课 题
二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质
教 学 目 的
1．使学生掌握用描点法画出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象。
2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．让学生经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质。
重 难 点
1、重点：用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。
2、难点：理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的性质以及它的对称轴是x ＝－b
2a 、顶点坐
标是(－b 2a ，4ac －b
2
4a
) 是教学的难点。 教 学 内 容
【知识梳理】
复习引入：
1、同学们能说出二次函数()2
y a x h k =-+ y ＝a(x —h)2
k ax y +=2
和2ax y =的图像之间的关系吗？
请对比填写下表
y ＝ax 2
y ＝ax 2＋k
y ＝a (x -h)2
y ＝a (x －h)2＋k
开口方向
顶点 对称轴
最值 增减性
（对称轴右
侧）
它们之间的关系也可用下图示来表描述
向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位
向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位
向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位
向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位
向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位
向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位
y=a (x-h )2+k
y=a (x-h )2
y=ax 2+k
y=ax 2
2、同学们能说出函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ (函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口向下，对称轴为直线x ＝2，顶点坐标是(2，1)
3、那么对于函数122
+--=x x y ，你能回答下列问题吗？
（1）二次函数122
+--=x x y 的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？ （2）函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？
解题思路：把122
+--=x x y 化为()2
y a x h k =-+的形式。
122+--=x x y =[][]
2)1(2)1(2)12()12(2222+--=-+-=-++-=-+-x x x x x x
在2)1(2
+--=x y 中，h 、k 分别是什么？从而可以确定它是由什么函数的图像经怎样的平移得到的？ 下面我们来探索二次函数一般形式c bx ax y ++=2
的图像特征
1、问题：对于二次函数y=ax2+bx+c （ a ≠0 ）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？ 我们可仿照上例，通过配方将y=ax2+bx+c 转化为()2
y a x h k =-+的形式 ，推到过程如下
222222
2()()()224()24y ax bx c b c
a x x a a
b
b b
c a x x a a a a b ac b a x a a
=++=+
+??=++-+??
?
?-=++
对比二次函数()k h x a y +-=2
的形式，可知a
b a
c k a b h 4422
-=-=，. 由此可见函数c bx ax y ++=2的图像与函数2
ax y =的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移
得到。二次函数2
y ax bx c =++的图象是抛物线，其顶点坐标是（2b
a -， 244ac
b a
-），对称轴是平行于y 轴的一条
直线2b x a
=-
．由此我们可以由2ax y =的性质类比探讨得到二次函数2
y ax bx c =++的性质：（见下表）
二次函数2
y ax bx c =++的性质： 顶点坐标 24(,)24b ac b a a
--，是抛物线最高（或最低）点 对称轴
直线2b
x a
=-
函数最值
若a >0，当2b
x a
=-
时，y 最小值
=2
44ac b a
-． 若a <0，当2b x a
=-时， y 最大值244ac b a
-． 增减性
若a>0，当2b
x a
≤-
时，y 随x 的增大而
减小；当2b
x a
>-
时，y 随x 的增大而增大．
若a<0，当2b x a
≤-时，y 随x 的增大而增大； 当2b
x a
>-
时，y 随x 的增大而减小．
至此，我们从特殊到一般共探讨了2ax y = k ax y +=2 y ＝a(x —h)
2
()
2
y a x h k
=-+ 和
2y ax bx c =++五类二次函数的图像和性质，下面我们从一般形式入手，来探讨二次函数2y ax bx c =++的图象与各
项系数之间的关系。
二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．
⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．
总结起来， a 的正负决定了开口方向，a 的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，
当0b >时，02b
a
-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b
a
-
=，即抛物线的对称轴就是y 轴；
