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三角函数值（附三角函数值表）（1）特殊角三角函数值
sin0=0
sin30=0.5
sin45=0.7071 二分之根号2
sin60=0.8660 二分之根号3
sin90=1
cos0=1
cos30=0.866025404 二分之根号3
cos45=0.707106781 二分之根号2
cos60=0.5
cos90=0
tan0=0
tan30=0.577350269 三分之根号3
tan45=1
tan60=1.732050808 根号3
tan90=无
cot0=无
cot30=1.732050808 根号3
cot45=1
cot60=0.577350269 三分之根号3
cot90=0
（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。（见下）
（3）锐角三角函数值的变化情况
（i）锐角三角函数值都是正值
（ii）当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，
0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,
当角度在0°<α<90°间变化时，
tanα>0, cotα>0.
“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。
附：三角函数值表
sin0=0,
sin15=（√6-√2)/4 ,
sin30=1/2,
sin45=√2/2,
sin60=√3/2,
sin75=(√6+√2)/2 ,
sin90=1,
sin105=√2/2*(√3/2+1/2)
sin120=√3/2
sin135=√2/2
sin150=1/2
sin165=（√6-√2)/4
sin180=0
sin270=-1
sin360=0
sin1=0.01745240643728351 sin2=0.03489949670250097 sin3=0.05233595624294383 sin4=0.0697564737441253 sin5=0.08715574274765816 sin6=0.10452846326765346
sin7=0.12186934340514747 sin8=0.13917310096006544 sin9=0.15643446504023087
sin10=0.17364817766693033 sin11=0.1908089953765448 sin12=0.20791169081775931
sin13=0.22495105434386497 sin14=0.24192189559966773 sin15=0.25881904510252074
sin16=0.27563735581699916 sin17=0.2923717047227367 sin18=0.3090169943749474
sin19=0.3255681544571567 sin20=0.3420201433256687 sin21=0.35836794954530027
sin22=0.374606593415912 sin23=0.3907311284892737 sin24=0.40673664307580015
sin25=0.42261826174069944 sin26=0.4383711467890774 sin27=0.45399049973954675
sin28=0.4694715627858908 sin29=0.48480962024633706 sin30=0.49999999999999994
sin31=0.5150380749100542 sin32=0.5299192642332049 sin33=0.544639035015027
sin34=0.5591929034707468 sin35=0.573576436351046 sin36=0.5877852522924731
sin37=0.6018150231520483 sin38=0.6156614753256583 sin39=0.6293203910498375
sin40=0.6427876096865392 sin41=0.6560590289905073 sin42=0.6691306063588582
sin43=0.6819983600624985 sin44=0.6946583704589972 sin45=0.7071067811865475 sin46=0.7193398003386511 sin47=0.7313537016191705 sin48=0.7431448254773941 sin49=0.7547095802227719 sin50=0.766044443118978 sin51=0.7771459614569708
sin52=0.7880107536067219 sin53=0.7986355100472928 sin54=0.8090169943749474 sin55=0.8191520442889918 sin56=0.8290375725550417 sin57=0.8386705679454239 sin58=0.848048096156426 sin59=0.8571673007021122 sin60=0.8660254037844386
sin61=0.8746197071393957 sin62=0.8829475928589269 sin63=0.8910065241883678 sin64=0.898794046299167 sin65=0.9063077870366499 sin66=0.9135454576426009
sin67=0.9205048534524404 sin68=0.9271838545667873 sin69=0.9335804264972017 sin70=0.9396926207859083 sin71=0.9455185755993167 sin72=0.9510565162951535 sin73=0.9563047559630354 sin74=0.9612616959383189 sin75=0.9659258262890683 sin76=0.9702957262759965 sin77=0.9743700647852352 sin78=0.9781476007338057 sin79=0.981627183447664 sin80=0.984807753012208 sin81=0.9876883405951378
sin82=0.9902680687415704 sin83=0.992546151641322 sin84=0.9945218953682733
