第十五章 分式 15．1.1 从分数到分式
1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念． 2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件．
重点:理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件． 难点:能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．
一、复习引入
1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？ 2．判断下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？
①8m ＋n 3；②1＋x ＋y 2；③a 2
b ＋ab 2
3；④a ＋b 2；⑤2x 2＋2x ＋1；⑥3a 2＋b 2；⑦3x 2
－42x .
二、探究新知 1．分式的定义
(1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？
分析：设江水的流速为v 千米/时．
轮船顺流航行90千米所用的时间为9030＋v 小时，逆流航行60千米所用时间为6030－v 小时，所以9030＋v ＝
60
30－v
. (2)学生完成教材第127页“思考”中的题．
观察：以上的式子9030＋v ，6030－v ，S a ，V
s ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？
可以发现，这些式子都像分数一样都是A
B (即A÷B)的形式．分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式
子中的A ，B 都是整式，并且B 中都含有字母．
归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A
B 叫做分式．
巩固练习：教材第129页练习第2题．
2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？
分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式A
B 才有意义．
学生自学例1.
例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ (1)23x ；(2)x x －1；(3)15－3b ；(4)x ＋y x －y
. 解：(1)要使分式2
3x 有意义，则分母3x≠0，即x≠0；
(2)要使分式x
x －1有意义，则分母x －1≠0，即x≠1；
(3)要使分式15－3b 有意义，则分母5－3b≠0，即b≠5
3；
(4)要使分式x ＋y
x －y
有意义，则分母x －y≠0，即x≠y.
思考：如果题目为：当x 为何值时，分式无意义．你知道怎么解题吗？ 巩固练习：教材第129页练习第3题． 3．补充例题：当m 为何值时，分式的值为0? (1)m m －1；(2)m －2m ＋3；(3)m 2
－1m ＋1
. 思考：当分式为0时，分式的分子、分母各满足什么条件？
分析：分式的值为0时，必须同时满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零． 答案：(1)m ＝0；(2)m ＝2；(3)m ＝1. 三、归纳总结 1．分式的概念．
2．分式的分母不为0时，分式有意义；分式的分母为0时，分式无意义． 3．分式的值为零的条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零． 四、布置作业
教材第133页习题15.1第2，3题．
在引入分式这个概念之前先复习分数的概念，通过类比来自主探究分式的概念，分式有意义的条件，分式值为零的条件，从而更好更快地掌握这些知识点，同时也培养学生利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力．
15．1.2 分式的基本性质(2课时)
第1课时 分式的基本性质
1．了解分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行分式的变形． 2．会用分式的基本性质求分式变形中的符号法则．
重点:理解并掌握分式的基本性质． 难点:灵活运用分式的基本性质进行分式变形．
一、类比引新
1．计算：(1)56×215；(2)45÷8
15.
思考：在运算过程中运用了什么性质？
教师出示问题．学生独立计算后回答：运用了分数的基本性质． 2．你能说出分数的基本性质吗？
分数的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的数，分数的值不变． 3．尝试用字母表示分数的基本性质：
小组讨论交流如何用字母表示分数的基本性质，然后写出分数的基本性质的字母表达式． a b ＝a·c b·c ，a b ＝a÷c
b÷c .(其中a ，b ，c 是实数，且c≠0) 二、探究新知
1．分式与分数也有类似的性质，你能说出分式的基本性质吗？
分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变． 你能用式子表示这个性质吗？
A B ＝A·C B·C ，A B ＝A÷C B÷C .(其中A ，B ，C 是整式，且C≠0) 如
x 2x ＝12，b a ＝ab
a
2，你还能举几个例子吗？ 回顾分数的基本性质，让学生类比写出分式的基本性质，这是从具体到抽象的过程． 学生尝试着用式子表示分式的性质，加强对学生的抽象表达能力的培养． 2．想一想
下列等式成立吗？为什么？
－a －b ＝a b ；－a b ＝a －b ＝－a b
. 教师出示问题．学生小组讨论、交流、总结．
例1 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“－”号： (1)－2a －3a ；(2)－3x 2y ；(3)－－x 2
y
. 例2 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数： (1)x ＋1－2x －1；(2)2－x －x 2＋3；(3)－x －1x ＋1
. 引导学生在完成习题的基础上进行归纳，使学生掌握分式的变号法则． 例3 填空：
(1)x 3
xy ＝（ ）y ，3x 2
＋3xy 6x 2
＝x ＋y （ ）； (2)1ab ＝（ ）a 2b ，2a －b a 2＝（ ）a 2
b
.(b≠0) 解：(1)因为x
3
xy 的分母xy 除以x 才能化为y ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需
除以x ，即
x 3
xy ＝x 3
÷x xy ÷x ＝x 2y
. 同样地，因为3x 2
＋3xy 6x 的分子3x 2
＋3xy 除以3x 才能化为x ＋y ，所以分母也需除以3x ，即 3x 2
＋3xy 6x 2＝（3x 2＋3xy ）÷（3x ）6x 2
÷（3x ）＝x ＋y
2x . 所以，括号中应分别填入x 2
和2x.
(2)因为1ab 的分母ab 乘a 才能化为a 2
b ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a ，
即
1ab ＝1·a ab·a ＝a a 2b
. 同样地，因为2a －b a 2的分母a 2乘b 才能化为a 2
b ，所以分子也需乘b ，即
2a －b a 2＝（2a －b ）·b a 2
·b ＝2ab －b
2
a 2
b . 所以，括号中应分别填a 和2ab －b 2
.
在解决例题1，2的第(2)小题时，教师可以引导学生观察等式两边的分母发生的变化，再思考分式的分子如何变化；在解决例2的第(1)小题时，教师引导学生观察等式两边的分子发生的变化，再思考分式的分母随之应该如何变化．
三、课堂小结
1．分式的基本性质是什么？ 2．分式的变号法则是什么？
3．如何利用分式的基本性质进行分式的变形？ 学生在教师的引导下整理知识、理顺思维． 四、布置作业
教材第133页习题15.1第4，5题．
通过算数中分数的基本性质，用类比的方法给出分式的基本性质，学生接受起来并不感到困难，但要重点强调分子分母同乘(或除)的整式不能为零，让学生养成严谨的态度和习惯．
第2课时 分式的约分、通分
1．类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义，理解最简公分母的概念． 2．类比分数的约分、通分，掌握分式约分、通分的方法与步骤．
重点:运用分式的基本性质正确地进行分式的约分与通分． 难点:通分时最简分分母的确定；运用通分法则将分式进行变形．
一、类比引新
1．在计算56×215时，我们采用了“约分”的方法，分数的约分约去的是什么？分式a 2
＋ab a 2b ，a ＋b
ab 相等吗？
为什么？
利用分式的基本性质，分式a 2
＋ab a 2b 约去分子与分母的公因式a ，并不改变分式的值，可以得到a ＋b
ab .
