Canadian Math Kangaroo Contest
Part A: Each correct answer is worth 3 points
1.Which letter on the board is not in the word "KOALA"?
(A) R (B) L (C) K (D) N (E) O
2.In a cave, there were only two seahorses, one starfish and three turtles. Later, five seahorses, three starfish
and four turtles joined them. How many sea animals gathered in the cave?
(A) 6 (B) 9 (C) 12 (D) 15 (E) 18
3.Matt had to deliver flyers about recycling to all houses numbered from 25 to 57. How many houses got the
flyers?
(A) 31 (B) 32 (C) 33 (D) 34 (E) 35
4.Kanga is 1 year and 3 months old now. In how many months will Kanga be 2 years old?
(A) 3 (B) 5 (C) 7 (D) 8 (E) 9
5.
(A) 24 (B) 28 (C) 36 (D) 56 (E) 80
6. A thread of length 10 cm is folded into equal parts as shown in the figure.
The thread is cut at the two marked places. What are the lengths of the three parts?
(A) 2 cm, 3 cm, 5 cm (B) 2 cm, 2 cm, 6 cm (C) 1 cm, 4 cm, 5 cm
(D) 1 cm, 3 cm, 6 cm (E) 3 cm, 3 cm, 4 cm
7.Which of the following traffic signs has the largest number of lines of symmetry?
(A) (B) (C) (D) (E)
8.Kanga combines 555 groups of 9 stones into a single pile. She then splits the resulting pile into groups of 5
stones. How many groups does she get?
(A) 999 (B) 900 (C) 555 (D) 111 (E) 45
9.
What is the shaded area?
(A) 50 (B) 80 (C) 100 (D) 120 (E) 150
10.In a coordinate system four of the following points are the vertices of a square. Which point is not a vertex
of this square?
(A) (?1;3)(B) (0;?4)(C) (?2;?1)(D) (1;1)(E) (3;?2)
Part B: Each correct answer is worth 4 points
11.There are twelve rooms in a building and each room has two windows and one light. Last evening, eighteen
windows were lighted. In how many rooms was the light off?
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6
12.Which three of the five jigsaw pieces shown can be joined together to form a square?
(A) 1, 3 and 5 (B) 1, 2 and 5 (C) 1, 4 and 5 (D) 3, 4 and 5 (E) 2, 3 and 5
13.John has a board with 11 squares. He puts a coin in each of eight neighbouring squares
without leaving any empty squares between the coins. What is the maximum number
of squares in which one can be sure that there is a coin?
(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6
14.Which of the following figures cannot be formed by gluing these two identical squares of paper together?
(A) (B) (C) (D) (E)
15.Each letter in BENJAMIN represents one of the digits 1, 2, 3, 4, 5, 6 or 7. Different letters represent different
digits. The number BENJAMIN is odd and divisible by 3. Which digit corresponds to N?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 7
16.Seven standard dice are glued together to make the solid shown. The faces of the dice that
are glued together have the same number of dots on them. How many dots are on the surface
of the solid?
(A) 24 (B) 90 (C) 95 (D) 105 (E) 126
17.Jill is making a magic multiplication square using the numbers 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 and 100. The products
of the numbers in each row, in each column and in the two diagonals should all be the same. In the figure you can see how she has started. Which number should Jill place in the cell with the question mark?
(A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 10 (E) 25
18.What is the smallest number of planes that are needed to enclose a bounded part in three-dimensional space?
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7
19.Each of ten points in the figure is marked with either 0 or 1 or 2. It is known that
the sum of numbers in the vertices of any white triangle is divisible by 3, while the
sum of numbers in the vertices of any black triangle is not divisible by 3. Three of
the points are marked as shown in the figure. What numbers can be used to mark
the central point?
(A) Only 0. (B) Only 1. (C) Only 2. (D) Only 0 and 1. (E) Either 0 or 1 or 2.
