第一章 静电场
一、选择题（每题三分）
1） 将一个试验电荷Q （正电荷）放在带有正电荷的大导体附近P 点处，测得它所受力为F ，若考虑到电量Q 不是足够小，则：（）
A 、F/Q 比P 点处原先的场强数值大 C 、F/Q 等于原先P 点处场强的数值
B 、F/Q 比P 点处原先的场强数值小 D 、F/Q 与P 点处场强数值关系无法确定 答案（B ）
·P
+Q
2） 图中所示为一沿X 轴放置的无限长分段均匀带电直线，电荷线密度分别为+
λ（X<0）和一个-λ（X>0），则OXY 坐标平面上点（0，
a ）处的场强E
为（ ）
A 、0
B 、a 2i 0πελ
C 、a 4i 0πελ
D 、a )j i (0πε+λ
3) 图中所示曲线表示球对称或轴对称静电场的某一物理量随径向距离r 变化的关系，请指出该曲线可描述下面那方面内容（E 为电场强
度的大小，U
为静电势）（）
A 、半径为R 的无限长均匀带电圆柱体电场的E-r 关系 C 、半径为R 的均匀带正电球体电场的U-r 关系
B 、半径为R 的无限长均匀带电圆柱面电场的E-r 关系 D 、半径为R 的均匀带正电球面电场的U-r 关系答案（B ）
4） 有两个点电荷电量都是+q ，相距
2a,今以左边的点电荷为球心，以
a 为半径作一球形高斯面，在球面上取两块相等的小面积1S 和 2S 的电场强度通量分别为1?和 2?，通过整个球面的电场强度通量为3?，则（）
5） 已知一高斯面所包围的体积内电量代数和0=∑i
q ，则可肯定（）
A 、高斯面上各点场强均为零 C 、穿过整个高斯面的电通量为零
B 、穿过高斯面上每一面元的电通量为零 D 、以上说法都不对 答案（
C ） 6） 两个同心带电球面，半径分别为)(,b a b a R R R R <，所带电量分别为b a Q Q ,。设某点与球心相距r,当b a R r R <<时，该点的
电场强度的大小为（）
A 、
2b a 0r Q Q 41
+?πε B 、
2b a 0r Q Q 41
-?πε C 、)R Q r Q (412b
b 2a 0+?πε D 、2a 0r Q 41
?πε 答案（D ）
7） 如图所示，一个带电量为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量为（） A 、
06q
ε B 、
012q
ε C 、
024q ε D 、
48q
ε 答案（C ）
8） 半径为R 的均匀带电球面，若其电荷密度为σ，则在距离球面R 处的电场强度为（）
A 、
0εσ B 、
02εσ
C 、
04εσ
D 、
8εσ
答案（C ）
9） 高斯定理??ερ=?v
s dV S d E （）
A 、适用于任何静电场 C 、只适用于具有球对称性，轴对称性和平面对称性的静电场
B 、只适用于真空中的静电场 D 、只适用于虽然不具有(C)中所述的对称性，但可以找到合适的高斯面的静电场 答案（B ） 10) 关于高斯定理的理解正确的是（）
A 、 如果高斯面上处处E
为零，则该面内必无电荷 C 、如果高斯面内有许多电荷，则通过高斯面的电通量必不为零
B 、 如果高斯面内无电荷，则高斯面上处处E
为零 D 、如果高斯面的电通量为零，则高斯面内电荷代数和必为零
答案（D ） 11) 如图两同心的均匀带电球面，内球面半径为1R ，电量1Q ，外球面半径为2R ，电量2Q
大小E 为（） A 、
2
02
1r 4Q Q πε
+ B 、
+πε2
101R 4Q 22
02
R 4Q πε C 、
2
01
r 4Q πε D 、0 答案（D ）
12）若均匀电场的场强为E
，其方向平行于半径为R 的半球面的轴，则通过此半球面的电通量Φ为（）
13） 下列说法正确的是（）
A 、 闭合曲面上各点场强为零时，面内必没有电荷 C 、闭合曲面的电通量为零时，面上各点场强必为零
B 、 闭合曲面内总电量为零时，面上各点场强必为零 D 、通过闭合曲面的电通量仅决定于面内电荷 答案（D ）
14) 在空间有一非均匀电场，其电力线分布如图，在电场中作一半径为R 的闭合球面S ，已知通过球面上某一面元S ?的电场线通量为
e ?Φ，则通过该球面其余部分的电场强度通量为（）
A 、e ?Φ-
B 、
e S r ?Φ??24π C 、e S
S
r ?Φ???-24π D 、0 答案（15) 在电荷为q +的电场中，若取图中点P 处为电势零点，则M 点的电势为（）
16）下列说法正确的是（）
A 、 带正电的物体的电势一定是正的 C 、带负电的物体的电势一定是负的
B 、 电势等于零的物体一定不带电 D 、物体电势的正负总相对电势参考点而言的 答案（D ）
17) 在点电荷q 的电场中，选取以q 为中心，R 为半径的球面上一点P 处作电势零点，则与点电荷q 距离为r 的P ‘
点电势为（）
A 、
r 4q 0πε B 、)R 1r 1(4q 0-πε C 、)R r (4q 0-πε D 、)R
1
r 1(4q 0-πε-
答案（B ）
18) 半径为R 的均匀带电球面，总电量为Q ，设无穷远处的电势为零，则球内距球心为r 的P 强度和 电势为（） A 、E=0, U=
r 4Q 0πε B 、 E=0, U=R 4Q 0πε C 、E=
2r 4Q
0πε. U=
r 4Q 0πε D 、E=
2
r 4Q
0πε答案（B ）
19) 有N 个电量为q 布，比较在这两种情况下在通过圆心O 并垂直与圆心的Z 轴上任意点P 的 场强与电势，则有（） A 、场强相等，电势相等B 、场强不相等，电势不相等C 、场强分量z E 相等，电势相等D 、场强分量z E 相等，电势不相等
答案（C ）
20）在边长为a 正方体中心处放置一电量为Q 的点电荷，设无穷远处为电势零点，则在一个侧面的中心处的电势为（）
A 、
a 4Q 0πε B 、R 2Q 0πε C 、R Q
0πε D 、R
22Q 0πε答案（B ）
21）如图两个同心的均匀带电球面，内球面半径为1R ，电量1Q ，外球面半径为2R ，电量2Q 电势U 为（）
A 、E R 2
π B 、E R 22π C 、E R 22
1
π D 、E R 22π
E 、2
2
E
R
π 答案（A ）
A 、
a 4q 0πε B 、
a
8q 0πε C 、a 4q 0πε-
D 、a
8q
0πε- 答案（D ）
A 、
r
4Q Q 021πε+ B 、
101R 4Q πε+
2
02
R 4Q πε C 、0 D 、
1
01R 4Q πε 答案（B ）
22） 真空中一半径为R 的球面均匀带电为Q ，，在球心处有一带电量为q 的点电荷，如图设无穷远处为电势零点，则在球内离球心O 距离
为r 的P 点处的电势为（） A 、
r
4Q
0πε B 、
)R Q r q (410+πε C 、r 4q Q 0πε+ D 、)R
q
Q r q (410-+πε 答案（B ）
23）当带电球面上总的带电量不变，而电荷的分布作任意改变时，这些电荷在球心出产生的电场强度E
和电势U 将（）
A 、E
不变，
U 不变 B 、E 不变，U 改变 C 、E 改变 ，U 不变 D 、E
改变，U 也改变 答案（C ）
24） 真空中有一电量为Q 的点电荷，在与它相距为r 的A 点处有一检验电荷q,现使检验电荷q 从A 点沿半圆弧轨道运动到B 点，如图则
电场场力做功为（）
A 、q 2r r 4Q 220?π?πε
B 、rq 2r 4Q 20?πε
C 、rq r
4Q
2
0π?πε D 、0 答案（D ） 25） 两块面积为S 的金属板A 和B 彼此平行放置，板间距离为d （d 远远小于板的线度），设A 板带电量1q , B 板带电量2q ,则A,B 板间
的电势差为（） A 、
S
2q q 02
1ε+ B 、
d S 4q q 021?ε+ C 、d S 2q q 021?ε- D 、d S
4q q 02
1?ε- 答案（C
）
26） 图中实线为某电场中电力线，虚线表示等势（位）面，由图可以看出（）
A 、c E >>b a E E c U >>b a U U C 、c E >>b a E E c U <
B 、c E <
E E c U <>b a U U 答案（A ）
27） 面积为S 的空气平行板电容器，极板上分别带电量为q ±，若不考虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为（）
A 、
S q 02
ε- B 、S 2q 02
ε- C 、
202S 2q ε D 、
2
02
S q ε 答案（B ）
28）长直细线均匀带电。电荷线密度为η±，一条过B 点且垂直y 轴，一条过O 点且平行于X 轴，OB=2a,A 为OB 的中点，则A E
的大小和
方向为（） A 、0 B 、
a
20πεη，y 轴正向 C 角 答案（C ）
29A 、 D 、 答案（D 30） 电量为Q ，半径为A R 的金属球A ，放在内外半径为B R 和C R 的金属球壳内，若用导线连接A,B ，设无穷远处0=∞U ，则A 球的
电势为（）
A 、
C
R 4Q 0πε B 、
A
R 4Q 0πε C 、
B
R 4Q 0πε D 、
)R 1
R 1(4Q C
B 0-πε
答案（A ）
31）正方体四个顶角上分别放有电量为,q 2,q 2,q ,q -+-+的点电荷，正方形的边长为b ，则中心处O 的
场强大小与方向为（）
二、 填空题
1、A ，B 为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度大小为0E ，两平面外侧电场强度大小都为E 0
，方
向如图，则A ，B 两平面上的电荷密度分别为=σA
，=σB
答案：
3
40
0E ε 3
20
0E ε-
2、由一根绝缘细线围成的边长为L 的正方形线框，今使它均匀带电，其电荷线密度为λ，则在正方形中心处的电场强度大小E=
答案：0
3、两根相互平行的“无限长”均匀带正电直线1、2相距为d ，其电荷线密度分别为21λλ和
的距离为：
答案：
2
11d λ+λλ
4、带电量均为+q 的两个点电荷分别位于X 轴上的+a 和-a
的位置，如图则Y 轴上各点电场强度的表示式为=E
（方向单位矢量
为y j ）场强最大的位置在Y=
答案：2
3
220)y a (4j
qy 2+πε ，2
a ± 5、一半径为R 的带有一缺口的细圆环，缺口长为d （d< 如图所示，则圆心O 处的场强大小E= 答案： 3 0220R 8qd )d R 2(R 4qd επ≈ -ππε 6、一半径为R 长为L 的均匀带电圆柱面，其单位长度带电量为λ。在带电圆柱的中垂面有一点P ，它到轴距离为r(r>R),则P 点的电场强 度大小，当r< r 20πελ 7、半径为R 的半球面置于场强为E 答案：E R 2 π 8、 如图在边长为a 的正方形平面的中垂线上，距中点 a 2 1 答案： 6q ε 9、一半径为R 的均匀带电球面，其电荷面密度为σ，该球面内外场强分布（r 表示从球心引出的矢径）=)r (E （r =)r (E （r>R ） 答案：0；3 02r r R εσ 10、一半径为R 的无限长均匀带电圆柱面，其电荷面密度为σ，该柱面内外场强分布（r 表示在垂直于圆柱面的平面 上，从轴线引出的 矢径）=)r (E （r 2 0r r R εσ 11、带电量分别为1q 和2q 的两个点电荷单独在空间各点产生的静电场强分别为1E 和2E ，空间各点总场强为21E E E += ，现在 作一封闭曲面S 如图，遇以下两式可分别求出通过S 的电通量?=?dS E 1 ；? =?dS E 答案： 1q ε；02 1q q ε+ 12、一半径为R 的均匀带电圆盘，其电荷面密度为σ O 点的电势U 0= 答案： 2R εσ 13、在静电场中，一质子（带电量为 e=C 119 -10 ?.6）沿四分之一圆弧轨道从A 点移到B 点（如图）电场力作功J 15-10?8.0，则 当质子沿四分之三的圆弧轨道从B 点回到A 点时，电场力作功A= ；设A 点电势为零，B 点电势U = 答案：J 15 -10 ?8.0-，V 410?5- 14、图中所示为静电场中的电力线图，若将一负电荷从a 点经任意路径移到b 点，电场力作正功还 是负功 ；a,b 两点哪一点电势高 答案：负功；a 点高 15、一电子和一质子相距m 10 -10?2（两者静止）；将此两粒子分开到无究远距离时（两者仍静止）需要最小能量是 答案：7.2ev 16、在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等于零，?