电磁场复习题（2010.06）
一、单项选择题(每小题2分，共20分)。
1、导体在静电平衡下，其体内电荷密度( B )。
A.为常数
B.为零
C.不为零
D.不确定
2、两个点电荷对试验电荷的作用力可表示为两个力的( D )。
A．算术和B．代数和
C．平方和D．矢量和
3、电介质极化后，其内部存在( D )。
A. 自由正电荷
B. 自由负电荷
C. 自由正负电荷
D. 电偶极子
4、在两种导电介质的分界面处,电场强度的( A )保持连续.
A.切向分量
B.幅值
C.法向分量
D.所有分量
5、介电常数为ε的介质区域中，静电荷的体密度为ρ，已知这些电荷产生的电场为E(x,y,z),而D(x,y,z)＝εE(x,y,z)。下面的表达式中正确的是（ C ）。
A. ▽·D＝0
B. ▽·E＝ρ／ε0
C. ▽·D＝ρ
D. ▽×D＝ρ
6、介质的极化程度取决于：( D )。
A:静电场B: 外加电场C: 极化电场D: 外加电场和极化电场之和
7、相同的场源条件下，真空中的电场强度是电介质中的( C )倍。
A.ε0εr
B. 1/ε0εr
C. εr
D. 1/εr
8、梯度的：( C )。
A: 散度为0 B: 梯度为0 C: 旋度为0
9、旋度的：( A )。
A: 散度为0 B: 梯度为0 C: 旋度为0
10、导体电容的大小( C )
A.与导体的电势有关
B.与导体所带电荷有关
C.与导体的电势无关
D.与导体间电位差有关
11、下面的矢量函数中哪些可能是磁场：( B )。
A: r ar =H e B:()x y ay ax =-+H e e C: ()x y ax ay =+-H e e
12、在两种介质的分界面上，若分界面上存在传导电流，则边界条件为( B ) A. H t 不连续，B n 不连续
B. H t 不连续，B n 连续
C. H t 连续，B n 不连续
D. H t 连续，B n 连续
13、磁介质中的磁场强度由( D )产生. A.自由电流 B.束缚电流
C.磁化电流
D.自由电流和束缚电流共同
14、相同场源条件下，磁媒质中的磁感应强度是真空中磁感应强度的( C )倍。 A.μr μ0 B .1/μr μ0 C.μr D.1/μr 15、长度为L 的长直导线的内自感等于( B )。 A.
πμ160L B. π
μ
80L C.
πμ40
L D. π
μ20L 16、交变电磁场中，回路感应电动势与回路材料电导率的关系为( D ) A.电导率越大，感应电动势越大 B.电导率越大，感应电动势越小 C.电导率越小，感应电动势越大 D.感应电动势大小与电导率无关
17、坡印亭矢量与电磁场满足( B )法则。
A.左手
B.右手
C.亥姆霍兹
D.高斯 18、频率为50Hz 的场源，在自由空间中的波长为( A )。 A.6000km B.600km C.60km D.6km
19、波长为1米的场源，在自由空间中的频率( B ) A. 30MHz
B. 300MHz
C. 3000MHz
D. 3MHz
20、波长为0.1米的场源，自由空间中的频率( C )
A. 30MHz
B. 300MHz
C. 3000MHz
D. 3MHz
21、真空中均匀平面波的波阻抗为( D ) A. 237Ω B. 277Ω C. 327Ω
D. 377Ω
22、真空中均匀平面波的波阻抗为( ) A. 80π(Ω) B. 100π(Ω) C. 20π(Ω)
D. 120π(Ω)
23、均匀平面波在良导体中的穿透深度为（ A ）
A ．
ωμσ
2
B ．
2
ωμσ
C ．
μσ
ω
2
24、均匀平面波的电场为00sin()cos()x y E wt kz E wt kz =--E a +a
，则表明此波是（ B ）
A ．直线极化波
B ．圆极化波
C ．椭圆极化波
25、沿z 轴方向传播的均匀平面波，E x =cos(ωt －kz －90°)，E y =cos(ωt －kz －180°)，问该平面波是( B ) A. 直线极化 B. 圆极化 C. 椭圆极化
D. 水平极化
26、若
1σ
ωε 介质属于（ A ）
。 A ．良导体 B ．电介质 C ．不良导体 27、若
1σ
ωε 介质属于（A ）
。 A ．电介质 B ．良导体 C ．不良导体 28、若
1σ
ωε≈介质属于（C ）。 A ．电介质 B ．良导体 C ．不良导体
29、两个相互平行的导体平板构成一个电容器，其电容与（A ）无关。
A ．导体板上的电荷
B ．平板间的介质
C ．导体板的面积
D ．两个导体板的相对位置 30、时变场中，电场的源包括：（A C ）
A. 电荷
B. 传导电流
C. 变化的磁场
D. 位移电流
31、两个相互平行的导体平板构成一个电容器，其电容与（A C ）无关。
A ．导体板上的电荷
B ．平板间的介质
C ．导体板的几何形状
D ．两个导体板的距离 二、填空题 (每空2分，共20分)
1、对于矢量A ，若x x y y z z A A A A =++a a a
，
则：z x ?a a ＝y a ；x x ?a a ＝ 0 ；y x ?a a
＝ 0 ；
2、标量函数 φ = xyz 的梯度为 x y z yz xz xy ++a a a
3、矢量函数22x y z A x x y y =++a a a
的散度为：21+x
4.对于矢量A ，写出：散度定理 V
S
dV d ??=???A A S
斯托克斯定理 C
S
d dS ?=?????A l A
5、静止电荷所产生的电场，称之为__静电场_____。
6、电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向___相同____。
7、电位参考点就是指定电位值恒为 零 的点。
8、在正方形的四顶点上，各放一电量相等的同性点电荷，几何中心放置荷Q ，则Q 不论取何值，其所受这电场力为 零 。
9、真空中静电场的两个基本方程的积分形式为 0
.=ε?S
q E ds 、 0?=?l
E dl
10、写出真空中静电场的两个基本方程的微分形式为 0
ρ
??=ε E 0??= E 11、电流的方向是指 正电荷 运动方向。
12、恒定电场的基本方程为：.0=?S
J ds 0?=?l
E dl
13、在无源理想介质中 Jc= 0 ，ρ= 0
14、在理想介质中电位的泊松方程2ρ?ε
?=-
。 15、无源介质中电位的拉普拉斯方程为20??=
16、分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量之间的关系为 ， 通常称它为 真空的磁特性方程或本构关系
17、磁介质中磁场的基本方程为：.0=?S
B dS
I ?=∑?l
H dl
18、真空中的安培环路定律（用积分公式表示） 。 19、在磁介质中的安培环路定律（用积分公式表示）
d I ?=∑?l
H l
20、磁场的两个基本变量是B (或磁感应强度)和H
(或磁场强度)。
21、无限长电流I ，在空间r 处产生的磁场强度为2r I
r
πa 。
22、磁感应强度可定义为某一矢量的 旋度 ，我们把这个矢量称作量位。 23、媒质分界面有面电流分布时，磁场强度的切向分量 不连续 。 24、变化的磁场产生电场的现象称作_电磁感应_定律。 25、电磁感应定律的积分形式为
d l
s B
E dl s t
??=-????