当0b <时，02b
a
-
>，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b
a
->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b
a
-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b
a
-
<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．
ab 的符号的判定：对称轴a
b
x 2-
=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0 ⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的！ 【典例分析】 例1． 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 (1)y ＝3x 2 ＋2x ； (2)y ＝－x 2－2x (3)y ＝－2x 2 ＋8x －8 (4)y ＝12 x 2 －4x ＋3 例2．把一般式2 286y x x =-+-化为顶点式． （1）写出其开口方向、对称轴和顶点D 的坐标． （2）分别求出它与y 轴的交点C 、和x 轴的交点A 、B 的坐标，并画出函数的图象． （3）说出它的图象与抛物线2 2y x =-的位置关系． （4）描述它的最值和增减性． （5）当x 取何值时，y <0？ （6）当03x <≤时，y 取值如何？ 【变式】求二次函数y ＝mx 2 ＋2mx ＋3(m ＞0)的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质 例3．过特殊位置的抛物线： 对于抛物线2 y ax bx c =++， （1）若顶点是原点，则 （2）若经过原点，则 （3）若顶点在y 轴上，则 （4）若顶点在x 轴上，则 （5）若经过（1，0）点，则 （6） 若经过（－1，0）点，则 例4．用描点法画出122 12 -+= x x y 的图像. （1）顶点坐标为 ； （2）列表：顶点坐标填在 ；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．） （3）描点，并连线： （4）观察：①图象有最 点，即x = 时，y 有最 值是 ； ②x 时，y 随x 的增大而增大；x 时y 随x 的增大而减小。 ③该抛物线与y 轴交于点 。 ④该抛物线与x 轴有 个交点. 三、合作交流 求出122 12 -+= x x y 顶点的横坐标2-=x 后，可以用哪些方法计算顶点的纵坐标？计算并比较。 例5 函数b ax y +=与c bx ax y ++=2 的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ） A 、0,0>>c ab B 、0,0> C 、0,0<>c ab D 、0,0< 【变式一】二次函数y=ax 2 +bx+c 与一次函数y=ax+c ，它们在同一直角坐标系中的图象大致是( ) x … … 12212 -+= x x y … x y -1-2-3-4-5-6-7123-1 -2-3-4 1 23456 O 【变式二】二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图，则直线bc ax y +=的图象不经过第 象限. 随堂测试 1、抛物线2 23y x x =--的顶点坐标是 ，对称轴是 ． 2、若二次函数22 21y ax x a =++-（0a ≠）的图象如图所示，则a 的值是 ． x y O 3、二次函数2 2y x bx c =++的顶点坐标是（1，－2），则b = ，c = ． 4、通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 (1)y ＝23x ＋2x ； (2)y ＝－2x －2x (3)y ＝－22x ＋8x －8 (4)y ＝1 22x －4x ＋3 5、用顶点坐标公式和配方法求二次函数y ＝1 2 x 2－2－1的顶点坐标． 6．二次函数y ＝－x 2＋mx 中，当x ＝3时，函数值最大，求其最大值． 【课后强化练习】 一、选择题 1. 将二次函数223y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，结果为（ ）． A ．2 (1)4y x =++ B ．2 (1)4y x =-+ C ．2 (1)2y x =++ D ．2 (1)2y x =-+ 2．已知二次函数2 y ax bx c =++的图象，如图所示，则下列结论正确的是（ ）． A ．0a > B ．0c < C ．240b ac -< D ．0a b c ++> 3．若二次函数25y x bx =++配方后为2(2)y x k =-+，则b 、k 的值分别为（ ）． A ．0，5 B ．0，1 C ．-4，5 D ．-4，1 4．抛物线2y x bx c =++的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式 为223y x x =--，则b 、c 的值为（ ）． A .b=2，c=2 B . b=2，c=0 C . b= -2，c= -1 D . b= -3，c=2 5．已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+c 的值( ) A. 等于0 B.等于1 C. 等于-1 D. 不能确定 二、填空题 7．二次函数2241y x x =--的最小值是________． 8．已知二次函数22y ax ax c =-+，当x ＝-1时，函数y 的值为4，那么当x ＝3时，函数y 的值为________． 9．二次函数2y x bx c =++的图象经过A(-1，0)、B(3，0)两点，其顶点坐标是________． 10．二次函数23y x mx =-+的图象与x 轴的交点如图所示．根据图中信息可得到m 的值是________． 第10题 第11题 11．