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投资收益和风险的模型

摘要

在现代商业、金融的投资中，任何理性的投资者总是希望收益能够取得最大化，但是他也面

临着不确定性和不确定性所引致的风险。而且，大的收益总是伴随着高的风险。在有很多种资产

可供选择，又有很多投资方案的情况下，投资越分散，总的风险就越小。为了同时兼顾收益和风

险，追求大的收益和小的风险构成一个两目标决策问题，依据决策者对收益和风险的理解和偏好

将其转化为一个单目标最优化问题求解。随着投资者对收益和风险的日益关注, 如何选择较好的投资组合方案是提高投资效益的根本保证。传统的投资组合遵循“不要将所有的鸡蛋放在一个蓝子

里”的原则 ,将投资分散化。

一问题的提出

某公司有数额为 M（较大）的资金，可用作一个时期的投资，市场上现有5种资产（S i） ( 如债券、股票等 ) 可以作为被选的投资项目，投资者对这五种资产进行评估，估算出在这一段时期内购

买 S i的期望收益率（ r i）、交易费率( p i)、风险损失率( q i)以及同期银行存款利率r0（ r0=3%）在投资的这一时期内为定值如表1，不受意外因素影响 , 而净收益和总体风险只受r i, p i, q i影响，不受其他因素干扰。现要设计出一种投资组合方案,使净收益尽可能大,风险尽可能小.

表1

投资项目 S i 期望收益率 r i (%) 风险损失率 q i (%) 交易费率 p i (%)

存银行 S0 3 0 0

27 2.4 1

22 1.6 2

25 5.2 4.5

23 2.2 6.5

21 1.5 2

其中 i0,1,2,3,4,5.

二问题假设及符号说明

2.1 问题假设

(1)总体风险可用投资的这五种中最大的一个风险来度量；

(2)在投资中 , 不考虑通货膨胀因素 , 因此所给的S i的期望收益率r i为实际的平均收益率；

(3)不考虑系统风险 , 即整个资本市场整体性风险 , 它依赖于整个经济的运行情况 , 投资者无法分散这种

风险 , 而只考虑非系统风险 , 即投资者通过投资种类的选择使风险有所分散；

(4)不考虑投资者对于风险的心理承受能力。

2.2符号说明

x i：购买第 i 种资产的资金数额占资金总额的百分比；

Mx i：购买第 i 种资产的资金数额；Mx0：存银行的金额；

f ( x i ) ：交易费用；R ：净收益；

Q ：总体风险；i ：第i种投资的净收益率。

三模型的分析与建立

令交易费用

则净收益为

总体风险为

约束条件为

可以简化约束条件为

5

同时将 M M (1 p i )x i代入，得

i 0

略去 M,原问题化为双目标决策问题:

min Q max xq ii （3.1 ）

0 i 5

以下设 r i p i0 ，否则不对该资产投资。

四模型的求解

4.1固定R使Q最小的模型

固定 R 使Q最小，将模型（ 3.1 ）化为

min Q max q i x i ，

0 i 5

5

(r i p i )x i R, (1)

i 0

5

（4.1 ）

s. t . (1 p i )x i 1, (2)

i 0

x i0

i 0,1,L ,5

此模型又可改写为

令i (r i p i ) (1 p i ) ，i表示第i 种投资的净收益率，则i 必大于0 , 否则 , 若10

,则

不对 S i 投资 , 因为对该项目投资纯收益率不如存银行 , 而风险损失率又大于存银行。将i 从小到大排序 , 设k最大 , 则易见对模型（ 4.1 ）的可行解必有0.03 R k

.

当 R 0.03时, 所有资金都存银行 , Q 0 ; 当 R k时, 所有资金用于购买 S i,

Q q k ；当 0.03 R k时, 有如下结论[7] 。

p k

1

结论：若0.03

[7]

。

而对于固定收益使风险最小的模型来说，这结论也可换句话说：在前5项投资总额一定的前提下，各项投资的风险损失相等即x1q1 x2q2 L x5q5时，总体风险最小[8]。

证：设 y1, y2 ,L , y5是满足 x1q1 x2q2 L x5 q5的一组解，即 y1q1 y2 q2 L y5 q5 Q* 。

显然此时 Q *为总体风险。

由于前 5项投资总额 M是一定的，只要改变其中一项的值，便会导致总体风险增加。（比如说将y1的值增加为 y1*会使得 y1* q1 Q*，总体风险显然增加；反之，若减小 y1的值，必然会导致另外

一项或几项的值，总体风险自然增加。）

因此 , 当R (0.03, k ) 时，可按以下步骤求出最优解：1）将（1）式和（2）式消去 x0

Q ；2）将x i

q i

代入解出 Q；3）由x i Q

， 1 5

i 5 ，x0 1 (1 p i )x i求出最优解。q i i 1

所以，我们算得如下结果:

（1） R 0.03时，x01,

x1 x2 x3 x4 x5 0, Q 0 ；

（2）R 0.26 1.01 时， x0 x2 x3 x4 x5 0, x1 1 1.01,Q 0.024 1.01 ；

（3）R (0.03,0.26 1.01) 时， Q R 0.03 , x1 R 0.03 ，x2 R 0.03 ，x3 R 0.03 ，

40.1721 0.9641 0.6428 2.0889

x4 R 0.03 ，x5 R 0.03 ，x0 1 1.01x1 1.02 x2 1.045 x3 1.065x4 1.02x5。

0.8838 0.6026

事实上应用 Lingo 软件可算得如下结果 :

表1

最小风

投资 S i的资金百分比x i （ i 0,1,2,3,4,5. ）

收益 R

险度 Q

0.0300 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0400 0.0002 0.9397 0.0104 0.0156 0.0048 0.0113 0.0166