20.Betina draws five points AA,BB,CC,DD and EE on a circle as well as the tangent to
the circle at AA, such that all five angles marked with xx are equal. (Note that
the drawing is not to scale.) How large is the angle ∠AABBDD ?
(A) 66°(B) 70.5°(C) 72°
(D) 75°(E) 77.5°
Part C: Each correct answer is worth 5 points
21.Which pattern can we make using all five cards given below?
(A) (B) (C) (D) (E)
22.The numbers 1, 5, 8, 9, 10, 12 and 15 are distributed into groups with one or more numbers. The sum of the
numbers in each group is the same. What is the largest number of groups?
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6
23.My dogs have 18 more legs than noses. How many dogs do I have?
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 8 (E) 9
24.In the picture you see 5 ladybirds.
Each one sits on its flower. Their places are defined as follows: the difference of the dots on their wings is the number of the leaves and the sum of the dots on their wings is the number of the petals. Which of the following flowers has no ladybird?
(A) (B) (C) (D) (E)
25.On each of six faces of a cube there is one of the following six symbols: ?, ?, ?, ?, ? and Ο. On each face
there is a different symbol. In the picture we can see this cube shown in two different positions.
Which symbol is opposite the ??
(A) Ο(B)?(C) ?(D) ?(E) ?
26.What is the greatest number of shapes of the form that can be cut out from a
5 × 5 square?
(A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7
27.Kirsten wrote numbers in 5 of the 10 circles as shown in the figure. She wants to write
a number in each of the remaining 5 circles such that the sums of the 3 numbers along
each side of the pentagon are equal. Which number will she have to write in the circle
marked by XX?
(A) 7 (B) 8 (C) 11 (D) 13 (E) 15
28. A 3×3×3 cube is built from 15 black cubes and 12 white cubes. Five faces of the larger cube are shown.
Which of the following is the sixth face of the large cube?
(A) (B) (C) (D) (E)
29.Jakob wrote down four consecutive positive integers. He then calculated the four possible totals made by
taking three of the integers at a time. None of these totals was a prime. What is the smallest integer Jakob could have written?
(A) 12 (B) 10 (C) 7 (D) 6 (E) 3
30.Four sportsmen and sportswomen - a skier, a speed skater, a hockey player and a snowboarder - had dinner
at a round table. The skier sat at Andrea's left hand. The speed skater sat opposite Ben. Eva and Filip sat next to each other. A woman sat at the hockey player`s left hand. Which sport did Eva do?
(A) speed skating (B) skiing (C) ice hockey (D) snowboarding
(E) It`s not possible to find out with the given information.
International Contest-Game Math Kangaroo Canada, 2016
Answer Key
Parents Contest