如图二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y 轴交于负半轴 第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是___ ； 第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是___ __. 12．已知二次函数y=x 2 -2x-3的图象与x 轴交于点A 、B 两点，在x 轴上方的抛物线上有一点C ，且△ABC 的面积等于10，则C 点的坐标为__ __. 三、解答题 13．（1）用配方法把二次函数2 43y x x =-+变成2 ()y x h k =-+的形式； （2）在直角坐标系中画出243y x x =-+的图象； （3）若11(,)A x y ，22(,)B x y 是函数2 43y x x =-+图象上的两点，且121x x <<， 请比较1y 、2y 的大小关系． 14. 如图所示，抛物线254y ax ax a =-+与x 轴相交于点A 、B ，且过点C （5，4）． （1）求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标； （2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式． 15.已知抛物线215322 y x x =- --： (1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)画函数图象，并根据图象说出x 取何值时，y 随x 的增大而增大？x 取何值时，y 随x 的增大而减小？函数y 有 最大值还是最小值？最值为多少？ 私 塾 国 际 学 府 学 科 教 师 讲 义 讲义编号： 副校长/组长签字： 签字日期： 学 员 编 号 ： 年 级 ：初三 课 时 数 ：3 学 员 姓 名 ： 辅 导 科 目 ：数学 学 科 教 师 ： 课 题 待定系数法求解析式（本次课放在《用函数观点看一元二次方程》后） 授课日期及时段 教 学 目 的 1.能根据已知条件选择合适的二次函数解析式； 2.会用待定系数法求二次函数的解析式。 重 难 点 二次函数解析式的灵活选用 教 学 内 容 待定系数法求解析式 ●复习引入 1.已知一次函数b kx y +=（k ≠0）经过点A(-1,2)和点B(2,5),求该一次函数的解析式。 分析：要求出函数解析式，需求出b k ,的值，因为有两个待定系数，所以需要知道两个点的坐标，列出关于b k ,的二元一次方程组即可。 解： 2. 已知一个二次函数的图象过（1，5）、（1,1--）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。 分析：如何设函数解析式？顶点式还是一般式？答： ；所设解析式中有 个待定系数，它们分别是 ，所以一般需要 个点的坐标；请你写出完整的解题过程。 解： 由上可知，同求一次函数解析式一样，求一个二次函数的解析式，就是确定2y ax bx c =++中各项的系数a 、b 、c 的值。 常见二次函数解析式有以下几种形式 ： (1)一般式：2 y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (2)顶点式：2 ()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)； (3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下： 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2 y ax bx c =++或2 ()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 注意：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式： ① 当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++； ② 当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+； ③ 已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--． 【典型例题分析】 例1． 已知：抛物线2y ax bx c =++经过A （0，5-），B （1，3-），C （1-，11-）三点，求它的顶点坐标及对称轴． 例2、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(1 4)A -，，且过点(30)B ，. （1）求该二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的 另一个交点的坐标. 例3、已知二次函数图象的顶点是(1 2)-，，且过点302?? ??? ，． （1）求二次函数的表达式； （2）求证：对任意实数m ，点2 ()M m m -，都不在这个二次函数的图象上. 例4、已知一抛物线与x 轴的交点是)0,2(-A ，B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标. 例5、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表： 则该二次函数的解析式为 ． 例6、抛物线过(－1，－1)点，它的对称轴是直线x ＋2＝0，且在x 轴上截得线段的长度为,22求抛物线的解析式． 例7、已知：抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于C 点，顶点为M ，直线CM 的解析式为2y x =-+，并且线段CM 的长为22，求此抛物线的解析式． 例8 已知：抛物线y=x 2 +bx+c 与直线y=-x-1有唯一的公共点P ，并且P 点在y 轴上，试求b 、c. 例9．把抛物线y ＝(x －1)2 沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3，0)，求平移后的抛物线的解析式． 例10．二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的最大值等于－3a ，且它的图象经过(－1，－2)，(1，6)两点，求二次函数的解析式． 【随堂测试】 1．抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 过(0，4)，(1，3)，(－1，4)三点，求抛物线的解析式． 2．．抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的顶点为(2，4)，且过(1，2)点，求抛物线的解析式． 3．抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式 4．二次函数y ＝x 2 ＋bx ＋c 的图象过点A (－2，5)，且当x ＝2时，y ＝－3，求这个二次函数的解析式，并判断点B (0，3)是否在这个函数的图象上． 5．抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式． 【课后作业】 一、选择题 1. 二次函数的图象经过点A(0，0)，B(-1，-11)，C(1，9)三点，则它的解析式为( )． A ．210y x x =+ B ．210y x x =-- C ．210y x x =- D ．2 10y x x =-+ 2．二次函数2 25y x x =+-有( ) A ．最小值-5 B ．最大值-5 C ．最小值-6 D ．最大值-6 3．把抛物线y=3x 2 先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（ ） A . y=3(x －3)2+2 B .y=3(x+3)2+2 C .y=3(x －3)2－2 D . y=3(x+3)2 －2 4．如图所示，已知抛物线y ＝2 x bx c ++的对称轴为x ＝2，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为(0，3)，则点B 的坐标为 ( ) A.(2，3) B.(3，2) C.(3，3) D.(4，3) 5．将函数2y x x =+的图象向右平移a(a ＞0)个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．若二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表： x -7 -6 -5 -4 -3 -2 Y -27 -13 -3 3 5 3 则当x ＝1时，y 的值为 ( ) A ．5 B ．-3 C ．-13 D ．-27 二、填空题 7．抛物线2y x bx c =-++的图象如图所示，则此抛物线的解析式为____ ____． 第7题 第10题 8．已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1，-2)，则这个二次函数的关系式为 ． 9．已知抛物线2 22y x x =-++．该抛物线的对称轴是________，顶点坐标________； 10．如图所示已知二次函数2 y x bx c =++的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范 围是____ ____． 11．已知二次函数2 y ax bx c =++ (a ≠0)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表： x (3) 2- -1 12- 0 12 1 32 … y … 54- -2 94- -2 54 - 0 74 … 则该二次函数的解析式为_____ ___． 12．已知抛物线2 y ax bx c =++的顶点坐标为(3，-2)，且与x 轴两交点间的距离为4，则抛物线的解析式为 _________________________． 三、解答题 13．根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式． (1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)； (2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点； (3)已知抛物线与x 轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)． 14．如图，已知直线y＝-2x+2分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，求过A、B、C三点的抛物线的解析式． § 3.4一元二次函数的图象和性质 1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。 １.函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3．任何一个二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点 式:a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=, 性质如下: (1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线a b x 2-=。 （2)最大（小）值 ① 当0>a ,函数图象开口向上,y 有最小值，a b ac y 442 min -=，无最大值。 ② 当0>a ,函数图象开口向下,y 有最大值,a b a c y 442max -=,无最小值。 （３）当0>a ，函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数，在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0 二次函数的图象和性质 教学目标 1、知道二次函数的意义； 2、会用描点法画出二次函数的图象； 3、掌握二次函数的两种表达形式：一般式和顶点式. 会用配方法将一般式转化为顶点式； 4、能利用图象或通过配方确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置和最值； 5、会根据已知条件求出二次函数的解析式. 知识讲解 1、二次函数的一般形式为y＝ax2＋bx＋c (a、b、c是常数，a≠0)其特点是：解析式是自变量的整式表达式，自变量最高次数是二次，二次项系数必须不为零。