《大学物理学》恒定磁场部分自主学习材料
要掌握的典型习题：
1． 载流直导线的磁场：已知：真空中I 、1α、2α、x 。
建立坐标系Oxy ，任取电流元I dl
，这里，dl dy =
P 点磁感应强度大小：02
sin 4Idy dB r μα
π=
；
方向：垂直纸面向里?。
统一积分变量：cot()cot y x x παα=-=-； 有：2csc dy x d αα=；sin()r x πα=-。
则： 2022sin sin 4sin x d B I x μαααπα=?21
0sin 4I d x ααμααπ=?012(cos cos )4I x
μααπ-=。 ①无限长载流直导线：παα==210，，02I
B x μπ=；（也可用安培环路定理直接求出）
②半无限长载流直导线：παπα==212，，04I
B x
μπ=。
2．圆型电流轴线上的磁场：已知：R 、I ，求轴线上P 点的磁感应强度。
建立坐标系Oxy ：任取电流元Idl
，P 点磁感应强度大小： 2
04r Idl
dB πμ=
；方向如图。
分析对称性、写出分量式：
0B dB ⊥⊥==? ；??==2
0sin 4r Idl dB B x x απμ。
统一积分变量：r R =αsin
∴??==20sin 4r Idl dB B x x απμ?=dl r IR 304πμR r
IR ππμ2430?=23222
0)(2x R IR +=μ。 结论：大小为2
02232
2032()24I R r
IR B R x μμππ??=
=+；方向满足右手螺旋法则。 ①当x R >>时，2
20033224IR I R B x
x
μμππ=
=??； ②当0x =时，（即电流环环心处的磁感应强度）：00224I
I
B R R
μμππ=
=
?；
③对于载流圆弧，若圆心角为θ，则圆弧圆心处的磁感应强度为：04I
R
B μθπ=。
B
?
R
I
dl
B
第③情况也可以直接用毕—沙定律求出：00
0220
444I Idl IRd B R R R
θ
μμ
μθ
θππ
π===??
。 一、选择题： 1．磁场的高斯定理
0S
B dS ?=??
说明了下面的哪些叙述是正确的？（ ）
(a ) 穿入闭合曲面的磁感应线条数必然等于穿出的磁感应线条数； (b ) 穿入闭合曲面的磁感应线条数不等于穿出的磁感应线条数； (c ) 一根磁感应线可以终止在闭合曲面内； (d ) 一根磁感应线可以完全处于闭合曲面内。 （A ）ad ； （B ）ac ； （C ）cd ； （D ）ab 。
【提示：略】
7-2．如图所示，在磁感应强度B 的均匀磁场中作一半经为r 的半球面S ，
S 向边线所在平面法线方向单位矢量n
与B 的夹角为α，则通过半球面
S 的磁通量（取凸面向外为正）Φ为： （ ） （A ）2
r B π；（B ）2
2r B π；（C ）2
sin r B πα-；（D ）2
cos r B πα-。
【提示：由通量定义m B d S Φ=??
知为2cos R B πα-】
7--2．在图（a ）和（b ）中各有一半径相同的圆形回路1L 、2L ，圆周内有电流1I 、2I ，其分布相同，且均在真空中，但在（b ）图中2L 回路外有电流3I ，1P 、2P 为两圆形回路上的对应点，则：（ ） （A ）1
2
d d L L B l B l ?=???
，12P P B B =；
（B ）1
2
d d L L B l B l ?≠??? ，12P P B B =；
（C ）1
2
d d L L B l B l ?=??
? ，12P P B B ≠；
（D ）
1
2
d d L L B l B l ?≠??
? ，12P P B B ≠。
【提示：用0i l
B d l I μ?=∑?
判断有1
2
L L =??
；但P 点的磁感应强度应等于空间各电流在P 点产生磁感强
度的矢量和】
7--1．如图所示，半径为R 的载流圆形线圈与边长为a 的 正方形载流线圈中通有相同的电流I ，若两线圈中心的 磁感应强度大小相等，则半径与边长之比:R a 为：（ ） （A ）1；（B
；（C
/4；（D
/8。
【载流圆形线圈为：00242O I I B R R μμππ=
?=
；正方形载流线圈为：043(cos cos )4/244I B a μπππ?=?-? 则当O B B =
时，有:/4R a =】
7-1．两根长度L 相同的细导线分别密绕在半径为R 和r （2R r =）的两个长直圆筒上形成两个螺线管，两个螺线管长度l 相同，通过的电流I 相同，则在两个螺线管中心的磁感应强度的大小之比:R r B B 为： （ ） （A ）4； （B ）2； （C ）1； （D ）
1
2
。 【提示：用0B nI μ=判断。考虑到2R L n R π=
，2r L
n r
π=】 6．如图所示，在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面S ，当球面S 向长直导线靠近时，穿过球面S 的磁通量Φ和面上各点的磁感应强度B 将如何变化？（ ） （A ）Φ增大，B 也增大；（B ）Φ不变，B 也不变； （C ）Φ增大，B 不变；（D ）Φ不变，B 增大。
【提示：由磁场的高斯定理
0S B dS ?=?? 知Φ不变，但无限长载流直导线附近磁场分布为：02I B r
μπ=】 7．两个载有相等电流I 的半径为R 的圆线圈一个处于水平位置，一个处于竖直位置，两个线圈的圆心重合，则在圆心O 处的磁感应强度大小为多少? （ ）
（A ）0；（B ）R I 2/0μ；（C ）R I 2/20μ；（D ）R I /0μ。
【提示：载流圆线圈在圆心处为00242I I
B R R
μμππ=?=，水平线圈磁场方向向上，竖直线圈磁场方向向里，∴
合成后磁场大小为B =
7-11．如图所示，无限长直导线在P 处弯成半径为R
则在圆心O 点的磁感强度大小等于：（
） (A)
02I R μπ ；
(B) 04I R μ ；(C) 01(1)2I R μπ- ；(D) 01
(1)4I R μπ
+ 。 【提示：载流圆线圈在圆心处为00242I I B R R μμππ=
?=，无限长直导线磁场大小为02I
B R
μπ=，方向相反，合成】 9．如图所示，有一无限大通有电流的扁平铜片，宽度为a ，厚度不计，电流I 在铜片上均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片左边缘为b 处的P 点的磁感强度的大小为：（ ） (A )
02()
I
a b μπ+； (B )
0ln 2I a b b a
μπ+； (C )
0ln 2I a b a b μπ+； (D ) 02[(/2)]
I
a b μπ+。 【提示：无限长直导线磁场大小为02I B r μπ=。若以铜片左边缘为原点，水平向右为x 轴，有：02()
P I
d x
a d B
b x μπ=-，积分有：000ln 22P a I d x I b B a b x a b a μμππ-=
=-+?。注意：ln ln b b a
b a b
+=-+】 P
10．一根很长的电缆线由两个同轴的圆柱面导体组成，若这两个圆柱面的半径分别为R 1和R 2（R 1 （A ） （B ） （C ） （D ） 【提示：由安培环路定理0i l B d l I μ?=∑? 知r 11．有一半径R 的单匝圆线圈，通有电流I ，若将该导线弯成匝数N = 2的平面圆线圈，导 线长度不变，并通以同样的电流，则线圈中心的磁感强度和线圈的磁矩分别是原来的（ ） (A) 4倍和1/8；(B) 4倍和1/2；(C) 2倍和1/4；(D) 2倍和1/2。 【提示：载流圆线圈在圆心磁场为02I B R μ=，导线长度为2R π，利用22'2R R ππ=?，有'/2R R =，∴ 00'2442' 2I I B B R R μμ=? =? =；磁矩可利用m N I S =求出，∵2S R π=，2''/4S R S π==，∴'2/4/2m IS m ==】 12．洛仑兹力可以（ ） （A ）改变带电粒子的速率； （B ）改变带电粒子的动量； （C ）对带电粒子作功； （D ）增加带电粒子的动能。 【提示：由于洛仑兹力总是与带电粒子的速度方向垂直，所以只改变粒子的运动方向而不改变粒子的速率】 13．一张气泡室照片表明，质子的运动轨迹是一半径为0.10m 的圆弧，运动轨迹平面与磁感强度大小为0.3Wb /m 2的磁场垂直，该质子动能的数量级为：（ ） （A ）0.01MeV ； （B ）1MeV ； （C ）0.1MeV ； （D ）10Mev 【提示：由2/ev B mv R =知221()2e BR mv m =，有1922 427 1.6100.30.110()1.6710 K E e eV --???=? 】 7--3．