26、麦克斯韦方程组中关于H 和E 的微分表达式为 t ???=+?D
H J
、
t
???=-?B E
27、写出波印廷矢量瞬时值的表达式(,)(,)(,)r t r t r t =?S E H
写出波印廷矢量的复数表达式12
*
=?S E H
28、当场量随时间变化的频率较高时，场量几乎仅存在于导体表面附近，这种现象称这为 集肤 效应。 三、简答题
0=μB H
1、说明静电场中的电位函数，并写出其定义式。
答：静电场是无旋的矢量场，它可以用一个标量函数的梯度表示，此标量函数称
为电位函数(3 分)。静电场中，电位函数的定义为grad ??=-=-?E
(3 分) 2、什么叫集肤效应、集肤深度？试写出集肤深度与衰减常数的关系式。
高频率电磁波传入良导体后，由于良导体的电导率一般在107S/m 量级，所以电磁波在良导体中衰减极快。 电磁波往往在微米量级的距离内就衰减得近于零了。因此高频电磁场只能存在于良导体表面的一个薄层内， 这种现象称为集肤效应(Skin Effect)。电磁波场强振幅衰减到表面处的1/e 的深度，称为集肤
深度(穿透深度)， 以δ表示。集肤深度 001
E e E e
αδ-=? ? 1δα=
3、说明真空中电场强度和库仑定律。
答：电场强度表示电场中某点的单位正试验电荷所受到的力，其定义式为：
()
()r r q
=F E
(3 分)。库仑定律是描述真空中两个静止点电荷之间相互作用的规律，其表达式为：'20=
4R
q q R
e πεF
(3 分)。 4、用数学式说明梯度无旋。
答：x y z x y z
????????=++???e e e (2 分) ()x
y z
x y z x
y
z
???????
???=
?????????e e e (2 分) 222222()()()x y z z y z y x z x z x y x y
????????????=---+-????????????e e e
(2 分) 0=
()0?∴???=
5、什么是真空中的高斯定理?请利用高斯定理求解下面问题：假设真空中有半径为a 的球形带电体，电荷总量Q 均匀分布在球体内，求任意点的电场强度。
0()S
Q E r dS ε=
?
分析：电场方向垂直于球面。 电场大小只与r 有关。 在球外区域：r>a
0()S
Q E r dS ε=?
20
()(4)r Q E r r πε??=a 2
04r Q E r
πε?=
?a
在球内区域：r 由334Q Q V a ρπ= = 因为0 '()S Q E r dS ε=? 得 3 20 43 ()(4)r r E r r ρππε??= a 30034r r r Qr E a ρεπε?= =?a a 6、试解释坡印亭矢量的物理意义？ 答：坡印亭矢量E×H 相当于功率流的面密度,(3分)即垂直于功率流动方向单位面积上流过的电磁场功率.(3分) 7、为什么说体电荷密度就是电荷的体密度，而体电流密度不是电流的体密度？ 8、什么是高斯定理?在电场具有什么特征时可以用它来求解静电场问题? .S d D s ??=q 当电场具有对称性质时，可以用来求解静电场。 9、波的圆极化(写出波的方程及与x 轴夹角表达式) 若电场的水平分量E x 与垂直分量E y 振幅相等，相位相差±90°，合成电场为 圆极化波。 E=2 y 2x E E + =Em=常数与x 轴夹角tanα= Ex Ey =tanωt 10、在良导体内电场强度E 等于零，磁感应强度是否也为零？为什么？ 可以不为零。（2分）因为E=0，只表明磁通及磁场的变化率为零，但磁感应强度可为任意常数。（3分） 11、如何由电位求电场强度?试写出直角坐标系下的表达式。 答：即电场强度是电位梯度的负值。 表达式：()x y z E e e e x y z ??????????=-?=-+ + 12、在静电场中，两点之间的电位差与积分路径有关吗？试举例说明。 无关。（2分）如图所示，取电场强度积分路径为 ???=?=b a acb ab l E l E U d d (1分) ? ??=?+?= ?acbda bda acb l E l E l E 0d d d 又 (1分) ????=-=?∴ acb adb bda l E l E l E d d d (1分) 13、说明矢量场的环量和旋度。 矢量A 沿场中某一封闭的有向曲线l 的曲线积分为环量，l A dl Γ=?? (3 分)。 矢量A 在M 点的旋度：方向为M 点A 的最大环量面密度最大的方向，其模等于此最大环量面密度的矢量：rot A =??A (3 分) 14、写出在恒定磁场中，不同介质交界面上的边界条件。 答：1212()0n n B B ?-==n B B 或； (3 分)12()S ?-=n H H J (3 分) 15、试解释坡印亭矢量的物理意义？ 坡印亭矢量E×H 相当于功率流的面密度,(2分)即垂直于功率流动方向单位面积上流过的电磁场功率.(3分) 16、为什么说体电荷密度就是电荷的体密度，而体电流密度不是电流的体密度？ 体电荷密主是单位体积中的电荷量,所以是电荷的体密度.(2分)体电流密度是垂 直于电荷运动方向上单位面积上流过的电流,所以不是电流的体密度。（4分） 四、计算题 1、已知空气填充的平板电容器内的电位分布为2ax b ?=+，求与其相应的电场 及其电荷分布。 解：由E =-?? (2 分) 已知?=+2ax b 得2E a =-??=- x ax (2 分) 根据高斯定理：0 .E ?= ρ ε得 (2 分) 电荷密度为：00.E ==? -2a ρεε (2 分) 2、真空中有两个点电荷，一个-q 位于原点，另一个q/2位于(a,0,0)处，求 电位为零的等位面方程。 解： 两个点电荷－q,+q/2在空间产生的电位： 2222220 1 /2 (,,)4()q q x y z x y z x a y z ??-?= +??πε?++-++??? (2 分) 令(,,)0x y z ?= 得方程： (2 分) 2222220 1 /2 04()q q x y z x a y z ??-+=??πε?++-++??? (1 分) 方程化简 2 22242()33x a y z a ?? -++= ??? (2 分) 由此可见，零电位面是以点（4 a/3,0,0）为球心，2 a/3为半径的球面。