一、初一数学有理数解答题压轴题精选(难)
1.如图,在数轴上点表示的数,点表示的数,点表示的数,是最大的负整数,且满足 .
(1)求,,的值;
(2)若将数轴折叠,使得点与点重合,求与点重合的点对应的数;
(3)点,,在数轴上同时开始运动,其中以单位每秒的速度向左运动,以单位每秒的速度向左运动,点以单位每秒的速度运动,当,相遇时,停止运动,求此时两点之间的距离.
【答案】(1)解:∵是最大的负整数,
∴b=-1,
∵,
∴a=-3,c=6
(2)解:设当点与点重合时,对折点为D,
则D点的坐标为(-2,0),
∴此时与点重合的点对应的数是-10
(3)解:由(1)和(2)可知,运动前BC=7,
由题意可得,运动后,相遇时,可计算出经历的时间为7s,此时C点坐标为(-8,0),
当A点向左运动时,此时C点坐标为(-24,0),可得此时两点之间的距离为16;
当A点向右运动时,此时C点坐标为(18,0),可得此时两点之间的距离为26
【解析】【分析】(1)根据是最大的负整数得出b=-1,根据绝对值的非负性,由两个非负数的和为0,则这两个数都为0,求出a,c的值;
(2)设当点与点重合时,对折点为D,根据折叠的性质得出点D所表示的数是-2,故CD=8,在点D的左边距离点D8个单位的数就是-10,从而得出答案;
(3)由(1)和(2)可知,运动前BC=7,由题意可得,运动后,相遇时,可计算出经历的时间为7s,然后根据点A向左或向右运动两种情况考虑即可得出答案.
2.在学习绝对值后,我们知道,|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离.如:|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离.而|5|=|5﹣0|,即|5﹣0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离.类似的,有:|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离;|5+3|=|5﹣(﹣3)|,所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离.一般地,点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|.
请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题:
(1)画一条数轴,并在数轴上分别用A、B表示出1和3的两点
(2)数轴上表示1和3的两点之间的距离是________;
(3)点A、B、C在数轴上分别表示有理数1、3、x,那么C到A的距离与C到B的距离之和可表示为________(用含绝对值的式子表示)
(4)若将数轴折叠,使得表示1和3的两点重合,则原点与表示数________的点重合【答案】(1)解:如图所示,
(2)2
(3)
(4)4
【解析】【解答】解:(2)数轴上表示1和3的两点之间的距离=,
故答案为2;
(3)由题意得,C到A的距离与C到B的距离之和可表示为:,
故答案为:;
(4)在数轴上,1和3中点的数为:,设与原点重合的点的数为x,由题意得:
, ∴x-2=±2,解得x=0或4,
∴则原点与表示数4的点重合,
故答案为:4.
【分析】(1)画出数轴,在数轴上找出1、3点,分别用A、B表示即可;
(2)根据题意,计算数轴上表示1和3的两点之间的距离即可;
(3)根据题意,把C到A的距离与C到B的距离之和表示出来即可;
(4)首先求出1和3中点表示的数,再设与原点重合的点的数为x,根据题意列式求出x 即可.
3.如图,在数轴上,点A表示﹣5,点B表示10.动点P从点A出发,沿数轴正方向以每秒1个单位的速度匀速运动;同时,动点Q从点B出发,沿数轴负方向以每秒2个单位的速度匀速运动,设运动时间为t秒:
(1)当t为________秒时,P、Q两点相遇,求出相遇点所对应的数________;
(2)当t为何值时,P、Q两点的距离为3个单位长度,并求出此时点P对应的数.
【答案】(1)5;0
(2)解:若P、Q两点相遇前距离为3,则有
t+2t+3=10-(-5),
解得:t=4,
此时P点对应的数为:-5+t=-5+4=-1;
若P、Q两点相遇后距离为3,则有
t+2t-3=10-(-5),
解得:t=6,
此时P点对应的数为:-5+t=-5+6=1;
综上可知,当t为4或6时,P,Q两点的距离为3个单位长度,此时点P对应的数分别为-1或1.
【解析】【解答】(1)解:由题意可知运动t秒时P点表示的数为-5+t,Q点表示的数为10-2t;
若P,Q两点相遇,则有
-5+t=10-2t,
解得:t=5,
-5+t=-5+5=0,
即相遇点所对应的数为0,
故答案为5;相遇点所对应的数为0;
【分析】(1)由题意可知运动t秒时P点表示的数为-5+t,Q点表示的数为10-2t,若P、Q相遇,则P、Q两点表示的数相等,由此可得关于t的方程,解方程即可求得答案;(2)分相遇前相距3个单位长度与相遇后相距3个单位长度两种情况分别求解即可得.
4.我们知道,在数轴上,表示数表示的点到原点的距离,这是绝对值的几何意义,进一步地,如果数轴上两个点A、B,分别对应数a,b,那么A、B两点间的距离为:
如图,点A在数轴上对应的数为a,点B对应的数为b,且a,b满足:
(1)求a,b的值;
(2)求线段AB的长;
(3)如图①,点C在数轴上对应的数为x,且是方程的解,在数轴上是
否存在点M使?若存在,求出点M对应的数;若不存在,说明理由. (4)如图②,若N点是B点右侧一点,NA的中点为Q,P为NB的三等分点且靠近于B
点,当N在B的右侧运动时,请直接判断的值是不变的还是变化的,如果不变请直接写出其值,如果是变化的请说明理由.
【答案】(1)解:,
,且,
解得,,;
(2)解:
(3)解:存在.
设M点对应的数为m,
解方程,得,
点C对应的数为,
,
,
即,
①当时,有,
解得,;
②当时,有,
此方程无解;
③当时,有,
解得, .
综上,M点对应的数为:或4.
(4)解:设点N对应的数为n,则,,
若N点是B点右侧一点,NA的中点为Q,P为NB的三等分点且靠近于B点,,,,
点Q对应的数为:,点P对应的数为:,
,
①当时,,
此时的值随N点的运动而变化;
②当时,,
此时的值随N点的运动而不变化.
【解析】【分析】(1)根据“若非负数和等于0,则非负数均为0”列出方程进行解答便可;(2)根据数轴上两点的距离公式进行计算便可;(3)根据已知线段的关系式,列出
绝对值方程进行解答便可;(4)用N点表示的数n,列出关于n的代数式进行讨论解答便可.
5.同学们,我们都知道:|5-2|表示5与2的差的绝对值,实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离;|5+2|表示5与-2的差的绝对值,实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离,试探索:
(1)|﹣4+6|=________;|﹣2﹣4|=________;
(2)找出所有符合条件的整数x,使|x+2|+|x-1|=3成立;
(3)若数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间,求|a+4|+|a﹣6|的值;
(4)当a=________时,|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小,最小值是________;
(5)当a=________时,|a﹣1|+|a+2|+|a﹣3|+|a+4|+|a﹣5|+…+|a+2n|+|a﹣(2n+1)|的值最小,最小值是________.
【答案】(1)2;6
(2)解:此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3,由于1到-2 的距离就是3,,故当-2≤x≤1的时候即可满足条件,又因为x是整数,所以x的值可以为:-2,-1,0,1.