教师点拨：分式a 2
＋ab a 2b 可以化为a ＋b
ab ，我们把这样的分式变形叫做__分式的约分__．
2．怎样计算45＋67？怎样把45，6
7
通分？
类似的，你能把分式a b ，c
d
变成同分母的分式吗？
利用分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，我们把这样
的分式变形叫做__分式的通分__．
二、探究新知
1．约分：(1)－25a 2
bc 3
15ab 2
c ；(2)x 2
－9x 2＋6x ＋9；(3)6x 2
－12xy ＋6y
2
3x －3y . 分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式． 解：(1)－25a 2
bc 3
15ab 2
c ＝－5abc ·5ac 2
5abc ·3b ＝－5ac
2
3b
； (2)x 2－9x 2＋6x ＋9＝（x ＋3）（x －3）（x ＋3）2
＝x －3
x ＋3
； (3)6x 2
－12xy ＋6y 2
3x －3y ＝6（x －y ）2
3（x －y ）
＝2(x －y )．
若分子和分母都是多项式，则往往需要把分子、分母分解因式(即化成乘积的形式)，然后才能进行约分．约分后，分子与分母没有公因式，我们把这样的分式称为__最简分式__．(不能再化简的分式)
2．练习：
约分：2ax 2
y 3axy 2；－2a （a ＋b ）3b （a ＋b ）；（a －x ）2
（x －a ）3；x 2
－4xy ＋2y ；m 2
－3m 9－m 2；
992
－1
98. 学生先独立完成，再小组交流，集体订正．
3．讨论：分式12x 3y 2z ，14x 2y 3，16xy 4的最简公分母是什么？
提出最简公分母概念．
一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母． 学生讨论、小组交流、总结得出求最简公分母的步骤： (1)系数取各分式的分母中系数最小公倍数； (2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到； (3)相同字母(或因式)的幂取指数最大的；
(4)所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积(其中系数都取正数)即为最简公分母． 4．通分：(1)32a b 与a －b ab c ；(2)2x x －5与3x
x ＋5 .
分析：为通分，要先确定各分式的公分母． 解：(1)最简公分母是2a 2b 2
c . 3
2a 2
b ＝
3·bc 2a 2
b ·b
c ＝3bc 2a 2b 2c ， a －b ab 2c ＝（a －b ）·2a ab 2c ·2a ＝2a 2－2ab
2a 2b 2
c
. (2)最简公分母是(x －5)(x ＋5)．
2x x －5＝2x （x ＋5）（x －5）（x ＋5）＝2x 2
＋10x x 2－25， 3x x ＋5＝3x （x －5）（x ＋5）（x －5）＝3x 2
－15x x 2－25. 5．练习：
通分：(1)13x 2与512xy ；(2)1x 2＋x 与1x 2－x ；(3)1（2－x ）2与x
x 2
－4
. 教师引导：通分的关键是先确定最简公分母；如果分式的分母是多项式则应先将分母分解因式，再按上述的方法确定分式的最简公分母．
学生板演并互批及时纠错．
6．思考：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？ 教师让学生讨论、交流，师生共同作以小结． 三、课堂小结
1．什么是分式的约分？ 怎样进行分式的约分？ 什么是最简分式？ 2．什么是分式的通分？ 怎样进行分式的通分？ 什么是最简公分母？ 3．本节课你还有哪些疑惑？ 四、布置作业
教材第133页习题15.1第6，7题．
本节课是在学习了分式的基本性质后学的，重点是运用分式的基本性质正确的约分和通分，约分时要注意一定要约成最简分式，熟练运用因式分解；通分时要将分式变形后再确定最简公分母．
15．2 分式的运算 15．2.1 分式的乘除(2课时) 第1课时 分式的乘除法
1．理解并掌握分式的乘除法则．
2．运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题．
重点:掌握分式的乘除运算． 难点:分子、分母为多项式的分式乘除法运算．
一、复习导入
1．分数的乘除法的法则是什么？ 2．计算：35×1512；35÷15
2
.
由分数的运算法则知35×1512＝3×155×12；35÷152＝35×215＝3×2
5×15.
3．什么是倒数？
我们在小学学习了分数的乘除法，对于分式如何进行计算呢？这就是我们这节要学习的内容． 二、探究新知
问题1：一个水平放置的长方体容器，其容积为V ，底面的长为a ，宽为b 时，当容器的水占容积的m
n 时，
水面的高度是多少？
问题2：大拖拉机m 天耕地a hm 2
，小拖拉机n 天耕地b hm 2
，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
问题1求容积的高V ab ·m n ，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的a m ÷b
n 倍．
根据上面的计算，请同学们总结一下对分式的乘除法的法则是什么？
分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． a b ·c d ＝a·c b·d ；a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a·d
b·c . 三、举例分析
例1 计算：(1)4x 3y ·y 2x 3；(2)ab 32c 2÷－5a 2b
2
4cd
.
分析：这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算．应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，再计算结果．
解：(1)4x 3y ·y 2x 3＝4xy 6x 3y ＝2
3x
2；
(2)ab 3
2c 2÷－5a 2b 2
4cd ＝ab 3
2c 2·4cd －5a 2b 2＝－4ab 3
cd 10a 2b 2c 2＝－2bd 5ac . 例2 计算：
(1)a 2－4a ＋4a 2－2a ＋1·a －1a 2－4；(2)149－m 2÷1m 2
－7m
. 分析：这两题是分子与分母是多项式的情况，首先要因式分解，然后运用法则． 解：(1)原式（a －2）2
（a －1）2·
a －1（a ＋2）（a －2）＝a －2（a －1）（a ＋2）； (2)原式1（7－m ）（7＋m ）÷1
m （m －7）
＝
1（7－m ）（7＋m ）·m （m －7）1＝－m
m ＋7
.