=?L 0L d E ，这表明静电场中电力线 答案：不能闭合 17、如图在半径为R 的球壳上均匀带电量Q 一点电荷q(q< ???? ? ?-πε20 r 1R 14Qq 18、一无限长均匀带电的空心圆柱体，内半径为a,外半径为b,电荷 体密度为ρ，若作一半径为r(a 22 a r L -ρπ 19、空气平行板电容器的两极板面积均为S ，两板相距很近，电荷在平板上的分布可以认为是均匀的，设两极板带电量分别为Q ±，则 两板间相互吸引力为 答案：S 2Q 02 ε 20、一半径为R 的均匀带电细圆，带电量Q ，水平放置，在圆环轴线的上方离圆心R 处有一质量为m,带电量为q 的小球从静止下落到 圆心位置时，它的速度为V= 答案：2 10211R m 2Qq gR 2?? ? ?? ???? ??-επ- 21、若静电场的某个区域电势等于恒量，则该区域的电场强度分布是 ;若电势随空间坐标作线性变化，则该区域的场强分布 答案：处处为零；均匀分布 22、图中所示为静电场的等势（位）线图，已知U 1>U 2>U 3,，在图上画出a,b 两点的电场强度方向，并比较它们的大小 答案：E a >E b 23、在电量为q 的点电荷的静电场中，若选取与点电荷距离为r 0的一点为电势零点，则与点电荷距离 为r 处的电势U= 答案： ???? ? ?-πε00 r 1r 14q 24、图示BCD 是以O 点为圆心，以R 为半径的半圆弧，在A 点有一电量为+q 的点电荷，O 点有一电量为- q 的点电荷，线段R AB =， 现将一单位电荷从B 点沿半圆弧轨道BCD 移到D 点，则电场力所作功的大小为 答案： R 6q 0πε 三、 计算题 1、 有一电子射入一电场强度是C /N 0153 ?的均匀电场，电场方向是竖直向上，电子初速度是s /m 017 ，与水平线所夹的入射角 为300（忽略重力），（1）求该电子上升的最大高度；（2）此电子返到其原来高度时水平射程 （10分） 解：（1）电子所受的电场力：E e F -=（1分） 其加速度m E e m F a -==（1分） 当电子上升到最大高度时：V ⊥=0（1分） ∴V ⊥2=（V 0sin300）2=2ah （1分） ()()()()分分1m 104.110 5106.12101.95.010 ) 1(eE 2m 30sin V a 230sin V h 2 3 1931 2 7 2 00 2 00 ---?=???????= = = ∴ （2）电子从上升到返回到原来高度时共用时间： ()()() ()()() 分米分水平射程 分秒分11079.91013.1866.0101t 30cos V t V S 11013.1105106.1101.9104.122 2eE hm 22 a h 22 t 2870001183 1931 2------?=???===?=???????=== 2、 电子所带电量（基本电荷-e ）最先是由密立根通过油滴实验测出的，其实验装置如图所示。一个很小的带电油滴在电场E 内，调节 E 的大小，使作用在油滴上的电场力与油滴的质量平衡。如果油滴的半径为cm 0164.14 -?，平衡时E=C /N 0 192.15 ?，油 的密度为0。851g/cm 3,求油滴上的电荷 （7分） 解：没油滴的电量为Q ，体密度为ρ，半径为R （设油滴所带电量为体分布），这时的电场力和重力分别为F 和P （2分） 由F=P 得：（1分） EQ=mg= g R 3 4 3ρπ(2分) () ()分11092.138 .910851.0106.14E 3g R 4Q 5 33 63??????π=ρπ=∴- ()()分库11002.819-?= 3、 一半径为R 的均匀带电圆环，电荷总量为q.（1）求轴线上离环中心O 为x 处的场强E ；（2）求O 点及x>>R 处的场强以及最大场 强值及其位置；（3）定性地画出E-x 曲线 （15分） 解：（1）如图所示，圆环上任一电荷无dq 在P 点产生的场强为： ()分2r 4dq dE 2 0πε= 根据对称性分析，整个圆环在距圆心x 处P 点产生的场强， 方向沿x 轴，大小为 ()( ) () 分分1R r 4xq r 4xq dq r 4x 2r x r dq 41cos dE E 2 3 2203 03020+πε=πε=?πε=???πε= α= （2）求E 的极值： O 点的场强x=0,E 0=0 (1分) () () (), 2 R 2x 12R x 20dx R x 4qx d dx dE 22 23220±===??????? ??? +πξ= 即分得分由（1分） 在距圆心左右两侧 2 R 2处的场强最大。其值为E max = 2 0R 36q πε(1分) （3）E-x 曲线如图所示 4、 线电荷 密度为η的无限长均匀带电线，弯成图中形状，设圆弧半径为R ，试求O 点的场强 （10分） 解： 在O 点建立坐标系，如图所示：A ∞半无限长直导线在O 点产生的场强1E ()()()分2i ?R 4j ?R 4dy i ?y R 4R j ?y R 4y E 00023 2202 32201πεηπεηπεηπεη +-=??? ?????+++-=?∞ 同理：B ∞半无限长直导线在O 点产生的场强2E ： )2(i ? R 4j ?R 4E 002分πεη-πεη= ⌒ AB 弧在O 点产生的场强为： ()()()()分分分弧弧1j ? i ?R 41E E E E 2i ? R 4j ?R 4E 0AB 2100ΑΒ+πεη= ++=∴πεη+πεη= () ()( ) ()()() 分分分分弧弧10E E E E 2i ? R 4E 2j ?i ?R 4E 2j ?i ?R 4E ΑΒ210ΑΒ0201=++=∴πεη= +-πεη = --πεη = 5、 无限长带电圆柱面的面电荷密度由下式表示：,cos 0?σ=σ，式中?为过z 轴和任意母线的平面与x 轴的夹角，试求圆柱轴线 上的场强 （8分） 解：设该圆柱的横截面半径为R ，无限长直带电线在空间一点产生的场强E= r 20πεη ，得出（2分）带电圆柱面上宽度为()φ=Rd dL 的无限长带电线在轴线一点产生的场强为： ()() () () ()分分分） 分2i ?21d j ?sin i ?cos 2cos E 1(d j ?sin i ?cos 2cos 2R ?Rd R 2cos R ?R 2E d 0 0200 000000εσφφφπεφσφφφπεφσφεπφσεπηπ-=+-=∴+-=-=- =? 6、 一对无限长的共轴直圆筒，半径分别为R 1和R 2，筒面上都均匀带电，沿轴线单位长度的电量分别为1η和2η。（1）求名区域内的 场强分布；（2）若1η= -2η,则场强的分布情况又如何？画出E-x 曲线 （15分） 解：如图（a ）所示，将空间分成1，2，3三区域 （1） 1区域内（r ()分20E 1= 2区域（R 1 ()分分） 分） 2r ?r 2E 1(h h r 2E 1(q s d E 01 20 s 0 πεη=εη= ?π??ε=? 当1η>0时，2E 的方向与r ?方向一致 当1η<0时，2E 的方向与r ?方向相反（1分） 3区域（r ＞R 2）: ()分2r ?r 2E 02 13πεη+η= 当21η+η>0时，3E 的方向与r ?方向一致 当21 η+η<0时，3E 的方向与r ?方向相反 （2） 若21 η-=η时，则1E ，2E 不变（1分） 21η+η=0 0E 3=∴ （1分） E-r 曲线如图： 7、 在一半径为a ，电荷密度为ρ的均匀带电球体中，挖去一半径为c 的球形空腔。空腔中心O 1相对于带电球体中心O 的位置矢径用b 表示。试证明空腔内的电场是匀强电场，即E=03/b ξρ （10分） 解：求空腔内任一点P 的场强挖去体密度为ρ的小球，相当于不挖，而在同一位置处，放一体密度为-ρ的小球产生的场强的叠加（1分）；佃别以O ，O`为中心，过P 点作球面S 1和S 2为高斯面，则 31002 11S r 34dv 1r 4E S d E 1επ= ?ρε=π=? （2分） ()分2r 3E 10 1 ερ= 同理得：()分2r 3E 20 2 ερ-= P 点场强()()分3b 3r r 3E E E 0 21021 ερερ=-=+= 8、 面的电通量。若以半球面如图所示，匀强电场的场强E 与半径为R 的半球面的轴线平行，试计算过此半球的边线为边，另作一个任 意形状的曲面，通过引面的电通量为多少？ （8分） 解：S 1面的通量：如图设与场强垂直的圆平面为S 0，S 1和S 2组成一闭合曲面，其包围电荷0q i =∑，利用高斯定理得：（1分） () ()() ()() 分同理分分分分1E R 1E R 2E R S d E 102S d E S d E S d E 2s s 2s s 2 s s s s s s s s 012010 010101 π=Φ-=Φπ=Φ-=Φ∴π-==ΦΦ-=Φ∴=Φ+Φ=+=???????? 9、 半径为R 的带电球，其体密度()R /r 10-ρ=ρ，0ρ为常量，r 为球内任意点至球心的距离。试求（1）球内外的场强分布；（2） 最大场强的位置与大小 （13分） 解：（1）()R /r 10-ρ=ρ ，ρ与r 是线性关系，在球内过P 0点做一个半径为r 的带电球同心的球面为高斯面如图，根据对称 性分析此球面上的场强大小相等，方向与r 的一致（1分） 由高斯定理： ()()() 分分分分内内内14313344) 1(3441141000302 3020 020 ?? ? ??-=∴? ?? ??-=∴?? ? ??-=??? ?? -===??? ??R r r E R r r E r R r r dr r R r q E r S d E q S d E r ερεπρππρπρπε 当r>R 时，即在球外过任一眯P 仍作球形高斯面（1分） 由高斯定理： ()() ()()() ()分分分分分分内外外外外 19R E 1R 32 r 10R 2r 313dr dE ) 2(1r 12R E R 31E r 41R 31dr r 4R r 1q 1E r 4S d E 0 0max 02 03 03 00 2 303R 002ερερερπρεππρπρπ==∴=??? ??-==∴=∴=?? ? ?? -==??? r 越大，外E 单调减小，因而球外场无极值（1分） 10、半径为R 的无限长直圆柱体均匀带电，体密度为ρ，试求场强分布，并画出E-r 曲线 解：分别过圆柱体内外一点P 0，P 作如图（a ）所示的高斯面，由高斯定理可得：（10分） R r ≤时， () ()()分分分内内内12r E 1l r 2rlE 2S d E 0 00 2ερερππ=∴==?? ； R r ≥时， ()()分分外外外1r 2R E 2l R rlE 2S d E 02 00 2ερερππ= ∴= =?? 场强的方向均为径向（1分） E-r 曲线如图（b ）(2分) 11、一电量为q=C 10 5.18 -?的点电荷，试问；（1）电势为30V 的等势面的半径为多大？（2）电势差为1。0V 的任意两个等势 面， 其半径之差是否相同？设0U =∞ （8分） 解：（1）选无限远为电位参考点，据点电荷电位公式 ()分得1r 4q U 0πε= ()) 1(5.430 105.1109) 1(U 4q r 1109.84105.1308 9012 8 分米分分=???= πε=∴??π??=--- （2）没半径差为r ?，则r 2=r 1=r ?(1分) 根据电位差公式得： ()()()()()() 分分分伏分1r 4q r r 1q r 4q r 41r 1q 4r r r r 0.1U 1r r 1r 14q U 1 2 1 2 1 010011110 -πε= ?∴πε=???? ??πε-?πε= ?+?∴ =??? ? ???+-πε= 从上式看出，当r 1取不同值时，r ?