概率论与数理统计
习题及题解
沈志军 盛子宁
第一章 概率论的基本概念
1．设事件B A ,及B A 的概率分别为q p ,及r ，试求)(),(),(B A P B A P AB P 及
)(AB P
2．若C B A ,,相互独立，试证明：C B A ,,亦必相互独立。
3．试验E 为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以),(21x x 记之，其中21,x x 分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。设事件}10|),{(2121=+=x x x x A ， 事件}|),{(2121x x x x B >=。试求)|(A B P 和)|(B A P
4．某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问：（1）恰好第三次打开房门锁的概率？（2）三次内打开的概率？（3）如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？
5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n 个白球、m 个红球，乙袋中装有N 个白球、M 个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？
6．在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？
7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率？
8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为0.92,0.93,
在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为0.15。试求下列事件的概率：（1）仓库发生意外时能及时发出警报；（2）乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？
9．设B A ,为两随机变量，试求解下列问题：
（1） 已知6/1)|(,3/1)()(===B A P B P A P 。求：)|(B A P ； （2） 已知2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 。求：)(B A P 。
10．先把长为l 的木棍折断为两部分，再把较大的那一部分折断成两部分。试求所得三部分能成三角形的概率？
11．甲、乙、丙三人向同一飞机射击，假设他们的命中率都是4.0。又若只有一人命中时，飞机坠毁的概率为2.0；若恰有二人命中时，飞机坠毁的概率为6.0；若三人同时命中，则飞机必然坠毁。试求：（1）飞机坠毁的概率；（2）若飞机已经坠毁，则坠毁的飞机是因为恰有二人命中的概率？
12．今有９门高射炮独立地向一飞机射击，每门炮能击中飞机的概率为6.0。（１）同时各射一弹，试求飞机被击中的概率；（２）欲以99％以上的把握击中飞机，试问至少要布置多少门炮同时射击？
13．某工厂有职工4745名，每名职工生日在一年中某一天的概率为365/1，试求下列事件的概率：（１）恰有４名职工生日在同一天)(A ；（２）至少有４名职工生日在同一天（B ）？
14．假设飞机的每个发动机在飞行中出现故障的概率为p -1，且各发动机故障与否是相互独立的。如果至少有%50的发动机正常，飞机可成功飞行。问对于多大的p ，４个发动机比２个发动机更为保险？
15．设事件C B A ,,满足：
0)()(,8/1)(,4/1)()()(======BC P AB P AC P C P B P A P
试求C B A ,,三事件至少有一发生的概率？
16．某地区气象资料表明，邻近的甲、乙两城市中的甲市全年雨天比例为%12，乙市全年雨天比例为９％，甲、乙两市至少的一城市为雨天比例为%8.16，试求下列事件的概率：（１）甲、乙两市同为雨天；（２）在甲市雨天的条件下乙市亦为雨天；（３）在乙市无雨的条件下甲市亦无雨？
17．某地以英文字母及阿拉伯数字组成７位牌照。试求下列事件的概率：（１）牌照的前２位是英文字母、后５位是阿拉伯数字（A ）；（２）牌照中有２位是英文字母、另外５位是阿拉伯数字（B ）？
18．甲、乙两个乒乓球运动员进行单打比赛，如果每赛一局甲胜的概率为6.0，乙胜的概率为4.0，比赛既可采用三局两胜制，也可以采用五局三胜制，问采用哪种赛制对甲更有利？
19．平面上画有平行线若干、其间距交替地等于5.1厘米及8厘米。今任意地向平面投掷一半径为5.2厘米的圆片。试求该圆与任一平行线不相交的概率？
20．甲、乙两人相约于一小时内在某地会面，商定先到者等候10分钟，过时即可离去。试求他们能会到面的概率？
21．平面上画有距离为)0(>a a 的平行线若干条。今向此平面任意投一长为)(a l l <的小针。试求小针与平行线之一相交的概率？
22．若B A ,相互独立，则（1）B A ,独立；（2）B A ,独立；（3）B A ,独立。
23．当掷五枚硬币时，已知至少出现两个正面，求正面数刚好是三个的条件概率？
24．掷三颗骰子，若已知没有两个相同的点数，试求至少有一个一点的概率？
25．设事件B A ,的概率分别为
31和2
1
，试求下列三种情况下)(B A P 的值： （1）A 与B 互斥；（2）B A ?；（3）8
1
)(=AB P
