第五章 二次曲线的仿射性质
如果将仿射变换
(5.0.1) 111112213
221122223
''x a x a x a x a x a x a =++??
=++? 1112
2122
0a a a a ?=≠ 用点的齐次坐标表示，设
''
1212''3333
',',,x x x x
x y x y x x x x ====，
于是(5.0.1)化为
'112
111213'
333
'212212223'3
33x x x a a a x x x x x x a a a
x x x ?=++????=++??
设'
33x x ρ=，上式变为
(5.0.2) 1111122133
221122223333'',0,0'x a x a x a x x a x a x a x x x ρρρρ=++??
=++?≠≠??=?
上式是用齐次坐标表示的仿射变换公式。
显然，(5.0.2)使30x =变成3'0x =，可见仿射变换是使无穷远直线仍变成无穷远直线的射影变换。
本章将以无穷远直线不变这一仿射性质为基础研究二次曲线（只研究二阶曲线）的仿射性质及其分类。
§1 二次曲线的仿射性质
1.1二次曲线与无穷远直线的相关位置
设二次曲线的方程为
(5.1.1) 3
,,1
0,()ij i
j
ij ji i j S a x x
a a ==
==∑
现在求无穷远直线30x =与二次曲线的交点，将30x =代入(5.1.1)得 (5.1.2) 22111121222220,a x a x x a x ++= 解(5.1.2)得
(5.1.3)
1211
x x =
因此
当2
1211220a a a -<时，(5.1.3)为二虚根； 当21211220a a a -=时(5.1.3)为二相等实根； 当21211220a a a ->时(5.1.3)为二不等实根。
现在我们根据2
33121122()A a a a =--的符号将(5.1.1)所表示的二次曲线分类。
定义1.1 当330A >时，称(5.1.1)所表示的曲线为椭圆型的曲线；当330A <时，称
(5.1.1)所表示的曲线为双曲型曲线；当330A =时，称(5.1.1)所表示的曲线为抛物型曲线，
且||0ij a ≠当时，把上述三种类型的曲线分别称为椭圆，双曲线，抛物线。
由定义，显然双曲线与无穷远直线有两个实交点，抛物线与无穷远直线相切，椭圆与无穷远直线有两个共轭虚交点，我们称二次曲线与无穷远直线的交点为曲线上的无穷远点，如图5-1-1所示
图5-1-1
由定义显然可知，一个非退化二次曲线表示抛物线的充要条件是它与无穷远直线相切。
1.2二次曲线的中心
定义1.2 无穷远直线关于二次曲线的极点称为此二次曲线的中心。
定理1.1 二次曲线3
,,1
0,()ij i
j
ij ji i j S a x x
a a ==
==∑的中心坐标为313233(,,)A A A
证明 设无穷远直线30x =关于二次曲线3
,,1
0,()ij i
j
ij ji i j S a x x
a a ==
==∑的极点为
123(,,)C c c c ，于是根据求已知直线的极点公式有
111122133211222233311322333
00,0,a c a c a c a c a c a c a c a c a c λλ++=??
++=≠??++=? 所以
(5.1.4) 12
1313
111112
123313233
222323212122
::::::a a a a a a c c c A A A a a a a a a =
= 故二次曲线的中心坐标为313233(,,)A A A
定理1.2 双曲线，椭圆各有唯一中心且为有穷远点，而抛物线的中心为无穷远点。 证明 由定理1.1 的结论，当二次曲线表示双曲线或椭圆时，由于330A ≠，所以其中心为有穷远点，坐标为313233(,,)A A A 。当二次曲线表示抛物线时，由于330A =，所以其中心为无穷远点，坐标为3132(,,0)A A 。图5-1-2表示三种二次曲线中心的情况。
图5-1-2
定理1.3 抛物线的中心C 的坐标为1211(,,0)a a -或者2212(,,0)a a -。
证明 当二次曲线表示抛物线时，它与无穷远直线相切，这时无穷远直线的极点即抛物线与无穷远直线的切点C ∞，所以抛物线的中心是无穷远点C ∞，
把30x =代入3
,,1
0,()ij i
j
ij ji i j S a x x
a a ==
==∑，得
22111121222220a x a x x a x ++=
所以
1211
x x = 因为
2
1211220a a a -=
所以 112
211
x a x a -=
从而
1211(,,0)C a a -
又由2
1211220a a a -=，得
1222
1112
a a a a =
，又有 2212(,,0)C a a -
以后我们把椭圆与双曲线称为有心二次曲线，抛物线称为无心二次曲线。 1.3二次曲线的直径与共轭直径
定义1.3 无穷远点关于二次曲线的极线称为这个二次曲线的直径。
注意：(1)由于中心是无穷远直线的极点，根据配极原则，过中心的直线的极点必是无穷远点，反之，无穷远点的极线必过中心，因此，直径的定义也可叙述为：通过二次曲线
的中心的直线称为直径。
（2）由于抛物线与无穷远直线相切，所以无穷远点关于抛物线的极线均过这个切点，即抛物线的直径有公共的无穷远点，亦即抛物线的直径是互相平行的，如图5-1-3所示。
图5-1-3
定理 1.4 二次曲线3
,,1
0,()ij i
j
ij ji i j S a x x
a a ====∑的一组平行弦的中点在它的一条
直径上。
证明 设二次曲线0S =的一组平行弦交于P ∞，则P ∞与每条平行弦的中点关于
0S =共轭，即每条平行弦的中点都在P ∞的极线上，也就是在二次曲线0S =的一条直径
上。
下面求出二次曲线3
,,1
0,()ij i
j
ij ji i j S a x x
a a ==
==∑的直径方程。
因为直径是无穷远点的极线，设无穷远点为(,,0)P αβ，则它的极线为0p S =，即
(5.1.5) 111122133211222233()()0a x a x a x a x a x a x αβ+++++=
当0α≠时，直径的方程也可写为
(5.1.6) 111122133211222233()0a x a x a x k a x a x a x +++++=
当二次曲线表示抛物线时，它与无穷远直线的切点为1211(,,0)O a a ∞-或者2212(,,0)a a -。因为这时直径均经过O ∞点，是一组平行直线，所以直径的方程为
(5.1.7) 11112230a x a x bx ++= 其中b 是参数
或
(5.1.8) 21122230a x a x bx ++= 其中b 是参数
定义1.4 二次曲线的一条直径与无穷远直线的交点的极线称为该直径的共轭直径 注意：（1）由定义及配极原则，显然二直径的共轭关系是互相的。 （2）由于二互相共轭的直径彼此通过另一个的极点，所以共轭直径的定义也可叙述
为：通过中心的两条共轭直线称为共轭直径，与一对共轭直径平行的方向，称为共轭方向。
（3）因为抛物线的直径都通过抛物线与无穷远直线的切点，所以抛物线的直径无共
轭直径，但抛物线的每一直径也平分一组平行弦，如图5-1-4所示。
图5-1-4
我们称抛物线的直径与其所平分的弦的方向为共轭方向，但不是共轭直径。
定理1.5 与有心二次曲线的一条直径平行的一组弦，被它的共轭直径平分。
