去绝对值符号的几种常用方法

去绝对值符号的几种常用方法

湖南祁东育贤中学 周友良 421600

解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。

1．利用定义法去掉绝对值符号

根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??

-????≤?；

|x |>c (0)

0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈

2．利用不等式的性质去掉绝对值符号

利用不等式的性质转化|x |c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ?a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。

3．利用平方法去掉绝对值符号

对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2=2

x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

4．利用零点分段法去掉绝对值符号

所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，

|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段

上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。

5．利用数形结合去掉绝对值符号

解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于||||x a x b m -+->或||||x a x b m -+-<(m 为正常数)类型不等式。对||||a x b c x d m +++>(或

去绝对值常用方法

. （初一）去绝对值常用“六招” （初一）六招”去绝对值常用“难度大，解绝对值问题要求高，绝对值是初中数学的一个重要概念，是后续学习的必备知识。不易把握，解题易陷入困境。下面就教同学们去绝对值的常用几招。一、根据定义去绝对值的值-│c│c = - 8时，求3│a│-2│b│例1、当a = -5，b = 2，负数的绝所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身，分析：这里给出的是确定的数，。代值后即可去掉绝对值。的绝对值是0对值是它的相反数，00 ＜ c = -8b =2＞0，解：因为：a = -5＜0，[ - ( - 8 ) ] = 7 2 ×2 --5）] –所以由绝对值的意义，原式= 3 [ -（”相关信息去绝对值二、从数轴上“读取c在数轴上的a、b、例2、有理数- │a│-a│+│c-b│+│a+b│位置如图所示，且│a│=│b│，化简│c的正负性，由数轴上点的位置特征，即可去绝对、a + bc - a、c-b分析：本题的关键是确定值。- a = b b 且＜c＜解：由已知及数轴上点的位置特征知：a＜0 b ) ] + 0 - ( - a ) = b –故原式= c - a + [ - ( c c - b＜0，a + b = 0 从而 c –a ＞0 ，三、由非负数性质去绝对值22的值。= 0，求-25│+ ( b –2 )ab：已知例3│a 。分析：因为绝对值、完全平方数为非负数，几个非负数的和为零，则这几个数均为“0”222 2 = 0 –由绝对值和非负数的性质：ab 解：因为│a-25 = 0 -25 │+ ( b – 2 )且= 0 ab = - 10 ab = 10或a = - 5 b = 2 故即a = 5 b = 2 或四、用分类讨论法去绝对值的值。abc≠0，求+ + 4例、若同为正号还是同为负号；两个同为正（负）号，另、c，所以只需 考虑a、b分析：因abc≠0一个为负（正）号，共八种情况。但因为两正（负）、一负（正）的 结果只有两种情况，所以其值只有四种情况。异号。b、、c、b、c有同为正号、同为负号和aa 解：由abc≠0可知，= 3 + + + = + 、c都为“+”时，b当a、= - 3 ---”时，+ + = c当a、b、都为“-+ + = 1 时，“-”、a、bc中两“+”一当+ + = - 1 “+”时，中两“-”一ca 当、b、五、用零点分段法去绝对值的最小值。2│+│x -3│-例5：求│x + 1│+│x 的值的符号也在变化。关键是把各式绝对值x -3–x 2、、在有理数范围变化，分析：xx + 1解 这类问题的基本步骤是：的取值进行分段讨论，为此要对符号去掉。x然后选取其最小值。. . 求零点、分区间、定性质、去符号。即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间化简求值即可。。由绝对值意义分别讨论如下：，3可确定零点为- 1，2，解：由x + 1 = 0x - 2 = 0，x - 3 = 03 + 4 = 7 ＞– 3 ) ] = -3 x + 4 -1时，原式= -( x + 1 ) + [ - ( x –2 ) ] + [ - ( x 当x＜-2 + 6 = 4 3 ) ] = - x + 6 ＞时，原式= ( x + 1 ) + [ -( x –2 ) ] + [ - ( x –当-1 ≤x ＜2 2 + 2 = 4 x + 2 ≥= –2 ) + [ - ( x –3 ) ] 当2 ≤x ＜3时，原式= ( x + 1 ) + ( x - 4 = 5 4 ≥3×3 –2 ) + ( x 3 ) = 3x –x ≥3时，原式= ( x + 1 ) + ( x –当4。故所求最小值是六、平方法去绝对值-3│、解方程│x-1│=│x例6所以对所分析：对含有绝对值的方程，用平方法是去绝对值的方法之一，但可能产生增根，求解必须进行检验，舍去增根。22 x=2是原不等式的根。x=2 x经检验，- 2x +1= x - 6x + 9 有4x =8，得解：两边平方： c在数轴上的位置、b、练习1、已知实数a │a│=│c│，化简：如图，且- b│+│a││a+c

