GMM 估计中文讲义2
线性模型
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2i i i i i i y x x x βεββε=+'''=++ ()0i i E x ε=
1i x 是1k ?，2i x 是1r ?，l k r =+。如果没有其他约束，β的渐进有效估计量是OLS 估计。现在假设给定一个信息20β=，我们可以把模型写为，
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i i i y x βε'=+，()0i i E x ε= 如何估计1β？一种就是OLS 估计。然而这种方法不是必然有效的，当在()0i i E x ε=方程中有l 个约束，然而1β的维数k l <，这种情况称为过渡识别。这里有r l k =-比自由参数多的矩约束，我们称r 是过渡约束识别个数。
让(,,,)g y z x β是1l ?个方程，参数β为1k ?，且k l <，有 0(,,,)0i i i Eg y z x β= （1） 0β是β的真实值，在上面线性模型中有1(,,)()g y x x y x ββ'=-。在计量经济学里，这类模型称为矩条件模型。在统计学中，这称为估计方程。 另外，我们还有一个线性矩条件模型，
1i i i y z βε'=+，()0i i E x ε=
i z 和i x 的维数都是1k ?，且有1l ?，k l <，如果k l =则模型是恰好识别，否则是过渡识别。变量i z 是i x 的一部分或是i x 的函数。模型（1）可以设置为， 0(,,,)()i i i g y z x x y z ββ'=- （2）
GMM 估计
模型（2）样本均值为
11111()(())()n n n i i i i i i n n n
g g x y z X y X Z ββββ==='''=-=-∑∑ （3） β的矩估计量就是设置()0n g β=。对于k l <个方程大于参数的情形，GMM 估计思想就是设置()n g β近可能的接近于零。
对于l l ?加权矩阵W 0n >，让
()()W ()n n n n n J g g βββ'=? 这是向量()n g β长度的非负测度。例如，如果W n I =，则有 2()()()()n n n n n n J g g g ββββ'=?=?。
GMM 估计就是最小化()n J β，即定义arg ()GMM n J βββ=。
注意，如果k l =，则()0?n g β
=，GMM 估计就是矩估计方法。GMM 估计的一阶条件为 ()11?2()W ()2W ()?0n n n n n Z X X y Z n n J g g ββββββ??????'''=?=-- ? ???????
= ()?2()W ()2()W n n
Z X X Z Z X X y β''''= 则β的GMM 估计为
()1?(()W ())()W GMM n n Z X X Z Z X X y β-''''=
GMM 估计量的分布
假设W W>0p n ??→，令)(i i Q E x z '= 和 2))((i i i i i E E x x g g ε=''Ω=
这里i i i g x ε=，则11W W p n Z X X Z Q Q n n ????'''??→ ? ?????
11W W (0,)p n Z X X Q N n n ε????'''??→Ω ? ?????
定理1：
?)(0,)d N V ββ-??→ 11
()()()V Q WQ Q W WQ Q WQ --'''=Ω
为了使V 最小，最优加权矩阵10W -=Ω（证明留作练习）。这产生了最有效的GMM 估计量： 111?()GMM Z X X Z Z X X y β---''''=ΩΩ
这时，我们有定理2：对于有效的GMM 11?)(0,())d
N Q Q ββ--'-??→Ω 实际上10W -=Ω是未知的，但它能一致估计。对于任何0W W p
n ??→，我们仍然称?β是有效的GMM 估计量，且有相同的渐进分布。
有效即意味着GMM 估计量有最小的渐进方差。当我们只考虑加权矩阵W n ，这是弱有