一个半导体薄片置于如图所示的磁场中，薄片通有方向 向右的电流I ，则此半导体两侧的霍尔电势差：（ ） （A ）电子导电，a b V V <；（B ）电子导电，a b V V >； （C ）空穴导电，a b V V >；（D ）空穴导电，a b V V =。 【提示：如果主要是电子导电，据左手定则，知b 板集聚负电荷，有a b V V >；如果主要是空穴导电，据左手定则，知b 板集聚正电荷，有a b V V <】 15．一个通有电流I 的导体，厚度为d ，横截面积为S ，放在磁感强度为B 的匀强磁场中，磁场方向如图所示，现测得导体上下两面电势差为U H ，则此导体的霍尔系数为：（ ） 1 2 R 1 1 2 R 1 2 R （A ）H H U d R I B = ；（B ）H H I BU R S d =；（C ）H H U S R I B d =；（D ）H H I U S R B d =。 【提示：霍尔系数为：1H R nq = ，而霍尔电压为：H I B U nqd =，∴H H U d R I B =】 16．如图所示，处在某匀强磁场中的载流金属导体块中出现霍耳效应，测得两底面M 、N 的电势差为30.310V M N V V --=?，则图中所加匀 强磁场的方向为：（ ） （A ）竖直向上； （B ）竖直向下； （C ）水平向前； （D ）水平向后。 【提示：金属导体主要是电子导电，由题知N 板集聚负电荷，据左手定则，知强磁场方向水平向前】 17．有一由N 匝细导线绕成的平面等腰直角三角形线圈，直角边长为a , 通有电流I ，置于均匀外磁场B 中，当线圈平面的法向与外磁场方向成60 时，该线圈所受的磁力矩M m 为：（ ） (A) 2Na IB ； (B) 2Na IB ； (C) 2sin60IB ；(D) 0 。 【提示：磁矩为m N I S =， 2/2S a =，M m B =? ，∴2sin602NIa B M = 】 18．用细导线均匀密绕成长为l 、半径为a （l >>a ）、总匝数为N 的螺线管，通以稳恒电流I ，当管内充满相对磁导率为r μ的均匀介质后，管中任意一点的（ ） （A ）磁感应强度大小为NI r μμ0； （B ）磁感应强度大小为l NI r /μ； （C ）磁场强度大小为l NI /0μ； （D ）磁场强度大小为l NI /。 【提示：螺线管0r B n I μμ=。而/n N l =，有0/r B N I l μμ=；又0r B H μμ=，有/H N I l =】 19．如图所示的一细螺绕环，它由表面绝缘的导线在铁环上密绕而成，每厘米绕10匝．当导线中的电流I 为2A 时，测得铁环内的磁感应强度的大小B 为1T ，则可求得铁环的相对磁导率r μ为(真空磁导率70410/T m A μπ-=??) （ ） (A) 796 ；(B) 398；(C)199 ；； (D) 63.3。 【提示：螺线管0r B n I μμ=。取n =103】 20．半径为R 的无限长圆柱形直导线置于无穷大均匀磁介质中，其相对磁导率为r μ，导线内通有电流强度为I 的恒定电流，则磁介质内的磁化强度M 为：（ ） （A ）(1)2r I r μπ-- ；（B ） (1)2r I r μπ-；（C ） 2r I r μπ；（D ）2r I r πμ。 【提示：由安培环路定理i l H d l I ?=∑? 知：2I H r π=，再由0r B H μμ=有：02r I B r μμπ=，考虑到0B H M μ=-有：0 (1)222r r B I I I M H r r r μμμπππ= -= -=-】 7--4．磁介质有三种，用相对磁导率r μ表征它们各自的特性时：（ ） （A ）顺磁质0r μ>，抗磁质0r μ<，铁磁质1r μ ； （B ）顺磁质1r μ>，抗磁质1r μ=，铁磁质 1r μ ； （C ）顺磁质1r μ>，抗磁质1r μ<，铁磁质 1r μ ； （D ）顺磁质0r μ<，抗磁质1r μ<，铁磁质0r μ>。 【提示：略】 7--5．两种不同磁性材料做的小棒，分别放在两个磁铁的两个磁极之间，小棒被磁化后在磁极 间处于不同的方位，如图所示，则：（ ） （A ）a 棒是顺磁质， b 棒是抗磁质； （B ）a 棒是顺磁质， b 棒是顺磁质； （C ）a 棒是抗磁质， b 棒是顺磁质； （D ）a 棒是抗磁质， b 棒是抗磁质。 【提示：略】 二、填空题 1．一条载有10A 的电流的无限长直导线，在离它0.5m 远的地方产生的磁感应强度大小B 为 。 【提示：由安培环路定理0i l B d l I μ?=∑? 知02I B r μπ=，有：74101020.5B ππ-??==?6410T -?】 2．一条无限长直导线，在离它0.01m 远的地方它产生的磁感应强度是4 10T -，它所载的电流为 。 【提示：利用02I B r μπ= ，可求得I =5A 】 7-15．如图所示，一条无限长直导线载有电流I ，在离它d 远的地方的 长a 宽l 的矩形框内穿过的磁通量Φ= 。 【提示：由安培环路定理知02I B r μπ=，再由S B dS Φ=??? 有： 02d b d I ld r r μπ+Φ=?=? 0ln 2I l d b d μπ+】 7-9．地球北极的磁场B 可实地测出。如果设想地球磁场是由地球赤道上的一个假想的圆电流(半径为地球半径R )所激发的，则此电流大小为I = 。 【提示：利用载流圆环在轴线上产生的磁感强度公式：2 02 232 2() I R B R x μ= + ，有B =。则I =0 】 5．形状如图所示的导线，通有电流I ，放在与匀强磁场垂直的平 面内，导线所受的磁场力F = 。 I 1 【提示：考虑dF I dl B =? ，再参照书P271例2可知：F =(2)BI l R +】 6．如图所示，平行放置在同一平面内的三条载流长直导线， 要使导线AB 所受的安培力等于零，则x 等于 。 【提示：无限长直导线产生的磁场，考虑导线AB 所在处的合磁场为0，有： 00 222() I I x a x μμππ?=-，解得：x =/3a 】 7.如图所示，两根无限长载流直导线相互平行，通过的电流分别为1I 和2I 。则 1 L B dl ?=? ，2 L B dl ?=? 。 【提示：L 1包围I 1和I 2两个反向电流，有：1 L B dl ?=? 021()I I μ-，而L 2由 于特殊的绕向，包围I 1和I 2两个同向电流，有：2 L B dl ?=? 021()I I μ+】 8．真空中一载有电流I 的长直螺线管，单位长度的线圈匝数为n ，管内中段部分的磁感应强度为 ，端点部分的磁感应强度为 。 【提示：“无限长”螺线管内的磁感强度为0n I μ，“半无限长”螺线管端点处的磁感强度为一半：0/2n I μ】 9.半径为R ，载有电流为I 的细半圆环在其圆心处O 点所产生的磁感强度 ；如果上述条件的半圆改为3/π的圆弧，则圆心处O 点磁感强度 。 【提示：圆弧在圆心点产生的磁感强度：04I B R μθπ= ?，∴半圆环为04I R μ；3π圆弧为 012I R μ】 10．如图所示，ABCD 是无限长导线，通以电流I ，BC 段 被弯成半径为R 的半圆环，CD 段垂直于半圆环所在的平面， AB 的沿长线通过圆心O 和C 点。则圆心O 处的磁感应强度 大小为 。 【提示：AB 段的延长线过O 点，对O 的磁感强度没有贡献。BC 半圆弧段在O 点产生方向垂直于圆弧平面向里的磁感强度：00144I I B R R μμππ=?=，半无限长直导线CD 在O 点处产生方向在圆弧平面内向下的磁感强度：024I B R μπ= ，∴B 】 7-12.一无限长导线弯成如图形状，弯曲部分是一半径为R 的半圆，两直线部分平行且与半圆平面垂直，如在导线上通有电流I ，方向如图。圆心O 处的磁感应强度为 。 【提示：同上题。半圆弧段在O 点产生方向垂直于圆弧平面向里的磁感强度：00144I I B R R μμππ= ?=，两个半无限长直导线在O 点处都产生方向在圆弧平面内向下的磁感强度：022I B R μπ= ，∴B 7-11.两图中都通有电流I ，方向如图示，已知圆的 半径为R ，则真空中O 处的磁场强度大小和方向为： 左图O 处的磁场强度的大小为 ， 方向为 ； 右图O 处的磁场强度的大小为 ，方向为 。 【提示：左图半圆弧段：014I B R μ=，两个半无限长直导线：022I B R μπ= ，方向都是垂直于纸面向里，∴B = 0024I I R R μμπ+ ；右图1/4圆弧：B =08I R μ，方向是垂直于纸面向外，两直导线的延长线都过O 点，对O 的磁感强度没有贡献。】 13．有一相对磁导率为500的环形铁芯，环的平均半径为10cm ，在它上面均匀地密绕着360匝线圈，要使铁芯中的磁感应强度为0.15T ，应在线圈中通过的电流为 。 【提示：利用0r B n I μμ=有0r B I n μμ= ， 则7 0.15 410500360/20.1 I ππ-= ????