去绝对值符号的几种常用方法精编版

去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-????≤?； |x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|或||||x a x b m -+-<(m 为正常数)类型不等式。对||||ax b cx d m +++>(或

如何化简绝对值

如何化简绝对值 绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。 一、根据题设条件 例1 设化简的结果是（）。 （A）（B）（C）（D） 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去． 解 ∴应选（B）． 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路． 二、借助数轴 例2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（）． （A）（B）（C）（D） 思路分析由数轴上容易看出，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍． 解原式 ∴应选（C）． 归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清：

1．零点的左边都是负数，右边都是正数． 2．右边点表示的数总大于左边点表示的数． 3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了． 三、采用零点分段讨论法 例3 化简 思路分析本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能确定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论． 解令得零点：；令得零点：，把数轴上的数分为三个部分（如图） ①当时, ∴原式 ②当时，， ∴原式 ③当时，， ∴原式 ∴ 归纳点评虽然的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是： 1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）． 2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每

初中数学难点去绝对值符号

带绝对值符号的运算 在初中数学教学中，如何去掉绝对值符号？因为这一问题看似简单，所以往往容易被人们忽视。其实它既是初中数学教学的一个重点，也是初中数学教学的一个难点，还是学生容易搞错的问题。那么，如何去掉绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手： 一、要理解数a的绝对值的定义。在中学数学教科书中，数a的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。”学习这个定义应让学生理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。 二、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。在这里要让学生重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。 三、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。 1、对于形如︱a︱的一类问题 只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。 当a>0时，︱a︱=a(性质1：正数的绝对值是它本身)； 当a=0 时︱a︱=0(性质2：0的绝对值是0) ； 当a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。 2、对于形如︱a+b︱的一类问题 首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。 当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b(性质1：正数的绝对值是它本身)； 当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0(性质2：0的绝对值是0)； 当a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。 3、对于形如︱a-b︱的一类问题 同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。 但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。 口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。 4、对于数轴型的一类问题， 根据3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b 。（都是大的数a减去小的数b ） 5、对于绝对值符号前有正、负号的运算 非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！

七上 去掉绝对值符号的几种题型

去掉绝对值符号的几种题型 1、对于形如︱a︱的一类问题 只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。当a>0时，︱a︱=a (性质1：正数的绝对值是它本身) ； 当a=0 时︱a︱=0 (性质 2：0的绝对值是0) ； 当 a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。 2、对于形如︱a+b︱的一类问题 首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。 当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b (性质1：正数的绝对值是它本身) ；当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0 (性质 2：0的绝对值是0)； 当 a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。 3、对于形如︱a-b︱的一类问题 同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。 但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。 口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。

4、对于数轴型的一类问题， 根据3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b 。 5、对于绝对值符号前有正、负号的运算 非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！ 1、设化简的结果是（）。 （A）（B）（C）（D） 2、实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（）。 （A）（B）（C）（D） 3、（1）已知，化简的结果是。 （2）已知，化简的结果是。 （3）已知，化简的结果是。 4、已知a、b、c、d满足且，那么