26．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球数的最大值分别为1，2，3的概率？
27．袋中有12个球，其中8个白球，4个黑球，现从中任取两个，求：（1）两个均为白球的概率？（2）两个球中一个是白的，另一个是黑球的概率？（3）至少有一个黑球的概率？
28．将10本书随意放在书架上，求：其中指定的5本书放在一起的概率？
29．甲、乙二班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，求：在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率？
30．设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为0.1,0.2,0.3，从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取
一件产品，求：取得正品的概率？
31．某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一型号的螺钉，各车间的产量分别占该厂螺钉产品的25%，35%，40%，各车间成品中次品分别为各车间产量的5%，4%，2%，今从该厂的产品中任取一个螺钉经检查发现是次品，问它是甲、乙、丙三个车间生产的概率是多少？
32．有产品100件，其中10件次品，90件正品。现从中任取3件，求：其中至少有一件次品的概率？
33．100人参加数理化考试，其结果是：数学10人不及格，物理9人不及格，化学8人不及格，数学、物理两科都不及格的有5人，数学、化学两科都不及格的有4人，物理、化学两科都不及格的有4人，三科都不及格的有2人。问全部及格的有多少人？
34．两台机器加工同样的零件，第一台机器的产品次品率是0.05，第二台机器的产品次品率是0.02。两台机器加工出来的零件放在一起，并且已知第一台机器加工的零件数量是第二台机器加工出来的零件数量的两倍。从这些零件中任取一件，求：此零件是合格品的概率？如果任意取出一件，经检验是次品，求：它是由第二台机器生产的概率？
35．有枪8支，其中5支经过试射校正，3支未经过试射校正。校正过的枪，击中靶的概率是0.8；未经校正的枪，击中靶的概率是0.3。今任取一支枪射击，结果击中靶，问此枪为校正过的概率是多少？
36．某射手射击一发子弹命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3。求：该射手射击三发子弹而得到不小于29环成绩的概率？
37．设5.0)(,1.0)(,==?B P A P B A ，试求：),(),(B A P AB P )(B A P 及)(B A P 38．已知3.0)(,7.0)(=-=B A P A P ，求：)(AB P
39．某举重运动员在一次试举中能打破世界纪录的概率是p ，如果在比赛中他试举三次，求：他打破世界纪录的概率？
40．工厂生产的某种产品的一级品率是40%，问需要取多少件产品，才能使其中至少有一件一级品的概率不小于95%？
41．假设每个人的生日在任何月份内是等可能的，已知某单位中至少有一个人的生日在一月份的概率不小于0.96，问该单位有多少人？
42．从5双不同尺码的鞋子中任取4只，问4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？
43．仪器中有三个元件，它们损坏的概率是0.1，并且损坏与否相互独立。当一个元件
损坏时，仪器发生故障的概率是0.25；当两个元件损坏时，仪器发生故障的概率是0.6；当三个元件损坏时，仪器发生故障的概率是0.95；当三个元件都不损坏时，仪器不发生故障。求：仪器发生故障的概率？
44．在套圈游戏中，甲、乙、丙每投一次套中的概率分别是0.1,0.2,0.3，已知三个人中某一个人投圈4次而套中一次，问此投圈者是谁的可能性最大？
45．在40个同规格的零件中误混入8个次品，必须逐个查出，求：正好查完22个零件时，挑全了8个次品的概率？
46．设事件A 与B 相互独立，两事件中只有A 发生及只有B 发生的概率都是
4
1
，求)(A P 与)(B P
第二章 随机变量及其分布
1．一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t 每个设备被使用的概率为1.0，问在同一时刻：（1）恰有2个设备被使用的概率？（2）至少有3个设备被使用的概率？（3）至多有3个设备被使用的概率？
2．设有一批产品共100件，其中有95件正品，5件次品。现从中随机地抽取10件，试以观察抽得的次品数为随机变量，写出其分布律，并求次品数X 不超过3的概率？
求的分布函数？
4．设随机变量X 的分布函数为)(,arctan )(+∞<<-∞+=x x B A x F 。试求：（1）系数B A ,；（2）X 落在（-1，1）内的概率？（3）X 的概率密度？
5．设随机变量X 服从015.0=λ的指数分布，试求：（1）}100{>X P ； （2）若要1.0}{<>x X P ，则x 应在什么范围内？
6．设随机变量X 的概率密度为??
???≤≤--=其它
01112)(2
x x x f π
，求X 的分布函数？
7．设随机变量X 的概率密度为：??
?
??≤≤-<≤=其它02
1210)(x x x x
x f 求X 的分布函数？
8．设连续型随机变量X 的分布函数为??
???≥<≤<=1
11000
)(2
x x kx
x x F
试求：（1）系数k ；（2）X 的概率密度；（3）}3.13.0{≤≤X P 。
9．设随机变量X 的分布函数为??????