0.0500 0.0005 0.8793 0.0207 0.0311 0.0096 0.0226 0.0332

0.0600 0.0007 0.8190 0.0311 0.0467 0.0144 0.0339 0.0498

0.0700 0.0010 0.7587 0.0415 0.0622 0.0191 0.0453 0.0664

0.0800 0.0012 0.6984 0.0519 0.0778 0.0239 0.0566 0.0830

0.0900 0.0015 0.6380 0.0622 0.0933 0.0287 0.0679 0.0996

0.1000 0.0017 0.5777 0.0726 0.1089 0.0335 0.0792 0.1162

0.1100 0.0020 0.5174 0.0830 0.1245 0.0383 0.0905 0.1328

0.1200 0.0022 0.4571 0.0933 0.1400 0.0431 0.1018 0.1494

0.1300 0.0025 0.3967 0.1037 0.1556 0.0479 0.1131 0.1660

0.1400 0.0027 0.3364 0.1141 0.1711 0.0527 0.1245 0.1825

0.1500 0.0030 0.2761 0.1245 0.1867 0.0574 0.1358 0.1991

0.1600 0.0032 0.2158 0.1348 0.2023 0.0622 0.1471 0.2157

0.1700 0.0035 0.1554 0.1452 0.2178 0.0670 0.1584 0.2323

0.1800 0.0037 0.0951 0.1556 0.2334 0.0718 0.1697 0.2489

0.1900 0.0040 0.0348 0.1660 0.2489 0.0766 0.1810 0.2655

0.2000 0.0046 0.0000 0.1897 0.2846 0.0876 0.1097 0.3036

0.2100 0.0062 0.0000 0.2589 0.3884 0.1195 0.0000 0.2132

0.2200 0.0093 0.0000 0.3858 0.4160 0.1781 0.0000 0.0000

0.2300 0.0131 0.0000 0.5471 0.1800 0.2525 0.0000 0.0000

0.2400 0.0170 0.0000 0.7084 0.0000 0.2722 0.0000 0.0000

0.2500 0.0209 0.0000 0.8701 0.0000 0.1160 0.0000 0.0000

0.26/1.01 0.0238 0.0000 0.9901 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

4.2 固定 Q使 R最大的模型

固定 Q使R最大，将模型（ 3.2.1 ）化为

5

max R ( r i p i )x i，

i 0

x i q i Q,

5

（3.2.3 ）

s. t . (1 p i )x i 1,

i 0

x i 0,( i

L

,5.)

0,1,

对于每一个 Q，用模型（ 3.2.3 ）都能求出 R , 由净收益率i (r i p i ) (1 p i ) ,直观上想到i

越大, x i应尽量大,这种想法是正确的,可将其写为如下结论。

结论[7]：设 ( x0 , x1,L , x5 ) 是模型（3.2.3）的最优解, 若i j , x j 0 ，则 x i Q q i。

证明：反证法。假设i

j

， x j 0 ，而 x i Q q i。

选取充分小的正数，使得(x i ) q i Q ， (1 p i ) x j (1 p j ) 。

令 x i* x i ， x j* x j (1 p i ) (1 p j ) ，当k i, j 时，令 x k* x k，则 x k* 0，且

5

x k* (1 x k* (1

p k ) p k ) (x i )(1 p i ) [ x j (1 p i ) (1 p j )](1 p j ) 1 ，

k 0 k i , j

5

x k* (r k x k* ( r k 5

p k )

。则

p k ) p k ) (x i )( r i p i ) [ x j (1 p i ) (1 p j )]( r j p j ) x k (r k

k 0 k i , j k 0

( x0 * , x1* ,L , x5* ) 才是最优解，因此( x0 , x1,L , x5 ) 不是模型（3.2.3）的最优解。

此处矛盾，则结论成立，证毕。

由此结论 ,我们可将i 从大到小排序,使i最大的k应尽量满足x k q k Q ,若还有多余资金, 再投资i次大的 , L L 。对于不同的 Q , 会有不同的投资方案 ,我们可以算出Q的临界值,从而确定各项目的投资值。