(1 分) 3、内、外半径分别为a 、b 的无限长空心圆柱中均匀分布轴向电流I ，求柱 内外的磁感应强度。 解：在圆柱坐标系计算,取导体中轴线和z 轴重合,磁场只有e φ方向分量,大小只跟r 有关, 由安培环路定理: '0.2B l ==? C d rB I φπμ (1分) 当≤r a 时,'0=I , 0=B φ (2分) 当<≤a r b 时,22 ' 22-=-r a I I b a 22022 ()2() -=-r a B I r b a φμπ (2 分) 当>r b 时,'=I I 02=I B r φμπ (2 分) 写成矢量形式 22022 00 () 2() 2B e e ? ?≤? -?=<≤?-? ?>?? r a r a I a r b r b a I r b r φφ μπμπ 4、有一个任意形状的电容器，里面充满介电常数为ε的均匀电介质，如果已知当它充满电导率为σ的均匀导体时，它对稳定电流的电阻为R ，求该电容器的电容C 。 解：对任意电容器，由于 ..l s d U R I d ==σ?? E l E S (2 分) ..s l d q C U d ε==?? E S E l (2 分) 得 ..s s d RC d ε= σ?? E S E S ε =σ (1 分) 由于是均匀介质，故ε、σ是常数可以提到积分号外面 (2 分) 故 C R ε = σ (1 分) 5、一个点电荷q 放在直角导体内部，如下图所示，求出所有镜像电荷的位置和大小。 解：假如如图所示3个镜像电荷的位置和大小：21(,)q h h --，21(,)q h h --， 21(,)q h h -- ，则空间任一点的电位分布为： 01234 1111 ()()4q r r r r r ?πε= -+- (2分) 根据上式，计算y=0平面上任一点(0,y)的电位,由于1234r r r r ===，故()0r ?= ； 同理，计算x=0平面上任一点(x,0)的电位，由于1234r r r r ===，也有()0r ?= ， 所以上述镜像电荷来等效原问题。(4分) 6、3、相互成直角的两个导电平面构成的系统，在x =1,y =1处放置一个点电荷q ，试用镜像法确定镜像电荷位置和大小，并求x =2,y =2处的电位。( 设无穷远为 电位参考点)。 镜像电荷位置为-q(-1,1),-q(1,-1),q(-1,-1) 由点电荷的电位?= R 4q 0πε可得 x=2,y=2处电位?=04q πε()10 223121-+ 7、已知无源自由空间中的电场强度矢量sin()y m E E t kz ω=-a ， 求 (1) 由麦克斯韦方程求磁场强度H ； (2) 证明w/k 等于光速； (3) 求坡印亭矢量的时间平均值。 解：（1）将E 表示为复数形式，有 a -=- jkz y m E jE e (2 分) 由复数形式的麦克斯韦方程，得 000 11a a --=-??=-= jkz jkz m x m x kE H E kE e j e j j ωμωμωμ 磁场H 的瞬时表达式为 0 ()sin()a =-- m x kE H t t kz ωωμ (2 分) （2）由于是无源自由空间，根据无源自由空间的波动方程得： 220020??-=? E E t με (2 分)由于E 只有y 分量，得y 分量的标量波动方程 222200 2 2 2 2 0????+ + -=????y y y y E E E E x y z t με (1 分) 由于 22 ??y E x 、 22 ??y E y 为0，得 2200 2 2 0??-=??y y E E z t με 对正弦电磁场，上方程可以写成 2200()()0-=y y jk E j E μεω 得 00 1 = =C k ω με (1 分) （3）坡印廷矢量的时间平均值为 11Re[]Re[()(.())]22a a *-=?=-?- jkz jkz m av y m x kE S E H jE e j e ωμ (3 分) 20 1.2a = m z kE ωμ (1 分) 8、理想介质中平面电磁波的电场强度矢量为 8()5cos2(10) (V/m)x E t t z π=-a 试求： (1) 介质及自由空间中的波长； (2) 已知介质0μμ=，0r εεε=，确定介质的r ε； (3) 求磁场强度矢量的瞬时表达式。 解：(1)介质中 2212ππλ= ==π k （m ） (2 分) 自由空间中 8 08 00000222310310 2πππ?λ======ωμεπμεc k f f （m ） (2 分) (2) 由于 00=ωμεεr k 故 22282 282 (2)(310)9(210)π??ε===ωπ?r k c (3 分) (3) 由于00r r μηηππεεε= ??011 ==120=403 (2 分) 磁场强度的瞬时表达式 80()cos 2(10)m y E t t z πη =-H a 80cos 2(10)40m y E t z ππ=-a 85cos 2(10)40y t z ππ =-a 81cos 2(10)8y t z ππ =-a (A/m) 9、空气中的电场为()2() jkz x y E t j e -=+ a a 的均匀平面波垂直投射到理想导体表面（z=0）,求反射波的极化状态及导体表面的面电流密度。 解：对理想导体，有 20,1,0T ηΓ==-= (1分) 所以，此时反射波写为： ()2() jkz r x y E t j e =-+ a a (1分) 由此得知：反射波沿-z 方向传播，反射波两个分量幅度相等，且x 分量的相位滞后y 分量/2π，故反射波为右旋圆极化波。(2 分) 由于理想导体内无电磁场，故 0t H = 令空气一侧为介质1，导体一侧为介质2，又 由于 ()i i z j H E z ωμ?= ?? a (1 分) 0 1 2()jkz y x j e η-= - a a (1 分) ()r r z j H E z ωμ?=?? a (1 分) 1 2()jkz y x j e η= - a a (1 分) 1i r H H H =+ 012()()jkz jkz y x j e e η-=-+ a a 0 14()cos y x j kz η=- a a (2 分) 故 210 () s z J n H H ==?