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浅析主成分分析法及案例分析

浅析主成分分析法及案例分析
浅析主成分分析法及案例分析

主成分分析

在统计学中,主成分分析(principal components analysis, PCA)是一种简化数据集的技术。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中,使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上,第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上,依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数,同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分,忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。

在实证问题研究中,为了全面、系统地分析问题,我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标,在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息,并且指标之间彼此有一定的相关性,因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时,变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性,人们希望在进行定量分析的过程中,涉及的变量较少,得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的,是解决这类题的理想工具

主成分分析法是一种降维的统计方法,它借助于一个正交变换,将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量,这在代数上表现为将原随机向量的协方差阵变换成对角形阵,在几何上表现为将原坐标系变换成新的正交坐标系,使之指向样本点散布最开的p 个正交方向,然后对多维变量系统进行降维处理,使之能以一个较高的精度转换成低维变量系统,再通过构造适当的价值函数,进一步把低维系统转化成一维系统。

主成分分析的主要作用体现在五个方面,第一,主成分分析能降低所研究的数据空间的维数。第二,可通过因子负荷的结论,弄清X变量间的某些关系。第三,可用于多为数据的一种图形表现方法。第四,可由主成分分析构造回归模型,即把各个主成分作为新自变量代替原来自变量做回归分析。第五,用主成分分析筛选回归变量。

案例分析:

下表是关于全国31个省市的8项经济指标,以此为例,进行主成分分析。

省份国内生产居民消费固定资产职工工资货物周转消费价格商品零售工业产值北京1394.892505519.018144373.9117.3112.6843.43天津920.112720345.466501342.8115.2110.6582.51河北2849.521258704.8748392033.3115.2115.81234.85山西1092.481250290.94721717.3116.9115.6697.25内蒙832.881387250.234134781.7117.5116.8419.39辽宁2793.372397387.9949111371.7116.11141840.55吉林1129.21872320.454430497.4115.2114.2762.47黑龙江2014.532334435.734145824.8116.1114.31240.37上海2462.575343996.489279207.4118.71131642.95江苏5155.2519261434.9559431025.5115.8114.32026.64浙江3524.7922491006.396619754.4116.6113.5916.59安徽2003.5812544744609908.3114.8112.7824.14福建2160.522320553.975857609.3115.2114.4433.67江西1205.111182282.844211411.7116.9115.9571.84山东5002.3415271229.5551451196.6117.6114.22207.69河南3002.741034670.3543441574.4116.5114.91367.92湖北2391.421527571.684685849120116.61220.72湖南2195.71408422.6147971011.8119115.5843.83广东5381.7226991639.838250656.5114111.61396.35广西1606.151314382.595105556118.4116.4554.97海南364.171814198.355340232.1113.5111.364.33四川35341261822.544645902.3118.51171431.81贵州630.07942150.844475301.1121.4117.2324.72云南1206.6812613345149310.4121.3118.1716.65西藏55.98111017.877382 4.2117.3114.9 5.57陕西1000.031208300.274396500.9119117600.98甘肃553.351007114.815493507119.8116.5468.79青海165.31144547.76575361.6118116.3105.8宁夏169.75135561.985079121.8117.1115.3114.4新疆834.571469376.965348339119.7116.7428.76

将数据输入SPSS软件,选择“分析”—“降维”—“因子分析”,在出现的对话框中进行以下步骤:

第一步,将八个经济指标都转入到变量中去

第二步:进行各选项的设置,如图

第三步:按“确定”键,分析结果如下:

GET DATA /TYPE=XLSX

/FILE='C:\Users\11\Desktop\数据.xlsx'

/SHEET=name 'Sheet1'

/CELLRANGE=full

/READNAMES=on

/ASSUMEDSTRWIDTH=32767.

DATASET NAME 数据集3 WINDOW=FRONT.

FACTOR

/VARIABLES 国内生产居民消费固定资产职工工资货物周转消费价格商品零售工业产值

/MISSING LISTWISE

/ANALYSIS 国内生产居民消费固定资产职工工资货物周转消费价格商品零售工业产值

/PRINT UNIVARIATE INITIAL CORRELATION DET EXTRACTION

/CRITERIA MINEIGEN(1) ITERATE(25)

/EXTRACTION PC

/ROTATION NOROTATE

/METHOD=CORRELATION.

因子分析

附注

创建的输出11-二月-2012 16时31分44秒注释

输入活动的数据集数据集3

过滤器

权重

拆分文件

工作数据文件中的N 行30 缺失值处理对缺失的定义MISSING=EXCLUDE:用户定义的缺失值作

为缺失对待。

使用的案例LISTWISE:统计量基于对所使用任何变量

都不含缺失值的案例。

语法FACTOR

/VARIABLES 国内生产居民消费固定

资产职工工资货物周转消费价格商

品零售工业产值

/MISSING LISTWISE

/ANALYSIS 国内生产居民消费固定

资产职工工资货物周转消费价格商

品零售工业产值

/PRINT UNIVARIATE INITIAL

CORRELATION DET EXTRACTION

/CRITERIA MINEIGEN(1) ITERATE(25)

/EXTRACTION PC

/ROTATION NOROTATE

/METHOD=CORRELATION.