当b＝c＝0时，就是一个特殊的二次函数y＝ax2(a≠0)，我们首先学习的就是这类最简单的二次函数，y＝ax2的图象是一条顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线.当a>0时抛物线开口向上，函数有最小值当x＝0时，最小值是0；当a<0时，抛物线的开口向下，函数有最大值当x＝0时，最大值是0。 2、二次函数的顶点式为y＝a(x－h)2＋k (a≠0)，顶点的坐标为(h，k)，对称轴为x＝h，当 a>0时，抛物线开口向上，此时，当x＝h时y有最小值为k；当a<0时，抛物线开口向下，此时当x＝h时y有最大值k.。 例题讲解 例3、根据下列条件，分别求二次函数的解析式： ⑴顶点为(2，3)，图象经过点(0，1) ⑵当x＝4时，函数有最小值－3，且图象经过点(1，0) ⑶对称轴为x＝2，图象经过(1，4)，(5，0) ⑷形状与y＝3x2相同，当x＝－1时，y有最大值2 巩固练习： 1．二次函数y=2x 2－4x+3通过配方化为顶点式为y=______． 2．将函数y=－2x 2 +8x －7，写成y=a （x －h ）2 +k 的形式为_______，其顶点坐标是______，对称轴是_______． 3．已知抛物线y=x 2－6x+5的部分图象如图1，则抛物线的对称轴为直线x=_______．?满足y<0的x 的取值范围是________，将抛物线y=x 2－6x+5向________平移______?个单位，可得到抛物线y=x 2 －6x+9． 4．老师给出一个二次函数,甲,乙,丙三位同学各指出这个函数的一个性质： 甲：函数的图像经过第一、二、四象限；乙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小． 丙：函数的图像与坐标轴．．． 只有两个交点． 已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数___________________． 5．不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的值恒大于0的条件是 ． 6．如图，如果抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，? 与y 轴交于C 点，且OB=OC= 12 OA ，那么b= _______________． 7．以下画抛物线y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的步骤，顺序正确的是（ ） ①利用函数的对称性列表；②确定抛物线的开口方向；③描点画图；?④将y=ax 2+bx+c 配方成y=a （x －h ）2+k 的形式 A ．③②①④ B ．④②①③ C ．②④①③ D ．③②④① 8．把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2－3x+5，则有（ ） A ．b=3，c=7 B ．b=－9，c=－15 C ．b=3，c=3 D ．b=－9，c=21 9．抛物线y=ax 2 +bx+c 的图象如图2，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a> 12 ；④b<1．其中正确的结论是（ ） A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④ 10．满足a<0，b>0，c=0的函数y=ax 2 +bx+c 的图象是图中的（ ） 《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师：同学们，我们上一节课一起研究了二次函数的表达式，那么我们一起来回忆一下表达式是什么？ 学生齐答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a不为0) 教师：好，那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. （学生表现很踊跃，一下写出了十多个） 教师：黑板上这些二次函数大致有几个类型？ 学生：（讨论了3分钟）四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师：太棒了！同学们归纳的很好，今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质！ 教师在学生板书的函数中选了四个，并把复杂的系数换成简单的常数，找到如下函数：y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材！) 教师启发学生利用函数中的“列表，描点，连线”的方法，把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组，一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”，兴趣很大，合作交流充分，课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求，开始了探究之旅. 教师：请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗？ 学生；不一样. 教师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾） 学生:开口不一样. 学生A：走向不一样. 学生B：经过的象限不一样. 学生C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方. 教师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路，这是明智的） 学生：是由二次项系数的取值确定的. 教师：好了，根据同学们的回答，能得到图象或函数的那些结论？（顺水推舟，放手让学生一搏） 热烈讨论后，学生D回答并板书，当a>0时，图象在原点的上方，当a<0时，图象在原点的下方。 