证明 设直径AB 与直径CD 共轭，直径AB 的无穷远点P ∞是
CD 的极点，过P ∞点引直线交曲线于,E F ，交CD 于G ，则有 (,)1EF GP ∞=-
所以G 平分EF ，又EF AB ，所以CD 平分与AB 平行的弦。
反之，如果CD 平分与AB 平行的弦，则CD 必为AB 与无穷远直线交点P ∞的极线，所以CD 为AB 的共轭直径。
由下图5-1-5还可看出过,C D 两点的切线必通过的极点P ∞，所以这两条切线平行于
AB ，故有
图5-1-5
推论 过一条直径两端点的切线平行于该直径的共轭直径（如图5-1-6）
图5-1-6
定理1.6 一对共轭直径和无穷远直线组成一个自极三角形。 证明 共轭直径的交点是二次曲线的中心C ，C 是无穷远直线的极点。同时一条直径与无穷远直线的交点正好是其共轭直径的极点，所以它们组成一个自极三角形。
下面我们将求出两条直径成为共轭直径的条件： 已知二次曲线3
,,1
0,()ij i
j
ij ji i j S a x x
a a ==
==∑的一条直径l ：
111122133211222233()0a x a x a x k a x a x a x +++++=
l 与无穷远直线之交点为12221112(,(),0),P a a k a a k P ∞∞+-+之极线
'l 为l 的共轭直径。'l 的方程为 11112213312222112222331112()()()()0
a x a x a x a a k a x a x a x a a k +++-+++=
即
(5.1.9) 111122133211222233()'()0a x a x a x k a x a x a x +++++=
其中
11121222'a a k
k a a k
+=-
+
即
(5.1.10) 111222(')'0a a k k a kk +++= (5.1.10)为两条直径l 与'l 成为共轭直径的条件。
注意：条件(5.1.10)为两个线束
111122133211222233()0a x a x a x k a x a x a x +++++=与 111122133211222233'()0a x a x a x k a x a x a x +++++=
的对应成为对合对应的条件，所以二次曲线的直径和其共轭直径间的对应是对合对应。
1.4二次曲线的渐近线
定义1.5 二次曲线上的无穷远点的切线，如果不是无穷远直线，则称为二次曲线的 渐近线。
显然，由定义可得：抛物线无渐近线，双曲线有两条实渐近线，椭圆有两条虚渐近线。 渐近线有如下性质：
定理1.7 二次曲线的两条渐近线相交于中心，而且调和分离任何一对共轭直径。 证明 如图5-1-7，
图5-1-7
t 和't 是渐近线，,'l l 是一对共轭直径，
因为渐近线是切线，所以切点,'T T 就是它们的极点，但,'T T 在l ∞上，所以l ∞通过渐近线t 和't 的极点，根据配极原则，渐近线也通过l ∞的极点，而l ∞的极点是二次曲线的中心，即渐近线通过中心，也就是渐近线相交于中心。 设一对共轭直径,'l l 与l ∞交于,'P P ，根据共轭直径的定义有 (',')1PP TT =- 故
(',')1ll tt =-
即渐近线调和分离共轭直径。
定理1.8 若双曲线的一条切线被它的两条渐近线所截，则切点是截得线段的中点。 证明 如图5-1-8
图5-1-8 切线AB 被渐近线CA ∞，CB ∞所截，求切点M 是AB 的中点。
令C ∞是AB 与l ∞的交点，D ∞是CM 与l ∞的交点，
则C ∞的极线是CD ∞，因此CD ∞
和 CC ∞为共轭直径，且有 (,)1C A B D C ∞∞∞∞=- (,)1AB MC ∞=-
即M 为AB 的中点。
下面我们将讨论渐近线的求法： 已知二次曲线为3
,,1
0,(||0)ij i
j
ij ji ij i j S a x x
a a a ==
==≠∑
（1） 由于渐近线是二次曲线上的无穷远点的切线，所以它是无穷远点的极线，因 此渐近线是直径，而且它通过本身的极点，这就是说它是共轭直径。而两条直径成为共轭的条件是(5.1.10)。
现在是自共轭直径，所以'k k =，故有 (5.1.11) 211122220a a k a k ++= 由此解得12,k k ，则得渐近线的方程为
1111221331211222233()0a x a x a x k a x a x a x +++++= 与
1111221332211222233()0a x a x a x k a x a x a x +++++=
注意：由于直径和共轭直径的对应是一个对合对应，而渐近线是自共轭直径，所以它是对合对应中的自对应元素，所以以上求法可以理解为求对合对应的自对应元素。 （2）直接应用定义求渐近线方程 由于3
,,1
0,(||0)ij i
j
ij ji ij i j S a x x
a a a ==
==≠∑与无穷远直线30x =的交点满足
(5.1.12) 22
111121222220a x a x x a x ++=
上述方程表示两条通过原点的直线，因为这两条直线与渐近线有公共的无穷远点，所以二渐近线分别与这两条直线平行。因此，若中心为(,)C λμ，则渐近线的非齐次方程为 (5.1.13) 22111222()2()()()0a x a x y a y λλμμ-+--+-= 所以求出中心后即可得渐近线。
§2 二次曲线的仿射分类.
设二次曲线的方程为
3
,,1
0,()ij i
j
ij ji i j S a x x
a a ==
==∑，(5.2.1)
由本章引言中所述，根据2
33121122()A a a a =--的符号将(5.2.1)所表示的二次曲线分
类。当330A >时，称(5.2.1)所表示的曲线为椭圆型的曲线；当330A <时，称(5.2.1)所表示的曲线为双曲型曲线；当330A =时，称(5.2.1)所表示的曲线为抛物型曲线。
在0ij a ≠时方程(5.2.1)是非退化二次曲线。对于椭圆型的情形，有一种是椭圆，方
程的标准形是221210x x +-=，当然又应有另一种标准形是22
1210x x ++=，即是空集。
若0ij a =，则曲线(5.2.1)是退化的二次曲线。根据射影分类的结果，齐次坐标的标
准形22120y y +=在仿射平面上应分为22120x x +=和 2110x +=两类，标准形22120y y -=应分为22120x x -=和 2110x -=两类，最后还有标准形210y =一类。
综上所述，二次曲线可以分为以下9类：
（1）330A <，0ij a ≠，标准方程22
1210x x -+=，双曲型，非退化，双曲线。 （2）330A =，0ij a ≠，标准方程21220x x -=，抛物型，非退化，抛物线。 （3）330A >，0ij a ≠，标准方程221210x x +-=，椭圆型，非退化，椭圆。 (4) 330A >，0ij a ≠，标准方程221210x x ++=，椭圆型，非退化，空集(虚椭圆) （5）330A <，0ij a =，标准方程22120x x -=，双曲型，退化，两相交直线。 （6）330A >，0ij a =，标准方程22120x x +=，椭圆型，退化，一点（两虚直线交
于一点）。
（7）330A =，0ij a =，标准方程2110x -=，抛物型，退化，一对平行直线。 （8）330A =，0ij a =，标准方程2110x +=，抛物型，退化，空集（两虚直线互相
平行）.
