1.2.1 平面的基本性质与推论
自主学习
学习目标
1．掌握平面的基本性质和三个推论，会用三种语言表述性质与推论．
2．了解异面直线的概念，能用符号语言描述点、直线、平面之间的相互位置关系．
自学导引
1．平面的基本性质
(1)基本性质1：如果一条直线上的______点在一个平面内，那么这条直线上的________点都在这个平面内，这时我们说直线在平面内或________________．
(2)基本性质2：经过________________________的三点，有且只有一个平面．
也可简单说成，______________的三点确定一个平面．
(3)基本性质3：如果不重合的两个平面有________公共点，那么它们有且只有________过这个点的公共直线．
如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面________．这条公共直线叫做两个平面的________．
2．平面基本性质的推论
(1)推论1 经过________________________有且只有一个平面．
(2)推论2 经过________________有且只有一个平面．
(3)推论3 经过________________有且只有一个平面．
3．共面和异面直线
如果两直线共面，那么它们________或者________，否则称它们为______________．
对点讲练
知识点一多线共面
例1已知直线a∥b，直线l与a、b都相交，求证：过a、b、l有且只有一个平面．
点评证明多线共面的一种方法是先由推论3确定一个平面，再利用基本性质1依次证明其余各线也在这个平面内．另一种方法是先由一部分线确定一个平面，由另一部分线确定另一个平面，再让这两个面重合．
变式训练1 两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内．
知识点二证明多点共线问题
例2
已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示．求证：P、Q、R三点共线．
点评证明多点共线的方法是利用基本性质3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面的交线上．本题也可先确定点P、R在同一条直线上，Q也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法．
变式训练2
如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．
知识点三证明线共点问题
例3在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，
求证：EF，GH，BD交于一点．
点评证明若干条线共点，一般可先证其中两条相交于一点，再证其他线也过该点即可，本题在解答中应用了两个相交平面的公共点必然在它们的交线上这一结论．变式训练3
如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F、DA三线交于一点．
1．三个基本性质的作用：
基本性质1——判定直线在平面内的依据；
基本性质2——判定点共面、线共面的依据；
基本性质3——判定点共线、线共点的依据．
2．注意事项
(1)应用基本性质2时，要注意条件“三个不共线的点”．事实上，共线的三点是不能确定一个平面的．
(2)在立体几何中，符号“∈”与的用法与读法不要混淆．
(3)解决立体几何问题时注意数学符号、文字语言、图形语言间的相互转化.
课时作业
一、选择题
1．下列命题：
①书桌面是平面；
②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；
③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；
④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．点A在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为( )
A．A∈l，l∈αB．A∈l，α
C．，l∈αD．，α
3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )
A．1条或2条B．2条或3条
C．1条或3条D．1条或2条或3条
4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈ββ
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈βα∩β＝MN
C．A∈α，A∈βα∩β＝A
D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线α、β重合
5．平面α∩平面β＝l，点A∈α，B∈α，C∈β，且，AB∩l＝R，过A、B、C 三点确定平面γ，则β∩γ等于( )
A．直线AC B．直线BC
C．直线CR D．以上都不对
二、填空题
6．下列命题中，正确的是________．(填序号)
①若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点；
②若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线；
③若点A既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于直线l，且A在l上；
④两条直线不能确定一个平面．
7．读图①②，用符号语言表示下列图形中元素的位置关系．
(1)图①可以用符号语言表示为
________________________________________________________________________；
(2)图②可以用符号语言表示为
________________________________________________________________________．
8.
如图所示，ABCD—A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是________(填序号)．
①A、M、O三点共线；
②A、M、O、A1四点共面；
③A、O、C、M四点共面；
④B、B1、O、M四点共面．
三、解答题
9．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．
10．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD 中，AD∥BC，且α，
β.
求证：AB ，CD ，l 共点(相交于一点)．
【答案解析】 自学导引
1．(1)两 所有 平面经过直线 (2)不在同一条直线上 不共线 (3)一个 一条 相交 交线
2．(1)一条直线和直线外一点 (2)两条相交直线 (3)两条平行直线 3．平行 相交 异面直线 对点讲练
例1 证明 方法一
?
????
直线过a ，b 有且只有一个平面，设为αl∩a＝l∩b＝
?
??
?
?α，B∈α A∈l，B∈l α，b ，l 共面．
方法二 ∵a∥b，
∴a，b 确定一个平面α.
a∩l＝A ，直线a ，l 确定一个平面β. 又∵B∈α，B∈β，α，β， ∴平面α与β重合． 故直线a ，b ，l 共面． 变式训练1
已知：如图所示，l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C. 求证：直线l 1、l 2、l 3在同一平面内． 证明 方法一 (同一法)
∵l 1∩l 2＝A ，∴l 1和l 2确定一个平面α. ∵l 2∩l 3＝B ，∴B∈l 2.
