2016年专项练习题集-定积分的计算

2016年专项练习题集-定积分的计算

2016年专项练习题集-定积分的计算 一、选择题

1.dx x )5(1

2

2

-?=（ ） A.233

B.31

C.34 D ．83

【分值】5分 【答案】D

【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。 【考查方向】求定积分

【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。

【解析】dx x )5(1

22

-?=123

153

x x -＝83

． 2.直线9y x =与曲线3

y x =在第一象限内围成的封闭

图形的面积为（ ） A 、22 B 、42 C 、2 D 、4 【分值】5分 【答案】D

【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的

函数.

【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积 【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由

???==39x

y x

y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--，

所以()4

8103412

9

942

30

3

=??? ?

?-=-=?x x

dx x x S ，故选D.

3.22

-?

2

412x x -+dx =（ ）

A.π4

B.π

2

C.π

D.π3 【分值】5分 【答案】A

【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型.

【考查方向】求定积分

【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。

【解析】设y=2

4

x-

+,即(x-2)2+y2=16(y≥0).

12x

∵22-?2

x-

+dx表示以4为半径的圆的四分之一12x

4

面积.∴22-?2

x-

+dx=π4.

12x

4

4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A设定v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B设定在A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后赛车A 追上赛车B所用的时间t(s)为( )

A．3

B．4

C．5

D．6

【分值】5分

【答案】A

【易错点】将问题转化为定积分的理解

【考查方向】本题主要考查了变速直线运动的路程问题。

【解题思路】先表示出变速直线运动物体的速率v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≥0)，然后应用“物体从时刻t＝a到t＝b(a

b v(t)d t”求解定积分问题.

a

【解析】因为赛车A在t秒内行驶

的路程为?0t

(3t 2＋1)d t ，赛车B 在t 秒内行驶的

路程为?0

t

10t d t ，所以?0

t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3

＋t －5t 2)???

t

＝t 3＋t －5t 2＝5?(t －5)(t 2＋1)

＝0，即t ＝5.

5.如图，阴影部分的面积为( )

A ．9

B ．136

C ．92

D ．73

【分值】5分 【答案】C

【易错点】曲线所围成的面积与定积分几何意义的理解。

【考查方向】本题主要考查了曲线围成面积的求法。

【解题思路】首先应该根据图形的面积所表达的条件找出被积函数,写出积分形式，以x 为变量设定，被积函数即为y=－x 2－x ＋2,然后求定积分。

【解析】由2

2,y x y x

=-??

=-?

求得两曲线交点为A(－2，－4)，B(1，－1)．结合图形可知阴影部分的面积为S ＝12

-?[－x 2－(x －2)]d x ＝12

-?(－x 2－x ＋2)

d x ＝

321

2

1192322

x x x -??--+=

?

??

．所以选C.

二、填空题 6.=

+?

-dx x x 11

3)sin (___________．

【分值】5分 【答案】0

【易错点】微积分基本定理即导数的逆运算的应用。

【解题思路】先将被积函数进行求导的逆运算，然后计算函数值的增量。 【解析】0)cos 4

1

()sin (1141

13=-=+--?

x x dx x x

7.设f (x )＝

[][]?????∈∈e x

x e x ,11

1,0,(e 为自然对数的底数)，则

＝________．

【分值】5分 【答案】e

【易错点】应用微积分定理求积分的关键是求被积函数的原函数,注意求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算;当被积函数是分段函数时，依据定积分的性质，分段求定积分，再求和．

dx

x f e

)(0?

求解。

【解题思路】先将被积函数的各段进行求导的逆运算，然后分别计算函数值的增量。 【解析】1

ln 01

1101)(0e x e dx x e dx e dx x f e

x x +=+=???=e-1＋lne ＝

e.

8.设.若曲线与直线所围成封闭图

形的面积为，则______. 【分值】5分 【答案】0

【易错点】曲线所围成的面积与定积分几何意义的理解。

【考查方向】本题主要考查了定积分的几何意义。

0a >y x

=

,0x a y ==2

a a =

【解题思路】先分清是求曲边图形面积，还是利用曲边图形面积解决其他问题，再正确作出图形，确定积分区间和被积函数，然后根据条件，建立等量关系或方程，进行求解． 【解析】由已知得，所以，

所以.

三、解答题

9.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，

f ′(0)＝0，?0

1(x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值． 【分值】10分

【答案】a ＝6，b ＝0，c ＝－4 【易错点】定积分与导数逆运算的关系 【考查方向】本题主要考查了定积分的运算。 【解题思路】 根据题设条件，列出方程组，求出a ，b ，c .