第一届（1959） 1.求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。 2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a) A=√2； (b)A=1；(c)A=2。 、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程 acos2x + bcos x + c = 0,试用a,b,c作出一个关于cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。 4.试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.) 求证 AF、BC相交于N点；（b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S；(c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。 6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。 第二届（1960） 1.找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 2.寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1 - √(1 + 2x))2<2x + 9 3.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令a为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan a = 4nh/(an2 - a). 4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。 5.正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。a.求XY中点的轨迹；b.求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。 6.一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1为圆锥的体 积，V2为圆柱的体积。(a).求证：V1不等于V2 ；(b).求V1/V2 的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。 第三届（1961） 1.设a、b是常数，解方程组 x + y + z = a;x2 + y2 + z2 = b2;xy=z2并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件 2.设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证：a2 + b2 + c2 >= 4√3 A. 并求出等号何时成立。 3.解方程 cosnx - sinnx = 1, 其中n是一个自然数。 是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。 5.作三角形ABC使得 AC=b, AB=c，锐角AMB = a,其中M是线断BC的中点。求证这个三角形存在的充要条件是 b tan(a/2) <= c < b.又问上式何时等号成立。 6.三个不共线的点A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C在p的同一侧。在p上任意取三个点A', B', C'， A'', B'', C''设分别是边AA', BB', CC'的中点，O是三角形A''B''C''的重心。问，当A',B',C'变化时，O的轨迹是什么 第四届（1962） 1.找出具有下列各性质的最小正整数 n：它的最后一位数字是6，如果把最后的6去掉并放在最前面所得到的数是原来数的4被。 2.试找出满足下列不等式的所有实数 x：√(3-x)- √(x+1) > 1/2. 3.正方体 ABCDA'B'C'D'（ABCD、A'B'C'D'分别是上下底）。一点 x沿着正方形ABCD的边界以方向ABCDA 作匀速运动；一点Y以同样的速度沿着正方形B'C'CB的边界以方向B'C'CBB'运动。点X、Y在同一时刻分别从点A、B'开始运动。求线断XY的中点的轨迹。 4.解方程cos2x + cos22x + cos23x = 1。 5.在圆K上有三个不同的点A、B、C。试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。
高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。
二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2
初三数学竞赛试题中国教育学会中学数学教学专业委员会 2012年全国初中数学竞赛试题 题号 一 二 三 总分 1～5 6～10 11 12 13 14 得分 评卷人 复查人 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1（甲）．如果实数，，在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（）． A． B． C． D． 1（乙）．如果，那么的值为（）． A． B． C．2 D． 2（甲）．如果正比例函数与反比例函数的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为，那么另一个交点的坐标为（）． A． B． C． D． 2（乙）．在平面直角坐标系中，满足不等式的整数点坐标的个数为（）． A．10 B．9 C．7 D．5 3（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）． A．1 B． C． D． 3（乙）．如图，四边形中，、是对角线，是等边三角形．，，，则的长为（）． A． B．4 C． D．4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的倍”；小玲对小倩说：“你若给我元，我的钱数将是你的2倍”，其中为正整数，则的可能值的个数是（）． A．1 B．2 C．3 D．4 4（乙）．如果关于的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）． A．5 B．6 C．7 D．8 5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（）．
数学竞赛训练题上册 The following text is amended on 12 November 2020.