(3)解:∵数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间,∴a+4>0,a﹣6<0,∴|a+4|+|a﹣6|=a+4-a+6=10;
(4)1;9
(5)1;2n2+3n
【解析】【解答】(1)|﹣4+6|=|2|=2,|﹣2﹣4|=|-6|=6;
(4)此题可以理解为数轴上一点到1,-5,4的距离的和最小,根据两点之间线段最短,故当a表示的数是1的时候,|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小,当a=1的时候,|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|=|1﹣1|+|1+5|+|1﹣4|=9;
(5)|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-(2n+1)|的值最小,则a=1
当a=1时
原式=3+2+5+4+……+(2n+1)+2n
=2+3+4+5+……+2n+(2n+1)
=
= 2n2+3n
故:答案为1, 2n2+3n .
【分析】(1)由于绝对值符号具有括号的作用,先按有理数的加减法法则算出绝对值符号里面的,再根据绝对值的意义去掉绝对值符号即可;
(2)此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3,由于1到-2 的距离就是3,,从而找出1到-2 的整数即可;
(3)根据有理数的加减法法则,首先判断出a+4>0,a﹣6<0,再根据绝对值的意义去掉绝对值符号合并同类项即可;
(4)此题可以理解为数轴上一点到1,-5,4的距离的和最小,根据两点之间线段最短,故当a表示的数是介于4和-5之间的数1的时候,即可使其值最小,然后将a=1代入再根据绝对值的意义化简即可;
(5)|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-(2n+1)| 表示的是a到1,-2,3,-4,5,……-2n,2n+1的距离和,故要使,|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-(2n+1)|的值最小,则a=1,把a=1代入根据绝对值的意义即可求出答案。
6.数轴上点A对应的数为a,点B对应的数为b,且多项式6x3y-2xy+5的二次项系数为a,常数项为b
(1)直接写出:a=________,b=________
(2)数轴上点P对应的数为x,若PA+PB=20,求x的值
(3)若点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动;同时点N从点B 出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左移动,到达A点后立即返回并向右继续移动,求经过多少秒后,M、N两点相距1个单位长度
【答案】(1)﹣2;5
(2)解:①当点P在点A左边,由PA+PB=20得: (﹣2 ﹣x )+(5﹣x)=20, ∴
②当点P在点A右边,在点B左边,由PA+PB=20得: x ﹣(﹣2 )+(5﹣x)=20,
∴,不成立
③当点P在点B右边,由PA+PB=20得:x ﹣(﹣2 )+(x﹣5), ∴ .
∴或11.5
(3)解:设经过t秒后,M、N两点相距1个单位长度,
由运动知,AM=t,BN=2t,
① 当点N到达点A之前时,
Ⅰ、当M,N相遇前,M、N两点相距1个单位长度,
t+1+2t=5+2,
所以,t=2秒,
Ⅱ、当M,N相遇后,M、N两点相距1个单位长度,
t+2t﹣1=5+2,
所以,t=秒,
② 当点N到达点A之后时,
Ⅰ、当N未追上M时,M、N两点相距1个单位长度,
t﹣[2t﹣(5+2)]=1,
所以,t=6秒;
Ⅱ、当N追上M后时,M、N两点相距1个单位长度,
[2t﹣(5+2)]﹣t=1,
所以,t=8秒;
即:经过2秒或秒或6秒或8秒后,M、N两点相距1个单位长度.
【解析】【解答】(1)∵多项式6x3y-2xy+5的二次项系数为a,常数项为b,
∴a=-2,b=5,
故答案为:-2,5;
【分析】(1)根据多项式的相关概念即可得出a,b的值;
(2)分①当点P在点A左边,②当点P在点A右边,③当点P在点B右边,三种情况,根据 PA+PB=20 列出方程,求解并检验即可;
(3)设经过t秒后,M、N两点相距1个单位长度,故AM=t,BN=2t,分① 当点N 到达点A之前时,Ⅰ、当M,N相遇前,M、N两点相距1个单位长度,Ⅱ、当M,N相遇后,M、N两点相距1个单位长度,② 当点N到达点A之后时,Ⅰ、当N未追上M 时,M、N两点相距1个单位长度,Ⅱ、当N追上M后时,M、N两点相距1个单位长度,几种情况,分别列出方程,求解即可.
7.若有理数在数轴上的点位置如图所示:
(1)判断代数式的符号;
(2)化简:
【答案】(1)解:因为
所以
(2)解:因为
所以
原式
.
【解析】【分析】(1)根据有理数的加减法,可得答案;(2)根据绝对值的性质,可化简去掉绝对值,根据合并同类项,可得答案.
8.先阅读下面的材料,再解答后面的各题:
现代社会对保密要求越来越高,密码正在成为人们生活的一部分.有一种密码的明文(真实文)按计算机键盘字母排列分解,其中Q,W,E,……,N,M这26个字母依次对应1,2,3,……,25,26这26个自然数(见下表).
Q W E R T Y U I O P A S D
12345678910111213
F G H J K L Z X C V B N M
14151617181920212223242526
将明文转成密文,如:,即R变为L;,即A 变为S.
将密文转换成明文,如:,即X变为P;13 3×(13-8)-1=14,即D变为F.
(1)按上述方法将明文NE T译为密文.
(2)若按上方法将明文译成的密文为DWN,请找出它的明文.
【答案】(1)解:
即NET密文为MQP.
(2)解:
即密文DWN的明文为FYC .
【解析】【分析】(1)由图表找出N、E、T对应的自然数,再根据变换公式变成密文即可;(2)由图表找出D、W、N对应的自然数,再根据变换公式变成明文即可.
9.(阅读理解):A,B,C为数轴上三点,若点C到A的距离CA是点C到B的距离CB 的2倍,我们就称点C是(A,B)的好点.例如,如图1,点A表示的数为-1,点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离CA是2,到点B的距离CB是1,那么点C是(A,B)的好点;又如,表示0的点D到点A的距离DA是1,到点B的距离DB是2,那么点D就不是(A,B)的好点,但点D是(B,A)的好点.
(知识运用):(1)如图1,表示数______和_______的点是(A,B)的好点;
【答案】1|5
(1)如图2,M、N为数轴上两点,点M所表示的数为-2,点N所表示的数为4.
①表示数________的点是(M,N)的好点;
②表示数________的点是(N,M)的好点;
(2)如图3,A、B为数轴上两点,点A所表示的数为-20,点B所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁P从点B出发,以2个单位每秒的速度向左运动.当t为何值时,P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点?
【答案】(1)2或10;0或
(2)解:设点P表示的数为n,则
①P为(A,B)的好点时,有:,
解得:,则秒;
②P为(B,A)好点时,有两种情况:
当点P在A、B之间时,有:,
解得:,则秒;
当点P在A点左边时,有:,
解得:,则秒;
③点B是(A、P)的好点时,有:,
解得:,则秒;
④点A是(B,P)的好点时,有:,
解得:,则秒;
⑤点A是(P,B)的好点时,有:,
解得:,则秒.
综合上述,当t为10秒或15秒或20秒或50秒或60秒或80秒时,P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点.
【解析】【解答】解:(1)设所求数为x,则
①当好点在A、B之间时,有:,解得:;
②当好点在B的右边时,有:,解得:;
∴表示数1和数5的点是(A,B)的好点;
故答案为:1;5.