，解得I =512A 】 7-10．两根长直导线沿半径方向引到铁环上的A 、B 两点，并与很远的 电源相连，如图所示，环中心O 的磁感应强度B = 。 【提示：圆环被分成两段圆弧，在O 点产生的磁场方向相反，圆弧产生磁感强度满足04I B R μθπ= ?，显然，优弧所对的圆心角大，但优弧和劣弧并联，劣弧的电阻小，所分配的电流大。圆心角和电流正好相对涨落，也可经过计算得知：B =0】 7-19．电流I 均匀流过半径为R 的圆形长直导线，则单位长直导线 通过图中所示剖面的磁通量Φ= 。 【提示：在导线内部r 处磁场分布为022I r B R μπ=，则磁通量02012R I r dr R μπ?Φ=?，经计算知：Φ= 04I μπ 】 三、计算题 7-13．如图所示，一半径为R 的无限长半圆柱面导体，沿长度方向的 电流I 在柱面上均匀分布，求中心轴线OO '上的磁感强度。 7-14 彼此平行的线圈构成。若它们的半径均为R 均为I ，相距也为R ，则中心轴线上O 、O 1、O 2的磁感强度分别为多少？ 7-25．霍尔效应可用来测量血流的速度，其原理如图所示， 在动脉血管两侧分别安装电极并加以磁场。设血管的直 径为2mm ，磁场为0.080T ，毫伏表测出血管上下两端的 电压为0.10mV ，血管的流速为多大？ 7-29．如图所示，一根长直导线载有电流为I 1，矩形 回路上的电流为I 2，计算作用在回路上的合力。 7-33．在氢原子中，设电子以轨道角动量2h L π = 绕质子作圆周运动，其半径r 为115.2910m -?，求质子所在处的磁感强度。 （h 为普朗克常数：346.6310J s -??） 7-34．半径为R 的薄圆盘均匀带电，电荷面密度为σ， 令此盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线作匀速转动， 角速度为ω，求轴线上距盘心x 处的磁感强度的 大小和旋转圆盘的磁矩。 7-35.一根同轴电缆线由半径为R 1的长导线和套在它外面的 半径为R 2的同轴薄导体圆筒组成，中间充满相对磁导率 为r μ（1r μ<）的磁介质，如图所示。传导电流沿导线 向上流去，由圆筒向下流回，电流在截面上均匀分布。求 空间各区域内的磁感强度和磁化电流。 8．螺绕环中心周长l =10cm ，环上均匀密绕线圈N =200匝，线圈中通有电流I =100mA 。 （1）求管内的磁感应强度B 0和磁场强度H 0； （2）若管内充满相对磁导率r μ=4200的磁性物质，则管内的B 和H 是多少？ （3）磁性物质内由导线中电流产生的0B 和由磁化电流产生的B '各是多少？ 磁场部分自主学习材料解答 一、选择题： 1.A 2.D 3.C 4.C 5.D 6.D 7.C 8.C 9.C 10.C 11.B 12.B 13.A 14.B 15.A 16.C 17.B 18.D 19.A 20.B 21.C 22.C 三、计算题 1．解：画出导体截面图可见： 电流元电流I I d I Rd d R θθππ=?=， 产生的磁感应强度为：022I d B d R μθπ= ，方向如图； 由于对称性，d B 在y 轴上的分量的积分0y B =；d B 在x 轴上的分量为： 02sin 2x I d B d R μθθπ=，∴00220sin 2x I I B B d R R πμμθθππ===?。方向为Ox 轴负向。 I x 2．解：利用载流圆环在轴线上产生的磁感强度公式：2 02232 2()I R B R x μ= +， 有O 上的磁感强度：2 000223/220.7162[(2)]O IR I I B R R R R μμμ=?= =+； O 1 上的磁感强度：12 0000223/20.677 22()O I IR I I B R R R R R μμμμ= + = =+ 同理O 2上的磁感强度产生的磁感应强度也为：200.677O I B R μ=。 3．解：洛仑兹力解释霍尔效应的方法是： “动平衡时，电场力与洛仑兹力相等”。 有：H qvB qE =，则/H v E B =；又∵/H H E U d = 33 0.1100.625/0.08210 H U v m s B d --?== =??。 4．解：由安培环路定律 0l B d l I μ?=? 知： 电流1 I 产生的磁感应强度分布为：01 2I B r μπ= ，方向?； 则回路左端受到的安培力方向向左，大小：012212I I l F I l B d μπ==1； 回路右端受到的安培力方向向右，大小：012222()I I l F I l B d b μπ==+2； 回路上端受到的安培力方向向上，大小：010122ln 22d b d I d r I I d b F I r d μμππ++==?3； 回路上端受到的安培力方向向下，大小：010122ln 22d b d I d r I I d b F I r d μμππ++==?4； 合力为：01201201222()2() I I l I I l I I l b F d d b d d b μμμπππ=-=? ++，方向向左。 5．解：由电流公式q I t =知电子绕核运动的等价电流为：2e I ω π =， 由L J ω=知22h m r ωπ= ，有224eh I mr π=；利用02I B r μ=得：023 8eh B mr μπ= ∴7 19 34 231113 410 1.610 6.6310 12.589.1110(5.2910) B T ππ-----?????= =???。 6．解：如图取半径为r ，宽为dr 的环带。 元电流：22dq dq dI dq T ωπωπ = ==， 而2dq ds r d r σπσ==， ∴dI r dr σω= I 利用载流圆环在轴线上产生的磁感强度公式： 2 02 232 2() I r B r x μ= +，有22002 23/2 2 23/2 2() 2() r dI r rdr dB r x r x μμσω= = ++ 32222 00223/2 223/2 ()2()4 ()R R r r x x B d r d r r x r x μσω μσω +-== ++?? ，有： 22 02)2 B x μσω= -，方向：x 轴正向。磁矩公式：m I S n = 如图取微元：2d m S d I r r d r πσω== 4 2 4 R R m d m r r d r πσωπσω=== ??，方向：x 轴正向。 7．解：因磁场柱对称，取同轴的圆形安培环路用公式 l H dl I ?=∑? 当10r R <<时，2 12 1 2r rH I R πππ=，得：1212r I H R π=； 当12R r R <<时，22rH I π=，得：22I H r π=； 当2r R >时，320rH π=，得：30H =； 考虑到导体的相对磁导率为1，利用公式0r B H μμ=，有： 01212r I B R μπ= ，02 2r I B r μμπ=，30B =。 再利用公式0 B M H μ= -，得：10M =，2(1)2r I M r μπ-= ，30M = 则磁介质内外表面的磁化电流可由s l I M d l =?? 求出： 当1r R =时，磁介质内侧的磁化电流为：11(1)2(1)2r si r I I R I R μπμπ-= ?=-； 当2r R =时，磁介质外侧的磁化电流为：22 (1)2(1)2r se r I I R I R μπμπ-=?=-。 8．解：（1）由7 5002004100.18100.1 B n I T μππ--==???=?， 而0200 0.1200/0.1 H n I A m ==?=； （2）若4200r μ=，则：5 4200810B T π-=??，0200/H H A m ==； （3）由0'B B B =+，有5 0'4199810B B B T π-=-=??。 第6章 恒定磁场 1． 空间某点的磁感应强度B 的方向，一般可以用下列几种办法来判断，其中哪个是错误的？ （ C ） （A ）小磁针北（N ）极在该点的指向； （B ）运动正电荷在该点所受最大的力与其速度的矢积的方向； （C ）电流元在该点不受力的方向； （D ）载流线圈稳定平衡时，磁矩在该点的指向。 2． 下列关于磁感应线的描述，哪个是正确的? （ D ） （A ）条形磁铁的磁感应线是从N 极到S 极的； （B ）条形磁铁的磁感应线是从S 极到N 极的； （C ）磁感应线是从N 极出发终止于S 极的曲线； （D ）磁感应线是无头无尾的闭合曲线。 3． 磁场的高斯定理 0S d B 说明了下面的哪些叙述是正确的？ （ A ） a 穿入闭合曲面的磁感应线条数必然等于穿出的磁感应线条数； b 穿入闭合曲面的磁感应线条数不等于穿出的磁感应线条数； c 一根磁感应线可以终止在闭合曲面内； d 一根磁感应线可以完全处于闭合曲面内。 （A ）ad ； （B ）ac ； （C ）cd ； （D ）ab 。 4． 如图所示，在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面S ，当曲面S 向长直导线靠近时，穿过曲面S 的磁通量 和面上各点的磁感应强度B 将如何变化？ （ D ） （A ） 增大，B 也增大； （B ） 不变，B 也不变； （C ） 增大，B 不变； （D ） 不变，B 增大。 5． 两个载有相等电流I 的半径为R 的圆线圈一个处于水平位置，一个处于竖直位置，两个线圈的圆心重合，则在圆心o 处的磁感应强度大小为多少? （ C ） （A ）0； （B ）R I 2/0 ； （C ）R I 2/20 ； （D ）R I /0 。 6、有一无限长直流导线在空间产生磁场，在此磁场中作一个以截流导线为轴线的同轴的圆柱形闭合高斯面，则通过此闭合面的磁感应通量（ A ） A 、等于零 B 、不一定等于零 C 、为μ0I D 、为 i n i q 1 1 7、一带电粒子垂直射入磁场B 后，作周期为T 的匀速率圆周运动，若要使运动周期变为T/2，磁感应强度应变为（B ） A 、 B /2 B 、2B C 、B D 、–B 8 竖直向下的匀强磁场中，用细线悬挂一条水平导线。若匀强磁场磁感应强度大小为B ，导线质量为m ， I 《大学物理学》恒定磁场部分自主学习材料 要掌握的典型习题： 1． 载流直导线的磁场：已知：真空中I 、1α、2α、x 。 建立坐标系Oxy ，任取电流元I dl v ，这里，dl dy = P 点磁感应强度大小：02 sin 4Idy dB r μα π= ； 方向：垂直纸面向里?。 统一积分变量：cot()cot y x x παα=-=-； 有：2 csc dy x d αα=；sin()r x πα=-。 则： 2022sin sin 4sin x d B I x μαααπα =?21 0sin 4I d x ααμααπ=?012(cos cos )4I x μααπ-=。 ①无限长载流直导线：παα==210，，02I B x μπ=；（也可用安培环路定理直接求出） ②半无限长载流直导线：παπα==212，，04I B x μπ=。 2．圆型电流轴线上的磁场：已知：R 、I ，求轴线上P 点的磁感应强度。 建立坐标系Oxy ：任取电流元Idl v ，P 点磁感应强度大小： 2 04r Idl dB πμ= ；方向如图。 分析对称性、写出分量式： 0B dB ⊥⊥==?r r ；??==20 sin 4r Idl dB B x x α πμ。 统一积分变量：r R =αsin ∴??==20sin 4r Idl dB B x x απμ?=dl r IR 304πμR r IR ππμ2430?=232220)(2x R IR +=μ。 结论：大小为2 022322032()24I R r IR B R x μμππ??= =+；方向满足右手螺旋法则。 ①当x R >>时，2 20033224IR I R B x x μμππ= =??； ②当0x =时，（即电流环环心处的磁感应强度）：00224I I B R R μμππ= = ?； ③对于载流圆弧，若圆心角为θ，则圆弧圆心处的磁感应强度为：04I R B μθπ=。 B v ? R I dl B v 17.恒定磁场单元练习（二）答案 1．B 2．C 3．A 4．C 5．398 6. 2/2 IB R π，垂直于磁场向上，0 90 7．解：电子在垂直于磁场的平面内作匀速圆周运动 22 ω==mR R v m evB 轨道半径：)(1069.57m eB mv R -?== 旋转频率：)(1080.22119-?=π== νS m eB T 8. 解：（1）055.6''>=-=mV U U U A A AA 根据洛仑兹力公式可判断：载流子为带负电的电子，因而半导体是n 型半导体 （2）由于nqa IB U AA = ' 201086.2' ?== ∴AA qaU IB n （个/m 3） 9. 解：经分析可知，同轴电缆内外磁场具有柱对称性，所以取 同心的圆为安培环路 ∑? =?内） l l I l d H ( A B v :1R r < 22 1 2r R I r H ππ= π? 2 1 002R Ir H B πμ= μ= :21R r R < 02=π?r H 00=μ=H B *10. 半径为R 的均匀带电薄圆盘，总电荷为q ．圆盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线以角速度ω 匀速转动，求（1）盘心处的磁感强度；（2）圆盘的磁矩． 解：（1）均匀带电薄圆盘转动后在圆盘面上会形成许多半径不同的圆电流半径为 r ,厚度为dr 的圆环转动后形成的圆电流为： 2/22R qrdr rdr dt dq di πω=ωππσ== 此圆电流在盘心处产生的磁感应强度为：2 0022R qdr r di dB πωμ=μ= 盘心处的磁感应强度：R q R qdr dB B R S πωμ=πωμ== ? ?22002 0 （2）2 322R dr qr r R qrdr S di dm ω=ππω=?= 圆盘的磁矩：2 2 341qR R dr qr dm m R S ω=ω==?? 磁矩的方向：根据电流的方向用右手定则判断 恒定磁场（一）参考解答一、选择题 1、D 2、B 3、C 二、填空题 1 、大小： 00(1122I I R R μμπ+ 方向：? 2、2 cos B r πα- 3、 0ln 22Ia μπ 三、计算题 1.（1）解：金属薄片单位弧长上的电流为 I R π I dI Rd R θπ= θπμπμd R I R dI dB 20022== j dB i dB j dB i dB B d y x )cos (sin θθ-+=+= 00220020sin 2cos 0 2x x y y I I B dB d R R I B dB d R π πμμθθππμθθπ=== ==-=?? ?? ∴02I B i R μπ=r r 1.（2）解：金属薄片单位弧长上的电流为2I R π 2I dI Rd R θπ= 0022sin (cos )x y dI I dB d R R dB dB i dB j dB i dB j μμθ ππθθ===+=+-r r r r r 002 22000222 0sin cos x x y y I I B dB d R R I I B dB d R R π π μμθθππμμθθππ=====-=-???? ∴0022x y I I B B i B j i j R R μμππ=+=-r r r r r 2.解：（1）01 02 12 ()1 1222 2 I I B I I d d d μμμπππ= + = + 方向：⊙ （2）0102 22() I I B r d r μμππ= + - 121 010******* 1213 22()ln ln 22r r m m S S S r I I d B dS BdS ldx r d r I l I l r r r r r r μμππμμππ+?? Φ=Φ===+???-??++=+????r r g 四.讨论题 320032003210000 00440044O I I O R R I I O R R μμππμμππ====== =?=====101010、（1）圆环电流的B ；两直导线的B 、B ；点总磁感应强度B （2）圆环电流的B ；两直导线的B 、B ；点总磁感应强度B （3）圆环电流的B ；两直导线的B 、B ；点总磁感应强度B e e e 3232003200000114200 O I I O l l O ππ======?=?=+= +-?==== 101012102、（1）三角形电流的B ；两直导线的B 、B ；点总磁感应强度B （2）三角形电流的B ；两直导线的B 、 B ； 点总磁感应强度B B B （ （3）三角形电流的B ；两直导线的B 、B ； 点总磁感应强度B ； 一. 选择题 [ B ]1. 一个动量为p 的电子，沿图示方向入射并能穿过一个宽 度为D 、磁感强度为B (方向垂直纸面向外)的均匀磁场区域，则该电子出射方向和入射方向间的夹角为 (A) p eBD 1 cos -=α． (B) p eBD 1sin -=α． (C) ep BD 1 sin -=α． (D) ep BD 1cos -=α． [ D ]2. A 、B 两个电子都垂直于磁场方向射入一均匀磁场而作圆周运动．A 电子的速率是B 电子速率的两倍．设R A ，R B 分别为A 电子与B 电子的轨道半径；T A ，T B 分别为它们各自的周期．则 (A) R A ∶R B =2，T A ∶T B =2． (B) R A ∶R B 2 1 =，T A ∶T B =1． (C) R A ∶R B =1，T A ∶T B 1 =． (D) R A ∶R B =2，T A ∶T B =1． [ C ]3. 