例3 “丰收1号”小麦试验田边长为a 米(a ＞1)的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a －1)米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克．
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 分析：本题的实质是分式的乘除法的运用． 解：(1)略．
(2)500（a －1）2÷500a 2－1＝500（a －1）2·a 2
－1500＝a ＋1a －1
. “丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的a ＋1a －1倍．
四、随堂练习
1．计算：(1)c 2
ab ·a 2b 2
c ；(2)－n 2
2m ·4m 25n 3；(3)y 7x ÷(－2
x
)；
(4)－8xy÷2y 5x ；(5)－a 2
－4a 2－2a ＋1·a 2
－1a 2＋4a ＋4；(6)y 2
－6y ＋9
y ＋2
÷(3－y)．
答案：(1)abc ；(2)－2m 5n ；(3)－y 14；(4)－20x 2
；(5)－（a ＋1）（a －2）（a －1）（a ＋2）；(6)3－y y ＋2.
2．教材第137页练习1，2，3题． 五、课堂小结
(1)分式的乘除法法则；
(2)运用法则时注意符号的变化；
(3)因式分解在分式乘除法中的应用；
(4)步骤要完整，结果要最简．最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式，也可以写成一个多项式，
如（a－1）2
a
或
a2－2a＋1
a
.
六、布置作业
教材第146页习题15.2第1，2题．
本节课从两个具有实际背景的问题出发，使学生在解决问题的过程中认识到分式的乘除法是由实际需
要产生的，进而激发他们学习的兴趣，接着，从分数的乘除法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘法法则．有利于学生接受新知识，而且能体现由数到式的发展过程．
第2课时分式的乘方及乘方与乘除的混合运算
1．进一步熟练分式的乘除法法则，会进行分式的乘、除法的混合运算．
2．理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算．
重点:分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方混合运算．
难点:分式的乘除法、乘方混合运算，以及分式乘法、除法、乘方运算中符号的确定．
一、复习引入
1．分式的乘除法法则．
分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母．
分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
2．乘方的意义：
a n＝a·a·a·…·a(n为正整数)．
二、探究新知
例1(教材例4) 计算2x
5x－3÷
3
25x2－9
·
x
5x＋3
.
解：2x
5x－3÷
3
25x2－9
·
x
5x＋3
＝
2x
5x－3
·
25x2－9
3
·
x
5x＋3
(先把除法统一成乘法运算)
＝2x
2
3.(约分到最简公式) 分式乘除运算的一般步骤： (1)先把除法统一成乘法运算；
(2)分子、分母中能分解因式的多项式分解因式； (3)确定分式的符号，然后约分； (4)结果应是最简分式．
1．由整式的乘方引出分式的乘方，并由特殊到一般地引导学生进行归纳． (1)(a b )2＝a b ·a b ＝a 2
b 2；
↑ ↑
由乘方的意义 由分式的乘法法则 (2)同理：
(a b )3＝a b ·a b ·a b ＝a 3b
3； (a b )n ＝a b ·a b ·…·a b n 个＝a ·a ·…·an 个b ·b ·…·bn 个 ＝a n
b n . 2．分式乘方法则：
分式：(a b )n ＝a
n
b
.(n 为正整数)
文字叙述：分式乘方是把分子、分母分别乘方． 3．目前为止，正整数指数幂的运算法则都有什么？ (1)a n
·a n
＝a
m ＋n ；(2)a m ÷a n ＝a
m －n
；(3)(a m )n
＝a mn
；(4)(ab)n
＝a n b n
；(5)(a b )n ＝a
n
b
.
三、举例分析 例2 计算：
(1)(－2a 2
b 3
c )2；(2)(a 2
b －cd )3÷2a d ·(
c 2a )2.(3)(－x 2
y )2·(－y 2
x )3÷(－y x )4；(4)a 2
－b 2
a ＋
b ÷(a －b a ＋b )2
. 解：(1)原式＝（－2a 2
b ）2
（3c ）2
＝4a 4b 2
9c 2； (2)原式＝a 6b 3
－c 3d 9·d 3
2a ·c 2
4a 2＝－a 3b
3
8cd 6；
(3)原式＝x 4
y 2·(－y 6
x 3)·x 4
y
4＝－x 5
；
(4)原式＝（a ＋b ）（a －b ）a 2＋b 2·（a ＋b ）2
（a －b ）2＝（a ＋b ）
3
（a －b ）（a 2＋b 2
）
. 学生板演、纠错并及时总结做题方法及应注意的地方：①对于乘、除和乘方的混合运算，应注意运算
顺序，但在做乘方运算的同时，可将除变乘；②做乘方运算要先确定符号．
例3 计算：
(1)b 3n －1c 2
a 2n ＋1·a 2n －1
b 3n －2；(2)(xy －x 2
)÷x 2
－2xy ＋y 2
xy ·x －y x 2；(3)(a 2
－b 2
ab )2÷(a －b a )2.
解：(1)原式＝
b 3n －2
·b ·c 2a 2n －1·a 2·a 2n －1b 3n －2＝bc 2
a
2； (2)原式＝－x （x －y ）1·xy （x －y ）2·x －y
x 2＝－y ；
(3)原式＝（a ＋b ）2
（a －b ）2
a 2
b 2·a 2
（a －b ）2＝a 2
＋2ab ＋b
2
b
2
. 本例题是本节课运算题目的拓展，对于(1)指数为字母，不过方法不变；(2)(3)是较复杂的乘除乘方混合运算，要进一步让学生熟悉运算顺序，注意做题步骤．
四、巩固练习
教材第139页练习第1，2题． 五、课堂小结 1．分式的乘方法则． 2．运算中的注意事项． 六、布置作业
教材第146页习题15.2第3题．
分式的乘方运算这一课的教学先让学生回忆以前学过的分数的乘方的运算方法，然后采用类比的方法让学生得出分式的乘方法则．在讲解例题和练习时充分调动学生的积极性，使大家都参与进来，提高学习效率．
15．2.2 分式的加减(2课时)
第1课时 分式的加减
理解并掌握分式的加减法则，并会运用它们进行分式的加减运算．
重点:运用分式的加减运算法则进行运算． 难点:异分母分式的加减运算．
一、复习提问 1．什么叫通分？
2．通分的关键是什么？ 3．什么叫最简公分母？
4．通分的作用是什么？(引出新课) 二、探究新知
1．出示教材第139页问题3和问题4. 教材第140页“思考”．
分式的加减法与分数的加减法类似，它们的实质相同．观察下列分数加减运算的式子：15＋25＝35，15－
2
5＝－15，12＋13＝36＋26＝56，12－13＝36－26＝1
6
.你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？
教师提出问题，让学生列出算式，得到分式的加减法法则． 学生讨论：组内交流，教师点拨． 2．同分母的分式加减法． 公式：a c ±b c ＝a±b c
.
文字叙述：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 3．异分母的分式加减法． 分式：a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad±bc bd
.