sin85=0.9961946980917455 sin86=0.9975640502598242 sin87=0.9986295347545738 sin88=0.9993908270190958 sin89=0.9998476951563913
sin90=1
cos1=0.9998476951563913 cos2=0.9993908270190958 cos3=0.9986295347545738
cos4=0.9975640502598242 cos5=0.9961946980917455 cos6=0.9945218953682733
cos7=0.992546151641322 cos8=0.9902680687415704 cos9=0.9876883405951378
cos10=0.984807753012208 cos11=0.981627183447664 cos12=0.9781476007338057
cos13=0.9743700647852352 cos14=0.9702957262759965 cos15=0.9659258262890683 cos16=0.9612616959383189 cos17=0.9563047559630355 cos18=0.9510565162951535 cos19=0.9455185755993168 cos20=0.9396926207859084 cos21=0.9335804264972017 cos22=0.9271838545667874 cos23=0.9205048534524404 cos24=0.9135454576426009 cos25=0.9063077870366499 cos26=0.898794046299167 cos27=0.8910065241883679
cos28=0.882947592858927 cos29=0.8746197071393957 cos30=0.8660254037844387
cos31=0.8571673007021123 cos32=0.848048096156426 cos33=0.838670567945424
cos34=0.8290375725550417 cos35=0.8191520442889918 cos36=0.8090169943749474 cos37=0.7986355100472928 cos38=0.7880107536067219 cos39=0.7771459614569709 cos40=0.766044443118978 cos41=0.754709580222772 cos42=0.7431448254773942
cos43=0.7313537016191705 cos44=0.7193398003386512 cos45=0.7071067811865476 cos46=0.6946583704589974 cos47=0.6819983600624985 cos48=0.6691306063588582 cos49=0.6560590289905074 cos50=0.6427876096865394 cos51=0.6293203910498375 cos52=0.6156614753256583 cos53=0.6018150231520484 cos54=0.5877852522924731 cos55=0.5735764363510462 cos56=0.5591929034707468 cos57=0.5446390350150272 cos58=0.5299192642332049 cos59=0.5150380749100544 cos60=0.5000000000000001 cos61=0.4848096202463371 cos62=0.46947156278589086 cos63=0.4539904997395468 cos64=0.43837114678907746 cos65=0.42261826174069944 cos66=0.4067366430758004 cos67=0.3907311284892737 cos68=0.3746065934159122 cos69=0.35836794954530015 cos70=0.3420201433256688 cos71=0.32556815445715675 cos72=0.30901699437494745 cos73=0.29237170472273677 cos74=0.27563735581699916 cos75=0.25881904510252074 cos76=0.24192189559966767 cos77=0.22495105434386514 cos78=0.20791169081775923
cos79=0.19080899537654491 cos80=0.17364817766693041 cos81=0.15643446504023092 cos82=0.13917310096006546 cos83=0.12186934340514749 cos84=0.10452846326765346 cos85=0.08715574274765836 cos86=0.06975647374412523 cos87=0.052335956242943966 cos88=0.03489949670250108 cos89=0.0174524064372836
cos90=0
tan1=0.017455064928217585 tan2=0.03492076949174773 tan3=0.052407779283041196 tan4=0.06992681194351041 tan5=0.08748866352592401 tan6=0.10510423526567646
tan7=0.1227845609029046 tan8=0.14054083470239145 tan9=0.15838444032453627
tan10=0.17632698070846497 tan11=0.19438030913771848 tan12=0.2125565616700221 tan13=0.2308681911255631 tan14=0.24932800284318068 tan15=0.2679491924311227 tan16=0.2867453857588079 tan17=0.30573068145866033 tan18=0.3249196962329063 tan19=0.34432761328966527 tan20=0.36397023426620234 tan21=0.3838640350354158 tan22=0.4040262258351568 tan23=0.4244748162096047 tan24=0.4452286853085361