去绝对值常用方法

去绝对值常用“六招”（初一） 去绝对值常用“六招” （初一） 绝对值是初中数学的一个重要概念，是后续学习的必备知识。解绝对值问题要求高，难度大，不易把握，解题易陷入困境。下面就教同学们去绝对值的常用几招。 一、根据定义去绝对值 例1、当a = -5，b = 2， c = - 8时，求3│a│-2│b│- │c│的值 分析：这里给出的是确定的数，所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。代值后即可去掉绝对值。 解：因为：a = -5＜0，b =2＞0，c = -8＜0 所以由绝对值的意义，原式= 3 [ -（-5）] – 2 ×2 - [ - ( - 8 ) ] = 7 二、从数轴上“读取”相关信息去绝对值 例2、有理数a、b、c在数轴上的 位置如图所示，且│a│=│b│，化简│c-a│+│c-b│+│a+b│-│a│ 分析：本题的关键是确定c - a、c-b、a + b的正负性，由数轴上点的位置特征，即可去绝对值。 解：由已知及数轴上点的位置特征知：a＜0＜c＜b 且- a = b 从而 c – a ＞0 ， c - b＜0， a + b = 0 故原式= c - a + [ - ( c – b ) ] + 0 - ( - a ) = b 三、由非负数性质去绝对值 例3：已知│a2-25│+ ( b – 2 )2 = 0，求ab的值。 分析：因为绝对值、完全平方数为非负数，几个非负数的和为零，则这几个数均为“0”。解：因为│a2-25│+ ( b – 2 )2 = 0 由绝对值和非负数的性质：a2-25 = 0 且b – 2 = 0 即a = 5 b = 2 或a = - 5 b = 2 故ab = 10或ab = - 10 四、用分类讨论法去绝对值 例4、若abc≠0，求+ + 的值。 分析：因abc≠0，所以只需考虑a、b、c同为正号还是同为负号；两个同为正（负）号，另一个为负（正）号，共八种情况。但因为两正（负）、一负（正）的结果只有两种情况，所以其值只有四种情况。 解：由abc≠0可知，a、b、c有同为正号、同为负号和a、b、c异号。 当a、b、c都为“+”时，+ + = + + = 3 当a、b、c都为“-”时，+ + = - - - = - 3 当a、b、c中两“+”一“-”时，+ + = 1 当a、b、c中两“-”一“+”时，+ + = - 1 五、用零点分段法去绝对值 例5：求│x + 1│+│x - 2│+│x -3│的最小值。

如何解含有多个绝对值符号的方程

5.如何解含有多个绝对值符号的方程 题目 解方程 |1|||3|1|2|2|2x x x x x +-+---=+ （*） 这是《你能解吗？——献给数学爱好者》一书p3的第14题. 对于含有多个绝对值符号的方程问题，常规解法都是利用分段讨论的方法脱掉绝对值符号的. 本文介绍一种简便的新方法. 设121()||(1,,)n i i n i f x a x b cx d n b b b == -++><，则在 1i i b x b +≤≤中()f x = 0无根；若1()()0i i f b f b +?<，则在1i i b x b +≤≤中()f x = 0只有一个根，此根可由公式1111()()() i i i i i i b b x b f b f b f b ++++-=--表之；对于1x b <和n x b >时根的情况再分别讨论. 对这一方法笔者称之为 “讨论两端,中间挑选.” 例1 见题（*） 解 设()|1|||3|1|2|2|2f x x x x x x =+-+-----，则(1)2,(0)2,f f -=-=- (1)4,(2)0.f f =-= 可见当12x -≤<时, ()f x = 0无根.x = 2是()f x = 0的一个根. 当1x <-时, ()242f x x =-->-, 令240x --=, 2x =-. 当2x >时，()0f x ≡. 故原方程的解是2x =-和2x ≥的所有实数. 例2 方程|21||2||1|x x x -+-=+的实数解的个数是: (A)1; (B)2; (C)3; (D)无穷多. (上海市1984年初中数学竞赛题) 解 设1()|21||2||1||1|2|||2|2 f x x x x x x x =-+--+=-++-+-, 则1 (1)6,()0,(2)0.2 f f f -=== 那么不论1x <-和2x >时有没有根,我们至少知道122 x ≤≤都是()f x = 0的根, 答案应选择(D). 例3 解方程|1|2|2|3|3|4x x x ---++=. (《初等代数难点释疑》一书p4的例4). 解 设()|1|2|2|3|3|4f x x x x =---++-，则(1)0,(2)0,(3) 4.f f f ===- 当1x <时，()220f x x =-+>；当3x >时，()2104f x x =->-，令2100x -=， 得5x =. 故原方程的解是5x =和12x ≤≤的所有实数. 例4 解方程|2||3||28|9x x x -+-+-=. （华东师大《数学教学》1984年第5期p9）

去绝对值符号的几种常用方法

去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-????≤? ；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|或||||x a x b m -+-<(m 为正常数)类型不等式。对||||ax b cx d m +++>(或

带绝对值符号的运算

带绝对值符号的运算 在初中数学中，如何去掉绝对值符号？因为这一问题看似简单，所以往往容易被人们忽视。其实它既是初中数学的一个重点，也是初中数学的一个难点，还是容易搞错的问题。那么，如何去掉绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手： 一、要理解数a的绝对值的定义。在中学数学教科书中，数a的绝对值是这样 定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。”学习这个定义应让理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。 二、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。从数a的绝对值的定义可知，一个正 数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。在这里要让学生重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。 三、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。 1、对于形如︱a︱的一类问题 只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。 当a>0时，︱a︱=a (性质1：正数的绝对值是它本身)； 当a=0 时︱a︱=0 (性质 2：0的绝对值是0) ； 当 a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。 2、对于形如︱a+b︱的一类问题 首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。 当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b (性质1：正数的绝对值是它本身)； 当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0 (性质 2：0的绝对值是0)； 当 a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。 3、对于形如︱a-b︱的一类问题 同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。 但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。 口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。