三条无限长直导线等距地并排安放，导线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别载有1 A ，2 A ，3 A 同方向的电流．由于磁相互作用的结果，导线Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ单位长度上分别受力F 1、F 2和F 3，如图所示．则F 1与F 2的比值是： (A) 7/16． (B) 5/8． (C) 7/8． (D) 5/4． 提示： [ B ]4.如图，在一固定的载流大平板附近有一载流小线框能自由转动或平动．线框平面与大平板垂直．大平板的电流与线框中电流方向如图所示，则通电线框的运动情况对着从大平板看是： (A) 靠近大平板． (B) 顺时针转动． (C) 逆时针转动． (D) 离开大平板向外运动． 提示：,B p M m ?= F 1 F 2F 3 1 A 2 A 3 A ⅠⅡⅢ I 1 I 2 《大学物理A Ⅰ》恒定磁场习题、答案及解法 一．选择题。 1.边长为a 的一个导体边框上通有电流I ，则此边框中心的磁感应强度【C 】 （A ）正比于2a ； （B ）与a 成正比； （C ）与a 成反比 ； （D ）与2I 有关。 参考答案：()210cos cos 4ββπμ-= a I B a I a I B πμπππμ002243cos 4cos 2 44= ??? ??-?= 2.一弯成直角的载流导线在同一平面内，形状如图1所示，O 到两边无限长导线的距离均为a ，则O 点磁感线强度的大小【B 】 （A) 0 (B)a I π2u )221(0+ （C ）a I u π20 （D ）a I u o π42 参考答案：()210cos cos 4ββπμ-= a I B ??? ? ??+=??? ??-+??? ??-=+=2212cos 4cos 443cos 0cos 400021a I a I a I B B B πμπππμππμ 3．在磁感应强度为B 的均匀磁场中，沿半径为R 的圆周做一如图2所示的任意曲面S ，则通过曲面S 的磁通量为（已知圆面的法线n 与B 成α角）【D 】 （A ）B 2 r π （B ）θπcos r 2B I （C ）θπsin r -2B （D ）θπcos r 2 B - 参考答案：?-=?=ΦS M B r S d B απcos 2 4.两根长直导线通有电流I ，如图3所示，有3个回路，则【D 】 （A ）I B 0a l d μ-=?? （B) I B 0b 2l d μ=?? （C) 0l d =?? c B （D) I B C 02l d μ=?? 参考答案： ?∑==?L n i i I l d B 1 0μ 5.在磁场空间分别取两个闭合回路，若两个回路各自包围载流导线的条数不同，但电流的代数和相同，则由安培环路定理可知【B 】 (A)B 沿闭合回路的线积分相同，回路上各点的磁场分布相同 (B)B 沿闭合回路的线积分相同，回路上各点的磁场分布不同 (C)B 沿闭合回路的线积分相同，回路上各点的磁场分布相同 (D)B 沿闭合回路的线积分不同，回路上各点的磁场分布不同 参考答案： 6.恒定磁场中有一载流圆线圈，若线圈的半径增大一倍，且其中电流减小为原来的一半，磁场强度变为原来的2倍，则该线圈所受的最大磁力矩与原来线圈的最大磁力矩之比为【 C 】 (A)1:1 (B)2:1 (C)4:1 (D)8:1 参考答案： S I m = B m M ?= ()()1 4 2420000000000 max max =??? ??==B S I B S I B S I ISB M M 第七章 恒定磁场 7 －1 两根长度相同的细导线分别多层密绕在半径为R 和r 的两个长直圆筒上形成两个螺线管，两个螺线管的长度相同，R ＝2r ，螺线管通过的电流相同为I ，螺线管中的磁感强度大小B R 、B r 满足（ ） （A ） r R B B 2= （B ） r R B B = （C ） r R B B =2 （D ）r R B B 4= 分析与解 在两根通过电流相同的螺线管中，磁感强度大小与螺线管线圈单位长度的匝数成正比．根据题意，用两根长度相同的细导线绕成的线圈单位长度的匝数之比 2 1==R r n n r R 因而正确答案为（C ）。 7 －2 一个半径为r 的半球面如图放在均匀磁场中，通过半球面的磁通量 为（ ） （A ）B r 2π2 （B ） B r 2 π （C ）αB r cos π22 （D ） αB r cos π2 分析与解 作半径为r 的圆S ′与半球面构成一闭合曲面，根据磁场的高斯定理，磁感线是闭合曲线，闭合曲面的磁通量为零，即穿进半球面S 的磁通量等于穿出圆面S ′的磁通量；S B ?=m Φ．因而正确答案为（D ）． 7 －3 下列说法正确的是（ ） （A ） 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 （B ） 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 （C ） 磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度必定为零 （D ） 磁感强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意一点的磁感强度都不可能为零 分析与解 由磁场中的安培环路定律，磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度不一定为零；闭合回路上各点磁感强度为零时，穿过回路的电流代数和必定为零。因而正确答案为（B ）． 7 －4 在图（ａ）和（ｂ）中各有一半径相同的圆形回路L1 、L2 ，圆周内有电流I1 、I2 ，其分布相同，且均在真空中，但在（ｂ）图中L2 回路外有电流I3 ，P 1 、P 2 为两圆形回路上的对应点，则（ ） （A ） ? ??=?21L L d d l B l B ，21P P B B = （B ） ???≠?21L L d d l B l B ，21P P B B = （C ） ???=?21L L d d l B l B ，21P P B B ≠ （D ） ???≠?2 1L L d d l B l B ，21P P B B ≠ 分析与解 由磁场中的安培环路定律，积分回路外的电流不会影响磁感强度沿回路的积分；但同样会改变回路上各点的磁场分布．因而正确答案为（C ）． *7 －5 半径为R 的圆柱形无限长载流直导体置于均匀无限大磁介质之 第十一章 恒定电流的磁场 11–1 如图11-1所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I ，求它们在O 点处的磁感应强度B 。 （1）高为h 的等边三角形载流回路在三角形的中心O 处的磁感应强度大小为 ，方向 。 （2）一根无限长的直导线中间弯成圆心角为120°，半径为R 的圆弧形，圆心O 点的磁感应强度大小为 ，方向 。 … 解：（1）如图11-2所示，中心O 点到每一边的距离 为1 3OP h =，BC 边上的电流产生的磁场在O 处的磁感应 强度的大小为 012(cos cos )4πBC I B d μββ=- ^ 00(cos30cos150)4π/34πI I h h μ??=-= 方向垂直于纸面向外。 另外两条边上的电流的磁场在O 处的磁感应强度的 大小和方向都与BC B 相同。因此O 处的磁感应强度是三边电流产生的同向磁场的叠加，即 3BC B B === 方向垂直于纸面向外。 （2）图11-1（b ）中点O 的磁感强度是由ab ，bcd ，de 三段载流导线在O 点产生的磁感强度B 1，B 2和B 3的矢量叠加。由载流直导线的磁感强度一般公式 012(cos cos )4πI B d μββ=- 可得载流直线段ab ，de 在圆心O 处产生的磁感强度B 1，B 3的大小分别为 01(cos0cos30)4cos60) I B R μ?= ?-? π(0(12πI R μ= 031(cos150cos180)4πcos60 I B B R μ?== ?- ?0(12πI R μ= 】 I B 2 图11–2 图11–1 … B （a ） A E （b ） 第6章 恒定磁场 1． 空间某点的磁感应强度B 的方向，一般可以用下列几种办法来判断，其中哪个是错误的？ （ C ） （A ）小磁针北（N ）极在该点的指向； （B ）运动正电荷在该点所受最大的力与其速度的矢积的方向； （C ）电流元在该点不受力的方向； （D ）载流线圈稳定平衡时，磁矩在该点的指向。 2． 