00==
4. 调和函数基本性质一：
设，则上有一阶连续的偏导数内的调和函数，它在是区域—
ΩΩ)x ,x ,u(x 321 0d n u =???Ω?S ,其中n 是Ω?的单位外法向量。
物理意义：调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。对稳定的温度场而言，经过物体界面流入和流出的热量相同。
5. 调和函数平均值定理：
设函数u(x)在区域Ω内调和，Ω为0x 内任意一点，00x a),(x 是以B 为中心，a 为半径的球，且此球完全落在Ω内部，则有
??=a)
,(x 200udS a 41)u(x B π 6. 简述Green 函数的物理意义。（偶找不到嘢╮(╯_╰)╭） Green 函数
0(,)G M M 表示位于0
M 处的单位正电荷在导电曲面Γ内任一点M 处产生的电势。
第七章
1.Helmholts 方程 0=++V V V yy xx λ . P133
2.Bessel 方程
0)n (22'''2=-++P P P λρρρ P134
3.Bessel 函数 0)(n )1(n !2(-1)(x)220≥++Γ=++∞=∑m m x J m n m
n m
m n P136 4.Bessel 函数正交性(自己看吧) P 143
5.整数阶Bessel 函数）
（和x J (x )10J 的重要意义：根据递推公式(x)211n n n J x
n J J =+++，可由 ）（和x J (x )10J 计算出任意正整数阶的 Bessel 函数的值。
6.Bessel 函数零点的概念和特征
(1)(x )n J 有无穷多个单重实零点，这些零点在x 轴上关于原点对称分布，因而(x )n J 有无穷多个正的零点；
(2)(x )n J 的零点和(x )1+n J 的零点是彼此相间分布；且(x )n J 的绝对值最小的零点比(x )1+n J 绝对值最小的零点更接近于0；
(3) 以(n)m μ表示(x)n J 的第m 个正零点(m=1,2....)，则πμμ=+∞→]-[lim (n)m (n)1m m ，即(x)n J 几乎是以2π为周期的周期函数。
7.设有半径为R 的薄圆盘，上下两面绝热，圆盘边界上温度始终保持为0，且初始温度已知，写出圆盘内温度分布的定解问题。
.
y x y),(x,u ,
0,
0,y x ),u (u u 2220y x 222y y xx 2222R u t R a t R t ≤+==><++===+?
)
(J 2)(J -)(J ),(J 2n )(J )(J )(-)](J [d d )()](J [d d )(-J )(d d n '1n 1-n n 1n 1-n 1-n n -1-n n n 10x x x x x x x x J x x x x
x J x x x x x x J x n n n ==+===+++
第2章分离变量法
第3章积分变换法
第5章数学物理方程差分解法
3．推导一维波动、热传导方程。
4. 用Fourier变换法推导无限长弦振动的d’Alembert公式。
5. 用行波法推导无限长弦的d’Alembert公式。
6. 求解Laplace方程在半空间x > 0 内的Dirichlet问题。
7.简述整数阶Bessel函数J0(x)和J1(x)的重要意义，并描绘其简图。
P 175 8.1在0x =的邻区域内，求解下列方程： (1) 2 (1)0x y''xy'y -+-= 解：依题意将方程化为标准形式2 2 10(1) (1) x y''y'y x x + - =-- 2 ()(1) x p x x = -，2 1()(1) q x x =- - 可见0x =是方程的常点． 设方程的级数解为0 ()n n n y x c x ∞ == ∑，则1 1 ()n n n y'x nc x ∞ -== ∑，2 2 ()(1)n n n y''x n n c x ∞ -== -∑ 代入原方程得2 2 2 1 2 2102 2 2 1 (1)(1)0(1)(1)0 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c x x n n c x x nc x c x n n c x n n c x nc x c x ∞ ∞ ∞ ∞ ---====∞ ∞ ∞ ∞ -====---+- =? -- -+ - =∑∑∑∑∑∑∑∑ 由0 x 项的系数为0有：202012102 c c c c ?-=?= 由1 x 项的系数为0有：311313200 (0)c c c c c ?+-=?=≠ 由2x 项的系数为0有：42224201143212012 24 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由3 x 项的系数为0有：533355432300c c c c c ?-?+-=?= 由4x 项的系数为0有：64446403165434010 80 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由5 x 项的系数为0有：755577654500c c c c c ?-?+-=?= 由6 x 项的系数为0有：866686025587656056 896 c c c c c c c ?-?+-=?== …… ∴ 方程的级数解为 2 4 6 8 0100000 1115()2 24 80 896 n n n y x c x c c x c x c x c x c x ∞== =++ + + + +???∑