- 10 () z z H ==?- a =014()z y x j η=?-+ a a a 0 14()x y j η=+ a a (2 分) 10、例题3.12 求半径为a 的无限长直导线单位长度内自感。 解：设导体内电流为I ，则由安培环路定律 02()2Ir B r a a ?μπ=≤a 则导体内单位长度磁能为 2 12m V W B dV μ= ?2220 24 0124V I r dV a μμπ=?? 2221 20 240 0124a I r rdrd dz a π μφμπ=????? 2220 240 01224a I r rdr a μπμπ=??? 2016I μπ = 0 228m W L I μπ = = 思考与练习一 1．证明矢量3?2??z y x e e e -+=A 和z y x e e e ???++=B 相互垂直。 2. 已知矢量 1.55.8z y e ?e ?+=A 和4936z y e ?.e ?+-=B ，求两矢量的夹角。 3. 如果0=++z z y y x x B A B A B A ，证明矢量A 和B 处处垂直。 4. 导出正交曲线坐标系中相邻两点弧长的一般表达式。 5．根据算符?的与矢量性，推导下列公式： ()()()()B A B A A B A B B A ??+???+??+???=??)( ()()A A A A A 2??-?=???2 1 []H E E H H E ???-???=??? 6．设u 是空间坐标z ,y ,x 的函数，证明： u du df u f ?=?)(， ()du d u u A A ??=??， ()du d u u A A ??=??，()[]0=????z ,y ,x A 。 7．设222)()()(z z y y x x R '-+'-+'-='-=r r 为源点x '到场点x 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点。证明下列结果， R R R R =?'-=?， 311R R R R -=?'-=?，03=??R R ，033=??'-=??R R R R )0(≠R （最后一式在0=R 点不成立）。 8. 求[])sin(0r k E ???及[])sin(0r k E ???，其中0E a ,为常矢量。 9. 应用高斯定理证明 ???=??v s d dV f s f ，应用斯克斯（Stokes ）定理证明??=??s L dl dS ??。 10.证明Gauss 积分公式[]??????+???=??s V dv d ψφψφψφ2s 。 11.导出在任意正交曲线坐标系中()321q ,q ,q F ??、()[]321q ,q ,q F ???、()3212q ,q ,q f ?的表达式。 12. 从梯度、散度和旋度的定义出发，简述它们的意义，比较它们的差别，导出它们在正交曲线坐标系中的表达式。 电磁场与电磁波复习题 一、填空题 1、矢量的通量物理含义是矢量穿过曲面的矢量线总数，散度的物理意义矢量场中任 意一点处通量对体积的变化率。散度与通量的关系是矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。 2、 散度在直角坐标系的表达式 z A y A x A z y x A A ??????++ = ??=ρ ρdiv ； 散度在圆柱坐标系下的表达 ； 3、矢量函数的环量定义矢量A 沿空间有向闭合曲线C 的线积分， 旋度的定义 过点P 作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右 手螺旋法则。当S 点P 时,存在极限环量密度。二者的关系 n dS dC e A ρρ?=rot ； 旋度的物理意义点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值；点P 的旋度的方向是该 点最 大环量密度的方向。 4.矢量的旋度在直角坐标系下的表达式 。 5、梯度的物理意义标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数。梯度的大小为该点 标量函数 ?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的 方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向等值面、方向导数与 梯度的关系是梯度的大小为该点标量函数 ?的最大变化率，即该点最 大方向导数; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数 的增加方向.； 6、用方向余弦cos ,cos ,cos αβγ写出直角坐标系中单位矢量l e r 的表达 式 ； 7、直角坐标系下方向导数 u ?的数学表达式是 ，梯度的表达式 8、亥姆霍兹定理的表述在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定，说明的问题是矢量场的散度应满足的关系及旋度应满足的关系决定了矢量场的基本性质。 9、麦克斯韦方程组的积分形式分别为 ()s l s s l s D dS Q B E dl dS t B dS D H dl J dS t ?=??=-??=?=+????????r r r r r r r r g r r r r r g ???? 其物理描述分别为 10、麦克斯韦方程组的微分形式分别为 2 0E /E /t B 0 B //t B c J E ρεε??=??=-????=??=+??r r r r r r r 其物理意义分别为 11、时谐场是激励源按照单一频率随时间作正弦变化时所激发的也随时间按照正弦变化的 场， 一般采用时谐场来分析时变电磁场的一般规律，是因为任何时变周期函数都可以用正弦函数表示的傅里叶级数来表示；在线性条件下，可以使用叠加原理。 12、坡印廷矢量的数学表达式 2 0S c E B E H ε=?=?r r r r r ，其物理意义表示了单 位面积的瞬时功率流或功率密度。功率流的方向与电场和磁场的方向垂直。表达式 ()s E H dS ??r r r g ?的物理意义穿过包围体积v 的封闭面S 的功率。 