当好点在M、N之间时,有:,解得:;
当好点在N的右边时,有:,解得:;
∴表示数2或10的点是(M,N)的好点;
故答案为:2或10;
②设所求数为z,则
当好点在M、N之间时,有:,解得:;
当好点在M的左边时,有:,解得:;
∴表示数0或的点是(N,M)的好点;
故答案为:0或;
【分析】(1)设所求数为x,可分为:①当好点在A、B之间;②当好点在B点右边,根据好点的定义,列出方程,解方程即可;(2)①与(1)同理,可分为好点在M、N之间和N的右边,两种情况进行计算即可;②与(1)同理,可分为好点在M、N之间和点M 的左边,两种情况进行计算即可;(3)根据好点的定义可知分五种情况:①P为(A,B)的好点;②P为(B,A)的好点;③点B是(A、P)的好点;④点A是(B,P)的好点;⑤点A是(P,B)的好点;设点P表示的数为n,根据好点的定义列出方程,进而得出t的值.
10.
阅读下面材料:
点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|.
当A,B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图(1),|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|;当A,B两点都不在原点时,
①如图(2),点A,B都在原点的右边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|;
②如图(3),点A,B都在原点的左边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣(﹣a)=|a ﹣b|;
③如图(4),点A,B在原点的两边,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+(﹣b)=|a﹣b|;
综上,数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|.
回答下列问题:
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是,数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是;
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是,如果|AB|=2,那么x为;
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是.
④解方程|x+1|+|x﹣2|=5.
【答案】解:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|=3;
数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣(﹣5)|=3;
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣(﹣3)|=4
②数轴上x与-1的两点间的距离为|x-(-1)|=|x+1|,如果|AB|=2,则x+1=±2,解得x=1或-3.
③根据题意得x+1≥0且x-2≤0,则-1≤x≤2;
④解方程|x+1|+|x﹣2|=5.
当x+1>0,x-2>0,则(x+1)+(x-2)=5,解得x=3
当x+1<0,x-2<0,则-(x+1)-(x-2)=5,解得x=-2
当x+1与x-2异号,则等式不成立.
所以答案为:3或-2.
【解析】【分析】①②直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|.代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离.
③根据绝对值的性质,可得到一个一元一次不等式组,通过求解,就可得出x的取值范围.
④根据题意分三种情况:当x≤﹣1时,当﹣1<x≤2时,当x>2时,分别求出方程的解即可.
11.已知表示5与-2之差的绝对值,实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离请试着探索:
(1)找出所有符合条件的整数,使,这样的整数是________;(2)利用数轴找出,当时,的值是________;
(3)利用数轴找出,当取最小值时,的范围是________.
【答案】(1)-4,-3,-2,-1,0,1,2
(2)-5或4
(3)
【解析】【解答】解:(1)∵ = 表示x与-4两数在数轴上所对应的两点之间的距离,表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离,
又∵表示2与-4两数在数轴上所对应的两点之间的距离为6,
∴当数轴上表示x的点在表示-4的点的左侧时,,不符合题意,当数轴上表示x的点在表示2的点的右侧时,,不符合题意,
当数轴上表示x的点在表示-4的点与表示2的点之间(包括表示-4与2的点)时,
,符合题意,
∴,
∴使,整数是-4,-3,-2,-1,0,1,2.
故答案是:-4,-3,-2,-1,0,1,2;(2)∵ = 表示x与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离,表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离,
∴当x=-5时,表示-5与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离为2,表示-5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为7,即:,
∴x=-5符合题意,
当x=4时,表示4与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离为7,表示4与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为2,即:,
∴x=4符合题意,
综上所述:当时,的值是:-5或4.
故答案是:-5或4;(3)∵ = 表示x与-7两数在数轴上所对应的两点之间的距离,表示x与4两数在数轴上所对应的两点之间的距离,
∴当数轴上表示x的点在表示-7的点的左侧时,,
当数轴上表示x的点在表示4的点的右侧时,,
当数轴上表示x的点在表示-7的点与表示4的点之间(包括表示-7与4的点)时,
,
∴当取最小值时,.
故答案是:.
【分析】(1)根据绝对值的几何意义,得表示x与-4两数在数轴上所对应的两点之间的距离,表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离,结合条件,即可求解;(2)根据绝对值的几何意义,得表示x与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离,表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离,结合条件,即可求解;(3)根据绝对值的几何意义,得表示x与-7两数在数轴上所对应的两点
之间的距离,表示x与4两数在数轴上所对应的两点之间的距离,结合条件,即可求解.
12.大家知道,它在数轴上表示5的点与原点(即表示0的点)之间的距离.又如式子 ,它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离.即点A、B在数轴上分别表示数a、b,则A、B两点的距离可表示为:|AB|= .根据
以上信息,回答下列问题:
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是________;数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________.
(2)点A、B在数轴上分别表示实数x和-1.
①用代数式表示A、B两点之间的距;
②如果 ,求x的值.
(3)直接写出代数式的最小值.
【答案】(1)3;3
(2)解:①|AB|=|x-(-1)|=|x+1|,②如果|AB|=2,则|x+1|=2,x+1=2或x+1=-2,解得x=1或x=-3.
(3)解:∵代数式|x+1|+|x-4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和-1所对应的两点距离之和,∴当-1≤x≤4时,代数式|x+1|+|x-4|的最小值是:|4-(-1)|=5.
【解析】【解答】解:(1)数轴.上表示2和5的两点之间的距离是:|5-2|=3;数轴_上表示-2和-5的两点之间的距离是:|(-2)-(-5)|=|-2+5|= |3|=3.
【分析】(1)根据题意,可得数轴上表示2和5的两点之间的距离是:|5-2|=3 ;数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是:|(-2)-(-5)|=3;(2)①根据点A、B在数轴上分别表示实数x和-1,可得表示A、B两点之间的距离是:|x-(-1)|=|x+1|;②如果|AB|=2,则|x+1|=2 ,据此求出x的值是多少即可.(3)根据题意,可得代数式|x+1|+|x-4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和-1所对应的两点距离之和,所以当-1≤x≤4时,代数式|x+1|+|x-4|的最小值是表示4的点与表示-1的点之间的距离,即代数式|x+1|+|x-4|的最小值是5.