复变函数与积分变换 综合试题（一） 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（ ） A ． Im 0z = B ．Re z π= C ．0z = D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44 3(cos ,sin )55i ππ D ．44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分 ?c z dz ||等于（ ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 4．设函数()0 z f z e d ζζζ= ? ，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A ．4411z w z +=- B ．44-11z w z =+ C ．44z i w z i -=+ D ．44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)u x y = （ ） A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y -
天津工业大学（2009—2010学年第一学期） 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ； 三角形式为：)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即=????f ? 0 . 5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线
于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分，共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数
数学物理方法 课程类别校级优秀□省级优质√省级精品□国家精品□项目主持人李高翔 课程建设主要成员陈义成、王恩科、吴少平、刘峰数学物理方法是理科院校物理类学生的一门重要基础课，该课程所涉内容，不仅为其后续课程所必需，而且也为理论和实际研究工作广为应用。因此，本课程教学质量的优劣，将直接影响到学生对后续课程的学习效果，以及对学生分析问题和解决问题的能力的培养。数学物理方法是物理专业师生公认的一门“难教、难学、难懂”的课程，为了将其变为一门“易教、易学、易懂”的课程，我们对该课程的课程体系、内容设置、教学方法等方面进行了改革和建设，具体做法如下： 一、师资队伍建设 优化组合的教师队伍，是提高教学质量的根本保证。本课程师资队伍为老、中、青三结合，其中45岁以下教师全部具有博士学位，均具有高级职称。课程原责任教师汪德新教授以身作则，有计划地对青年教师进行传、帮、带，经常组织青年教师观摩老教师的课堂教学、参与数学物理方法教材编写的讨论；青年教师主动向老教师学习、请教，努力提高自身素质和教学水平。现在该课程已拥有一支以中青年教师为主的教师队伍。同时，系领导对该课程教师队伍的建设一直比较重视，有意识地安排青年教师讲授相关的后续课程，例如，本课程现责任教师李高翔教授为物理系本科生和函授生多次主讲过《电动力学》、《量子力学》、《热力学与统计物理》等课程，使得他们熟知本门课程与后续专业课程的连带关系，因此在教学中能合理取舍、突出重点，并能将枯燥的数学结果转化为具体的物理结论，有利于提高学生的学习兴趣。培养学生独立分析问题和解决问题能力的一个重要前提是教师应该具有较强的科研能力，该课程的任课教师都是活跃在国际前沿的学术带头人或学术骨干，近5年来，他们承担国家自然科学基金项目共8项，在国内外重要学术刊物上发表科研论文60余篇，并将科研成果注入教学中。此外，本课程大多数教师有多次出国合作研究的经历，并且在学校教务处和外事处的支持下，吴少平副教授参加了由国家留学基金委员会组织的赴英“双语教学研修项目”，为本课程双语教学的开展打下了良好的基础。 二、教学内容 数学物理方法是联系高等数学和物理专业课程的重要桥梁，本课程的重要任务是教会学生如何把各种物理问题翻译成数学的定解问题，并掌握求解定解问题的多种方法。本门课程的基本教学内容主要包括复变函数论、数学物理方程两部分。与国内流行的教材和教学内容相比，在讲解数理方程的定解问题时，本门课程教学内容的特色之一是按解法分类而不按方程的类型分类，这样，可以避免同一方法的多次重复介绍；特色之二是把线性常微分方程的级数解法和特殊函数置于复变函数论之后、数学物理方程之前，一方面可将这些内容作为复变函数理论的一个直接应用，使学生进一步巩固已学的相关知识，另一方面可使正交曲线坐标系中分离变量法的叙述更加流畅，并通过与直角坐标系中分
第七章 数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __。 2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为 。 3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+； B 2 t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个； B 2个； C 3个； D 4个。 7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中 点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A ．?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B ．???? ?====00 t t t u h u C ．h u t ==0 D ．???????=???? ?∈-∈===0 ],2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变 u x h 2 /l 0 u 图〈1〉