?≥<≤<=5
1
502500
)(2x x x
x x F
试求：（1）X 的概率密度；（2）X 落在（3，6）内的概率？
10．随机变量X 的概率密度为),(,)(|
|+∞<<-∞=-x ke
x f x
试求：（1）系数k ；（2）}10{< 11．某种电子管的使用寿命X （单位：小时）的概率密度为 ?????≤>=100 100100 )(2 x x x x f 设某仪器内装有三个这样的电子管。试求：（1）试用的最初150小时内没有1个电子管损 坏的概率；（2）这段时间内只有1个电子管损坏的概率？ 试求：（1）12+=X Y 的分布律；（2）2 )1(-=X Y 的分布律？ 13．设X 的概率密度为??? ??<<=其它 02)(2 ππx x x f ，求X Y sin =的概率密度？ 14．设随机变量X 在（0，1）上服从均匀分布，试求：（1）X e Y =的概率密度； （2）X Y ln 2-=的概率密度？ 15．设随机变量X 在区间??? ???-2,2ππ上服从均匀分布。求随机变量X Y cos =的概率密 度？ 16．设随机变量)1,0(~N X 。试求：||)2(;)1(X Y e Y X ==的概率密度？ 17．设随机变量)1,0(~N X 。试求：122+=X Y 的概率密度？ 18．设电流I 是一个随机变量，它均匀分布在9~11安之间。若此电流通过2欧的电阻，试求功率2 2I W =的概率密度？ 19．设随机变量X 的概率密度为)(x f ，求3 X Y =的概率密度；若随机变量X 服从参数为λ的指数分布，求3 X Y =的概率密度？ 20．某种商品一周内的需要量X 是一个随机变量，其概率密度为 ?? ?≤>=-0 )(x x xe x f x ，设各周的需要量是相互独立的，求：（1）两周；（2）三周的需要量的概率密度？ 21．设X 是一个随机变量，在（-1，1）上服从均匀分布，求||X Y =的概率密度？ 22．设),4,5(~N X 求：（1）}3|{|>X P ；（2）使}{}{c X P c X P >=<的？ 注：9999.0)4(,9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(,5.0)0(=Φ=Φ=Φ=Φ=Φ 23．同时掷两颗骰子，观察它们出现的点数。记X 为两颗骰子出现的最大点数，试求X 的分布律？ 24．某批产品的次品率为1/4，现对这批产品进行测试，以X 表示首次测得正品的测试次数，求X 的分布律？ 25．设连续型随机变量X 的概率密度为 ? ? ?<<-=其它01 0)()(2x x x c x f 试求：（1）常数c ；（2）}5.00{< 26．电话总机在1小时内平均接到60次呼唤，试问在30秒内1次呼唤也没有接到的 概率有多大？ 27．对某一目标进行射击，直到击中时为止。若每次射击的命中率为p ，试求射击次数的分布律？ 28．设盒中有5个球，其中3个黑球、2个白球，从中随机抽取3个球，求：“抽得白球个数”X 的概率分布？ 29．某射手每次射击打中目标的概率都是8.0，现在他连续射击30次，求：他至少打中两次的概率？ 30．某射手每次打中目标的概率都是8.0，现在他连续向一个目标射击，直到第一次击中目标为止。求：他射击次数不超过5次就能把目标击中的概率？ 31．设随机变量X 的概率分布为),3,2,1(,31}{ =?? ? ???==i C i X P i 试求：（1）常数;C （2）}42 1 {≤ 32．已知随机变量X 的分布律为),2,1,0(,21}{1 == =+k k X P k 试求：)cos( X Y π=的分布律？ 33．设某商店每月销售某种商品的数量服从参数为7的泊松分布，问在月初进货时应 进多少件此种商品，才能保证当月此种商品不脱销的概率为999.0？ 34．设随机变量X 服从参数为p n ,的二项分布，问当k 为何值时能使}{k X P =最大？ 35．同时投掷两颗骰子，直到至少有一颗骰子出现六点为止，试求：投掷次数X 的分布？ 36．一台仪器在10000个工作小时内平均发生10次故障，试求：在100个工作小时内故障不多于两次的概率？ 37．设随机变量X 的概率密度函数为 ?? ? ??≥<-=1 011)(2 x x x A x p X 试求：（1）系数A ；（2）X 落在)2 1 ,21(-的概率； （3）X 的分布函数。 38．设随机变量X 的分布函数为 ???? ? ????> ≤≤<=2 12 0sin 00)(π π x x x A x x F 试求：常数A 及}6 {π 39．设随机变量X 服从正态分布),160(2 σN ，为使80.0}200120{≥≤ 40．设测量两地间的距离时带有随机误差X ，其概率密度函数为 )(,2401)(3200 )2(2+∞<<-∞= -- x e x p x π 试求：（1）测量误差的绝对值不超过30的概率；（2）接连测量三次，每次测量相互独立进行，求至少有一次误差不超过30的概率。 41．设随机变量X 分别服从]2 ,2[π π- 与],0[π区间上的均匀分布，试求：X Y sin =的 概率密度函数。 42．已知随机变量X 只取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次是： C C C C 162,85,43,21，试求：常数C 43．设连续型随机变量X 的分布函数为 )0(,1arcsin 0)(>? ? ??? ≥<<-+-≤=a a x a x a a x B A a x x F 试求：（1）常数B A ,；（2）随机变量X 落在?? ? ??-2,2a a 内的概率；（3）X 的概率密度函数。 44．将三封信逐封随机地投入编号分别为1，2，3，4的四个空邮筒，设随机变量X 表 示“不空邮筒中的最小号码”（例如，“3=X ”表示第1，2号邮筒中未投入信，而第3号邮筒中至少投入了一封信），试求：（1）随机变量X 的分布律；（2）X 的分布函数)(x F 。 45．设随机变量X 的概率密度函数为 +∞<<+=x x x p X 0,) 1(2 )(2π 试证明：随机变量X Y 1 =与X 服从同一分布。 46．轰炸机共带三颗炸弹去轰炸敌方铁路。如果炸弹落在铁路两旁40米内，就可以使铁路交通遭到破坏，已知在一定投弹准确度下炸弹落点与铁路距离X 的概率密度为 ???? ???? ?>≤<-≤≤-+=100 0100010000100010010000100)(x x x x x x p 如果三颗炸弹全部投下去，问敌方铁路被破坏的概率是多少？ 47．设随机变量X 服从标准正态分布，X Y 21-=，试求：Y 的概率密度函数。 第三章 多维随机变量及其分布 1．袋中装有四个球，分别编号为1，2，2，3，现不放回地任取两次，每次抽取一个球，以Y X ,分别记第一次和第二次所取球的编号，求),(Y X 的分布律？ 2．设二维连续型随机变量),(Y X 的概率密度为 ? ? ?<<<<=其它01 0,20),(y x kxy y x f 求：（1）常数k 的值；（2）}2{>+Y X P 3．将一硬币连掷三次，以X 表示三次中出现正面的次数，Y 表示在三次中出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，试求二维随机变量),(Y X 的分布律？ 4．已知二维随机变量的联合概率密度为 ? ? ?