有理数的运算 一、本节学习指导 有理数的运算和我们小学学习的四则运算很相似,运算规律也一样,不同的是有理数运算中有负数参与,所以相对要复杂一些,本节要多加练习。 二、知识要点 1、有理数的加法 (1)、有理数加法法则: ① 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; ② 异号两数相加,取绝对值较大加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值; ③ 一个数与0相加,仍得这个数。 (2)、加法计算步骤:先定符号,再算绝对值。 (3)、有理数加法的运算律: ① 加法的交换律:a+b=b+a; ② 加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 (4)、为了计算简便 ,往往会采取以下方法: ①互为相反的两个数,可以先相加; ②符号相同的数,可以先相加; ③分母相同的数,可以先相加; ④几个数相加能得到整数,可以先相加。 2、有理数的减法 (1)、有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+
(-b)。(有理数减法运算时注意两“变”:①减法变加法;②把减数变为它的相反数。) 注:有理数的减法实质就是把减法变加法。 3、有理数的乘法 (1)、有理数乘法法则: ①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘; ②任何数同零相乘都得零; (2)、一个数同1相乘,结果是原数;一个数同-1相乘,结果是原数的相反数。 (3)、乘积为1的两个数互为倒数; 注意:0没有倒数;若ab=1<====>a、b互为倒数。 (4)、几个不是偶的数相乘,积的符号由负因式的个数决定。负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数是,积是负数。 (5)、有理数乘法的运算律: ① 乘法的交换律:ab=ba; ② 乘法的结合律:(ab)c=a(bc); ③ 乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac. 4、有理数的除法 (1)、有理数除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数。 (2)、有理数除法符号法则:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0. (3)、乘除混合运算的步骤:①先把除法转化为乘法;②确定积的符号; ③运用乘法运算律和乘法法则进行计算得出结果。 5、有理数的乘方 (1)、求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。在a n中,
一、初一数学有理数解答题压轴题精选(难) 1.如图,为原点,数轴上两点所对应的数分别为,且满足关于的整式与之和是是单项式,动点以每秒个单位长度的速度从点向终点运动. (1)求的值. (2)当时,求点的运动时间的值. (3)当点开始运动时,点也同时以每秒个单位长度的速度从点向终点运动,若 ,求的长. 【答案】(1)解:因为m、n满足关于x、y的整式-x41+m y n+60与2xy3n之和是单项式 所以 所以m=-40,n=30. (2)解:因为A、B所对应的数分别为-40和30, 所以AB=70,AO=40,BO=30, 当点P在O的左侧时: 则PA+PO=AO=40, 因为PB-(PA+PO)=10, PB=AB-AP=70-4t 所以70-4t-40=10 所以t=5. 当点P在O的右侧时: 因为PB 又因为PQ= AB=35 所以70-6t=35 所以t= ,AP= = , ②如图2,当点P在点Q右侧时, 因为AP=4t,BQ=2t,AB=70, 所以PQ=(AP+BQ)-AB=6t-70, 又因为PQ= AB=35 所以6t-70=35 所以t= 所以AP= =70. 【解析】【分析】(1)根据单项式的次数相同,列方程即可得到答案;(2)分情况讨论:当点P在O的左侧时:当点P在O的右侧时.即可得到答案.(3)结合题意分别计算:①如图1,当点P在点Q左侧时,如图2,当点P在点Q右侧时. 2.同学们都知道,|3-(-1)∣表示3与-1的差的绝对值,其结果为4,实际上也可以理解为3与-1两数在数轴上所对应的两点之间的距离,其距离同样是4;同理,∣x-5|也可以理解为x与5两数在数轴上所应的两点之间的距离,试利用数轴探索: (1)试用“| |”符号表示:4与-2在数轴上对应的两点之间的距离,并求出其结果; (2)若|x-2|=4,求x的值; (3)同理,|x-3|+|x+2|表示数轴上有理数x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和,请你直接写出所有符合条件的整数x,使得|x-3|+|x+2|=5;试求代数式|x-3|+|x+2|的最小值. 【答案】(1)解:|4-(-2)|=6 (2)解:x与2的距离是4,在数轴上可以找到x=-2或6 (3)解:当-2≤x≤3时,x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和是5,∴符合条件的整数x=-2,-1,0,1,2,3; 当x<-2或x>3时,x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和大于5,∴|x-3|+|x+2|的最小值是5 【解析】【分析】(1)根据已知列式求解即可;(2)按照已知去绝对值符号即可求解.(3)当-2≤x≤3时,x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和是5;当x<-2或x>3时,x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和大于5,由此即可得出结论. 3.阅读填空,并完成问题:“绝对值”一节学习后,数学老师对同学们的学习进行了拓展. 第二章单元测试题 一、选择题:(3’×8=24’) 1.2 1 - 的相反数是( ) A .-2 B .2 C .2 1- D .21 3.有下列各数,0.01,10,-6.67,3 1 -,0,-90,-(-3),2--,() 24--,其中属于正整数的共有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 3.20102009)1()1(-+-的值是( ). (A)-2 (B)-1 (C) 0 (D) 1 4.我国“杂交水稻之父”袁隆平主持研究的某种超级杂交水稻平均亩产820千克.某地今年计划栽插这种超级杂交水稻3 000亩,预计该地今年收获这种超级杂交水稻的总产量 (用科学记数法表示)是( ) A .2.5×106千克 B .2.5×105千克 C .2.46×106千克 D .2.46×105千克 5. 下列各式中,正确的是 ( ) A -|-16|>0 B |0.2|>|-0.2| C -47>-5 7 D |-6|<0 6.有理数a 、b 在数轴上表示的点如图 则a 、-a 、b 、-b 大小关系是( ) A 、-b >a >-a >b B 、a >-a >b >-b C 、b >a >-b >-a D 、-b <a <-a <b 7.气象部门测定高度每增加1km ,气温约下降5℃,现在地面气温是15℃,那么4km 高空的气温是( ) A 、5℃ B 、0℃ C 、-5℃ D 、-15℃ 8. 若|a|+|b|=0,则a 与b 的大小关系是 ---------------------------------------------------------------------------------------- ( ) A a=b=0 B a 与b 不相等 C a,b 异号 D a,b 互为相反数 二 、 填空题(3’×6=18’) 9. 绝对值小于2.5的整数是 , 它们的和为 ;其积为 ; 10. 12的相反数的绝对值是 ,|-12|的倒数的相反数是 , -1 2的绝对值的相反数 是 . 11. 某次数学测验共20道选择题,规则是:选对一道的5分,选错一道的-1分,不选得零分,王明同学的卷面成绩是:选对16道题,选错2道题,有2道题未做,他的得分是 . 12.上海浦东磁悬浮铁路全长30 k m ,单程运行时间约为6 min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m /min 。 13.规定a ﹡b=a+2b,则(- 4)﹡6的值为 。 14.已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶,现有16个矿泉水空瓶,若不交钱,最多可以喝矿泉水 瓶 三、解答题: 15.计算:(5’×6’=30’) ⑴1.9+ (- 4.4) -(-8.1)- (+5.6) ⑵ 312 -2 1--(-13 )+223 ⑶(-18)÷241×94÷(-16) ⑷ )36()4 3 6597(-?+- 初一数学上册第一单元有理数知识点归纳 一.