值不等（1分） 12、电荷Q 均匀分布在半径为R 球体内，试求球内外的电势 （12分） 证明：利用高斯定理求得球内外任一点的场强 )2(r 4Q E );2(R 4Qr E 2 030分分外内πεπε== 离球心r 处（ r ()())3(r 4Q dr r 14Q U R r )2(r R 3R 8Q R 4Q r R R 8Q )3(r dr 4Q rdr R 4Q L d E L d E U 02 r 02 23 002230Rr 2 0R r 3 0R R r 分处证毕分分外内πεπεπεπεπεπεπε==>-=+-= + = +=??? ??∞ ∞ ∞ 13、 如图所示，电量q 均匀地分布在长为2L 的细直线上，试求空间任意一点P （x,y ）的电势；再由此求出延长线上和中垂线上任意 一点电势。 （12分） 解：（1）在图中：()22y l x r +-= ，带电线元dl 在P 点的电位： () 分）2(y l x dl L 8q du 2 2 0+-?πε= 整个带电线在P 点的电位： ()() ()()分）（分） （1y L x L x y L x L x ln L 8q 2y L x L x ln L 8q y L x dL L 8q U 2 22 2 L L 2 2 0L L 2 20+-+ -++++πε= ??????+-+ -πε-?=+-πε=-- （2）当P 点在其延长线上，距O 为x (即 P(x,0))处 ()() 分） （2L x L x ln L 8q L x L x L x L x ln L 8q U 02 2 0-+= -+ -+++= πεπε 当P 点在直线中垂面上，离中心O 为y （即P （0，y ））处 分） （2y L L y L L ln L 8q U 2 2 220++-++= πε 14、如图所示，半径为R 1和R 2的两个同心球面均匀带电，电量分别为Q 1和Q 2。（1）试求区域1，2，3中的电势；（2）讨论Q 1=-Q 2和 Q 2=-Q 1R 2/R 1两种情况下各区域中的电势，并画出U-r 曲线 （14分） 解：（1）利用高斯定理求出： ()()()分）（2R r r ?r 4Q Q E ;R r R r ?r 4Q E ;R r 0E 22 02 1321201211>πε+=<<πε= <= 电位分布： ()分）（2R r r 4Q Q dr r 4Q Q L d E U 2r 0212 02 1r 33≥?πε+=πε+=?=∞∞ 分） （2R 4Q r 4Q U 2 02 012πεπε+ = ()分）（2R r R Q R Q 41L d E L d E L d E U 122110R r 3R R 2R 311 2 1 2 ≤??? ? ??+=++=???∞ πε 当Q 2=-Q 1时：U 3=0；分）（2R 1R 14Q U ;R 1r 14Q U 21 01120 1 2???? ??-πε =???? ??-πε= 当Q 2=- 1 2 R R Q 1时：()分）（20 U ;R 1r 14Q U ;r R 4R R Q U 110 1 2101213 =???? ? ?-πε=πε-- = 在此两种情况下的U-r 曲线如图 （2分） 15、半径为R 的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ。以轴线为电位参考点，求其电位分布 （10分） 解：用高斯定理求出场强的分布： r ?2r E ;r ?r 2R E 0 02ερερ==内外 （4分） 以轴线为电位参考点得 ()()分）（分）外内内4R r 1r R ln 24R r R ln 2R 4R dr r 2R 4R U 2(R r 4r dr 2r r d E U 02 R r 02 02 02 02 2 r 0r 0≥?? ? ??-=+-=+- =≤- ===???ερερερερερερερ 16、电荷Q 均匀分布在半径为R 的球体内，设无究远处为电势零点，试证明离球心r(r 3 02 2R 8r R 3Q πε- （10分） 证明：半径为r 处的电势应以r 为半径的球面以内的电荷在该处产生的电势1U 和球面外电荷产生的电势2U 的叠加，即U=1U +2U ， 球面内电荷产生的电势 1U =()分4R 4Qr r 4R r Q r 4q 3 02033 01πε=πε=πε 球面外电荷产生的电势，在球面外取dr r r +'→'的薄球层，其上电量 r d r R Q 3r d r 43 R 4Q dq 232 3 ''='=ππ 它对该薄层内任一点产生的电势为 () ()()() ()分分分）（2R 8r R 3Q R 8r R Q 3R 4Qr U U U 2R 8r R Q 3r d r R 4Q 3U d U 2r d r R 4Q 3r 4dq dU 3 02 23022302213 022R r 30223 002πε-=πε-+πε=+=πε-=?''πε=?=''πε='πε= 若根据电势定义?=L d E U 直接算出同样给分 17、一电荷面密度为σ，的“无限大”平面，在距平面a 米远处的一点场强大小的一半是由平面 上的一个半径为R 的圆面积范围内的电 荷所产生的，试求该圆半径的大小 （10分） 解：电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面在任意点场强大小为()分22E 0 εσ = 图中O 点为圆心，取半径为dr r r +→的环形面积，其电量为()分2rdr 2dq πσ= 它在距离平面为a 的一点处产生的场强() 2 3220r a 2ardr dE +εσ= （2分） 则半径为R 的圆面积内的电荷在该点的场强为 ()()() 分得到令由题意分2a 3R ,4E ,2R a a 12r a rdr 2a E 0 2 20R 023220==??? ??+-=+= ?εσ εσεσ 18、一高为h 的直解形光滑斜面，斜面倾角为α。在直角顶点A 处有一电量为-q 的点电荷，另有一质量为m 带电量+q 的小球在斜面的顶 点B 由静止下滑。设小球可看作质点，试求小球到达斜面底部C 点时的速率 （5分） 解：因重力和电场力都是保守力，小球从顶点B 到达C 点过程中能量守恒 ()()()分分2gh 21tg mh 2q 3hctg 4q m 21mgh h 4q 2 1 02 022 02?? ? ? ??+-απε=υ∴α πε- υ=+πε- 19、一带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度为φλ=λsin 0，式中0λ为一常数，φ为半径R 与X 轴所成的夹角，如图所示， 试求环心O 处的电场强度 解：在φ处取电荷元，其电量为dq=λdl=0λRsin φd φ 它在O 点产生的场强为()分2R 4d sin R 4dq dE 002 0πεφφλ=πε= 在X 、Y 轴上的二个分量()()分分1sin dE dE ,1cos dE dE y x φ-=φ-= 对名分量分别求和 ()()() 分分分2j R 8j E i E E 2R 8d sin R 4E 20d cos sin R 4E 00y x 00 200y 0 00x ελελφφπελφφφπελππ -=+=∴-=-==- =?? 20、如图所示，在电矩为P 的电偶极子的电场中，将一电量为q 的点电荷从A 点沿半径为R 的圆弧（圆心与电偶极子中心重合，R 大于 电偶极子正负电荷之间距离）移到B 点，求此过程中电场力所作的功。 （10分） 解：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势3 r p U ?= 式中r 为从电偶极子中心到场点的矢径（5分） 于是知A 、B 两点电势分别为 ()()()()分为与路径无关电场力作功移到从5R 2qp U U q A B A q p p R 4p U R 4p U 2 0B A 2 0B 2 0A πε- =-==πε= πε-= 21、假如静电场中某一部分的电力线的形状是以O 点为中心的同心圆弧，如图所示。试证明：该部分上每点的电场强度的大小都应与该点 到O 点的距离成反比 （5分） 证：由任意两条同心圆弧作扇形小环路abcda 。设1E 和2E 分别为ab 和cd 段路径的场强，bc 和da 段路径与场强方向垂直（2分） 第二章 静电场中的导体和电介质 一、 选择题 1、 一带正电荷的物体M ，靠近一不带电的金属导体N ，N 的左端感应出负电荷，右端感应出正电荷。若将N 的左端接地，则： A 、 N 上的负电荷入地。 B 、N 上的正电荷入地。 C 、N 上的电荷不动。 D 、N 上所有电荷都入地 答案：B 2、 有一接地的金属球，用一弹簧吊起，金属球原来不带电。若在它的下方放置一电量为q 的点电荷，则： A 、只有当q>0时，金属球才能下移 B 、只有当q<0是，金属球才下移 C 、无论q 是正是负金属球都下移 D 、无论q 是正是负金属球都不动 答案：C 3、 一“无限大”均匀带电平面A ，其附近放一与它平行的有一定厚度的“无限大”平面导体板B ，已知A 上的电荷密度为σ+，则在导 体板B 的两个表面1和2上的感应电荷面密度为： A 、σσσσ+=-=21, B 、σσσσ2 1 ,2121 +=-= C 、σσσσ2 1 ,2121 -=-= D 、0,21 =-=σσσ 答案：B 4、 半径分别为R 和r 的两个金属球，相距很远。用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电。在忽略导线的影响下，两球表面的电 荷面密度之比 r R σσ为： A 、r R B 、2 2 r R C 、2 2 R r D 、R r 答案：D 5、 一厚度为d 的“无限大”均匀带电导体板，电荷面密度为σ，则板的两侧离板距离均为h 的两点a, b 之间的电势差为（） A 、零 B 、 2εσ C 、 0εσh D 、0 2εσh 答案：A 6、 一电荷面密度为σ的带电大导体平板，置于电场强度为0E （0E 指向右边）的均匀外电场中，并使板面垂直于0E 的方向，设外电 场不因带电平板的引入而受干扰，则板的附近左右两侧的全场强为（） A 、0000 2,2εσεσ+- E E B 、0000 2,2εσ εσ++ E E C 、0 000 2,2εσεσ-+ E E D 、0 000 2,2εσεσ-- E E 答案：A 7、 A ，B 为两导体大平板，面积均为S ，平行放置，A 板带电荷+Q 1，B 板带电荷+Q 2，如果使B 板接地，则AB 间电场强度的大 小E 为（） A 、 S Q 01 2ε B 、 S Q Q 0212ε- C 、 S Q 01ε D 、 S Q Q 0212ε+ 答案：C 8、带电时为q 1的导体A 移近中性导体B ，在B 的近端出现感应电荷q 2,远端出现感应电荷q 3,这时B 表面附近P 点的场强为n E ?0 εσ= ，问E 是谁的贡献？（） A 、只是q 1的贡献 B 、只是q 2和q 3的贡献 C 、只是q 1，q 2,q 3的总贡献 D 、只是P 点附近面元上电荷的贡献 答案：C 9、 三块互相平行的导体板，相互之间的距离d 1和d 2比板面积线度小得多， 外面二板用导线连接，中间板上带电，设左右两面上电荷面 密度分别为，如图所示，则比值21 σσ为（） A 、2 1 d d B 、 1 2 d d C 、1 D 、2 22 2d d 答案：B 10、有两个带电不等的金属球，直径相等，但一个是空心，一个是实心，现使它们互相接触，则这两个金属球上的电荷（） A 、不变化 B 、平均分配 C 、空心球电量多 D 、实心球电量多 答案：B 11、一带负电荷的金属球，外面同心地罩一不带电的金属球壳，则在球壳中一点P 处的场强大小与电势（设无穷远处为电势零点）分别为 （） A 、E=0，U>0 B 、E=0,U<0 C 、E=0，U=0 D 、E>0,U<0 答案：B 12、一半径为R 的簿金属球壳，带电量为-Q ，设无穷远处电势为零，，则在球壳内各点的电势U I 可表示为（） A 、R Q K U i -< B 、R Q K U i -= C 、R Q K U i -> D 、0<<-i U R Q K 答案：B 13、一均匀带电球体，总电量为+Q ，其外部同心地罩一内、外半径分别为r 1,r 2的金属球壳，设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势为（） A 、r Q U r Q E 02 04,4πεπε== B 、1 04,0r Q U E πε= = C 、r Q U E 04,0πε== D 、2 04,0r Q U E πε= = 答案：D 14、平板电容器充电后断开电源，场强为E 0，现充满相对介电常数为r ε的电介质，则其极化强度为（） A 、0011E r ???? ??