一、选择题
1．以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是 ( )
A ．1，2，5
B ．3，5，4
C ．5，12，13
D ．1，3，7 2．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）
A ．CD 、EF 、GH
B ．AB 、EF 、GH
C ．AB 、C
D 、GH D ．AB 、CD 、EF 3．下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是（ ）
A ．三个内角之比为1︰2︰3
B ．一边上的中线等于该边的一半
C ．三边为111,,12135
D ．三边长为()222220m n m n mn m n +->>、、
4．下列线段不能组成直角三角形的是（ ）
A ．6，8，10
B ．1，2，3
C ．43，1，53
D ．2，4，6 5．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别为1S ，2S ，3S ；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6S ．其中11S =，23S =，52S =，64S =，则34S S +=（ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
6．如图所示，在Rt ABC 中，90,3,5C AC BC ∠=?==，分别以点A 、B 为圆心，大于
12
AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点P 、Q ，过P 、Q 两点作直线交BC 于点D ，则线段CD 的长是（ ）
A ．85
B ．165
C ．175
D ．245
7．已知锐角△ABC 的三边长恰为三个连续整数，AB ＞BC ＞CA ，若边BC 上的高为AD ，则BD ﹣DC ＝（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8．如图，在长为10的线段AB 上，作如下操作：经过点B 作BC AB ⊥，使得
12
BC AB =
；连接AC ，在CA 上截取CE CB =；在AB 上截取AD AE =，则AD 的长为（ ）
A ．555-
B ．1055-
C ．10510-
D ．555+ 9．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，下列结论：①AD 是BAC ∠的平分线；②∠ADB=120°；③DB=2CD ；④若CD=4，83AB =，则△DAB 的面积为20．其中正确的结论共有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．如图，以AB 为直径的半圆O 过点C ，4AB =，在半径OB 上取一点D ，使AD AC =，30CAB ∠=?，则点O 到CD 的距离OE 是（ ）
A ．2
B ．1
C ．2
D ．22 11．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则2()a b +的值为（ ）
A ．25
B ．19
C ．13
D ．169 12．若ABC 的三边a 、b 、c 满足2(3)450a b c -+-+-=，则ABC 的面积是
（ ）
A ．3
B ．6
C ．12
D ．10
二、填空题
13．已知在ABC 中，45ABC ?∠=，32AB =，1BC =，且以AB 为边作等腰Rt ABD ，90ABD ?∠=，连结CD ，则CD 的长为________．
14．如图，数轴上点C 表示的数的平方为______．
15．如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，点D 是AB 的中点，过点D 作DE 垂直AB 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长是_______．
16．如图，点P 是等边ABC 内的一点，6PA =，8PB =，10PC =.若点P '是
ABC 外的一点，且P AB PAC '≌
△△，则APB ∠的度数为_____．
17．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，8BC =，点E 是BC 边上一点，且AE EC =，点P 是AD 边上一动点，连接PE 、PC ．给出下列结论：
①3BE =；
②当5AP =时，//AE CP ；
③当256
AP =时，AE 平分BEP ∠； ④若PBE EPC ∠=∠，则BPC PEC ∠=∠．其中正确的是______．
18．在平面直角坐标系中有两点A(5，0)，B(2，1)，如果点C 在坐标平面内，且由点A 、O 、C 连成的三角形与△AOB 全等（△AOC 与△AOB 不重合），则点C 的坐标是_________ 19．如图，在ABC 中，45ABC ?∠=，3AB =，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点F ．1AE =，连接DE ，将AED 沿直线AE 翻折至ABC 所在的平面，得AEF ，连接DF ．过点D 作DG DE ⊥交BE 于点G ，则四边形DFEG 的周长为________．