因此，设123450,则可用下面的方法算出各临界值c1， c2， c3， c4，

c5。

只有一种投资时 ,

c1(1 p1 ) q1,c1 q1 (1 p1 ) 0.023762 。

当有两种投资时 , 将x1c2 q1 , x2 c2 q2，代入 x1(1 p1 ) x2 (1 p2 ) 1 ，得

c2 q1q2 [(1 p1 )q2 (1 p2 )q1 ] 0.009449 。

同理可得： c3 q1q2q3 [(1 p1 )q2q3 (1 p2 )q1q3 (1 p3 )q1q2 ] 0.007941 ，

于是得最优解：

当 Q 0.000000 时， x0 1, x1 x2 x3 x4 x5 0 。

当 0 Q 0.004131 时，

5

x1 Q q1 , x2 Q q2 , x3 Q q3 , x4 Q q4 , x5 Q q5 , x0 1(1 p i )x i。

i 1

当 0.004131 Q 0.005736 时，

4

x1 Q q1 , x2 Q q2 , x3 Q q3 , x4 Q q4, x5 [1(1 p i )x i ] (1 p5 ), x0 0。

i 1

当 0.005736 Q 0.007941 时，

3

x1 Q q1 , x2 Q q2 , x3 Q q3 , x4 [1 (1 p i )x i ] (1 p4 ), x5 x0 0 。

i 1

当 0.007941 Q 0.009449 时，

2

x1 Q q1 , x2 Q q2 , x3 [1 (1 p i )x i ] (1 p3 ), x4 x5 x0 0 。

I 1

当0.009449 Q 0.023762 时，

x1Q q1 , x2 [1 (1 p1) x1 ] (1 p2 ), x3x4x5x00 。

当 Q 0.023762 时，

x1 1 (1 p1 ), x2x3x4x5x00 。

当然，我们也可以换个角度来考虑上面这个模型。为了能够给不同风险承受能力的投资者提

供某种风险水平下的最优投资组合的决策方案，我们必须确定最优收益值 R 和最小风险度Q的值之间的对应关系。

因此，我们将模型（ 3.2.3 ）改写成如下形式：

max R r0p0 x0r1p1 x1L r5p5 x5，

为此编写 MATLAB程序（见附录），从风险度Q 0 开始，以每次增加0.001的风险度进行搜索[5]。根

据附录中程序一，最优收益值 R 和最小风险度Q以及投资额分配之间的对应关系计算结果列表如下：

风险度 Q 最优收益

投资 S i的资金百分比x i （ i 0,1,2,3,4,5. ）R

0 0.0300 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0010 0.0702 0.7577 0.0417 0.0625 0.0192 0.0455 0.0667 0.0020 0.1103 0.5153 0.0833 0.1250 0.0385 0.0909 0.1333 0.0030 0.1505 0.2730 0.1250 0.1875 0.0577 0.1364 0.2000

0.00400.19070.03060.16670.25000.07690.18180.2667

0.0050 0.2044 0.0000 0.2083 0.3125 0.0962 0.0285 0.3333

0.0060 0.2092 0.0000 0.2500 0.3750 0.1154 0.0000 0.2396

0.0070 0.2130 0.0000 0.2917 0.4375 0.1346 0.0000 0.1162

0.0080 0.2167 0.0000 0.3333 0.4927 0.1538 0.0000 0.0000

0.0090 0.2193 0.0000 0.3750 0.4317 0.1731 0.0000 0.0000

0.0100 0.2219 0.0000 0.4167 0.3708 0.1923 0.0000 0.0000

0.0110 0.2245 0.0000 0.4583 0.5266 0.0000 0.0000 0.0000

0.0120 0.2271 0.0000 0.5000 0.2489 0.2308 0.0000 0.0000

0.0130 0.2297 0.0000 0.5417 0.1879 0.2500 0.0000 0.0000

0.0140 0.2322 0.0000 0.5833 0.1269 0.2692 0.0000 0.0000

0.0150 0.2348 0.0000 0.6250 0.0660 0.2885 0.0000 0.0000

0.0160 0.2374 0.0000 0.6667 0.0051 0.3077 0.0000 0.0000

0.0170 0.2400 0.0000 0.7083 0.0000 0.2723 0.0000 0.0000

0.0180 0.2426 0.0000 0.7500 0.0000 0.2321 0.0000 0.0000

0.0190 0.2451 0.0000 0.7917 0.0000 0.1918 0.0000 0.0000

0.0200 0.2477 0.0000 0.8333 0.0000 0.1515 0.0000 0.0000

0.0210 0.2503 0.0000 0.8750 0.0000 0.1112 0.0000 0.0000

0.0220 0.2529 0.0000 0.9167 0.0000 0.0710 0.0000 0.0000

0.0230 0.2555 0.0000 0.9583 0.0000 0.0307 0.0000 0.0000

0.0240 0.2574 0.0000 0.9901 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0250 0.2574 0.0000 0.9901 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0990 0.2574 0.0000 0.9901 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

从上表可以看出，风险越大，收益也越大，冒险的投资者可能会集中投资，而保守的投资着

者则会尽量分散投资。但是，在风险度Q 从0.0000增长到0.0080过程中，风险增加很少时，收益增加也很快，而风险度Q 在0.0080之后，风险增加很大时而收益却增加的很缓慢。由于在风险度

Q 从0.0240之后，最优收益R已经达到最大，不再增加，所以对于一般投资者来说，选择

Q0.0240, R 0.2574 时的安排才为最优投资组合方案。

4.3.3使R/Q最大或Q/R最小的模型

按照收益—风险最大原则,可取模型

max R Q ，

由于 q00 ，因而取 x01, x1x2L x50时， max R Q =+∞。当然，也可取模型

min Q R ，

同上，由于 q00 ，因而取 x01, x1x2L x50时， min Q R =0，从而可知,全部钱存银行是最优解。对于此问题 ,其他投资的收益与风险损失率都不影响该最优解,故这种模型不够好。4.3.4偏好系数模型

由偏好系数法 ,我们选取偏好系数(01) ,建立模型

max[(1) R y] ，

具体数据可应用参数规划法进行计算。

权重 r 最小风

投资 S i的资金百分比x i （ i 0,1,2,3,4,5 ）

险度 Q

[0,0.7200] [0.7210,0.7920] [0.7930,0.9070] [0.9090,0.9750]

[0.9760,1] 0.0238 0.0000 0.9901 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0079 0.0000 0.3309 0.4963 0.1527 0.0000 0.0000

0.0052 0.0000 0.2149 0.3223 0.0992 0.0000 0.3438

0.0041 0.0000 0.1719 0.2579 0.0794 0.1876 0.2751

0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

附录一模型一 Lingo语句

min=y;

0.03*x0+(0.27-0.01)*x1+(0.22-0.02)*x2+(0.25-0.045)*x3+(0.

