所以S n <2,得证。 4.特征方程法。
例9 已知数列{a n }满足a 1=3, a 2=6, a n +2=4n +1-4a n ,求a n . 【解】 由特征方程x 2=4x -4得x 1=x 2=2. 故设a n =(α+βn )·2n -1,其中?
?
??+=+=2)2(63βαβ
α,
所以α=3,β=0,
所以a n =3·2n -1.
例10 已知数列{a n }满足a 1=3, a 2=6, a n +2=2a n +1+3a n ,求通项a n . 【解】 由特征方程x 2=2x +3得x 1=3, x 2=-1,
所以a n =α·3n
+β·(-1)n
,其中?
??+=-=βαβ
α9633,
解得α=43,β43
-=,
所以1
1)1(3[4
1++-+=n n n a ·3]。
5.构造等差或等比数列。
例11 正数列a 0,a 1,…,a n ,…满足212----n n n n a a a a =2a n -1(n ≥2)且a 0=a 1=1,求通项。 【解】 由12122----=-n n n n n a a a a a 得
2
112----n n n n a a
a a =1, 即.121211
???
? ??+=+---n n n n a a a a
令b n =
1-n n a a +1,则{b n }是首项为0
1a a +1=2,公比为2的等比数列, 所以b n =
1-n n a a +1=2n ,所以1
-n n a a
=(2n -1)2, 所以a n =1-n n a a ·21--n n a a …12a a ·01a a ·a 0=∏=-n k k 1
2
.)12(
注:
∏==n
i i
C
1
C 1·C 2·…·C n .
例12 已知数列{x n }满足x 1=2, x n +1=n
n x x 22
2
+,n ∈N +, 求通项。
【解】 考虑函数f (x )=x x 222+的不动点,由x
x 22
2+=x 得x =.2±
因为x 1=2, x n +1=n
n x x 22
2+,可知{x n }的每项均为正数。
又2n x +2≥n x 22,所以x n +1≥2(n ≥1)。又
X n +1-2=2222
-+n n x x =
n
n x x 2)2(2
-, ①
X n +1+2=2222++n n x x =
n
n x x 2)2(2
+, ② 由①÷②得
2
112222
????
????+-=+-++n n n n x x x x 。 ③
又
2
211+-x x >0,
由③可知对任意n ∈N +,
2
2+-n n x x >0且???
?
????+-=??????
??+-++22lg 222lg 11n n n n x x x x ,
所以??????
??+-22lg n n x x 是首项为???
???+-2222lg ,公比为2的等比数列。
所以1
2
2
2lg
-=+-n n n x x ·??????+-2222lg ,所以=+-22n
n x x 1
22222-?
??
???+-n ,
解得2=
n x ·
1
1
112222)
22()
22()22()22(------+-++n n n n 。
注:本例解法是借助于不动点,具有普遍意义。
三、基础训练题
1. 数列{x n }满足x 1=2, x n +1=S n +(n +1),其中S n 为{x n }前n 项和,当n ≥2时,x n =_________.
2. 数列{x n }满足x 1=
21
,x n +1=2
32+n n x x ,则{x n }的通项x n =_________. 3. 数列{x n }满足x 1=1,x n =12
1
-n x +2n -1(n ≥2),则{x n }的通项x n =_________.
4. 等差数列{a n }满足3a 8=5a 13,且a 1>0, S n 为前n 项之和,则当S n 最大时,n =_________.
5. 等比数列{a n }前n 项之和记为S n ,若S 10=10,S 30=70,则S 40=_________.
6. 数列{x n }满足x n +1=x n -x n -1(n ≥2),x 1=a , x 2=b , S n =x 1+x 2+…+ x n ,则S 100=_________.
7. 数列{a n }中,S n =a 1+a 2+…+a n =n 2-4n +1则|a 1|+|a 2|+…+|a 10|=_________.
8. 若
1
25313322
11-+=
=+=+=+n x x x x x x x x n n ,并且x 1+x 2+…+ x n =8,则x 1=_________. 9. 等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,若
132+=
n n
T S n n ,则n
n n b a ∞→lim =_________. 10. 若n !=n (n -1)…2·1, 则!1
)1(22007
1
n n n n n
++-∑==_________.
11.若{a n }是无穷等比数列,a n 为正整数,且满足a 5+a 6=48, log 2a 2·log 2a 3+ log 2a 2·log 2a 5+ log 2a 2·log 2a 6+ log 2a 5·log 2a 6=36,求?
??
??
?n a 1的通项。 12.已知数列{a n }是公差不为零的等差数列,数列{n
b a }是公比为q 的等比数列,且b 1=1, b 2=5, b 3=17, 求:(1)q 的值;(2)数列{b n }的前n 项和S n 。
四、高考水平训练题
1.已知函数f (x )=????
?
????≥-??
?
??<<-?
?? ?
?
≤+)
1(11211
22121x x x x x x ,若数列{a n }满足a 1=37,a n +1=f (a n )(n ∈N +),
则a 2006=_____________.
2.已知数列{a n }满足a 1=1, a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n -1)a n -1(n ≥2),则{a n }的通项a n =?
?
?≥=)
2()
1(1n n .
3. 若a n =n 2+n λ, 且{a n }是递增数列,则实数λ的取值范围是__________.