>>=+-其它 00 ,0),() 32(y x Ae y x f y x 试求：（1）常数A 的值；（2）}20,10{<≤<≤Y X P ；（3）),(Y X 的分布函数？ 5．设),(Y X 在矩形区域20,10<<< 6．设),(Y X 的概率密度为 ?? ?<<=其它 1 ),(22y x y cx y x f 求：（1）常数c ；（2）}{Y X P > 7．设),(Y X 在由x 轴、y 轴及直线22=+y x 所围成的三角形区域上服从均匀分布。求),(Y X 关于X 及关于Y 的边缘概率密度？ 8．设),(Y X 的概率密度为 ? ? ?<<<<=其它00,10),(x y x Ax y x f 求：（1）常数A ；（2）关于X 及关于Y 的边缘概率密度？ 9．设),(Y X 的联合分布律如表所示： 判断与是否相互独立？ 10．一电子器件包含两个部分，分别以X ，Y 记这两部分的寿命（单位：小时），设),(Y X 的分布函数为 ? ? ?≥≥+--=+---其它 00 ,01),() (01.001.001.0y x e e e y x F y x y x 问：（1）X 与Y 是否相互独立？（2）求}120,120{≥≥Y X P 11．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ?? ?-<<<<=其它0 ) 1(20,106),(x y x xy y x f 问：（1）X 与Y 是否相互独立？（2）求}1{<+Y X P 12．设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在)2.0,0(上服从均匀分布，Y 的概率 密度为?? ?≤>=-0 5)(5y y e y f y Y ，求：（1）),(Y X 的联合概率密度；（2）}{X Y P ≤ 13．设),(Y X 在三角形区域1,0,0:<+>>y x y x D 上服从均匀分布。 求Y X Z +=的概率密度？ 14．对某种电子装置的输出测量5次，设观察值)5,4,3,2,1(=i X i 是相互独立且服从同 一分布，其概率密度为)5,4,3,2,1(,0 04 )(82 =??? ??≤>=-i x x e x x f x X i 求：}4],,,,{m ax [54321≥X X X X X P 15．设Y X ,是相互独立的随机变量，其分布律分别为 .,2,1,0),(}{.,2,1,0),(}{ ======j j q j Y P k k p k X P 证明随机变量Y X Z +=的分布律为∑==-==i l i j i q l p i Z P 0 .),1,0(),()(}{ 16．在一简单电路中，两电阻1R 和2R 串联联接。设1R 和2R 相互独立，它们的概率密 度分别为?????<<-=??? ??<<-=其它 其它0 10050 10)(,010 050 10)(21y y y f x x x f R R 求总电阻21R R R +=的概率密度？ 17．设),(Y X 的概率密度为?? ?-<<<<=其它0 ) 1(20,101),(x y x y x f 求Y X Z +=的概率密度？ 18．设随机变量Y X ,相互独立，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 在（0，2）上服从均匀分布。求),m ax (1Y X Z =和),m in(2Y X Z =的概率密度？ 19．将三个球随机地放入三个盒子内，每个球可放入任一盒子中，记Y X ,分别为放入第一个、第二个盒子中球的个数，求二维随机变量),(Y X 的分布律？ 20．设随机变量),(Y X 的概率密度为 ?????<<<<+ =其它 2 0,103 ),(2y x xy x y x f 求：（1）}1{≥+Y X P ；（2）),(Y X 的分布函数；（3）),(Y X 关于X 及关于Y 的边缘概率密度；（4）判断X 与Y 是否相互独立？ 21．设),(Y X 的概率密度为?? ?<<<=其它0 1 0,||1),(x x y y x f 求：),(Y X 关于X 及关于Y 的边缘概率密度？ 22．设X ，Y 是相互独立的随机变量，分别服从参数为21,λλ的泊松分布， 证明：Y X Z +=服从参数为21λλ+的泊松分布。 23．设G 表示平面上的区域，它是由抛物线2 x y =和直线x y =所夹的区域。),(Y X 服从G 上的均匀分布，求联合概率密度与边缘概率密度，并问X 与Y 是否相互独立？ 24．离散型随机变量),(Y X 的概率分布如下表所示，试求边缘分布，并问X 与Y 是否相互独立？ X Y 0 1 2 3 4 5 6 0 0.202 0.174 0.113 0.062 0.049 0.023 0.004 1 0 0.099 0.064 0.040 0.031 0.020 0.006 2 0 0 0.031 0.025 0.018 0.01 3 0.008 3 0 0 0 0.001 0.002 0.00 4 0.011 25．设随机变量),(Y X 为连续型的，其联合概率密度为 ? ??<<-<<-=其他0,20)(),(x y x x y x kx y x f 试求：（1）常数k ；（2）边缘密度函数；（3）问X 与Y 是否相互独立？ 26．设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 服从[0，2]上均匀分布，Y 服从参数为2的指数分布，试求}{X Y P ≤ 27．设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 服从[0，1]上均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布，试求Y X Z +=的概率密度函数。 28．设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为 ) 25)(16(),(222y x A y x f ++= π 试求：（1）常数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数。 29．设随机变量X 与Y 是相互独立，都服从标准正态分布)1,0(N ，试求}3{X Y P ≥ 30．设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为 ?? ?<<<<=其他 1 0,10),(32y x y Cx y x f 试求：（1）常数C ；（2）证明X 与Y 相互独立。 31．箱子里装有a 件正品和b 件次品，依次从箱子中任取一件，取两次，每次取后不放回。随机变量X 与Y 如下定义： ???=品如果第一次取出的是正品如果第一次取出的是次 01X ???=品如果第二次取出的是正 品如果第二次取出的是次01Y 试写出随机变量),(Y X 的联合分布律，边缘分布律，并问X 与Y 是否相互独立？ 32．随机地掷两颗骰子，设X 表示第一颗骰子出现的点数，Y 表示这两颗骰子出现点数的最大值。试写出二维随机变量),(Y X 的联合分布，Y 的边缘分布？ 33．袋中有N 个球，其中a 个红球，b 个白球，c 个黑球)(N c b a =++。每次从袋中任取一球，共取n 次。