（9）330A =，0ij a =，标准方程210x =，抛物型，退化，两直线重合为一直线。
§3 二次曲线的度量性质
在代数中我们通常通过引入虚数使得运算能够拓展到复数上，利用类似的方法在几何中我们引入虚元素，使得运算能够在复射影平面上进行，并且使得一些运算大大的简化。
3.1虚元素的引进 虚圆点
首先我们约定若任意三个复数构成的有序数组123(,,)x x x 中，至少有一个数不等于
零，而且有两个的比值不是实数，那么就称这个三数组为虚点。若λ是不等于零的任意复数，则123(,,)x x x 和123(,,)x x x λλλ表示同一点。同样，三个复数的有序数组123(,,)u u u 称为虚直线。点123(,,)x x x x =与直线123[,,]u u u u =如果满足关系
1122330x u x u x u x u ?=++=，那么就称它们为结合的，即点在直线上。虚点与虚直线统称
为虚元素。在射影平面上引进了虚元素之后，我们称它为复射影平面。我们有如下定义：
定义 3.1 以复数为坐标的点和直线称为复元素，由复元素构成的射影平面称为复射影平面。
例1 (3,,0),(1,,2)i i --是虚元素。(,,3),(,0,0)i i i i --是实元素。它们都是复元素。 定义3.2 设有点123(,,)x x x x =与123(,,)x x x x =，其中i x 与(1,2,3)i x i =互为共轭复数，则x 与x 互为共轭点，同样的，直线123[,,]u u u u =与123[,,]u u u u =互为共轭直线。
定理3.1 一个元素为实元素的充要条件是该元素与其共轭元素重合。
证明 必要性显然，只证明充分性。
若两个共轭元素的第三个坐标不是零，则可以写成1212(,,1),(,,1)x x x x ，如果它们重合，则一定有12
12
1x x x x ==从而有1122,x x x x ==，即12,x x 是实数，说明12(,,1),x x 是实元素。
若两个共轭元素的第三个坐标是零，则它们可以写成1212(,,0),(,,0)x x x x ，由它们重合所以有1122,(0)x kx x kx k ==≠从而有
111222
()x x x
x x x ==即12x x 是实数，从而12(,,0)x x 是
实元素。
定理3.2 两共轭复点的连线为实直线，两共轭虚直线的交点为实点。
证明 设两共轭点为123(,,)x x x x =，123(,,)x x x x =，则其连线
232331311212[,,]x x x x x x x x x x x x ξ=---，因为
2323223232323233()x x x x x x x x x x x x x x x x -=-=-=--
故ξ的三个坐标都是纯虚数，约去i 得到实数，故两共轭点的连线为实直线。 同理可证两共轭直线的交点是实点。
定理3.3 每条实直线上至少有一对共轭复点。
证明 设直线非齐次方程为0Ax By C ++=，若实点00(,)x y 在其上，则有
000Ax By C ++=，这时复点0000(,),(,)A x iB y iA A x iB y iA +--+经验证可知也满足直
线方程，故实直线上至少有一对共轭复点。
定理3.4 一条虚直线上有唯一一个实点，过一虚点有唯一一条实直线。
证明 因为两个实点连线必为实直线，两条实直线的交点必为实点，所以虚直线上不可能有两个实点，过一虚点不可能有两条实直线。
定义3.3 共轭复点(1,,0)I i 和(1,,0)J i -称为虚圆点，简称圆点或圆环点。
显然，圆点的线坐标为22120u u +=，这是由于22
121212()()u u u iu u iu +=+-，故
22120u u +=代表两个虚点(1,,0)I i 和(1,,0)J i -。
在笛氏坐标系下，圆的方程可写为
22211121313232333311()220,0a x x a x x a x x a x a ++++=≠ （7.1）
我们可以证明
定理3.5 一条非退化二次曲线3
,,1
0,(||0)ij i
j
ij ji ij i j S a x x
a a a ==
==≠∑表示圆的充要条
件是它通过两共轭虚点(1,,0)I i 和(1,,0)J i -，即两个虚圆点。
证明 必要性：如果0S =是圆，则方程为（7.1）将(1,,0)I i 和(1,,0)J i -的坐标分别代入这方程，得
22211132333(1)2(1)(0)2()(0)(0)0,a i a a i a ++++= 22211132333(1())2(1)(0)2()(0)(0)0,a i a a i a +-++-+=
所以圆0S =通过点(1,,0)I i 和(1,,0)J i -。
充分性：如果二次曲线0S =通过点(1,,0)I i 和(1,,0)J i -，则
222112212132333(1)()2(1)()2(1)(0)2()(0)(0)0,a a i a i a a i a +++++= 222112212132333(1)()2(1)()2(1)(0)2()(0)(0)0,a a i a i a a i a +-+-++-+=
化简后得11221211221220,
(1)20,
(2)
a a a i a a a i -+=??
--=?
解上述方程组得：1122120,0a a a =≠=
所以方程0S =为222111213132323333()220,a x x a x x a x x a x ++++= 这是圆的方程。
定义3.4 通过虚圆点的直线（无穷远直线除外）叫做迷向直线。 显然，通过平面上任一点有两条迷向直线。
通过(1,,0)I i 和(1,,0)J i -的迷向直线方程分别为
213,(x ix ax a =+为复数）
和213,(x ix bx b =-+为复数）。 因为两个圆点是无穷远点，所以平面上的迷向直线分别构成两个以(1,,0)I i 和
(1,,0)J i -为中心的平行直线束，其中一个线束中的直线斜率为1k i =，另一个线束中直线
的斜率为2k i =-。而121k k =-，由此我们有如下结论： 定理3.6 迷向直线是自身垂直的直线。
定理3.7 过圆心的两条迷向直线是圆的渐近线。
证明 因为平面上每个圆都经过圆点(1,,0)I i 和(1,,0)J i -，所以圆与无穷远直线的交点为两个圆点，圆心是圆的中心，所以过圆心的迷向直线是圆上两个无穷远点处的切线，因而是圆的两条渐近线。
定理3.8 迷向直线上任意两个非圆点的距离为零。
证明 设两点(,),(',')x y x y 在迷向直线y ix b =+上，于是有,''y ix b y ix b =+=+，故有'(')y y i x x -=-，所以有22(')(')0y y x x -+-=即两点(,),(',')x y x y 的距离为零。同理可证，在另外一类迷向直线上也成立。
在欧氏平面上，保持圆环点(1,,0)I i 和(1,,0)J i -的集合{,}I J 不变的射影变换称为相似变换。
这个相似变换的表达式为：
2',1,0'()x ax by c
a b y bx ay d
b a ερε=-+-?=±=≠?
=++? 容易验证，上述相似变换保持集合{,}I J 不变。
由于集合{,}I J 就是退化的二次曲线22120u u +=，故我们也说，相似变换是以退化二次曲线22120u u +=作为绝对形的射影变换。显然，全体相似变换的集合构成一个变换群，它是仿射群的子群，称为相似群。
定理3.9 （拉格尔定理）设两条非迷向直线12,l l 的交角为θ，过12,l l 交点的两条迷向直线为12,m m ，若四线的交比为u ，则1
ln 2u i
θ=
。 证明 如图5-3-1所示，
图5-3-1
设12,l l 的斜率为12,k k ，又已知12,m m 的斜率为,i i -于是
12121212()()
(,;,)()()
k i k i u l l m m k i k i +-==
-+
21
212211*********
1(1)()11(1)()111i k k i
k k i k k k k itg e k k k k i k k itg i k k θθθ
-+++-++====-+----+ 从而1
2ln ,ln 2i u u i
θθ==
定理3.10 若两条直线与无穷远直线l ∞的交点,P Q 与,I J 调和共轭，则这两条直线 互相垂直。
证明 设两直线的交角为θ，由题设
(,)1PQ IJ =-
所以 111ln(1)ln()2222
i e i i i i ππθπ=
-=== 3.2 二次曲线的主轴
定义3.5 二次曲线（非退化）的一条直径如果平分一组和它垂直的弦，则此直径叫做主轴，主轴与曲线的交点如果是普通点，则该点叫做顶点。
显然，对于有心曲线，若一对共轭直径相互垂直，则它们都是主轴；对于无心曲线（即抛物线），由于中心就是它上面的唯一无穷远点，它的所有直径都过此无穷远点，故所有直径都平行，因此垂直与这些直径的弦只有一组，平分这一组弦的直径只有一条，故有
定理3.11 抛物线只有一条主轴。
推论 抛物线的主轴垂直于顶点处的切线。
定理3.12 除实圆以外的实中心二次曲线有唯一的一对主轴，它们是两条渐近线所成角的两条平分线。
证明 设,'p p 是中心为O 的实中心二次曲线Γ的两条渐近线,'t t 所成角的平分线（如图5-3-2），
图5-3-2
则'p p ⊥且(',')1tt pp =-，于是,'p p 为一对共轭直径，从而它们是一对主轴。 如果另有一对主轴,'q q ，因(,'
)1,(,')1OI J p p OI J q q =-=-故,OI OJ 为共轭直径
对形成的对合的固定直线，从而,OI OJ 是渐近线，因此二次曲线Γ过圆点,I J 而成为实圆。这与已知条件矛盾，故定理得证。 下面讨论主轴方程的求法： 设中心二次曲线3
,,1
0,(||0)ij i
j
ij ji ij i j S a x x
a a a ==
==≠∑的直径方程为
111212221323()()()0a X a Y x a X a Y y a X a Y +++++=
若它与所平分的弦（方向为:X Y ）垂直，则
11121222:():()X Y a X a Y a X a Y =++
故有 11121222(0)a X a Y X
a X a Y Y
λλλ+=?≠?