典型习题 一、填空题： 1 的值为 ， ， 。 2 、1-+的指数表示为_________ ,三角表示为 。 3、幂级数2 k k=1(k!)k z k ∞ ∑的收敛半径为 。 4、ln(5)-的值为 。 5、均匀介质球，半径为0R ，在其中心置一个点电荷Q 。已知球的介电常数为 ε，球外为真空，则电势所满足的泛定方程为 、 。 6、在单位圆的上半圆周，积分1 1||__________z dz -=?。 7、长为a 的两端固定弦的自由振动的定解问问题 。 8、具有轴对称性的拉普拉斯方程的通解为 。 9、对函数f(x)实施傅里叶变换的定义为 ，f （k ）的傅里叶逆变换为 。 10、对函数f(x)实施拉普拉斯变换的定义为 。 二、简答题 1、已知()f z u iv =+是解析函数，其中22 v(x,y)=x y +xy -，求 (,)u x y 。 2、已知函数1w z = ，写出z 平面的直线Im 1z =在w 平面中的,u v 满足的方程。 3、将函数21()56f z z z =-+在环域2||3z <<及0|2|1z <-<内展开成洛朗级数． 4、长为L 的弹性杆，一端x=0固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长p 后静止（在弹性限度内），突然放手后任其振动。试写出杆的泛定方程及定解条件。 三、计算积分： 1. ||22(1)(21)z zdz I z z ==-+? 2．||2sin (3)z zdz I z z ==+? 3.22202(1)x I dx x ∞ =+? 4.||1(31)(2) z zdz I z z ==++? 5. ||23cos z zdz I z ==? 6. 240x dx 1x I ∞=+? 7、0sin x dx x ∞ ? 8、20cos 1x dx x ∞+? 四、使用行波法求解下列方程的初值问题
数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】
3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上
嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题 一、简答题（共70 分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（ 6 分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数 相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F（ z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则 只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数 F（ z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（ 6 分） 1，定解问题有解； 2，其解是唯一的； 3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题 的适定性。 4、什么是解析函数其特征有哪些（ 6 分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数 . u x, y C1 2）这两曲线族在区域上正交。 v x, y C2 3）u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数 ) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（ 6 分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出 (x) 挑选性的表达式（ 6 分） f x x x 0 dx f x 0 f x x dx f 0 f (r ) ( r R 0 ) dv f ( R 0 ) 、写出复数 1 i 3 的三角形式和指数形式（ 8 分） 6 2 cos isin 1 3 2 i 2 三角形式： 2 sin 2 cos 2 1 i 3 cos i sin 2 3 3 1 指数形式：由三角形式得： 3 i z e 3 、求函数 z 在奇点的留数（ 8 分） 7 1)( z 2) 2 (z 解： 奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点： z=2 Re sf (1) lim (z 1) z 1 ( z 1)( z 2) 2 z 1
