宁波市2015年高考模拟考试
数学（理科）试题
说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
参考公式：
柱体的体积公式：V Sh =
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式：13
V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++= 其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高
球的表面积公式：24S R π= 球的体积公式：33
4R V π= 其中R 表示球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求。
1、下列函数中，在区间(0，+∞)上为增函数的是
（ ）
A.y=x －1
B. y=(12)x
C. y=x+1x
D. y=ln(x+1)
2、设a ∈R ，则“a=－32
”是“直线l 1: ax+2y －1=0与直线l 2: x+a(a+1)y+4=0垂直”的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3、将一个长方体截掉一个小长方体，所得几何体的
俯视图与侧视图如右图所示，则该几何体的正视
图为 （ ）
A. B. C. D.
4、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是
（ ）
A.m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥n
B. m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n
C. m ⊥α， n ?β， m ⊥n ，则α⊥β
D.m ?α，n ?α，m ∥β，n ∥β，则α∥β
5、已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF|+|BF|=12，则线段AB 的
中点到y 轴的距离为（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 11
6、将函数f(x)=2sin(2x+4
π)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=4
π对称，则φ的最小值为 （ ） A.18π B. 12π C. 34π D. 38
π 7、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆)42(0422≤≤=+-x y x x 上的一个动点，
点C 在线段OA 的延长线上，当OA OC ?＝20时，点C 的轨迹为 （ ）
A. 椭圆一部分
B.抛物线一段
C. 线段
D. 圆弧
8、已知点(x ，y)的坐标满足条件30
2602290
x y a x y x y --?-+>??，且x ，y 均为正整数。若4x －y 取到最大
值8，则整数a 的最大值为（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共7小题。前4题每空3分，后3题每空4分，共36分．
9、已知集合A={x|(x －2)(x+5)<0}，B={x|x 2－2x －3≥0}，全集U=R ，则A ∩B= ▲ ，A ∪(C U B)= ▲
10、已知tan()34
πα+=，则αtan 的值是 ▲__，α2cos 的值是 ▲__ 11、已知f(x)={
234,01,(1)1, 1.x x x f x x -+≤<-+≥ 则f(3)= ▲ ；若关于x 的方程f(x)=ax+1恰有三个不同的解，则实数a 的取值范围为▲
12、设S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，a 1=1，a 2=3，S k+2+S k －2S k+1=2对任意正整数k 成立，则
a n = ▲ ，
S n = ▲ .
13、设P 为双曲线22221(0,0)y x a b a b
-=>>在第一象限的一个动点，过点P 向两条渐近线作垂线，垂足分别为A ，B ，若A ，B 始终在第一或第二象限内，则该双曲线离心率e
的取值范围为 ▲ 。
14、已知a b ⊥，2c a b =+，若||10c =，则c 与a b +夹角的余弦值的最小值等于 ▲
15、若对任意α∈R ，直线l : xcosα+ysinα=2sin(α+6
π)+4与圆C: (x －m)2+(y
2=1均无公共
点，
则实数m 的取值范围是 ▲
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、（本题满分15分）
在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，3342tan 2tan
=++C B A . （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）已知△ABC 不是．．
钝角三角形，且c=32，,2sin 2)sin(sin A A B C =-+ 求△ABC 的面积。
17、（本题满分15分）
如图，正四棱锥S －ABCD 中，SA=AB ，
E ，
F ，
G 分别为BC ，SC ，CD 的中点。
设P 为线段FG 上任意一点。
（Ⅰ）求证：EP ⊥AC ；
（Ⅱ）当直线CP 与平面EFG 所成的角取得最大值
时，求二面角P －BD －S 的平面角的余弦值。
C A
18、（本题满分15分） 如图， F 是椭圆22221(0)y x a b a b
+=>>的左焦点，椭圆的离心率为12
。A ，B 为椭圆的左顶点和上顶点，点C 在
x 轴上，BC ⊥BF ，△BCF 的外接圆M 恰好与直线1:30
l x +=相切。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点C 的直线l 2与已知椭圆交于P ，
Q 两点，
且4FP FQ ?=，求直线l 2的方程。
19.（本题满分15分）
已知m 为实数，且29-≠m ，数列{}n a 的前n 项和S n 满足m a S n n n +?+=32
134 （Ⅰ）求证：数列{}13+-n n a 为等比数列，并求出公比q ；
（Ⅱ）若15≤n a 对任意正整数n 成立，求证：当m 取到最小整数时，对于n ≥4，n ∈N ，
都有 4811 (135)
n S S ++>-
20、（本题满分14分）
设函数f(x)=x|x －a|+b ，a ，b ∈R
（Ⅰ）当a>0时，讨论函数f(x)的零点个数；
（Ⅱ）若对于给定的实数a(－1 1)(21+≤≤-x x f x 对于任意]12,12[+-∈a a x 恒成立。试将最大实数b 表示为关于a 的函数m(a)， 并求m(a)的取值范围。
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