- εε B 、011E r ???? ??-ε C 、0011E r ??? ? ??-εε D 、00E r εε 答案： A 15、维持平板电容器的电压U 不变，设真空时其电容，电位移矢量，能量分别为C 0，D 0，W 0，现充满相对介电常数为r ε的电介质，则充 入介质后相应的各量变为（） A 、000,,W D C r r εε B 、00 0,, W D C r r r εεε C 、000,,W D C r r r εεε 答案：C 16、在带电量为+Q 的金属球产生的电场中，为测量某点场强E ，在该点引入一带电量为Q +的点电荷，测得其受力F 。则该点场E 的大小为（） A 、Q F E 3= B 、Q F E 3> C 、Q F E 3< D 、 无法判断 答案：B 17、一带电量为q 的导体球壳，内半径为R 1，外半径为R 2，壳内球心处有一电量为q 的点电荷，若以无穷远处为电势零点，则球壳的电 势为（） A 、2 04R Q πε B 、 ??? ? ??+210114R R Q πε C 、102R Q πε D 、 2 02R q πε 答案：D 18、同心导体球与导体球壳周围电场的电力线分布如图所示，由电力线分布情况可知球壳上所带总电量为（） A 、q>0 B 、q=0 C 、q<0 D 、无法确定 答案：B 19、有两个大小不相同的金属球，大球直径是小球的两倍，大球带电，小球不带电，两者相距很远，今用细长导线将两者相连，在忽略 导线的影响下，则大球与小球的带电之比为（） A 、1 B 、2 C 、1/2 D 、0 答案：B 20、当一个带电导体达到静电平衡时（） A 、表面上电荷密度较大处电势校高。 B 、表面曲率较大处电势较高 C 、导体内部的电势比导体表面的电势高。 D 、导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零 答案：D 21、有两个直径相同带电量不同的金属球，一个是实心的，一个是空心的，现使两者相互接触一下再分开，则两导体球上的电荷（） A 、不变化 B 、平均分配 C 、集中到空心导体球上 D 、集中到实心导体球上 答案：B 22、把A ，B 两块不带电的导体放在一带正电导体的电场中，如图所示，设无限远处为电势零点， A 的电势为U A ， B 的电势为 U B ，则（） A 、U B >U A >0 B 、U B >U A ≠0 C 、U B =U A D 、U B 23、两个完全相同的电容器C 1和C 2，串联后与电源连接，现将一各向同性均匀电介质板插入C 1中，则（） A 、电容器组总电容减小。 B 、C 1上的电量大于C 2上的电量 C 、C 1上的电压高于C 2上的电压 D 、电容器组贮存的总能量增大 答案：D 24、在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体A 内，放有一带电量为+Q 的带导体B ， 如图所示，则比较空腔导体A 的电势U A 和导体B 的电势U B 时，可得以下结论（） A 、U A =U B B 、U A >U B C 、U A D 、因空腔形状不是球形，两者无法比较 答案：C 25、在相对介电常数为的电介质中挖去一个细长的圆柱形空腔，直径d,高为h(h 》d)，外电场E 垂直穿过圆柱底面则空腔中心P 点的场 强为（） A 、 ()E r 1-ε B 、 1-r E ε C 、E h d r ε D 、E 答案：D 26、已知厚度为d 的无限大带电导体平板两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为σ，则板外两侧的电场强度的大小为（） A 、0 2εσ= E B 、0 2εσ = E C 、0 εσ= E D 、0 2εσd E = 答案：C 27、关于高斯定理，下列说法中哪一个是正确的？（） A 、 高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D 为零 B 、高斯面上处处D 为零，则面内必不存在自由电荷 C 、高斯面的D 通量仅与面内自由电荷有关 D 、以上说法都不正确 答案：C 28、一带电量为q 半径为r 的金属球A ，放在内外半径分别为R 1和R 2的不带电金属球壳B 内任意位置，如图所示，A 与B 之间及B 外 均为真空，若用导线把A ，B 连接，则A 球电势为（设无穷远处电势为零）（） A 、0 B 、 2 0R 4q πε C 、 1 04R q πε D 、 ??? ? ??-21041R q R q πε 答案：B 29、如图所示,一封闭的导体壳A 内有两个导体B 和C,A.C 不带电,B 带正电,则A.B.C 三导体的电势ＵＡ、U B 、U C 的大小关系是( ) A 、 ＵＡ=U B =U C B 、 U B >ＵＡ=U C C 、 U B >U C >ＵＡ D 、 U B >Ｕ Ａ>U C 答案：C 30、一导体球外充满相对介电常数为r ε的均匀电介质,若测得导体表面附近场强为E,则导体球面上的自由电荷面密度σ为( ) A 、E 0ε B 、E r εε0 C 、 E r ε D 、E r )(00εεε- 答案:B 31、在空气平行板电容器中，插上一块较空气厚度为薄的各向同性均匀电介质板,当电容器充电后,若忽略边缘效应,则电介质 中的场强E 与空气中的场强0E 相比较,应有( ) A 、E>E 0，两者方向相同 B 、E=E 0，两者方向相同 C 、E D 、E< E 0，两者方向相反 答案：C 32、设有一个带正电的导体球壳，若球壳内充满电介质球壳外是真空时，球壳外一点的场强大小和电势用E 1，U 1表示；若球壳内的场强大 小和电势用E 2和U 2表示，则两种情况下壳外同一点处的场强大小和电势大小的关系为（） A 、E 1=E 2，U 1=U 2 B 、E 1=E 2，U 1>U 2 C 、E 1>E 2，U 1>U 2 D 、 E 1 0=? S S d D （式中D 为电位移矢量）则S 面内必定（） A 、既无自由电荷，也无束缚电荷 B 、没有自由电荷 C 、自由电荷和束缚电荷的代数和为零 D 、自由电荷的代数和为零 答案：D 34、两个半径相同的金属球，一为空心，一为实心，把两者各自孤立时的电容值加以比较，则（） A 、空心球电容值大 B 、实心球的电容值大 C 、两球电容值相等 D 、大小关系无法确定 答案：C 35、金属球A 与同心金属壳B 组成电容器，球A 上带电荷q 壳B 上带电荷Q ，测得球与壳间电势差为U AB ，可知该电容器的电容 值为（） A 、 AB U q B 、 AB U Q C 、 AB U Q q )(+ D 、 AB U q 2 答案：A 36、两只电容器F C F C μμ2,821==，此时两极板的电势差为（） A 、0v B 、200v C 、600v D 、1000v 答案：C 37、一个平行板电容器，充电后与电源断开，当用绝缘手柄将电容器两极板间距离拉大，则两极板间的电势差U 12电场强度的大 小E ，电场能量W 将发生如下变化（） A 、U 12减小，E 减小，W 减小 B 、U 12增大，E 增大，W 增大 C 、U 12增大，E 不变，W 增大 D 、U 12减小， E 不变，W 不变 答案：C 38、一平行板电容器充电后切断电源，若改变两极间的距离，则下述物理量中哪个保持不变？（） A 、电容器的电容量 B 、两极板间的场强 C 、两极板间的电势差 D 、电容器储存的能量 答案：B 39、一空气平行板电容器充电后与电源断开，然后在两极板间充满某种各向同性，均匀电介质，则电场强度的大小E ，电容C ， 电压U 电场能量W 四个量各自与充入介质前相比较增大（↑）或减小（↓）的情形为（） A 、↑↑↑↑W U C E ,,, B 、↓↓↑↓W U C E ,,, C 、↓↑↑↓W U C E ,,, D 、↑↓↓↑W U C E ,,, 答案：B 40、C 1和C 2两个电容器，其上分别标明200PF （电容器），500v （耐压值）和300PF ，900v 。把它们串联起来在两端加上1000v 电压，则（） A 、C 1被击穿,C 2不被击穿 B 、 C 2被击穿,C 1不被击穿 C 、两者都被击穿 D 、两者都不被击穿 答案:C 41、 C 1和C 2两空气电容器并联起来接上电源充电,然后将电源断开,再把一电介质板插C 1中,则( ) A 、C 1和C 2极板上电量都不变] B 、 C 1极板上电量增大, C 2极板上电量不变 C 、C 1极板上电量增大, C 2极板上电量减小 D 、C 1极板上电量减小, C 2极板上电量增大 答案:C 42、如果某带电体其电荷分布的体密度ρ增大,为原来的2倍,则其电场的能量变为原来的( ) A 、2倍 B 、1/2倍 C 、4倍 D 、1/4倍 答案：C 43、一球形导体,带电量q,置于一任意形状的空腔导体中,当用导线将两者连接后,则与未连接前相比系统静电场能将( ) A 、增大 B 、减小 C 、不变 D 、如何变化无法确定 答案：B 44、一平行板电容器充电后与电源连接,若用绝缘手柄将电容器两极板间距离拉大,则极板上的电量Q,电场强度的大小E 和电场能量W 将发后如下变化( ) A 、Q 增大,E 增大,W 增大 B 、 Q 减小,E 减小,W 减小 C 、 Q 增大,E 减小,W 增大 D 、Q 增大, E 增大,W 减小 答案:B 45、一空气平行板电容器,充电后把电源断开,这时电容器中储存的能量为W 0,然后在两极板之间充满相对介电常数为r ε的各向同性均匀电介质,则该电容器中储存的能量W 为( ) A 、0W W r ε= B 、r W W ε0 = C 、 0)1(W W r ε+= D 、0W W = 答案:B 46、用力F 把电容器中的电介质板拉出,在图(a)和图(b)的两种情况下,电容器中储存的静电能量将( ) A 、都增加 B 、都减小 C 、（a ） 增加，（b ）减小 D 、（a ）减小，（b ）增加 答案：D 二、填空题（每空2分） 1、两块很大的导体平板平行放置，面积都是S ，有一定厚度，带电量分别为Q 1和Q 2。如不计边缘效应，则A 、B 、C 、D 四个表面上的电 荷面密度分别为 答案：S Q Q 22 1+； S Q Q 22 1-； S Q Q 21 2-； S Q Q 22 1+ 2、将一负电荷从无穷远处移到一个不带电的导体附近，则导体内的电场强度 ，导体的电势 答案：不变，减小 3、两块“无限大”平行导体板，相距为2d ，且都与地连接，如图所示， 两板间充满正离子气体（与导体板绝缘）离子数密度为n ，每一离子 的带电量为q.如果气体中的极化现象不计，可以认为电场分布相对 中心平面OO`是对称的，则在两板间的场强分布为=E ， 电势分布U= （选取地的电势为零） 答案： ()()d x d x d 2nq ); d x 0(x nq 22 ≤≤--≤≤εε 4、选无穷远处为电势零点，半径为R 的导体球带电后，其电势为U 0，则球外离球心距离为r 处的电场强度的大小为 答案： 2 0r RU 5、一空心导体球壳，其内处半径分别为R 1和R 2，带电量q.当球壳中心处再放一电量为q 的点电荷时，则导体球壳的电势（设无穷远处为 电势零点）为 答案： 2 02R q πε 6、 两个同心金属球壳，半径分别为R 1和R 2（R 2>R 1），若分别带上电量为q 1和q 2的电荷，则两者的电势分别为U 1和U 2（选取无穷远处 为电势零点）。现用导线将两球壳连接，则它们的电势为 答案：U 2 7、在静电场中有一立方形均匀导体，边长为a 。已知立方导体中心O 处的电势为U 0，则立方体顶点A 的电势为 答案：U 0 8、A 、B 两个导体球，它们的半径之比为2：1，A 球带正电荷Q ，B 球不带电，若使两球接触一下再分离，当A 、B 两球相距为R 时，（R 远大于两球半径，以致可认为A 、B 是点电荷）则两球间的静电力F= 答案： 2 0218R Q πε 9、三个半径相同的金属小球，其中甲、乙两球带有等量同号电荷，丙球不带电。