+=?
即 11121222()0
()0
a X a Y a X a Y λλ-+=??
+-=?
从而
1112
12
220a a a a λ
λ
-=-
从上式求出λ，即可得主轴方程里的
12112212:():()():()X Y a a a a λλ=--=--
当曲线为抛物线时，直径都过无穷远中心1211(,,0)a a -或1211(,,0)a a -。若一直径垂直于它所平分的弦（方向为:X Y ），则
11121222:::X Y a a a a ==
故抛物线的主轴方程为 111112*********
()()0a a x a y
a a a x a y a +++++= 或1211121322122223()()0a a x a y a a a x a y a +++++=
3.3 二次曲线的焦点和准线
定义3.6 自圆点(1,,0)I i 和(1,,0)J i -所引二次曲线的切线(称为迷向切线)，它们彼此的有穷交点称为二次曲线的焦点，焦点关于二次曲线的极线称为二次曲线的准线。
下面对各种类型分别讨论 （1） 圆
圆通过圆点I ，J ，而过I ，J 所作的切线交于圆心，所以圆心就是圆的焦点。但圆心的极线是无穷远直线，所以无穷远直线是圆的准线，因此在欧氏平面上圆的准线不存在。
（2） 抛物线
因为抛物线与无穷远直线相切，所以抛物线只有两条有穷的迷向切线，它们的焦点即是抛物线的焦点，所以抛物线只有一个焦点，焦点的极线即准线，它是两条迷向切线上的切点的连线，准线也只有一条。事实上，抛物线的焦点在主轴上，迷向切线的切点在准线上，准线垂直于主轴。
例2 求抛物线2
2y px =的焦点和准线
解 过(1,,0)I i 和(1,,0)J i -作抛物线的切线，其斜率为,i i -，所以方程为2p y ix i
=+
和2p y ix i =--，由此解出两条切线的交点，得到焦点为(,0)2
p
F ，求出它的极线，经计算得2
p
x =-
为准线的方程。 显然焦点(,0)2p F 在主轴0y =上，迷向切线上的切点(,),(,)22
p p
pi pi ---在准线
上。
（3） 椭圆和双曲线
定理 3.13 对圆以外的实的有心二次曲线，过圆点可以作它的四条切线，共有四个焦点分别在两主轴上，有四条准线，迷向切线的切点在对应准线上，准线分别垂直于两主轴。
证明 如图5-3-3（1）是椭圆情况（2）是双曲线情况
图5-3-3
过圆点I ，J 作二次曲线的切线共四条，两两相交，除I ，
J 外有四个交点,',,'F F G G 是二次曲线的焦点。因为''FF GG 是二次曲线的外切四线形，所以其对顶三线形CP Q ∞∞是自极三线形，即C 是P Q ∞∞的极点,因此C 是中心，','FF GG 是一对共轭直径，又
(,)1C P Q IJ ∞∞=-，所以
''FF GG ⊥，故','FF GG 是主轴，也即四个焦点,',,'F F G G 分别在两主轴上。
因为'FF 经过'MM 的极点F ，所以'FF 的极点P ∞在
'MM 上。同理P ∞在'NN 上，所以,'F F 的极线平行于'GG ，同理,'G G 的极线平行于'FF ，因此有四条准线分别垂直于两主轴。
习题五
1．试求二次曲线22342100x xy y x y +-+-=的中心和渐近线。
2．判断二次曲线1223310x x x x x x ++=的类型，求出中心，并求过点(0,1,1)的直径及其共轭直径。
3．求二次曲线22226290x xy y x y ++--+=中直径30x y +-=的共轭直径。 4.试证明：如果一个平行四边形内接于一条二次曲线，那么它的两条对角线是二次曲线的直径而且它的两边分别平行于一对共轭直径。
5.已知一条二次曲线通过点(0,1),(1,0)A B 且中心为(2,3)C ，试求它的方程。
6.已知ABC ?，在AB 上取动点P ，在BC 上取动点Q ，使得()()ACP CBQ =，试证PQ 的轨迹是抛物线。
7.从双曲线上任何一点引直线各平行于渐近线，证明这两条直线与渐近线所成的平行四边行面积一定。
8.证明双曲线22221x y a b
-=的两条以,'k k 为斜率的直径称为共轭的条件是2
2'b kk a =
9.试求具有同一中心00(,)x y 的任意二次曲线的一般方程。
10.试求通过四点(0,0),(2,0),(0,1),(1,2)O A B C 的所有有心二次曲线中心的轨迹。 11求仿射坐标变换，化下列方程为标准形式并指出其仿射分类 （1）22
2262150x xy y x y ++-++= （2）22
22450x xy y y -+-+= （3）22
4442480x xy y x y ++++-= (4)22
222580x xy y x y --++-= (5)22
22210x xy y x y -+-++=
12.试证一条迷向直线与另一条直线的交角是不定的.
13.证明虚直线是迷向直线的充要条件是它上面任意两个不同的非无穷远点间的距离
是零.
14.求证:直线1230a x a x a ++=是迷向直线的充要条件是22
120a a +=.