设Y X ,分别表示取出的n 个球中红球与白球的个数，试求下列两种情况下),(Y X 的联合分布： （1） 每次取出的球仍放回去（有放回抽样）； （2） 每次取出的球不放回去（无放回抽样）。 34．已知随机变量),(Y X 的联合分布律为 ),,1,0(),,2,1,0(,)! (!)86.6()14.7(},{14m n m n m n e n Y m X P n m n ==-??===-- 试求边缘分布。 35．设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为),(y x f ，求Y X Z =的概率密度函数？ 36．设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为),(y x f ，求XY Z =的概率密度函数？ 37．设随机变量X 与Y 相互独立，并且概率密度函数分别为 )0(,21)(,21)(>==--a e a y f e a x f a y Y a x X 试求Y X Z +=的概率密度函数？ 38．随机变量1X 与2X 相互独立，且),(~),,(~2 2222 111σμσμN X N X ， 试证明：),(~2 22 12121σσμμ+++=N X X Z 39．设随机变量X 与Y 相互独立，都服从[0，1]上的均匀分布，求Y X Z -=的分布？ 40．设随机变量X 与Y 相互独立，都服从],[a a -上的均匀分布，求XY Z =的概率密度函数？ 41．设随机变量X 与Y 相互独立，都服从参数为1的指数分布，求Y X Z = 的概率密度函数？ 42．若随机变量X 只取一个值，试证明：X 与任何随机变量Y 都相互独立。 第四章 数字特征、大数定律和中心极限定理 1．设随机变量的概率密度为?? ?? ?> ≤=2||02||cos )(2 π πx x x A x f 求：（1）常数A ；（2）)(X D 2．设随机变量X 的概率密度为?? ? ??<<-≤<=其它02 1210)(x x x x x f 求)(X D 及)(X σ 3．设Y X ,是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 ??????? ?>=<<=-其它 其它00 )(,0 1 02)(y e y f x x x f y Y X 求：)(Y X D + 4．已知随机变量X 的数学期望与方差分别为)(X E 和)0)((),(>X D X D ，令 ) ()(X D X E X Y -= ，求)(),(Y D Y E 5．已知1)(,2)(,0)(,3)(,1)(2 2 =====XY E Y E Y E X E X E ，求)(Y X D + 6．证明：0)(=X D 的充要条件是C C X P ,1}{==为常数。 7．设),(Y X 在圆域122 <+y x 内服从均匀分布，求),cov(Y X ，并判断Y X ,是否相互独立？ 8．设二维随机变量),(Y X 的分布律为 验证：和不相关，但和不是相互独立的 9．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ?? ?<<<=其它0 1 0,||1),(x x y y x f 求),cov(Y X ，并判断Y X ,是否相互独立？ 10．设二维随机变量),(Y X 在平面区域1,0,0:->+< 11．设)10,,2,1( =i X i 相互独立，且在（0，1）上服从均匀分布，试利用中心极限 定理计算∑=>10 1 }6{ i i X P 的近似值？ （注：9332.0)5.1(,9032.0)3.1(,8630.0)1.1(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ=Φ） 12．把三个球随机地放入三个盒子中去，每个球可投入任一盒子中，记X 为空盒子的个数，求)(),(X D X E 13．设随机变量X 的分布律为),2,1(,}{1 ===-k pq k X P k ，其中 p q p -=<<1,10是常数，则称X 服从参数为p 的几何分布，求)(),(X D X E 14．一本书500页中有100个印刷错误，设每页错误个数服从泊松分布：（1）随机地取一页，求这一页上错误不少于2个的概率？（2）随机地取4页，求这4页上错误不少于5个的概率？（3）随机地取8页，求这8页上错误不少于5个的概率？ 15．共有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开上的锁。用它们去试开门上的锁，设抽取钥匙是相互独立且等可能的，若每把钥匙经试开一次后除去，试用下面两种方法求试开次数X 的数学期望：（1）写出X 的分布律；（2）不写出X 的分布律。 16．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ?? ?-<<<<=其它0 ) 1(20,106),(x y x xy y x f 求：)(),(),(XY E Y D X E 17．设二维随机变量),(Y X 的分布律为 求XY Y X ρ),,cov( 18．设),(Y X 的概率密度为?? ???<≤<≤+=其它02 0,20)(81 ),(y x y x y x f 求XY ρ 19．对于随机变量Z Y X ,,，已知,1)(,1)()(-===Z E Y E X E 2 1,21,0,1)()()(-== ====YZ XZ XY Z D Y D X D ρρρ， 求：)(),(Z Y X D Z Y X E ++++ 20．某校报名选修心理学课的学生人数是服从均值为100的泊松分布的随机变量。教 务部门决定，如报名人数不少于120人，就分成两个班讲授；如果少于120人，就集中在一个班讲授。试问此课程将分两个班讲授的概率是多少？ （注：9987.0)3(,9938.0)5.2(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ=Φ） 21．对圆的直径作近似测量，设其值均匀地分布在],[b a 内，求圆面积的数学期望？ 22．设随机变量X 的概率密度为????? ≤≤=其它0 20cos )(πx x x f X ，试求随机变量2 X Y =的方差？ 23.一批零件中有9个合格品3个次品，在安装机器时从这批零件中任取一个。如果每次取出的次品就不再放回去，求在取得合格品前，已经取出的次品个数的期望及方差？ 24.由统计物理学知道，气体分子运动的速率X 服从麦克斯威尔分布，其概率密度函数 为?? ???≤>=-0 004)(22 3 2x x e a x x f a x π 这里，)0(,>a a 是参数。试求分子运动速率X 的期望及方差？ 25.自动生产线在调整之后出现次品的概率为p ，生产中若出现次品时立即进行调整，求两次调整之间生产的合格品数的数学期望及方差？ 26.已知连续型随机变量X 的概率密度函数为 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ D ）。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ B ） A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。