资源处理器时间00:00:00.078 已用时间00:00:01.410

所需的最大内存9080 (8.867K) 字节[数据集3]

描述统计量

均值标准差分析N 国内生产1921.092667 1.4748060E3 30 居民消费1745.93 861.642 30 固定资产511.508667 402.8853614 30 职工工资5457.63 1310.218 30 货物周转666.140000 459.9669850 30 消费价格117.287 2.0253 30 商品零售114.907 1.8981 30 工业产值862.998000 584.5872585 30

相关矩阵a

商品零售工业产值

相关国内生产-.264 .874

居民消费-.593 .363

固定资产-.359 .792

职工工资-.539 .104

货物周转.022 .659

消费价格.763 -.125

商品零售 1.000 -.192

工业产值-.192 1.000

a. 行列式= .000

公因子方差

初始提取

国内生产 1.000 .945

居民消费 1.000 .800

固定资产 1.000 .902

职工工资 1.000 .875

货物周转 1.000 .857

消费价格 1.000 .957

商品零售 1.000 .929

工业产值 1.000 .903

提取方法:主成份分析。

从“解释的总方差”一表中可以得出相关系数矩阵的特征值为

λ1=3.755,λ2=2.197,λ3=1.215,λ4=0.402,5=0.213,λ6=0.318,

λ7=0.065,λ8=0.015

前三个成分的特征值都大于1,并且累计贡献值达到了89.584%,所以选取了前三个因素作为主成分。

将“成分矩阵”表中没一列值分别除以特征值的开方,就得出了每一个特征值对应的特征向量,由此可以得出第一,第二,第三主成分表达式(令各因素为X1,X2 (8)

F1=0.4567*X1+0.4095*X2+0.8274*X3+0.735*X4+1.053*X5-1.37*X6-2.4318 *X7+6.72*X8

F2=0.1982*X2-0.4034*X2+0.1501*X3-1.1387*X4+2.0468*X5+0.6784*X6+2. 33*X7+3.4864*X8

F3=0.0624*X1+0.1828*X2+0.1923*X3+0.5804*X4-0.5959*X5+2.1455*X6+1. 718*X7+1.7228*X8

根据三个主成分表达式,通过SPSS的转换功能,就可以得出成分结果:

省份F1F2F3

北京13705.16-5881.957046.91

天津10446.78-5197.365630.69

河北15956.233467.834713.74

山西9721-1372.144315.87

内蒙7390.3-1650.263462.48

辽宁19564.533621.656335.88

吉林10015.51-1507.114506

黑龙江14049.71160.945132.78

上海21778.77-5587.419863.21

江苏22960.753202.467724.23

浙江14746.51-2511.376240.97

安徽11271.67-213.014438.96

福建9819.83-3990.124892.59

江西8197.8-1804.893979.48

山东23365.655193.377352.74

河南15953.513670.484892.37

湖北14283.24955.725312.38

湖南11746.87-168.984564.4

广东20630.81-2620.938383.58

广西9209.94-2542.964455.72

海南5248.71-5674.83899.05

四川16350.022217.645689.45

贵州6135.28-3224.343679.63

云南9817.7-2591.244871.34

西藏5522.4-8464.574950.51

陕西8549.38-1775.924085.61

甘肃8034.14-3509.364391.51

青海5266.56-6247.954221.22

宁夏4872.95-5290.883791.89

新疆8015.83-3918.564491.04

综合上述可知,各省份的8个经济指标中国内资产,居民消费,固定工资可以作为衡量经济的主要成分。

主成分分析法matlab实现,实例演示

利用Matlab 编程实现主成分分析 1.概述 Matlab 语言是当今国际上科学界 (尤其是自动控制领域) 最具影响力、也是 最有活力的软件。它起源于矩阵运算,并已经发展成一种高度集成的计算机语言。它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、与其他程序和语言的便捷接口的功能。Matlab 语言在各国高校与研究单位起着重大的作用。主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法,从数学角度来看,这是一种降维处理技术。 1.1主成分分析计算步骤 ① 计算相关系数矩阵 ?? ? ???? ???? ?? ?=pp p p p p r r r r r r r r r R 2 122221 11211 (1) 在(3.5.3)式中,r ij (i ,j=1,2,…,p )为原变量的xi 与xj 之间的相关系数,其计算公式为 ∑∑∑===----= n k n k j kj i ki n k j kj i ki ij x x x x x x x x r 1 1 2 2 1 )() () )(( (2) 因为R 是实对称矩阵(即r ij =r ji ),所以只需计算上三角元素或下三角元素即可。

② 计算特征值与特征向量 首先解特征方程0=-R I λ,通常用雅可比法(Jacobi )求出特征值 ),,2,1(p i i =λ,并使其按大小顺序排列,即0,21≥≥≥≥p λλλ ;然后分别求 出对应于特征值i λ的特征向量),,2,1(p i e i =。这里要求i e =1,即112 =∑=p j ij e ,其 中ij e 表示向量i e 的第j 个分量。 ③ 计算主成分贡献率及累计贡献率 主成分i z 的贡献率为 ),,2,1(1 p i p k k i =∑=λ λ 累计贡献率为 ) ,,2,1(11 p i p k k i k k =∑∑==λ λ 一般取累计贡献率达85—95%的特征值m λλλ,,,21 所对应的第一、第二,…,第m (m ≤p )个主成分。 ④ 计算主成分载荷 其计算公式为 ) ,,2,1,(),(p j i e x z p l ij i j i ij ===λ (3)

主成分分析法总结

主成分分析法总结 在实际问题研究中,多变量问题是经常会遇到的。变量太多,无疑会增加分析问题的难度与复杂性,而且在许多实际问题中,多个变量之间是具有一定的相关关系的。 因此,人们会很自然地想到,能否在相关分析的基础上,用较少的新变量代替原来较多的旧变量,而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来变量所反映的信息? 一、概述 在处理信息时,当两个变量之间有一定相关关系时,可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠,例如,高校科研状况评价中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性;学生综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。而变量之间信息的高度重叠和高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。 为了解决这些问题,最简单和最直接的解决方案是削减变量的个数,但这必然又会导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。为此,人们希望探索一种更为有效的解决方法,它既能大大减少参与数据建模的变量个数,同时也不会造成信息的大量丢失。主成分分析正式这样一种能够有效降低变量维数,并已得到广泛应用的分析方法。 主成分分析以最少的信息丢失为前提,将众多的原有变量综合成较少几个综合指标,通常综合指标(主成分)有以下几个特点: ↓主成分个数远远少于原有变量的个数 原有变量综合成少数几个因子之后,因子将可以替代原有变量参与数据建模,这将大大减少分析过程中的计算工作量。 ↓主成分能够反映原有变量的绝大部分信息 因子并不是原有变量的简单取舍,而是原有变量重组后的结果,因此不会造成原有变量信息的大量丢失,并能够代表原有变量的绝大部分信息。 ↓主成分之间应该互不相关 通过主成分分析得出的新的综合指标(主成分)之间互不相关,因子参与数据建模能够有效地解决变量信息重叠、多重共线性等给分析应用带来的诸多问题。 ↓主成分具有命名解释性 总之,主成分分析法是研究如何以最少的信息丢失将众多原有变量浓缩成少数几个因子,如何使因子具有一定的命名解释性的多元统计分析方法。 主成分分析的具体步骤如下: (1)计算协方差矩阵 计算样品数据的协方差矩阵:Σ=(s ij )p ?p ,其中 1 1()() 1n ij ki i kj j k s x x x x n ==---∑i ,j=1,2,…,p (2)求出Σ的特征值 i λ及相应的正交化单位特征向量i a Σ的前m 个较大的特征值λ1≥λ2≥…λm>0,就是前m 个主成分对应的方差,i λ对应的单 位特征向量 i a 就是主成分Fi 的关于原变量的系数,则原变量的第i 个主成分Fi 为:

主成分分析法精华讲义及实例

主成分分析 类型:一种处理高维数据的方法。 降维思想:在实际问题的研究中,往往会涉及众多有关的变量。但是,变量太多不但会增加计算的复杂性,而且也会给合理地分析问题和解释问题带来困难。一般说来,虽然每个变量都提供了一定的信息,但其重要性有所不同,而在很多情况下,变量间有一定的相关性,从而使得这些变量所提供的信息在一定程度上有所重叠。因而人们希望对这些变量加以“改造”,用为数极少的互补相关的新变量来反映原变量所提供的绝大部分信息,通过对新变量的分析达到解决问题的目的。 一、总体主成分 1.1 定义 设 X 1,X 2,…,X p 为某实际问题所涉及的 p 个随机变量。记 X=(X 1,X 2,…,Xp)T ,其协方差矩阵为 ()[(())(())], T ij p p E X E X X E X σ?∑==-- 它是一个 p 阶非负定矩阵。设 1111112212221122221122T p p T p p T p p p p pp p Y l X l X l X l X Y l X l X l X l X Y l X l X l X l X ?==+++? ==+++?? ??==+++? (1) 则有 ()(),1,2,...,, (,)(,),1,2,...,. T T i i i i T T T i j i j i j V ar Y V ar l X l l i p C ov Y Y C ov l X l X l l j p ==∑===∑= (2) 第 i 个主成分: 一般地,在约束条件 1T i i l l =

及 (,)0,1,2,..., 1.T i k i k C ov Y Y l l k i =∑==- 下,求 l i 使 Var(Y i )达到最大,由此 l i 所确定的 T i i Y l X = 称为 X 1,X 2,…,X p 的第 i 个主成分。 1.2 总体主成分的计算 设 ∑是12(,,...,) T p X X X X =的协方差矩阵,∑的特征值及相应的正交单位化特 征向量分别为 120p λλλ≥≥≥≥ 及 12,,...,, p e e e 则 X 的第 i 个主成分为 1122,1,2,...,,T i i i i ip p Y e X e X e X e X i p ==+++= (3) 此时 (),1,2,...,,(,)0,. T i i i i T i k i k V ar Y e e i p C ov Y Y e e i k λ?=∑==??=∑=≠?? 1.3 总体主成分的性质 1.3.1 主成分的协方差矩阵及总方差 记 12(,,...,) T p Y Y Y Y = 为主成分向量,则 Y=P T X ,其中12(,,...,)p P e e e =,且 12()()(,,...,),T T p Cov Y Cov P X P P Diag λλλ==∑=Λ= 由此得主成分的总方差为 1 1 1 ()()()()(),p p p T T i i i i i i V ar Y tr P P tr P P tr V ar X λ ==== =∑=∑=∑= ∑∑∑ 即主成分分析是把 p 个原始变量 X 1,X 2,…,X p 的总方差

主成分分析-实例

§8 实例 实例1 计算得 1x =71.25,2x =67.5 分析1:基于协差阵∑ 求主成分。 369.6117.9117.9214.3S ?? = ??? 特征根与特征向量(S无偏,用SPSS ) Factor 1 Factor 2 11x x - 0.880 -0.474 22x x - 0.474 0.880 特征值 433.12 150.81 贡献率 0.7417 0.2583 注:样本协差阵为无偏估计11(11)1n n n S X I X n n ''= --, 所以,第一、二主成分的表达式为 112212 0.88(71.25)0.47(67.5) 0.47(71.25)0.88(67.5)y x x y x x =-+-?? =--+-? 第一主成分是英语与数学的加权和(反映了综合成绩),且英语的权数要大于数学的权数。1y 越大,综合成绩越好。(综合成分) 第二主成分的两个系数异号(反映了两科成绩的均衡性)。不妨将英语称为文科,数学称为理科。2y 越大,说明偏科(文、理成绩不均衡),2y 越小,越接近于零,说明不偏科(文、理成绩均衡)。(结构成分)

问题:英语的权数为何大?如何解释? 分析2: 基于相关阵R 求主成分。因为 1x =71.25,2x =67.5 所以相关阵 11R ? =? ? ? 解得R 的特征根为:1λ=1.419,2λ=0.581,对应的单位特征向量分别为: Factor 1 Factor 2 11 1x x s - 0.707 0.707 22 2 x x s - 0.707 -0.707 特征根 1.419 0.581 贡献率 0.709 0.291 所以,第一、二主成分的表达式为 12112271.2567.50.7070.70717.9813.6971.2567.50.7070.70717.9813.69x x y x x y --? =+=+?? ? --?=-=-?? 1122120.039(71.25)0.052(67.5) 0.039(71.25)0.052(67.5)y x x y x x =-+-?? =---? 112212 0.0390.052 6.273 0.0390.0520.671y x x y x x =+-?? =-+? * 2*11707.0707.0x x y += *2*12707.0707.0x x y -= 基于相关阵的更说明了: 第一主成分是英语与数学的加权总分。 第二主成分是对两科成绩均衡性的度量。 此例说明:基于协差阵与基于相关阵的主成分分析的结果不一致。结合此例的实际背景,经对比分析可知,基于协差阵的主成分分析更符合实际。