15.试求二次曲线22
76160x xy y +--=的主轴,顶点,焦点和准线. 16．写出过一点(2,3)的迷向直线方程。
17．求有心二次曲线的主轴方程，并证明它们是实直线。
18．求抛物线22242410x xy y x ++-+=的主轴，顶点，焦点和准线
19．求椭圆22
221x y a b
+=的焦点和准线
20．已知双曲线2276160x xy y +--=，求主轴的方程，顶点和焦点的坐标，准线
的方程
21 求证：有心二次曲线的互相垂直的切线的交点的轨迹是一个与二次曲线同心的
圆。
《高等几何》教学大纲 一、课程名称 《高等几何》（Projective Geometry） 二、课程性质 数学与应用数学专业限选课。它跟初等几何、解析几何、高等代数等课程有紧密的联系；它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，从而大有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养。本课程的主旨在于拓展读者的几何空间知识，学习了解变换群观点，进而达到训练理性思维的能力，提高数学修养的目的。本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形。通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。 本大纲要求本课程的内容处理上实行解析法与综合法并用，以解析法为主。前修课程包括：初等几何、解析几何、数学分析、高等代数、近世代数。 三、课程教学目的 通过本课程的学习，使学生掌握射影几何的基本内容和处理几何问题的方法，同时也认识射影几何、仿射几何、欧氏几何的内在联系，以及在初等几何和解析几何中的应用，并为学习数学的其他分支打好基础。尤其是对无穷远元素的认识和理解，以开拓同学们的思维方式和视野，使同学们能以居高临下的观点来处理初等数学问题。 四、课程教学原则和方法 1、理论与实践相结合的原则； 2、《高等几何》知识与高等数学中的其它知识相结合原则； 3、《高等几何》知识与初等几何知识相结合的原则； 4、在课堂教学中使用传统的讲解法，并适当采用教具演示的方法相结合的原则； 5、讲解法与自学相结合的原则。 五、课程总学时 72学时，习题课占1/5。
六、教学内容要点及建议学时分配 课程教学内容要点及建议学时分配 第一章仿射坐标与仿射变换（计划学时6） 一、本章教学目标：通过本章的学习，掌握透视仿射对应(变换)，仿射对应(变换)以及其代数表达式等。 二、本章主要内容： 第一节透视仿射对应 1、弄清共线三点的单比和透视仿射对应的基本概念。 2、熟练掌握透视仿射对应的四个性质---保持同素性、结合性、共线三点的单比和平行性。 第二节仿射对应与仿射变换 1、掌握平面上的透视链、二直线间和二平面间的仿射对应与仿射变换的概念。 2、掌握仿射对应与仿射变换的性质。 第三节仿射坐标
《高等几何》考试试题A 卷(120分钟) 一、填空题(2分?12=24分) 1 平行四边形 ;2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0) 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ,则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的: 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有:1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得, 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。
第五章高等几何 第一节课程概论 1、本课程的起源与发展 早自欧洲文艺复兴时期，由于绘图和建筑等的需要，透视画的理论逐步形成，以后便建立了画法几何。法国数学家蒙日(GaspardMonge，1746-1818)在1768到1799年之间和1809年分别出版了画法几何和微分几何两部经典著作，由于画法几何理论的发展，他的学生彭色列（JeanPoncelet，1788-1867)继承了这两部著作中的综合思想，于1822年写了一本书，它是射影几何方面最早的专者。继彭色列之后，法国人沙尔(Michel Chasles，1793-1880) 等对射影几何的研究都做出了重要贡献。出生于德国数学家史坦纳(Jacob Steiner，1796-1863)改进了射影几何的研究工具，并且把它们应用到各种几何领域，因而得到了丰硕结果。 到了19世纪上半叶，几何学的发展经历了它的黄金时代。在这期间，古典的欧几里得几何学不再是几何学的唯一对象，射影几何学正式成为一门新学科。英国人凯莱（Cayley，1821-1895）和德国人克莱因（Christian Felix Klein，1849-1925）等人用变换群的方法研究了这个分支，射影几何便成为完整独立的学科。 射影几何的诞生诱发于透视理论，一个射影平面就是由欧几里得平面添加所谓无穷远直线而得到的。克莱因对于几何学理论的统一性有着执著的追求，他在成功地把几种度量几何统一于射影几何之后，就立即在更深层次上寻求统一各种几何学理论的基础。 在19世纪，人们开始把几何中图形的一些性质看作是一种“变换”运动的结果。如正方形的“中心对称性”，就是将正方形绕其两条对角线的交点O“旋转”180°后仍重合的结果。正方形的“轴对称性”，就是将正方形绕过O点的水平轴“反射”（即翻转）180°后仍重合的结果。这里的“旋转”、“反射”就可以分别被看作是一种“变换”。更为重要的是，数学家们进一步发现，这个正方形上的所有旋转、反射、平移等变换所构成的集合，满足群的条件，因而构成一个“变换群”。另外，人们还看到，在欧几里得几何中，图形在作旋转、反射、平移等变换的过程中，该图形中线段的长短、角的大小是保持不变的。于是人们就称“长度”、“角度”是这种变换中的不变量。这就导致了对几何中“不变量”理论的研究，并将它与群论结合起来。
云南师范大学数学学院《高等几何》（第二版）学生练习题库2 一.判断题 1、圆是仿射不变的。 2、两全等三角形的仿射图形是两个一般三角形。 3、在一条虚直线上有唯一实点 4、抛物线上有唯一无穷远点是射影概念。 5、无穷远点关于二阶曲线的极线称为直径。 6、x2+4xy+2y2+10x+4y=0是双曲线。 7、（P 1P 2 ，P 3 P 4 ）=5，则（P 1 P 3 ，P 2 P 4 ）= 5 1 。 二.填空题 1、射影平面上二直线将射影平面分为部分。 2、代沙格定理的逆定理为。 3、三点P 1（1，3，1），P 2 （2，6，1），P 3 （4，12，1）的简比为。 4、二级曲线的射影定义为。 5、线束间的射影对应为透视对应的充要条件为。 6、命题“两线a=0，b=0交点的方程为︱u a b︱=0”的对偶命题是 。 7、布利安双定理是。 8、渐近线的仿射定义是。 三.作图题 1、作出下图的对偶图形 A D B C
2、已知成射影对应的两点列的三对对应点，求作其它的对应点并写出 作法 四.计算题 1、求C到自身的射影变换式使P（0），Q（1），R 0分别对应Q（1），R O ，P（0）， 并求出非齐次表达式，判断此变换的类型。 px 11=x 1 +x 2 2、求射影变换 px 21=x 2 的二重元素。 px 31=x 3 3、已知二阶曲线C：2x 12+4x 1 x 2 +6x 1 x 3 +x 3 2=0。 （1）求点（1，2，1）关于C的极线。 （2）求直线x 3 =0关于C的极点。 五.证明题 1、证明平面仿射几何基本定理。 2、证明三角形三中线共点。 2006年9月15日
《高等几何》课程教学大纲 课程编码： 课程性质：选修 学时数：54 学分数：3 适用专业：数学与应用数学 【课程性质、目的和要求】 高等几何的主要内容是具有悠久历史，至今仍富生命力的射影几何。它不仅在提高学生空间几何直观想象能力方面有独特的作用，而且在论证方法、思维方式方面还具有不同于初等几何、解析几何、高等代数的巧妙灵活的特点。 通过高等几何（或射影几何）的学习，可以使学生从较高的观点处理初等几何、解析几何的一些问题，以便更深入地理解中学几何教材，并掌握近代几何知识与方法，这对学生在几何方面观点的提高、思维的灵活、方法的多样性的培养都起着特别重要的作用，从而有助于学生数学素质的提高和科研能力的培养。 本课程在研究方法上利用代数法和综合法，目的之一是便于学生进一步学习高维空间上的射影几何，目的之二是加强直观性，以便开发智力，启迪思维。在内容编排上应做到由浅入深，由易到难，循序渐进，要特别注意理论基础的系统性与严密性，尽可能做到与中学数学实际相结合，本课程应特别注意对概念及解题方法的分析。 通过本课程的学习，要求学生理解并熟练掌握平面射影几何的基本概念和理论。了解几何学的群论观点和各种几何学之间的联系和差别。学会统一处理几何问题的方法特别要学会利用二次曲线的射影理论处理仿射几何和度量几何方面的有关问题，以便提高学生分析问题和解决问题的能力。 【教学内容、要点和课时安排】 第一章仿射坐标与放射变换（8学时） 【目的要求】掌握透视仿射对应、仿射对应与仿射变换；掌握仿射坐标系；熟练求出仿射变换的代数表示式；理解仿射性质。 【教学重点】仿射坐标系 【难点】仿射性质的理解 【教学内容】 第一节透视仿射对应 第二节仿射对应与仿射变换 第三节仿射坐标
