等比数列的通项公式
例1
已知{a n}为等比数列，
求证：当m＋n=p＋l时
a m·a n=a p·a l
证明：
设等比数列的首项a1，公比为q，
∵m＋n=p＋l
∴a m·a n=a p·a l得证．
评注：
本题证明过程并不难，但结论：等比数列中，下标之和相等则对应项之积相等，这在解决有关等比数列的问题时常使解决的过程变得很简捷．
例2
在等比数列{a n}中
(1)已知：a1＋a2＋a3=6，a2＋a3＋a4=－3，求a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8的值；
(2)已知a1＋a2＋a3＋a4＋a5=31，a2＋a3＋a4＋a5＋a6=62，求通项a n．
分析：利用等比数列的定义和性质整体观察．
解
(1)不难看出a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，a4＋a5＋a6，a5＋a6＋a7，a6＋a7＋a8成等比数列，且公比为q(即数列{a n}的公比)．
设为{A n}，即A1=6，A2=－3，
(2)由已知可以看到
∴a1(1＋2＋4＋8＋16)＝31，a1=1
∴a n=2n-1．
评注：
以上二题均可用列方程和方程组解决，但掌握等比数列有关性质整体考虑问题会使运算更简捷．
例3
在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a6=9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10=
[ ] A．12
B．10
C．8
D．2＋log35
解：
根据等比中项的性质，
a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9．
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5=95．
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10
=log3(a1a2 (10)
=log395
=5log39
=10．
故正确答案为(B)．
评注：
(1)应用等比中项求解某些等比数列问题，简便快捷．
(2)对等比数列{a n}，有以下结论：
例4
若{a n}为等比数列，且a n＞0，已知a5a6=128
则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10的值为
[ ] A．5
B．28
C．35
D．40
分析：
利用等比数列项间相等的性质不难求得
解：
原式=log2(a1a2a3 (10)
由等比数列数列性质
a1·a10=a2·a9=a3·a8=…=a5·a6
∴原式=log2(a5·a6)5
=5log2128
=5×7
=35．所以选(C)
例5
在3和9之间插入两个正数，使前三数成等比数列，后三数成等差数列，求这两个数之和．
分析：
欲求这两数之和，只须求得此二数，可依条件列方程、方程组解决．解：
设插入的两个数分别为x、y
评注：
(1)此题亦可改设为：3，3q，3q2，9或3，9－2d，9－d，9．这样利用等差或等比的条件设，方程少，计算简单．
三数成等差知和a 可设为：x－d，x，x＋d
四数成等差知和a 可设为：x－3d，x－d，x＋d，x＋3d，此时公差为2d
例6
分析：
等比数列中，a n，a2n，a3n，a4n仍成等比数列，利用该性质不难解出
解：
∴{a n}成等比数列．
由等比数列的性质a n，a2n，a3n，a4n仍成等比
设公比为G
∴a4n=a n·G3=8×83=4096
评注：
{a n}成等比数列，则a k，a2k，a3k，a4k仍成等比，且它们的公比是原公比q的k次方．
例7
{a n}为等比数列，且a n＞0，a2·a4＋a4·a6＋2a3a5=25
求a3＋a5
分析：
注意到下标特点，等比中项及等比数列有关性质不难得到结论
解：
∴由原式有：(a3＋a5)2=25
又a n＞0
∴a3＋a5=5．
等比数列通项公式及性质 1．若等比数列的首项为98，公比为2 3，3 1 n a ，则该数列的项数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．在等比数列{a n }中，a 2 010＝8a 2 007，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 4．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1等于( ) A.12 B.2 2 C. 2 D ．2 5．已知等比数列{a n }，a 4＝7，a 6＝21，则a 8等于( ) A ．35 B ．63 C ．21 3 D ．±21 3 6．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 7．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2 8.等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，若q 2＝4，则a 3＋a 4 a 4＋a 5的值为( ) A.12 B ．±1 2 C ．2 D ．±2 9．(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 10．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 11．(2009·重庆)设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A.n 24＋7n 4 B.n 23＋5n 3 C.n 22＋3n 4 D ．n 2＋n 12．在等比数列{a n }中， （1）若a 4＝27，q ＝－1 3，则a 6＝____________；a n ＝________.（2）若a 2＝18，a 4＝8，则 a n ＝________. 13．等比数列{a n }中，若a 2，a 9是方程3x 2－11x ＋6＝0的两根，则log 2(a 1a 2…a 10)＝________. 14．在7和56之间插入a ，b 两数，使7，a ，b,56成等差数列，插入c ，d 两数，使7，c ， d,56 成等比数列，则a ＋b ＋c ＋d ＝________.