学生E:当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! （这个过程约用了十多分时间，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受了这几个学生的板书，但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢？短暂停顿后，教师确定了思路） 教师：刚才你们是研究图象的性质，你们能否由图象性质得出相应的函数的性质？ 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师：请看同学们的板书，能揣摩图象“走向”的意思吗？ 学生：（七嘴八舌）当a>0时，图象从左上向下走到原点后在向右上爬；当a<0时，图象从左下向上爬到原点后在向右下走（未出现教师所预期的结论） 教师：好，你们从图象的直观形象来理解的图象性质，很贴切，你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗？ 第二章二次函数 1.二次函数所描述的关系 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：学生在之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念，对一次函数、反比例函数的相关知识如：各种变量、函数的一般形式、图像、增减性等知识有一定基础，相关应用也较常见，学生在学二次函数前具备了一定函数方面的基础知识、基本技能。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些解决实际问题活动，感受到了函数反映的是变化过程，并可通过列表、解析式、图像了解变化过程，对各种函数的表达方法的特点有所了解，获得了探究学习新函数知识的基础；同时在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 本课的具体学习任务：本节课要学习的内容是二次函数所描述的关系，重点是通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系，并能利用尝试求值的方法解决实际问题．让学生通过 分析实际问题(探究橙子的数量与橙子树之间的关系)，从学生感兴趣的问题入手，并广泛联系多学科问题，使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值．在教学中，让学生通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。 教学目标 (一)知识与技能 1．探索并归纳二次函数的定义． 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系． (二)过程与方法 1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系． 2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系． 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题． (三)情感态度与价值观 1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用． 3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识． 第二节 二次函数的图像与性质 1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2，y=a(x-h)2 ，y ＝a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 ，y ＝-x 2 ，y ＝2x 2 ，y ＝-2x 2 ，y ＝2（x-1）2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y ＝ax 2 的性质： 2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减） 3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减） 4. y＝a (x－h)2＋k的性质： 5. y＝ax2+bx+c的性质： 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左 加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 六、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 龙文教育学科导学 教师:学生:年级：日期: 星期: 时段: 学情分析二次函数部分内容中考难度不大，所以本套教案注重于基础知识的准确掌握。 课题二次函数的图像与性质 学习目标与考点分析学习目标：1、理解二次函数的概念；会识别最基本的二次函数并利用二次函数的概念求解析式中的未知数； 2、熟练的画出各种抛物线的图像，根据解析式的变化判断图像的平移方法； 3、熟练的选用合适的解析式利用待定系数法求解析式。 学习重点图像的平移；待定系数法求解析式 学习方法讲练结合、师生讨论、启发引导 学习内容与过程 教学内容： 知识回顾 1.一般地，形如y=ax2 +bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中，x 是自变量， a，b，c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项. 2.二次函数的解析式及其对称轴 （1）二次函数解析式的一般式（通式）：，它的顶点坐标为（，），对称轴为；（2）二次函数解析式的顶点式（通式）：，顶点坐标为（，）对称轴是；（3）二次函数解析式的交 点式：。此时抛物线的对称轴为。其中，（x 1,0）（x 2 ,0）是抛 物线与X轴的交点坐标。显然，与X轴没有交点的抛物线不能用此解析式表示的 3.二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质 4.二次函数的平移问题 5. 二次函数y=ax2 +bx+c中a，b，c的符号与图像性质的关系： 6.