第八章 习题答案 8.1-1 证明递推公式： （1）()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'- （2）()()()()x l x x x l l l P 1P P 1+=' -'+ （3）()()()()x l x x l l l P 12P P 11+=' -'-+ 证明：基本递推公式 ()()()()()x l x l x x l l l l 11P 1P P 12+-++=+ ① ()()()()x x x x x l l l l ' -'+'=-+P 2P P P 11 ② （1）将①式对x 求导后可得： ()()()()()()()x l x l x l x x l l l l l '++'=++'++-11P 1P P 12P 12 ③ 由③-()?+1l ②可得 （目的：消去()x l ' +1P ） ()()()()()()x l x l x x l l l l P 1P 12P 12+-++'+ ()()()()()x l x x l x l l l l '++'+-'=--P 12P 1P 11 整理可得：()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'- （2）将()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'-乘以l 得： ()()()x l x l x lx l l l P P P 21=' -'- ④ 由③-④得 （目的：消去()x l ' -1P ） ()()()()()()x l x l x x l l l l '+=++'++12P 1P 1P 1 整理可得：()()()()x l x x x l l l P 1P P 1+=' -'+ （3）由2×③-()12+l ×②可得： （目的：消去()x l ' P ） ()()()()()()x l x l x l l l l '++'+++-+11P 12P 12P 24 ()()()()()x l x l x l l l l P 12P 22P 211++' ++'+- 整理可得：()()()()x l x x l l l P 12P P 11+=' -'-+
《数学物理方法》课程教学大纲 （供物理专业试用） 课程编码：140612090 学时：64 学分：4 开课学期：第五学期 课程类型：专业必修课 先修课程：《力学》、《热学》、《电磁学》、《光学》、《高等数学》 教学手段：（板演） 一、课程性质、任务 1．《数学物理方法》是物理教育专业本科的一门重要的基础课，它是前期课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》和《电子技术》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。本课程在本科物理教育专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。在物理教育专业的所有课程中，本课程是相对难学的一门课，学生应以认真的态度来学好本课程。 2．本课程的主要内容包括复变函数、傅立叶级数、数学物理方程、特殊函数等。理论力学中常用的变分法，量子力学中用到的群论以及现代物理中用到的非线性微分方程理论等，虽然也属于《数学物理方法》的内容，但在本大纲中不作要求。可以在后续的选修课中加以介绍。 3．《数学物理方法》既是一门数学课程，又是一门物理课程。注重逻辑推理和具有一定的系统性和严谨性。但是，它与其它的数学课有所不同。本课程内容有很深广的物理背景，实用性很强。因此，在这门课的教学过程中，不能单纯地追求理论上的完美、严谨，而忽视其应用。学生在学习时，不必过分地追求一些定理的严格证明、复杂公式的精确推导，更不能死记硬背，而应重视其应用技巧和处理方法。
4．本课程的内容是几代数学家与物理学家进行长期创造性研究的成果，几乎处处都闪耀创新精神的光芒。教师应当提示学生注意在概念建立、定理提出的过程中所用的创新思维方法，在课堂教学中应尽可能地体现历史上的创造过程，提高学生的创造性思维能力。二、课程基本内容及课时分配 第一篇复数函数论 第一章复变函数（10） 教学内容： §1.1．复数与复数运算。复平面，复数的表示式，共轭复数，无穷远点，复数的四则运算，复数的幂和根式运算，复数的极限运算。 §1.2．复变函数。复变函数的概念，开、闭区域，几种常见的复变函数，复变函数的连续性。 §1.3．导数。导数，导数的运算，科希—里曼方程。 §1.4．解析函数。解析函数的概念，正交曲线族，调和函数。 §1.5．平面标量场。稳定场，标量场，复势。 第二章复变函数的积分（7） 教学内容： §2.1．复数函数的积分，路积分及其与实变函数曲线积分的联系。 §2.2．科希定理。科希定理的内容和应用，孤立奇点，单通区域，复通区域，回路积分。 §2.3．不定积分*。原函数。 §2.4．科希公式。科希公式的导出，高阶导数的积分表达式。（模数原理及刘维定理不作要求） 第三章幂级数展开（9） 教学内容：
福师大物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类？如何判别？（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数2 31i +的三角形式和指数形式（8分） 三角形式：()3sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z