tan25=0.4663076581549986 tan26=0.4877325885658614 tan27=0.5095254494944288
tan28=0.5317094316614788 tan29=0.554309051452769 tan30=0.5773502691896257
tan31=0.6008606190275604 tan32=0.6248693519093275 tan33=0.6494075931975104
tan34=0.6745085168424265 tan35=0.7002075382097097 tan36=0.7265425280053609
tan37=0.7535540501027942 tan38=0.7812856265067174 tan39=0.8097840331950072
tan40=0.8390996311772799 tan41=0.8692867378162267 tan42=0.9004040442978399
tan43=0.9325150861376618 tan44=0.9656887748070739 tan45=0.9999999999999999
tan46=1.0355303137905693 tan47=1.0723687100246826 tan48=1.1106125148291927
tan49=1.1503684072210092 tan50=1.19175359259421 tan51=1.234897156535051
tan52=1.2799416321930785 tan53=1.3270448216204098 tan54=1.3763819204711733
tan55=1.4281480067421144 tan56=1.4825609685127403 tan57=1.5398649638145827
tan58=1.6003345290410506 tan59=1.6642794823505173 tan60=1.7320508075688767
tan61=1.8040477552714235 tan62=1.8807264653463318 tan63=1.9626105055051503
tan64=2.050303841579296 tan65=2.1445069205095586 tan66=2.246036773904215
tan67=2.355852365823753 tan68=2.4750868534162946 tan69=2.6050890646938023
tan70=2.7474774194546216 tan71=2.904210877675822 tan72=3.0776835371752526
tan73=3.2708526184841404 tan74=3.4874144438409087 tan75=3.7320508075688776
tan76=4.0107809335358455 tan77=4.331475874284153 tan78=4.704630109478456
tan79=5.144554015970307 tan80=5.671281819617707 tan81=6.313751514675041
tan82=7.115369722384207 tan83=8.144346427974593 tan84=9.514364454222587
tan85=11.43005230276132 tan86=14.300666256711942 tan87=19.08113668772816
tan88=28.636253282915515 tan89=57.289961630759144
tan90=无取值
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．
4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3
角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 0 1 tan √3/3 1 √3 -√3 -1 -√3/3 1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=2 1 ，sin45°=cos45°=22， tan30°=cot60°=33， tan 45°=cot45°=1 正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y 2、列表法： 说明：正弦值随角度变化，即0? 30? 45? 60? 90?变化；值从0 2 1 22 23 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3
第一章直角三角形的边角关系 2. 30°，45°，60°角的三角函数值 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：本节课前学生已经学习了正切、正弦、余弦的定义。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些统计活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数据收集和处理的必要性和作用，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 本节课教学目标如下： 知识与技能： 1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义。 2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算 3．能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小 过程与方法： 经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力。 情感态度与价值观： 培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。 教学重点： 能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小 教学难点：三角函数值的应用 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：复习巩固、活动探究、讲解新课、知识应用、