已知甲、乙两球间距离远大于本身直径，它们之间的静电力为F ，现用带绝缘柄的丙球先与甲球接触，再与乙球接触，然后移去，则此时甲、乙两球间的静电力为 答案：3F/8 10、在一个带负电荷的金属球附近，放一个带正电的点电荷q 0，测得q 0所受的力为F ，则F/ q 0的值一定 于不放q 0时该 点原有的场强大小（填大，等，小） 答案：大 11、一金属球壳的内外半径分别为R 1和R 2，带电量为Q 。在球壳内距球心O 为r 处有一带电量为q 的点电荷，则球心处的电势为 答案： 2 012041114R Q R R r q πεπε+???? ??-+ 12、分子的正负荷中心重合的电介质叫做 电介质，在外电场作用下，分子的正负电荷中心发生相对位移，，形成 答案：无极分子；电偶极子 13、一平行板电容器，充电后与电源保持联接，然后使两极板间充满相对介电常数为r ε的各向同性均匀电介质，这时两极板上的电量是原来的 倍；电场强度是原来的 倍；电场能量是原来的 倍 答案：r ε；1；r ε 14、一平行板电容器，充电后切断电源，然后使两极板间充满相对介电常数为r ε的各向同性均匀电介质，此时两极板间的电场强度是原来的 倍；电场能量是原来的 倍 答案：1/r ε；1/r ε 15、电介质在电容器中的作用是：（1） （2） 答案：增大电容；提高电容器的耐压能力 16、在静电场中，电位移线从 出发，终止 答案：正的自由电荷；负的自由电荷 17、A 、B 为两块无限大均匀带电平行薄平板，两板间和左右两侧充满相对介电常数为r ε的各向同性均匀电介质。已知两板间的场强大小为E 0，方向如图，则A 、B 两板所带电荷面密度分别为=A σ ； =B σ 答案：3 4; 3 20 00 0E E r r εεεε- 18、一平行板电容器中充满相对介电常数为r ε的各向同性均匀电介质。已知介质表面极化电荷面密度为σ±，则极化电荷在电 容器中产生的电场强度的大小为 答案： εσ 19、一平行板电容器始终与一端电压一定的电源相联。当电容器两极板间为真空时，电场强度为0E ，电位移为0D ，而当两极板间充满相对介电常数为r ε的各向同性均匀电介质时，电场强度为E ，电位移为D ，则 答案：E =0E ；D =r ε0D 20、真空中，半径为R 1和R 2的两个导体球相距很远，则两球的电容之比C 1/C 2= 。当用细长导线将两球相连后，电容C= 。今给其带电，平衡后两球表面附近场强之比E 1/E 2= 答案：R 1/R 2；4() R R +πε；R /R 21、一个大平行板电容器水平放置，两极板间的一半空间充有各向同性均匀电介质，另一半为空气， 当两极板带上恒定的等量异号电荷时，有一个质量为m ，带电量为+q 的质点，平衡在极板间的 空气区域中，此后，若把电介质抽去则该质点 （填保持不动，向上运动，向下 运动）答案：向上运动 22、A 、B 两个电容值都等于C 的电容器，已知A 带电量为Q ，B 带电量为2Q ，现将A 、B 并联后，系统电场能量的增量W ?= 答案：-Q 2/（4C ） 23、真空中均匀带电的球面和球体，如果两者的半径 和总电量都相等，则带电球面的电场能量W 1与带电球体的电场能量W 2相比，W 1 W 2（填<,>,=） 答案：< 24、一空气平行板电容器，极板间距为d ，电容为C 。若在两板中间平行地插入一块厚度为d/3的金属板，则其电容值变为 答案：3C/2 三、计算题 1、三块平行导体板A 、B 、C ，面积都是200cm 2,A 、B 相距4.0mm ，A 、C 相距2.0mm ，B 、C 两板接地，如图所示。如果使A 板带正电 C 7100.3-?，忽略边缘效应，问B 板和C 板上的感应电荷各是多少？（12分） 解：根据静电平衡时，导体中的场强为零，又由B 、C 接地： ∴ （4分） 解以上方程组得出：()(): ;;;5432板上感应电荷B Sd Qx Sd Qx Sd x d Q Sd x d Q - ==-= -- =σσ σσ（4分） ()( )()库板上感应电荷库7 3 375C 7 3 372B 100.210 0.6100.4100.3d Qx S Q : C 10 0.1100.6100.2100.3d x d Q S Q --------?-=????-=-==?-=????-=--==σσ 2、一内半径为a 外半径为b 的金属球壳，带有电量Q ，在球壳空腔内距离球心r 处有一点电荷q ，设无限远处为电势零点，试求1）球壳 内外表面上的电荷（2）球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势（3）球心O 点处的总电势（10分） 解：（1）由静电感应，金属球壳的内表面上有感应电荷-q ，外表面上带电荷q+Q （2分） （2）不论球壳内表面上的感应电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O 点的距离都是a ，所以由这些电荷在O 点产生的电 势为a 4q a 4dq U 00q πεπε- == ?-（4分） （3）球心O 点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q 在O 点产生的电势和代数和 b 4Q b 1a 1r 14q b 4q Q a 4q r 4q U U U U 00000q Q q q 0πεπεπεπεπε+? ?? ??+-=++ - = ++=+-+（4分） 3、点电荷q 放在导体球壳的中心，球壳的内外半径分别为R 1和R 2。求空间的场强分布，并画E-r 和U-r 曲线（12分） 解：（a ）场强分布：得用高斯定理可求得：（1分） r r q E R r E R r R r r q E R r ?4:;0:;?4:2 02212 01πεπε=>=<<= < （3分） （b ）电位分布：设距球心为r 处的电位U ： ??? ? ??+-=+==≤= ≤≤= =≥????∞∞∞ 210R 2 0R r 20r 12 0210r 2R 1R 1r 14q dr r 4q dr r 4q l d E U ;R r R 4q U ;R r R r 4q l d E U :R r 2 1 πεπεπεπεπε E-r,U-r 曲线如图 《电磁场与电磁波》试卷1 一. 填空题（每空2分,共40分） 1．矢量场的环流量有两种特性：一是环流量为0，表明这个矢量场 无漩涡流动 。另一个是环流量不为0，表明矢量场的 流体沿着闭合回做漩涡流动 。 2．带电导体内静电场值为 0 ，从电位的角度来说，导体是一个 等电位体 ，电荷分布在导体的 表面 。 3．分离变量法是一种重要的求解微分方程的方法，这种方法要求待求的偏微分方程的解可以表示为 3个 函数的乘积，而且每个函数仅是 一个 坐标的函数，这样可以把偏微分方程化为 常微分方程 来求解。 4．求解边值问题时的边界条件分为3类，第一类为 整个边界上的电位函数为已知 ，这种条件成为狄利克莱条件。第二类为已知 整个边界上的电位法向导数 ，成为诺伊曼条件。第三类条件为 部分边界上的电位为已知，另一部分边界上电位法向导数已知 ，称为混合边界条件。在每种边界条件下，方程的解是 唯一的 。 5．无界的介质空间中场的基本变量B 和H 是 连续可导的 ，当遇到不同介质的分 界面时，B 和H 经过分解面时要发生 突变 ，用公式表示就是 12()0n B B ?-=，12()s n H H J ?-=。 6．亥姆霍兹定理可以对Maxwell 方程做一个简单的解释：矢量场的 旋度 ，和 散度 都表示矢量场的源，Maxwell 方程表明了 电磁场 和它们的 源 之间的关系。 二．简述和计算题（60分） 1．简述均匀导波系统上传播的电磁波的模式。（10分） 答：（1）在电磁波传播方向上没有电场和磁场分量，即电场和磁场完全在横平面内，这种模式的电磁波称为横电磁波，简称TEM 波。 （2）在电磁波传播方向上有电场和但没有磁场分量，即磁场在横平面内，这种模式的电磁波称为横磁波，简称TM 波。因为它只有纵向电场分量，又成为电波或E 波。 （3）在电磁波传播方向上有磁场但没有电场分量，即电场在横平面内，这种模式的电磁波称为横电波，简称TE 波。因为它只有纵向磁场分量，又成为磁波或M 波。 从Maxwell 方程和边界条件求解得到的场型分布都可以用一个或几个上述模式的适当幅相组合来表征。 2．写出时变电磁场的几种场参量的边界条件。（12分） 解：H 的边界条件 12()s n H H J ?-= E 的边界条件 《电磁场与电磁波》测验试卷﹙一﹚ 一、 填空题（每题8分，共40分） 1、在国际单位制中，电场强度的单位是________；电通量密度的单位是___________；磁场强度的单 位是____________；磁感应强度的单位是___________；真空中介电常数的单位是____________。 2、静电场→E 和电位Ψ的关系是→E ＝_____________。→ E 的方向是从电位_______处指向电位______处。 3、位移电流与传导电流不同，它与电荷___________无关。只要电场随__________变化，就会有位移电流；而且频率越高，位移电流密度___________。位移电流存在于____________和一切___________中。 4、在两种媒质分界面的两侧，电场→E 的切向分量E 1t －E 2t ＝________；而磁场→ B 的法向分量B 1n －B 2n ＝_________；电流密度→ J 的法向分量J 1n －J 2n =___________。 5、沿Z 轴传播的平面电磁波的复数表示式为：_____________________=→ E , ____________________=→ H 。 二、计算题（题，共60分） 1、（15分）在真空中，有一均 匀带电的长度为L 的细杆， 其电荷线密度为τ。 求在其横坐标延长线上距 杆端为d 的一点P 处的电 场强度E P 。 2、（10分）已知某同轴电容器的内导体半径为a ，外导体的内半径为c ， 在a ﹤r ﹤b (b ﹤c)部分填充电容率为ε的电介质，求其单位长度上的电容。 3、（10分）一根长直螺线管，其长度L ＝1.0米，截面积S ＝10厘米2，匝数N 1＝1000匝。在其中段密绕一个匝数N 2＝20匝的短线圈，请计算这两个线圈的互感M 。 4、（10分）某回路由两个半径分别为R 和r 的 半圆形导体与两段直导体组成，其中通有电流I 。 求中心点O 处的磁感应强度→ B 。 5、电场强度为)2106(7.378 Z t COS E Y a ππ+?=→ → 伏／米的电磁波在自由空间传播。问：该波是不 是均匀平面波？并请说明其传播方向。 求：（1）波阻抗； （2）相位常数； （3）波长； （4）相速； （5）→ H 的大小和方向； （6）坡印廷矢量。 《电磁场与电磁波》测验试卷﹙二﹚ （一）、问答题（共50分） 1、（10分）请写出时变电磁场麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式，并写出其辅助方程。 2、（10分）在两种媒质的交界面上，当自由电荷面密度为ρs 、面电流密度为J s 时，请写出→ →→→H B D ,,,E 的边界条件的矢量表达式。 3、（10分）什么叫TEM 波，TE 波，TM 波，TE 10波？ 4、（10分）什么叫辐射电阻？偶极子天线的辐射电阻与哪些因素有关？ 5、什么是滞后位？请简述其意义。 （二）、计算题（共60分） 1、（10分）在真空里，电偶极子电场中的任意点M （r 、θ、φ）的电位为2 cos 41r P θ πε= Φ（式中，P 为电偶极矩，l q P =）， 而 → →→?Φ?+?Φ?+?Φ?=Φ000sin 11φφ θθθr r r r 。 试求M 点的电场强度→ E 。 2、（15分）半径为R 的无限长圆柱体均匀带电，电荷 体密度为ρ。请以其轴线为参考电位点， 求该圆柱体内外电位的分布。 3、（10分）一个位于Z 轴上的直线电流I ＝3安培，在其旁 边放置一个矩形导线框，a ＝5米，b ＝8米，h ＝5米。 