23-0.065)*x4+(0.21-0.02)*x5=0.03;

x0+1.01*x1+1.02*x2+1.045*x3+1.065*x4+1.02*x5=1;

0.024*x1<=y;

0.016*x2<=y;

0.052*x3<=y;

0.022*x4<=y;

0.015*x5<=y;

模型一 Matlab 程序

>>R=0.03

>>while R<0.26/1.01;

C= [0 0 0 0 0 0 1];

0 0.015 -1];

B= [0;0;0;0;0];

Aeq= [0.03 0.26 0.2 0.205 0.165 0.19 0;1 1.01 1.02 1.045 1.065 1.02 0]; Beq= [R;1];

Vlb= [0;0;0;0;0;0;0];% or Vlb= zeros(7,1);

Vub= [ ];

[x,fval]= linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub);

R

Q=fval x=x '

plot(R, Q,

'm.' )

axis([0 0.3 0 0.03])

xlabel( ' 收益 R

' )

ylabel(

' 最小风险度 Q

' )

title(

' 最小风险度 Q 收益 R

' )

随

的变化趋势图

hold on

R=R+0.01;

grid on

end

R=0.26/1.01;

C= [0 0 0 0 0 0 1];

A= [0 0.024 0 0 0 0 -1;0 0 0.016 0 0 0 -1;0 0 0 0.052 0 0 -1;0 0 0 0 0.022 0 -1;0 0 0 0

0 0.015 -1];

B= [0;0;0;0;0];

Aeq= [0.03 0.26 0.2 0.205 0.165 0.19 0;1 1.01 1.02 1.045 1.065 1.02 0]; Beq= [R;1];

Vlb= [0;0;0;0;0;0;0];% or Vlb= zeros(7,1);

Vub= [ ];

[x,fval]= linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub)

程序二 模型二 Matlab 程序

>> Q=0

>> while (1.1-Q)>1 % or Q<0.1;

C= [-0.03 -0.26 -0.20 -0.205 -0.165 -0.19];

B= [Q;Q;Q;Q;Q];

Aeq= [1 1.01 1.02 1.045 1.065 1.02];

Beq= [1];

Vlb= [0;0;0;0;0;0];% or Vlb= zeros(5,1);

Vub= [ ];

[x,fval]= linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub);

Q

R=-fval

x=x '

plot(Q,R,

'm.'

)

axis([0 0.1 0 0.5])

xlabel( ' 风险度 Q ' ) ylabel( ' 最优收益 R ' )

title(

' 最优收益 R 随风险度 Q 的变化趋势图 ' )

hold on

Q=Q+0.001;

grid on

end

a=0;

while (1.1-a)>1

c=[-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185]; Aeq=[1 1.01 1.02 1.045 1.065]; beq=[1];

A=[0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026]; b=[a;a;a;a]; vlb=[0,0,0,0,0]; vub=[];

[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub); a x=x' Q=-val plot(a,Q, '.' )

axis([0 0.1 0 0.5])

hold on a=a+0.001; end

xlabel( 'a' ),ylabel(

'Q' )

模型三 Lingo 语句

max[(1

) R

y] ，

max=((1-0.2)*

(0.03*x0+(0.27-0.01)*x1+(0.22-0.02)*x2+(0.25-0.045)*x3+(0.23-0.065)*x4+(0.21-0.02)*x5

)-0.8*y);

x0+1.01*x1+1.02*x2+1.045*x3+1.065*x4+1.02*x5=1;

0.024*x1<=y;

0.016*x2<=y;

0.052*x3<=y;

0.022*x4<=y;

0.015*x5<=y;

程序三模型三 Matlab程序

r=0

>> while r<1;

C= [-0.03*(1-r) -0.26*(1-r) -0.20*(1-r) -0.205*(1-r) -0.165*(1-r) -0.19*(1-r) r];

A= [0 0.024 0 0 0 0 -1;0 0 0.016 0 0 0 -1;0 0 0 0.052 0 0 -1;0 0 0 0 0.022 0 -1;0 0 0 0

0 0.015 -1];

B= [0;0;0;0;0];

Aeq= [1 1.01 1.02 1.045 1.065 1.02 0];

Beq= [1];

Vlb= [0;0;0;0;0;0];% or Vlb= zeros(6,1);

Vub= [ ];

[x,fval]= linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub);

r

Q=x(7)

x=x '

plot(r,Q,'r-')

axis([0 1 0 0.025])

xlabel( ' 权重r ' )

ylabel( ' 风险度Q ' )

title( ' 风险度Q

随权重 r 的变化趋势图' )

hold on

r=r+0.001; grid on

end

r=0.8;

C= [-0.03*(1-r) -0.26*(1-r) -0.20*(1-r) -0.205*(1-r) -0.165*(1-r) -0.19*(1-r) r];

A= [0 0.024 0 0 0 0 -1;0 0 0.016 0 0 0 -1;0 0 0 0.052 0 0 -1;0 0 0 0 0.022 0 -1;0 0 0 0 0 0.015 -1];

B= [0;0;0;0;0];

Aeq= [1 1.01 1.02 1.045 1.065 1.02 0];

Beq= [1];

Vlb= [0;0;0;0;0;0];% or Vlb= zeros(6,1);

Vub= [ ];

[x,fval]= linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub)

数学建模常用模型方法总结精品

【关键字】设计、方法、条件、动力、增长、计划、问题、系统、网络、理想、要素、工程、项目、重点、检验、分析、规划、管理、优化、中心 数学建模常用模型方法总结 无约束优化 线性规划连续优化 非线性规划 整数规划离散优化 组合优化 数学规划模型多目标规划 目标规划 动态规划从其他角度分类 网络规划 多层规划等… 运筹学模型 （优化模型） 图论模型存 储论模型排 队论模型博 弈论模型 可靠性理论模型等… 运筹学应用重点:①市场销售②生产计划③库存管理④运输问题⑤财政和会计⑥人事管理⑦设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价⑧工程的最佳化设计⑨计算器和讯息系统⑩城市管理 优化模型四要素：①目标函数②决策变量③约束条件 ④求解方法(MATLAB--通用软件LINGO--专业软件) 聚类分析、 主成分分析 因子分析 多元分析模型判别分析 典型相关性分析 对应分析 多维标度法 概率论与数理统计模型 假设检验模型 相关分析 回归分析 方差分析 贝叶斯统计模型 时间序列分析模型 决策树 逻辑回归