主成分分析法实例

1、主成分法: 用主成分法寻找公共因子的方法如下: 假定从相关阵出发求解主成分,设有p 个变量,则可找出p 个主成分。将所得的p 个主成分按由大到小的顺序排列,记为1Y ,2Y ,…,P Y , 则主成分与原始变量之间存在如下关系: 11111221221122221122....................p p p p p p p pp p Y X X X Y X X X Y X X X γγγγγγγγγ=+++?? =+++??? ?=+++? 式中,ij γ为随机向量X 的相关矩阵的特征值所对应的特征向量的分量,因为特征向量之间彼此正交,从X 到Y 得转换关系是可逆的,很容易得出由Y 到 X 得转换关系为: 11112121212122221122....................p p p p p p p pp p X Y Y Y X Y Y Y X Y Y Y γγγγγγγγγ=+++?? =+++??? ?=+++? 对上面每一等式只保留钱m 个主成分而把后面的部分用i ε代替,则上式变为: 111121211 2121222221122................. ...m m m m p p p mp m p X Y Y Y X Y Y Y X Y Y Y γγγεγγγεγγγε=++++??=++++????=++++? 上式在形式上已经与因子模型相一致,且i Y (i=1,2,…,m )之间相互独立,且i Y 与i ε之间相互独立,为了把i Y 转化成合适的公因子,现在要做的工作只是把主成分i Y 变为方差为1的变量。为完成此变换,必须将i Y 除以其标准差,由主成分分析的知识知其标准差即为特征根的平方根 i λ/i i i F Y λ=, 1122m m λγλγλγ,则式子变为:

主成分分析法及其在SPSS中的操作

一、主成分分析基本原理 概念:主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法。从数学角度来看,这是一种降维处理技术。 思路:一个研究对象,往往是多要素的复杂系统。变量太多无疑会增加分析问题的难度和复杂性,利用原变量之间的相关关系,用较少的新变量代替原来较多的变量,并使这些少数变量尽可能多的保留原来较多的变量所反应的信息,这样问题就简单化了。 原理:假定有n 个样本,每个样本共有p 个变量,构成一个n ×p 阶的数据矩阵, 记原变量指标为x 1,x 2,…,x p ,设它们降维处理后的综合指标,即新变量为 z 1,z 2,z 3,… ,z m (m ≤p),则 系数l ij 的确定原则: ①z i 与z j (i ≠j ;i ,j=1,2,…,m )相互无关; ②z 1是x 1,x 2,…,x P 的一切线性组合中方差最大者,z 2是与z 1不相关的x 1,x 2,…,x P 的所有线性组合中方差最大者; z m 是与z 1,z 2,……,z m -1都不相关的x 1,x 2,…x P , 的所有线性组合中方差最大者。 新变量指标z 1,z 2,…,z m 分别称为原变量指标x 1,x 2,…,x P 的第1,第2,…,第m 主成分。 从以上的分析可以看出,主成分分析的实质就是确定原来变量x j (j=1,2 ,…, p )在诸主成分z i (i=1,2,…,m )上的荷载 l ij ( i=1,2,…,m ; j=1,2 ,…,p )。 ?????? ? ???????=np n n p p x x x x x x x x x X 2 1 2222111211 ?? ??? ? ?+++=+++=+++=p mp m m m p p p p x l x l x l z x l x l x l z x l x l x l z 22112222121212121111............

主成分分析PCA(含有详细推导过程以及案例分析matlab版)

主成分分析法(PCA) 在实际问题中,我们经常会遇到研究多个变量的问题,而且在多数情况下,多个变量之间常常存在一定的相关性。由于变量个数较多再加上变量之间的相关性,势必增加了分析问题的复杂性。如何从多个变量中综合为少数几个代表性变量,既能够代表原始变量的绝大多数信息,又互不相关,并且在新的综合变量基础上,可以进一步的统计分析,这时就需要进行主成分分析。 I. 主成分分析法(PCA)模型 (一)主成分分析的基本思想 主成分分析是采取一种数学降维的方法,找出几个综合变量来代替原来众多的变量,使这些综合变量能尽可能地代表原来变量的信息量,而且彼此之间互不相关。这种将把多个变量化为少数几个互相无关的综合变量的统计分析方法就叫做主成分分析或主分量分析。 主成分分析所要做的就是设法将原来众多具有一定相关性的变量,重新组合为一组新的相互无关的综合变量来代替原来变量。通常,数学上的处理方法就是将原来的变量做线性组合,作为新的综合变量,但是这种组合如果不加以限制,则可以有很多,应该如何选择呢?如果将选取的第一个线性组合即第一个综合变量记为1F ,自然希望它尽可能多地反映原来变量的信息,这里“信息”用方差来测量,即希望)(1F Var 越大,表示1F 包含的信息越多。因此在所有的线性组合中所选取的1F 应该是方差最大的,故称1F 为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来p 个变量的信息,再考虑选取2F 即第二个线性组合,为了有效地反映原来信息,1F 已有的信息就不需要再出现在2F 中,用数学语言表达就是要求 0),(21=F F Cov ,称2F 为第二主成分,依此类推可以构造出第三、四……第p 个主成分。 (二)主成分分析的数学模型 对于一个样本资料,观测p 个变量p x x x ,,21,n 个样品的数据资料阵为: ??????? ??=np n n p p x x x x x x x x x X 21 222 21112 11()p x x x ,,21=