第五章 二次曲线的仿射性质 如果将仿射变换 (5.0.1) 111112213 221122223 ''x a x a x a x a x a x a =++?? =++? 1112 2122 0a a a a ?=≠ 用点的齐次坐标表示，设 '' 1212''3333 ',',,x x x x x y x y x x x x ====， 于是(5.0.1)化为 '112 111213' 333 '212212223'3 33x x x a a a x x x x x x a a a x x x ?=++????=++?? 设' 33x x ρ=，上式变为 (5.0.2) 1111122133 221122223333'',0,0'x a x a x a x x a x a x a x x x ρρρρ=++?? =++?≠≠??=? 上式是用齐次坐标表示的仿射变换公式。 显然，(5.0.2)使30x =变成3'0x =，可见仿射变换是使无穷远直线仍变成无穷远直线的射影变换。 本章将以无穷远直线不变这一仿射性质为基础研究二次曲线（只研究二阶曲线）的仿射性质及其分类。 §1 二次曲线的仿射性质 1.1二次曲线与无穷远直线的相关位置 设二次曲线的方程为 (5.1.1) 3 ,,1 0,()ij i j ij ji i j S a x x a a == ==∑ 现在求无穷远直线30x =与二次曲线的交点，将30x =代入(5.1.1)得 (5.1.2) 22111121222220,a x a x x a x ++= 解(5.1.2)得 (5.1.3) 1211 x x = 因此
南京师范大学《高等几何》课程教学大纲 课程名称：高等几何（Higher Geometry） 课程编号：06100020 学分：3 学时：90 先修课程：解析几何, 高等代数(I), 数学分析(I) 替代课程：无 一、课程教学目的 本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。本课程在学生具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使学生能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得学生拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得学生加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。 概括来说，学习本课程后，要使得学生有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让学生了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。（7）学会构造射影图形。因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，学生要深刻领会这些技巧。 二、教学任务 通过课堂教学、课外辅导等多个教学环节，教师主要完成下列教学任务： 1、完成上述教学目的。 2、培养学生树立科学世界观、人生观和价值观，具有良好的思想道德素养和团结协作的精神，具有一定的社会责任感、宽广的胸怀和创新意识。 3、使学生了解近代几何学的发展概貌及其在社会发展中的作用，了解数学科学的若干最新发展状况。 4、培养学生的各种数学能力，不仅要教会学生用研究的眼光（即经常想一想当初数学家是如
1 浙江省2018年7月自学考试高等几何试题 课程代码：10027 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.在三角形的以下性质中是仿射性质的是( ) A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 2.以下四条直线中所含的无穷远点与其他三条不同的是( ) A.x y x y 121)1(2+=++ B.11)(2=++x x y C.x +2y =0 D.过点(1,3),(3,2)的直线 3.已知A ,B ,C ,D 四点是调和点列，任意调整它们次序后所得交比不会出现的是( ) A.1 B.2 C.-1 D. 2 1 4.椭圆型射影对应的自对应元素是( ) A.两个互异的实元素 B.两个互异的虚元素 C.两个重合的实元素 D.两个重合的虚元素 5.唯一决定一条二阶曲线需无三点共线的( ) A.3点 B.4点 C.5点 D.6点 二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.两点-3u 1+u 2+2u 3=0,2u 1-u 2+3u 3=0连线的坐标是_________. 7.若对合a μμ′+b (μ+μ′)+c =0是椭圆型的,则系数满足_________. 8.完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列,即这直线上的两个顶点和_________. 9.椭圆上四定点与其上任意第五点所联四直线的交比为_________.
2 10.平面上任一圆通过的两个固定点称为_________. 三、计算题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 11.求使三点A (0,0),B (1,1),C (1,-1)变到三点A ′(1,1),B ′(3,1),C (1,-1)的仿射变换. 12.已知平面上有点A (2,1),B (4,2),C (6,-3),D (-3,2),E (-5,1),求A (BC ,DE ). 13.求射影变换式,使它的不变元素的参数是λ1=-1,λ2=3,并且使λ3=1变为3 λ'=0. 14.求射影变换??? ??--='-='-='3213 212 211 36 4 x x x x x x x x x x ρρρ的二重直线. 15.求两个成射影对应的线束x 1-λx 2=0，x 2-λ′x 3=0,(λ′= λ λ +1)所构成的二阶曲线的方程. 16.求二次曲线x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3=0的中心. 四、作图题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）（第18题写出作法） 17.作出下列图形的对偶图形: 题17图 18.已知二阶曲线上五点A ,B ,C ,D ,E ,求作该曲线上点A 处的切线. 题18图 五、证明题(本大题共3小题，第19小题和第20小题各10分，第21小题8分，共28分)
《高等几何》学习指导
第一章仿射坐标与仿射变换 一、教学目的要求 1、理解透视仿射对应、仿射对应和仿射变换的概念，注意其区别和联系； 2、熟练掌握共线三点单比的概念及其坐标表示法； 3、理解仿射不变性与仿射不变量的概念，并能利用它们证明平面图形的其它仿射性质； 4、熟练掌握仿射变换的代数表示. 二、教学重点、难点 重点： 透视仿射对应、仿射变换的概念；仿射不变性与仿射不变量；仿射变换的代数表示和共线三点单比的坐标表示法. 难点：透视仿射对应的概念、特征及判断. 三、内容小结 本章主要介绍下述内容： 1、共线三点单比（简比）的概念 2、透视仿射对应 1）、概念： ①、同一平面内，直线l到直线/l的透视仿射对应； ②、平面π到平面/π的透视仿射对应. 2）、判断：对应点连线互相平行.
3）、性质： ①、保持同素性； ②、保持结合性； ③、保持平行性； ④、保持共线三点单比不变. 3、仿射对应与仿射变换 概念：透视仿射链. 4、仿射坐标 1）、仿射坐标系； 2）、共线三点单比的坐标表示： 设3131 1233232 (,),(1,2,3),()i i i x x y y P x y i PP P x x y y --== = --则； 3）、仿射变换的代数表示：/111213 /212223 x a x a y a y a x a y a ?=++??=++??， 1112 2122 0a a a a ?= ≠； 5、仿射性质 1）、仿射不变性：同素性、结合性、平行性. 2）、仿射不变量： 共线三点的单比； 两条平行线段之比； 两个三角形面积之比； 两个封闭图形面积之比. 3）、常见的仿射不变图形：三角形、平行四边形、梯形. 四、例题
[课外训练方案]部分 第一章、仿射坐标与仿射变换 第二章、射影平面 一、主要内容： 基本概念： 射影直线与射影平面 ；无穷远元素；齐次坐标；对偶原理；复元素 基本定理： 德萨格定理： 如果两个三点形对应顶点连线共点，则其对应边的交点在一条直线上。 德萨格定理的逆定理： 如果两个三点形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点连线共点 对偶原理： 在射影平面里，如果一命题成立，则它的对偶命题也成立。 二、疑难解析 无穷远点：在平面上，对任何一组平行直线，引入一个新点，叫做无穷远点.此点在这组中每一条直线上，于是平行的直线交于无穷远点.无穷远点记为P ∞，平面内原有的点叫做有限远点. 无穷远直线：所有相互平行的直线上引入的无穷远点是同一个无穷远点，不同的平行直线组上，引入不同的无穷远点，平面上直线的方向很多，因此引入的无穷远点也很多，这些无穷远点的轨迹是什么呢？由于每一条直线上只有一个无穷远点，于是这个轨迹与平面内每一直线有且只有一个交点.因此，我们规定这个轨迹是一条直线，称为无穷远直线.一般记为∞l ，为区别起见，平面内原有的直线叫做有穷远直线. 平面上添加一条无穷远直线，得到的新的平面叫做仿射平面.若对仿射平面上无穷远元素（无穷远点、无穷远直线）与有穷远元素（有穷远点、有穷远直线）不加区别，同等对待，则称这个平面为射影平面. 三、典型例题： 1、 求直线10x -= 与直线340x y -+=上无穷远点的齐次坐标 解：（1）直线10x -= 即 1x =它与y 轴平行 所以位y 轴上的无穷远点 (0,1,0) (2) 由直线340x y -+= 得1433y x = +故无穷远点为1 (1,,0)3 或（3，1，0） 2、求证：两直线1230x x x +-= 和123220x x x -+= 的交点C 与两点 (3,1,2),(2,A B 三点共线 证明：解方程组：1231230 220 x x x x x x +-=?? -+=?的交点 (1,4,3)C --
