一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）
1. 【嘉兴市高三下学期教学测试一】已知直线:cos sin 2()l x y R ααα?+?=∈，圆
22:2cos 2sin 0C x y x y θθ++?+?=()R θ∈，则直线l 与圆C 的位置关系是
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．与,αθ相关
2.【马鞍山市高中毕业班第三次质检】已知圆2222210x x y my m -+-+-=，当圆的面积最小时，直线
y x b =+与圆相切，则b =（ ）
A ．1±
B ．1
C ．2±
D ．2
3.【天津市河东区高三一模】若直线cos sin 10x y θθ+-=与圆221
(1)(sin )16
x y θ-+-=相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是( ) A ．33-
B ．3-
C ．33
D ．3 4. 【黄冈市重点中学高三下学期三月】已知条件p ：3
4
k =
，条件q ：直线()21y k x =++与圆224x y +=相切，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
5.【高考山东，理9】一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()2
2
321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） （A ）53-或35-
（B ）32-或23- （C ）54-或45- （D ）43-或34
- 6.【改编自陕西卷】已知点()M a,b 在圆221:O x y +=内, 则直线ax by 1+=与圆O 的位置关系是（ ） (A)相切(B)相交 (C)相离 (D)不确定
7. 【全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷）】若圆22
1:1C x y +=与圆
222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ）
A.21
B.19
C.9
D.11
8. 【全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷）】已知圆()()2
2
:341C x y -+-=和两点
(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）
A.7
B.6
C.5
D.4
9. 【合肥市高三第二次教学质量检测】已知圆2
21:()
(2)4C x a y -++=与圆
222:()(2)1C x b y +++=相外切，则ab 的最大值为（ ）
A.
62
B.
32 C.9
4
D.23 10. 【全国普通高等学校招生统一考试理科数学（重庆卷）】已知直线l ：x+ay1=0（a ∈R ）是圆C ：
224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|= （ ）
A 、2
B 、42
C 、6
D 、210 11.【改编自天津卷】已知下列三个命题： ①已知x ，y 满足x2＋y2＝1，则
21y x --的最小值为3
4
； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x+y+1=0与圆
相切．
其中真命题的序号是（ ）
A ．①②③
B ．①②
C ．①③
D ．②③
12. 【厦门市高三5月适应性考试】已知圆221:(2)16O x y -+=和圆2222:(02)O x y r r +=<<，动圆M 与圆1O ,圆2O 都相切，动圆的圆心M 的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为1e ，2e （12e e >），则122e e +的最小值是（ ）
A.
322+ B.32
C.2
D.3
8 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）
13.【原创题】圆22
1:(1)(4)25C x y +++=与圆2C ：22
4420x y x y +---=的公共弦长等于.
14.【高考重庆，文12】若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________. 15. 【高考湖南，文13】若直线3450x y -+=与圆()2
2
2
0x y r
r +=>相交于
A,B 两点，且
120o AOB ∠=（O 为坐标原点），则r =_____.
16. 【高考湖北，理14】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上
方）， 且2AB =． （Ⅰ）圆C 的标准方程为；
（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①
NA MA NB
MB
=
； ②
2NB MA NA
MB
-
=； ③
22NB MA NA
MB
+
=．
其中正确结论的序号是. （写出所有正确结论的序号）
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 【期中备考总动员高三理数学模拟卷】曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数2
(0)k k >的点的轨迹，设曲线C 的轨迹方程(,)0f x y =． （1）求曲线C 的方程(,)0f x y =；
（2）定义：若存在圆M 使得曲线(,)0f x y =上的每一点都落在圆M 外或圆M 上，则称圆M 为曲线
(,)0f x y =的收敛圆．判断曲线(,)0f x y =是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请
说明理由．
18.【全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）】已知点)2,2(P ，圆C :082
2
=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程；
(2)当OM OP =时，求l 的方程及POM ?的面积
19. 【百强校】【江西白鹭洲中学高二第三次月考】已知圆C 经过两点P （1，3），Q （2，6），且圆心在直线240x y +-=上，直线l 的方程为(1)2530k x y k -++-=． （1）求圆C 的方程；
（2）证明：直线l 与圆C 恒相交；
（3）求直线l 被圆C 截得的最短弦长．
20.【江苏苏北四市高三第一次质量检测】已知ABC ?的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为H ．
(1)若直线l 过点C ，且被H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；
(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求C 的半径r 的取值范围．
21.【高考数学一轮配套特训】已知圆2
2
:4O x y +=和圆2
2
:(4)1C x y +-=． （1）判断圆O 和圆C 的位置关系；
（2）过圆C 的圆心C 作圆O 的切线l ，求切线l 的方程；
（3）过圆C 的圆心C 作动直线m 交圆O 于A ，B 两点．试问：在以AB 为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P ，使得圆P 经过点(2,0)M ？若存在，求出圆P 的方程；若不存在，请说明理由． 22. 【广州市高中毕业班综合测试二】（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和
()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．
（1）求圆C 的方程；
（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．
一、填空题（共14题，满分56分）
1.（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）?=.