【例1】 在等比数列{}n a 中，22a =，5128a =，则它的公比q =_______，前n 项和n S =_______． 【例2】 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655-=S S ，则4=a ． 【例3】 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 63 3S S =，则96=S S （ ） A ．2 B ． 7 3 C ．83 D ．3 【例4】 设{}n a 是公比为q 的等比数列，1>q ，令1(12)=+=L n n b a n ， ，，若数列{}n b 有连续四项在集合{}5323193782--， ，，，中，则6=q ． 【例5】 等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，公比1q ≠，若 105S S ＝31 32 ，则105a a 等于 ． 【例6】 等比数列{}n a 中，1512a =，公比1 2 q =-，用n ∏表示它前n 项的积：12...n n a a a ∏=， 则1∏，2∏，…，n ∏中最大的是_______． 【例7】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1 (1)()3 N n n S a n *=-∈． ⑴求1a ，2a ，3a 的值； ⑵求n a 的通项公式及10S ． 典例分析 等比数列的通项公式与求和
【例8】 在等比数列{}n a 中，12327a a a ??=，2430a a += 试求：⑴1a 和公比q ；⑵前6项的和6S . 【例9】 在等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有21n n S =-，则22212 n a a a +++=L ________． 【例10】 求和：2(1)(2)(),(0)n a a a n a -+-++-≠L ． 【例11】 在等比数列{}n a 中，423a = ，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2 n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【例12】 在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ?=，则3132log log b b ++……314log b +等于（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【例13】 等比数列}{n a 中，已知对任意自然数n ，=+?+++n a a a a 32121n -， 则222 12n a a a ++???+=( ) A ．()221n - B ．()1213n - C ．41n - D ．()1 413 n -
等比数列的通项公式(教案) 一、教学目标 1、掌握等比数列的通项公式，并能够用公式解决一些相关问题。 2、掌握由等比数列的通项公式推导出的相关结论。 二、教学重点、难点各种结论的推导、理解、应用。 三、教学过程 1、导入复习等比数列的定义： 通项公式： 用归纳猜测的方法得到，用累积法证明 2、新知探索例1 在等比数列中，（1）已知；（2）已知、，分析（1）根据等比数列的通项公式，得（2）可以根据等比数列的通项公式列出一个二元一次方程组解得所以问：上面的第（2）题中，可以不求而只需求得q就得到吗?分析在归纳猜测等比数列的通项公式时，有这样一系列式子：注意观察等式右边各项的下标与q的次方的和，可以发现，的表达式中，始终满足结论1 数列是等比数列，则有。再来看一下例1中（2）的另一种解法：，所以q=2，所以习题2、3（1） 2、在等比数列中，（1）已知；（2）已知、分析（1）可以根据定义和结论1给出两种解法。方法一方法二，所以q=3，所以。（2），所以例2 在243和3中间插入3个数，使这5个数
成等比数列。分析设此三个数为，公比为q，则由题意得243，，3成等比数列；，所以得故插入的三个数为81，27，9或-81，27，-9、问：观察一下例2中，当时，这5个数分别为243，-81，27，-9，3，可以发现什么规律？答：在等比数列中，当公比小于零时，数列中的奇数项同号，偶数项同号。习题2、3（1） 6、在等比数列中，，，求的值。分析得，同理得例3 已知等比数列的通项公式为，求首项和公比q、分析在例3中，等比数列的通项公式为，是一个常数与指数式的乘积，因为数列是特殊的函数，故表示这个数列的各点均在函数的图像上。问：如果一个数列的通项公式为，其中，都是不为零的常数，那么这个数列一定是等比数列吗？分析，，所以是等比数列。一般可以看作是等比数列通项公式的变形，，其中结论2 等比数列的通项公式均可写成（，为不等于零的常数）的形式。反之成立。习题2、3（1） 5、在等比数列中，（1）是否成立？是否成立？（2） （n>2）是否成立？（3）你能得到更一般的结论吗？分析 （1），所以成立。（2），所以成立。（3）从（1）（2）可以看出，等式两边各项的下表和相等，左边是同一项的平方，如果把左边换成两个不同项的乘积呢？同时，类比等差数列中的一个结论：在等差数列中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有，可以猜测：在等比数列中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有、证，所以、结论3 在等比数列中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是