文字叙述：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 三、典型例题
例1(教材例6) 计算：(1)
5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y 2；(2)
12p ＋3q ＋1
2p －3q
. 解：(1)5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y 2 ＝5x ＋3y －2x x 2－y 2
＝3x ＋3y x 2－y 2＝3
x －y ； (2)
12p ＋3q ＋12p －3q ＝2p －3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＋2p ＋3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＝2p －3q ＋2p ＋3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）
＝
4p
4p 2
－9q
2.
小结：
(1)注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号． (2)把分子相加减后，如果所得结果不是最简分式，要约分． 例2 计算：m ＋2n n －m ＋n m －n －2m
n －m
.
分析：(1)分母是否相同？(2)如何把分母化为相同的？(3)注意符号问题．
解：原式＝m ＋2n n －m －n n －m －2m n －m ＝m ＋2n －n －2m n －m ＝n －m
n －m ＝1.
四、课堂练习
1．教材第141页练习1，2题．
2．计算：(1)56ab －23ac ＋34abc ；(2)12m 2－9＋23－m ；(3)a ＋2－42－a ； (4)a 2
－b 2
ab －ab －b
2
ab －ab 2.
五、课堂小结
1．同分母分式相加减，分母不变，只需将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号．
2．对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分． 3．异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否为最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化．
4．作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式． 六、布置作业
教材第146页习题15.2第4，5题．
从直观的分数加减运算开始，先介绍同分母分式的加减运算的具体方法，通过类比的思想方法，由数的运算引出式的运算规律，体现了数学知识间具体与抽象、从特殊到一般的内在联系．而后，利用同样的类比方法，安排学习异分母的分式加减运算，这样由简到繁、由易到难，符合学生认知的发展规律，有助于知识的层层落实与掌握．
第2课时 分式的混合运算
1．明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算． 2．能灵活运用运算律简便运算．
重点:熟练地进行分式的混合运算． 难点:熟练地进行分式的混合运算．
一、复习引入
回忆：我们已经学习了分式的哪些运算？
1．分式的乘除运算主要是通过( )进行的，分式的加减运算主要是通过( )进行的． 2．分数的混合运算法则是( )，类似的，分式的混合运算法则是先算( )，再算
( )，最后算( )，有括号的先算( )里面的．
二、探究新知 1．典型例题
例1 计算：(x ＋2x －2＋4x 2－4x ＋4)÷x
x －2.
分析：应先算括号里的．
例2 计算：x ＋2y ＋4y 2
x －2y －4x 2
y
x 2－4y
2.
分析：(1)本题应采用逐步通分的方法依次进行； (2)x ＋2y 可以看作x ＋2y
1
.
例3 计算：12x －1x ＋y ·(x ＋y
2x －x －y)．
分析：本题可用分配律简便计算．
例4 [1（a ＋b ）2－1（a －b ）2]÷(
1a ＋b －1
a －
b )． 分析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分． 例5(教材例7) 计算(2a b )2·1a －b －a b ÷b
4.
解：(2a b )2·1a －b －a b ÷b
4
＝4a 2
b 2·1a －b －a b ·4b
＝4a 2
b 2（a －b ）－4a b 2＝4a 2
b 2（a －b ）－4a （a －b ）b 2（a －b ） ＝4a 2
－4a 2＋4ab b 2（a －b ）＝4ab b 2（a －b ）
＝4a
ab －b
2. 点拨：式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减．
例6(教材例8) 计算：(1)(m ＋2＋52－m )·2m －43－m ；(2)(x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4)÷x －4
x .
解：(1)(m ＋2＋52－m )·2m －4
3－m
＝
（m ＋2）（2－m ）＋52－m ·2m －4
3－m
＝9－m 2
2－m ·2（m －2）
3－m ＝
（3－m ）（3＋m ）2－m ·－2（2－m ）
3－m
＝－2(m ＋3)；
(2)(x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4)÷x －4x
＝[x ＋2x （x －2）－x －1（x －2）2]·x x －4 ＝
（x ＋2）（x －2）－（x －1）x x （x －2）2
·x
x －4
＝x 2
－4－x 2
＋x
（x －2）2
（x －4） ＝
1
（x －2）
2.
分式的加、减、乘、除混合运算要注意以下几点：
(1)一般按分式的运算顺序法则进行计算，但恰当地使用运算律会使运算简便．
(2)要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子，以备约分或通分时用，可避免运算烦琐． (3)注意括号的“添”或“去”、“变大”与“变小”． (4)结果要化为最简分式．
强化练习，引导学生及时纠正在例题中出现的错误，进一步提高运算能力． 三、巩固练习
1．(1)x 2
x －1－x －1；(2)(1－2x ＋1)2÷x －1
x ＋1
；
(3)2ab （a －b ）（a －c ）＋2bc （a －b ）（c －a ）；(4)(1x －y ＋1x ＋y )÷xy x 2－y 2. 2．教材第142页第1，2题． 四、课堂小结
1．分式的混合运算法则是先算( )，再算( )，最后算( )，有括号先算( )里的．
2．一些题应用运算律、公式能简便运算． 五、布置作业
1．教材第146页习题15.2第6题．
2．先化简再求值1x ＋1－1x 2－1·x 2
－2x ＋1x ＋1
，其中x ＝2－1.
分式的混合运算是分式这一章的重点和难点，涉及到因式分解和通分这两个较难的知识点，可根据学生的具体情况，适当增加例题、习题，让学生熟练掌握分式的运算法则并提高运算能力．
15．2.3 整数指数幂
1．知道负整数指数幂a －n
＝1a n .(a≠0，n 是正整数)
2．掌握整数指数幂的运算性质．
3．会用科学记数法表示绝对值小于1的数．
重点:掌握整数指数幂的运算性质，会有科学记数法表示绝对值小于1的数． 难点:负整数指数幂的性质的理解和应用．
一、复习引入
1．回忆正整数指数幂的运算性质： (1)同底数的幂的乘法：a m
·a n
＝a
m ＋n
(m ，n 是正整数)；
(2)幂的乘方：(a m )n
＝a mn
(m ，n 是正整数)； (3)积的乘方：(ab)n
＝a n b n
(n 是正整数)； (4)同底数的幂的除法：a m
÷a n
＝a
m －n
(a≠0，m ，n 是正整数，m ＞n)；
(5)分式的乘方：(a b )n ＝a
n b n (n 是正整数)．
2．回忆0指数幂的规定，即当a≠0时，a 0
＝1. 二、探究新知
(一)1.计算当a≠0时，a 3
÷a 5
＝a 3
a 5＝a 3
a 3·a 2＝1a
2，再假设正整数指数幂的运算性质a m ÷a n ＝a m －n
(a≠0，m ，
n 是正整数，m ＞n)中的m ＞n 这个条件去掉，那么a 3÷a 5＝a
3－5
＝a －2.于是得到a －2
＝1a
2(a≠0)．
总结：负整数指数幂的运算性质：
一般的，我们规定：当n 是正整数时，a －n
＝1a n (a≠0)．
2．练习巩固： 填空：
(1)－22
＝________， (2)(－2)2
＝________， (3)(－2)0
＝________， (4)20
＝________， (5)2－3
＝________， (5)(－2)－3
＝________． 3．例1 (教材例9)计算：
(1)a －2
÷a 5
；(2)(b 3
a
2)－2；(3)(a －1b 2)3；(4)a －2b 2·(a 2b －2)－3
.