20．如图，在Rt ABC 中，90B ∠=?，AC 的垂直平分线DE 分别交AB ，AC 于,D E 两点，若4AB =，3BC =，则CD 的长为______________．
三、解答题
21．Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，AB =5．
（1）如图1，点E 在边BC 上，且∠AEC =2∠B ．
①在图1中用尺规作图作出点E ，并连结AE （保留作图痕迹，不写作法与证明过程）； ②求CE 的长．
（2）如图2，点D 为斜边上的动点，连接CD ，当△ACD 是以AC 为底的等腰三角形时，求AD 的长．
22．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°．AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明：a 2+b 2＝c 2；
（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a +b ）2的值．
23．如图，在ABC 中，2,1,20AB AC BAC AD BC ?==∠=⊥于点D ，延长AD 至点E ，使DE AD =，连接BE 和CE ．
（1）补全图形；
（2）若点F 是AC 的中点，请在BC 上找一点P 使AP FP +的值最小，并求出最小值． 24．如图，已知长方形ABCD 中，AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求EF 的长．
25．定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图：
（1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形ABC；
（2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形DEFG；
（3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段1
H；
（4）在图4中画出一个周长为3210的格点直角三角形JKL．
26．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别用a、b、c来表示，且a、b、c满足关系40
a-+|a﹣b +1|+（c﹣9）2＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
直接利用勾股定理的逆定理验证即可．
【详解】
A、∵
2
22
1255
+==，
∴以1、25为三边的三角形是直角三角形，A不符合题意；
B、∵222
34255
+==，
∴以3、5、4为三边的三角形是直角三角形，B不符合题意；
C、∵222
51216913
+==，
∴以5、12、13为三边的三角形是直角三角形，C 不符合题意；
D 、∵2221310+=≠，
∴以1、3为三边的三角形不是直角三角形，D 符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 2．B
解析：B
【分析】
设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB 、CD 、EF 、GH 各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
【详解】
解：设小正方形的边长为1，
则AB 2=22+22=8，
CD 2=22+42=20，
EF 2=12+22=5，
GH 2=22+32=13．
因为AB 2+EF 2=GH 2，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB 、EF 、GH ．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理的应用；解题的关键是解出AB 、CD 、EF 、GH 各自的长度. 3．C
解析：C
【分析】
根据直角三角形的判定条件分别判断即可；
【详解】
三个内角之比为1︰2︰3，三角形有一个内角为90?，故A 不符合题意；
直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，故B 不符合题意；
22211112135??????=≠ ? ? ???????
，故C 符合题意；
三边长的关系为()()()()222222220m
n m n mn m n +=-+>>，故D 不符合题
意；
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，准确分析判断是解题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
直接利用勾股定理的逆定理带入判断即可；
【详解】
A 、2226810+=，能组成直角三角形；
B 、22
21+= 能组成直角三角形； C 、22245()1()33+= ，能组成直角三角形；
D 、22224+≠ ，不能组成直角三角形．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理的运算，正确掌握勾股定理的逆运算是解题的关键； 5．A