有理数: (1)凡能写成形式的数,都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意:0即不是正数,也不是负数;-a不一定是负数,+a也不一定是正数;π不是有理数; (2)有理数的分类:①② (3) 2.数轴:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3.相反数: (1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;(2)注意:a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是 -a-b;(3) 4.绝对值: (1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离; (2)绝对值可表示为:绝对值的问题经常分类讨论; (3) (4)|a|是重要的非负数,即|a|≥0;注意:|a|·|b|=|a·b|, 5.有理数比大小:(1)正数的绝对值越大,这个数越大;(2)正数永远比0大,负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数>0,小数-大数<0. 二.有理数法则及运算规律。 (1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;(2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;(3)一个数与0相加,仍得这个数. 2.有理数加法的运算律: (1)加法的交换律:a+b=b+a;(2)加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 3.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b). 4.有理数乘法法则: (1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘;(2)任何数同零相乘都得零;(3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定. 5.有理数乘法的运算律: (1)乘法的交换律:ab=ba;(2)乘法的结合律:(ab)c=a(bc);(3)乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac. 6.有理数除法法则:除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意:零不能做除数, . 7.有理数乘方的法则: (1)正数的任何次幂都是正数; 三.乘方的定义。 (1)求相同因式积的运算,叫做乘方; (2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂; 初中数学试卷 金戈铁骑整理制作 有理数加减法练习题 有理数的加法 一、 填空题 1.(1)同号两数相加,取 并把 。 (2)绝对值不相等的异号两数相加,取 的符号,并用较大的绝对值 较小的绝对 值。 (3)互为相反数的两数相加得 。 (4)一个数与零相加,仍得 。 2.计算: (1)(+5)+(+2)= (2)(-8)+(-6)= (3)(+8)+(-3)= (4)(-15)+(+10)= (5)(+208)+0= 3.小华向东走了-8米,又向东走了-5米,他一共向东走了 米。 4.在下列括号内填上适当的数。 (1)0+( )= -8 (2)5+( )=-2 (3)10+( )=0 (4)12 +( )= -1 2 5.计算:—6+3= 二选择题 1. 下列计算正确的是( ) A. (+6) +(-13) =+7 B. (+6) +(-13) =-19 C. (+6) +(-13) =-7 D. (-5) +(-3) =8 2. 下列计算结果错误的是( ) A. (-5) +(-3) =-8 B. (-5) +(=3) =2 C. (-3) +5 =2 D. 3 +(-5) =-2 3. 下列说法正确的是( ) A .两数相加,其和大于任何一个加数 B. 0与任何数相加都得0 C .若两数互为相反数,则这两数的和为0 D.两数相加,取较大一个加数的符号 ◎ 能力提高 一、 填空题 1. 若a+3=0,则a= 。 2. - 31的绝对值的相反数与33 2 的相反数的和为 。 3. 绝对值小于2010的所有整数的和为 。 4. 已知两个数是18和-15,这两个数的和的绝对值是 ,绝对值的和是 。 5. a 的相反数是最大的负整数,b 是最小的正整数,那么a+b= 。 二、选择题 1. 下列计算中错误的是( ) A. (+2) +(-13) =- (13-2) =-11 B. (+20) +(+12) =+(20+12) =32 C. (-1 21) +(-132) =+ (121+132) =36 1 D. (-3.4) +(+4.3) =0.9 2. 在1,-1,-2这三个数中任意两数之和的最大值是( ) A .1 B.0 C.-1 D.-3 有理数 全章概念汇总 考点、热点回顾 一、学习目标 1、有理数的灵活运用。 2、有理数的概念及巧算。 3、有理数的绝对值、奇、偶数的规律的掌握。 二、知识概念 1.有理数: (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数,都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数. 注意:0即不是正数,也不是负数;-a 不一定是负数,+a 也不一定是正数;π是无限循环小数,不能写成分数形式,不是有理数;有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像0,-2,-4,-6也是偶数,-1,-3,-5也是奇数,0也是整数,它可以看成分母是1,分子是0的分数。 (2)有理数的分类: ①??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ②???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2.数轴: 1、数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.通常用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴。在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点。通常规定直线上从原点向右(向上)为正方向,从原点向左(向下)为负方向。选取适当的长度为单位长度。数轴三要素:原点、方向、单位长度。 2、数轴的画法 3.相反数: (1)只要符号不同的两个数,且两个数的绝对值的大小相等,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0; (2)互为相反数的两个数和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值: 举例,向东向西走,绝对值则表示距离。 绝对值的意义:一般地,数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值。 (1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数; (2)绝对值可表示为:?????<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ;绝对值的问题经常分类讨论; (3)绝对值的性质: 1、0的绝对值是0,绝对值是0的数是0.即:;00=?=a a 2、一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0,即:;0||≥a 3、任何数的绝对值都不小于原数。即:;a a ≥ 4、绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若),0(>=a a x 则;a x ±= 5、互为相反数的两数的绝对值相等。即:a a =-或若,0=+b a 则;b a = 6、绝对值相等的两数相等或互为相反数。即:,b a =则b a =或;b a -= 初一(七年级)上册数学知识点:有理数 初一(七年级)上册数学知识点:有理数是由数学网整理的,供大家参考,下面来看一下初一(七年级)上册数学知识点:有理数吧! 本章内容要求学生正确认识有理数的概念,在实际生活和学习数轴的基础上,理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。重点利用有理数的运算法则解决实际问题,体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要。 一、目标与要求 1.了解正数与负数是从实际需要中产生的。 2.能正确判断一个数是正数还是负数,明确0既不是正数也不是负数。 3.理解有理数除法的意义,熟练掌握有理数除法法则,会进行有理数的除法运算; 4.了解倒数概念,会求给定有理数的倒数; 5.