主成分案例分析

主成分案例分析 主成分分析案例 ---我国各地区普通高等教育发展水平综合评价 (一)案例教学目的 主成分分析试图在力保数据信息丢失最少的原则下,对多变量的截面数据表进行最佳综合简化,也就是说,对高维变量空间进行降维处理。本案例运用主成分分析方法综合评价我国各地区普通高等教育的发展水平。通过本案例的教学,力图使学生加深对主成分分析的统计思想和实际意义的理解,明确主成分分析方法的适用环境,掌握主成分分析软件实现操作方法,提高学生思考、分析和解决实际问题的能力。 (二)案例研究背景 近年来,我国普通高等教育得到了迅速发展,为国家培养了大批人才。但由于我国各地区经济发展水平不均衡,加之高等院校原有布局使各地区高等教育发展的起点不一致,因而各地区普通高等教育的发展水平存在一定的差异。对我国各地区普通高等教育的发展水平进行综合评价,明确各地区的差异,有利于管理和决策部门从宏观上把握各地区普通高等教育的发展现状,更好的指导和规划高教事业的健康发展。 (三)案例研究过程 1、建立综合评价指标体系 高等教育是依赖高等院校进行的,高等教育的发展状况主要体现在高等院校的相关方面。遵循选取评价指标的目的性和可比性原则,从高等教育的五个方面选取十项评价指标,具体如下:

2、数据资料 指标的原始数据取自《中国统计年鉴,1995》和《中国教育统计年鉴,1995》除以各地区相应的人口数得到十项指标值见表1。其中:x为每百万人口高等院校数;x为每十万人口高等院校毕业生数;x123为每十万人口高等院校招生数;x为每十万人口高等院校在校生数;4 x 为每十万人口高等院校教职工数;x 为每十万人口高等院校专职56 教师数;x为高级职称占专职教师的比例;x为平均每所高等院校的78 在校生数;x为国家财政预算内普通高教经费占国内生产总值的比9 重;x为生均教育经费。 10 表1-1 我国各地区普通高等教育发展状况数据地区 x x x x x x x x x x 12345678910北京1 5.96 310 461 1557 931 319 44.36 2615 2.2 13631 上海2 3.39 234 308 1035 498 161 35.02 3052 0.9 12665 天津3 2.35 157 229 713 295 109 38.4 3031 0.86 9385 陕西4 1.35 81 111 364 150 58 30.45 2699 1.22 7881 辽宁5 1.5 88 128 421 144 58 34.3 2808 0.54 7733 吉林6 1.67 86 120 370 153 58 33.53 2215 0.76 7480 黑龙江7 1.17 63 93 296 117 44 35.22 2528 0.58 8570 湖北8 1.05 67 92 297 115 43 32.89

主成分分析案例

姓名:XXX 学号:XXXXXXX 专业:XXXX 用SPSS19软件对下列数据进行主成分分析: ……

一、相关性 通过对数据进行双变量相关分析,得到相关系数矩阵,见表1。 表1 淡化浓海水自然蒸发影响因素的相关性 由表1可知: 辐照、风速、湿度、水温、气温、浓度六个因素都与蒸发速率在0.01水平上显著相关。 分析:各变量之间存在着明显的相关关系,若直接将其纳入分析可能会得到因多元共线性影响的错误结论,因此需要通过主成份分析将数据所携带的信息进行浓缩处理。 二、KMO和球形Bartlett检验 KMO和球形Bartlett检验是对主成分分析的适用性进行检验。 KMO检验可以检查各变量之间的偏相关性,取值范围是0~1。KMO的结果越接近1,表示变量之间的偏相关性越好,那么进行主成分分析的效果就会越好。实际分析时,KMO统计量大于0.7时,效果就比较理想;若当KMO统计量小于0.5时,就不适于选用主成分分析法。 Bartlett球形检验是用来判断相关矩阵是否为单位矩阵,在主成分分析中,若拒绝各变量独立的原假设,则说明可以做主成分分析,若不拒绝原假设,则说明这些变量可能独立提供一些信息,不适合做主成分分析。

由表2可知: 1、KMO=0.631<0.7,表明变量之间没有特别完美的信息的重叠度,主成分分析得到的模型又可能不是非常完善,但仍然值得实验。 2、显著性小于0.05,则应拒绝假设,即变量间具有较强的相关性。 三、公因子方差 公因子方差表示变量共同度。表示各变量中所携带的原始信息能被提取出的主成分所体现的程度。 由表3可知: 几乎所有变量共同度都达到了75%,可认为这几个提取出的主成分对各个变量的阐释能力比较强。 四、解释的总方差 解释的总方差给出了各因素的方差贡献率和累计贡献率。

主成分分析法PCA的原理

主成分分析法原理简介 1.什么是主成分分析法 主成分分析也称主分量分析,是揭示大样本、多变量数据或样本之间内在关系的一种方法,旨在利用降维的思想,把多指标转化为少数几个综合指标,降低观测空间的维数,以获取最主要的信息。 在统计学中,主成分分析(principal components analysis, PCA)是一种简化数据集的技术。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中,使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上,第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上,依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数,同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分,忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是,这也不是一定的,要视具体应用而定。 2.主成分分析的基本思想 在实证问题研究中,为了全面、系统地分析问题,我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标,在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息,并且指标之间彼此有一定的相关性,因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时,变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性,人们希望在进行定量分析的过程中,涉及的变量较少,得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的,是解决这类题的理想工具。 对同一个体进行多项观察时必定涉及多个随机变量X1,X2,…,X p,它们之间都存在着相关性,一时难以综合。这时就需要借助主成分分析来概括诸多信息的主要方面。我们希望有一个或几个较好的综合指标来概括信息,而且希望综合指标互相独立地各代表某一方面的性质。