高等几何对初等几何教学指导作用浅析 摘要: 高等几何是高等师范院校数学与应用数学专业的一门重要基础课 ,其中贯穿着现代数学 的思想、理念和方法 ,是初等几何的延伸 ,拓展了初等几何的解题途径 ,丰富了初等几何的研究方 法 ,开阔了初等几何的学习视野。本文以实例与分析相结合说明高等几何的点线结合命题对初等几 何的高观点指导作用和在实践中广泛的应用 ,表明高等几何不仅在提高观点方面有独特作用 ,而且 在论证方法 ,思考问题等方面具有独特的巧妙、灵活等特点。 关键词：高等几何；初等几何； 初等几何是以静止的观点研究一些简单而又有规则的图形,高等几何则是以变动的观点研究变 动的图形.相比较而言,它们虽然同属几何学科,但其观点层次的高低不同.高等几何是在初等几何乃 至高等代数等课程的基础上研究几何问题的,它使学生在较高层面上认识几何空间的基本特征、研究 方法、内在联系,确认几何学的本质,从而发展了几何空间概念,并为进一步学习近代数学创造条件. 通过学习高等几何,可以居高临下地认识初等几何的内涵,高等几何不仅为初等几何提供了理 论依据,更为它拓展了解题途径,丰富了研究方法.因此,高等几何对初等几何具有现实的指导作用, 很有研究、探讨之必要,而且内容非常丰富,甚至是无止境的. 高等几何与初等几何的关系 《高等几何》是高等师范院校数学专业的一门重要的课程.是为学生加深对中学几何的理论和方法的理解，获得较高观点上处理中学几何问题的能力的专业选修课程. 而《初等几何研究》也是高师数学系数学教育专业的一门重要课程，是为培养中学数学师资所特有的课程，是培养未来中学数学教师从事初等几何教学和研究的能力，是提高他们数学素质和几何教学水平的重要课程。初等几何是高等几何的基础.而高等几何是初等几何的深化。初等几何研究的问题一般比较直观、单纯，但形成的概念和积累的技巧对高等几何往往影响深远；高等几何虽然抽象、复杂，但内容和方法却常常可以在初等几何中找到其根源，所以高等几何由于引入了无穷元素，因而处理问题的手段比初等几何高明，作为数学工具也就更具有一般性.从内容上讲，高等几何点变换的观点把初等几何中的正交变换扩大到仿射变换，再扩大到射影变换，从而把几何空间的概念也由欧氏空间扩大到仿射空间，再扩大到射影空间；坐标系也由笛卡尔坐标系扩大到仿射坐标系和射影坐标系.几何学的基本元素方面，也由以点为基本元素的点几何学化为以直线为基本元素的线几何学，并且由有限元素扩大到无穷远元素，由实元素扩大到复元素. 高等几何在初等几何中的应用 欧氏几何作为仿射几何、射影几何的子几何，使我们有可能把初等几何、解析几何放到更为广阔的背景中去考虑，有助于弄清欧氏几何与其它几何的联系与区别，以便从高观点下把握和处理中学教材，将高等几何的思想应用在初等几何中，这无疑对初等几何的教学有很大的指导作用。下面我们就通过几个实例可以看出高等几何对初等几何的指导作用。
某高校《高等几何》期末考试试卷 (120分钟) 一、填空题(2分?12=24分) 1、平行四边形的仿射对应图形为: 平行四边形 ; 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0) 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ,则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的: 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。
解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有:1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得, 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明:如果两个三点形内接于同一条二次曲线,则它们也同时外切于一条二次曲线。(10分) 证明:三点形ABC 与三点形C B A '''内接于二次曲线(C),设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A ' ' AC=E ',则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所 以,),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC,B C '',A C '',BC 连同这两个点列的底AB,B A ''属于同一条二级曲线(C '),亦即三点形ABC 与三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。 四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0,13x +2x -32x =0, 17x -2x =0,15x -3x =0, 求证四直线共点,并求(1l 2l ,3l 4l )的值。(10分) 解:因为 1 7213 112---=0且1 5 01 7213---=0 所以1l ,2l ,3l ,4l 共点。四直线与x 轴(2x =0)的交点顺次为A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),非齐次坐标为A(- 21,0),B(32,0),C(0,0),D(5 1,0), 所以 (1l 2l ,3l 4l )=(AB,CD)= ) 2 151)(320() 32 51)(210(+--+=21 五、求两对对应元素,其参数为12 1 →,0→2,所确定的对合方程。(10分) 解 设所求为 a λλ'+b(λ+λ')+d=0 ①
高等几何课后答案（第三版） 第一章仿射坐标与仿射变换 1.经耳A（-3「2）和的直成AB与真级* + 3.丫一6二D相交于P点，衣EBP）=? U苴线A8的方程为工+%「一15 =山 P点的坐标为（y-y）； （ABP）= —1. n求一仿射变披，它使直睡工+2了- 1 =o上的每个点都不也且使点（1,-1）变为点（-L2）. 2.在白线量十卷一13）上任取网点1.1）.由于AUQm）?BmEJ b i>?又点u, - n-i⑵I 仿射变换式｛, ?可解得所求为 3-求仿射变挨 = 7.r - y + 11 项=4/ +电+ 4 的不变点和不受直线. 3.不变点为- 2）. 怀变直线为2/ -23,一3 = 0与4工一;y = 0. 4.问在仿射变换下，下列图形的对应图形为何？ ①箓形；②正方形；③梯形；④等腰三角形. 4.（1）平行四边形"2）平行四边形；G）梯形"4）三角形.
5.下述桂质是否是仿射性质？ ①三角形的三高线共点； ②三角形的三中线共点； ③三角形内接于一圆； ? 一角的平分线上的点到两边等孑站 5. Q）为仿射性质，其余皆不是. 第二章射影平面 习题一 I.下列娜些图形具有射蛇性员？ 平行直哉；三点共线；三宜钱共教；两点月的距离；两直鼬的夹角；两相箸浅段 1.答:⑵.⑶具有射影性质」 2.求证：任意四边奉可以射影嵌平行四边形. | 2. 提示:将四边形两对对边的交点连线业作影消线，作+ 心射影射 得. 3. 在平（8 w上.有一定直线儿以0方射心，校射到平面/上得到直线”,求证当。变动时/'通过?定点. 3「提示』… 平面（O I，A I>-（O"E皆充于直线△，它们与平面虹的交 线为/J；* P；,如果口与/交于点P*则p" P〉…都通过点P?如果P是无绑远点，则p'pw…彼此平行.
《高等几何》课程学习指南 一、课程目的 本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。本课程在大家具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使我们能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得我们拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得我们加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高我们的数学审美意识。 概括来说，学习本课程后，希望大家有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。（7）学会构造射影图形。因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，我们要深刻领会这些技巧。 二、课程主要内容结构 以平面射影几何为主体，涵盖射影几何，变换群理论，仿射几何等内容，主要包括5个部分： 1、射影平面。包括引论，拓广平面，齐次点坐标，线坐标，射影平面，对偶原则，复元素，Desargues定理等。 2、射影变换。包括交比与调和比，完全四点形与完全四线形的调和性，一维基本形的射影对应，一维射影变换，一维基本形的对合，二维射影变换等。 3、变换群与几何学。包括二维射影变换的特例，平面上的几个变换群，变换群与几何学等。 4、二次曲线理论。包括二次曲线的射影定义，Pascal定理和Brianchon定理，极点与极线，配极变换，二次点列上的射影变换，二次曲线的射影分类，二次曲线的仿射理论，二次曲线的仿射分类等。 5、几何学寻踪。包括Euclid几何学，从Pappus到射影几何学，Descartes与解析几何学，第五公设之争与非欧几何学，Gauss，Riemann与微分几何学，从Cantor和Poincaré到拓扑学，Hilbert 与几何基础等，作为学生课外读物。
《高等几何》课程期末练习 一.选择与填空题 1.非零向量a 与b 的内积0=?b a ，那么（ ）. A. a 与b 平行 B . a 与b 垂直 C ．a 与b 线性相关 D.无法判定 解 选B ．由定义1.4，>? 解 选Ａ．因为1,cos >≤≤高等几何课程标准.