A C B b a c 小结与拓展、作业布置。 第一环节 复习巩固 活动内容：如图所示 在 Rt △ABC 中，∠C=90°。 （1）a 、b 、c 三者之间的关系是 ， ∠A+∠B= 。 （2）sinA= ，cosA= ， tanA= 。 sinB= ，cosB= ，tanB= 。 （3）若A=30°，则 c a = 。 活动目的：复习巩固上一节课的内容 第二环节 活动探究 活动内容： [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度. 我们组设计的方案如下： 让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE=AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可. 我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°
三角函数值表一常用三角函数值:
二反三角函数值
同角三角函数的基本关系式 1,倒数关系: 1csc sin =?x x 1sec cos =?x x 1cot tan =?x x 2,商数关系: x x x cos sin tan = x x x sin cos cot = 3,平方关系 1cos sin 22=+x x x x 22sec tan 1=+ x x 22csc cot 1=+ 倍角公式:
x x x cos sin 22sin = 2 cos 2sin 2sin x x x = x x x 22sin cos 2cos -= 2 sin 2cos cos 2 2 x x x -= 1cos 22 -=x 12 cos 22 -=x x 2 sin 21-= 2 sin 212 x -= x x x 2tan 1tan 22tan -= 2 tan 12tan 2tan 2x x x -= 半角公式: 2cos 12sin x x -±= 22cos 1sin 2x x -= 2cos 12cos x x +±= 2 2cos 1cos 2x x += x x x x x x x cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan +=-=+-±= 万能公式: 2 tan 12tan 2sin 2x x x +=
2 tan 12tan 1cos 22 x x x +-= 2 tan 12tan 2tan 2x x x -= 奉送直线有关 1,斜截式 斜率K 和在Y 轴的截距是b b kx y += 2点截式 点()111,y x P 和斜率k ()11x x k y y -=- 3,两点式 点()()222111,,y x P y x P 和 1 21 121x x x x y y y y --=-- 4,截距式 在x 轴上截距是a 1=+b x a x 在y 轴上截距是b 两条直线平行的充要条件:21k k = 两条直线垂直的充要条件:121-=?k k 圆: 圆心在圆点,半径为r 的圆的方程是: 222r y x =+ 圆心在点()b a C ,,半径为r 的圆的方程是: ()()22 2 r b y a x =-+-
正切函数值表 角度正弦sin 余弦cos 正切tan 0 0 1 1 0.017452406 0.999847695 0.017455065 2 0.034899497 0.999390827 0.034921 3 0.052335956 0.998629535 0.052407779 4 0.069756474 0.9975640 5 0.069926812 5 0.087155743 0.996194698 0.087488664 6 0.104528463 0.994521895 0.105104235 7 0.121869343 0.992546152 0.122784561 8 0.139173101 0.990268069 0.140540835 9 0.156434465 0.987688341 0.15838444 10 0.173648178 0.984807753 0.176326981 11 0.190808995 0.981627183 0.194380309 12 0.207911691 0.978147601 0.212556562 13 0.224951054 0.974370065 0.230868191 14 0.241921896 0.970295726 0.249328003 15 0.258819045 0.965925826 0.267949192 16 0.275637356 0.961261696 0.286745386 17 0.292371705 0.956304756 0.305730681 18 0.309016994 0.951056516 0.324919696 19 0.325568154 0.945518576 0.344327613 20 0.342020143 0.939692621 0.363970234 21 0.35836795 0.933580426 0.383864035 22 0.374606593 0.927183855 0.404026226 23 0.390731128 0.920504853 0.424474816 24 0.406736643 0.913545458 0.445228685 25 0.422618262 0.906307787 0.466307658 26 0.438371147 0.898794046 0.487732589 27 0.4539905 0.891006524 0.509525449 28 0.469471563 0.882947593 0.531709432 29 0.48480962 0.874619707 0.554309051 30 0.5 0.866025404 0.577350269 31 0.515038075 0.857167301 0.600860619 32 0.529919264 0.848048096 0.624869352 33 0.544639035 0.838670568 0.649407593 34 0.559192903 0.829037573 0.674508517 35 0.573576436 0.819152044 0.700207538 36 0.587785252 0.809016994 0.726542528 37 0.601815023 0.79863551 0.75355405 38 0.615661475 0.788010754 0.781285627 39 0.629320391 0.777145961 0.809784033