SPSS软件进行主成分分析的应用例子

SPSS软件进行主成分分析的应用例子

SPSS软件进行主成分分析的应用例子 2002年16家上市公司4项指标的数据[5]见表2,定量综合赢利能力分析如下: 公司销售净利率(X1)资产净利率(X2)净资产收益率(X3)销售毛利率(X4) 歌华有线五粮液用友软件太太药业浙江阳光烟台万华方正科技红河光明贵州茅台中铁二局红星发展伊利股份青岛海尔湖北宜化雅戈尔福建南纸43.31 17.11 21.11 29.55 11.00 17.63 2.73 29.11 20.29 3.99 22.65 4.43 5.40 7.06 19.82 7.26 7.39 12.13 6.03 8.62 8.41 13.86 4.22 5.44 9.48 4.64 11.13 7.30 8.90 2.79 10.53 2.99 8.73 17.29 7.00 10.13 11.83 15.41 17.16 6.09 12.97 9.35 14.3 14.36 12.53 5.24 18.55 6.99 54.89 44.25 89.37 73 25.22 36.44 9.96 56.26 82.23 13.04 50.51 29.04 65.5 19.79 42.04 22.72 第一,将EXCEL中的原始数据导入到SPSS软件中; 注意: 导入Spss的数据不能出现空缺的现象,如出现可用0补齐。 【1】“分析”|“描述统计”|“描述”。 【2】弹出“描述统计”对话框,首先将准备标准化的变量移入变量组中,此时,最重要的一步就是勾选“将标准化得分另存为变量”,最后点击确定。 【3】返回SPSS的“数据视图”,此时就可以看到新增了标准化后数据的字段。 所做工作: a. 原始数据的标准化处理

主成分分析法概念及例题

主成分分析法 [ 编辑 ] 什么是主成分分析法 主成分分析也称 主分量分析 ,旨在利用降维的思想,把多 指标 转化为少数几个综合指标。 在 统计学 中,主成分分析( principal components analysis,PCA )是一种简化数据集的技 术。它是一个线性变换。 这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中, 使得任何数据投影的第一 大方差 在第一个坐标 (称为第一主成分 )上,第二大方差在第二个坐标 (第二主成分 )上,依次类推。 主成分分析经常用减少数据集的维数, 同时保持数据集的对 方差 贡献最大的特征。 这是通过保留 低阶主成分,忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是, 这也不是一定的,要视具体应用而定。 [ 编辑 ] , PCA ) 又称: 主分量分析,主成分回归分析法 主成分分析( principal components analysis

主成分分析的基本思想 在实证问题研究中,为了全面、系统地分析问题,我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标,在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息,并且指标之间彼此有一定的相关性,因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时,变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性,人们希望在进行定量分析的过程中,涉及的变量较少,得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的,是解决这类题的理想工具。 同样,在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。科普效果是很难具体量化的。在实际评估工作中,我们常常会选用几个有代表性的综合指标,采用打分的方法来进行评估,故综合指标的选取是个重点和难点。如上所述,主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性,就必然存在着起支配作用的因素。根据这一点,通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究,找出影响科普效果某一要素的几个综合指标,使综合指标为原来变量的线性拟合。这样,综合指标不仅保留了原始变量的主要信息,且彼此间不相关,又比原始变量具有某些更优越的性质,就使我们在研究复杂的科普效果评估问题时,容易抓住主要矛盾。上述想法可进一步概述为:设某科普效果评估要素涉及个指标,这指标构成的维随机向量为。对作正交变换,令,其中为正交阵,的各分量是不相关的,使得的各分量在某个评估要素中的作用容易解释,这就使得我们有可能从主分量中选择主要成分,削除对这一要素影响微弱的部分,通过对主分量的重点分析,达到对原始变量进行分析的目的。的各分量是原始变量线性组合,不同的分量表示原始变量之间不同的影响关系。由于这些基本关系很可能与特定的作用过程相联系,主成分分析使我们能从错综复杂的科普评估要素的众多指标中,找出一些主要成分,以便有效地利用大量统计数据,进行科普效果评估分析,使我们在研究科普效果评估问题中,可能得到深层次的一些启发,把科普效果评估研究引向深入。 例如,在对科普产品开发和利用这一要素的评估中,涉及科普创作人数百万人、科普作品发行量百万人、科普产业化(科普示范基地数百万人)等多项指标。经过主成分分析计算,最后确定个或个主成分作为综合评价科普产品利用和开发的综合指标,变量数减少,并达到一定的可信度,就容易进行科普效果的评估。 [ 编辑] 主成分分析法的基本原理 主成分分析法是一种降维的统计方法,它借助于一个正交变换,将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量,这在代数上表现为将原随机向量的协方差阵变换成对角形阵,在几何上表现为将原坐标系变换成新的正交坐标系,使之指向样本点散布最开的p 个正交方向,然后对多维变量系统进行降维处理,使之能以一个较高的精度转换成低维变量系统,再通过构造适当的价值函数,进一步把低维系统转化成一维系统。 [ 编辑] 主成分分析的主要作用

主成分分析计算方法和步骤

主成分分析计算方法和步骤: 在对某一事物或现象进行实证研究时,为了充分反映被研究对象个体之间的差异, 研究者往往要考虑增加测量指标,这样就会增加研究问题的负载程度。但由于各指标都是对同一问题的反映,会造成信息的重叠,引起变量之间的共线性,因此,在多指标的数据分析中,如何压缩指标个数、压缩后的指标能否充分反映个体之间的差异,成为研究者关心的问题。而主成分分析法可以很好地解决这一问题。 主成分分析的应用目的可以简单地归结为: 数据的压缩、数据的解释。它常被用来寻找和判断某种事物或现象的综合指标,并且对综合指标所包含的信息给予适当的解释, 从而更加深刻地揭示事物的内在规律。 主成分分析的基本步骤分为: ①对原始指标进行标准化,以消除变量在数量极或量纲上的影响;②根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵 R; ③求出 R 矩阵的特征根和特征向量; ④确定主成分,结合专业知识对各主成分所蕴含的信息给予适当的解释;⑤合成主成分,得到综合评价值。 结合数据进行分析 本题分析的是全国各个省市高校绩效评价,利用全国2014年的相关统计数据(见附录),从相关的指标数据我们无法直接评价我国各省市的高等教育绩效,而通过表5-6的相关系数矩阵,可以看到许多的变量之间的相关性很高。如:招生人数与教职工人数之间具有较强的相关性,教育投入经费和招生人数也具有较强的相关性,教工人数与本科院校数之间的相关系数最高,到达了0.963,而各组成成分之间的相关性都很高,这也充分说明了主成分分析的必要性。 表5-6 相关系数矩阵 本科院校 数招生人数教育经费投入 相关性师生比0.279 0.329 0.252 重点高校数0.345 0.204 0.310 教工人数0.963 0.954 0.896 本科院校数 1.000 0.938 0.881 招生人数0.938 1.000 0.893 教育经费投 0.881 0.893 1.000 入

