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东南大学2014学年工科数学分析（期中）考试卷
课程名称 工科数学分析（期中） 考试学期 09-10-3 得分
适用专业 选学工科数分的各专业
考试形式
闭卷
考试时间长度 120分钟
一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
1．由方程sin()0xyz z π+=确定的隐函数(,)z z x y =在点(1,0,1)处的全微分d z = ； 2．设ln 1i 3
z π
=+，则Re z = ，Im z = ；
3．曲线t z t y t x =-==,cos 1,sin 在点1,1,
2π??
??
?
处的法平面方程为 ；
4．设曲线C 为球面2222(0)x y z a a ++=>与平面y x =的交线，则曲线积分
(
)
222d C
y z z s ++?的值等于 ；
5．设曲面:1S x y z ++=，则
()d S
x y S +=?? ．
二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）
6．已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=，则点P 为 [ ] (A) (1,1,2)- (B) (1,1,2)- (C) (1,1,2) (D) (1,1,2)-- 7．设函数(,)f x y 连续,则二次积分1sin 2
d (,)d x
x f x y y π
π
??
等于 [ ]
（A ）10
arcsin d (,)d y
y f x y x π
π
+?? （B ）
1
0arcsin d (,)d y
y f x y x π
π
-??
（C ）
1arctan 0
2
d (,)d y
y f x y x ππ
+?
? （D ）1arctan 0
2
d (,)d y
y f x y x ππ
-??
8.设L 是摆线sin 1cos x t t
y t =-
??
=-?
上从0t =到t π=的弧段，则L 的形心的横坐标为 [ ]
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(A)1 (B)
43 (C) 34 (D)2
π 9．设函数22222
22,0(,)0,0x y x y f x y x y x y ?+≠?=+??+=?
，则(,)f x y 在点(0,0)O 处 [ ]
(A) 不存在极限 (B) 不连续
(C) 可微 (D) 沿所有方向的方向导数都存在 三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分)
10．设2
(2,)z f x y xy =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求2z
x y
???.
11．计算二重积分(321)d D
x y σ-+??
，其中{}
22
(,)221D x y x y x y =+≤+-.
12．设调和函数(,)e
cos()x y
u x y x y y -=++,求(,)u x y 的共轭调和函数(,)v x y ，并求
解析函数()(,)i (,)f z u x y v x y =+表达式(自变量单独用z 表示)，且满足(0)1i f =+.
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13．计算d S
I z S =??，其中S
是锥面z =
被柱面22z x =所截下的有限部分.
14．计算
2
d d d d S
x y z z x y ∧+∧??，
其中S
为z =与1z =所围成的立体的表面，
取外侧.
四（15）（本题满分8分）求()e
sin ()d (e cos )d x
x L
I y b x y x y ax y =
-++-?，其中,a b
均为正常数，L 为从点(2,0)A a
沿曲线y =(0,0)O 的弧.
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五（16）（本题满分10分）平面1x y z ++=被抛物面22z x y =+截得一椭圆， （1）求该椭圆到坐标原点的最长距离和最短距离；（2）求该椭圆所围平面区域的面积.
六（17）（本题满分6分）设(,)y f x y 在点00(,)x y 的某邻域内存在且在点00(,)x y 处连续，又00(,)x f x y 存在，证明：(,)f x y 在点00(,)x y 处可微.