传染病模型马尔萨斯人口预测模型微分方程模型人口预 测控制模型 经济增长模型Logistic 人口预测模型 战争模型等等。。 灰色预测模型 回归分析预测模型 预测分析模型差分方程模型 马尔可夫预测模型 时间序列模型 插值拟合模型 神经网络模型 系统动力学模型(SD) 模糊综合评判法模型 数据包络分析 综合评价与决策方法灰色关联度 主成分分析 秩和比综合评价法 理想解读法等 旅行商(TSP)问题模型 背包问题模型车辆路 径问题模型 物流中心选址问题模型 经典NP问题模型路径规划问题模型 着色图问题模型多目 标优化问题模型 车间生产调度问题模型 最优树问题模型二次分 配问题模型 模拟退火算法(SA) 遗传算法(GA) 智能算法 蚁群算法(ACA) (启发式) 常用算法模型神经网络算法 蒙特卡罗算法元 胞自动机算法穷 举搜索算法小波 分析算法 确定性数学模型 三类数学模型随机性数学模型 模糊性数学模型

什么是数学模型与数学建模

1. 什么是数学模型与数学建模 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。 我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。

数学建模笔记

数学模型按照不同的分类标准有许多种类: 1。按照模型的数学方法分，有几何模型，图论模型，微分方程模型.概率模型，最优控制模型,规划论模型,马氏链模型. ２。按模型的特征分,有静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型. 3.按模型的应用领域分,有人口模型,交通模型,经济模型，生态模型，资源模型。环境模型。 4.按建模的目的分,有预测模型，优化模型,决策模型，控制模型等。 ５.按对模型结构的了解程度分，有白箱模型,灰箱模型,黑箱模型。 数学建模的十大算法： 1.蒙特卡洛算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,比较好用的算法。) 2.数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用matlａb作为工具。) 3.线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用lingｏ、linｇdo软件实现) 4.图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。) 5.动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6.最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法(这些问题时用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难，需谨慎使用） 7.网格算法和穷举法(当重点讨论模型本身而情史算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8.一些连续离散化方法（很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的,而计算机只认得是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。

数学建模常见评价模型简介

常见评价模型简介 评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。 层次分析模型 层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。 运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤： 步骤1 建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。 步骤2构造成对比较阵 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵； 步骤3计算权向量并作一致性检验 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。

步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验) 组合权向量可作为决策的定量依据 通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。 例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。 步骤1 建立系统的递阶层次结构 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。

数学建模中常见的十大模型

数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MA TLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的

数学建模中的图论方法

数学建模中的图论方法 一、引言 我们知道，数学建模竞赛中有问题A和问题B。一般而言，问题A是连续系统中的问题，问题B是离散系统中的问题。由于我们在大学数学教育内容中，连续系统方面的知识的比例较大，而离散数学比例较小。因此很多人有这样的感觉，A题入手快，而B题不好下手。 另外，在有限元素的离散系统中，相应的数学模型又可以划分为两类，一类是存在有效算法的所谓P类问题，即多项式时间内可以解决的问题。但是这类问题在MCM中非常少见，事实上，由于竞赛是开卷的，参考相关文献，使用现成的算法解决一个P类问题，不能显示参赛者的建模及解决实际问题能力之大小；还有一类所谓的NP问题，这种问题每一个都尚未建立有效的算法，也许真的就不可能有有效算法来解决。命题往往以这种NPC问题为数学背景，找一个具体的实际模型来考验参赛者。这样增加了建立数学模型的难度。但是这也并不是说无法求解。一般来说，由于问题是具体的实例，我们可以找到特殊的解法，或者可以给出一个近似解。 图论作为离散数学的一个重要分支，在工程技术、自然科学和经济管理中的许多方面都能提供有力的数学模型来解决实际问题，所以吸引了很多研究人员去研究图论中的方法和算法。应该说，我们对图论中的经典例子或多或少还是有一些了解的，比如，哥尼斯堡七桥问题、中国邮递员问题、四色定理等等。图论方法已经成为数学模型中的重要方法。许多难题由于归结为图论问题被巧妙地解决。而且，从历年的数学建模竞赛看，出现图论模型的频率极大，比如： AMCM90B－扫雪问题； AMCM91B－寻找最优Steiner树； AMCM92B－紧急修复系统的研制(最小生成树) AMCM94B－计算机传输数据的最小时间(边染色问题) CMCM93B－足球队排名(特征向量法) CMCM94B－锁具装箱问题(最大独立顶点集、最小覆盖等用来证明最优性) CMCM98B－灾情巡视路线(最优回路) 等等。这里面都直接或是间接用到图论方面的知识。要说明的是，这里图论只是解决问题的一种方法，而不是唯一的方法。 本文将从图论的角度来说明如何将一个工程问题转化为合理而且可求解的数学模型，着重介绍图论中的典型算法。这里只是一些基础、简单的介绍，目的在于了解这方面的知识和应用，拓宽大家的思路，希望起到抛砖引玉的作用，要掌握更多还需要我们进一步的学习和实践。