解：(1)a －2÷a 5＝a
－2－5
＝a －7
＝1a 7； (2)(b 3a 2)－2＝b －6a －4＝a 4b －6
＝a 4
b
6；
(3)(a －1b 2)3
＝a －3b 6
＝b 6
a 3； (4)a －2
b 2·(a 2b －2)－3＝a －2b 2·a －6b 6＝a －8b 8
＝b 8
a
8.
[分析] 本例题是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式．
4．练习：
计算：(1)(x 3y －2)2
；(2)x 2y －2
·(x －2
y)3
；(3)(3x 2y －2)2
÷(x －2
y)3
. 5．例2 判断下列等式是否正确？ (1)a m ÷a n ＝a m ·a －n
；(2)(a b
)n ＝a n b －n .
[分析] 类比负数的引入使减法转化为加法，得到负指数幂的引入可以使除法转化为幂的乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来，然后再判断等式是否正确．
(二)1.用科学记数法表示值较小的数
因为0.1＝110＝10－1
；0.01＝________＝________；
0．001＝________＝________……
所以0.000 025＝2.5×0.000 01＝2.5×10－5
.
我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10－n
的形式，其中n 是正整数，1≤|a|＜10.
2．例3(教材例10) 纳米是非常小的长度单位，1纳米＝10－9
米，把1纳米的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1立方毫米的空间可以放多少个1立方纳米的物体？(物体之间的间隙忽略不计)
[分析] 这是一个介绍纳米的应用题，是应用科学记数法表示小于1的数． 3．用科学记数法表示下列各数：
0．00 04，－0.034，0.000 000 45，0.003 009. 4．计算：
(1)(3×10－8
)×(4×103
)；(2)(2×10－3)2
÷(10－3)3
. 三、课堂小结
1．引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍然成立．
2．科学记数法不仅可以表示一个值大于10的数，也可以表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意a 必须满足1≤|a|＜10，其中n 是正整数．
四、布置作业
教材第147页习题15.2第7，8，9题．
本节课教学的主要内容是整数指数幂，将以前所学的有关知识进行了扩充．在本节的教学设计上，教师重点挖掘学生的潜在能力，让学生在课堂上通过观察、验证、探究等活动，加深对新知识的理解．
15．3 分式方程(2课时) 第1课时 分式方程的解法
1．理解分式方程的意义．
2．理解解分式方程的基本思路和解法．
3．理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法．
重点:解分式方程的基本思路和解法． 难点:理解解分式方程时可能无解的原因．
一、复习引入
问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 km /h ，它以最大航速沿江顺流航行90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？
[分析]设江水的流速为x 千米/时，根据题意，得9030＋v ＝60
30－v .①
方程①有何特点？
[概括]方程①中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程． 提问：你还能举出一个分式方程的例子吗？ 辨析：判断下列各式哪个是分式方程．
(1)x ＋y ＝5；(2)x ＋25＝2y －z 3；(3)1x ；(4)y x ＋5＝0；(5)1
x ＋2x ＝5.
根据定义可得：(1)(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程． 二、探究新知
1．思考：怎样解分式方程呢？
为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：
(1)回顾一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？ (2)有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？ [可先放手让学生自主探索，合作学习并进行总结] 方程①可以解答如下：
方程两边同乘以(30＋v)(30－v)，约去分母，得90(30－v)＝60(30＋v)． 解这个整式方程，得v ＝6. 所以江水的流度为6千米/时．
[概括]上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解．所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母．
2．例1 解方程：1x －5＝10
x 2－25
.②
解：方程两边同乘(x 2
－25)，约去分母，得x ＋5＝10.
解这个整式方程，得x ＝5.事实上，当x ＝5时，原分式方程左边和右边的分母(x －5)与(x 2
－25)都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x ＝5不是分式方程的根，应当舍去，所以原分式方程无解．
解分式方程的步骤：
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根．因此，在解分式方程时必须进行检验．
3．那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母)．方程①两边乘(30＋v)(30－v)，得到整式方程，它的解v ＝6.当v ＝6时，(30＋v)(30－v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同．
方程②两边乘(x －5)(x ＋5)，得到整式方程，它的解x ＝5.当x ＝5时，(x －5)(x ＋5)＝0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解．
4．验根的方法：
解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零．有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式(即最简公分母)，看它的值是否为零．如果为零，即为增根．
如例1中的x ＝5，代入x 2
－25＝0，可知x ＝5是原分式方程的增根． 三、举例分析
人教版八年级上册数学知识点汇总第十一章全等三角形 1．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等。 2．全等三角形的判定：三边相等(SSS)、两边和它们的夹角相等（SAS）、两角和它们的夹边（ASA）、两角和其中一角的对边对应相等（AAS）、斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。 3．角平分线的性质：角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等 4．角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。 5．证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 6．第十二章轴对称 1．如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。 2．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3．角平分线上的点到角两边距离相等。 4．线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
5．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 6．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 7．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 8．点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y） 点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y） 点（x,y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x,-y） 9．等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。 10．等腰三角形的判定：等角对等边。 11．等边三角形的三个内角相等，等于60°， 12．等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 有两个角是60°的三角形是等边三角形。 13．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 14．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 第十三章实数 ※算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作。0的算术平方根为0；从定
第十五章分式 教材分析 本章的主要内容包括：分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。 全章共包括三节： 15．1分式 15．2分式的运算 15．3分式方程 其中，15．1 节引进分式的概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分。11．2节讨论分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利。11．3节讨论分式方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。 分式是不同于整式的另一类有理式，是代数式中重要的基本概念；相应地，分式方程是一类有理方程，解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而，分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。
借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，这在本章学习中经常使用。解分式方程时，化归思想很有用，分式方程一般要先化为整式方程再求解，并且要注意检验是必不可少的步骤。 （二）本章知识结构框图 （三）课程学习目标 本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点： 1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。 2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则。 3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则。 4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系。 5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想。 （四）课时安排
八年级上册数学教案人教版(全册) 第十一章全等三角形 11.1 全等三角形 教学容 本节课主要介绍全等三角形的概念和性质． 教学目标 1．知识与技能 领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念． 2．过程与方法 经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角． 3．情感、态度与价值观 培养观察、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值． 重、难点与关键 1．重点：会确定全等三角形的对应元素． 2．难点：掌握找对应边、对应角的方法． 3．关键：找对应边、对应角有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，?两条对应边所夹的角是对应角．教具准备 四大小一样的纸片、直尺、剪刀． 教学方法 采用“直观──感悟”的教学方法，让学生自己举出形状、大小相同的实例，加深认识．教学过程 一、动手操作，导入课题