SPSS软件进行主成分分析的应用例子

SPSS软件进行主成分分析的应用例子 2002年16家上市公司4项指标的数据[5]见表2,定量综合赢利能力分析如下: 第一,将EXCEL中的原始数据导入到SPSS软件中; 【1】“分析”|“描述统计”|“描述”。 【2】弹出“描述统计”对话框,首先将准备标准化的变量移入变量组中,此时,最重要的一步就是勾选“将标准化得分另存为变量”,最后点击确定。 【3】返回SPSS的“数据视图”,此时就可以看到新增了标准化后数据的字段。

数据标准化主要功能就是消除变量间的量纲关系,从而使数据具有可比性,可以举个简单的例子,一个百分制的变量与一个5分值的变量在一起怎么比较?只有通过数据标准化,都把它们标准到同一个标准时才具有可比性,一般标准化采用的是Z标准化,即均值为0,方差为1,当然也有其他标准化,比如0--1标准化等等,可根据自己的研究目的进行选择,这里介绍怎么进行数据的Z标准化。 所的结论: 标准化后的所有指标数据。 注意: SPSS 在调用Factor Analyze 过程进行分析时, SPSS 会自动对原始数据进行标准化处理, 所以在得到计算结果后的变量都是指经过标准化处理后的变量, 但SPSS 并不直接给出标准化后的数据, 如需要得到标准化数据, 则需调用Descriptives 过程进行计算。 factor过程对数据进行因子分析(指标之间的相关性判定略)。 【1】“分析”|“降维”|“因子分析”选项卡,将要进行分析的变量选入“变量”列表;

【2】设置“描述”,勾选“原始分析结果”和“KMO与Bartlett球形度检验”复选框; 【3】设置“抽取”,勾选“碎石图”复选框; 【4】设置“旋转”,勾选“最大方差法”复选框; 【5】设置“得分”,勾选“保存为变量”和“因子得分系数”复选框; 【6】查看分析结果。 所做工作: a.查看KMO和Bartlett 的检验 KMO值接近1.KMO值越接近于1,意味着变量间的相关性越强,原有变量越适合作因子分析; Bartlett 球度度检验的Sig值越小于显著水平0.05,越说明变量之间存在相关关系。 所的结论: 符合因子分析的条件,可以进行因子分析,并进一步完成主成分分析。 注意: 1.KMO(Kaiser-Meyer-Olkin) KMO统计量是取值在0和1之间。当所有变量间的简单相关系数平方和远远大于偏相关系数平方和时,KMO值接近1.KMO值越接近于1,意味着变量间的相关性越强,原有变量越适合作因子分析;当所有变量间的简单相关系数平方和接近0时,KMO值接近0.KMO值越接近于0,意味着变量间的相关性越弱,原有变量越不适合作因子分析。 Kaiser给出了常用的kmo度量标准: 0.9以上表示非常适合;0.8表示适合;0.7表示一般; 0.6表示不太适合;0.5以下表示极不适合。 2.Bartlett 球度检验: 巴特利特球度检验的统计量是根据相关系数矩阵的行列式得到的,如果该值较大,且其对应的相伴概率值小于用户心中的显著性水平,那么应该拒绝零假设,认为相关系数矩阵不可能是单位阵,即原始变量之间存在相关性,适合于做主成份分析;相反,如果该统计量比较小,且其相对应的相伴概率大于显著性水平,则不能拒绝零假设,认为相关系数矩阵可能是单位阵,不宜于做因子分析。 Bartlett 球度检验的原假设为相关系数矩阵为单位矩阵,Sig值为0.001小于显著水平0.05,因此拒绝原假设,说明变量之间存在相关关系,适合做因子分析。 所做工作: b. 全部解释方差或者解释的总方差(Total Variance Explained)

R语言主成分分析的案例

R 语言主成分分析的案例
R 语言也介绍到案例篇了,也有不少同学反馈说还是不是特别明白一些基础的东西,希望能 够有一些比较浅显的可以操作的入门。其实这些之前 SPSS 实战案例都不少,老实说一旦用 上了开源工具就好像上瘾了,对于以前的 SAS、clementine 之类的可视化工具没有一点 感觉了。本质上还是觉得要装这个、装那个的比较麻烦,现在用 R 或者 python 直接简单 安装下,导入自己需要用到的包,活学活用一些命令函数就可以了。以后平台上集成 R、 python 的开发是趋势,包括现在 BAT 公司内部已经实现了。 今天就贴个盐泉水化学分析资料的主成分分析和因子分析通过 R 语言数据挖掘的小李 子: 有条件的同学最好自己安装下 R,操作一遍。 今有 20 个盐泉,盐泉的水化学特征系数值见下表.试对盐泉的水化学分析资料作主成分分 析和因子分析.(数据可以自己模拟一份)
其中 x1:矿化度(g/L);

x2:Br?103/Cl; x3:K?103/Σ 盐; x4:K?103/Cl; x5:Na/K; x6:Mg?102/Cl; x7:εNa/εCl.
1.数据准备
导入数据保存在对象 saltwell 中 >saltwell<-read.table("c:/saltwell.txt",header=T) >saltwell
2.数据分析

1 标准误、方差贡献率和累积贡献率
>arrests.pr<- prcomp(saltwell, scale = TRUE) >summary(arrests.pr,loadings=TRUE)
2 每个变量的标准误和变换矩阵
>prcomp(saltwell, scale = TRUE)
3 查看对象 arests.pr 中的内容
>> str(arrests.pr)