解析：A
【分析】
由题意可得S 1+S 2=S 3， S 5+S 6=S 4，然后根据S 1=1，S 2=3，S 5=2，S 6=4，然后求出S 3+S 4的值即可．
【详解】
解：如图：
∵S 1=a 2，S 2=b 2，S 3=c 2，
∴a 2+b 2=c 2，即S 1+S 2=S 3，
同理可得：S 5+S 6=S 4，
∵S 1=1，S 2=3，S 5=2，S 6=4
∴S 3+S 4=（1+3）+（2+4）=4+6=10．
故答案为A ．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用以及正方形的面积、圆的面积的解法，审清题意、灵活运用数形结合的思想成为解答本题的关键．
6．A
解析：A
【分析】
连接AD ，由三角形全等以及三线合一可知PQ 垂直平分线段AB ，推出AD DB =，设AD DB x ==，在Rt ACD △中，90C ∠=? ，根据222AD AC CD =+构建方程即可解决问题．
【详解】
如图，连接AD ，
由已知条件可知PQ 垂直平分线段AB ，
∴AD DB =，
设AD DB x ==，5CD x =-，
在Rt ACD △中，90C ∠=? ，
∴222AD AC CD =+，
∴2223(5)x x =+-， 解得：751x =， ∴178555
CD BC DB =-=-
=， 故选：A ．
【点睛】
本题考查了基本作图，圆的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
7．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理,因AD 为公共边可以得到AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣CD 2再把三边关系代入解答即可．
【详解】
解：设BC ＝n ，则有AB ＝n ＋1，AC ＝n ﹣1，
AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣CD 2，
∴ AB 2﹣AC 2＝BD 2﹣CD 2
∴ （n ＋1）2﹣（n ﹣1）2＝（BD ﹣CD ）n ，
∴BD ﹣CD ＝4，
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理，根据题意得出 BD ﹣CD 的长是解题关键．
8．A
解析：A
【分析】
由勾股定理求出AC=AD=AE=AC-CE=-5即可．
【详解】
解：∵BC ⊥AB ，AB=10，CE ＝BC=
1110522AB =?=，
∴
==
∴AD=AE=AC-CE=
5，
故选：A
【点睛】
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
连接PN 、PM ．根据题意易证明APM APN ?，即可证明①正确；根据三角形外角的性质即可求出=120ADB ∠?，故②正确；由30BAD B ∠=∠=?，可说明AD=BD ，再由AD=2CD ，即可证明BD=2CD ，故③正确；由④所给条件可求出AC 和DB 的长，即可求出
DAB S ④错误．
【详解】
如图，连接PN 、PM ．
由题意可知AM=AN ，PM=PN ，AP=AP ，903060BAC ∠=?-?=?．
∴APM APN ?， ∴1302CAD BAD BAC ∠=∠=
∠=?，即AD 是BAC ∠的平分线，故①正确； ∵=ADB C CAD ∠∠+∠，
∴=9030=120ADB ∠?+??，故②正确；
在Rt ACD △中，30CAD ∠=?，
∴AD=2CD ，
又∵30BAD B ∠=∠=?，
∴AD=BD ，
∴BD=2CD ．故③正确；
在Rt ABC 中，30B ∠=?， ∴312BC AB ==， ∴=1248BD BC CD -=-=，
又在Rt ACD △中，30CAD ∠=?，
∴343AC CD ==， ∴11==843=16322
DAB S BD AC ??，故④错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定以及勾股定理．熟练掌握各个知识点是解答本题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
在等腰ACD ?中，顶角30A ∠=?，易求得75ACD ∠=?，根据等边对等角，可得30OCA A ∠=∠=?，由此可得45OCD ∠=?，即OCE ?是等腰直角三角形，则2OE =
【详解】
∵AC AD =，30A ∠=?，
∴75ACD ADC ∠=∠=?，
∵AO OC =，
∴
30OCA A ∠=∠=?，
∴45OCD ∠=?，即OCE ?是等腰直角三角形． 在等腰Rt OCE ?中，2OC =，
因此 2OE =
故选：A ．
【点睛】
本题综合考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、解直角三角形等知识的应用． 11．A
解析：A
根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．
【详解】 解：由条件可得：22131131240
a b ab a b ?+=?-?=??>>??， 解之得：32a b =??=?