1．先在其中一纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 2．重新在一纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论． 【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形． 学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两纸，注意整个过程要细心． 【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示． 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做如下运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形会全等吗？ 【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等． 【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形，同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边． 【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流：（1）何时能完全重在一起？（2）此时它们的顶点、边、角有何特点？ 【交流讨论】通过同桌交流，实验得出下面结论： 1．任意放置时，并不一定完全重合，?只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合．2．这时它们的三个顶点、三条边和三个角分别重合了． 3．完全重合说明三条边对应相等，三个角对应相等，?对应顶点在相对应的位置． 【教师活动】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规． 1．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，?重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 2．证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，?如果本图11．1
第十一章三角形 一、知识框架： 二、知识概念： 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边. 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形 的高. 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间 的线段叫做三角形的角平分线. 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性. 7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对 角线. 11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用 多边形覆盖平面， 13.公式与性质： ⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180° ⑵三角形外角的性质： 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. n-·180° ⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2) ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°. n-条对角 ⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)
线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2 n n -条对角线. 第十二章 全等三角形 一、知识框架： 二、知识概念： 1.基本定义： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2.基本性质： ⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性. ⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3.全等三角形的判定定理： ⑴边边边（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等. 4.角平分线： ⑴画法： ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. ⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 5.证明的基本方法： ⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶 角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）
第十五章 分式 15．1分式 15.1.1从分数到分式 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 重点难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 一、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：，，，. 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间小时， 所以=. 3. 以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 二、例题讲解 P128例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 三、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, , , , ， 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 四、布置作业 课本P133习题15.1第1、2、3题 7 10a s 33 200s v v +20100v -2060v +20100v -2060v +20100v -2060a s s v x 7209y +54-m 238y y -91-x 1-m m 3 2 +-m m 112+-m m 4522--x x x x 235-+2 3+x x x 57+x x 3217-x x x --2 21
设计者：方礼花 使用班级：初二一班 姓名： 寄语： 同学们一定要努力，争取期末取得优异的成绩 ！ 第十一章 三角形 (共5页，每页61份) 一、知识框架： 二、知识概念： 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.（可以判断三边是否能够成三角形） 3.三角形的分类：按角可以分为三类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。按边可以分为两类：不等边三角形和等腰三角形。 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. （锐角三角形的高交于三角形内部一点，直角三角形交于直角顶点处，钝角三角形交于外部一点） 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.（三角形的中线将三角形的面积平均分成相等的两份） 其交点称为重心。 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.（在生活中运用于未安装好的窗户加一条木条） 7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 12.公式与性质： ⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180° ⑵三角形外角的性质： 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.（经常用于角度计算中） 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.（经常用于证明两个角度比较大小） ⑶多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180° ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°. ⑸多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2 n n -条对角线. （6）正多边形每个内角度数：用(2)n -·180°除以n,每个外角度数：360°除以n 。
15.3 分式方程 第1课时分式方程及其解法 【知识与技能】 1.理解分式方程的意义； 2.掌握解分式方程的基本思路和解法； 3.理解解分式方程可能无解的原因,掌握解分式方程的验根方法. 【过程与方法】 通过探索实际问题中的数量关系,体会分式方程的模型作用,在经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题,解决问题的能力,渗透转化的数学思想,培养学生的应用意识. 【情感态度】 在活动中培养学生乐于探索、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值. 【教学重点】 解分式方程的基本思路和解法. 【教学难点】 理解解分式方程可能无解的原因,及增根的含义. 一、情境导入,初步认识 问题一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少？ 【教学说明】让学生求出江水流速为v千米/时后,自主探究,获得方程.然后师生共同评析.教师讲课前,先让学生完成“自主预习”. 思考 (1)方程 9060 3030 v v = +- 与以往学过的方程有什么不同之处？ （2）什么叫分式方程？分式方程的特征是什么？ （3）怎样解分式方程 9060 3030 v v = +- 呢？ 【教学说明】教师提出问题后,学生自主探究,相互交流,得出相应结论.教师应关注学生的参与情况及解决问题的情形,适时予以点拨,最后师生共同评析. 二、思考探究,获取新知 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
解分式方程的基本思路是将分式方程运用去分母的方法化成为整式方程. 如：解方程90603030v v =+-. 解：在方程两边乘的最简公分母(30+v)（30-v ）,得 90(30-v)=60（30+v ）. 解得v=6. 检验：将v=6代入方程,左边=5/2=右边,所以v=6是原分式方程的解. 试一试 解方程2110525 x x =-- . 思考 上面两个分式方程中,为什么 90603030v v =+-去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解,而2110525 x x =--去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 【教学说明】教师提出问题后,学生先独立解决问题,然后在小组中提出自己的看法并讨论.在学生讨论时,教师可参与交流,鼓励学生勇于探索、实践,解释产生这一现象的原因,并让学生明白解分式方程时一定要验根. 【归纳结论】 一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此；解分式方程时必须检验.检验方法可以如下：将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；如果使最简公分母为0,则整式方程的解不是原分式方程的解,它是原分式方程增根,原分式方程无解. 三、典例精析,掌握新知 例1解方程233x x =- . 解：方程两边同乘以x(x-3),得 2x=3(x-3). 解得x=9. 检验：x=9时,x(x-3)=54≠0,∴x=9是原分式方程的解. 例2解方程() 31112x x x x -=--+（） . 解：方程两边同乘以（x-1）(x+2),得 x （x+2）-（x-1）(x+2)=3 化简,得x+2=3. 解得x=1.