数学建模大赛-货物运输问题

货物配送问题 【摘要】 本文是针对解决某港口对某地区8个公司所需原材料A、B、C的运输调度问题提出的方案。我们首先考虑在满足各个公司的需求的情况下，所需要的运输的最小运输次数，然后根据卸载顺序的约束以及载重费用尽量小的原则，提出了较为合理的优化模型，求出较为优化的调配方案。 针对问题一，我们在两个大的方面进行分析与优化。第一方面是对车次安排的优化分析，得出①~④公司顺时针送货，⑤~⑧公司逆时针送货为最佳方案。第二方面我们根据车载重相对最大化思想使方案分为两个步骤，第一步先是使每个车次满载并运往同一个公司，第二步采用分批次运输的方案，即在第一批次运输中，我们使A材料有优先运输权；在第二批次运输中，我们使B材料有优先运输权；在第三批次中运输剩下所需的货物。最后得出耗时最少、费用最少的方案。耗时为40.5007小时，费用为4685.6元。 针对问题二，加上两个定理及其推论数学模型与问题一几乎相同，只是空载路径不同。我们采取与问题一相同的算法，得出耗时最少，费用最少的方案。耗时为26.063小时，费用为4374.4元。 针对问题三的第一小问，我们知道货车有4吨、6吨和8吨三种型号。我们经过简单的论证，排除了4吨货车的使用。题目没有规定车子不能变向，所以认为车辆可以掉头。然后我们仍旧采取①~④公司顺时针送货，⑤~⑧公司逆时针送货的方案。最后在满足公司需求量的条件下，采用不同吨位满载运输方案，此方案分为三个步骤：第一，使8吨车次满载并运往同一公司；第二，6吨位车次满载并运往同一公司；第三，剩下的货物若在1~6吨内，则用6吨货车运输，若在7~8吨内用8吨货车运输。最后得出耗时最少、费用最省的方案。耗时为 19.6844小时，费用为4403.2。 一、问题重述 某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。路线是唯一的双向道路(如图１)。货运公司现有一种载重6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时(不考虑塞车现象)，每日工作不超过8小时。运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.4元/公里。一个单位的原材料A,B,C分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在上，大件在下。卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要满足各公司当天的需求量(见表１)。问题：

数学建模中常见的十大模型讲课稿

数学建模中常见的十 大模型

精品文档 数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

数学建模运输问题

华东交通大学数学建模 2012年第一次模拟训练题 所属学校：华东交通大学（ECJTU ） 参赛队员：胡志远、周少华、蔡汉林、段亚光、 李斌、邱小秧、周邓副、孙燕青 指导老师：朱旭生（博士） 摘要： 本文的运输问题是一个比较复杂的问题，大多数问题都集中在最短路径的求解问题上，问题特点是随机性比较强。 根据不同建模类型 针对问题一 ，我们直接采用Dijkstra 算法（包括lingo 程序和手算验证），将问题转化为线性规划模型求解得出当运送员在给第二个客户卸货完成的时，若要他先给客户10送货，此时尽可能短的行使路线为：109832V V V V V →→→→，总行程85公里。 针对问题二，我们首先利用prim 算法求解得到一棵最小生成树： 121098436751V V V V V V V V V V V →→→→→→→→→→ 再采用Dijkstra 算法求得客户2返回提货点的最短线路为12V V →故可得到一条理想的回路是：121098436751V V V V V V V V V V V →→→→→→→→→→ 后来考虑到模型的推广性，将问题看作是哈密顿回路的问题，建立相应的线性规划模型求解，最终找到一条满足条件的较理想的的货车送货的行车路线： 121098436751V V V V V V V V V V V →→→→→→→→→→。 针对问题三，我们首先直接利用问题二得一辆车的最优回路，以货车容量为限定条件，建立相应的规划模型并设计一个简单的寻路算法，最终可为公司确定合理的一号运输方案:两辆车全程总和为295公里（见正文）；然后建立线性规划模型得出二号运输方案：两辆车全程总和为290公里（见正文）； 针对问题四，

数学建模中常见的十大模型

数学建模中常见的十大 模型 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。

8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。

数学建模统计模型

数学建模

论文题目： 一个医药公司的新药研究部门为了掌握一种新止痛剂的疗效，设计了一个药物试验，给患有同种疾病的病人使用这种新止痛剂的以下4个剂量中的某一个：2 g，5 g，7 g和10 g，并记录每个病人病痛明显减轻的时间（以分钟计）. 为了解新药的疗效与病人性别和血压有什么关系，试验过程中研究人员把病人按性别及血压的低、中、高三档平均分配来进行测试. 通过比较每个病人血压的历史数据，从低到高分成3组，分别记作，和. 实验结束后，公司的记录结果见下表（性别以0表示女，1表示男）. 请你为该公司建立一个数学模型，根据病人用药的剂量、性别和血压组别，预测出服药后病痛明显减轻的时间.

一、摘要 在农某医药公司为了掌握一种新止痛药的疗效，设计了一个药物实验，通过观测病人性别、血压和用药剂量与病痛时间的关系，预测服药后病痛明显减轻的时间。我们运用数学统计工具m i n i t a b软件，对用药剂量，性别和血压组别与病痛减轻

时间之间的数据进行深层次地处理并加以讨论概率值P （是否<）和拟合度R-S q的值是否更大（越大，说明模型越好）。 首先，假设用药剂量、性别和血压组别与病痛减轻时间之间具有线性关系，我们建立了模型Ⅰ。对模型Ⅰ用m i n i t a b 软件进行回归分析，结果偏差较大，说明不是单纯的线性关系，然后对不同性别分开讨论，增加血压和用药剂量的交叉项，我们在模型Ⅰ的基础上建立了模型Ⅱ，用m i n i t a b软件进行回归分析后，用药剂量对病痛减轻时间不显着，于是我们有引进了用药剂量的平方项，改进模型Ⅱ建立了模型Ⅲ，用m i n i t a b 软件进行回归分析后，结果合理。最终确定了女性病人服药后病痛减轻时间与用药剂量、性别和血压组别的关系模型： Y=1x 3x 1x 3x 2 1 x 对模型Ⅱ和模型Ⅲ关于男性病人用m i n i t a b软件进行回归分析，结果偏差依然较大，于是改进模型Ⅲ建立了模型Ⅳ，用m i n i t a b软件进行回归分析后，结果合理。最终确定了男性病人服药后病痛减轻时间与用药剂量、性别和血压组别的关系模 型：Y=1x1x 3x 2 1 x关键词止痛剂药剂量性别病痛减轻时 间