高等几何》课程标准 一、课程概述 高等几何》 是数学与应用数学专业的选修课， 主要包括射影几何与几何基础两部分内 容。通过本课程的学习， 使学生初步了解运用近代公理法建立几何逻辑体系的基本思想， 解中学几何教材的逻辑结构； 掌握射影几何的基本内容和研究方法， 并了解一些几何基础内 容。 通过本课程的教学， 应加深学生对中学初等几何和解析几何的理论与方法的理解， 较高的观点处理初等几何教材； 扩大学生的知识领域， 为进一步学习其它后续课程打好基础， 从而提高学生的逻辑推理能力与空间想象能力。 二、课程目标 1. 了解本课程的性质，地位与独立价值及其研究的主要范围，研究方法与该学科的进 展与未来方向。 充分理解本学科与其它学科处理与解决问题方法的不同之处。 牢固掌握本课程主要内容，为实际解决问题打下坚实的基础。 三、课程内容和教学要求 这门学科的知识与技能要求分为知道、理解、 掌握、 学会四个层次。 这四个层次的一般 涵义表述如下： 些原理与技巧的阐述、证明与方法所应接受的内容。 是指能运用已理解的概念、原理与技巧灵活地应用于解决一些具体的问题， 提出新的看法等所应接受的内容。 是指能通过教师指导， 有独立完成并解决一些具体实际问题的能力， 有在相 应学科初步进行科学研究的能力。 教学内容和要求表中的“2”号表示教学知识和技能的教学要求层次。 本标准中打“ *”号的内容可作为自学，教师可根据实际情况确定要求或不布置要求。 能用 2. 理解本课程的基本理论，掌握解题的常用方法与技巧。 3. 知道与初等几何学科的关系、联系与相互的渗透。 4. 5. 知道 是指对这门学科中要了解的一些内容。 理解 是指对这门学科中涉及到的有一定深度的概念、 原理与技巧的内涵， 以及这 学会
某高校《高等几何》期末考试试卷 （120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→， 01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1
二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得， 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB I C B ''=D AB I C A ''=E B A ''I BC=D ' B A ' 'I AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， ),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ，B A ''属于同一条二级曲线（C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。 四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0， 13x +2x -32x =0, 17x -2x =0，15x -3x =0, 求证四直线共点，并求（1l 2l ,3l 4l ）的值。（10分） 解：因为
科技信息 ［2］Ahana Lakshmi,R R ajagopalan.Socio-economic implications of coastal zone degradation and their mitigation:a case study from coastal vil-lages in India ［J ］.Ocean &Coastal Management,2000,43:749-762. ［3］刘康,霍军.海岸带承载力影响因素与评估指标体系初探［J ］.中国海洋大学学报，2008，（4）：8-11. ［4］聂洪涛，陶建华.渤海湾海岸带开发对近海水环境影响分析［J ］.海洋工程，2008,26(3):44-50. ［5］张远，李芬，郑丙辉.海岸带城市环境—经济系统的协调发展评 价及应用———以天津为例［J ］.中国人口·资源与环境，2005,2（15）：53-56. ［6］廖重斌.环境与经济协调发展的定量评判及其分类体系［J ］.热带地理,1999,19(2):171-177. ［7］方一平,陈国阶.成都市城市环境与经济协调发展分析［J ］.城市环境与城市生态,2000,13(5):21-23. ［8］马玉香，杨淑萍.石河子城市环境与经济协调发展评价研究［J ］.黑龙江生态工程职业学院学报,2008,21（5）:5-7. ［9］黄一绥.福州市环境与经济协调发展度评价与分析［J ］.环境科 学与管理， 2008,33（12）:44-47.（上接第452页）外心、 内心、重心和垂心是三角形的几个重要的特殊点，它们分别是三角形三中垂线、三内角平分线、三中线和三高线的交点。然而两直线如相交交于一点是显然的，但对于三直线来讲，三线共点并非显然。因此学生在学习过程中往往很自然地问“三条直线是否恰好相交于一点呢？”本文用高等几何方法证明了三角形三中垂线、三内角平分线、三中线和三高线确实是共点的。 １、外心证：设△ABC 的两边AB 、BC 的中垂线相交于点O ，由AB 、BC 的中 垂线相交于点O 知OA=OB ， OB=OC ，所以OA=OC 。因而O 在AC 的中垂线上，即三中垂线共点。 ２、内心证：设△ABC 的两边角A 、角B 的角平分线交于点O ，设O 到三遍 的距离分别是OD 、 OE 和OF ，则由条件知OD=OE,OE=OF,所以OD=OF 。从而知O 也在角C 的角平分线上，即三内角平分线共点。 ３、重心 图1 证：如图1，设D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、AC 、AB 的中点。考虑三角形DEF 与三角形ABC ，易知DE ，EF ，FD 分别平行AB ，BC ，CA ，所以其对应边皆交于无穷远点，从而共于无穷远直线。于是由德萨格定理知其对应定点的连线共点，即为重心O 。 ４、垂心 此种情形证明方法较多，在此给出几种简单证明。方法一：向量法。 图2 证：如图2，设三角形△ABC 两条高AD 、BE 相交于O 。 事实上，易知A △△B =O △△B -O △△A ，B △△C =O △△C -O △△B ，A △△C =O △△C -O △△A 。由于O △△A 垂直B △△C 知O △△A ·B △△C =O △△A ·（O △△C -O △△B ）=0，同理O △△B ·A △△C =O △△B ·（O △△C -O △△A ）=0， 两式结合得O △△A ·O △△C =O △△B ·O △△C ,即O △△C ·A △△B =0，所以CO 垂直AB ，即三角形三高线交于一点。方法二：建立直角坐标系，解析法。 图3 证：如图3，以直线BC 为x 轴，高AD 为y 轴，建立直角坐系。设顶点坐标分别为A （0，a ），B （b ，0），C （c ，0）。 由两条直线垂直的条件得斜率分别为k B E =-1k A C =c a ,k C F =-1k A B =b a 所以三条高的直线方程分别为 AD:x=0BE:y=c (x-b)CF:y=b (x-c) 由后两式解得c (x-b)=b (x-c),(b-c)x=0。 由于b ≠c(b<0,c>0)，故x=0 这说明BE 和CF 得交点在AD 上，即三角形的三条高相交于一点。方法三：解析法的另一种方法-齐次坐标法证：仍参照图3。由三高线方程分为AD:x=0,BE:y=c (x-b),CF:y= b (x-c)知其齐次坐标（1，0，0），（ c ，-1，-bc ），（b ，-1，-bc ）所构成的系数矩阵的行列式100c a -1-bc a b a -1-bc a =0，从而三高线共点。至此，三角形外心、内心、重心和垂心分别是三角形三中垂线、三内角平分线、三中线和三高线的交点就证明完了。 另外，关于三角形“四心”，还有一个重要的结论，这就是Euler 定理：任意三角形的外心、重心和垂心三点共线。关于这个结论，可以按照射影几何中的德萨格定理很简单的证明，这里不再赘述了。 参考文献［1］刘复元.三角形三条高线交于一点的若干证法［J ］.陕西教育学院学报.1999，第3期，57～58. ［2］吕林根，许子道.解析几何［M ］.第三版，北京：高等教育出版社，2001. ［3］梅向明，刘增贤等.高等几何［M ］.第二版，北京：高等教育出版社， 2000.从高等几何观点看三角形“四心” 宁夏大学数学计算机学院 王玉光 河南省轻工业学校 赵艳 x C O B E F A y C D B O E A F C D B O E F A 高校理科研究 453——