等比数列通项公式及性 质练习 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
等比数列通项公式及性质 1．若等比数列的首项为98，公比为23，3 1 n a ，则该数列的项数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．在等比数列{a n }中，a 2 010＝8a 2 007，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 4．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1等于( ) D ．2 5．已知等比数列{a n }，a 4＝7，a 6＝21，则a 8等于( ) A ．35 B ．63 C ．21 3 D ．±21 3 6．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 7．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2 8.等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，若q 2＝4，则a 3＋a 4a 4＋a 5 的值为( ) B ．±12 C ．2 D ．±2 9．(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 10．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于 ( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16
构造等比等差数列求通项公式 一． 预备知识： 问题：已知数列{}n a 的首项为14a =. （1）若12n n a a -=+，求n a ； （2）若12n n a a -=，求n a （3）若1(3)2(3)n n a a --=-； （4）若1(1)3(1)n n a a --=- （5）若1()()n n a A B a A --=-（A ，B 为常数且n a A ≠，B 0≠），求n a 上述2,3,4,5题从结构形式上看有何共同特点_______________________ 公比与哪项的系数有关 _____________________________________ 二． 典例分析： 例1：已知111,22(2,)n n a a a n n N -+==+≥∈，求n a 反思：（1）确认什么类型可以化归成等比数列如何化 巩固练习：1.已知数列{}n a 的首项为16a =. (1) 若131(1)n n a a n +=+≥，求n a ；（2）1124(2),n n a a n +-=+≥求n a 2.已知数列{}n a 中，13a =，1323n n a a +=-，求n a 例2. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11,a =当2n ≥时，1.n n a tS n -+=求{}n a 的通项公式
一：预备知识：（1）已知数列{}n a 中，11a =，12(2),n n a a n -=+≥求n a （2）已知数列{}n a 中，11a =，1 112,n n a a --=求n a （3）已知数列{}n a 中，11a =，1130n n n n a a a a -+--=，求n a （4）已知数列{}n a 中，11a =，112250n n n n a a a a -+--=，求n a 上述2,3,4题形式有何共同特点 你能出一道类似的题目吗 推广：110n n n n Aa Aa Ba a ---+=（AB 0≠），且1a c =，求n a 二. 典例分析： 例:3：已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足1120n n n n S S S S +++-=且11a =，求n a 变式练习：已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足113n n n a S S ++=，且12a =，求n a 练习1：设(),(2)x f x a x =+()x f x =有唯一解，111(),()()1003 n n f x f x x n N ++==∈，求2004x 的值及n x 2.已知函数()(0)3 ax f x b bx = ≠+的图像经过点()3,1，且方程()f x x =有两个相等的实数根.（1）求实数,a b 的值；（2）若正项数列{}n a 满足：113,()2n n a a f a +==，求通项n a 3．已知数列{}n a ，1121,43 n n n a a a a +==+，求{}n a 的通项公式 4.已知数列{}n a 满足：11,1,21n n n a a a a +==+求数列11n n a a +?????? 的前n 项和 5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111(2), 2.21n n n S S n a S --= ≥=+ （1）求证：1n S ??????是等差数列； （2）求n a 的表达式.