数学建模模拟题,图论,回归模型,聚类分析,因子分析等 (48)

第11章第2题 摘要 本题分析4 种化肥和3 个小麦品种对小麦产量的影响，以及二者交互作用对小麦产量的影响，可视为两因素方差分析，即化肥和小麦品种两个因素，4种化肥可看作是化肥的四个不同水平，3个小麦品种也可以看作是小麦品种的三个不同水平。 试验的目的是分析化肥的四个不同水平以及小麦品种的三个不同水平对小麦产量有无显着性影响。 关键词：方差分析显着性化肥种类小麦品种

一．问题重述 为了分析4 种化肥和3 个小麦品种对小麦产量的影响，把一块试验田等分成36个小块，分别对3种种子和四种化肥的每一种组合种植3 小块田，产量如表1所示（单位公斤），问不同品种、不同种类的化肥及二者的交互作用对小麦产量有无显着影响。 二．问题分析 本题意在分析四种化肥和三种小麦品种对小麦产量的影响，以及二者交互作用对小麦产量的影响，为两因素方差分析问题，即化肥和小麦品种两个因素，4种化肥可看作是化肥的四个不同水平，3个小麦品种也可以看作是小麦品种的三个不同水平。通过对这两种因素的不同水平及交互作用的分析，从而分析 4 种化肥和3 个小麦品种对小麦产量的影响。 三．模型假设 1.假设只有化肥种类和小麦品种两个因素，其他因素对试验结果不构成影响。 2.假设不存在数据记录错误。 3.假设每一块试验田本身各项指标相同，不会影响结果。 四．符号说明 数字1,2,3,4——不同的化肥种类 数字1,2,3——不同的小麦品种 五．模型建立 将化肥种类和小麦品种视为两个因素，四种化肥种类看作是化肥种类的四个不同水平，三个小麦品种看作是小麦品种的三个不同水平，将表1的数据进行整理，如表2所示。

六．模型求解 将表2数据导入到spss软件中，进行两因素方差检验，得到结果如下：表3

数学建模模型

五邑大学 数学建模 课程考核论文 2010-2011 学年度第 2 学期 010 20 30 40 50 60 70 8090 第一季度第三季度 东部西部北部 论文题目 抑制物价快速上涨问题 得分 学号 姓名（打印） 姓名（手写） ap0808221 林加海 ap0808204 陈荣昌 指导老师—邹祥福

——2011.6.20 抑制物价快速上涨问题 摘要 本文通过一个多元线性回归模型较好地解决了影响物价因素的问题。使我国经济快速发展的同时，使百姓得到真的实惠，又保证了经济的长远的发展。 物价问题比较复杂。在本次实验中我们参阅大量资料把影响物价的的因素主要概括括需求性因素（消费，投资，进出口，政府支出等）、货币性因素（货币供给量）、结构性因素（房地产价格，农产品价格等）以及其他因素（如预期因素等）。 总结出原先物价计算方法的不足之处，需要建立一种新的计算和预测的方法。首先，为了确定物价和影响因素之间的关系我们用了多元线性回归，从国家统计局找到相关数据经过挑选，建立了函数关系，为了使函数更具有说服力我们进一步用了残差分析，检验所得到的结果的合理性 。本文利用matlab 软件实现了拟合出多元线性回归函数y=86.4798967193207+0.00441024146152813*x1+4.32730555279258e-007*x2+0.00377788223112076*x3+2.70211635024846e-006*x4+7.58738000216411e-005*x5，置信度95％，且20.932609896853743,_R F ==检验值8.30338450288840>，但是显著性概率.α=005相关的0.055839341752489056>0.p =。再利用逐步回归的方法，拟合出Y=94.4958+0.00771506*x1+5.8917e-007*x2+0.00250019*x3+1.90595e-006*x4+ 6.62396e-005*x5.93269896853743R =200，修正的R 2值.R α =20897797，F_检验值＝26.3535，与显著性概率相关的p 值＝..<000106754005，残差均方RMSE ＝0.204517，以上指标值都很好，说明回归效果比较理想。通过对物价形成及演化问题的讨论，提出以量化分析为基础的调节物价的方法，深入分析找出影响物价的主要因素，并就此分析现在物价的上涨情况，根据《关于稳定消费价格总水平保障群众基本生活的通知》，根据模型分析给出抑制物价的政策建议，并对未来的形势走向根据模型给出预测。 关键字：物价，逐步回归分析，上涨因素，预测，多元回归分析