13、电介质的极化是指在外电场作用下，电介质中出现有序排列电偶极子以及表面上出 一、填空 1.方程▽2φ=0称为静电场的（拉普拉斯（微分））方程 2.在静电平衡条件下，导体内部的电场强度E 为（0） 3.线性导电媒质是指电导率不随（空间位置）变化而变化 4.局外电场是由（局外力）做功产生的电场 5.电感线圈中的磁场能量与电流的平方（成正比） 6.均匀平面电磁波中，E 和I 均与波的传播方向（垂直） 7.良导体的衰减常数α≈（β≈2 ωμγ） 8.真空中，恒定磁场安培环路定理的微分形式（▽x B=0μJ ） 9.在库伦规范和无穷远参考点前提下，面电流分布的矢量的磁位公式 （A=?R Idl 40πμ）公式3-43 10.在导体中，电场力移动电荷所做的功转化为（热能） 11. 在静电平衡条件下，由导体中E=0，可以得出导体内部电位的梯度为（0 ）（p4页） 12.电源以外的恒定电场中，电位函数满足的偏微分方程为----- （p26 页） 13.在无源自由空间中，阿拉贝尔方程可简化为----------波动方程。 瞬时值矢量齐次 （p145页） 14.定义位移电流密度的微分表达式为------------ t ??D =0εt ??E +t P ?? （p123页） 15.设电场强度E=4，则0 P12页 16.在单位时间内，电磁场通过导体表面流入导体内部的能量等于导线电阻消耗的（热能） 17.某一矢量场，其旋度处处为零，则这个矢量场可以表示成某一标量函数的（梯度） 18.电流连续性方程的积分形式为（???s dS j =-dt dq ） 19.两个同性电荷之间的作用力是（相互排斥的） 20.单位面积上的电荷多少称为（面电荷密度） 21.静电场中，导体表面的电场强度的边界条件是：（D1n-D2n=ρs ） 22.矢量磁位A 和磁感应强度B 之间的关系式：（ =▽ x ） 23.E （Z ，t ）=e x E m sin （wt-kz-）+ e y E m cos （wt-kz+），判断上述均匀平面电磁波的极化方式为：（圆极化）（应该是 90％确定） 24.相速是指 均匀平面电磁波在理想介质中的传播速度。 1. 如图所示， 有一线密度 的无限大电流薄片置于平面上，周 围媒质为空气。试求场中各点的磁感应强度。 解： 根据安培环路定律, 在面电流两侧作一对称的环路。则 由 2. 已知同轴电缆的内外半径分别为 和 ,其间媒质的磁导率 为，且电缆 长度 ， 忽略端部效应， 求电缆单位长度的外自感。 解： 设电缆带有电流则 3. 在附图所示媒质中，有一载流为的长直导线，导线到媒质分界面的距离为。 试求载流导线单位长度受到 的作用力。 解： 镜像电流 镜像电流在导线处产生的值为 单位长度导线受到的作用力 力的方向使导线远离媒质的交界面。 4. 图示空气中有两根半径均为a ，其轴线间距离为 d 的平行长直圆柱导体，设它们单位长度上所带的电荷 量分别为和 ， 若忽略端部的 边缘效应，试求 (1) 圆柱导体外任意点p 的电场强度的电位的表达式 ； (2) 圆柱导体面上的电荷面密度与值。 解： 以y 轴为电位参考点，则 5. 图示球形电容器的内导体半径 ， 外导体内径 ，其间充有 两种电介质与， 它们的分界面的半径为。 已知与的相对 6. 电常数分别为 。 求此球形电容器的电 容。 解 6. 一平板电容器有两层介质，极板面积为,一层电介质厚度，电导率，相对介电常数，另一层电介质厚度，电导率。相对介电常数，当电容器加有电压 时，求 (1) 电介质中的电流； (2) 两电介质分界面上积累的电荷； (3) 电容器消耗的功率。 解： (1) (2) (3) 7. 有两平行放置的线圈，载有相同方向的电流，请定性画出场中的磁感应强度分布(线)。 解：线上、下对称。 1. 两导体间的电容与_A__有关 A. 导体间的位置 B. 导体上的电量 C. 导体间的电压 D. 导体间的电场强度 2. 下面关于静电场中的导体的描述不正确的是:____C__ A. 导体处于非平衡状态。 B. 导体内部电场处处为零。 C. 电荷分布在导体内部。 D. 导体表面的电场垂直于导体表面 3. 在不同介质的分界面上，电位是__B_。 A. 不连续的 B. 连续的 C. 不确定的 D. 等于零 4. 静电场的源是A A. 静止的电荷 B. 电流 C. 时变的电荷 D. 磁荷 5. 静电场的旋度等于__D_。 A. 电荷密度 B. 电荷密度与介电常数之比 C. 电位 D. 零 6. 在理想导体表面上电场强度的切向分量D A. 不连续的 B. 连续的 C. 不确定的 D. 等于零 7. 静电场中的电场储能密度为B A. B. C. D. 8. 自由空间中静电场通过任一闭合曲面的总通量，等于B A. 整个空间的总电荷量与自由空间介电常数之比 B. 该闭合曲面内所包围的总电荷量与自由空间介电常数之比。 C. 该闭合曲面内所包围的总电荷量与自由空间相对介电常数之比。 D. 该闭合曲面内所包围的总电荷量。 9. 虚位移法求解静电力的原理依据是G A. 高斯定律 B. 库仑定律 C. 能量守恒定律 D. 静电场的边界条件 10. 静电场中的介质产生极化现象，介质内电场与外加电场相比，有何变化？ A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 不确定 11. 恒定电场中，电流密度的散度在源外区域中等于B____ A. 电荷密度 B. 零 C. 电荷密度与介电常数之比 D. 电位 12. 恒定电场中的电流连续性方程反映了___A_ A. 电荷守恒定律 B. 欧姆定律 C. 基尔霍夫电压定律 D. 焦耳定律 13. 恒定电场的源是___B_ A. 静止的电荷 B. 恒定电流 C. 时变的电荷 D. 时变电流 14. 根据恒定电场与无源区静电场的比拟关系，导体系统的电导可直接由静电场中导体系统的D A. 电量 B. 电位差 C. 电感 D. 电容 15. 恒定电场中，流入或流出闭合面的总电流等于__C___ A. 闭合面包围的总电荷量 B. 闭合面包围的总电荷量与介电常数之比 C. 零 D. 总电荷量随时间的变化率 16. 恒定电场是D A. 有旋度 B. 时变场 C. 非保守场 D. 无旋场 17. 在恒定电场中，分界面两边电流密度矢量的法向方向是B A. 不连续的 B. 连续的 C. 不确定的 D. 等于零 18. 