2.（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是.
3.（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程.
4.（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为.
5.（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为.
6.（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.
7.（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是.
8.（4分）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q=.
9.（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是.
10.（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）.
11.（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=.
12.（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=.
13.（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E （ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为.
14.（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为.
二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分
15.（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
16.（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则?（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
17.（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）
A.无论k，P1，P2如何，总是无解
B.无论k，P1，P2如何，总有唯一解
C.存在k，P1，P2，使之恰有两解
D.存在k，P1，P2，使之有无穷多解
18.（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围
为（）
A.[﹣1，2]
B.[﹣1，0]
C.[1，2]
D.[0，2]
三、解答题（共5题，满分72分）
19.（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V.
20.（14分）设常数a≥0，函数f（x）=.
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由.
21.（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β.
（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）.
22.（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线.
（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.
23.（16分）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1.
（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；
（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围.
（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(9)
参考答案与试题解析
一、填空题（共14题，满分56分）
1.（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）?= 6 .
【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可.
【解答】解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，
则（z+）?=
=（1+2i）（1﹣2i）+1
=1﹣4i2+1
=2+4
=6.
故答案为：6
【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查.
2.（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是.
【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期.
【解答】解：y=1﹣2cos2（2x）
=﹣[2cos2（2x）﹣1]
=﹣cos4x，
∴函数的最小正周期为T==
故答案为：
【点评】本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题.
3.（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程 x=﹣2 .
【分析】由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程
【解答】解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（2，0），
又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆右焦点重合，
故=2得p=4，
∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2.
故答案为：x=﹣2
【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题.
4.（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（﹣∞，2]. 【分析】可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围.
【解答】解：当a＞2时，f（2）=2≠4，不合题意；
当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；
当a＜2时，f（2）=22=4，符合题意；
∴a≤2，
故答案为：（﹣∞，2].
【点评】本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题.
5.（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 2.
【分析】由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得.
【解答】解：∵xy=1，
∴y=
∴x2+2y2=x2+≥2=2，
当且仅当x2=，即x=±时取等号，
故答案为：2
【点评】本题考查基本不等式，属基础题.
6.（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）.
【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3
倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角.
【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，
∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，
∴==3，
即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，
故圆锥的轴截面如下图所示：
则cosθ==，
∴θ=arccos，
故答案为：arccos
【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键.
7.（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是.
【分析】由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离.
【解答】解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，
∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=.
故答案为：.
【点评】正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键.
8.（4分）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q=. 【分析】由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值.
【解答】解：∵无穷等比数列{an}的公比为q，
a1=（a3+a4+…an）
=（﹣a1﹣a1q）
=，
∴q2+q﹣1=0，
解得q=或q=（舍）.
故答案为：.
【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用.
9.（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0，1） .
【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可.
【解答】解：f（x）=﹣，若满足f（x）＜0，
即＜，
∴，
∵y=是增函数，
∴的解集为：（0，1）.
故答案为：（0，1）.
【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力.
10.（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）.
【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，
再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案.
