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高中数学重点专项:经典的恒成立和存在性6道经典问题

高中数学重点专项:经典的恒成立和存在性6道经典问题

1. (1)若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为R ,求实数a 的取值范围;

(2)若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集,求实数a 的取值范围.

2. 设a ∈R ,二次函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A , {}|13,B x x A B =<<≠? ,求实数a 的取值范围.

3. 对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围。

4. 已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,且(1)1f =,若[],1,1a b ∈-,0a b +≠,有()()0f a f b a b

+>+,(1)证明()f x 在[]1,1-上的单调性;(2)若2()21f x m a m ≤-+对所有[]1,1a ∈-恒成立,求m 的取值范围。

5. 若函数y =R 上恒成立,求m 的取值范围。

6. 已知函数2()3f x x ax a =++-,

⑴在R 上()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围。

⑵若[]2,2x ∈-时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围。

⑶若[]2,2x ∈-时,()2f x ≥恒成立,求a 的取值范围。

参考答案

1.(1)设()a ax x x f --=

2.则关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞()0>?x f 在()+∞∞-,上恒成立()0min >?x f ,

即(),04

42

min >+-=a a x f 解得04<<-a (2)设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集()3-≤?x f 在()+∞∞-,上能成立()3min -≤?x f ,

即(),34

42

min -≤+-=a a x f 解得6a ≤-或2a ≥.

4. 解法 1.由题意()2335g x x ax a =-+-,这一问表面上是一个给出参数a 的范围,解不等式()0g x <的问题,实际上,把以x 为变量的函数()g x ,改为以a 为变量的函数,就转化为不等式的恒成立的问题,即

令()()2335a x a x ?=-+-,()11a -≤≤,则对11a -≤≤,恒有()0g x <,即()0a ?<,从而转化为对11a -≤≤,()0a ?<恒成立,又由()a ?是a 的一次函数,因而是一个单调函数,它的最值在定义域的端点得到.为此

只需()()1010??

即22320,380.x x x x ?--

x -<<. 故2,13x ??∈- ???

时,对满足11a -≤≤的一切a 的值,都有()0g x <. 解法2.考虑不等式()23350g x x ax a =-+-<.

由11a -≤≤知,236600a a ?=-+>,于是,不等式的解为

x <<. 但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑a 的条件,还应进一步完善.

为此,设()()g a h a ==

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