导电媒质中的功率损耗反映了电路中的_D____ 《电磁场与电磁波》期末复习题及答案 一，单项选择题 １．电磁波的极化特性由＿＿B ＿＿＿决定。 A.磁场强度 B.电场强度 C.电场强度和磁场强度 D. 矢量磁位 2．下述关于介质中静电场的基本方程不正确的是＿＿D ＿＿＿ A. ρ??=D B. 0??=E C. 0C d ?=? E l D. 0S q d ε?=? E S 3. 一半径为a 的圆环（环面法向矢量 z = n e ）通过电流I ，则圆环中心处的磁感应强度B 为 ＿＿D ＿＿＿A. 02r I a μe B.02I a φμe C. 02z I a μe D. 02z I a μπe 4. 下列关于电力线的描述正确的是＿＿D ＿＿＿ A.是表示电子在电场中运动的轨迹 B. 只能表示E 的方向，不能表示E 的大小 C. 曲线上各点E 的量值是恒定的 D. 既能表示E 的方向，又能表示E 的大小 5. 0??=B 说明＿＿A ＿＿＿ A. 磁场是无旋场 B. 磁场是无散场 C. 空间不存在电流 D. 以上都不是 6. 下列关于交变电磁场描述正确的是＿＿C ＿＿＿ A. 电场和磁场振幅相同，方向不同 B. 电场和磁场振幅不同，方向相同 C. 电场和磁场处处正交 D. 电场和磁场振幅相同，方向也相同 7．关于时变电磁场的叙述中，不正确的是：（D ） A. 电场是有旋场 B. 电场和磁场相互激发 C.电荷可以激发电场 D. 磁场是有源场 8. 以下关于在导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是＿＿B ＿＿＿ A. 不再是平面波 B. 电场和磁场不同相 C.振幅不变 D. 以ＴＥ波形式传播 9. 两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的是＿C ＿＿ 《电磁场与电磁波基础》复习题 一、 填空题： （第一章）（第二章）（第三章）（第四章）（第五章）（第六章） （第一章） 1、直角坐标系下，微分线元表达式 z e y e x e l z y x d d d d 面积元表达式 2、圆柱坐标系下，微分线元表达式z e e e l z d d d d ， 面积元表达式z e l l e S z d d d d d z e l l e S z d d d d d d d d d d z z z e l l e S 3、圆柱坐标系中， e 、e r 随变量 的变化关系分别是 e e ， e -e 4、矢量的通量物理含义是 矢量穿过曲面的矢量线的总和； 散度的物理意义是 矢量场中任意一点处通量对体积的变化率； 散度与通量的关系是 散度一个单位体积内通过的通量。 5、散度在直角坐标系 F z F y F x F V S d F F div Z Y X S V 0lim 散度在圆柱坐标系 z F F F F div Z 1)(1 6、矢量微分算符（哈密顿算符） 在直角坐标系的表达式为 z z y y x x e e e 圆柱坐标系 z e z e e 球坐标系分别 sin e e r e r r r 7、高斯散度定理数学表达式 V s S d F dV F ，本课程主要应用的两个方面分别是 静电场的散度 、 恒定磁场的散度 ； 8、矢量函数的环量定义 C l z y x F d ),,(；旋度的定义MAX l S S l d F F rot lim 0； 二者的关系 ? ? C S l d F S d F )(；旋度的物理意义：描述矢量场中某一点漩涡源密度。 9、旋度在直角坐标系下的表达式F =)()()(y F x F e x F z F e z F y F e z y z z x y y Z x 10、旋度的重要恒等式，其物理意义是旋涡源密度矢量； 11、斯托克斯定理数学表达式 ? ? C S l d F S d F )(，本课程主要应用的两个方面分别是 静电场的旋度 、 恒定磁场的旋度 ； 12、梯度的物理意义 描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向；等值面、方向导数与梯度的关系是 空间某一点的梯度垂直过该点的等值面；梯度在某方向上的投影即为方向导数； 13、用方向余弦cos ,cos ,cos 写出直角坐标系中单位矢量l e r 的表达式 cos cos cos e l z y x e e e ； 14、直角坐标系下方向导数的数学表达式l M u M u M )()(lim |l u 00l 0， 梯度的表达式； 15、梯度的一个重要恒等式u u grad ，其主要应用是求出任意方向的方向导数 ； 16、亥姆霍茨定理表述在有限区域的任一矢量场由它的散度，旋度以及边界条件唯一地确定； 说明的问题是 要确定一个矢量或一个矢量描述的场，须同时确定其散度和旋度 17、描述一个矢量场的矢量函数能够用一个标量函数来描述的必要条件是 旋度 处处为零 ，这是因为恒等式 0u F 。 《电磁场与电磁波》复习题 一、选择题 1、关于均匀平面电磁场，下面的叙述正确的是（ C ） A ．在任意时刻，各点处的电场相等 B ．在任意时刻，各点处的磁场相等 C ．在任意时刻，任意等相位面上电场相等、磁场相等 D ．同时选择A 和B 2、用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ D ）。 A ．镜像电荷是否对称 B ．电位所满足的方程是否未改变 C ．边界条件是否保持不变 D ．同时选择B 和C 3、微分形式的安培环路定律表达式为H J ??=r r ，其中的J r （ A ）。 A ．是自由电流密度 B ．是束缚电流密度 C ．是自由电流和束缚电流密度 D ．若在真空中则是自由电流密度；在介质中则为束缚电流密度 4、两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的是（ C ）。 A ．线圈的尺寸 B ．两个线圈的相对位置 C ．线圈上的电流 D ．线圈所在空间的介质 5、一导体回路位于与磁场力线垂直的平面内，欲使回路中产生感应电动势，应使（ A ）。 A ．磁场随时间变化 B ．回路运动 C ．磁场分布不均匀 D ．同时选择A 和B 6、一沿+z 传播的均匀平面波，电场的复数形式为()m x y E E e je =-r r r ，则其极化方式是（ C ）。 