特殊角及计算 归纳结果 0° 3０° 45° 60° 90° si ｎＡ cosA ta ｎA c ｏtA 当锐角越来越大时， 的正弦值越来______＿____,的余弦值越来_＿___＿_____。 当锐角α越来越大时， α的正切值越来__＿__＿＿___＿，α的余切值越来___________。 1：求下列各式的值. (1）cos 2 6０°+sin 2 60°． （2)cos 45sin 45? ? -t ａn45°． 2:（１)如图（１),在Rt △ＡBC 中，∠Ｃ=90，6,B Ｃ3,求∠A 的度数． （2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3,求a. 一、应用新知: 1。（1）(ｓi ｎ60°－tan30°)cos45°= 。（2)若0sin 23=-α，则锐角α＝ ． 2。在△ＡB Ｃ中，∠Ａ=７5°，2c ｏsB=2,则ta ｎC= 。
３。求下列各式的值． （１）o 45cos 230sin 2-? （2）ta ｎ３０°-si ｎ 60°·ｓｉｎ３0° （3)c ｏｓ45°+3t ａn30°+c ｏs30°＋2sin ６0°—2ｔａn4 ５° （4)?+?+? +?- ?45sin 30cos 30tan 1 30sin 145cos 222 4。求适合下列条件的锐角. （１）2 1 cos =α??（2)33tan =α (3)2 2 2sin = α? （４）33)16cos(6=- α (5） （6） ６。如图,在△ABC 中，已知ＢC ＝１+ ,∠Ｂ=60°,∠C=４5°，求AB 的长。 ７．在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，且有 ,则△ABC 的 形状是_＿____＿＿________. |tanB-3|+(2sinA-3)2=002sin 2=-α01tan 3=-α 3
三角函数特殊值 1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°= 21 sin45°=cos45°=2 2 tan30°=cot60°=3 3 tan 45°=cot45°=1 2 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3
说明：正弦值随角度变化，即0? 30? 45? 60? 90?变化；值从0 2 3 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 巧记特殊角的三角函数值 初学三角函数，记忆特殊角三角函数值易错易混。若在理解掌握的基础上，经过变形，使其呈现某种规律，再配以歌诀，则可浅显易记，触目成诵。 仔细观察表1，你会发现重要的规律。
求三角函数值域及最值的常用方法 （一）一次函数型 或利用：=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512 y x π =-- +，x x y cos sin = （3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 ． （4）函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ （二）二次函数型 利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。 （2）函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43． （3）.当2 0π < （三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知，此函数的值域是33 [,]33 - 。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333 y - ≤≤，故值域是33 [,]33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2 4120y =-≥△，3333 y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+， x Q P y O 常用三角函数公式及口诀 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 规律总结 上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值， - 1 - 求三角函数值的方法 一、知识点拨： 1、定位角：写出三角形函数。如：tan ∠OAE ＝OE AE 2、两条思路： ⑴ 直接找这个角所在的直角三角形 ⑵ 将这个角转到与它相等的另一个三角形中 3、两种方法： ⑴ 直接在这个直角三角形中求比值。 ⑵ 利用相似三角形求比值。 二、精选题析： 例1、已知，如图，BD 为⊙O 的直径，且BD ＝8，DM 是圆周的14 ，A 为DM 上任意一点，取AC ＝AB 交BD 的延长线于点C ，连结OA ，并作出AE ⊥BD 于E ，设AB ＝x ，CD ＝y 。 ⑴ 写出y 关于x 的函数解析式； ⑵ 当x 为何值时，CA 是⊙O 的切线； ⑶ 当CA 与⊙O 相切时，求tan ∠OAF 的值。 例2、如图，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ， 交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E 。 ⑴ 求证：直线EF 是⊙O 的切线； ⑵ 求sin ∠E 的值。 例3、20、等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，AD=BC ，延长AB 到E ，使BE=CD ，连结CE （1）求证：CE=CA ；（5分） （2）上述条件下，若AF ⊥CE 于点F ，且AF 平分∠DAE ， 5 2AE CD ，求sin ∠CAF 的值。（5分） B A B E C D A B E C D F - 2 - 例4、如图，已知A （5，-4），⊙A 与x 轴分别相交于点B 、C ，⊙A 与y 轴相且于点D ， （1）求证过D 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）连结BD ，求tan ∠BDC 的值； （3）点P 是抛物线顶点，线段DE 是直径，直线PC 与直线DE 相交于点F ，∠PFD 的平分线FG 交DC 于G ，求sin ∠CGF 例5、如图，抛物线y ＝2ax bx c ＋＋经过A （1,0）、B （5，0）两点，最低点的纵坐标为－4，与y 轴交于 点C 。 ⑴ 求该抛物线的函数解析式； ⑵ 如图9-1若△ABC 的外接圆⊙O 1交y 轴不同于点C 的 点D ，且CD ＝AB ，求tan ∠ACB 的值。 ⑶ 如图9-2，设⊙O 1的弦DE ∥x 轴，在x 轴上是否存 在点F ，使△OCF 与△CDE 相似？若存在，求出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由。 x 三角函数值表 三角函数 单位圆（及半径的圆）在三角函数的学习中具有举足轻重的地位。我们可以利用单位圆来定义三角函数、求解三角函数问题。在解决三角函数问题的过程中，单位圆是一个非常有用的工具。 设角的终边与单位圆（此处是以原点为圆心）交于点,则有 正弦：，余弦： 正切：，余切： 正割：，余割： （二）反三角函数 反三角函数是一种基本初等函数，它包括反正弦、反余弦、反正切、反余切、反正割、反余割，他们各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为时的角。例如，当时，；当时，，具体如，。 反三角函地并不能狭义地理解为三角函数的反函数。三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数对称。 三、同角三角函数基本关系 1.倒数关系： 2.商的关系： 3.平方关系： 四、三角函数的诱导公式 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.此处仅列出了几个易混的诱导公式，过于常规的就没有列出。个人认为，只需记住与、、的三角函数值关系，便可推出所有的诱导公式。 1.任意角与的三角函数值之间的关系： 2.任意角α与-α的三角函数值之间的关系： 3.任意角与的三角函数值之间的关系： 4.任意角与的的三角函数值之间的关系： 五、三角函数的和差角公式 六、倍角公式和半角公式 1.倍角公式 变形： 2.三倍角公式 3.半角公式（也叫降幂公式） 4.升幂公式 七、积化和差与和差化积公式 1.积化和差公式 2.和化积公式 八、万能公式 万能公式是将和均用表示。 九、辅助角公式 得到辅助角公式： 其中与。 又（） 从而得到三角函数辅角公式：，；用余弦表示则为：，。 例如，，在实数域上，最大值为，最小值为十、三角函数和反三角函数的导数 十一、反三角函数相关公式 十二、其他常用结论 方法12 已知角求三角函数值 一、单选题 1．等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形.例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，且每个黄金三角形都是顶角为36°的等腰三角形，如图所示：在黄金角形ABC 中， BC AC = ，根据这些信息，可求得cos144?的值为（ ） A ． 14 - B ．1 2 - C ．1 4 +- D ．38 +- 【答案】C 【分析】 由已知求得72ACB ∠=?，可得cos72?的值，再由二倍角的余弦及三角函数的诱导公式求解cos144?． 【解析】 由图可知72ACB ∠=? ，且12cos 72BC AC ?== 所以21cos1442cos 7214 ?=?-=- 故选:C . 2．已知sin()cos(2) ()cos()tan x x f x x x πππ--= --，则 313f π?? - ??? 的值为（ ） A ． 12 B ． 13 C ．12 - D ．13 - 【答案】C 【分析】 利用诱导公式先化简整理函数()f x ，再利用诱导公式求值即可. 【解析】 由sin()cos(2) ()cos()tan x x f x x x πππ--= --， 利用诱导公式得： sin cos ()cos cos tan x x f x x x x = =--， 所以31311cos cos 103332f π πππ????? ?-=--=---=- ? ? ? ?????? ； 故选：C. 3．sin160cos10cos20sin10??+??=（ ） A ． B ．12 - C ． 12 D 【答案】C 【分析】 利用诱导公式将160化为20，再根据两角和的正弦公式可得结果. 【解析】 1sin160cos10cos 20sin10sin 20cos10cos 20sin10sin 302 ??+??=??+??== 。 故选：C 【小结】 利用诱导公式将160化为20是解题关键. 4． sin15cos15 sin15cos15 +-的值是（ ） A ． B C D 【答案】A 【分析】 高中数学常用公式一常用三角函数值: 二反三角函数值 同角三角函数的基本关系式 1,倒数关系: 1c s c s i n =?x x 1s e c c o s =?x x 1c o t t a n =?x x 2,商数关系: x x x c o s s i n t a n = x x x s i n c o s c o t = 3,平方关系 1c o s s i n 2 2 =+x x x x 2 2 s e c t a n 1=+ x x 2 2c s c c o t 1=+ 倍角公式: x x x c o s s i n 22s i n = 2 c o s 2 s i n 2s i n x x x = x x x 2 2s i n c o s 2c o s -= 2 s i n 2 c o s c o s 2 2 x x x -= 1c o s 22 -=x 12 c o s 22 -=x x 2 s i n 21-= 2 s i n 212 x -= x x x 2 t a n 1t a n 22t a n -= 2 t a n 12 t a n 2t a n 2 x x x -= 半角公式: 2 c o s 12s i n x x -± = 2 2c o s 1s i n 2 x x -= 2c o s 12c o s x x +±= 22c o s 1c o s 2 x x += x x x x x x x c o s 1s i n s i n c o s 1c o s 1c o s 12t a n +=-=+-±= 万能公式: 2 t a n 12 t a n 2s i n 2 x x x += 2 t a n 12t a n 1c o s 2 2 x x x +-= 角度 sin cos tan cot sec csc 函数 0 0 1 0 \ 1 \ 15 30 2 45 1 1 60 2 75 90 1 0 \ 0 \ 1 105 120 -2 135 -1 -1 150 2 165 -1 \ 180 0 -1 0 \ 195 210 -2 225 1 1 240 -2 255 0 \ -1 270 -1 0 \ 285 300 2 315 -1 -1 330 -2 345 常用三角函数 角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 0 1 tan √3/3 1 √3 -√3 -1 -√3/3 只想上传这一个表 下面的都是无用的话 不用看了。 