绝对值问题的求解方法

绝对值问题的求解方法 一、定义法 例1 若方程只有负数解，则实数a的取值范围是：_________。 分析与解因为方程只有负数解，故，原方程可化为： ， ∴， 即 说明绝对值的意义有两点。其一，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；其二，在数轴上表示一个点到原点的距离。利用绝对值的定义常可达到去掉绝对值符号的目的。 二、利用非负性 例2 方程的图象是（） （A）三条直线： （B）两条直线： （C）一点和一条直线：（0，0）， （D）两个点：（0，1），（－1，0）

分析与解由已知，根据非负数的性质，得 即或 解之得：或 故原方程的图象为两个点（0，1），（－1，0）。 说明利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决。 三、公式法 例3 已知，求的值。 分析与解， ∴原式 说明本题根据公式，将原式化为含有的式子，再根据绝对值的定义求值。 四、分类讨论法 例4 实数a满足且，那么

分析与解由可得 且。 当时， ； 当时， 说明有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论。 五、平方法 例5 设实数a、b满足不等式，则 （A）且 （B）且 （C）且 （D）且 分析与解由于a、b满足题设的不等式，则有 ，

整理得 ， 由此可知，从而 上式仅当时成立， ∴，即且， 选B。 说明运用此法是先对不等式进行平方去掉绝对值，然后求解。 六、图示法 例6 在式子中，由不同的x值代入，得到对应的值。在这些对应值中，最小的值是（） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 分析与解问题可变化为：在数轴上有四点A、B、C、D，其对应的值分别是－1、－2，－3、－4，求一点P，使最小（如图）。 由于是当P点在线段AD上取得最小值3，是当P在线段BC上取得最小值1，故的最小值是4。选D。 说明由于借助图形，巧妙地把问题在图形中表示出来，形象直观，便于思考，从而达到快捷解题之目的。

去绝对值符号的几种常用方法

去绝对值符号的几种常用方法 湖南祁东育贤中学 周友良 421600 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥?? -????≤?； |x |>c (0) 0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|或||||x a x b m -+-<(m 为正常数)类型不等式。对||||a x b c x d m +++>(或

整式中去绝对值号

整式中去绝对值号 对于||x ，当0x >>时，||x x =；当0x =>时，||0x =；当0x <<时，||x x =-。即： (0)||0 (0)(0) x x x x x x >??==??-??-==??--

绝对值大全(零点分段法、化简、最值)..

绝对值大全（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥?? -????≤?； |x |>c (0) 0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>?? ?≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或 ax b +<－c ；|ax b +|

去绝对值符号的几种常用方法

去绝对值符号的几种常用方法 周健良 绝对值是初中数学的一个难点.如何化去绝对值的符号呢下面介绍几种去绝对值符号的常用方法. 一、用绝对值的定义 例1 已知1＜a ＜3，求|1-a|+|3-a|的值. 分析 由1＜a 知1-a 是负数，由a ＜3知3-a 是正数，根据绝对值的定义可化去|1-a|+|3-a|的绝对值的符号. 解 ∵1＜a ＜3，∴1-a ＜0，3-a ＞0，故|1-a|+|3-a|= a -1+3-a=2. 例2 计算|2131-|+|3141-|+|4151-|+…+|91101-| 解 原式=10191514141313121-+???+-+-+-5 210121=-=. 评析 绝对值的定义也是去绝对值符号的一种方法.先判断绝对值符号里的代数式的值的符号，然后确定去绝对值符号后是原代数式本身还是它的相反数. 二、用绝对值的性质 例3 已知|a|=3，|b|=4，求|a +b|的值. 解 ∵|a|=3，|b|=4，∴a=±3，b=±4. ①当a=3,b=4时,|a+b|=3+4=7； ②当a=3,b=-4时,|a+b|=|3+（-4）|=1； ③当a=-3,b=4时,|a+b|=|-3+4|=1； ④当a=-3,b=4时,|a+b|=|（-3）+（-4）|=7. 例4 已知|a-1|+|ab-2|=0, 求()()()()()()2006200612211111+++???+++++++b a b a b a ab 的值. 解 ∵|a-1|+|ab-2|=0, ∴|a-1|=0,|ab-2|=0,解得a=1,b=2. ∴原式=200820071541431321211?+???+?+?+?+? =2008120071514141313121211-+???+-+-+-+-=2008 2007200811=-. 评析 互为相反数的绝对值相等，任何一个数的绝对值都是非负数.运用这些性质可去绝对值符号. 三、用数形结合 例5 数a 、b 、c 在数轴上对应的位置如图所示，化简|a+c|-|a|+|b|. 解 由图示可得：b ＜0，c ＞a ＞0，∴a+c ＞0. 原式= a+c-a+（-b ）= c-b. 评析 在数轴上，有关的点所对应的数的符号一目了然，并且知道其到原