函数与极限 ._______,)(lim . 1)0(,)1()(.12 02==-='=+'-+''=→a a x x x y y e y x y x y x y y x x 则若且满足设函数 . ________,1,))(()(.2===---=b x e x b x a x b e x f x 则为可去间断点处在处为无穷间断点在已知 3. 求x x x a a x 1111lim ??? ? ??--?+∞→，其中0,1a a >≠. 4、设当0x >时，方程211kx x +=有且仅有一个解，求k 的取值范围. 5．求11 2 1cos2lim 4n n t dt n t →?. 6、设()f x 在上连续[,]a b ，证明：1 2200lim ()d (0)2 h h f x x f h x π + →=+? 。 证明：()f x 在上连续[,]a b ，因而有界，所以0M ?>，当[,]x a b ∈时有 ()f x M ≤。 _________.) (lim ,4]cos 1)(1[ln 121lim 7.30 ==-+-→→x x f x x f x x x 则已知 8、设函数(,)f x y 可微，1)2 ,0(),,(),(,=-='π f y x f y x f x ，且满足 y n n e y f n y f cot ),0()1,0(lim =???? ?????? +∞ →，求(,)f x y 。 9．求曲线1(0)(1)x x x y x x += >+的斜渐近线方程。
A A 1 1 1 图1 2019全国高中数学联赛模拟试题（二） 第一试 一、选择题（每小题6分，共36分） 1、已知集合()??????+=--=123,a x y y x A ，()()(){} 1511,2=-+-=y a x a y x B ．若?=B A ，则a 的所有取值是 （A ）－1，1 （B ）－1，21 （C ）±1，2 （D ）±1，－4， 25 2、如图1，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点M 、N 在AB 1、BC 1上，且AM ＝BN ．那么， ①AA 1⊥MN ； ②A 1C 1∥MN ； ③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1； ④MN 与A 1C 1异面． 以上4个结论中，不正确的结论的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3、用S n 与a n 分别表示区间[)1,0内不含数字9的n 位小数的和与个数．则n n n S a ∞→lim 的值为 （A ） 43 （B ）45 （C ）47 （D ）4 9 4、首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数共有 （A ）216个 （B ）252个 （C ）324个 （D ）432个 5、对一切实数x ，所有的二次函数()c bx ax x f ++=2（a ＜b ）的值均为非负 实数．则c b a a b ++-的最大值是 （A ）31 （B ）21 （C ）3 （D ）2 6、双曲线122 22=-b y a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线上任意一点．则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆一定 （A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）以上情况均有可能
普定县城关镇第一中学2011——2012学年度第一学期 七年级数学竞赛试题 学校： 班级： 姓名： ★亲爱的同学，经过这段时间的中学数学学习，你的数学能力一定有了较大的提高，展示你才能的机会来了！祝你在这次数学竞赛中取得好成绩！别忘了要沉着冷静、细心答题哟！ 一、选择题(每小题6分，共36分) 1、如果m 是大于1的偶数，那么m 一定小于它的……………………（ ） A 、相反数 B 、倒数 C 、绝对值 D 、平方 2、当ｘ＝－2时， 37ax bx +-的值为9，则当ｘ＝2时，3 7ax bx +-的值是 （ ） A 、－23 B 、－17 C 、23 D 、17 3、255 ，344 ，533 ，622 这四个数中最小的数是………………………（ ） A. 255 B. 344 C. 533 D. 622 4、把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图1所示的立体，然后将露出的表面部分染成红色．那么红色部分的面积为 （ ）． A 、21 B 、24 C 、33 D 、37 5、有理数的大小关系如图2所示，则下列式子 中一定成立的是…… （ ） A 、c b a ++＞0 B 、c b a <+ C 、c a c a +=- D 、a c c b ->-
6、某动物园有老虎和狮子，老虎的数量是狮子的2倍。每只老虎每天吃肉4.5千克，每只狮子每天吃肉3.5千克，那么该动物园的虎、狮平均每天吃肉…… …… （ ） A 、 625千克 B 、 725千克 C 、825千克 D 、9 25千克 二、填空题(每小题6分，共36分) 7、定义a*b=ab+a+b,若3*x=27，则x 的值是_____ 8、三个有理数ａ、ｂ、ｃ之积是负数，其和是正数，当x ＝ c c b b a a + + 时，则 ______29219=+-x x 。 9、当整数m ＝_________ 时，代数式 1 36 -m 的值是整数。 10、A 、B 、C 、D 、E 、F 六足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A 、B 、C 、D 、E 、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没与B 队比赛的球队是______ 。 11、甲从A 地到B 地，去时步行，返回时坐车，共用x 小时，若他往返都座车，则全程 只需x 3 小时，，若他往返都步行，则需____________小时。 12、 ._______2007 20061431321211=?+?+?+?K 三、解答题(共28分) 13、现将连续自然数1至2009按图中的方式排列成一个长方形队列，再用正方形任意框出16个数。（14分） （1）设任意一个这样的正方形框中的最小数为n ，请用n 的代数式表示该框中的16个数，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数中的最小数和最大数，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数的和。（用n 的代数式表示） （2）在图中，要使一个正方形框出的16个数之和和分别等于832、2000、2008是否可能？若不可能，请说明理由；若可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数。 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 · · · · · · · 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 图2