（ C ） A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ A ） A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（ A ） A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为（ C ） （A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/8 * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投 西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 2101 1811515515 k X p -- 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙 企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取 1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 ,03()2,342 0, kx x x f x x ≤ 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 一．填空题 1．ABC 2、50? 3、20? 4、60? 二．单项选择题 1、B 2、C 3、C 4、A 5、B 三．计算题 1．（1）略 （2）A 、321A A A B 、321A A A ?? C 、321321321A A A A A A A A A ?? D 、321321321321A A A A A A A A A A A A ??? 2．解 )()()()(AB P B P A P B A P -+=?= 8 5 812141=-+ 8 3 )()()()(=-=-=AB P B P AB B P B A P 8 7 )(1)(=-=AB P AB P 2 1 )()()])([(=-?=?AB P B A P AB B A P 3．解：最多只有一位陈姓候选人当选的概率为53 14 6 2422=-C C C 4．)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? = 85 5．解：（1）n N n A P ! )(= （2）n n N N n C B P ! )(=、 （3）n m n m n N N C C P --=)1()( 一．填空题 1．0．8 2、50? 3、 32 4、73 5、4 3 二．单项选择题 1、D 2、B 3、D 4、B 三．计算题 1． 解：设i A ：分别表示甲、乙、丙厂的产品（i =1，2，3） B ：顾客买到正品 )/()()(11A B P A P B P =)/()(22A B P A P +)/()(33A B P A P + = 83.065.05 1 85.0529.052=?+?+? 83 34 )()/()()/(222== B P A B P A P B A P 2．解：设i A ：表示第i 箱产品（i =1，2） i B ：第i 次取到一等品（i =1，2） （1） )/()()(1111A B P A P B P =)/()(212A B P A P +=4.030 18 21501021=?+? （2）同理4.0)(2=B P （3）)/()()(121121A B B P A P B B P =)/()(2212A B B P A P + = 19423.029 17301821499501021=??+?? 4856.04 .019423 .0)()()/(12112=== B P B B P B B P （4）4856.04 .019423 .0)()()/(212121=== B P B B P B B P 3． 解：设i A ：表示第i 次电话接通（i =1，2，3） 101)(1= A P 10191109)(21=?= A A P 10 1 8198109)(321=??=A A A P <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分 《概率论与数理统计》同步练习册参考答案 第一章 1.1节 1. (1) }1000|{≤≤x x ; (2) }10|),{(2 2 ≤+≤y x y x ; (3) ,....}3,2,1{. 2. (1) C B A ; (2) C AB ; (3) C B A C B A C B A ++; (4) C B A ??; (5) ABC BC A C B A C AB +++; (6) ABC -Ω. 3. (1) (3) (4) (5) 成立. 1.2节 1. 0.1. 2. 85. 3. 8 3 ,61,21. 4. 0.2. 5. 0.7. 1.3节 1. !13!2!2!2!3. 2. 161,169,166. 3. 2113. 4. 43,407. 5. 4 3 . 1.4节 1. 4/1,3/1. 2. 61. 3. 300209,20964. 4. 95 48 ,3019. 1.5节 1. 0.48. 2. 8.095.09.01??-. 3. 0.896. 4. 7 3 ,74. 第一章 自测题 一. 1. 52. 2. )(1,0q p +-. 3. 21,32. 4. 31; 5. 3 2 . 6. 4. 7. 2711. 8. 52. 9. 8.0. 10. 0.94. 11. 30 11 . 二. 1. A. 2. C. 3. B. 3. A. 4. A. 5. A. 三. 1. 6612111-,6 24612 11?C ,6246121112??C . 2. 53,43,103,2711,53. 3. 49 40. 4. 999.004.01>-n . 5. 0.253,47/253. 6. 1/4. 7. 0.24, 0.424. 第二章 2.1节 1. ) 12(21100-， 31. 2. 101)2(==X P ，10 9 )3(==X P . 3. 3,2,1,0,!85)(3===k A k X P k . 4. （1）1,21=-=b a ，（2）161 . 5. 2=a ，0,4922,41-. 6. 3 32?? ? ??. 2.2节 1. (1) 649,25, (2) 6133 . 2. 0.301, 0.322. 3. 44.64. 4. 256. 5. 34. 6. 3 1. 2.3节 1. 2011919 2021818207.03.07.03.07.0++C C . 2. 20=n , 3.0=p . 作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . 概率统计考试试卷及答案 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1. 设)(~λP X ,且)()(21===X P X P ,则_________)(==3X P . 2. 设随机变量X 的分布函数)(,)(+∞<<-∞+= -x e A x F x 1,则___=A 3. 已知,)|(,)|(,)(21 31 41 ===B A P A B P A P 则_____)(=?B A P 4. 已知随机变量),,(~10U X 则随机变量X Y ln 2-=的密度函数___)(=y f Y 5. 