第二章 推理与证明 1
一、合情推理
2 12→??→?、归纳推理：个别一般（结论不一定正确）、类比推理：特殊特殊 3
例1、推导等差数列通项公式。 4
解： 5
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8
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33332123________.n ++++=例、求 10
解： 11
12
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15 16
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二、演绎推理
20 ()()()()123??→???大前提：M 是P 三段论小前提：S 是M
一般特殊结论正确结论：S 是P 21
例：“自然数是整数，4是自然数，所以4是整数”。
22 233243123(1)n a a d a a d a a d a a n d =+??=+??=+↓???=+-??个别一般32332333233332221111293123=36=++
11+2+3++(123)(1)4n n n n ?==??+==??++↓????=+++
+=+??特殊（123）一般
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三、直接证明
27 1→→、综合法：条件结论
2、分析法：结论条件
28 (
)(
),,,0,+=+,12,a b c d a b c d ab cd a b c d >>>-<->例：设且证明：
若若
29 (
)221,,,a b c d a b c d ab cd ab cd ab cd ?>??>??+>+?+=+>??>??>>?证明：只要证，即，分析法因为所以只要证，只要证因为成立. 30 (
)22222,()()()4()4,a b c d a b c d a b ab c d cd a b c d ab cd ?-<--<-?+-<+-??+=+>??>?若，
即，
综合法因为所以，
由（1 31
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四、间接证明 33
反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，34
因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。 35
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210.x m n x mn x m x n ++≠≠≠例、若-()，则且
38 2==0x m x n x m x n x m x n x m n x mn x m x n ≠≠--++≠∴≠≠证：假设且不成立，
则且，
所以()()=0与-()矛盾,
故假设不成立，
且成立.
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22例、证明是无理数. 46 2222222222=,
=24,
2,
2q p q p
p q q q q k k p k p k p p p q ∴=∴∴∴=∴=∴∴∴证明：假设是有理数，则（、互质的整数）,2是偶数，
是偶数，
可设（为整数）,
2是偶数，
也是偶数，
与、互质矛盾，则假设不成立，
是无理数. 47
五、数学归纳法
48 *00*0()=(,)1n an n N n k k n k N n k ∈≥∈=+步骤：①：（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立.
②：（归纳递推）假设时命题成立,证明当时命题成立. 49
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例1、 51
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例2、59
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