1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°= 2 1 sin45°=cos45°= 2 2 tan30°=cot60°=3 3 tan 45°=cot45°=1 2、列表法： 值 角 函 数 0° 30° 45° 60° 90° sin α 20 21 22 23 24 cos α 2 4 2 3 2 2 2 1 2 tan α 3 3 1或 3 9 √3或 3 27 不存在 cot α 不存在 √3或 3 27 1或3 9 3 3 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3 利用计算器求三角函数值 复习引入 教师讲解：通过上面几节的学习我们知道，当锐角A是30°、45°或60?°等特殊角时，可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果锐角A?不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值． 探究新知 （一）已知角度求函数值 教师讲解：例如求sin1818，得到结果sin18°=0.309016994． 又如求tan30°36′，?利用键，并输入角的度、分值，就可以得到答案0.591398351． 利用计算器求锐角的三角函数值，或已知锐角三角函数值求相应的锐角时，不同的计算器操作步骤有所不同． 因为30°36′=30.6°，所以也可以利用30.6，?同样得到答案0.591398351． （二）已知函数值，求锐角 教师讲解：如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角．例如，已知sinA=0.5018；用计算器求锐角A可以按照下面方法操作： 依次按键0.5018，得到∠A=30.11915867°（如果锐角A精确到1°，则结果为30°）． 还可以利用A=30°07′08．97″（如果锐角A?精确到1′，则结果为30°8′，精确到1″的结果为30°7′9″）． 使用锐角三角函数表，也可以查得锐角的三角函数值，或根据锐角三角函 数值求相应的锐角． 教师提出：怎样验算求出的∠A=30°7′9″是否正确？让学生思考后回答，?然后教师总结：可以再用计算器求30°7′9″的正弦值，如果它等于0.5018，?则我们原先的计算结果就是正确的． 随堂练习课本第84页练习第1、2题． 课时总结 已知角度求正弦值用已知正弦值求小于90°的锐角用 ?对于余弦与正切也有相类似的求法． 教后反思 _______________________________________________________________ __________ _______________________________________________________________ ______________ 第4课时作业设计 课本练习 做课本第85页习题28．1复习巩固第4题，第5题． 双基与中考 （本练习除了作为本课时的课外作业之外，余下的部分作为下一课时（习题课）学生的课堂作业，学生可以自己根据具体情况划分课内、课外作业的份量） 一、选择题． 1．如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2， AC?的长是（）． 三角函数值（附三角函数值表） （1）特殊角三角函数值 sin0=0 sin30=0.5 sin45=0.7071 二分之根号2 sin60=0.8660 二分之根号3 sin90=1 cos0=1 cos30=0.866025404 二分之根号3 cos45=0.707106781 二分之根号2 cos60=0.5 cos90=0 tan0=0 tan30=0.577350269 三分之根号3 tan45=1 tan60=1.732050808 根号3 tan90=无 cot0=无 cot30=1.732050808 根号3 cot45=1 cot60=0.577350269 三分之根号3 cot90=0 （2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。（见下） （3）锐角三角函数值的变化情况 （i）锐角三角函数值都是正值 （ii）当角度在0°～90°间变化时， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时， 0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0, 当角度在0°<α<90°间变化时， tanα>0, cotα>0. “锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无 三角函数表 第（1）页 共（11）页 角度正弦值余弦值正切值余切值角度正弦值余弦值正切值余切值00.0000 1.00000.0000不存在 0.10.0017 1.00000.0017572.957 4.10.07150.99740.071713.9507 0.20.0035 1.00000.0035286.478 4.20.07320.99730.073413.6174 0.30.0052 1.00000.0052190.984 4.30.07500.99720.075213.2996 0.40.0070 1.00000.0070143.237 4.40.07670.99710.076912.9962 0.50.0087 1.00000.0087114.589 4.50.07850.99690.078712.7062 0.60.01050.99990.010595.4895 4.60.08020.99680.080512.4288 0.70.01220.99990.012281.8470 4.70.08190.99660.082212.1632 0.80.01400.99990.014071.6151 4.80.08370.99650.084011.9087 0.90.01570.99990.015763.6567 4.90.08540.99630.085711.6645 10.01750.99980.017557.290050.08720.99620.087511.4301 1.10.01920.99980.019252.0807 5.10.08890.99600.089211.2048 1.20.02090.99980.020947.7395 5.20.09060.99590.091010.9882 1.30.02270.99970.022744.0661 