A ．直线极化 B ．椭圆极化 C ．右旋圆极化 D ．左旋圆极化 7、在边界形状完全相同的两个区域内的静电场，满足相同的边界条件，则两个区域中的场分布（ C ）。 A ．一定相同 B ．一定不相同 C ．不能断定相同或不相同 8、两相交并接地导体平板夹角为α，则两板之间区域的静电场（ C ）。 A ．总可用镜象法求出。 B ．不能用镜象法求出。 C ．当/n απ= 且n 为正整数时，可以用镜象法求出。 D ．当2/n απ= 且n 为正整数时，可以用镜象法求出。 9、z ＞0半空间中为ε=2ε0的电介质，z ＜0半空间中为空气，在介质表面无自由电荷分布。若空气中的 静电场为 128x z E e e =+r r r ，则电介质中的静电场为（ B ）。 《电磁场与电磁波》试题2 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为ε，则电位移矢量D 和电场E 满足的 方程为： 。 2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为φ，媒质的介电常数为ε，电荷体密度为V ρ，电位所满足的方程为 。 3．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为 。 4．在理想导体的表面，电场强度的 分量等于零。 5．表达式()S d r A S ??称为矢量场)(r A 穿过闭合曲面S 的 。 6．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生 。 7．静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。 8．如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互 。 9．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量为 。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是 场，因此，它可用磁矢位函数的旋度来表示。 二、简述题 （每小题5分，共20分） 11．试简述磁通连续性原理，并写出其数学表达式。 12．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 13．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 14．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 三、计算题 （每小题10分，共30分） 15．矢量函数z x e yz e yx A ??2 +-= ，试求 （1）A ?? （2）A ?? 16．矢量z x e e A ?2?2-= ，y x e e B ??-= ，求 （1）B A - （2）求出两矢量的夹角 17．方程2 2 2 ),,(z y x z y x u ++=给出一球族，求 （1）求该标量场的梯度； （2）求出通过点()0,2,1处的单位法向矢量。 四、应用题 （每小题10分，共30分） 18．放在坐标原点的点电荷在空间任一点r 处产生的电场强度表达式为 r e r q E ?42 0πε= （1）求出电力线方程；（2）画出电力线。 19．设点电荷位于金属直角劈上方，如图1所示，求 （1） 画出镜像电荷所在的位置 （2） 直角劈任意一点),,(z y x 处的电位表达式 20．设时变电磁场的电场强度和磁场强度分别为： )cos(0e t E E φω-= )cos(0m t H H φω-= （1） 写出电场强度和磁场强度的复数表达式 （2） 证明其坡印廷矢量的平均值为：) cos(2100m e av H E S φφ-?= 五、综合题 （10分） 21．设沿z +方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图2所示，该电磁波电场 只有x 分量即 z j x e E e E β-=0? (1) 求出反射波电场的表达式； (2) 求出区域1 媒质的波阻抗。 图1 《电磁场与电磁波》试卷1 一. 填空题（每空2分,共40分） 1．矢量场的环流量有两种特性：一是环流量为0，表明这个矢量场 无漩涡流动 。另一个是环流量不为0，表明矢量场的 流体沿着闭合回做漩涡流动 。 2．带电导体内静电场值为 0 ，从电位的角度来说，导体是一个 等电位体 ，电荷分布在导体的 表面 。 3．分离变量法是一种重要的求解微分方程的方法，这种方法要求待求的偏微分方程的解可以表示为 3个 函数的乘积，而且每个函数仅是 一个 坐标的函数，这样可以把偏微分方程化为 常微分方程 来求解。 4．求解边值问题时的边界条件分为3类，第一类为 整个边界上的电位函数为已知 ，这种条件成为狄利克莱条件。第二类为已知 整个边界上的电位法向导数 ，成为诺伊曼条件。第三类条件为 部分边界上的电位为已知，另一部分边界上电位法向导数已知 ，称为混合边界条件。在每种边界条件下，方程的解是 唯一的 。 5．无界的介质空间中场的基本变量B 和H 是 连续可导的 ，当遇到不同介质的分 界面时，B 和H 经过分解面时要发生 突变 ，用公式表示就是 12()0n B B ?-=，12()s n H H J ?-=。 6．亥姆霍兹定理可以对Maxwell 方程做一个简单的解释：矢量场的 旋度 ，和 散度 都表示矢量场的源，Maxwell 方程表明了 电磁场 和它们的 源 之间的关系。 二．简述和计算题（60分） 1．简述均匀导波系统上传播的电磁波的模式。（10分） 答：（1）在电磁波传播方向上没有电场和磁场分量，即电场和磁场完全在横平面内，这种模式的电磁波称为横电磁波，简称TEM 波。 （2）在电磁波传播方向上有电场和但没有磁场分量，即磁场在横平面内，这种模式的电磁波称为横磁波，简称TM 波。因为它只有纵向电场分量，又成为电波或E 波。 （3）在电磁波传播方向上有磁场但没有电场分量，即电场在横平面内，这种模式的电磁波称为横电波，简称TE 波。因为它只有纵向磁场分量，又成为磁波或M 波。 