最初，导线框截面的法线与I 垂直（如图），然后将该 截面旋转900，保持a 、b 不变，让其法线与I 平行。 求：①两种情况下，载流导线与矩形线框的互感系数M 。 ②设线框中有I ′＝4安培的电流，求两者间的互感磁能。 4、（10分）P 为介质（2）中离介质边界极近的一点。 已知电介质外的真空中电场强度为→ 1E ，其方向与 电介质分界面的夹角为θ。在电介质界面无自由电 荷存在。求：①P 点电场强度→ 2E 的大小和方向； 电磁场与电磁波复习题 一、填空题 1、矢量的通量物理含义是矢量穿过曲面的矢量线总数，散度的物理意义矢量场中任 意一点处通量对体积的变化率。散度与通量的关系是矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。 2、 散度在直角坐标系的表达式 z A y A x A z y x A A ??????++ = ??=ρ ρdiv ； 散度在圆柱坐标系下的表达 ； 3、矢量函数的环量定义矢量A 沿空间有向闭合曲线C 的线积分， 旋度的定义 过点P 作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右 手螺旋法则。当S 点P 时,存在极限环量密度。二者的关系 n dS dC e A ρρ?=rot ； 旋度的物理意义点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值；点P 的旋度的方向是该 点最 大环量密度的方向。 4.矢量的旋度在直角坐标系下的表达式 。 5、梯度的物理意义标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数。梯度的大小为该点 标量函数 ?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的 方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向等值面、方向导数与 梯度的关系是梯度的大小为该点标量函数 ?的最大变化率，即该点最 大方向导数; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数 的增加方向.； 6、用方向余弦cos ,cos ,cos αβγ写出直角坐标系中单位矢量l e r 的表达 式 ； 7、直角坐标系下方向导数 u ?的数学表达式是 ，梯度的表达式 8、亥姆霍兹定理的表述在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定，说明的问题是矢量场的散度应满足的关系及旋度应满足的关系决定了矢量场的基本性质。 9、麦克斯韦方程组的积分形式分别为 ()s l s s l s D dS Q B E dl dS t B dS D H dl J dS t ?=??=-??=?=+????????r r r r r r r r g r r r r r g ???? 其物理描述分别为 10、麦克斯韦方程组的微分形式分别为 2 0E /E /t B 0 B //t B c J E ρεε??=??=-????=??=+??r r r r r r r 其物理意义分别为 11、时谐场是激励源按照单一频率随时间作正弦变化时所激发的也随时间按照正弦变化的 场， 一般采用时谐场来分析时变电磁场的一般规律，是因为任何时变周期函数都可以用正弦函数表示的傅里叶级数来表示；在线性条件下，可以使用叠加原理。 12、坡印廷矢量的数学表达式 2 0S c E B E H ε=?=?r r r r r ，其物理意义表示了单 位面积的瞬时功率流或功率密度。功率流的方向与电场和磁场的方向垂直。表达式 ()s E H dS ??r r r g ?的物理意义穿过包围体积v 的封闭面S 的功率。 13、电介质的极化是指在外电场作用下，电介质中出现有序排列电偶极子以及表面上出 1. 如图所示， 有一线密度 的无限大电流薄片置于平面上，周 围媒质为空气。试求场中各点的磁感应强度。 解： 根据安培环路定律, 在面电流两侧作一对称的环路。则 由 2. 已知同轴电缆的内外半径分别为 和 ,其间媒质的磁导率 为，且电缆 长度 ， 忽略端部效应， 求电缆单位长度的外自感。 解： 设电缆带有电流则 3. 在附图所示媒质中，有一载流为的长直导线，导线到媒质分界面的距离为。 试求载流导线单位长度受到 的作用力。 解： 镜像电流 镜像电流在导线处产生的值为 单位长度导线受到的作用力 力的方向使导线远离媒质的交界面。 4. 图示空气中有两根半径均为a ，其轴线间距离为 d 的平行长直圆柱导体，设它们单位长度上所带的电荷 量分别为和 ， 若忽略端部的 边缘效应，试求 (1) 圆柱导体外任意点p 的电场强度的电位的表达式 ； (2) 圆柱导体面上的电荷面密度与值。 解： 以y 轴为电位参考点，则 5. 图示球形电容器的内导体半径 ， 外导体内径 ，其间充有 两种电介质与， 它们的分界面的半径为。 已知与的相对 6. 电常数分别为 。 求此球形电容器的电 容。 解 6. 一平板电容器有两层介质，极板面积为,一层电介质厚度，电导率，相对介电常数，另一层电介质厚度，电导率。相对介电常数，当电容器加有电压 时，求 (1) 电介质中的电流； (2) 两电介质分界面上积累的电荷； (3) 电容器消耗的功率。 解： (1) (2) (3) 7. 有两平行放置的线圈，载有相同方向的电流，请定性画出场中的磁感应强度分布(线)。 解：线上、下对称。 1.麦克斯韦的物理意义：根据亥姆霍兹定理，矢量场的旋度和散度都表示矢量场的源。麦克斯韦方程表明了电磁场和它们的源之间的全部关系：除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。 2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为,,0,D B H J E B D t t ρ????=+ ??=-??=??=??，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁 场也是电场的源。 1.简述集总参数电路和分布参数电路的区别： 2.答：总参数电路和分布参数电路的区别主要有二：（1）集总参数电路上传输的信号的波长远大于传输线的几何尺寸；而分布参数电路上传输的信号的波长和传输线的几何尺寸可以比拟。（2）集总参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位可近似认为相同，无分布参数效应；而分布参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位均不相同，呈现出电路参数的分布效应。 1.写出求解静电场边值问题常用的三类边界条件。 2.答：实际边值问题的边界条件可以分为三类：第一类是整个边界上的电位已知，称为“狄利克莱”边界条件；第二类是已知边界上的电位法向导数，称为“诺依曼”边界条件；第三类是一部分边界上电位已知，而另一部分上的电位法向导数已知，称为混合边界条件。 1.简述色散效应和趋肤效应。 2.答：在导电媒质中，电磁波的传播速度（相速）随频率改变的现象，称为色散效应。在良导体中电磁波只存在于导体表面的现象称为趋肤效应。 1.在无界的理想媒质中传播的均匀平面波有何特性？在导电媒质中传播的均匀平面波有何特性？ 2. 在无界的理想媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电场、磁场的振幅不随传播距离增加而衰减，幅度相差一个实数因子η（理想媒质的本征阻抗）；时间相位相同；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为TEM 波。 在导电媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电磁场的振幅随传播距离增加而呈指数规律衰减；电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为色散的TEM 啵。 1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。 2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。 (或矢量式2n D σ=、20n E ?=、 2s n H J ?=、20n B =) 1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 2. 答矢量位,0B A A =????=；动态矢量位A E t ??=-?- ?或A E t ??+=-??。库仑规范与洛仑兹规范的作用都 是限制A 的散度，从而使A 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。 1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2. s A ds φ=??? 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通 量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。 1. 证明位置矢量 x y z r e x e y e z =++ 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。 2. 证明在直角坐标系里计算 ，则有 ()()x y z x y z r r e e e e x e y e z x y z ? ? ?????=++?++ ?????? 3x y z x y z ???= ++=??? 若在球坐标系里计算，则 23 22 11()()()3r r r r r r r r r ????===??由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。 1. 在直角坐标系证明0A ????= 2. 《电磁场与电磁波》期末复习题及答案 一，单项选择题 １．电磁波的极化特性由＿＿B ＿＿＿决定。 A.磁场强度 B.电场强度 C.电场强度和磁场强度 D. 矢量磁位 2．下述关于介质中静电场的基本方程不正确的是＿＿D ＿＿＿ A. ρ??=D B. 0??=E C. 0C d ?=? E l D. 0S q d ε?=? E S 3. 一半径为a 的圆环（环面法向矢量 z = n e ）通过电流I ，则圆环中心处的磁感应强度B 为 ＿＿D ＿＿＿A. 02r I a μe B.02I a φμe C. 02z I a μe D. 02z I a μπe 4. 下列关于电力线的描述正确的是＿＿D ＿＿＿ A.是表示电子在电场中运动的轨迹 B. 只能表示E 的方向，不能表示E 的大小 C. 曲线上各点E 的量值是恒定的 D. 既能表示E 的方向，又能表示E 的大小 5. 0??=B 说明＿＿A ＿＿＿ A. 磁场是无旋场 B. 磁场是无散场 C. 空间不存在电流 D. 以上都不是 6. 下列关于交变电磁场描述正确的是＿＿C ＿＿＿ A. 电场和磁场振幅相同，方向不同 B. 电场和磁场振幅不同，方向相同 C. 电场和磁场处处正交 D. 电场和磁场振幅相同，方向也相同 7．关于时变电磁场的叙述中，不正确的是：（D ） A. 电场是有旋场 B. 电场和磁场相互激发 C.电荷可以激发电场 D. 磁场是有源场 8. 以下关于在导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是＿＿B ＿＿＿ A. 不再是平面波 B. 电场和磁场不同相 C.振幅不变 D. 以ＴＥ波形式传播 9. 两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的是＿C ＿＿ ?电磁场?试卷1 一、单项选择题 1. 静电场是( ) A. 无散场 B. 旋涡场 C.无旋场 D. 既是有散场又是旋涡场 2. 已知(23)()(22)x y z D x y e x y e y x e =-+-+-，如已知电介质的介电常数为0ε，则自由电荷密度ρ为( ) A. B. 1/ C. 1 D. 0 3. 