八年级上册数学目录人教版 第十一章三角形 11.1与三角形有关的线段 信息技术应用画图找规律 11.2与三角形有关的角 阅读与思考为什么要证明 11.3多边形及其内角和 数学活动 小结 复习题11 第十二章全等三角形 12.1全等三角形 12.2三角形全等的判定 信息技术应用探究三角形全等的条件 12.3角的平分线的性质 数学活动 小结 复习题12 第十三章轴对称 13.1轴对称 13.2画轴对称图形
信息技术应用用轴对称进行图案设计 13.3等腰三角形 实验与探究三角形中边与角之间的不等关系13.4课题学习最短路径问题 数学活动 小结 复习题13 第十四章整式的乘法与因式分解 14.1整式的乘法 14.2乘法公式 阅读与思考杨辉三角 14.3因式分解 数学活动 小结 复习题14 第十五章分式 15.1分式 15.2分式的运算 阅读与思考容器中的水能倒完吧 15.3分式方程 数学活动 小结 复习题15
部分中英文词汇索引 如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫 做分式(fraction)。 分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 a^-n=1/a^n(a≠0)这就是说，a^-n(a≠0)是a^n的倒数。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个 解不是原分式方程的解。
第十一章全等三角形 11.1 全等三角形 教学内容 本节课主要介绍全等三角形的概念和性质． 教学目标 1．知识与技能 领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念． 2．过程与方法 经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角． 3．情感、态度与价值观 培养观察、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值． 重、难点与关键 1．重点：会确定全等三角形的对应元素． 2．难点：掌握找对应边、对应角的方法． 3．关键：找对应边、对应角有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，?两条对应边所夹的角是对应角．教具准备 四张大小一样的纸片、直尺、剪刀． 教学方法 采用“直观──感悟”的教学方法，让学生自己举出形状、大小相同的实例，加深认识．教学过程 一、动手操作，导入课题 1．先在其中一张纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 2．重新在一张纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论． 【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形． 学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两张纸，注意整个过程要细心． 【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示． 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做如下运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形会全等吗？ 【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等． 【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形，同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边． 【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流：（1）何时能完全重在一起？（2）此时它们的顶点、边、角有何特点？ 【交流讨论】通过同桌交流，实验得出下面结论： 1．任意放置时，并不一定完全重合，?只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合． 2．这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了． 3．完全重合说明三条边对应相等，三个内角对应相等，?对应顶点在相对应的位置． 【教师活动】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规范． 1．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，?重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 2．证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，?如果本图11．1─2△ABC和△DBC全等，点A和点D，点B和点B，点C和点C是对应顶点，?记作△ABC≌△DBC． 【问题提出】课本图11．1─1中，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？ 【学生活动】经过观察得到下面性质： 1．全等三角形对应边相等； 2．全等三角形对应角相等． 二、随堂练习，巩固深化 课本P4练习． 【探研时空】 1．如图1所示，△ACF≌△DBE，∠E=∠F，若AD=20cm，BC=8cm，你能求出线段AB的长吗？与同伴交流．（AB=6） 2．如图2所示，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°，求出△AEC各内角的度数．?（∠AEC=30°，∠EAC=65°，∠ECA=85°） 三、课堂总结，发展潜能 1．什么叫做全等三角形？ 2．全等三角形具有哪些性质？ 四、布置作业，专题突破 1．课本P4习题11．1第1，2，3，4题． 2．选用课时作业设计． 板书设计 把黑板分成左、中、右三部分，左边板书本节课概念，中间部分板书“思考”中的问题，右边部分板书学生的练习． 疑难解析 由于两个三角形的位置关系不同，在找对应边、对应角时，可以针对两个三角形不同的位置关系，寻找对应边、角的规律：（1）有公共边的，?公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）．
第十五章分式 本章的内容包括：分式、分式的运算、分式方程． 本章我们将类比分数学习分式，解一些分式方程，并学会解能化为一元一次方程的分式方程及利用分式的知识解决一些实际问题．在中考中，本章重点在考查分式有意义的条件、分式的化简与求值、分式方程及其应用． 【本章重点】 利用分式的基本性质进行约分和通分、分式的混合运算及列分式方程解决实际问题．【本章难点】 分式的混合运算及列分式方程解决实际问题． 【本章思想方法】 1．掌握类比思想．如：类比分数的概念及性质理解分式的概念及性质，类比分数的运算法则理解分式的运算法则．
2．掌握转化思想．如：把除法转化为乘法，把异分母分式加减法转化为同分母分式加减法，把分式方程转化为整式方程． 3．体会数学建模思想．如：在利用分式方程解决实际问题时，需根据实际问题建立数学模型，从而列出分式方程求解． 15．1分式2课时 15．2分式的运算5课时 15．3分式方程2课时
15．1分式 15．1.1从分数到分式(第1课时) 一、基本目标 【知识与技能】 1．理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式． 2．能够确定一个分式有意义、无意义的条件． 3．能用分式表示现实情境中的数量关系． 【过程与方法】 经历类比、探究的过程，理解分式的概念和分式有意义的条件，在此基础上，利用分式有意义的条件求分式中未知数的值． 【情感态度与价值观】 类比分数的概念理解分式的概念，养成类比思考的习惯，探究分式有意义的条件，形成缜密的思维方式． 二、重难点目标 【教学重点】 分式的概念及分式有意义、无意义的条件． 【教学难点】 利用分式有意义的条件求未知数的值．
八年级数学讲义 第11章 三角形 一、 三角形的概念 1． 三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接． 2．三角形的表示 △ABC 中，边：AB ，BC ，AC 或 c ，a ，b ． 顶点：A ，B ，C ． 内角：∠A ，∠B ，∠C ．． 二、 三角形的边 1. 三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法） (1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a (2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-ca 时,就可构成三角形. 1.2 确定三角形第三边的取值范围: 两边之差<第三边<两边之和. 2. 三角形的主要线段 2.1三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线. ①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点； ②直角三角形三条高线交于直角顶点； ③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点 2.2三角形的角平分线 三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 三条角平分线交于三角形内部一点. 2.3三角形的中线 连结三角形一个顶点与它对边中点 的线段叫做三角形的中线。 A C B A D
三角形的三条中线交于三角形内部一点. 三、三角形的角 1 三角形内角和定理 结论1：△ABC中：∠A+∠B+∠C=180°※三角形中至少有2个锐角 结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．※三角形中至多有1个钝角 注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B） ②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角． 如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数 2三角形外角和定理 2.1外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角． 2.2性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 2.3外角个数： 过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等）， 可见一个三角形共有6个外角 四、三角形的分类 (1) 按角分：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形 (2) 按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形 五多边形及其内角 1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。 3、多边形的对角线 (1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。 (2)n边形共有条对角线。 4、n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)。任意凸形多边形的外角和等于360° ※多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关. ※多边形最多有3个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）； ※多边形的外角中最多有3个钝角，最少没有钝角. 5、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。【考点三】判断三角形的形状 8、若△ABC的三边a、b、c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，试判断△ABC的形状。 9、已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断△ABC的形状。