数学竞赛训练题（1） 1、A、B、C、D、E五所小学，每所小学派出1支足球队，共5支足球队进行友谊比赛．不同学校间只比赛1场，比赛进行了若干天后，A校的队长发现另外4支球队B、C、D、E赛过的场数依次为4、3、 2、1．问：这时候A校的足球队已经赛了多少场？ 2、编号为1，2，3，4，5，6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘．现在编号为1，2，3，4，5的同学已经赛过的盘数和他们的编号数相等．请问：编号为6的同学赛了几盘？ 3、某足球联赛20支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．请问各队总分之和最多是____分,最少是____分. 4、甲、乙、丙、丁四名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场．请问一共有多少场比赛？ 5、6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．如果在比赛中出现了6场平局，那么所有人总分之和是多少分？ 6、红、黄、蓝三支乒乓球队进行比赛，每队派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一名得9分，第二名得8分，……，第九名得1分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．最后，比赛结果没有并列名次．团体评比的情况是：团体第一的是黄队，总分16
分．请问：第二名和第三名的团体总分分别是多少？ 7、甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行围棋比赛，每两人都比赛一场，请问一共有多少场比赛？ 8、7支足球队进行单循环赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：得分最高的3支球队的分数之和最多是多少？ 9、甲、乙、丙、丁四支球队进行足球比赛，每两队都要比赛一场．已知甲、乙、丙三队的成绩分别是：甲队2胜1负，乙队1胜1平1负，丙队2胜1负．那么丁队的成绩是____胜____平____负．10、某小学三个班级进行乒乓球对抗赛，每班派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一名得9分，第二名得8分，……，第九名得1分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．最后，比赛结果没有并列名次．团体评比的情况是：团体第一的是一班，总分16分．请问：第二名和第三名的团体总分分别是多少？ 11、8位同学进行围棋单循环对抗赛，即每两位同学之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．如果在比赛中出现了10场平局，那么各队总分之和是多少分？ 12、6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场．请问：一共有多少场比赛？ 13、6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2
高二数学竞赛模拟试题 考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器； ⒊考试用时120分钟，全卷满分150分． 一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =， N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ） (A)．9 ( B)．6 (C)．18 (D)．16 2．函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ） (A)．0 (B)．1 (C)．2 (D)．3 3、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6 (π 平移后，它的一条对称轴是4 π = x ，则θ的一个 可能的值是（ ） (A)125π (B)3π (C)6 π (D)12π 4.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有 ()200823f x f x x ?? ? ?? +=，则()2f 等于（ ） ﹙A ﹚2006. ﹙B ﹚2008. ﹙C ﹚2010. ﹙D ﹚2012. 5.已知,αβ分别满足100411004,10g βαα β=?=?，则αβ?等于( ) ﹙A ﹚ ﹙B ﹚1004. ﹙C ﹚ ﹙D ﹚2008. 6.直线20ax y a -+=与圆22 9x y +=的位置关系是（ ） （A ）相离 （B ）相交 （C ）相切 （D ）不确定 7.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ） (A)．100 (B). 101 (C).200 (D).201 8．()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)f x -是偶函数，则下列命题中错误的是（ ）
2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题 （考试时间：2012年9月8日上午10∶00—11∶20） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上 1. 已知()02014201320112010201222>=???+k k ，则=k . 答案： 220122-（或4048142） 解: 2222(2)(1)(1)(2)(4)(1)n n n n n n n n +--++=+-- 2. 函数()sin()sin()cos 366 f x x x x ππ =++--+的最小值等于 . 答案：1 解：因为 所以)(x f 的最小值为1. 3. 已知 1()2bx f x x a += +，其中,a b 为常数，且2ab ≠. 若 1()()f x f k x ?=为常数，则k 的值为 . 答案：1.4 解：由于 是常数，故2a k b ?=，且22(4)1a k b +=+. 将2b ak =代入22(4)1a k b +=+整理得22(4)(14)0k k a k -+-=，分解因式得2(41)(1)0k ka --=. 若410k -≠，则210ka -=，因此222ab ka ==，与条件相矛盾. 故410k -=，即14 k =. 4. 已知方程2133x x p +-=有两个相异的正实数解，则实数p 的取值范围是 . 答案：9(,2).4 -- 解法一：令3x t =，则原方程化为230t t p --=. 根据题意，方程230t t p --=有两个大于1的相异实根. 令2()3f t t t p =--，则22(3)40,9(1)1310, 2.43 1.2 p f p p ??=-+>??=-?->?-<<-???>?