《数学物理方法A》教学大纲 （Methods of Mathematical Physics ） 一. 课程编号：040422 二. 课程类型：必修课 学时/学分：48学时/3学分 适用专业：通信与信息类强化班 先修课程：高等数学，线性代数，普通物理 三. 课程的性质与任务： 数学物理方法是我校通信与信息类强化班的一门必修课程。通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数和数学物理方程的基本理论与方法，培养学生的理论思维能力和分析问题、解决问题的能力。为学生学习有关后继课程以及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 四、教学的主要内容及学时分配 （一）教学的主要内容 复变函数部分： 1.复数与复变函数复数及其代数运算，复数的几何表示，复数的乘幂与方根，复平面上的点集，复变函数的概念，复变函数的极限和连续性 2.解析函数解析函数的概念，函数解析的充要条件，初等函数 3.复变函数的积分复变函数积分的概念、存在条件、性质与计算方法，Cauchy基本定理及其推广-复合闭路定理，Cauchy积分公式、解析函数的高阶导数，解析函数与调和函数的关系 4. 级数复数项级数、幂级数，Taylor级数，Laurent级数 5.留数孤立奇点及其分类、函数的零点与极点的关系，留数的定义、留数定理、留数的计算规则，留数在定积分计算上的应用 数学物理方程部分： 1、典型方程和定解条件 1）三类典型方程（波动方程、热传导方程和位势方程）及其定解问题的提出； 2）偏微分方程的一些基本知识与定值问题的适定性概念。 2、分离变量法（驻波法） 1）分离变量法的基本步骤； 2）非齐次方程齐次边界条件的固有函数法； 3）非齐次边界条件的处理；
《数学物理方法》课程简介 课程编号：L2112113 英文名称：Methods of Mathematical Physics 学分：4 学时：64 授课对象：光电子技术科学专业 课程目标： 《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。 课程内容： 复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时） 预修课程： 大学物理学、高等数学。 教材： 《数学物理方法》，科学出版社，邵惠民编著。 主要教学参考书： 《数学物理方法》，高教出版社，梁昆淼主编。 《数学物理方法》，高教出版社，郭敦仁主编。 《数学物理方法》，吴崇试主编 《数学物理方法》，中国科技大学出版社，严镇军编著。 《特殊函数概论》，北京大学出版社，王竹溪、郭敦仁编著。 《数学物理方法解题指导》，高等教育出版社，胡嗣柱、徐建军编。 "Mathematics of Classical and Quantum Physics" F.W. Byron & R.W. Fuller,
《数学物理方法》课程教学大纲 （Methods of Mathematical Physics） 一、基本信息 课程编号：L2112113 课程类别：学科基础课必修课 适用层次：本科 适用专业：光电子技术科学专业 开课学期：4 总学分：4 总学时：64学时 考核方式：考试 二、课程教育目标 《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学数学方法和工具。因此本课程应受到相关专业学生和教师的重视。 对实际的工程、技术、科学问题，通常需要转换为物理问题，然后利用物理原理进一步翻译为数学问题，进一步求解该数学问题，再将得到的数学结果翻译成物理问题，即讨论所得结果的物理意义。因此，数学是物理的语言之一，《数学物理方法》是联系数学和物理类及光电子类专业课程的纽带。本课程的主要任务就是告诉学生如何将各种物理问题翻译成数学的定解问题，并了解、掌握求定解问题的若干方法，如行波法、分离变数法、付里叶级数法、幂级数解法、积分变换法、保角变换法、格林函数法、电像法等。 三、教学内容与要求 教学内容： 1复变函数部分 复变函数基本知识、复变函数积分、复变幂级数、留数定理及应用、拉普拉斯变换简介。 2付氏变换部分
2. 试解方程：()0,04 4 >=+a a z 44424400000 ,0,1,2,3 ,,,,i k i i z a a e z ae k ae z i i πππ π ωωωωω+=-=====--若令则 1．计算： （1） i i i i 524321-+ -+ （2） y = （3） 求复数2 12?? + ? ??? 的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ (1) 原式= ()()()12342531081052 916 2525255 i i i i i i +?+-?+-++=+=-+-- （2） 3 32( )10205 2(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式 (3) 2 223 221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,223 i i i e r π πππππ θπ??==+=+==- ?????=-===+=±±L 原式所以：， 3．试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数. (1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++- 3.