． 所以2()25a b +=，
故选A
【点睛】
本题考查了正方形、直角三角形的性质及分析问题的推理能力和运算能力．
12．B
解析：B
【分析】
根据绝对值，乘方和算术平方根的非负性求得a 、b 、c 的值，再结合勾股定理逆定理判断△ABC 为直角三角形，由此根据直角三角形面积等于两直角边乘积的一半可得面积．
【详解】
解：
∵2(3)50a c --=，
∴30,40,50a b c -=-=-=，
解得3,4,5a b c ===，
又∵222223425a b c +=+==，
∴△ABC 为直角三角形， ∴13462
ABC S =
??=△． 故选：B ．
【点睛】
本题考查非负数的性质，勾股定理的逆定理．理解几个非负数（式）的和为0，那么这几个数（式）都为0是解题关键． 二、填空题
13．或5【分析】根据点C 和点D 与AB 的位置关系分类讨论分别画出对应的图形根据等腰直角三角形的性质勾股定理分别求解即可【详解】解：若点C 和点D 在AB 的同侧时如下图所示延长BC 交AD 于E ∵△ABD 为等腰直角
5
根据点C 和点D 与AB 的位置关系分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理分别求解即可．
【详解】
解：若点C 和点D 在AB 的同侧时，如下图所示，延长BC 交AD 于E
∵△ABD 为等腰直角三角形，∠ABD=90°，45ABC ?∠=
∴BD=32AB =，∠DBC=∠ABD －∠ABC=45°
∴AD=226AB BD +=，∠DBC=∠ABC
∴BE ⊥AD ，BE 是AD 的中线 ∴BE=DE=
12AD=3 ∴CE=BE －BC=2
在Rt △CDE 中，CD=2213CE DE +=；
若点C 和点D 在AB 的两侧时，如下图所示，过点D 作DE ⊥CB 交CB 延长线于E
∵△ABD 为等腰直角三角形，∠ABD=90°，45ABC ?∠=
∴BD=32AB =∠DBE=180°－∠ABD －∠ABC=45°
∴△EDB 为等腰直角三角形，DE=BE
∵DE 2＋BE 2=BD 2
∴2DE 2=(2
32
解得：DE=3
∴BE=3
∴CE=BE ＋BC=4
在Rt △CDE 中，225CE DE +=；
综上：135．
135．
【点睛】
此题考查的是等腰直角三角形的性质及判定和勾股定理，掌握等腰直角三角形的性质及判
定、勾股定理和分类讨论的数学思想是解题关键．
14．5【分析】由作图痕迹得到图中各线段的长度后根据勾股定理即可得到解答
【详解】解：由作图痕迹及题意可知：OB=2AB=1AB ⊥OBOC=OA ∴由勾股定理可知：故答案为5【点睛】本题考查尺规作图与勾股定理
解析：5
【分析】
由作图痕迹得到图中各线段的长度后根据勾股定理即可得到解答 ．
【详解】
解：由作图痕迹及题意可知：OB=2，AB=1，AB ⊥OB ，OC=OA ，
∴由勾股定理可知：222222215OC OA OB AB ==+=+=，
故答案为5．
【点睛】
本题考查尺规作图与勾股定理的综合运用，熟练掌握常见图形的作图方法及勾股定理的应用是解题关键．
15．【分析】连接AE 设CE ＝x 由线段垂直平分线的性质可知AE ＝BE ＝BC ＋CE 在Rt △ACE 中利用勾股定理即可求出CE 的长度【详解】解：如图连接AE 设∵点D 是线段AB 的中点且∴DE 是AB 的垂直平分线∴∴ 解析：76
【分析】
连接AE ，设CE ＝x ，由线段垂直平分线的性质可知AE ＝BE ＝BC ＋CE ，在Rt △ACE 中，利用勾股定理即可求出CE 的长度．
【详解】
解：如图，连接AE ，
设CE x =， ∵点D 是线段AB 的中点，且DE AB ⊥，
∴DE 是AB 的垂直平分线，
∴3AE BE BC CE x ==+=+，
∴在Rt ACE 中，222AE AC CE =+，
即()22234x x +=+，
解得76
x =．
故答案为：76
． 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用，熟练掌握线段垂直平分线的性质并利用勾股定理求解线段的长度是解题的关键．
16．150°【分析】由可知：PA ＝P′A ∠P′AB ＝∠PACBP′=CP 然后依据等式的性质可得到∠P′AP ＝∠BAC ＝60°从而可得到△APP′为等边三角形可求得PP′由△APP′为等边三角形得∠APP
解析：150°
【分析】