从Maxwell 方程和边界条件求解得到的场型分布都可以用一个或几个上述模式的适当幅相组合来表征。 2．写出时变电磁场的几种场参量的边界条件。（12分） 解：H 的边界条件 12()s n H H J ?-= E 的边界条件 第1~2章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律 1. 设：直角坐标系中，标量场zx yz xy u ++=的梯度为A ，则M （1，1，1）处 A = ，=??A 0 。 2. 已知矢量场xz e xy e z y e A z y x ?4?)(?2 +++= ，则在M （1，1，1）处=??A 9 。 3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A ），则必须同时给定该场矢量 的 旋度 及 散度 。 4. 写出线性和各项同性介质中场量D 、E 、B 、H 、J 所满足的方程（结构方 程）： 。 5. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为 和 。 6. 设理想导体的表面A 的电场强度为E 、磁场强度为B ，则 （a ）E 、B 皆与A 垂直。 （b ）E 与A 垂直，B 与A 平行。 （c ）E 与A 平行，B 与A 垂直。 （d ）E 、B 皆与A 平行。 答案：B 7. 两种不同的理想介质的交界面上， （A ）1212 , E E H H == （B ）1212 , n n n n E E H H == (C) 1212 , t t t t E E H H == (D) 1212 , t t n n E E H H == 答案：C 8. 设自由真空区域电场强度(V/m) )sin(?0βz ωt E e E y -= ，其中0E 、ω、β为常数。则空间位移电流密度d J （A/m 2 ）为： （a ） )cos(?0βz ωt E e y - （b ） )cos(?0βz ωt ωE e y - ???222x y z e e e ++A ??A ??E J H B E D σ=μ=ε= , ,t q S d J S ??-=?? t J ?ρ ?-=?? 第二章 （选择） 1、将一个带正电的带电体A从远处移到一个不带电的导体B附近，导体B的电势将（ A ）A升高 B降低 C不会发生变化 D无法确定 2、下列关于高斯定理的说法正确的是（A） A如果高斯面上E处处为零，则面内未必无电荷。 B如果高斯面上E处处不为零，则面内必有静电荷。 C如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零。 D如果高斯面内有净电荷，则高斯面上E处处不为零 3、以下说法哪一种是正确的（B） A电场中某点电场强度的方向，就是试验电荷在该点所受的电场力方向 B电场中某点电场强度的方向可由E=F/q确定，其中q0为试验电荷的电荷量，q0可正可负，F为试验电荷所受的电场力 C在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的电场强度处处相同 D以上说法都不正确 4、当一个带电导体达到静电平衡时（D） A表面曲率较大处电势较高 B表面上电荷密度较大处电势较高 C导体内部的电势比导体表面的电势高 D导体内任一点与其表面上任一点电势差等于零 5、下列说法正确的是（D） A场强相等的区域，电势也处处相等 B场强为零处，电势也一定为零 C电势为零处，场强也一定为零 D场强大处，电势不一定高 6、就有极分子电介质和无极分子电介质的极化现象而论（D） A、两类电介质极化的微观过程不同，宏观结果也不同 B、两类电介质极化的微观过程相同，宏观结果也相同 C、两类电介质极化的微观过程相同，宏观结果不同 D、两类电介质极化的微观过程不同，宏观结果相同 7、下列说法正确的是（ D ） （A）闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内一定没有电荷 B闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必定为零 C闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必定为零。 D闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的电场强度都不可能为零 8、根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和。下列推论正确的是（ D ） 三、简答题 1、说明静电场中的电位函数，并写出其定义式。 答：静电场是无旋的矢量场，它可以用一个标量函数的梯度表示，此标量函数称为电位函数(3 分)。静电场中，电位函数的定义为grad ??=-=-?E (3 分) 2、什么叫集肤效应、集肤深度？试写出集肤深度与衰减常数的关系式。 高频率电磁波传入良导体后，由于良导体的电导率一般在107S/m 量级，所以电磁波在良导体中衰减极快。 电磁波往往在微米量级的距离内就衰减得近于零了。因此高频电磁场只能存在于良导体表面的一个薄层内， 这种现象称为集肤效应(Skin Effect)。电磁波场强振幅衰减到表面处的1/e 的深度，称为集肤深度(穿透深度)， 以δ表示。 集肤深度 001E e E e αδ-=? ? 1 δα= 3、说明真空中电场强度和库仑定律。 答：电场强度表示电场中某点的单位正试验电荷所受到的力，其定义式为： () ()r r q = F E (3 分)。库仑定律是描述真空中两个静止点电荷之间相互作用的规律，其表达式为：'20=4R q q R e πεF (3 分)。 4、用数学式说明梯度无旋。 答：x y z x y z ????????= ++???e e e (2 分) ()x y z x y z x y z ??????? ???= ?????????e e e (2 分) 222222()()()x y z z y z y x z x z x y x y ????????????=---+-????????????e e e (2 分)电磁场理论习题解读
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