小学一年级下学期数学竞赛练习题
竞赛练习题（一） 班级姓 名 1．一个小组的小朋友排成一列做游戏，小明从前往后数，他排第15个，从后往前数，他排第13个，共有（）个小朋友在做游戏。 2．18名女同学站成一排，每隔2名女同学插进3名男同学，共插进（）名男同学。 3．东东从布袋里拿出5个白皮球和5个花皮球后，白皮球剩下10个，花皮球剩下5个。布袋原来有（）个白皮球， （）个花皮球。 4．芳芳有1元4角钱，晶晶有8角钱。芳芳给晶晶（）钱，两人的钱数同样多。 5．用6根短绳连成一根长绳，一共要打（）个结。6．14个小朋友玩捉迷藏，已经捉住了4个小朋友，还藏着（）个小朋友。 7．十位数字和个位数字相加，和是12的两位数有（）个。8．小东数数，从9开始数起，数到99时，小东数了（）个数。 9．把1根绳子对折以后，再对折，这时每折长1米，这根绳子长（）米
10．小强家离学校3千米，小强每天上两次学，来回要走（）千米。 11．森林里的小动物开运动会赛跑。最后小兔用了4分钟，小狗用了5分钟，熊猫用了4分30秒，请问得第一名的是（）。12．班上的同学，年龄都是8岁或9岁，那么任意两个邻座同学年龄之和最大是（）岁，最小又是（）岁。13．1个西瓜的重量=3个菠萝的重量，1个菠萝的重量=3个梨的重量，1个西瓜的重量=（）个梨的重量。 14、六一节到了，三个小朋友互送贺卡，每人都要收到另外两个人的贺卡，一共要送（）张贺卡。 15、一个小朋友吃一个面包需要5分钟，现在有5个小朋友，按同样的速度，同时吃5个同样的面包，需要（）分钟。 16、两捆同样多的练习本，第一捆拿走15本，第二捆拿走9本，（）剩的多，多（）本。 17、两根同样长的绳子，分别剪去一段，第一根剩下17米，第二根剩下12米，( )剪去的长，长（）米。 18、15个小朋友分成两组做游戏，后来有3个小朋友从第一小组调到第二小组，现在共有（）个小朋友在做游戏。 19、小红参加旅游，和旅游团的每一个人合照一次相，她一共照了19次。这个旅游团共有（）个人。 20、公共汽车上原来有一些人，到站后有5人下车，又有8人上车，公共汽车上现在比原来多（）人。
高中数学竞赛历届I M O 竞赛试题届完整中文版 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
第1届I M O 1.求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。 2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程 a cos2x + b cos x + c = 0, 试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。 4.试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.) 求证 AF、BC相交于N点； （b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S； (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。 6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。 第2届IMO 1.找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。
2.寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1 - √(1 + 2x))2 < 2x + 9 3.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan = 4nh/(an2 - a). 4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。 5.正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。 a.求XY中点的轨迹； b.求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。 6.一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆 锥的底面上。令V 1为圆锥的体积，V 2 为圆柱的体积。 (a). 求证：V 1不等于 V 2 ； (b). 求V 1/V 2 的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。 7.等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为h。X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X 点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。 第3届IMO 1.设a、b是常数，解方程组 x + y + z = a; x2 + y2 + z2 = b2; xy=z2
1word 版本可编辑.欢迎下载支持. 初中数学竞赛模拟题（6） 姓名 成绩 一：选择题（每小题3分，共12分） 1、a 、b 、c 都是实数，且a ≠0，a +b +2c =0，则方程ax 2+bx +c =0（ ）。 （A ）有两个正根 （B ）至少有一个正根 （C ）有且只有一个正根 （D ）无正根 2、DE 为?ABC 中平行于AC 的中位线，F 为DE 中点，延长AF 交BC 于G ，则?ABG 与?ACG 的面积比为（ ） （A ）1：2 （B ）2：3 （C ）3：5 （D ）4：7 3、三角形三条高线的长为3，4，5，则这三角形是（ ） （A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）形状不能确定 4、将函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象绕y 轴翻转1800，再绕x 轴翻转1800，所得的函数图象对应的解析式为（ ） （A ）y =-ax 2+bx -c （B ）y =-ax 2-bx -c （C ）y =ax 2-bx -c （D ）y =-ax 2+bx +c 二：填空题（每小题3分，共18分） 1、已知a 是1997的算术平方根的整数部分，b 是1991的算术平方根的小数部分，则化简a (181+411)b 的结果为 。 2、已知α是方程4x 2+4x -1=0 的根，则a 3-1 a 5+a 4-a 3-a 2 的值等于 。 3、一次函数y = 1-kx k +1 （k 是正整数的常数）的图象与两坐标轴所围成的图形的面积为S k ，则100321S S S S +++的值是 。 4、一条直线过?ABC 的内心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为 。 5、以线段AB 为直径作一个半圆，圆心为O ，C 是半圆周上的点， 且OC 2=AC ·BC ，则∠CAB = 。 6、如图，在扇形MON 中，∠MON =900，过线段MN 中点A 作AB ∥ON 交M 弧MN 于点B ，则∠BON = 。 A B O M N