2

23

023

3

2|32a a x x S a

a ====?

3

22

1

=

a

94

=a

【解析】由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2.①

因为f ′(x )＝2ax ＋b ，所以f ′(0)＝b ＝0.② 又因为?0

1f (x )d x ＝?0

1(ax 2＋bx ＋c )d x

＝? ??

??

?13ax 3＋12bx 2＋cx |10＝13a ＋12b ＋c ，

所以13a ＋1

2

b ＋

c ＝－2.③

联立①②③，解得a ＝6，b ＝0，c ＝－4. 10.已知两抛物线y ＝－x 2＋2x ，y ＝x 2，以其图像在第一象限的交点为对角顶点恰好能构建一正方形，设两抛物线所围成的图形区域为M ，则某人向该正方形区域内撒一粒黄豆，求黄豆能落在M 内的概率． 【分值】10分

【答案】1

3

【易错点】注意应用定积分求面积，构建几何概型的几何测度。

【考查方向】本题主要考查了定积分的几何意义及运算，几何概型。

【解题思路】求出两抛物线的交点，画出图象，利用定积分求解．

【解析】函数y ＝－x 2＋2x ，y ＝x 2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．

由图可知，图形M 的面积S

＝?0

1(－x 2＋2x －x 2)dx ＝?01(－2x 2＋2x)dx ＝? ?????－23x 3＋x 2???10＝1

3

.

正方形面积为1，有几何概型的概率公式可得黄豆能落在M 内的概率P=

3

1131 。

不定积分练习题及答案

不定积分练习题一、选择题、填空题： 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数，贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数，贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中，过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x)，则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是：(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则： f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx

不定积分公式大全

Ch4、不定积分 §1、不定积分的概念与性质 1、 原函数与不定积分 定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。 ① 连续函数一定有原函数； ② 若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数； 事实上，())()()('' x f x F C x F ==+ ③ )(x f 的任意两个原函数仅相差一个常数。 事实上，由[]0)()()()()()('2'1' 11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得C x F x F =-)()(21 故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。 定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为?dx x f )(，?-积分号，-)(x f 被积函数，-x 积分变量。 显然C x F dx x f +=?)()( 例1、 求下列函数的不定积分 ①?+=C kx kdx ②??? ???-=+-≠++=+1 ln 11 1 1μμμμμ C x C x dx x 2、 基本积分表（共24个基本积分公式） 3、 不定积分的性质 ①[]???±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ②??≠=)0()()(k dx x f k dx x kf 例2、 求下列不定积分 ①? ?+-=++-==+--C x C x dx x x dx 11)2(11 )2(22

②? ?+=++-= =+--C x C x dx x x dx 21 )21(1 1)21(21 ③?+-=??? ? ??+--C x x dx x x arctan 3arcsin 5131522 ⑤()???++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2 ⑥????++-=+=+=C x x xdx xdx dx x x x x x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 2 2222222 ⑦() ??+--=-=C x x dx x dx x cot 1 csc cot 22 §2、不定积分的换元法 一、 第一类换元法（凑微分法） 1、()()()()b ax d a dx b ax d b ax f a dx b ax f +=++= +??1 ,1即 例1、求不定积分 ①()C x udu u x x xd xdx +-===???)5cos(5 1 sin 51555sin 515sin ②()()()()??+--=+-+? -=---=-+C x C x x d x dx x 8177 72116 12117121)21(212121 ③())20(arctan 111222C a x a a x a x d a x a dx +?? ? ??=+=+?? ④()() )23(arcsin 12 2 2 C a x a x a x d x a dx +?? ? ??=-=-? ? 2、()()n n n n n n dx dx x dx x f n dx x x f == --??11,1 即 例2、求不定积分 ①( )() () () C x C x x d x dx x x +--=+-+?-=---=-+??2 32 12 12 212 2 12 2 13 1 11 121112 1 1

定积分的应用

定积分的应用

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

浅谈定积分的应用 **** **** （天津商业大学经济学院，中国天津 300134) 摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。 关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功 The Application of Definite Integral **** **** (Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China) Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definition of defi nite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in the higher mathe matics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, through the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very convenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 0、前言 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。 微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5] 。本文将举例介绍定积分在 的我们日常学习和生活当中的应用。 1定积分的基本定理和几何意义 1.1、定积分的定义 定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =， b x =,()x f y =所围成图形的面积。 定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是： 如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())(' x f X F =，那么 ()()()1)(Λa F b F dx x f b a -=?