数据建模目前有两种比较通用的方式

数据建模目前有两种比较通用的方式1983年，数学建模作为一门独立的课程进入我国高等学校，在清华大学首次开设。1987年高等教育出版社出版了国内第一本《数学模型》教材。20多年来，数学建模工作发展的非常快，许多高校相继开设了数学建模课程，我国从1989年起参加美国数学建模竞赛，1992年国家教委高教司提出在全国普通高等学校开展数学建模竞赛，旨在“培养学生解决实际问题的能力和创新精神，全面提高学生的综合素质”。近年来，数学模型和数学建模这两个术语使用的频率越来越高，而数学模型和数学建模也被广泛地应用于其他学科和社会的各个领域。本文主要介绍了数学建模中常用的方法。 一、数学建模的相关概念 原型就是人们在社会实践中所关心和研究的现实世界中的事物或对象。模型是指为了某个特定目的将原型所具有的本质属性的某一部分信息经过简化、提炼而构造的原型替代物。一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。数学模型是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，进行一些必要的抽象、简化和假设，借助数学语言，运用数学工具建立起来的一个数学结构。 数学建模是指对特定的客观对象建立数学模型的过程，是现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示，是构造刻画客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。 二、教学模型的分类 数学模型从不同的角度可以分成不同的类型，从数学的角度，按建立模型的数学方法主要分为以下几种模型：几何模型、代数模型、规划模型、优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型等。 三、数学建模的常用方法 1.类比法 数学建模的过程就是把实际问题经过分析、抽象、概括后，用数学语言、数学概念和数学符号表述成数学问题，而表述成什么样的问题取决于思考者解决问题的意图。类比法建模一般在具体分析该实际问题的各个因素的基础上，通过联想、归纳对各因素进行分析，并且与已知模型比较，把未知关系化为已知关系，

数学建模——传染病模型

传染病模型 摘要 当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。 本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。 关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。

一、问题重述 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。 1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。 2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。 3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。 二、问题分析 1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。 2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。 3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。 因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。

数学建模常用算法模型

数学模型的分类 按模型的数学方法分： 几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等 按模型的特征分： 静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型等 按模型的应用领域分： 人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。 按建模的目的分： 预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等 一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往往也和建模的目的对应 按对模型结构的了解程度分： 有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等 比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。 按比赛命题方向分： 国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016美赛六个题目（离散、连续、运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策） 数学建模十大算法 1、蒙特卡罗算法 （该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 （比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题 （建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4、图论算法 （这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）

5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法 （这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法 （这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用） 7、网格算法和穷举法 （当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法 （很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法 （如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法 （赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理） 算法简介 1、灰色预测模型（必掌握） 解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。 满足两个条件可用： ①数据样本点个数少，6-15个 ②数据呈现指数或曲线的形式 2、微分方程预测（高大上、备用） 微分方程预测是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但其中的要求，不言而喻。学习过程中 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。 3、回归分析预测（必掌握） 求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变化； 样本点的个数有要求： ①自变量之间协方差比较小，最好趋近于0，自变量间的相关性小； ②样本点的个数n＞3k+1，k为自变量的个数；

数学建模运输问题送货问题

数学建模论文 题目:送货问题 学院(直属系):数学与计算机学院 年级、专业: 2010级信息与计算科学 姓名:杨尚安 刘洋 谭笑 指导教师:蒲俊 完成时间:2012年 3 月 20 日 摘要 本文讨论的是货运公司的运输问题，根据各公司需求和运输路线图，建立了线性规划模型和0-1规划模型，对货运公司的出车安排进行了分析和优化，得出运费最小的调度方案。 对于问题一，由于车辆在途中不能掉头，出车成本固定，要使得总成本最小，即要使在一定的车辆数下，既满足各公司的需求，又要尽量减小出车次数。故以最小出车数为目标函数，建立线性规划模型，并通过lingo求解，得出最小出车数27次。接着考虑车的方向问题，出车分为顺时针和逆时针，建立0-1模型，并求解，得出满足问题一的调度方案（见附录表1）。 对于问题二，车辆允许掉头，加上车辆装载货物和空装时运输费不同，，要使总成本最小，故可以通过修改原目标函数，建立线性规划模型和0-1规划模型，求解，得出最佳派出车辆3辆并列出满足问题二的调度方案。 对于问题三第一小问，增加了运输车辆的类型。即装载材料的方法很多，在上述分析的基础上，通过增加约束条件，建立新的线性规划模型，并求解，得出满足问题三的调度方案。在第二小问中，由于给出部分公司有道路相通，可采用 运筹学中的最短路问题的解决方法加以解决。 关键字：线性规划模型 0-1规划模型调度

一、问题重述 某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。路线是唯一的双向道路(如图１)。货运公司现有一种载重 6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时(不考虑塞车现象)，每日工作不超过8小时。运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.4元/公里。一个单位的原材料A,B,C 分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在上，大件在下。卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要满足各公司当天的需求量(见表１)。问题： 1、货运公司派出运输车6辆，每辆车从港口出发(不定方向)后运输途中不允许掉头，应如何调度(每辆车的运载方案，运输成本)使得运费最小。 2、每辆车在运输途中可随时掉头，若要使得成本最小，货运公司怎么安排车辆数？应如何调度？ 3、(1)如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车，载重运费都是1.8元/吨公里，空载费用分别为0.2，0.4，0.7元/公里，其他费用一样，又如何安排车辆数和调度方案？(2)当各个公司间都有或者部分有道路直接相通时，分析运输调度的难度所在，给出你的解决问题的想法(可结合实际情况深入分析)。 二、符号说明 x表示为一个车装一单位A和两单位C； 1 x表示为一个车装六单位C； 2 x表示为一个车装两单位B； 3 x表示为一个车装一单位B和三单位C； 4 S表示最小运输次数； x表示为一个车装一单位A和一单位C； 5

数学建模常用算法模型

按模型的数学方法分： 几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等 按模型的特征分： 静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型等 按模型的应用领域分： 人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。 按建模的目的分： 预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等 一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往往也和建模的目的对应 按对模型结构的了解程度分： 有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等 比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。 按比赛命题方向分： 国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016美赛六个题目（离散、连续、运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策） 数学建模十大算法 1、蒙特卡罗算法 （该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 （比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）

3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题 （建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4、图论算法 （这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法 （这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法 （这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用） 7、网格算法和穷举法 （当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法 （很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法 （如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法 （赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理） 算法简介 1、灰色预测模型（必掌握）