2012年全国初中数学竞赛预赛 试题及参考答案 一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．在1,3,6,9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是【 】 （A ）2,3,1 （B ）2,2,1 （C ）1,2,1 （D ）2,3,2 【答】A ． 解：完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3． 2．已知一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是【 】 （A ）1m >- （B ）1m <- （C ）1m > （D ）1m < 【答】C ． 解：一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限，说明其 图象与y 轴的交点位于y 轴的正半轴，且y 随x 的增大而增大，所以10, 10.m m ->??+>? 解得1m >． 3．如图，在⊙O 中，CD DA AB ==，给出下列三个 结论：（1）DC =AB ；（2）AO ⊥BD ；（3）当∠BDC =30° 时，∠DAB =80°．其中正确的个数是【 】 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答】D ． 解：因为CD AB =，所以DC =AB ；因为AD AB =，AO 是半径,所以AO ⊥BD ；设∠DAB =x 度，则由△DAB 的内角和为 180°得：2(30)180x x -?+=?，解得80x =?． 第3题图 O D C B A
4. 有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【 】 （A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）2 1 【答】B ． 解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样 的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是3 2 64=. 5．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1,0)，点B 的坐标是(3,3)--，点C 是y 轴上一动点，要使△ABC 为等腰三角形，则符合要求的点C 的位置共 有【 】 （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 【答】D ． 解：由题意可求出AB =5，如图，以点A 为圆心AB 的长为半径画弧，交y 轴于C 1和C 2，利用勾股定理可求 出OC 1=OC 2 =)62,0(),62,0(21-C C ， 以点B 为圆心BA 的长为半径画弧，交y 轴于点C 3和C 4， 可得34(0,1),(0,7)C C -，AB 的中垂线交y 轴于点C 5，利用 三角形相似或一次函数的知识可求出)6 17,0(5- C ． 6．已知二次函数221y x bx =++（b 为常数），当b 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b 取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型 抛物线），这条抛物线的解析式是【 】 第5题图
高中数学竞赛训练题—填空题 1. 若不等式1-log a )10(x a -＜0有解，则实数a 的范围是 . 2．设()f x 是定义在Ｒ上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-；又当01x ≤≤时， 1()2 f x x = ，则方程21 )(-=x f 的解集为 。 3.设200221,,,a a a Λ均为正实数，且 2 1 212121200221=++++++a a a Λ，则200221a a a ???Λ的最小值为____________________. 4. ,x R ∈ 函数()2sin 3cos 23 x x f x =+的最小正周期为 . 5. 设P 是圆2 2 36x y +=上一动点，A 点坐标为()20,0。当P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹方程为 . 6.. 设z 是虚数，1 w z z =+ ，且12w -<<，则z 的实部取值范围为 . 7. 设4 4 2 )1()1()(x x x x k x f --+-=。如果对任何]1,0[∈x ，都有0)(≥x f ，则k 的最小值为 . 8．＝ 。 9．设lg lg lg 111()121418x x x f x = +++++，则 1 ()()_________f x f x +=。 10．设集合{}1215S =L ，，，，{}123A a a a =，，是S 的子集，且()123a a a ，，满足： 123115a a a ≤≤<<，326a a -≤，那么满足条件的集合A 的个数为 ． 11．已知数列}{n a 满足,01=a ),2,1(1211Λ=+++=+n a a a n n n ，则n a =___ . 12．已知坐标平面上三点()()) 0,3,,A B C ，P 是坐标平面上的点，且 PA PB PC =+，则P 点的轨迹方程为 ． 13.已知0 2sin 2sin 5=α，则) 1tan() 1tan(00-+αα的值是______________. 14.乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_____________. 15.不等式 92) 211(42 2 +<+-x x x 的解集为_______________________.