设随机变量X 与Y 相互独立，且,2σ==DY DX 则____)(=-Y X D 42 二、 计算下列各题(每小题8分，共40分） 1. 设随机变量X 的概率密度为?? ???≤>=-000 x x e x f x ,,)( 已知Y=2X,求E(Y), D(Y). 2. 两封信随机地投入标号为I,II,III,IV 的四个邮筒，求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。 3. 设X,Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0,1)上服从均匀分布，Y 的概率密度为 ?? ? ??≤>=-000212y y e y f y Y ,,)( 求含有a 的二次方程022=++Y Xa a 有实根的概率。 4. 假设91X X ,, 是来自总体 ) ,(~220N X 的简单随机样本，求系数a,b,c 使 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从2χ分布，并求其自由 度。 5. 某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X 服从正态分布。从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 若总体方差0602.=σ, 求总体均值μ的置信区间(9610502.,./==ααz ) 概率统计练习题答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 《概率论与数理统计》练习题 2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连 续抽两次，则使P A ()=1 3成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又 12,,, ,n c k k k ，为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()111n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()() 42 1 1x x ?π= + 答案：D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数)，那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、 11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案：B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本， 2 211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2n S 独立 B 、 ~(0, 1)X N μ σ - 一、概率公式的题目 1、已知() ()()0.3,0.4, 0.5,P A P B P AB === 求 () .P B A B ? 解：() () () ()()()() () 0.70.51 0.70.60.54 P A P AB P AB P B A B P A B P A P B P AB --?== = =+-?+- 2、已知()()()0.7,0.4,0.2,P A P B P AB === 求() .P A A B ? 解：() ()() () ()()() 0.22 0.70.29 P A A B P AB P A A B P A B P A P B P AB ??????= = = =+?+-。 3、已知随机变量(1)X P ，即X 有概率分布律{}1 (0,1,2)! e P X k k k -== =， 并记事件{}{}2,1A X B X =≥=<。 求： （1）()P A B ?； （2） ()P A B -； （3） () P B A 。解：（1）()() {}{}1 11()12,1111P A B P A B P AB P X X P X e -?=-?=-=-<≥=-==-； （2）(){}{}{}{}1 ()2,1210112;P A B P AB P X X P X P X P X e --==≥≥=≥=-=-==- （3）() () () {}{}{}{}{}111,201 .20122P BA P X X P X e P B A P X P X P X e P A --<<== ====<=+= . 4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，它是甲射中的概率是多少？ 解： 设A=“甲射击一次命中目标”，B=“乙射击一次命中目标”， (())() ()()()()()P A A B P A P A A B P A B P A P B P AB 侨= =+-= 0.660.750.60.50.60.58 ==+- 中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 1．某人射击时，中靶的概率为4 3 ，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（ ）. (A) 43412?）（ (B) 343）（ (C) 41432?）（ (D) 34 1）（ 2．n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为（ ）. （A ） a ,2n b （B ）a ,n b (C)a ,n b 2 （D ）n a ,b 3．若100张奖券中有5张中奖，100个人分别抽取1张，则第100个人能中奖的概率为（ ）. (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是（ ）. (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5．已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E （ ）. 1、 已知P （A ）=0.7. P （B ）=0?8,则下列判断正确的是（ D ）o A. A.B 互不相容 B. A.B 相互独立 C.Ac B D. A.B 相容 2、 将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X=3的概率为（C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、 某人进行射击，设射击的命中率为02独立射击100次，则至少击中9次的概率为（B ） 100 9 C ?工 C ；(x )°?2'°?98 叫' D. 1 - 工(7爲020?98叫' (-10 1-0 4、设 E(X,)= 9-3/(/= 1,2,3),则 E(3X 1+-X 2+-X 3) = ( )B 2 3 A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本来自N （0, 1）,常数c 为以下何值时，统计Me- t 1 —— ■ Jx + x + x 服从t 分布。