主成分分析方法及matlab运用解释

主成分分析方法 在许多实际问题中,多个变量之间是具有一定的相关关系的。因此,我们就会很自然地想到,能否在各个变量之间相关关系研究的基础上,用较少的新变量代替原来较多的变量,而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来较多的变量所反映的信息事实上,这种想法是可以实现的,这里介绍的主成分分析方法就是综合处理这种问题的一种强有力的方法。 一、主成分分析的基本原理 主成分分析是把原来多个变量化为少数几个综合指标的一种统计分析方法,从数学角度来看,这是一种降维处理技术。假定有n 个地理样本,每个样本共有p 个变量描述,这样就构成了一个n×p 阶的地理数据矩阵: 11 12121 2221 2 p p n n np x x x x x x X x x x ???=? ???(1) 如何从这么多变量的数据中抓住地理事物的内在规律性呢要解决这一问题,自然要在p 维空间中加以考察,这是比较麻烦的。为了克服这一困难,就需要进行降维处理,即用较少的几个综合指标来代替原来较多的变量指标,而且使这些较少的综合指标既能尽量多地反映原来较多指标所反映的信息,同时它们之间又是彼此独立的。那么,这些综合指标(即新变量)应如何选取呢显然,其最简单的形式就是取原来变量指标的线性组合,适当调整组合系数,使新的变量指标之间相互独立且代表性最好。 如果记原来的变量指标为x 1,x 2,…,x p ,它们的综合指标——新变量指标为z 1,z 2,…,zm (m≤p)。则 11111221221122221122 ,,.........................................,p p p p m m m mp p z l x l x l x z l x l x l x z l x l x l x =+++?? =+++?? ??=+++?(2) 在(2)式中,系数l ij 由下列原则来决定:

浅析主成分分析法及案例分析

主成分分析

在统计学中,主成分分析(principal components analysis, PCA)是一种简化数据集的技术。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中,使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上,第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上,依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数,同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分,忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。 在实证问题研究中,为了全面、系统地分析问题,我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标,在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息,并且指标之间彼此有一定的相关性,因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时,变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性,人们希望在进行定量分析的过程中,涉及的变量较少,得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的,是解决这类题的理想工具 主成分分析法是一种降维的统计方法,它借助于一个正交变换,将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量,这在代数上表现为将原随机向量的协方差阵变换成对角形阵,在几何上表现为将原坐标系变换成新的正交坐标系,使之指向样本点散布最开的p 个正交方向,然后对多维变量系统进行降维处理,使之能以一个较高的精度转换成低维变量系统,再通过构造适当的价值函数,进一步把低维系统转化成一维系统。 主成分分析的主要作用体现在五个方面,第一,主成分分析能降低所研究的数据空间的维数。第二,可通过因子负荷的结论,弄清X变量间的某些关系。第三,可用于多为数据的一种图形表现方法。第四,可由主成分分析构造回归模型,即把各个主成分作为新自变量代替原来自变量做回归分析。第五,用主成分分析筛选回归变量。

主成分分析法概念及例题

主成分分析法 主成分分析(principal components analysis,PCA)又称:主分量分析,主成分回归分析法 [编辑] 什么是主成分分析法 主成分分析也称主分量分析,旨在利用降维的思想,把多指标转化为少数几个综合指标。 在统计学中,主成分分析(principal components analysis,PCA)是一种简化数据集的技术。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中,使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上,第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上,依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数,同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分,忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是,这也不是一定的,要视具体应用而定。 [编辑] 主成分分析的基本思想

在实证问题研究中,为了全面、系统地分析问题,我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标,在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息,并且指标之间彼此有一定的相关性,因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时,变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性,人们希望在进行定量分析的过程中,涉及的变量较少,得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的,是解决这类题的理想工具。 同样,在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。科普效果是很难具体量化的。在实际评估工作中,我们常常会选用几个有代表性的综合指标,采用打分的方法来进行评估,故综合指标的选取是个重点和难点。如上所述,主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性,就必然存在着起支配作用的因素。根据这一点,通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究,找出影响科普效果某一要素的几个综合指标,使综合指标为原来变量的线性拟合。这样,综合指标不仅保留了原始变量的主要信息,且彼此间不相关,又比原始变量具有某些更优越的性质,就使我们在研究复杂的科普效果评估问题时,容易抓住主要矛盾。上述想法可进一步概述为:设某科普效果评估要素涉及个指标,这指标构成的维随机向量为。对作正交变换,令,其中为正交阵,的各分量是不相关的,使得的各分量在某个评估要素中的作用容易解释,这就使得我们有可能从主分量中选择主要成分,削除对这一要素影响微弱的部分,通过对主分量的重点分析,达到对原始变量进行分析的目的。的各分量是原始变量线性组合,不同的分量表示原始变量之间不同的影响关系。由于这些基本关系很可能与特定的作用过程相联系,主成分分析使我们能从错综复杂的科普评估要素的众多指标中,找出一些主要成分,以便有效地利用大量统计数据,进行科普效果评估分析,使我们在研究科普效果评估问题中,可能得到深层次的一些启发,把科普效果评估研究引向深入。 例如,在对科普产品开发和利用这一要素的评估中,涉及科普创作人数百万人、科普作品发行量百万人、科普产业化(科普示范基地数百万人)等多项指标。经过主成分分析计算,最后确定个或个主成分作为综合评价科普产品利用和开发的综合指标,变量数减少,并达到一定的可信度,就容易进行科普效果的评估。 [编辑] 主成分分析法的基本原理 主成分分析法是一种降维的统计方法,它借助于一个正交变换,将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量,这在代数上表现为将原随机向量的协方差阵变换成对角形阵,在几何上表现为将原坐标系变换成新的正交坐标系,使之指向样本点散布最开的p 个正交方向,然后对多维变量系统进行降维处理,使之能以一个较高的精度转换成低维变量系统,再通过构造适当的价值函数,进一步把低维系统转化成一维系统。 [编辑] 主成分分析的主要作用

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