下列关于磁感应线的描述，哪个是正确的? （ D ） （A ）条形磁铁的磁感应线是从N 极到S 极的； （B ）条形磁铁的磁感应线是从S 极到N 极的； （C ）磁感应线是从N 极出发终止于S 极的曲线； （D ）磁感应线是无头无尾的闭合曲线。 3． 磁场的高斯定理 ??=?0S d B 说明了下面的哪些叙述是正确的？ （ A ） a 穿入闭合曲面的磁感应线条数必然等于穿出的磁感应线条数； b 穿入闭合曲面的磁感应线条数不等于穿出的磁感应线条数； c 一根磁感应线可以终止在闭合曲面内； d 一根磁感应线可以完全处于闭合曲面内。 （A ）ad ； （B ）ac ； （C ）cd ； （D ）ab 。 4． 如图所示，在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面S ，当曲面S 向长直导线靠近时，穿过曲面S 的磁通量Φ和面上各点的磁感应强度B 将如何变化？ （ D ） （A ）Φ增大，B 也增大； （B ）Φ不变，B 也不变； （C ）Φ增大，B 不变； （D ）Φ不变，B 增大。 5． 两个载有相等电流I 的半径为R 的圆线圈一个处于水平位置，一个处于竖直位置，两个线圈的圆心重合，则在圆心o 处的磁感应强度大小为多少? （ C ） （A ）0； （B ）R I 2/0μ； （C ）R I 2/20μ； （D ）R I /0μ。 6、有一无限长直流导线在空间产生磁场，在此磁场中作一个以截流导线为轴线的同轴的圆柱形闭合高斯面，则通过此闭合面的磁感应通量（ A ） A 、等于零 B 、不一定等于零 C 、为μ0I D 、为 i n i q 1 1 =∑ε 7、一带电粒子垂直射入磁场B 后，作周期为T 的匀速率圆周运动，若要使运动周期变为T/2，磁感应强度应变为（B ） A 、 B /2 B 、2B C 、B D 、–B 8 竖直向下的匀强磁场中，用细线悬挂一条水平导线。若匀强磁场磁感应强度大小为B ，导线质量为m ， I 7+恒定磁场+习题解 答 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 第七章 恒定磁场 7 －1 两根长度相同的细导线分别多层密绕在半径为R 和r 的两个长直圆筒上形成两个螺线管，两个螺线管的长度相同，R ＝2r ，螺线管通过的电流相同为I ，螺线管中的磁感强度大小B R 、B r 满足（ ） （A ） r R B B 2= （B ） r R B B = （C ） r R B B =2 （D ） r R B B 4= 分析与解 在两根通过电流相同的螺线管中，磁感强度大小与螺线管线圈单位长度的匝数成正比．根据题意，用两根长度相同的细导线绕成的线圈单位长度的匝数之比 2 1==R r n n r R 因而正确答案为（C ）。 7 －2 一个半径为r 的半球面如图放在均匀磁场中，通过半球面的磁通量 为（ ） （A ）B r 2π2 （B ） B r 2π （C ）αB r cos π22 （D ） αB r cos π2 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 分析与解 作半径为r 的圆S ′与半球面构成一闭合曲面，根据磁场的高斯定理，磁感线是闭合曲线，闭合曲面的磁通量为零，即穿进半球面S 的磁通量等于穿出圆面S ′的磁通量；S B ?=m Φ．因而正确答案为（D ）． 7 －3 下列说法正确的是（ ） （A ） 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 （B ） 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 （C ） 磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度必定为零 （D ） 磁感强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意一点的磁感强度都不可能为零 分析与解 由磁场中的安培环路定律，磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度不一定为零；闭合回路上各点磁感强度为零时，穿过回路的电流代数和必定为零。因而正确答案为（B ）． 图7-1 07 07 恒定磁场（1） 班号 学号 姓名 成绩 一、选择题 （在下列各题中，均给出了4个~5个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内） 1．通有电流I 的无限长导线abcd ，弯成如图7-1所示的形状。其中半圆段的半径为R ，直线段ba 和cd 均延伸到无限远。则圆心O 点处的磁感强度B 的大小为： A ． R I R I πμμ4400+； B ．R I R I πμμ2400+； C ． R I R I πμμ4200+ ； D ．R I πμ0 。 （A ） [知识点] 载流导线磁场的公式，磁场B 的叠加原理。 [分析与解答] 无限长载流直导线ab 在其延长线上任一点产生的磁场有 01=B 半径为R 的半圆形截流导线bc 在圆心处产生的磁场为 αR I μB π402= R I μR I μ4ππ400==，方向为? 半无限长截流直导线cd 在距其一端点R 处产生的磁场为 R I μB π403= ，方向为? O 点的磁场可以看成由三段载流导线的磁场叠加而得，即 3210B B B B ++= 由于方向一致，则R I μR I μB B B B π44003210+= ++=，方向为?。 2. 如图7-2所示，载流圆形线圈（半径a 1）与正方形线圈（边长a 2）通有相同的电流I 。若两 图7-2 图7-3 个线圈的中心O 1、O 2处的磁感强度大小相等，则半径a 1与边长a 2的比值21:a a 为： A ．1:1； B. 1:2π； C. 4:2π； D. 8:2π。 （D ） [知识点] 载流导线的磁场公式，磁场叠加原理。 [分析与解答] 圆形线圈中心的磁场为 1 012a I μB = 正方形线圈中心的磁场为 ()[]2 02 022245sin 45sin 2 44 a I μa I μB π=?--??π= 由题意知 21B B = 即 2 010222a I μa I μπ= 则 8 221π = a a 3．如图7-3所示，两个半径为R 的相同金属圆环，相互垂直放置，圆心重合于O 点，并在a 、 b 两点相接触。电流I 沿直导线由a 点流入两金属环，并从b 点流出，则环心O 点的磁感强度B 的 大小为： A ． R I 0μ； B ． R I 220μ； C ．0； D ． R I 022μ。 （C ） [知识点] 载流圆弧导线磁场公式，磁场叠加原理。 [分析与解答] 载流半圆形导线在圆心O 的磁场为 R I μB 40= ，方向满足右手螺旋法则 电流在金属环内流动的方向如图7-3(b)所示。 则环心O 处的磁场为 43B B B B B 210+++= 但由于左、右半圆环产生的磁场1B 和2B 以及上、下半圆环产生的磁场3B 和4B 大小相等、方向相 7－1 如图AB 、CD 为长直导线，BC 是一段圆心为O 、半径为R 的圆弧形导线，若导线通有电流I ，求O 点的磁感应强度。 解： AB 段产生：0B 1= BC 段产生：R 12I B 02μ= ，方向垂直向里 CD 段产生：)2 3 1(R 2I )60sin 90(sin 2 R 4I B 00003-= -= πμπμ方向垂直向里 )6 231(R 2I B B B B 03210π πμ+-= ++=，垂直纸面向内 7－2 两条无限长直载流导线垂直且不相交，它们相距最近处为cm 0.2d =，电流分别为 A 0.4I 1=和A 0.6I 2=， P 点到两导线距离都是d ，求P 处的磁感应强度大小。 解： 电流I 1在P 点产生 T 100.4d 2I B 51 01-?== πμ 方向垂直向里 电流I 2在P 点产生 T 100.6d 2I B 52 02-?== πμ 方向在纸面里垂直指向电流I 1 P 点 T 102.7B B B 52 221-?=+= 5.1B B tg 1 2 == θ，91560'=θ 7－3 一宽度为b 的半无限长金属板置于真空中，均匀通有电流0I 。P 点为薄板边线延长线上的一点，与薄板边缘的距离为d 。如图所示。试求P 点的磁感应强度B 。 解 建立坐标轴OX ，如图所示，P 点为X 轴上的一点。整个金属板可视为由无限多条无 限长的载流导线所组成，其中取任意一条载流线，其宽度为dx ，其上载有电流dx b I dl 0 = , 它在P 点产生的场强为 ()x d b b dx I r dI dB P -+= =πμπμ44000 的方向垂直纸面向里。