（C ） A. 0 B. 1 C. 6、设则其概率密度为（A ） 7. X P X 2.X 3为总体的样本，下列哪一项是“的无偏估计（A ） A.-X, + —X. +-X. 5 10「2 C. -X.+-X.+ —X. 3 1 2 ■ 12 3 8、设离散型随机变量X 的分布列为 X 1 2 3 P C 1/4 1/8 则常数（2为（ C ） A.C ；；X )0.290.9891 KX) B ?工 Goo 020.98 "I D.-l c. D 詁+朴+朴 (x-vTJ)2 3Q D. 9、设随机变量X?N(4,25),X1、X2、X3-Xn是来自总体X的一个样本,则样本均值乂近 似的服从( B ) (A) N (4, 25) (B) N (4, 25/n) (C) N (0.1) (D) N (0, 25/n) 10、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平a=0.05下，拒绝假设 H。：“ =，则在显著水平a=0.01下，(B ) A.必接受 B.可能接受，也可能拒绝 C.必拒绝 D.不接受，也不拒绝77。 二、填空题(每空1.5分，共15分) 1、 A.B.C为任意三个事件，则A, B, C至少有一个事件发生表示为：_AUBUC __________ : 2、甲乙两人各自去破译密码，设它们各自能破译的概率为0.8, 06,则密码能被破译的槪 率为 ____ 0.92 ___ : 3、已知分布函数F(x)= A + Barctgx (Y> v x V +s)，贝ij A=_1/2 _____ , B=_1/3.14 _______ : 4、随机变量X 的分布律为P(X =x) = C(-)k, k =1,2,3, 则C=_27/13 ____________ ; 5、设X?b (n,p)o 若EX=4, DX=2.4,贝ij _______ 10 ____ , p= ____ 0.4 _____ 0 6、X为连续型随机变量, 1 , 0 概率统计练习题答案 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012. 《概率论与数理统计》练习题2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、 B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连续抽两次，则使P A ()=13 成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ D 、不可能为某一随机变量的分布函数。 答案：D 4、设ξ,η相互独立,且都服从相同的01-分布，即则下列结论正确的是( )。 A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又12,,,,n c k k k ， 为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11 n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11 n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()11 1n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )262x x ?-= C 、()312x x e ?-= D 、()()4211x x ?π= + 答案：D 概率论与数理统计复习题 一、计算题： 1、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。 2、已知随机变量X 服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y ＝2X +1，求Y 的概率密度函数。 3、已知二元离散型随机变量(X ,Y )的联合概率分布如下表所示： Y X 1 1 2 1 2 (1) 试求X 和Y 的边缘分布率 (2) 试求E (X ),E (Y ),D (X ),D (Y ),及X 与Y 的相关系数XY 4、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取15个进行检验，算出平均使用寿命为1950小时，样本标准差s 为300小时，以95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。 二、填空题 1. 已知P (A )=, P (B |A )=, 则P (A B )= __________ 2．.设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=< 概率论与数理统计习题 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2 概率统计试卷 A 一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分） 1、设P(A) =, P(B) = , P() = ，若事件A与B互不相容，则 = . 2、设在一次试验中，事件A发生的概率为，现进行n次重复试验，则事件A至少发生一次的概率为 . 3、已知P() = , P(B) = , P() = ，则P()= . 4、设随机变量的分布函数为则= . 5、设随机变量~，则P{}= . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分） 1、设P(A|B) = P(B|A)=,, 则( )一定成立. (A) A与B独立，且. (B) A与B独立，且. (C) A与B不独立，且. (D) A与B不独立，且. 2、下列函数中，（）可以作为连续型随机变量的概率密度. (A) (B) (C) (D) 3、设X为一随机变量，若D(10) =10，则D() = ( ). (A) . (B) 1. (C) 10. (D) 100. 4、设随机变量服从正态分布，是来自的样本， 为样本均值，已知，则有（）. (A) . (B) . (C) . (D) . 5、在假设检验中，显著性水平的意义是（）. (A)原假设成立，经检验不能拒绝的概率. (B)原假设不成立，经检验被拒绝的概率. (C) 原假设成立，经检验被拒绝的概率. (D)原假设不成立，经检验不能拒绝的概率. 三、10片药片中有5片是安慰剂， (1)从中任取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率. (2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率. (本题10分) 四、以表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），的分布函数是 求下述概率： （1）{至多3分钟}. （2）{3分钟至4分钟之间}. (本题10分) 五、设随机变量(,Y)的概率密度为 (1) 求边缘概率密度.概率统计习题及答案
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