4. 设正项等比数列{a n }的首项a 1=2
1
, 前n 项和为S n , 且210S 30-(210+1)S 20+S 10=0,则a n =_____________.
5. 已知31
)
1(33lim 1=-++∞→n n n n a ,则a 的取值范围是______________. 6.数列{a n }满足a n +1=3a n +n (n ∈N +) ,存在_________个a 1值,使{a n }成等差数列;存在________个a 1值,使{a n }成等比数列。 7.已知402
401--=
n n a n (n ∈N +),则在数列{a n }的前50项中,最大项与最小项分别是
____________.
8.有4个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和中16,第二个数与第三个数的和是12,则这四个数分别为____________.
9. 设{a n }是由正数组成的数列,对于所有自然数n , a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项,则a n =____________.
10. 在公比大于1的等比数列中,最多连续有__________项是在100与1000之间的整数. 11.已知数列{a n }中,a n ≠0,求证:数列{a n }成等差数列的充要条件是
1
114332211
1111++=
++++n n n a a a a a a a a a a (n ≥2)①恒成立。 12.已知数列{a n }和{b n }中有a n =a n -1b n , b n =
2
1
1
1---n n a b (n ≥2), 当a 1=p , b 1=q (p >0, q >0)且p +q =1时,(1)求证:a n >0, b n >0且a n +b n =1(n ∈N );(2)求证:a n +1=1
+n n
a a ;(3)求数列.lim n n
b ∞→
13.是否存在常数a , b , c ,使题设等式 1·22+2·32+…+n ·(n +1)2=
12
)1(+n n (an 2
+bn +c ) 对于一切自然数n 都成立?证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题
1.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于3,且各项和为972,这样的数列共有_________个。
2.设数列{x n }满足x 1=1, x n =
7
22
411++--n n x x ,则通项x n =__________.
3. 设数列{a n }满足a 1=3, a n >0,且5
12
3-=n n a a ,则通项a n =__________. 4. 已知数列a 0, a 1, a 2, …, a n , …满足关系式(3-a n +1)·(6+a n )=18,且a 0=3,则
∑=n
i i
a 01
=__________. 5. 等比数列a +log 23, a +log 43, a +log 83的公比为=__________.
6. 各项均为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有__________项.
7. 数列{a n }满足a 1=2, a 2=6, 且
1
12++++n n
n a a a =2,则
=+++∞
→2
21lim
n
a a a n
n ________.
8. 数列{a n } 称为等差比数列,当且仅当此数列满足a 0=0, {a n +1-qa n }构成公比为q 的等比数列,q 称为此等差比数列的差比。那么,由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时,项数最多有__________项.
9.设h ∈N +,数列{a n }定义为:a 0=1, a n +1=???
??+为奇数
为偶数n n
n n a h a a a 2
。问:对于怎样的h ,存
在大于0的整数n ,使得a n =1?
10.设{a k }k ≥1为一非负整数列,且对任意k ≥1,满足a k ≥a 2k +a 2k +1,(1)求证:对任意正整数n ,数列中存在n 个连续项为0;(2)求出一个满足以上条件,且其存在无限个非零项的数列。
11.求证:存在唯一的正整数数列a 1,a 2,…,使得 a 1=1, a 2>1, a n +1(a n +1-1)=
.11
13
22
-+-++n n n n a a a a
六、联赛二试水平训练题
1.设a n 为下述自然数N 的个数:N 的各位数字之和为n 且每位数字只能取1,3或4,求证:a 2n 是完全平方数,这里n =1, 2,….
2.设a 1, a 2,…, a n 表示整数1,2,…,n 的任一排列,f (n )是这些排列中满足如下性质的排列数目:①a 1=1; ②|a i -a i +1|≤2, i =1,2,…,n -1。 试问f (2007)能否被3整除?
3.设数列{a n }和{b n }满足a 0=1,b 0=0,且
????
?=-+=-+=++.
,2,1,0,478,
36711 n b a b b a a n n n n n n 求证:a n (n =0,1,2,…)是完全平方数。
4.无穷正实数数列{x n }具有以下性质:x 0=1,x i +1(1)求证:对具有上述性质的任一数列,总能找到一个n ≥1,使n
n x x x x x x 2122
1120-+++ ≥3.999
均成立;
(2)寻求这样的一个数列使不等式n
n x x x x x x 2
122
1120-+++ <4对任一n 均成立。
5.设x 1,x 2,…,x n 是各项都不大于M 的正整数序列且满足x k =|x k -1-x k -2|(k =3,4,…,n )①.试问这样
的序列最多有多少项?
6.设a 1=a 2=31,且当n =3,4,5,…时,a n =2
2
12212
1
242)21(------+--n n n n n n a a a a a a ,
(ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(ⅱ)求证:
21
-n
a 是整数的平方。 7.整数列u 0,u 1,u 2,u 3,…满足u 0=1,且对每个正整数n , u n +1u n -1=k u u ,这里k 是某个固定的正整数。如果u 2000=2000,求k 的所有可能的值。
8.求证:存在无穷有界数列{x n },使得对任何不同的m, k ,有|x m -x k |≥
.1
k
m - 9.已知n 个正整数a 0,a 1,…,a n 和实数q ,其中0(2)q 1
(k =1,2,…,n ); (3)b 1+b 2+…+b n q
-+11(a 0+a 1+…+a n ).