由于每一条无限长直载流线在P 点激发的磁感强度dB 具有相同的方向，所以整个载流金属板在P 点产生的磁感应强度为各载流线在该点产生dB 的代数和，即 ?? -+==b P P x d b dx b I dB B 0 04πμ b x d b b I 0 001 ln 4-+= πμ b d d b I πμ4ln 0 0+= P B 方向垂直于纸面向里。 7－4 两个半径为R 的线圈共轴放置，相距为l ，通有相等的同向电流I ，如图所示，求在离它们中心O 点为x 远处的P 点的磁感强度。 分析 两圆电流在P 点产生的磁场方向相同，利用已经导出的圆电流在轴线上的磁感强度表示式叠加后可得其解．所得结果为x 的函数，可以证明在0=x 处的一阶为零，当R l =时二阶导数也为零，即表明当R l =时在O 点附近的小区域内为均匀磁场．亥姆霍兹线圈在科研和生产实际中应用比较广泛． 解 《电磁场与电磁波》答案(1) 一、判断题（每题2分，共20分） 说明：请在题右侧的括号中作出标记，正确打√，错误打× 1. 均匀平面波是一种在空间各点处电场强度相等的电磁波。 2. 电磁波的电场强度矢量必与波的传播方向垂直。 3. 在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。 4. 静电场是有源无旋场，恒定磁场是有旋无源场。 5. 对于静电场问题，仅满足给定的泊松方程和边界条件，而形式上不同的两个解是不等价的。 6. 电介质在静电场中发生极化后，在介质的表面必定会出现束缚电荷。 7. 用镜像法求解静电场问题的本质，是用场域外的镜像电荷等效的取代原物理边界上的感应电荷或束缚电荷对域内电场的贡献，从而将有界空间问题转化为无界空间问题求解。 8. 在恒定磁场问题中，当矢量位在圆柱面坐标系中可表为()z A A r e =r r 时，磁感应强度矢量必可表为()B B r e φ=r r 。 9. 位移电流是一种假设，因此它不能象真实电流一样产生磁效应。 10.均匀平面波在理想媒质中的传播时不存在色散效应，在损耗媒质中传播时存在色散效应。 二、选择题（每题2分，共20分） （请将你选择的标号填入题后的括号中） 1. 有一圆形气球，电荷均匀分布在其表面上，在此气球被缓缓吹大的过程中，始终处在球外的点其电场强度（ C ）。 [ ×]1 [ ×]2 [ √]3 [ √]4 [ ×]5 [ √]6 [ √]7 [ √]8 [ ×]9 [ √]10 A ．变大 B ．变小 C ．不变 2. 用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ D ）。 A ．镜像电荷是否对称 B ．场域内的电荷分布是否未改变 C ．边界条件是否保持不变 D ．同时选择B 和C 3. 一个导体回路的自感（ D ）。 A ．与回路的电流以及回路的形状、大小、匝数和介质的磁导率有关 B ．仅由回路的形状和大小决定 C ．仅由回路的匝数和介质的磁导率决定 D ．由回路的形状、大小、匝数和介质的磁导率决定 4. 判断下列矢量哪一个可能是恒定磁场（ C ）。 A ．369x y z B xe ye ze =++r r r r B ．369x y z B ye ze ze =++r r r r C ．369x y z B ze xe ye =++r r r r D ．369x y z B xye yze zxe =++r r r r 5. 静电场强度为3(32)()x y z E ye x z e cy z e =+-++r r r r , 试确定常数c 的值（ C ）。 A ．0 B ．2 C ．-2 D ．任意 6. 一根足够长的铜管竖直放置，一条形磁铁沿其轴线从静止开始下落，不计空气阻力，磁铁的运动速率将（ D ）。 A ．越来越大 B ．越来越小 C ．先增加然后减少 D ．先增加然后不变 7. 无限长直同轴圆柱电容器，内外导体单位长度带电荷量分别为l ρ和l ρ-，内外导体之间充满两种均匀电介质，内层为1ε，外层为2ε。分界面是以1R 为半径的柱面。则在介质分界面上有（ C ）。 A ．E 1=E 2, D 1=D 2 B ．E 1≠E 2, D 1≠D 2 C ．E 1≠E 2, D 1=D 2 D ． E 1=E 2, D 1≠D 2 8. 在恒定电场中，媒质1是空气，媒质2是水，在分界面上的衔接条件为（ A ）。 A ．E 1t =E 2t , J 1n =J 2n =0 B ．E 1n =E 2n , J 1n =J 2n C ．E 1t =E 2t , J 1t =J 2t D ．E 1n =E 2n , J 1t =J 2t =0 9. 一半径为 a 的圆柱形导体在均匀外磁场中磁化后，导体内的磁化强度为 0z M M e =r r , 则导体表面的磁化电流密度为（ C ）。 A ．0ms z J M e =r r B ．0ms r J M e =r r C ．0ms J M e φ=r r 10. 良导体的条件为（ A ）。 A ．γωε>> B ．γωε<< C ．γωε= 8-2 如图所示，AB 、CD 为很长的直导线，BC 为圆心在O 点的一段圆弧形导线，其半径为R ．若导线中通以电流I ，求O 点的磁感强度． 解：如题图所示，O 点磁场由AB 、C B 、CD 三部分电流产生．其 中 AB 产生的磁感强度 01=B BC 产生的磁感强度大小R I B 1202μ= ，方向垂直向里 CD 段产生的磁感强度 003(cos150cos180)(1242 I I B R R μμππ??= -= -，方向垂直向里 ∴)6 231(203210π πμ+-= ++=R I B B B B ，方向垂直向里． 8-5 在一半径R =4cm 的无限长半圆柱形金属薄片中，自上而下地有电流I =20 A 通过，电流 分布均匀.如图所示．试求圆柱轴线任一点P 处的磁感应强度． 解：因为金属片无限长，所以圆柱轴线上任一点P 的磁感应强度方向都在圆柱截面上，取坐标如题图所示，取宽为l d 的一无限长直电流 l R I I d d π= ，在轴上P 点产生B d 与R 垂直，大小为 R I R R R I R I B 20002d 2d 2d d πθμ=πθπμ=πμ= R I B B x 2 02d cos cos d d πθ θμ=θ=R I B B y 202d sin )2cos(d d πθθμ-=θ+π = ∴ 5 0022222 cos d [sin sin()] 6.4102222x I I I B R R R π π μμμθθπππππ-- ==--==?? T 0)2d sin (22 20=πθ θμ- =?π π-R I B y ∴ 5 6.410B i -=? T 8-6. 有一半径为R 的单匝圆线圈，通以电流I ，若将该导线弯成匝数N = 2 的平面圆线圈， 习题8-2图 习题8-5图 11-1 恒定电流 电流密度 磁现象：我国是世界上最早发现和应用磁现象的国家之一，早在公元前300年久发现了磁铁矿石吸引铁的现象。在11世纪，我国已制造出航海用的指南。 在1820年之前，人们对磁现象的研究仅局限于铁磁极间的相吸和排斥，而 对磁与电两种现象的研究彼此独立，毫无关联。1820年7月丹麦物理学家奥斯特发表了《电流对磁针作用的实验》，公布了他观察到的电流对磁针的作用，从此开创了磁电统一的新时代。 奥斯特的发现立即引起了法国数学家和物理学家安培的注意，他在短短的几 个星期内对电流的磁效应作出了系列研究，发现不仅电流对磁针有作用，而且两个电流之间彼此也有作用，如图所示；位于磁铁附近的载流线圈也会受到力或力矩的作用而运动。此外，他还发现若用铜线制成一个线圈，通电时其行为类似于一块磁铁。这使他得出这样一个结论：天然磁性的产生也是由于磁体内部有电流流动。每个磁性物质分子内部，都自然地包含一环形电流，称为分子电流，每个分子电流相当于一个极小的磁体，称为分子磁矩。一般物体未被磁化时，单个分子磁矩取向杂乱无章，因而对外不显磁性；而在磁性物体内部，分子磁矩的取向至少未被完全抵消，因而导致磁铁之间有“磁力”相互作用。 1820年是人们对电磁现象的研究取得重大成果的一年。人们发现，电荷的 运动是一切磁现象的根源。一方面，运动电荷在其周围空间激发磁场；另一方面，运动电荷在空间除受电场力作用之外，还受磁场力作用。电磁现象是一个统一的整体，电学和磁学不再是两个分立的学科。 11-1 恒定电流 电流密度 如前所述，电荷的运动是一切磁现象的根源。电荷的定向运动形成电流，称 为传导电流；若电荷或宏观带电物体在空间作机械运动，形成的电流称为运流电流。 常见的电流是沿着一根导线流动的电流，其强弱用电流强度来描述，它等于 单位时间通过某一截面的电量，方向与正电荷流动的方向相同，其数学表达式为 dt dq I ，虽然我们规定了电流强度的方向，但电流强度I 是标量而不是矢量，因为电流的叠加服从代数加减法则，而不服从矢量叠加的平行四边形法则。 实际上还常常遇到电荷在大块导体中流动的情况，由于粗细不均，材料不同 等原因，导体中各点处电流的大小和方向是不同的，形成了一个电流分布。