抛物线y=ax2+bx+c与X轴的交点个数与一元二次方程的根的判别式△的符号之间的的关系 二次函数的常规解法： 一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时，可选用y＝ax2+bx+c(a≠0)求解。我们称y＝ax2+bx+c(a≠0)为一般式（三点式）。 例：二次函数图象经过A(1，3)、B(-1，5)、C(2，-1)三点，求此二次函数的解析式。 说明：因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。所以将已知三点的坐标分别代入y＝ax2+bx+c (a≠0)构成三元一次方程组，解方程组得a、b、c的值，即可求二次函数解析式。 二、若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时，可选用y＝a（x＋m）2+k (a≠0)求解。我们称y ＝a（x＋m）2+k (a≠0)为顶点式（配方式）。 例：若二次函数图像的顶点坐标为（－2,3），且过点（－3,5）,求此二次函数的解析式。 说明：由于顶点式中要确定a、m、k的值，而已知顶点坐标即已知了－m、k的值。用顶点式只要确定a的值就可以求二次函数解析式。若已知这两点的坐标用一般式来解是不能确定a、b、c的值的，不妨让学生尝试一下加深印象。 三、若已知二次函数与X轴的交点坐标是A(x1,0) 、B(x2,0)时, 可选用y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)求解。我们称y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)为双根式（交点式）。 例：已知一个二次函数的图象经过点A（－1，0）、B（3，0）和C（0，－3）三点，求此二次函数的解析式。 说明：很多同学看到此例会想到使用一般式来解，将已知三点的坐标分别代入去求a、b、c的值来求此二次函数的解析式。往往忽略A、B两点的坐标就是二次函数图象与x轴的交点坐标，而用双根式来求解就相对比较简单容易。 四、若已知二次函数在X轴上截得的线段长为d时，可选用 或 例：抛物线y＝2x2-mx-6在X轴截锝线段长为4，求此二次函数的解析式。 说明：对于此例主要让学生明白这两种二次函数解析式中线段长d的推导过程，记住公式套进去就行了。注意相互之间不要混淆。 总之，要求一个二次函数的解析式，可以根据不同的已知条件选择恰当的解题方法，使计算过程简单化，达到迅速解题的目的。当然，也只有在平时的练习中对基本解法的适用情况做到心中有数，才能在具体的问题中结合图形及二次函数的相关性质择优选取适当的解法，提高解题能力。 二次函数的概念 如果y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)，那么y叫做x的二次函数 注意：二次函数的表达形式为整式，且二次项系数不为0，b ，c可分别为0，也可同时为0 自变量的取值范围是全体实数 练习： §2.2.2 二次函数的性质与图象（教案） 一、教学目标 1、知识目标 （1）使学生掌握研究二次函数的一般方法——配方法 （2）进一步掌握二次函数2(0) =++≠的性质及图象的画法。 y ax bx c a 2、能力目标 （1）培养学生的观察分析能力，引导学生学会用数形结合的方法研究问题； （2）培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力。 3、情感目标 （1）通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲； （2）通过合作学习，培养学生团结协作的思想品质。 二、教学重点、难点 运用配方法研究二次函数的性质。 三、教学方法 采用“问题引导——合作探究”的教学方式，通过创设一个个问题情境，引导和激发学生对知识进行思考、探索，从而完成新知识的建构，用学案提高课堂效益，用多媒体辅助教学，以增强直观性。 四、教学过程 1、问题引入 问题1：二次函数的定义，二次函数的图象是一条抛物线。 2、研究函数2(0) y ax a =≠的性质 请同学们拿出预习时所做的8个二次函数图象，对照图象填写下表。 函数2 y ax =的性质 目的：由特殊到一般，同时为配方法打下基础。 3、配方法的引入 问题2：（1）函数2(1)(0)y a x a =-≠的图象可看作是函数2y ax =的图象怎样变换得到？平移后哪些性质将会发生改变？哪些性质没变？ （2）函数2(1)2(0)y a x a =-+≠的图象可看作是函数2y ax =的图象怎样变换得到？ 将2(1)2y a x =-+展开得2222y ax ax a =-++即二次函数的一般形式了。 因此要研究一般形式的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象及性质，我们可想法化为 2(1)y a x k =-+形式，那采用方法是： 配方法 4、实例演练 例1：（1）研究二次函数21()462 f x x x =++的性质和图象； （2）研究二次函数2()43f x x x =--+的性质和图象 先研究第一题 （1）配方：21()462 f x x x =++2211(8)6[(4)16]62 2 x x x =++=+-+ 21 (4)22 x =+- 图象开口方向向上，顶点（-4，-2） 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。 4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对 称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质： 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ；开口向上；在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移；当0>k 时向下平移。 （2）抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移；当0一元二次函数的图像和性质
二次函数的图象和性质
二次函数的图像及性质
二次函数的性质与图像
二次函数的图像与性质知识点及练习
初三二次函数的图像与性质
高中数学《二次函数的性质与图象》教案
二次函数图像与性质总结
二次函数的图像和性质总结