一、选择题： 1.在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 （） A ．4 B ． 2 3 C ． 9 16 D ．2 2．已知等比数列{}n a 中，公比2q =，且30123302a a a a ????=L ，那么36930a a a a ????L 等于 A ．102 B ．202 C ．162 D ．152 二、填空题： 3.等比数列{an}中,a 1=2,a 9=32,则q=. 4.已知一个等比数列的第5项是 94，公比是－31 ，它的第1项是. 5．在等比数列{a n }中，已知a 1=2 3 ，a 4=12，则q =_________，a n =______． 6.在81和３中间插入2个数和，使这4个数成等比数列． 7．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q =____． 8．在等比数列{}n a 中，3620,160a a ==，则n a =． 9.等比数列中，首项为98，末项为13，公比为23 ，则项数n 等于. 10.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于. 11.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，则56a a += 12.数列{a n }中，a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1…是首项为1、公比为3 1 的等比数列，则a n 等于。 三、解答题： 13.在等比数列{a n }中， (1)已知{}n a 是递增的等比数列，,4,2342=-=a a a 则{}n a 的公比q ，及通项公式n a （2）已知n a a a a a n 求,2 1 ,18,367463= =+=+ 14．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1(n ∈N*) (1) 求证数列{a n ＋1}是等比数列； (2) 求{a n }的通项公式． 15.一个等比数列{}n a 中，701333241=+=+a a a a ，，求这个数列的通项公式。 一、选择题 1．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（）
等比数列的通项公式 教学重难点： 1、等比数列的概念和性质 2、如何判断一个等比数列 3、构造辅助数列转化为等比数列 授课内容： 一、 知识点 1、 等比数列的概念 （1） 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它前面相邻的一项之 比为常数，则这个数列为等比数列 （2） 数列{}n a 中，1n n a q a +=（常数），则称n a 为等比数列 注：等比数列中不能出现0 2、 通项公式 (1) 通项公式：11n n m n m a a q a q --== (2) 等比中项：a,G,b 成等比数列，则G 叫做a 与b 的等比中项，此时 G= 注意：①在a,b 同号时，a,b 的等比中项有两个；异号时，没有等比中 项 ②在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项） 都是它的前一项与后一项的等比中项 ③ “a,G,b 成等比数列” ? “2(,0)G ab a b =均不为”，可以 用它来判断或证明三数成等比数列 （3） 通项公式的应用： 32324123112-1 +++++n n n n a a a a a a a q a a a a a a a -+??====??==?? 例1、 已知等比数列{}n a 中，5a =7，8a =56，求数列{}n a 的通项公式n a
例2、在等比数列{}n a 中，已知36471+=36+=18=2 n a a a a a ，，，求n 3、 性质 （1）若(,,,),n m p q m n p q m n p q N a a a a *+=+∈?=?则 （2）若等比数列{}n a 的公比为q,则11q n a ?????? 是以为公比的等比数列 （3）一组等比数列{}n a 中，下标称等差数列的向成等比数列 （4）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列 （5）从数列的分类来说： {}110,10,01n a q a q a ?????当或时的数列的递增数列 {}110,010,1n a q a q a ?????当或时的数列的递减数列 当q=1时，数列{}n a 为常数数列 当q ?0时，数列{}n a 为摆动数列 例、实数等比数列{}n a 中，37112712++=28=512n a a a a a a a ，，求
等比数列的通项公式 例1 已知{a n}为等比数列， 求证：当m＋n=p＋l时 a m·a n=a p·a l 证明： 设等比数列的首项a1，公比为q， ∵m＋n=p＋l ∴a m·a n=a p·a l得证． 评注： 本题证明过程并不难，但结论：等比数列中，下标之和相等则对应项之积相等，这在解决有关等比数列的问题时常使解决的过程变得很简捷． 例2 在等比数列{a n}中 (1)已知：a1＋a2＋a3=6，a2＋a3＋a4=－3，求a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8的值； (2)已知a1＋a2＋a3＋a4＋a5=31，a2＋a3＋a4＋a5＋a6=62，求通项a n． 分析：利用等比数列的定义和性质整体观察． 解 (1)不难看出a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，a4＋a5＋a6，a5＋a6＋a7，a6＋a7＋a8成等比数列，且公比为q(即数列{a n}的公比)．