第1届I M O 1.? 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。 2.??设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：? (a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.?a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程 a cos2x + b cos x + c = 0, 试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当 a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。 4.? 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.? 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， ??? (a.) 求证 AF、BC相交于N点； ?? （b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S； ??? (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。 6.? 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。 第2届IMO 1.? 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 2.? 寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1 - √(1 + 2x))2 ?< ?2x + 9
3.? 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令?为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan ? = 4nh/(an2 - a). 4.? 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。 5.? 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。 a.求XY中点的轨迹； b.求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。 6.? 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。 ??? (a).? 求证：V1不等于 V2； ??? (b).? 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。 7.? 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为 h。X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。 第3届IMO 1.? 设a、b是常数，解方程组 x + y + z = a; ? ? x2 + y2 + z2 = b2; ? ? xy=z2 并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？ 2.? 设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证： a2 + b2 + c2>= 4√3 A. 并求出等号何时成立。 3.? 解方程 cos n x - sin n x = 1, 其中n是一个自然数。 4.? P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD,
全国初中数学竞赛初赛试题汇编 （1998-2018） 目录 1998年全国初中数学竞赛试卷 (1) 1999年全国初中数学竞赛试卷 (6) 2000年全国初中数学竞赛试题解答 (9) 2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷 (14) 2002年全国初中数学竞赛试题 (15) 2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题 (17) 2004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题 (25) 2005年全国初中数学竞赛试卷 (30) 2006年全国初中数学竞赛试题 (32) 2007年全国初中数学竞赛试题 (38) 2008年全国初中数学竞赛试题 (46) 2009年全国初中数学竞赛试题 (47) 2010年全国初中数学竞赛试题 (52) 2011年全国初中数学竞赛试题 (57) 2012年全国初中数学竞赛试题 (60) 2013年全国初中数学竞赛试题 (73) 2014年全国初中数学竞赛预赛 (77) 2015年全国初中数学竞赛预赛 (85) 2016年全国初中数学联合竞赛试题 (94) 2017年全国初中数学联赛初赛试卷 (103)
2018 年初中数学联赛试题 (105)
1998年全国初中数学竞赛试卷 一、选择题：（每小题6分，共30分） 1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ） c b c a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）5 3、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ） （Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知0≠abc ，并且 p b a c a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限 （Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组? ??<-≥-080 9b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、 b ）共有（ ） （Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个 二、填空题：（每小题6分，共30分） 6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。 7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于___________。 8、已知圆环内直径为acm ，外直径为bcm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。 9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a=___________。 10、B 船在A 船的西偏北450处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是___________km 。 三、解答题：（每小题20分，共60分） 11、如图，在等腰三角形ABC 中，AB=1，∠A=900，点E 为腰AC 中点， 点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积。 A B C E F