磁场的标量位函数的单位是( ) A. V/m B. A C. A/m D. Wb 4. 导体在静电平衡下，其内部电场强度( ) A.为零 B.为常数 C.不为零 D.不确定 5. 磁介质在外部磁场作用下，磁化介质出现( ) A. 自由电流 B. 磁化电流 C. 传导电流 D. 磁偶极子 6. 磁感应强度与磁场强度的一般关系为( ) A.H B μ= B.0H B μ= C.B H μ= D.0B H μ= 7. 极化强度与电场强度成正比的电介质称为( )介质。 A.各向同性 B. 均匀 C.线性 D.可极化 8. 均匀导电媒质的电导率不随( )变化。 A.电流密度 B.空间位置 C.时间 D.温度 9. 磁场能量密度等于( ) A. E D B. B H C. 21E D D. 2 1B H 10. 镜像法中的镜像电荷是( )的等效电荷。 A.感应电荷 B.原电荷 C. 原电荷和感应电荷 D. 不确定 二、填空题(每空2分，共20分) 1. 电场强度可表示为_______的负梯度。 2. 体分布电荷在场点r 处产生的电位为_______。 3. 一个回路的自感为回路的_______与回路电流之比。 4. 空气中的电场强度5sin(2)x E e t z πβ=-V/m ，则位移电流密度d J = 。 5. 安培环路定律的微分形式是 ，它说明磁场的旋涡源是 。 6. 麦克斯韦方程组的微分形式是 ， ， ， 。 三、简答题(本大题共2小题，每小题5分，共10分) 1.写出电荷守恒定律的数学表达式，说明它揭示的物理意义。 2.写出坡印廷定理的微分形式，说明它揭示的物理意义。 四、计算题(本大题) 1.假设在半径为a 的球体内均匀分布着密度为0ρ的电荷，试求任意点的电场强度。 2.一个同心球电容器的内、外半径为a 、b ，其间媒质的电导率为σ，求该电容器的漏电电导。 3.已知空气媒质的无源区域中，电场强度100cos()z x E e e t z αωβ-=-，其中βα,为常数，求磁场强度。 0ε0ε . 1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+?u v u u v u v ,B E t ???=-?u v u v ,0B ?=u v g ,D ρ?=u v g 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? u v u u v g ? S D ds ρ =?u v u u v g ? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为： 3.00n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H r r r r r r r r r 4线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 4.D E ε=u v u v ,B H μ=u v u u v ,J E σ=u v u v 5电流连续性方程的微分形式为： 5. J t ρ??=- ?r g 6电位满足的泊松方程为 2ρ?ε?=- ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。 12??= 1212n n εεεε??=?? 7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理 论依据是: 唯一性定理。 8.电场强度E ?的单位是V/m ，电位移D ? 的单位是C/m2 。 9．静电场的两个基本方程的微分形式为 0E ??= ρ?=g D ； 10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A u v ，并令 B A =??u v u v 的依据是（ 0B ?=u v g ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ? ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ )ln( 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω=r r 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-?r r r 其振幅值为：3 04510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510.dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S u u v u u v g ?S d q =?得2 4q D r π= 24D e e u u v v v r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e u u v u u v v r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r u u v u u v v u u v g g g r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε== 《电磁场与电磁波》复习题 一、选择题 1、关于均匀平面电磁场，下面的叙述正确的是（ C ） A ．在任意时刻，各点处的电场相等 B ．在任意时刻，各点处的磁场相等 C ．在任意时刻，任意等相位面上电场相等、磁场相等 D ．同时选择A 和B 2、用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ D ）。 A ．镜像电荷是否对称 B ．电位所满足的方程是否未改变 C ．边界条件是否保持不变 D ．同时选择B 和C 3、微分形式的安培环路定律表达式为H J ??=r r ，其中的J r （ A ）。 A ．是自由电流密度 B ．是束缚电流密度 C ．是自由电流和束缚电流密度 D ．若在真空中则是自由电流密度；在介质中则为束缚电流密度 4、两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的是（ C ）。 A ．线圈的尺寸 B ．两个线圈的相对位置 C ．线圈上的电流 D ．线圈所在空间的介质 5、一导体回路位于与磁场力线垂直的平面内，欲使回路中产生感应电动势，应使（ A ）。 A ．磁场随时间变化 B ．回路运动 C ．磁场分布不均匀 D ．同时选择A 和B 6、一沿+z 传播的均匀平面波，电场的复数形式为()m x y E E e je =-r r r ，则其极化方式是（ C ）。 A ．直线极化 B ．椭圆极化 C ．右旋圆极化 D ．左旋圆极化 7、在边界形状完全相同的两个区域内的静电场，满足相同的边界条件，则两个区域中的场分布（ C ）。 A ．一定相同 B ．一定不相同 C ．不能断定相同或不相同 8、两相交并接地导体平板夹角为α，则两板之间区域的静电场（ C ）。 A ．总可用镜象法求出。 B ．不能用镜象法求出。 C ．当/n απ= 且n 为正整数时，可以用镜象法求出。 D ．当2/n απ= 且n 为正整数时，可以用镜象法求出。 9、z ＞0半空间中为ε=2ε0的电介质，z ＜0半空间中为空气，在介质表面无自由电荷分布。若空气中的 静电场为 128x z E e e =+r r r ，则电介质中的静电场为（ B ）。 1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。 2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为 ,,0,D B H J E B D t t ρ????=+??=-??=??=??v v v v v v v ，(3分)（表明了电磁场和它们的源之 间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。 2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。 (或矢量式2n D σ=v v g 、20n E ?=v v 、2s n H J ?=v v v 、20n B =v v g ) 1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 2. 答矢量位,0B A A =????=v v v ；动态矢量位A E t ??=-?-?v v 或A E t ??+=-??v v 。库仑规范 与洛仑兹规范的作用都是限制A v 的散度，从而使A v 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。 1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2. s A ds φ=???v v ò 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。 1. 证明位置矢量x y z r e x e y e z =++r r r r 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择 电子信息学院电磁场与电磁波第一章复习题练习 姓名 学号 班级 分数 1-7题，每题5分；8-15题，每题5分，16题10分，17题15分。 8: 解：不总等于，讨论合理即可 9. 已知直角坐标系中的点P 1(-3，1，4)和P 2（2，-2,3）： (1) 在直角坐标系中写出点P 1、P 2的位置矢量r 1和r 2； (2) 求点P 1到P 2的距离矢量的大小和方向； (3) 求矢量r 1在r 2的投影； 解：（1）r1=-3a x +a y +4a z ; r2=2a x -2a y +3a z (2)R=5a x -3a y -a z (3) [（r1?r2）/ │r2│] =（17）? 10.用球坐标表示的场E =a r 25/r 2，求： （1） 在直角坐标系中的点（-3,4，-5）处的|E |和E z ； （2） E 与矢量B =2a x -2a y +a z 之间的夹角。 解：（1）0.5；2?/4; (2)153.6 11.试计算∮s r ·d S 的值，式中的闭合曲面S 是以原点为顶点的单位立方体，r 为 空间任一点的位置矢量。 解：学习指导书第13页 12.从P （0,0,0）到Q （1,1,0）计算∫c A ·d l ，其中矢量场A 的表达式为 A =a x 4x-a y 14y 2.曲线C 沿下列路径： （1） x=t ，y=t 2； （2） 从（0,0,0）沿x 轴到（1,0,0），再沿x=1到（1,1,0）； （3） 此矢量场为保守场吗？ 解：学习指导书第14页 13.求矢量场A =a x yz+a y xz+a z xy 的旋度。 A ??=x a （x -x ）+y a （y -y ）+z a （z -z ）=0 14.求标量场u=4x 2y+y 2z-4xz 的梯度。 u ?=x a u x ??+y a u y ??+z a u z ??=x a (8xy-4z)+y a (42x +2yz)+z a (2y -4x) 第二章 （选择） 1、将一个带正电的带电体A从远处移到一个不带电的导体B附近，导体B的电势将（ A ）A升高 B降低 C不会发生变化 D无法确定 2、下列关于高斯定理的说法正确的是（A） A如果高斯面上E处处为零，则面内未必无电荷。 B如果高斯面上E处处不为零，则面内必有静电荷。 C如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零。 