高一数学-去绝对值符号的三种方法 精品

中间量法比较大小 我们学习了指、对数函数的增减性，并可利用这一性质比较两个指（对）数的大小.而对于不同底且不 同幂（真数）的两指（对）数的大小比较，不能直接利用指、对数性质来解.下面给同学们介绍一种方法——中间量法. 例1．比较315 3 )4 3()54(与-的大小. 解：由指数函数x x y y )43 ()54 (==与都是减函数知： .)4 3()54(,1)43()43(,1)54()54(3132031032 --∴== 例2．比较4.05.09.08.0与两数的大小. 解一：考查指数函数x y 9.0=与幂函数5.0x y =，根据这二函数的单调性，引入中间量.9.05.0 ∵;9.09.0,19.004.05.0 ∴ 又∵.9.08.0,9.08.00,05.05.05.0 ∴ ∴,9.09.08.04.05.05.0 即有.9.08.04.05.0 解二：引入中间量.8.04.0 ∵4.05.08.08.0,18.00 ∴； 又∵.9.08 .0,9.08.00,04.04.04.0 ∴ ∴.9.08.0.9.08.08.04.05.04.04.05.0 即有 注：对于不同底且不同幂的指数βαy x 与的大小比较，可以架起两座桥梁，沟通这二数 的大小.这二新数是.α βy x 或 例3．比较1.2log 2log 31.3与两数的大小. 解一：考查对数函数x y 1.3log =，根据对数函数的性质，引入中间量1.2log 1.3.

. 1.2log 2log ,1.2log 1.2log 2log ,1.2log 1.2log ,1.3log 3log 0,3 log 11.2log ,1.3log 11.2log ,1.2log 2log 31.331.31.331.31.21.21.231.21.31.31.3 ∴∴∴==又而 解二：引入中间量2log 3（留给同学们练习）. 注：对于n m b a log log 与的两个对数的大小比较，可以架起两座桥梁，沟通这二数的 大小关系.这两个新数是.log log n m a b 或

解绝对值不等式的几种常用方法以及变形

解绝对值不等式的几种常用方法以及变形 一. 前提: 0a >; 形式: ()f x a >; ()f x a <; (),()f x a f x a ≥≤等价转化为 ()()()f x a f x a f x a >?><-或; ()()f x a a f x a ()g x , ()()f x g x >型不等式 （1）︱f(x)︱g(x)? f(x)<-g(x)或f(x)>g(x) （3）︱f(x)︱>︱g(x)︱?f 2(x)>g 2(x); （4）︱f(x)︱<︱g(x)︱?f 2(x)＜g 2(x) 例2. (1) |x +1|>2－x ；

带绝对值符号的运算解读

带绝对值符号的运算 一、要理解数a 的绝对值的定义。在中学数学教科书中，数a 的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值。”学习这个定义应让理解，数a 的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a 本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。 二、要弄清楚怎样去求数a 的绝对值。从数a 的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。在这里要让学生重点理解的是，当a 是一个负数时，怎样去表示a 的相反数（可表示为“-a ”），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。 三、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。 1、对于形如︱a ︱的一类问题 只要根据绝对值的3个性质，判断出a 的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。当a>0时，︱a ︱=a (性质 1：正数的绝对值是它本身；当a=0 时︱a ︱=0 (性质 2：0的绝对值是0 ； 当 a<0 时；︱a ︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数。 2、对于形如︱a+b︱的一类问题 首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。 当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b =a +b (性质1：正数的绝对值是它本身；当 a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b =0 (性质 2：0的绝对值是0 ； 当 a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数。

3、对于形如︱a-b ︱的一类问题 同样，仍然要把a-b 看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。 但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a 与b 的大小即可（不论正负）。因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b ︱=（a-b ）= a-b，︱b-a ︱=（a-b ）= a-b 。 口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。