设为{A n}，即A1=6，A2=－3， (2)由已知可以看到 ∴a1(1＋2＋4＋8＋16)＝31，a1=1 ∴a n=2n-1． 评注： 以上二题均可用列方程和方程组解决，但掌握等比数列有关性质整体考虑问题会使运算更简捷． 例3 在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a6=9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10= [ ] A．12 B．10 C．8 D．2＋log35 解： 根据等比中项的性质， a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9．
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5=95． ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 =log3(a1a2 (10) =log395 =5log39 =10． 故正确答案为(B)． 评注： (1)应用等比中项求解某些等比数列问题，简便快捷． (2)对等比数列{a n}，有以下结论： 例4 若{a n}为等比数列，且a n＞0，已知a5a6=128 则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10的值为 [ ] A．5 B．28 C．35 D．40
学而思高中完整讲义：数列.版块三.等比数列-等比数列的通项公式 与求和.学生版 【例1】 在等比数列{}n a 中，22a =，5128a =，则它的公比q =_______，前n 项和 n S =_______． 【例2】 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655-=S S ，则4=a ． 【例3】 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 63 3S S =，则96=S S （ ） A ．2 B ． 7 3 C ．83 D ．3 【例4】 设{}n a 是公比为q 的等比数列，1>q ，令1(12)=+=L n n b a n ，，，若数列{}n b 有 连续四项在集合{}5323193782--， ，，，中，则6=q ． 【例5】 等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，公比1q ≠，若 105S S ＝3132 ，则105a a 等于 ． 【例6】 等比数列{}n a 中，1512a =，公比1 2 q =-，用n ∏表示它前n 项的积：12...n n a a a ∏=， 则1∏，2∏，…，n ∏中最大的是_______． 【例7】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1 (1)()3 N n n S a n *=-∈． ⑴求1a ，2a ，3a 的值； 典例分析
⑵求n a 的通项公式及10S ． 【例8】 在等比数列{}n a 中，12327a a a ??=，2430a a += 试求：⑴1a 和公比q ；⑵前6项的和6S . 【例9】 在等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有21n n S =-，则 222 12n a a a +++=L ________． 【例10】 求和：2(1)(2)(),(0)n a a a n a -+-++-≠L ． 【例11】 在等比数列{}n a 中，423a = ，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2 n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【例12】 在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ?=，则3132log log b b ++ (314) log b +等于（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【例13】 等比数列}{n a 中，已知对任意自然数n ，=+?+++n a a a a 32121n -， 则222 12n a a a ++???+=( ) A ．()221n - B ．()1213n - C ．41n - D ．()1 413 n -
6．3 等比数列的通项公式 一、教学目标 1.知识目标： （1）理解等比数列的定义； （2）理解等比数列通项公式． 2.能力目标： （1）应用等比数列的通项公式，解决数列的相关计算，培养学生的计算技能； （2）应用等比数列知识，解决生活中实际问题，培养学生处理数据技能和分析解决问题的能力． 3.情感目标： （1）经历等比数列的通项公式的探索，增强学生的创新思维； （2）关注数学知识的应用，形成对数学的兴趣。 二、教学重难点 1.教学重点：等比数列的通项公式． 2.教学难点：等比数列通项公式的推导． 三、教学过程 （一）创设情境兴趣导入 做一做：将一张纸连续对折5次，列出每次对折纸的层数 （二）动脑思考探索新知 新知识： ?=（层）； 第1次对折后纸的层次为122 ?=（层）； 第2次对折后纸的层次为224 第3次对折后纸的层次为428 ?=（层）； 第4次对折后纸的层次为8216 ?=（层）； 第5次对折后纸的层次为16232 ?=（层）． 各次对折后纸的层次组成数列 2，4，8，16，32． 这个数列的特点是，从第2项起，每一项与它前面一项的比都等于2．如果一个数列的首项不为零，且从第2项开始，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做这个等比数列的公比，一般用字母q来表示．