显然，电流强度只能描述导体中通过某一截面的电荷运动的整体特征，而不能描述这种电流分布。 为了描述导体中不同点处的电流分布情况，需要引入一个新的物理量，叫做 电流密度。 11-2 电源 电动势 上一节曾指出，只要在导体两端维持恒定的电势差，导体中就会有恒定的电 流流过。怎样才能维持恒定的电势差呢？ 如图所示的导电回路中，开始时极板A 和B 分别带有正负电荷，A 、B 之间有 电势差，在电场力作用下，正电荷通过导线移到负极板B 上，电荷的流动形成电流。但随着A ，B 两板上电荷的中和，两板间电势差越来越小，因而电流也越来越小，直至最后为零。要想维持导线中的电流不变，必须把正电荷从负极板B 沿两板间路线送回到正极板A 上，以维持A ，B 两板间的电势差。显然，这种移动电荷的力不可能是静电力，因为在静电力的作用下，正电荷的运动方向与此相 第6章 恒定磁场习题解答 1． 空间某点的磁感应强度B 的方向，一般可以用下列几种办法来判断，其中哪个是错误的？ （ C ） （A ）小磁针北（N ）极在该点的指向； （B ）运动正电荷在该点所受最大的力与其速度的矢积的方向； （C ）电流元在该点不受力的方向； （D ）载流线圈稳定平衡时，磁矩在该点的指向。 2． 下列关于磁感应线的描述，哪个是正确的? （ D ） （A ）条形磁铁的磁感应线是从N 极到S 极的； （B ）条形磁铁的磁感应线是从S 极到N 极的； （C ）磁感应线是从N 极出发终止于S 极的曲线； （D ）磁感应线是无头无尾的闭合曲线。 3． 磁场的高斯定理 ??=?0S d B 说明了下面的哪些叙述是正确的？ （ A ） a 穿入闭合曲面的磁感应线条数必然等于穿出的磁感应线条数； b 穿入闭合曲面的磁感应线条数不等于穿出的磁感应线条数； c 一根磁感应线可以终止在闭合曲面； d 一根磁感应线可以完全处于闭合曲面。 （A ）ad ； （B ）ac ； （C ）cd ； （D ）ab 。 4． 如图所示，在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面S ，当曲面S 向长直导线靠近时，穿过曲面S 的磁通量Φ和面上各点的磁感应强度B 将如何变化？ （ D ） （A ）Φ增大，B 也增大； （B ）Φ不变，B 也不变； （C ）Φ增大，B 不变； （D ）Φ不变，B 增大。 5． 两个载有相等电流I 的半径为R 的圆线圈一个处于水平位置，一个处于竖直位置，两个线圈的圆心重合，则在圆心o 处的磁感应强度大小为多少? （ C ） （A ）0； （B ）R I 2/0μ； （C ）R I 2/20μ； （D ）R I /0μ。 6、有一无限长直流导线在空间产生磁场，在此磁场中作一个以截流导线为轴线的同轴的圆柱形闭合高斯面，则通过此闭合面的磁感应通量（ A ） A 、等于零 B 、不一定等于零 C 、为μ0I D 、为 i n i q 1 1 =∑ε 7、一带电粒子垂直射入磁场B 后，作周期为T 的匀速率圆周运动，若要使运动周期变为T/2，磁感应强度应变为（B ） A 、 B /2 B 、2B C 、B D 、–B I 第七章 恒定磁场 答案 一、选择题 1.C 注释：四段载流直导线在O 点的磁场，)135cos 45(cos 2440-=a I B πμ，B 与I 成正比，与a 成反比。 2.B 注释：思路同上题，由一段载流直导线的磁场分布公式)cos (cos 4210θθπμ-= a I B ，可分别求出两段载流导线在O 点的磁感应强度πθθ43,021==，和πθπθ==21,4 1。 3.D 注释：由磁场的高斯定理απφφcos 2r B S -=-=圆 4.D 注释：对磁场安培环路定理的记忆和电流正负的判断，a 回路的方向与I 方向满足右手定则故积分结果应为I l d B a 0μ=?? ，对于b 回路内部电流代数和为零，故0=??b l d B ，对于c 回路两个电流均满足右手定则，故积分结果I l d B c 02μ=?? 。 5.B 注释：此题考察对磁场安培环路定理的理解，B 沿某回路的线积分仅取决于回路内所包围电流的代数和，而与电流的形状和分布无关，但回路上各点的B 应取决于电流的具体分布，由此可得到正确答案。 6.C 注释： 载流线圈在磁场中所受最大磁力矩为mB M =max ，由此可知B R I M 2max π=。 7.A 注释：运动电荷垂至于B 的方向进入磁场后将作匀速圆周运动，因此可等效为一个圆电流，而载流线 圈的磁矩可表示为IS m =，其中22)(eB mv R S ππ==，qB m e T e I π2==，带入磁矩表达式，可得答案。 8.B 注释：略。 9.C 注释：由洛仑兹力的特性，始终垂直与运动电荷的速度方向，所以洛仑兹力不改变运动电荷的速度大小，只改变其方向，所以洛仑兹力对电荷不做功，但其动量发生了变化。 10.B 注释：运动电荷垂至于B 的方向进入磁场后将作匀速圆周运动，轨道曲线所围的面的磁通量为： B q mv qB mv B BS 22 2)()(ππφ===，由此可得答案。 11.B 注释：矩形线框左边框受力方向向右且较大，右边框受力向左且较小，所以整个载流线框受合力向右，所以要远离。 二.填空题 1. 4.0×10－5T 注释：由无限长载流直导线的磁场公式r I B πμ20=可得答案。 1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+?u v u u v u v ,B E t ???=-?u v u v ,0B ?=u v g ,D ρ?=u v g 2静电场的基本方程积分形式为： C E dl =?u v u u v g ? S D ds ρ =?u v u u v g ? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为： 3.00n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H r r r r r r r r r 4线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 4.D E ε=u v u v ,B H μ=u v u u v ,J E σ=u v u v 5电流连续性方程的微分形式为： 5. J t ρ??=- ?r g 6电位满足的泊松方程为 2ρ?ε?=- ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。 1 2??= 1212n n εεεε??=?? 7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理 论依据是: 唯一性定理。 8.电场强度E ?的单位是V/m ，电位移D ? 的单位是C/m2 。 9．静电场的两个基本方程的微分形式为 0E ??= ρ?=g D ； 10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的 库仑力作用外还将受到安培力作用 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A u v ，并令 B A =??u v u v 的依据是（ 0B ?=u v g ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ? ”的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ )ln( 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω=r r 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-?r r r 其振幅值为：3 04510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510.dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S u u v u u v g ?S d q =?得24q D r π= 24D e e u u v v v r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e u u v u u v v r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r u u v u u v v u u v g g g r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε==大学物理第六章-恒定磁场习题解劝答
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