由P AB PAC '≌△△可知：PA ＝P′A ，∠P′AB ＝∠PAC ，BP′=CP ，然后依据等式的性质可得到∠P′AP ＝∠BAC ＝60°，从而可得到△APP′为等边三角形，可求得PP′，由△APP′为等边三角形，得∠APP′＝60°，在△PP′B 中，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠P′PB ＝90°，进而可求∠APB 的度数．
【详解】
连接PP′，
∵P AB PAC '≌△△，
∴PA ＝P′A=6，∠P′AB ＝∠PAC ，BP′=CP=10，
∴∠P′AP ＝∠BAC ＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′＝AP ＝AP′＝6，
又∵8PB =，
∴PP′2＋BP 2＝BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°
∴∠APB ＝90°＋60°＝150°，
故答案是：150°
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理的应用，证得△APP′为等边三角形、△BPP′为直角三角形是解题的关键．
17．①②③④【分析】设BE=x 则=8－x 利用勾股定理列出方程即可判断①；利用SAS 证出△AEP ≌△CPE 即可证出∠AEP=∠CPE 从而判断②；过点E 作EH ⊥AD 于H 利用勾股定理求出PE 从而得出PA=PE
解析：①②③④
【分析】
设BE=x，则AE EC
==8－x，利用勾股定理列出方程即可判断①；利用SAS证出
△AEP≌△CPE，即可证出∠AEP=∠CPE，从而判断②；过点E作EH⊥AD于H，利用勾股定理求出PE，从而得出PA=PE，利用等边对等角可得∠PAE=∠PEA，再根据平行线的性质可得∠AEB=∠PAE，从而判断③；根据三角形的内角和定理即可判断④．
【详解】
解：设BE=x，则AE EC
==8－x，
在Rt△ABE中，AB2＋BE2=AE2
∴42＋x2=（8－x）2
解得：x=3
即BE=3，故①正确；
∴BE=EC=5
若5
AP=
∴AP=CE，
∵四边形ABCD为长方形
∴AD∥BC
∴∠APE=∠CEP
∵PE=EP
∴△AEP≌△CPE
∴∠AEP=∠CPE
∴//
AE CP，故②正确；
当
25
6
AP=时，过点E作EH⊥AD于H，
∴AH=BE=3，HE=AB=4∴PH=AP－AH=7
6
∴22
PH HE
+25 6
∴PA=PE
∴∠PAE=∠PEA ∵AD∥BC
∴∠AEB=∠PAE，∴∠AEB=∠PEA
∴EA 平分BEP ∠，故③正确；
∵∠BPC=180°－∠PCB －∠PBE
∠PEC=180°－∠PCB －∠EPC
∵PBE EPC ∠=∠
∴BPC PEC ∠=∠，故④正确；
综上：正确的有①②③④
故答案为：①②③④．
【点睛】
此题考查的是勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、平行线的判定及性质和三角形内角和定理的应用，掌握勾股定理、全等三角形的判定及性质、平行线的判定及性质和三角形内角和定理是解题关键．
18．或或【分析】设点C 的坐标为先根据两点之间的距离公式可得的值再根据全等三角形的性质建立方程组解方程组即可得【详解】设点C 的坐标为由题意分以下两种情况：（1）当时则即解得或则此时点C 的坐标为或（与点B 重 解析：(2,1)-或(3,1)-或(3,1)
【分析】
设点C 的坐标为(,)C a b ，先根据两点之间的距离公式可得2222
,,,AC OC AB OB 的值，再根据全等三角形的性质建立方程组，解方程组即可得．
【详解】
设点C 的坐标为(,)C a b ， (5,0),(0,0),(2,1)A O B ，
222(5)AC a b ∴=-+，222OC a b =+，222(25)(10)10AB =-+-=，
222(20)(10)5OB =-+-=，
由题意，分以下两种情况：
（1）当AOC AOB ?时，
则,AC AB OC OB ==，
2222,AC AB OC OB ∴==，
即2222(5)105
a b a b ?-+=?+=?， 解得21a b =??=-?
或21a b =??=?， 则此时点C 的坐标为(2,1)C -或(2,1)C （与点B 重合，不符题意，舍去）；
（2）当OAC AOB ?时，
则,AC OB OC AB ==，
2222,AC OB OC AB ∴==，
即2222(5)510
a b a b ?-+=?+=?， 解得31a b =??=-?