由定义知，若{}n a 为等比数列，q 为公比，则1a 与q 均不为零，且有1n n a q a +=，即 1n n a a q +=? (6.5) （三）巩固知识 典型例题 例１ 在等比数列{}n a 中，15a =，3q =，求2a 、3a 、4a 、5a ． 解 213243545315, 15345, 453135, 1353405.a a q a a q a a q a a q =?=?==?=?==?=?==?=?= 试一试：你能很快地写出这个数列的第９项吗？ 如何写出一个等比数列的通项公式呢？ （四）动脑思考 探索新知 与等差数列相类似，我们通过观察等比数列各项之间的关系，分析、探求规律． 设等比数列{}n a 的公比为q ，则 ()()2123211234311, , ,a a q a a q a q q a q a a q a q q a q =?=?=??=?=?=??=? …… 依此类推，得到等比数列的通项公式： .11-?=n n q a a 知道了等比数列{}n a 中的1a 和q ，利用公式（6.6），可以直接计算出数列的任意一项. 想一想：等比数列的通项公式中,共有四个量：n a 、1a 、n 和q ，只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？ （五）巩固知识 典型例题 例2求等比数列
等比数列的通项公式（教案） 一、教学目标 1、 掌握等比数列的通项公式，并能够用公式解决一些相关问题。 2、 掌握由等比数列的通项公式推导出的相关结论。 二、教学重点、难点 各种结论的推导、理解、应用。 三、教学过程 1、 导入 复习 等比数列的定义：1n n a q a += () *n N ∈ 通项公式：11n n a a q -= () *n N ∈ 用归纳猜测的方法得到，用累积法证明 2、 新知探索 例1 在等比数列{}n a 中， （1） 已知163,2,a q a ==-求； （2）已知3620,160,n a a a ==求.， 分析 （1）根据等比数列的通项公式，得 56196a a q ==- （2） 可以根据等比数列的通项公式列出一个二元一次方程组 23156120160 a a q a a q ?==??==?? 解得152a q =??=? 所以11152n n n a a q --==? 问：上面的第（2）题中，可以不求1a 而只需求得q 就得到n a 吗? 分析 在归纳猜测等比数列的通项公式时，有这样一系列式子： 212321234321, , , a a q a a q a q a a q a q a q ====== 232112321...n n n n n n a a q a q a q a q a q -----====== 注意观察等式右边各项的下标与q 的次方的和，可以发现，n a 的表达式中，始终满足 n m n m a a q -= ()*,n m N ∈ 结论1 数列{}n a 是等比数列，则有n m n m a a q -= () *,n m N ∈。 再来看一下例1中（2）的另一种解法：363a a q =，所以q=2，所以11152n n n a a q --==? 习题（1）49P 2、在等比数列{}n a 中，
等比数列的定义及其通项公式 【基础回顾】 1.等比数列的定义 1 n n a q a -=（q 为常数且0q ≠，n ∈N +且2n ≥） 2.等比数列的通项公式及其性质 11n n m n n m a a q a a q --???→==←???推广 特例 等比数列中没有零这个项且其中的项要么全部是正或全部是负或正负间隔出现，总之，等比．．数列的奇数项符号相同．．．．．．．．．．，偶数项的符号相同．．．．．．．．.等比数列的通项形式是指数式．．． . 3.等比中项 2211(2)(1)()n n n n n k n k m n p q a a a n a a a n k a a a a m n p q -+-+???→???→=≥=≥+=+=+←???←???推广推广特例特例 4.等比数列的证明 （1）定义法：1 (2n n a q n a -=≥，n ∈N +，q 是非零常数) （2）等比中项法：211n n n a a a -+=?（2n ≥，且0n a ≠） （3）通项公式法：n n a kq =（,k q 为常数，且0kq ≠） （4）求和法：n n S Aq B =+，且0A B +=，0AB ≠. 5.函数性质 【典型例题】 例1 已知无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q . （1）数列n a ，1n a -， ，2a ，1a 也成等比数列吗？如果是，写出它的首项和公比； （2）依次取出{}n a 的所有奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗？如果是，写出它的首项和公比； （3）数列{}n ca （其中c 为常数且0c ≠）是等比数列吗？如果是，写出它的首项和公比. 例2 在等比数列{}n a 中. （1）已知13a =，2q =-，则6a = ；（2）已知32n n a =?，则1a = ，d = ； （3）它的首项和公比均为2，若它的末项为32，则这个数列共有 项； （4）已知12a =，7128a =，则q = ；（5）已知427a =，3q =-，则7a = ； （6）已知320a =，6160a =，则n a = ；（7）若4n n a a +=，则q = . 例3 （1）已知{}n a 为等比数列，且243546225a a a a a a ++=，那么35a a +的值等于 ； （2）已知等比数列{}n a 中，3833a a +=，4732a a =，且数列{}n a 是递增数列，则数列{}n a 的公比q 为 . 练习：（1）等比数列1a -，2a ，8a ， 的第四项为 ； （2）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，1235a a a ??=，78910a a a =，则456a a a = . 例4 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数和第三个数的和是12，求这四个数.