5.30.09240.99570.092810.7797 1.40.02440.99970.024440.9174 5.40.09410.99560.094510.5789 1.50.02620.99970.026238.1885 5.50.09580.99540.096310.3854 1.60.02790.99960.027935.8006 5.60.09760.99520.098110.1988 1.70.02970.99960.029733.6935 5.70.09930.99510.099810.0187 1.80.03140.99950.031431.8205 5.80.10110.99490.10169.8448 1.90.03320.99950.033230.1446 5.90.10280.99470.10339.6768 20.03490.99940.034928.636360.10450.99450.10519.5144 2.10.03660.99930.036727.2715 6.10.10630.99430.10699.3572 2.20.03840.99930.038426.0307 6.20.10800.99420.10869.2052 2.30.04010.99920.040224.8978 6.30.10970.99400.11049.0579 2.40.04190.99910.041923.8593 6.40.11150.99380.11228.9152 2.50.04360.99900.043722.9038 6.50.11320.99360.11398.7769 2.60.04540.99900.045422.0217 6.60.11490.99340.11578.6427 2.70.04710.99890.047221.2049 6.70.11670.99320.11758.5126 2.80.04880.99880.048920.4465 6.80.11840.99300.11928.3863 2.90.05060.99870.050719.7403 6.90.12010.99280.12108.2636 30.05230.99860.052419.081170.12190.99250.12288.1443 3.10.05410.99850.054218.46457.10.12360.99230.12468.0285 3.20.05580.99840.055917.88637.20.12530.99210.12637.9158 3.30.05760.99830.057717.34327.30.12710.99190.12817.8062 3.40.05930.99820.059416.83197.40.12880.99170.12997.6996 3.50.06100.99810.061216.34997.50.13050.99140.13177.5958 3.60.06280.99800.062915.89457.60.13230.99120.13347.4947 3.70.06450.99790.064715.46387.70.13400.99100.13527.3962 3.80.06630.99780.066415.05577.80.13570.99070.13707.3002 3.90.06800.99770.068214.66857.90.13740.99050.13887.2066 40.06980.99760.069914.300780.13920.99030.14057.1154 A 30°、45°、60°角的三角函数值 学习目标 1．理解并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，建立起数与形之间的联系 2.会计算含有特殊角的三角函数的混合运算。 3.会由一个特殊锐角的三角函数值求它所对应的角度 教学重难点 ：理解并熟记30°、45°、60°角的三角函数值， 会计算含有特殊角的三角函数的混合运算 一预习检测 1在Rt △ABC 中，∠C=90° Sin A = cos B = tan 2.如上图若∠C=90°∠A=60°则 Sin A = cos B = tan B= 4.计算 （1）Sin 60°? Sin 45°-cos 30°?cos 45° （2）0 060 cos 160sin 30tan -+ 二例题精讲 例1、求下列各式的值 (1) Sin 30°? cos 60°+cos 30°?sin60° （2）0 00 045cos 45sin 1 30tan 60tan +-? 例2、求适合下列条件的锐角α （1）01sin 2=-α（2）12 1 cos 2=+α（3）3tan 3=α 例3 计算 0 2 2 30cos 30sin + 三课堂练习 1. sin60°的值等于（ ）A 21 B 22 C 2 3 D 1 2.在△ABC 中，∠C=90°若∠B=2∠A 则cos B 的值等于 3.在△ABC 中∠A 为锐角，且0< tan A<1则∠A 的范围是 4已知2 1 sin - A +0)2cos 2(2=- B 则△AB C 是 三角形。 5求下列各式的值 （1） Sin 30°+ 2cos 60° （2） 0 0060tan 30 cos 60cos 45tan ?- （3）0 2 2 60cos 60sin + （4）001 )23(45sin 2)2 1(9-+--+- （5）122 1 )14.3(60tan 2) 2 1 (002 + ---+--π 6求适合下列条件的锐角α （1）2 2 sin = α （2） 3)10cos(20=+α 7如图∠a 的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上，另一边经p(2, 32),求∠a 的三个三角函数值 8在△ABC 中∠A=30°∠ABC= 105°BD 垂直AC 于D, 且BD=4，试求△ABC 的周长 9挑战自己 如图所示，小明将一边长为6的正方形纸片折叠成领带形状， 其中∠D ‘ CF= 30°,B 点落在CF 边上的B ’ 处，则AB ’ 的长是（ ） A. 621223- B 62 1223+ C.26- D.33- 四检测 1. Sin 30°? cos 45°+cos 30°? sin 45° 2. 2360sin 2)2 1(1201 -+ --+- 3. 求适合下列条件的锐角α.01tan 3=-α C常用三角函数公式和口诀
求三角函数值的方法
三角函数值表
方法12：已知角求三角函数值
常用三角函数值
三角函数值表及记忆方法
利用计算器求三角函数值
三角函数值(附三角函数值表)
三角函数值表
三角函数值计算
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