D如果高斯面内有净电荷，则高斯面上E处处不为零 3、以下说法哪一种是正确的（B） A电场中某点电场强度的方向，就是试验电荷在该点所受的电场力方向 B电场中某点电场强度的方向可由E=F/q确定，其中q0为试验电荷的电荷量，q0可正可负，F为试验电荷所受的电场力 C在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的电场强度处处相同 D以上说法都不正确 4、当一个带电导体达到静电平衡时（D） A表面曲率较大处电势较高 B表面上电荷密度较大处电势较高 C导体内部的电势比导体表面的电势高 D导体内任一点与其表面上任一点电势差等于零 5、下列说法正确的是（D） A场强相等的区域，电势也处处相等 B场强为零处，电势也一定为零 C电势为零处，场强也一定为零 D场强大处，电势不一定高 6、就有极分子电介质和无极分子电介质的极化现象而论（D） A、两类电介质极化的微观过程不同，宏观结果也不同 B、两类电介质极化的微观过程相同，宏观结果也相同 C、两类电介质极化的微观过程相同，宏观结果不同 D、两类电介质极化的微观过程不同，宏观结果相同 7、下列说法正确的是（ D ） （A）闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内一定没有电荷 B闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必定为零 C闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必定为零。 D闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的电场强度都不可能为零 8、根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和。下列推论正确的是（ D ） 2010-2011-2学期《电磁场与电磁波》课程 彳片?k 8.复数场矢量E = E -e^ je y e Jz，则其极化方式为（A ）。 考试试卷参考答案及评分标准命题教师：李学军审题教师：米燕 一、判断题（10分）（每题1分） 1?旋度就是任意方向的环量密度 2.某一方向的的方向导数是描述标量场沿该方向的变化情况 3?点电荷仅仅指直径非常小的带电体 4. 静电场中介质的相对介电常数总是大于1 5. 静电场的电场力只能通过库仑定律进行计算 6. 理想介质和导电媒质都是色散媒质 7. 均匀平面电磁波在无耗媒质里电场强度和磁场强度保持同相位 8. 复坡印廷矢量的模值是通过单位面积上的电磁功率 9. 在真空中电磁波的群速与相速的大小总是相同的 10趋肤深度是电磁波进入导体后能量衰减为零所能够达到的深度 二、选择填空（10分）. 4 1.已知标量场u的梯度为G,则勺沿l方向的方向导数为（ A. G l B. G l ° C. G l A.左旋圆极化 B.右旋圆极化 C.线极化 9.理想媒质的群速与相速比总是（C）。 A.比相速大 B.比相速小 C.与相速相同 10.导体达到静电平衡时，导体外部表面的场Dn可简化为（B) (: X) (V) (X) (V) (X) (X) (V) (X) (V) (X) B )。 A. Dn=0 B. D n C. D n = q 三、简述题（共10分）（每题5分） 1.给出亥姆霍兹定理的简单表述、说明定理的物理意义是什么（5分） 答：若矢量场F在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中, 则矢量场由其散度、旋度和边界条件唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量 函数的旋度之和；（3分） 物理意义：分析矢量场时，应从研究它的散度和旋度入手，旋度方程和散度方程构成了矢 量场的基本方 程。 (2 分) 2.写出麦克斯韦方程组中的全电流（即推广的安培环路）定律的积分表达式，并说明其物 2.半径为a导体球，带电量为Q,球外套有外半径为b,介电常数为S的同心介质球壳, 壳外是空气，则介质球壳内的电场强度E等于（ C ）。理意义。（5分）. 答：全电流定律的积分表达式为：J|H d 7 = s（: 工）d S。（3分）全电流定律的物理意义是：表明传导电流和变化的电场都能产生磁场。（2分） 四、一同轴线内导体的半径为a,外导体的内半径为b,内、外导体之间填充两种绝缘材 料，a 1麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+?,B E t ???=-?,0B ?=,D ρ?= 2静电场的基本方程积分形式为： C E dl =? S D d s ρ =? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为：4线性且各向同性媒质的本构关系方程是：5电流连续性方程的微分形式为：。 6电位满足的泊松方程为 ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。7应用镜像法和其它间接方法解静 态场边值问题的理论依据是。8.电场强度E 的单位是， 电位移D 的单位是 。9．静电场的两个基本方程的微分 形式为 0E ??= ρ?=D ；10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 3.00n S n n n S e e e e J ρ??=? ?=?? ?=?? ?=?D B E H 4.D E ε=,B H μ=,J E σ= 5. J t ρ??=-? 6.2ρ?ε?=- 12??= 1212n n εεεε??=?? 7.唯一性定理 8.V/m C/m2 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A ，并令 B A =??的依据是（c.0B ?= ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ”的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ ) l n (0 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（ 1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一 定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω= 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?= =-? 其振幅值为： 304510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510.dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S S d q =?得2 4q D r π= 24D e e r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r r a a a q q U d d d r a πεπε∞ ∞ ∞ ==== ??? 导体球的电容04q C a U πε= = 五、两块无限大接地导体板分别置于x=0和x=a 处，其间在x=x0处有一面密度为σ2C/m 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体板间的电场和电位。（20分） 解：()2 102d 00;d x x x ?=<<()22 02d 0 d x x a x ?=<< 得： ()()11100;x C x D x x ?=+<< ()( )222 0x C x D x x a ?=+< < ()()()()()()()(122112102000,0;, x x x x a x x x x ???????????===-???? 和满足得边界条件为 电磁场与电磁波复习题 1.点电荷电场的等电位方程是（ ）。A ． B ． C ． D ． C R q =04πεC R q =2 04πεC R q =024πεC R q =2 024πε2.磁场强度的单位是（ ）。 A ．韦伯 B ．特斯拉 C ．亨利 D ．安培/米 3.磁偶极矩为的磁偶极子，它的矢量磁位为（ ）。 A ． B ． C ． D ．024R m e R μπ?u r r 02 ·4R m e R μπu r r 02 4R m e R επ?u r r 2 ·4R m e R επu r r 4.全电流中由电场的变化形成的是（ ）。A ．传导电流 B ．运流电流 C ．位移电流 D ．感应电流 5.μ0是真空中的磁导率，它的值是（ ）。 A ．4×H/m B ．4×H/m C ．8.85×F/m D ．8.85×F/m π7 10-π7 107 10-12 106.电磁波传播速度的大小决定于（ ）。 A ．电磁波波长 B ．电磁波振幅 C ．电磁波周期 D ．媒质的性质7.静电场中试验电荷受到的作用力大小与试验电荷的电量( )A.成反比 B.成平方关系 C.成正比 D.无关8.真空中磁导率的数值为( ) A.４π×10-5H/m B.４π×10-6H/m C.４π×10-7H/m D.４π×10-8H/m 9.磁通Φ的单位为( )A.特斯拉 B.韦伯 C.库仑 D.安/匝10.矢量磁位的旋度是( )A.磁感应强度 B.磁通量 C.电场强度 D.磁场强度11.真空中介电常数ε0的值为( )A.8.85×10-9F/m B.8.85×10-10F/m C.8.85×10-11F/m D.8.85×10-12F/m 12.下面说法正确的是( ) A.凡是有磁场的区域都存在磁场能量 B.仅在无源区域存在磁场能量 C.仅在有源区域存在磁场能量 D.在无源、有源区域均不存在磁场能量13.电场强度的量度单位为（ ）A ．库/米 B ．法/米 C ．牛/米D ．伏/米14.磁媒质中的磁场强度由（ ）A ．自由电流和传导电流产生B ．束缚电流和磁化电流产生C ．磁化电流和位移电流产生D ．自由电流和束缚电流产生15.仅使用库仓规范，则矢量磁位的值（ ）A ．不唯一 B ．等于零 C ．大于零D ．小于零16.电位函数的负梯度（－▽）是（ ）。?A.磁场强度 B.电场强度 C.磁感应强度 D.电位移矢量 17.电场强度为=E 0sin(ωt -βz +)+E 0cos(ωt -βz -)的电磁波是（ ）。 E v x e v 4πy e v 4π A.圆极化波 B.线极化波 C.椭圆极化波 D.无极化波 18.在一个静电场中，良导体表面的电场方向与导体该点的法向方向的关系是（ ）。 2009——2010学年第一学期期末考试 ?电磁场与微波技术?试卷A 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题2分，共20分) 1. 静电场是( ) A. 无散场 B. 旋涡场 C.无旋场 D. 既是有散场又是旋涡场 2. 已知(23)()(22)x y z D x y e x y e y x e =-+-+- ，如已知电介质的介电常数为0ε，则自由电荷密度ρ为( ) A. B. 1/ C. 1 D. 0 3. 磁场的标量位函数的单位是( ) A. V/m B. A C. A/m D. Wb 4. 导体在静电平衡下，其内部电场强度( ) A.为零 B.为常数 C.不为零 D.不确定 5. 磁介质在外部磁场作用下，磁化介质出现( ) A. 自由电流 B. 磁化电流 C. 传导电流 D. 磁偶极子 6. 磁感应强度与磁场强度的一般关系为( ) A.H B μ= B.0H B μ= C.B H μ= D.0B H μ= 7. 极化强度与电场强度成正比的电介质称为( )介质。 A.各向同性 B. 均匀 C.线性 D.可极化 8. 均匀导电媒质的电导率不随( )变化。 A.电流密度 B.空间位置 C.时间 D.温度 9. 磁场能量密度等于( ) A. E D B. B H C. 21E D D. 2 1B H 10. 镜像法中的镜像电荷是( )的等效电荷。 A.感应电荷 B.原电荷 C. 原电荷和感应电荷 D. 不确定 二、填空题(每空2分，共20分) 1. 电场强度可表示为_______的负梯度。 2. 体分布电荷在场点r 处产生的电位为_______。 0ε0ε电磁场与电磁波波试卷3套含答案
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