《等比数列》（第1课时）教学设计 授课地点：武威八中 授课时间：2015年4月22日 授课人：武威六中杨志隆 一、教学目标 知识与技能 1.理解等比数列的概念； 2.掌握等比数列的通项公式； 3.会应用定义及通项公式解决一些实际问题。 过程与方法 培养运用归纳类比的方法去发现并解决问题的能力。通过实例，归纳并理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，培养学生严密的思维习惯。 情感态度与价值观 充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 二、教学重点、难点 教学重点： 等比数列的概念及通项公式； 教学难点： 通项公式的推导及初步应用。 三、教学方法 发现式教学法，类比分析法 四、教学过程 （一）旧知回顾，情境导入 1. 回顾等差数列的相关性质 设计意图：通过复习等差数列的相关知识，类比学习本节课的内容，用熟知的等差数列内容来分散本节课的难点，为等比数列的学习做铺垫。 2.情境展示 情境1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 情境2：一张纸的折叠问题 把以上实例表示为数学问题，并引导学生通过观察、联想，得到两个数列： ① ②1,2,4,8,16,32,64 设计意图：让学生通过观察，得到两个数列的共同特点：从第二项起，每一项与它前面一项的比都等于同一个常数．由此引入等比数列。 （二）概念探究 1．引导学生通过联想并类比等差数列给出该数列的名称：等比数列 2．归纳总结，形成等比数列的概念． 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比（引导学生经过类比等差数列的定义得出）。同时给出等比中项的定义，并和等差中项做比较，加深学生对概念的理解。 3．对等比数列概念的深化理解
求等比数列通项公式的常用方法 等比数列的通项公式是研究等比数列的性质与其前n 项和的基础，也是研究数列问题的基石，所以等比数列通项公式的求法在等比数列的研究中占有重要的地位，下文就介绍求等比数列通项公式的常用方法. 一．定义法：先根据条件判断该数列是不是等比数列，若是等比数列则又等比数列定义直接求它的通项公式. 例1．求下列数列的通项公式 5，-15，45，-135，405，-1512… 解：所给的数列是等比数列，且是首项为5，公比为-3。所以通项1)3(5--?=n n a 二．公式法：如果数列是等比数列，只要知道首项与公比，就可以根据等比数列的通顶公式11n n a a q -=来求。 例2：数列{}n a 为等比数列，若1231237,8a a a a a a ++==，求通项n a 解，由已知得3 2 1238a a a a ==（利用等比数列的性质）22a ∴=，1237,a a a ++= 2227a a a q q ∴ ++= 即 2250q q +-=2 2520q q ∴-+=，解得 2q =或12 q = 当2q =时，得11a =，12n n a -∴= 当12 q = 时，得14a =，32n n a -∴= 评：等比数列的通项公式有时为了需要，不一定非得由1a 与q 来表示，也可以用其他项来相互表示如n m n m a a q -= 例3：已知等比数列{}n a 中，3103,384a a ==，则该数列的通项n a = 解： 103103,a a q -=∴7103 3841283 a q a = ==2,q ∴=∴3 3 332 n n n a a q --==? 注：此类题目都会很醒目的出现等比数的字眼，目的求首项与公比，当然求首项和公比可灵活一些，如用等比数列的性质以及变换式n m n m a a q -=. 三．递推关系式法：给出了递推公式求通项，常用方法有两种： （一）是配常数转化为等比数列，从而再求通项 例4．已知数列{}n a 中11=a ，121+=+n n a a ，求通项公式n a
高中数学-等比数列的概念及通项公式练习 [A 基础达标] 1．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比q 为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 解析：选B.由a n a n ＋1＝16n ，知a 1a 2＝16，a 2a 3＝162，后式除以前式得q 2＝16，所以q ＝±4. 因为a 1a 2＝a 21q ＝16＞0，所以q ＞0，所以q ＝4. 2．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≠1 B ．a ≠0或a ≠1 C ．a ≠0 D ．a ≠0且a ≠1 解析：选D.由于a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则a 需满足a ≠0，a (1－a )≠0， a (1－a )2≠0，所以a ≠0且a ≠1. 3．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 解析：选C.在等比数列{a n }中，因为a 1＝1，所以a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.又因为a m ＝ q m －1，所以m －1＝10，所以m ＝11. 4．在数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，则a 4的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．16 解析：选B.因为点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上， 所以a n ＋1＝2a n . 因为a 1＝1≠0， 所以a n ≠0， 所以{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 所以a 4＝1×23＝8. 5．一个数分别加上20，50，100后得到的三个数成等比数列，其公比为( ) A.53 B ．43 C.32 D ．12 解析：选A.设这个数为x ， 则(50＋x )2＝(20＋x )·(100＋x )， 解得x ＝25，
精心整理 求数列通项公式的11种方法方法 总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法： 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 1 2．若a 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=- = 两边分别相加得111 ()n n k a a f n +=-=∑ 例1已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 例2已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211 ()()()()(1)3 n n n n n a a a a a a a a a a n ---=-+-++-+-+-+.答案： 12+-n n 练习2.已知数列 } {n a 满足31=a ， ) 2()1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：裂项 求和 n a n 1 2- =