定积分典型例题20例答案(供参考)

定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．

不定积分练习题及答案

不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则：

不定积分计算的各种方法论文.doc

不定积分计算的各种方法 广东石油化工学院高州师范学院312数学（1）班梁多彬 【摘要】本论文将要介绍常见的不定积分的各种计算方法以及某些特殊不定积分的求解方法，如：直接积分法（公式法）、分部积分法、换元积分法（第一换元积分法和第二换元积分法）、以及一些特殊函数的积分技巧与方法（有理函数的不定积分以及简单无理函数与三角函数的不定积分），并将结合例题探讨快捷方便的解题方法。 【关键词】不定积分直接积分法分部积分法换元积分法有理函数不定积分简单无理函数与三角函数有理式的不定积分 一、引言 不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分，瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础，掌握不定积分的计算方法对于学习这些后续内容具有重要意义。不定积分的解法不像微分运算有一定的法则，它需要根据不同的题型特点采用不同的解法，因此积分运算比起微分运算来，方法更多样，技巧性更强。下面将不定积分的各种计算方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。 二、不定积分的概念 定义：函数f(x)在区间I的所有的原函数()()R F∈ x C C +称为函数f(x)的不 ? 定积分，表为

?+=C x F dx x f )()( （)()('x f x F =，C 为积分常数）, 其中∫称为积分符号，x 称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，C 称为积分常数。 在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。列如： at at =??? ? ??' 221，而?+=C at atdt 221； () x x cos sin ' =,而?+=C x xdx sin cos ； 2 ' 331x x =??? ? ??，而?+=C x dx x 3231. 这也就是说： ()?)(d x f dx 和?dx x f )(' 是不相等的，即前者的结果是一个函数， 而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。 三、不定积分的计算方法 1.直接积分法 既然积分运算是微分运算的逆运算，那么自然地可以从导数公式得到相应的积分公式，并且我们把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常叫作基本积分表： （1）、?+=C ax adx ,其中a 是常数. ?+=C x dx . （2）、?++= +C x dx 11 1 x ααα，其中α是常数，且α≠-1. （3）、? +=C x x dx ln ,x ≠0. （4）、C a a dx a x x +=?ln 1 ,其中a>0，且a ≠1.

定积分典型例题11198

定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π ． 例18 计算2 1 ||x dx -?． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1||x dx -?＝0 2 10()x dx xdx --+??＝220210[][]22x x --+＝5 2 ． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算2 20 max{,}x x dx ?． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且10 ()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分()b a f x dx ?是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而10 ()f t dt ?是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且11 (3)()x a dx f t dt a +==??．

不定积分例题及答案

第4章不定积分

习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?

思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?

不定积分的典型例题

例1．計算 dx x x ?++1 1 42 解法1 ).12)(12(1224+- ++ =+x x x x x 而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以 )121 121(21112242dx x x dx x x dx x x ???++++-=++ . )]12arctan()12[arctan(2 11 )12( ) 1221 1 )12( ) 12(21) 21)22(121)22(1[212 2 22c x x x x d x x d dx x dx x +++-= ++++ +--=++ ++- =???? 解法2 dx x x x x x x x dx x x ??+++-++-=++)12)(12(2)12(112 2242 . arctan 21)12arctan(211212242 c x x dx x x x x dx +++=++++=?? 解法3 ???+-=++=++≠22222421)1 (11111,0x x x x d dx x x x dx x x x 当 c x x x x x x d +-=+--=?21arctan 212)1() 1 (22 ,2 221arctan 2 1lim 20 π - =-+ →x x x Θ ,2 221arctan 21lim 20π=--→x x x

由拼接法可有 .0 2 221arctan 2100 ,2 221arctan 21112242 ??? ? ? ? ?<+--=>++-=++?x c x x x x c x x dx x x ππ 例2.求 .) 1()1(2 2 23dx x x x ?+++ 解 将被积函数化为简单的部分分式 (*)1 )1(1)1()1(222223?????++++++=+++x D Cx x B x A x x x 两边同乘以2)1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .2 11)1(2)1(2 3=+-+-=B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为 . 2.24 26)1() 2(2)1(3lim ]12[lim )1() 1()1(2[lim 2232212312 2231=∴=+=++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以 .2 1 -=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令,+∞→x 得 .1,1-=?+=C C A 故有 . arctan 2 1 )1ln(21)1(211ln 2]1)1(1[)1()1(2222223c x x x x dx x D Cx x B x A dx x x x +-+-+-+=++++++=+++?? 例3. 求 .) ()1(2 424dx x x x x ? ++ 解 令 ,2x u =再用部分分式，則