通过将除法运算转化为乘法运算,培养学生的转化的思想;通过有理数的除法 二、重点 正、负数的概念; 正确理解数轴的概念和用数轴上的点表示有理数; 有理数的加法法则; 除法法则和除法运算。 三、难点 负数的概念、正确区分两种不同意义的量; 数轴的概念和用数轴上的点表示有理数; 异号两数相加的法则; 根据除法是乘法的逆运算,归纳出除法法则及商的符号的确定。 四、知识框架 五、知识点、概念总结 1.正数:比0大的数叫正数。 2.负数:比0小的数叫负数。 3.有理数: (1)凡能写成q/p(p,q为整数且p不等于0)形式的数,都是有理数。正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数。 注意:0即不是正数,也不是负数;-a不一定是负数,+a也不一定是正数;p不是有理数; (2)有理数的分类: 4.数轴:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。 5.相反数: (1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0; (2)相反数的和为0等价于a+b=0等价于a、b互为相反数。 6.绝对值: 七年级数学有理数测试题及答案 一、 选择题(每题3分,共30分) 1、1999年国家财政收入达到11377亿元,用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为( )亿元 (A )4101.1? (B )5101.1? (C )3104.11? (D )3103.11? 2、大于–3.5,小于2.5的整数共有( )个。 (A )6 (B )5 (C )4 (D )3 3、已知数b a ,在数轴上对应的点在原点两侧,并且到原点的位置相等;数y x ,是互为倒数,那么xy b a 2||2-+的值等于( ) (A )2 (B )–2 (C )1 (D )–1 4、如果两个有理数的积是正数,和也是正数,那么这两个有理数( ) (A )同号,且均为负数 (B )异号,且正数的绝对值比负数的绝对值大 (C )同号,且均为正数 (D )异号,且负数的绝对值比正数的绝对值大 5、在下列说法中,正确的个数是( ) ⑴任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 ⑵数轴上的每一个点都表示一个有理数 ⑶任何有理数的绝对值都不可能是负数 ⑷每个有理数都有相反数 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6、如果一个数的相反数比它本身大,那么这个数为( ) A 、正数 B 、负数 C 、整数 D 、不等于零的有理数 7、下列说法正确的是( ) A 、几个有理数相乘,当因数有奇数个时,积为负; B 、几个有理数相乘,当正因数有奇数个时,积为负; C 、几个有理数相乘,当负因数有奇数个时,积为负; D 、几个有理数相乘,当积为负数时,负因数有奇数个; 8、在有理数中,绝对值等于它本身的数有() A.1个 B.2个 C. 3个 D.无穷多个 9、下列计算正确的是() A.-22=-4 B.-(-2)2=4 C.(-3)2=6 D.(-1)3=1 10、如果a <0,那么a 和它的相反数的差的绝对值等于( ) A.a B.0 C.-a D.-2a 二、填空题:(每题2分,共42分) 1、()642=。 2、小明与小刚规定了一种新运算*:若a 、b 是有理数,则a*b = b a 23-。小明计算出2*5=-4,请你帮小刚计算2*(-5)= 。 3、若056=++-y x ,则y x -= ; 七年级(上)数学第二章 有理数检测题 满分100分 答题时间 90分钟 姓名 得分 日期 一、选择题(每小题3分 共36分) 1、下面说法错误的是( ) (A))5(--的相反数是)5(- (B)3和3-的绝对值相等 (C)若0>a ,则 a 一定不为零 (D)数轴上右边的点比左边的点表示的数小 2、已知a a -=、b b =、0>>b a ,则下列正确的图形是( ) (A )(B )(C )(D ) 3、若a a +-=+-55,则a 是( ) (A )任意一个有理数 (B )任意一个负数或0 (C )任意一个非负数 (D )任意一个不小于5的数 4、对乘积)3()3()3()3(-?-?-?-记法正确的是( ) (A )43-(B )4)3(-(C )4)3(+-(D )4)3(-- 5、下列互为倒数的一对是( ) (A )5-与5 (B )8与125.0 (C )32 1与23 1 (D )25.0与4- 6、互为相反数是指( ) (A )有相反意义的两个量。 (B )一个数的前面添上“-”号所得的数。 (C )数轴上原点两旁的两个点表示的数。 (D )相加的结果为O 的两个数。 7、下列各组数中,具有相反意义的量是( ) (A )节约汽油10公斤和浪费酒精10公斤 (B )向东走5公里和向南走5公里 (C )收入300元和支出500元 (D )身高180cm 和身高90cm 8、下列运算正确的是( ) (A )422=- (B )4)2(2-=- (C )6)2(3-=- (D )9)3(2=- 9、计算:22)2(25.03.0-÷?÷-的值是( ) (A )1009-(B )1009(C )400 9(D )4009- 10、下列的大小排列中正确的是( ) (A ))2 1()32(43)21 (0+-<-+<--<--< (B ))2 1(0)21()32(43--<<+-<-+<-- (C ))2 1()32(043)21 (+-<-+<<--<-- (D ))21(043)32 ()2 1 (--<<--<-+<+- 11、将边长为1的正方形对折5次后,得到图形的面积是( ) (A )0.03125 (B )0.0625 (C )0.125 (D )0.25 12、已知5=x 、2=y ,且0<+y x ,则xy 的值等于( ) (A )10和-10 (B )10 (C )-10 (D )以上答案都不对 二、填空题: 13、若上升15米记作+15米,则-8米表示 14、用计算器计算:=-+-÷--)10259()26()57.2(4.133 。 15、某公司去年的利润是-50万元,今年的利润是180万元;今年和去年相比,利润额相差 万元。 16、观察下面数的排列规律并填空:-57、49、-41、 、 。 17、已知,m 、n 互为相反数,则=--n m 3 。 18、一个零件的内径尺寸在图上标注的是05.003.020+-(单位mm ) ,表示这种零件的标准尺寸是 ,加工要求最大不超过标准尺寸 ,最小不超过标准尺寸 。 19、若10032a a a a A ++++= ,则当1=a 时,=A ,当1-=a 时,=A 。 20、数轴上表示整数的点称为整点,某数轴的单位长度是1cm ,若在数轴上随意画出一条长为2000cm 的线段AB ,则线段AB 盖住的整点有 个。 三、解答题: 21、某医院的急诊病房收治了一位急诊病人,护士需要每隔两小时为病人量一次体温,(正常人的体温是36.5℃) 七年级数学上册教案 吧 斗 Assistant teacher 为 梦 想 奋 2.1有理数 1.借助生活中的实例理解负数、有理数的意义,体会负数引入的必要性和有理数应用的广泛性. 2.会判断一个数是正数还是负数,能应用正、负数表示生活中具有相反意义的量,体会数学知识与现实世界的联系. 3.在负数概念的形成过程中,培养观察、归纳与概括的能力. 一、情境导入 学校组织足球比赛,猛虎队和蛟龙队展开了一场激烈的对决,豆豆所在的猛虎队踢进4个球,失3个球,你能用数学的方式帮助豆豆表示他们队的进失球情况吗?学了有理数的有关知识后,问题不难解决. 二、合作探究 探究点一:用正、负数表示具有相反意义的量 【类型一】会用正、负数表示具有相反意义的量 如果某河的水位升高0.8m时水位变化记作+0.8m,那么水位下降0.5m时水位变化记作() A.0m B.0.5m C.-0.8m D.-0.5m 解析:由水位升高0.8m时水位变化记作+0.8m,根据相反意义的量的含义,则水位下降0.5m时水位变化就记作-0.5m,故选D. 方法总结:用正、负数表示相反意义的量时,要抓住基准,比基准量多多少记为“+”的多少,少多少记为“-”的多少.另外通常把“零上、上升、前进、收入、运进、增产”等规定为正,与它们意义相反的量表示为负. 【类型二】用正、负数表示误差的范围 某饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有“500±30(mL)”字样,请问“500±30(mL)”是什么含义?质检部门对该产品抽查5瓶,容量分别为503mL,511mL,489mL,473mL,527mL,问抽查的产品是否合格? 解析:+30mL表示比标准容量多30mL,-30mL表示比标准容量少30mL.则合格范围是指容量在470~530(mL)之间. 解:“500±30(mL)”表示470~530(mL)是合格范围,503mL,511mL,489mL,473mL,527mL都在合格范围内,故抽查的产品都是合格的. 方法总结:解决此类问题的关键是理解“500±30(mL)”的含义,即500是标准,“+”表示比标准多,“-”表示比标准少. 探究点二:有理数的分类 【类型一】有理数的分类 把下列各数填到相应的大括号里. 2.3 数轴(1) 一、选择 1.