()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y u e x y y y e y x u e x y y y y y v e y y x y e y y x v e y y y x y y u v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+?=-+??=---??=++??=-+?????==-????=+?'= ?证明：所以：。 由于在平面上可微 所以在平面上解析。()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x v i e x y y y e y i e y y x y e y x x ?+=-++++? 由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-= 解： ()()()()()()()222222222212,2,21 2,2,,,2112, 2211 1,0,1,1,, 221112. 222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ??????==+∴=++?????''=+=-=-+∴=-=-+?????=-+++-+ ??? =-+==+==? ?=-++-++ ?? ?而即所以由知带入上式，则则解析函数 2. ()21,3,,.i i i i i i e ++试求
数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：数学物理方法 所属专业：物理、应用物理专业 课程性质：数学、物理学 学分：5 （二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 （四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编 参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数
第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert（希尔伯特）空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy（柯西）积分定理 第三节Cauchy（柯西）积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开
数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】
3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上
《数学物理方法》教学大纲 适应专业：物理学、光信息科学与技术 课程编号：090802 计划学时：72 其中授课：72 参考教材：1.《数学物理方法》，梁昆淼编，高等教育出版社 2.《数学物理方法》，吴崇试编著，北京大学出版社 3.《数学物理方法》，管平，计国君，黄骏，高等教育出版社 先修课程：普通物理 高等数学 一、课程的性质与目的 该课程介绍复变函数的基础知识和物理学中常遇到的偏微分的基本求解方 法，使得学生通过学习该课程能够掌握常见偏微分方程的基本解法，为理论物理 课程所遇到的偏微分方程求解奠定基础， 同时培养学生数学建模能力和解决数理 问题的基本素质。 二、授课内容及学时分配建议 （一） 解析函数 建议学时：5 学时 授课内容： 1.复变函数的六则运算 2.复数领域上的初等函数 3.复变函数的的极限、连续、微分、可导 4.解析函数，调和函数，C-R条件 5.多值函数的支点、黎曼面和单值支的概念 教学基本要求： 1.熟练掌握复数的各种表示方法及六则运算。 2.掌握复变函数及其极限、连续、可导的概念。 3.掌握邻域等概念，理解复变函数的几何意义。 4.正确理解解析面数的定义，判断函数的解析性掌握并熟练运用C-R条件。 5.掌握解析函数与调和函数的关系及有关复势的基本概念。 6.掌握初等函数的定义、性质和解析性。 7.理解多值函数有关支点、黎曼面和单值支的概念。 教学重点、难点： 重点：复变函数的运算与几何意义，解析函数与C-R条件。 难点：多值函数有关支点、黎曼面。 （二）复变函数积分 建议学时：5 学时 授课内容： 1. 复变函数的积分
2. 柯西定理、柯西公式 3. 复变函数的环路积分 教学基本要求： 1.掌握复变函数积分的定义、基本性质及计算方法。 2.记住并能熟练地运用公式 ? í ì = = p = - ò 0 n 0 1 n , i 2 ) a z ( dz l n 。 3.牢固地掌握柯西定理、柯西公式及解析函数的任意阶导数存在性。 4.熟练地运用柯西定埋、柯西公式 5.计算复变函数的环路积分 教学重点、难点： 重点：柯西定埋、柯西公式。 难点：复变函数积分的定义。 （三） 无穷级数 建议学时： 7 学时 授课内容： 1、绝对收敛和一致收敛 2、幂级数和Taylor 级数，收敛半径 3、孤立基点和可去基点、极点，孤立基点的分类 4、解析延拓 教学基本要求： 1.了解在复数范围内级数及级数的收敛、发散、绝对收敛、一致收敛的概念 及有关性质，会使用收敛判据。 2.正确确定幂级数的收敛半径，并了解幂级数的性质。 3.掌握Taylor 级数与解析函数的关系及Taylor 展开的方法， 理解其收敛半 径与孤立奇点的关系。 4.掌握劳林级数与奇点存在的关系及劳林展开的方法， 理解其收敛环与孤立 奇点的关系。 5.正确地判断孤立奇点的类型。 6.了解解析延拓的概念。 教学重点、难点： 重点：劳林级数及展开方法，孤立基点的分类，收敛半径的杜额定方法。 难点：绝对收敛，一致收敛，解析延拓。 （四） 留数理论 建议学时： 6 学时 授课内容： 1、留数，留数定理，Jordan 引理及小弧引理 2、留数定理得应用 教学基本内容： 1.正确理解留数的概念，熟练掌握计算留数的方法。 2.熟练地掌提留数定理、Jordan 引理及小弧引理，并能正确应用于计算复 变函数的环路积分和某些实定积分。 3.掌握用留数定理计算实定积分的一般方法， 学会根据具体情况适当的选择