又∵l 2α，∴B∈α.同理可证C∈α. 又∵B∈l 3，C∈l 3，∴l 3α. ∴直线l 1、l 2、l 3在同一平面内．
方法二 (重合法)
∵l 1∩l 2＝A ，∴l 1、l 2确定一个平面α. ∵l 2∩l 3＝B ，∴l 2、l 3确定一个平面β. ∵A∈l 2，l 2α，∴A∈α. ∵A∈l 2，l 2β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A 、B 、C 既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线l 1、l 2、l 3在同一平面内． 例2 证明 方法一 ∵AB∩α＝P ， ∴P∈AB，P∈平面α. 又平面ABC ，∴P∈平面ABC.
由基本性质3可知：点P 在平面ABC 与平面α的交线上， 同理可证Q 、R 也在平面ABC 与平面α的交线上． ∴P、Q 、R 三点共线． 方法二 ∵AP∩AR＝A ，
∴直线AP 与直线AR 确定平面APR.
又∵AB∩α＝P ，AC∩α＝R ，∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈面APR ，C∈面APR ，面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈面APR ，又Q∈α，∴Q∈PR， ∴P、Q 、R 三点共线．
变式训练2 证明 ∵AB∩α＝P ，CD∩α＝P ， ∴AB∩CD＝P.
∴AB，CD 可确定一个平面，设为β. ∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD， ∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β. ∴A β，β，平面α，β相交． ∵AB∩α＝P ，AC∩α＝Q ，BD∩α＝R ，
∴P，Q ，R 三点是平面α与平面β的公共点．
∴P，Q ，R 都在α与β的交线上，故P ，Q ，R 三点共线． 例3 证明 因为E 、G 分别为BC 、AB 的中点， 所以GE∥AC.
又因为DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，所以FH∥AC 且HF ＝2
5AC ，从而FH∥GE.故E ，F ，H ，G
四点共面．
所以四边形EFHG 是一个梯形，GH 和EF 交于一点O. 因为O 在平面ABD 内，又在平面BCD 内， 所以O 在这两个平面的交线上．
而这两个平面的交线是BD ，且交线只有这一条，所以点O 在直线BD 上．这就证明了GH 和EF 的交点也在BD 上，所以EF ，GH ，BD 交于一点．
变式训练3
证明 连接EF ，D 1C ，A 1B. ∵E 为AB 的中点， F 为AA 1的中点， ∴EF
1
2
A 1B. 又∵A 1B∥D 1C ，∴EF∥D 1C ，
∴E，F ，D 1，C 四点共面，且EF ＝1
2
D 1C ，
∴D 1F 与CE 相交于点P. 又D 1平面A 1D 1DA ，平面ABCD.
∴P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点． 又平面A 1D 1DA∩平面ABCD ＝DA ，
根据基本性质3，可得P∈DA，即CE 、D 1F 、DA 相交于一点． 课时作业
1．A [由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确，故选A.]
2．B 3.D
4．C [∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β.
由基本性质可知α∩β为经过A 的一条直线而不是A. 故α∩β＝A 的写法错误．]
5．C [∵AB∩l＝R ，∴R∈l，R∈AB. 又α∩β＝l ，β，∴R∈β，R∈γ， 又C∈β，C∈γ，∴β∩γ＝CR.] 6．①②③
7．(1)α∩β＝l ，α，β，l∩n＝P ，m∥l (2)α∩β＝l ，m∩α＝A ，m∩β＝B 8．④
解析 连接AO ，AO 是平面AB 1D 1和平面BB 1D 1D 的交线，∵M∈A 1C ，A 1面AA 1C 1C ， ∴M∈面AA 1C 1C ，又M∈面AB 1D 1
∴M∈AO，即A 、M 、O 三点共线，因此①②③均正确． 只有④不正确． 9．解 很明显，点S 是平面SBD 和平面SAC 的一个公共点，即点S 在交线上，由于AB>CD ，则分别延长AC 和BD 交于点E ，如图所示．
∵E∈AC，平面SAC，
∴E∈平面SAC.
同理，可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．
10．证明∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰，
∴AB，CD必定相交于一点，设AB∩CD＝M.
又α，β，∴M∈α，且M∈β，
∴M∈α∩β.又∵α∩β＝l，∴M∈l，
即AB，CD，l共点．