评注：已知a a =1,) (1 n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指 数函数、分式函数，求通项 n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。 例 解:又S 则 a 1.2．若 1()n n a f n a +=，则31212 (1)(2)()n n a a a f f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1 11 1()n n k a a f k a +==?∏ 例4已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。
等比数列定义和通项公式练习（基础） 一、选择题： 1.在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 （ ） A ．4 B ．23 C ．916 D ．2 2．已知等比数列{}n a 中，公比2q =，且30123302a a a a ????=，那么36930a a a a ???? 等于 （ ） A ．102 B ．202 C ．162 D ．15 2 二、填空题： 3. 等比数列{an}中,a 1=2, a 9=32,则q= . 4. 已知一个等比数列的第5项是 94，公比是－31，它的第1项是 . 5．在等比数列{a n }中，已知a 1=2 3，a 4=12，则q =_____ ____，a n =____ __． 6. 在81和３中间插入2个数 和 ，使这4个数成等比数列． 7．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q =___ _． 8．在等比数列{}n a 中，3620,160a a ==，则n a = ． 9.等比数列中，首项为98，末项为13，公比为23 ，则项数n 等于 . 10.在等比数列中，n a >0，且2 1n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 . 11.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，则56a a += 12.数列{a n }中，a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1…是首项为1、公比为 31的等比数列，则a n 等于 。 三、解答题： 13.在等比数列{a n }中， (1) 已知{}n a 是递增的等比数列，,4,2342=-=a a a 则{}n a 的公比q ，及通项公式n a
构造等比数列求通项公 式 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
2 构造等比等差数列求通项公式 一． 预备知识： 问题：已知数列{}n a 的首项为14a =. （1）若12n n a a -=+，求n a ； （2）若12n n a a -=，求n a （3）若1(3)2(3)n n a a --=-； （4）若1(1)3(1)n n a a --=- （5）若1()()n n a A B a A --=-（A ，B 为常数且n a A ≠，B 0≠），求n a 上述2,3,4,5题从结构形式上看有何共同特点_______________________ 公比与哪项的系数有关 _____________________________________ 二． 典例分析： 例1：已知111,22(2,)n n a a a n n N -+==+≥∈，求n a 反思：（1）确认什么类型可以化归成等比数列如何化 巩固练习：1.已知数列{}n a 的首项为16a =. (1) 若131(1)n n a a n +=+≥，求n a ；（2）1124(2),n n a a n +-=+≥求n a 2.已知数列{}n a 中，13a =，1323n n a a +=-，求n a 例2. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11,a =当2n ≥时，1.n n a tS n -+=求{}n a 的通 项公式
3 一：预备知识：（1）已知数列{}n a 中，11a =，12(2),n n a a n -=+≥求n a （2）已知数列{}n a 中，11a =，1 112,n n a a --=求n a （3）已知数列{}n a 中，11a =，1130n n n n a a a a -+--=，求n a （4）已知数列{}n a 中，11a =，112250n n n n a a a a -+--=，求n a 上述2,3,4题形式有何共同特点 你能出一道类似的题目吗 推广：110n n n n Aa Aa Ba a ---+=（AB 0≠），且1a c =，求n a 二. 典例分析： 例:3：已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足1120n n n n S S S S +++-=且11a =，求n a 变式练习：已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足113n n n a S S ++=，且12a =，求n a 练习1：设(),(2) x f x a x =+()x f x =有唯一解，111(),()()1003 n n f x f x x n N ++= =∈，求2004x 的值及n x 2.已知函数()(0)3ax f x b bx = ≠+的图像经过点()3,1，且方程()f x x =有两个相等的实数根.（1）求实数,a b 的值；（2）若正项数列{}n a 满足： 113,()2 n n a a f a +==，求通项n a 3．已知数列{}n a ，1121,43 n n n a a a a +==+，求{}n a 的通项公式 4.已知数列{}n a 满足：11,1,21n n n a a a a +==+求数列11n n a a +?????? 的前n 项和 5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111(2), 2.21 n n n S S n a S --= ≥=+