【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，
其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），
（3，4，5），（4，5，6），
（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），
∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，
故答案为：.
【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题.
11.（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b= ﹣1 .
【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论.
【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，
则①或②，
由①得，
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件.
若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，
∵互异的复数a，b，
∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，
故答案为：﹣1.
【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论.
12.（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=.
【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可.
【解答】解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，
如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，
令sin（x+）=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，
∴此时x1=0，x2=，x3=2π，
∴x1+x2+x3=0++2π=.
故答案为：
【点评】本题主要考查了三角函数图象与性质.运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题.
13.（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E （ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为 0.2 .
【分析】设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1﹣x，由此能求出结果.
【解答】解：设小白得5分的概率至少为x，
则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1﹣x，
∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，
E（ξ）=4.2，
∴4（1﹣x）+5x=4.2，
解得x=0.2.
故答案为：0.2.
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用.
14.（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点
P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3].
【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可.
【解答】解：曲线C：x=﹣，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且xP∈[﹣2，0]，
对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，
说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，
∴m=∈[2，3].
故答案为：[2，3].
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想. 二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分
15.（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定.
【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，
故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，
故选：B.
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础.
16.（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则?（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
【分析】建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案.
【解答】解：=，
则?=（）=||2+，
∵，
∴?=||2=1，
∴?（i=1，2，…，8）的不同值的个数为1，
故选：A.
【点评】本题考查向量的数量积运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段.
17.（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）
A.无论k，P1，P2如何，总是无解
B.无论k，P1，P2如何，总有唯一解
C.存在k，P1，P2，使之恰有两解
D.存在k，P1，P2，使之有无穷多解
【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可.
【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，
∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1
，
①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1，
即（a1﹣a2）x=b2﹣b1.
∴方程组有唯一解.
故选：B.
【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解和指数的应用.
18.（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围
为（）
A.[﹣1，2]
B.[﹣1，0]
C.[1，2]
D.[0，2]
【分析】当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决.
【解答】解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，
当a≥0时，f（0）=a2，
由题意得：a2≤x++a，
解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，
∴0≤a≤2，
故选：D.
【点评】本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题.
三、解答题（共5题，满分72分）
19.（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V.
【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积.
【解答】解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，
∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，
∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，
∴△P1P2P3的边长为4，
VP﹣ABC==
【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法. 20.（14分）设常数a≥0，函数f（x）=.
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由.
【分析】（1）根据反函数的定义，即可求出，
（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决.
【解答】解：（1）∵a=4，
∴
∴，
∴，
∴调换x，y的位置可得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）.
（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立，
∴=，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0.
∵2x﹣2﹣x不恒为0，
∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；
若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立，
∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，
∴a=±1，
∵a≥0，
∴a=1，
此时f（x）=，满足条件；
当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数
综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数.当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数
【点评】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题.
21.（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β.
（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）.
【分析】（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论. （2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论.
【解答】解：（1）设CD的长为x米，则tanα=，tanβ=，
∵0，
∴tanα≥tan2β＞0，
∴tan，
即=，
解得0≈28.28，
即CD的长至多为28.28米.
（2）设DB=a，DA=b，CD=m，
则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°，
由正弦定理得，
即a=，
∴m=≈26.93，
答：CD的长为26.93米.
【点评】本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键.
23.（16分）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1.
（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；
（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围.
（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差.
【分析】（1）依题意：，又将已知代入求出x的范围；
（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出Sn分别代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围. （3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…ak的公差.
【解答】解：（1）依题意：，
∴；又
∴3≤x≤27，
综上可得：3≤x≤6
（2）由已知得，，，
∴，
当q=1时，Sn=n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立.
当1＜q≤3时，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，
∴
不等式
∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2=qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n=1，
得q2﹣3q+2≤0，
解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，
∴qn+1﹣3qn+2=qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，
∴1＜q≤2，
当时，
，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，
∴此不等式即，
3q﹣1＞0，q﹣3＜0，
3qn+1﹣qn﹣2=qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，
qn+1﹣3qn+2=qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）＞0
∴时，不等式恒成立，