第一单元 三角形 【知识归纳】 1. 三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角 形. 2. 三角形的分类 三角形(按角分) ?? ? ??钝角三角形直角三角形锐角三角形 三角形(按边分) ?????? ?) (等边三角形等腰三角形不等边三角形 3. 三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 4. 三角形的重要线段 ①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心 ②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心 ③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同) 5. 三角形具有稳定性 6. 三角形的内角和定理及性质 定理：三角形的内角和等于180°. 推论1：直角三角形的两个锐角互补。 推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。 推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 7. 多边形定义：在平面内，由不共线的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，组 成多边形的线段，叫做多边形的边，多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做外角． 8. 多边形按其组成图形的线段的条数分类，一个多边形由n 条线段构成，那么这个多边形 就叫做n 边形． 9. n 边形的内角和等于(n －2)·180°（n≥3的正整数） 10. 多边形的外角和恒为360°。 11. 正多边形：如果多边形的各内角都相等，各边也都相等，那就称它为正多边形. 12. 正多边形与镶嵌 可以进行镶嵌的条件是：一个顶点各个内角和是360°。 【同步练习】 一、选择题 1. 能把一个任意三角形分成面积相等的两个三角形的线段是三角形的（ ） A 、角平分线 B 、中线 C 、高 D 、两边中点连线 2. 如图，在ABC ?中，点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、CE 的中点，且2 4cm S ABC =△，则B E F S △的值为 。
第十五章分式 §15.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1.了解分式概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、教学过程 （一）让学生填写[思考]，学生自己依次填出：，，，. （二）问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间 小时，所以=. （三） 以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什 么相同点和不同点？ 可以发现，这些式子都像分数一样都是 （即A ÷B ）的形式.分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式子中的A 、B 都是整式，并且B 中都含有字母. [思考]引发学生思考分式的分母应满足什么条件，分式才有意义？由分数的分母不能为零，用类比的方法归纳出：分式的分母也不能为零.注意只有满足了分 式的分母不能为零这个条件，分式才有意义.即当B ≠0时，分式 才有意义. （四）例题讲解 例1. 当x 为何值时，分式 有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出字母x 的取值范围. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. （五）随堂练习 1.判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, , , , ， 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 7 10a s 33 200s v v +20100v -2060v +20100v -2060v +20100v -2060a s s v B A x 720 9y +5 4-m 2 38y y -9 1-x 1 -m m 32+-m m 112+-m m 4 5 22--x x x x 235-+2 3+x 2 31 2-+x x
新人教版八年级数学上册知识点总结（上）（含思维导图） 因式分解： 1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化. 2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”. 3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂. 5．因式分解的注意事项： （1）选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字； （2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性； （3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止； （4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正； （5）因式分解的最后结果要求加以整理； （6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式. 6．因式分解的解题技巧：
（2）提负号； （3）全变号； （4）换元； （5）配方； （6）把相同的式子看作整体； （7）灵活分组； （8）提取分数系数； （9）展开部分括号或全部括号； （10）拆项或补项. 3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.
4．分式的基本性质与应用： （1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变； （2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变； （3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单. 5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解. 6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.
新人教版八年级上册数学 知识点总结归纳 1 第十一章三角形 第十二章全等三角形 第十三章轴对称 第十四章整式乘法和因式分解 第十五章分式 第十一章三角形
1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 三角形用符号“?”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“?ABC”，读作“三角形ABC”。 5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）
把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 6、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。8、三角形的面积=2 1 ×底×高 多边形知识要点梳理 定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。 凸多边形 分类1： 凹多边形 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 分类2： 多边形 非正多边形： 1、n 边形的内角和等于180°（n-2）。 多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于360°。
八年级数学上册第十五章分式15.3分式方程教案（新版）新人教版 教学目标： 1．了解分式方程的概念和产生增根的原因. 2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 重点难点 1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 教学过程 一、例、习题的意图分析 1．P149思考提出问题，引发学生的思考，从而引出解分式方程的解法以及产生增根的原因. 2．P149的归纳明确地总结了解分式方程的基本思路和做法. 3．P150思考提出问题，为什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就是原方程的解，而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的解，引出分析产生增根的原因，及P151的归纳出检验增根的方法. 4．P150思考归纳出检验增根的方法的理论根据是什么？ 5．教材P154习题第2题是含有字母系数的分式方程，对于学有余力的学生，教师可以点拨一下解题的思路与解数字系数的方程相似，只是在系数化1时，要考虑字母系数不为0,才能除以这个系数. 这种方程的解必须验根. 二、课堂引入 1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程163242=--+x x . 2．提出本章引言的问题： 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v 千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程v v -=+206020100. 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 三、例题讲解 （P151）例1.解方程x x 332=-. [分析]找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化为整式方程，整式方程的解
第十六章 分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 16.1.2分式的基本性质 16．2分式的运算 16．2．1分式的乘除(一) 16．2．1分式的乘除(二) 16．2．1分式的乘除(三) 16．2．2分式的加减（一） 16．2．2分式的加减（二） 16．2．3整数指数幂 16．3分式方程(一) 16．3分式方程(二) 第十六章 分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200，s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60千米所用时间v -2060小时， 所以v +20100=v -2060.
3. 以上的式子v +20100，v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 七、课后练习 1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？ (1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时. （2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时. (3)x 与y 的差于4的商是 . 2．当x 取何值时，分式 无意义？ 3. 当x 为何值时，分式 的值为0？ 八、答案： 六、1.整式：9x+4, 209y +, 54-m 分式： x 7 , 2 38y y -，91-x 2．(1）x ≠-2 （2）x ≠ （3）x ≠±2 3．（1）x=-7 （2）x=0 (3)x=-1 七、1．18x, ,a+b, b a s +,4y x -; 整式：8x, a+b, 4y x -; 分式：x 80, b a s + 2． X = 3. x=-1 1-m m 3 2+-m m 112 +-m m 45 2--x x x x 235 -+2 3 +x x x 57+x x 3217-x x x --221x 80 2 3 3 2 x x x --212 31 -+x x