下列结论中,不正确的是( ) A.-4<0 B.-4.7 5>-41 2 C.-5>8 D. 1 5 < 1 3 2.已知有理数a,b在数轴上表示如图,现比较a,b,-a,-b的大小,正确的是( ) A.-a<-b”或“<”填空: (1) -1.2 0;(2) -3.1-3;(3) 3 -4;(4)3 5 -1. 10.在数轴上,到点A的距离是5的点有2个,它们表示的数是2和-8,那么点A表示的数是.11.数轴上表示整数的点称为整点.某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画出一条长为1厘米的线段AB,则线段AB盖住2个整点;若在这个数轴上随意画出一条长为2厘米的线段AB,则线段AB 盖住个整点;若在这个数轴上随意画出一条长为2011厘米的线段AB,则线段AB盖住个整点. 12.如图,A点的初始位置位于数轴上的原点,现对A点做如下移动:第1次从原点向右移动1个单位长度至B 点,第2次从B点向左移动3个单位长度至C点,第3次从C点向右移动6个单位长度至D点,第4次从D点向左移动9个单位长度至E点……以此类推,这样至少移动次后该点到原点的距离不小于41. 【典型例题】 例1. 近似数3.020是由四舍五入得到的,它精确到 位,有 个有效数字。 分析:精确到哪一位,只要看近似数的末位是哪一位。有效数字的概念:从左边第一个不是0的数字数起,到最后一位为止。 解:近似数3.020精确到千分位,有4个有效数字,分别是3,0,2,0。 分析:科学记数法形式为:a ?10n ,其中a 是带一位整数的数,可以是负数,n 是原数的整数位数减1 反思:如要把-8848.4写成科学记数法时,这里的a =-8.8484,n =4-1=3。 例3、已知有理数a ,b 在数轴上的对应点下右图所示,化简b a ++b = 。 分析:a ,b 都是字母,从数轴上可知:b>0,a<0, a > b 所以a +b<0,则 b a +=-(a +b ) b>0,则b =b 解:b a ++b =-(a +b )+b =-a 反思:作为一道字母题可用具体的数字代入检验,如根据数轴上a ,b 的特点,可设a =-2,b =1。 例4. 当2+x +1-y =0时,求x 2-xy = 。 分析:在一般情况下,一个方程中含有两个未知数,未知数是无法唯一确定的。但根据本题的特点:2+x ≥0,1-y ≥0,而两个非负数之和等于0,则只能是0+0=0。从而求出x ,y 的值. 解:∵2+x +1-y =0 ∴只能2+x =0,1-y =0 ∴x +2=0,y -1=0 ∴x =-2,y =1 ∴x 2-xy =(-2)2-(-2)×(1)=4+2=6。 反思:非负数的形式有 a ≥0,还有a 2≥0,如:1-x +(y +2)2=0,求x +y 。 例5. 若x =-2是方程5x -a =3x +8的解,则a 2-a 1 = 。 分析:x =-2是方程的解,即满足:把x =-2代入方程中,等式仍是成立的。从而得到关于a 的一元一次方程,求出a 的值。 解:把x =-2代入方程,得 5×(-2)-a =3×(-2)+8, a =-12 ∴a 2-a 1=(-12)2+121=144121 。 例6. P 为线段AB 上一点,且AP =52 AB ,M 是AB 的中点,若PM =2cm ,则AB = 。 分析:这类几何题没有图形的,首先画出图形,结合图形,把已知量与未知量表示到图上分析。如图所示。 解:由图上可知,PM =AM -AP =21AB -52AB =101 AB =2 第一章有理数知识点归纳 一、正数和负数 正数和负数的概念 负数:比0小的数;正数:比0大的数。 0既不是正数,也不是负数 ☆注意:字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数;当a表示负数时,-a是正数;当a表示0时,-a仍是0。强调:带正号的数不一定是正数,带负号的数不一定是负数。 具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量。习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正,“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负. 二、有理数 有理数的概念 (1)正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数) (2)正分数和负分数统称为分数 (3)整数和分数统称有理数 ☆注意:①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。 数轴 (1)数轴的概念:规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。 注意:数轴是一条向两端无限延伸的直线; 原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可; 数轴的三要素都是根据实际需要规定的,同一数轴上的单位长度要统一; (2)数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上唯一的点来表示,正有理数可用原点正方向的点表示,负有理数可用原点负方向的点表示,0用原点表示。 相反数 (1)只有符号不同的两个数叫做互为相反数;0的相反数是0;任何一个有理数都有相反数 (2)互为相反数的两数的和为0,即:若a、b互为相反数,则a+b=0;互为相反数的两个点在数轴上分别位于原点两侧,并且与原点的距离相等。 (3)在一个数的前面加上负号“-”,就得到了这个数的相反数。a的相反数是-a。 (4)多重符号的化简 多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略;“-”号的个数决定最后化简结果;即:“-”的个数是奇数时,结果为负,“-”的个数是偶数时,结果为正。 绝对值 (1)绝对值的几何定义:数轴上表示数a的点与原点的距离,叫做a的绝对值, 苏教版 七年级数学《有理数》 1.1正数和负数 负数:以前学过的0以外的数前面加上负号“-”的数叫做负数。 正数:以前学过的0以外的数叫做正数。 0既不是正数也不是负数,0是正数与负数的分界。 在同一个问题中,分别用正数和负数表示的量具有相反的意义 注:-a 不一定是负数,+a 也不一定是正数; 1.2.1有理数: 凡能写成 )0,(≠p q p p q 为整数且形式的数,都是有理数。 (1)正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数. (2)有理数的分类:① ??? ? ?????????负分数 负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数 分数负整数零正整数 整数有理数 注意: 1) 0不是正数,也不是负数; 2) π不是有理数;无限不循环小数不是有理数。无限循环小数是有理数; 3) 小数也归为分数。 4) 自然数? 0和正整数; 5) a >0 ? a 是正数;a <0 ? a 是负数; 6) a ≥0 ? a 是正数或0 ? a 是非负数; 7) a ≤ 0 ? a 是负数或0 ? a 是非正数. 1.2.2数轴: 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 数轴的作用:所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。 注意事项:⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素,缺一不可。 ⑵同一根数轴,单位长度不能改变。 一般地,设a 是一个正数,则数轴上表示a 的点在原点的右边,与原点的距离是a 个单位长度;表示数-a 的点在原点的左边,与原点的距离是a 个单位长度。 1.2.3.相反数: 只有符号不同的两个数叫做相反数。 注意:(1)一般地,a 和-a 互为相反数,特别地,0的相反数还是0; (2) a-b+c 的相反数是-a+b-c ;a-b 的相反数是b-a ;a+b 的相反数是-a-b ; (3)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 一般地,设a 是一个正数,数轴上与原点的距离是a 的点有两个,它们分别在原点左右,表示-a 和a ,我们说这两点关于原点对称 1.2.4.绝对值: 一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值。 (1)一个正数的绝对值是它的本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。 注:绝对值的意义是数轴上表示某数的点到原点的距离。 (2) 绝对值可表示为:??? ??<-=>=) 0()0(0) 0(a a a a a a 或?? ?<-≥=)0()0(a a a a a ; (3)绝对值的问题经常分类讨论; 01>?=a a a ; a 1a a -=; (4) |a|是重要的非负数,即|a|≥0;注意:|a|·|b|=|a ·b|, b a b a = . (5)有理数比大小: ①正数大于0,0大于负数,正数大于一切负数和0。 ②两个负数,绝对值大的反而小。 ③正数的绝对值越大,这个数越大; ④大数-小数 > 0,小数-大数 < 0; ⑤在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,所以左边的数永远小于右边的数。即数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大 补充: 倒数:乘积为1的两个数互为倒数; 注(1)0没有倒数;若 a ≠0,那么a 的倒数是 a 1; 新浙教版七年级上册数学第一章《有理数》知识点及典型例题 知识框图 将考点与相应习题联系起来 考点一、关于“……说法正确的是……”的题型(只可能是选择题) 1、下列语句:① 带“-”号的数是负数;② 如果a 为正数,则-a 一定是负数;③ 不存在既不是正数又不是负数的数;④ 00 C 表示没有温度,正确的有( )个 2、下列说法不正确的是( ) A.数轴是一条直线; B.表示-1的点,离原点1个单位长度; C.数轴上表示-3的点与表示- 1的点相距2个单位长度; D.距原点3个单位长度的点表示—3或3。 3、下列说法中不正确的是( ) A.-5表示的点到原点的距离是5; B. 一个有理数的绝对值一定是正数; C. 一个有理数的绝对值一定不是负数; D. 互为相反数的两个数的绝对值一定相等. 4、如图:下列说法正确的是( ) 比b 大 比a 大 、b 一样大 、b 的大小无法确定 5、若|a +b|=-(a +b ),下列结论正确的是( ) +b ≤0 +b<0 +b=0 +b>0 6、下列说法:① 一个数的绝对值的相反数一定是负数;② 只有负数的绝对值是它的相反数;③ 正数和零的绝对值都等于它本身;④互为相反数的两个数的绝对值相等,错误的个数是( ) 个 个 个 个 7、如果a 表示有理数,那么下列说法中正确的是( ) A.+a 与-(-a)互为相反数 B. +a 与-a 一定不相等 一定是负数 D. -(+a)与+(-a)一定相等 8、已知字母a 、b 表示有理数,如果a +b =0,则下列说法正确的是( ) A.a 、b 中一定有一个是负数 B.a 、b 都为0 C.a 与b 不可能相等 D.a 与b 的绝对值相等 9、下列说法正确的是( ) A. -|a|一定是负数 B. 只有两个数相等时,它们的绝对值才相等 C. 若|a|=|b|,则a 与b 互为相反数 D. 若一个数小于它的绝对值,则这个数为负数 10、给出下面说法:① 互为相反数的两个数绝对值相等;② 一个数的绝对值等于它本身,这个数不是负数; ③ 若|m|>m ,则m<0;④ 若|a|>|b|,则a>b ,其中正确的有( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 考点二、具有相反意义的量、相反数、数轴、绝对值、有理数的分类等概念的直接考题 1、某项科学研究,以45分钟为1个时间单位,并记每天上午10时为0,10时以前记为负,10时以后记为正,例如9:15记为-1,10:45记为1等等,以此类推,上午7:45应记为 2、在时钟上,把时针从钟面数字“12”按顺时针方向拨到“6”,计做拨了“+1 2 ”周,那么,把时针从“12”开始,拨了“1 4 ”周后,该时针所指的钟面数字是 3、若a 与b 互为相反数,则下列式子:①a+b=0;②a=-b ;③|a|=|-b|;④a=b ,其中一定成立的序号为 4、数轴上到数-1所表示的点的距离为5的点所表示的数是 5、绝对值最小的有理数是 ;绝对值最小的整数是 ;| -π|= _________ 6、写出所有不小于-4并且小于的整数: 人教版七年级上册数学有理数新编知识点例题习题 The document was prepared on January 2, 2021 人教版七年级上册第一章有理数知识点习题 大于0的数叫做正数,小于0的数叫做负数,0既不是负数也不是偶数 练习:电梯上升到四楼记为+4,下降到负二楼记为 二.有理数 能够写成分数的形式的数都是有理数 三.数轴 (1)在直线上任取一个点为0,这个点叫做原点 (2)通常规定直线上从原点向右(或向上)为正方向,从原点向左(或向下)为正反向 四.相反数 2的相反数为—2,—2的相反数为2 五.绝对值 1.一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0 (1)当a是正数(大于0)时,|a|=a (2)当a是负数(小于0)时,|a|=﹣a (3)当a=0时, |a|=0 练习:写出下面各数的绝对值 —8 5 0 2.(1)正数大于0,0大于负数.正数大于负数 (2)两个负数,绝对值大的反而小 练习:比较下面两个数的大小 (1)—8和—5 (2)和|—2.15| 六.有理数的加减法 1.有理数加法法则 (1)同号两位数相加,取相同的符号,并把绝对值相加 (2)绝对值不相等的异号两个数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,互为相反数的两个数相加得0 (3)一个数同0相加,得数为这个数 计算:①—8+(—10)= ②—+7= 2.(1)有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变a+b=b+a (2)三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两位数相加,和不变 (a+b)+c=a+(b+c) 练习:计算:16+(—8)+24+(—12) 七.有理数的减法 减去一个数,等于加上这个数的相反数 a—b=a+(—b) 计算:①—3—(—13)②0—(—4)③—(—) 一.选择题 学习资料 七年级数学有理数测试题及答案 一、 选择题(每题3分,共30分) 1、1999年国家财政收入达到11377亿元,用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为( )亿元 (A )4 101.1? (B )5 101.1? (C )3 104.11? (D )3 103.11? 2、大于–3.5,小于2.5的整数共有( )个。 (A )6 (B )5 (C )4 (D )3 3、已知数b a ,在数轴上对应的点在原点两侧,并且到原点的位置相等;数y x ,是互为倒数,那么xy b a 2||2-+的值等于( ) (A )2 (B )–2 (C )1 (D )–1 4、如果两个有理数的积是正数,和也是正数,那么这两个有理数( ) (A )同号,且均为负数 (B )异号,且正数的绝对值比负数的绝对值大 (C )同号,且均为正数 (D )异号,且负数的绝对值比正数的绝对值大 5、在下列说法中,正确的个数是( ) ⑴任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 ⑵数轴上的每一个点都表示一个有理数 ⑶任何有理数的绝对值都不可能是负数 ⑷每个有理数都有相反数 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6、如果一个数的相反数比它本身大,那么这个数为( ) A 、正数 B 、负数 C 、整数 D 、不等于零的有理数 7、下列说法正确的是( ) A 、几个有理数相乘,当因数有奇数个时,积为负; B 、几个有理数相乘,当正因数有奇数个时,积为负; C 、几个有理数相乘,当负因数有奇数个时,积为负; D 、几个有理数相乘,当积为负数时,负因数有奇数个; 8、在有理数中,绝对值等于它本身的数有() A.1个 B.2个 C. 3个 D.无穷多个 9、下列计算正确的是() A.-22=-4 B.-(-2)2=4 C.(-3)2=6 D.(-1)3=1 10、如果a <0,那么a 和它的相反数的差的绝对值等于( ) A.a B.0 C.-a D.-2a 二、填空题:(每题2分,共42分) 1、( )642=。 2、小明与小刚规定了一种新运算*:若a 、b 是有理数,则a*b = b a 23-。小明计算出2*5=-4,请你帮小刚计算2*(-5)= 。 3、若056=++-y x ,则y x -= ; 4、大于-2而小于3的整数分别是_________________、 5、(-3.2)3中底数是______,乘方的结果符号为______。 6、甲乙两数的和为-23.4,乙数为-8.1,甲比乙大 7、在数轴上表示两个数, 的数总比 的大。(用“左边”“右边”填空) 8、仔细观察、思考下面一列数有哪些..规律:-2 ,4 ,-8 ,16 ,-32 ,64 ,…………然后填出下面两空:(1)第7个数是 ;(2)第 n 个 数是 。 9、若│-a │=5,则a=________. 10、已知: , (15) 4 41544,833833,322322222?=+?=+?=+ 若b a b a ?=+ 21010(a,b 均为整数)则a+b= . 11、写出三个有理数数,使它们满足:①是负数;②是整数;③能被2、3、5 整除。答:____________。 12、数轴上原点右边4.8厘米处的点表示的有理数是32,那么,数轴左边18苏科版七上有理数测试题
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