或31a b =??=?， 则此时点C 的坐标为(3,1)C -或(3,1)C ；
综上，点C 的坐标为(2,1)-或(3,1)-或(3,1)，
故答案为：(2,1)-或(3,1)-或(3,1)．
【点睛】
本题考查了两点之间的距离公式、全等三角形的性质、利用平方根解方程等知识点，熟练掌握全等三角形的性质，并正确分两种情况讨论是解题关键．
19．【分析】先证得出再证与是等腰直角三角形在直角中利用勾股定理求出BE 的长进一步求出GE 的长可通过解直角三角形分别求出GDDEEFDF 的长即可求出四边形DFEG 的周长【详解】∵于点D ∴∴是等腰直角三角形
解析：2
【分析】
先证BDG DE ???，得出1AE BG ==，再证DGE ?与EDF ?是等腰直角三角形，在直角AEB ?中利用勾股定理求出BE 的长，进一步求出GE 的长，可通过解直角三角形分别求出GD ，DE ，EF ，DF 的长，即可求出四边形DFEG 的周长．
【详解】
∵45ABC ?∠=，AD BC ⊥于点D ，
∴9045BAD ABC ??∠=-∠=，
∴ABD ?是等腰直角三角形，
∴AD BD =，
∵BE AC ⊥，
∴90GBD C ?∠+∠=，
∵90EAD C ?∠+∠=，
∴GBD EAD ∠=∠，
∵90ADB EDG ?∠=∠=，
∴ADB ADG EDG ADG ∠-∠=∠-∠，
即BDG ADE ∠=∠，
∴()BDG ADE ASA ???，
∴1BG AE ==，DG DE =，
∵90EDG ?∠=，
∴EDG ?为等腰直角三角形，
∴9045135AED AEB DEG ???∠=∠+∠=+=，
∵AED ?沿直线AE 翻折得AEF ?，
∴AED AEF ???，
∴135AED AEF ?∠=∠=，ED EF =，
∴36090DEF AED AEF ??∠=-∠-∠=，
∴DEF ?为等腰直角三角形，
∴EF DE DG ==，
在Rt AEB ?中，
BE === ∴
1GE BE BG =-=，
在Rt DGE ?中，
222
DG ==-，
∴22EF DE ==-
， 在Rt DEF ?中，
1DF ==，
∴四边形DFEG 的周长为：
GD EF GE DF +++
221)2??=-+- ? ???
2=+，
故答案为：2+．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质．
20．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD 故AB=BD+AD=BD+CD 设CD=x 则BD=4-x 在Rt △BCD 中根据勾股定理求出x 的值即可【详解】∵是的垂直平分线∴∴设则在中即解得∴故答案为: 解析：258
【分析】
先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD ，故AB=BD+AD=BD+CD ，设CD=x ，则BD=4-x ，在Rt △BCD 中根据勾股定理求出x 的值即可．
【详解】
∵DE 是AC 的垂直平分线，
∴CD AD =，
∴AB BD AD BD CD =+=+，
设CD x =，则4BD x =-，
在Rt BCD 中，
222CD BC BD =+，
即()22234x x =+-， 解得258x =， ∴258
CD =． 故答案为: 258
． 【点睛】
本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质．由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
三、解答题
21．（1）①见解析；②78
CE =
；（2）2.5 【分析】
（1）①作出AB 的垂直平分线交BC 于点E ，则可得结论；
②由勾股定理求得BC=4，设CE =x ，则BE =AE =4-x ，依据勾股定理列出方程求解即可； （2）求得BD=CD=AD=2.5即可．
【详解】
解：（1）①如图，作∠BAE =∠B ，
②可求得BC =4
∵∠AEC=∠B +∠BAE ，
又∵∠AEC =2∠B ，
∴∠BAE =∠B ，
∴BE =AE ，．
设CE =x ，则BE =AE =4-x ，
在Rt △AEC 中，222CE AC AE +=，
∴2223(4)x x +=-，