不定积分最全公式

常见不定积分公式 1）∫0dx=c 2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c 3）∫1/xdx=ln|x|+c 4)）∫a^xdx=(a^x)/lna+c 5）∫e^xdx=e^x+c 6）∫sinxdx=-cosx+c 7）∫cosxdx=sinx+c 8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c 9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c 10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c 11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c 12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c 13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c 15）∫1/√(a^2-x^2) dx=arcsin(x/a)+c 16) ∫sec^2 x dx=tanx+c; 17) ∫shx dx=chx+c; 18) ∫chx d x=shx+c; 19) ∫thx dx=ln(chx)+c; 1.∫adx = ax+C (a 为常数) 2.∫sin(x)dx = -cos(x)+C 3.∫cos(x)dx = sin(x)+C 4.∫tan(x)dx = -log e |cos(x)|+C = log e |sec(x)|+C

5. ∫cot(x)dx = log e |sin(x)|+C 6. ∫sec(x)dx = log e |sec(x)+tan(x)|+C 7. ∫sin 2(x)dx = 1 (x-sin(x)cos(x))+C 2 = 1 x - 1 sin(2x)+C 2 4 9. ∫cos 2(x)dx = 1 (x+sin(x)cos(x))+C 2 = 1 x + 1 sin(2x)+C 2 4 11.∫tan 2(x)dx = tan(x)-x+C 12.∫cot 2(x)dx = -cot(x)-x+C 13.∫sin(ax)sin(bx)dx = sin((a-b)x) - sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 14.∫sin(ax)co s(bx)dx = - cos((a-b)x) - cos((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 15.∫cos(ax)cos(bx)dx = sin((a-b)x) + sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 16.∫xsin(x)dx = sin(x)-xcos(x)+C 17.∫xcos(x)dx = cos(x)+xsin(x)+C 18.∫x 2sin(x)dx = (2-x 2)cos(x)+2xsin(x)+C 19.∫x 2cos(x)dx = (x 2-2)sin(x)+2xcos(x)+C 20.∫e x dx = e x +C 21. ∫ a dx = a log |x| (a 为常数) x

定积分方法和应用

例3 求由曲线及轴所围图形的面积。 解画草图，曲线与的交 点是，取为积分变量， 时，， 时，， 所以， 例4求由圆与直线及曲线所围图形的面积。 解画草图，取为积分变量，

例5 求抛物线与其在点处的法线所围成图形的面积。 解先求出法线方程，画出草图，再求出法线与抛物线的两个交点 ，所以， 例6 求曲线的一条切线，使得该切线与直线及曲线所围成的图形的面积 A 为最小。 解（1）关键是找出目标函数，即所围面积与切点 坐标间的函数关系。设为曲线上 任一点，则此点处的切线方程 为 , 于是所求面积

= （2）下面求 A 的最小值： 令得。又当，时；当时，。 故当时，A 取极小值，也是最小值，从而得到切线方程 参数方程的情形 按直角坐标情形分析，参数方程相当于积分时把积分变量做了变换。不用记公式。 由连续曲线，轴及直线、 所围图形的面积为 其中 例7求摆线的一拱与轴所围成的平面图形的面积。

解如图，对应与图中摆线的一拱，的变化范围为，参数t 的变化范围为。故所求面积为

= 2. 极坐标情形 设曲线的极坐标方程为 连续，由曲线及射线 所围曲边扇形 的面积 为 （记住） 例8 求双纽线所围成的平面图形的面积。

解由于双纽线的图形和极轴与极点都对称，因此只需求出区间上部分面积再 4 倍即可 1. 平行截面面积已知的立体体积 设空间立体被垂直于轴的平面所截，截面面积为，且立体在 之间，则体积元素，立体体积 例9 一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面成交角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积。 解取这平面与圆柱体的底面的交线

最新不定积分的典型例题

不定积分的典型例题

例1．計算?Skip Record If...? 解法1 ?Skip Record If...? 而?Skip Record If...??Skip Record If...?所以 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 解法2 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 解法3 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...? 由拼接法可有 ?Skip Record If...? 例2.求?Skip Record If...? 解将被积函数化为简单的部分分式 ?Skip Record If...? 两边同乘以?Skip Record If...?，约去?Skip Record If...?的因子后令?Skip Record If...?得?Skip Record If...? 两边同乘以?Skip Record If...?，对?Skip Record If...?求导，再令?Skip Record If...?，施以上运算后，右端得A,而左端为 ?Skip Record If...? 在分解式（*）中令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?所以?Skip Record If...?分解式（*）两边同乘以?Skip Record If...?，再令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?故有 ?Skip Record If...? 例3.求?Skip Record If...? 解令?Skip Record If...?再用部分分式，則 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?两边乘以?Skip Record If...?再令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?两边乘以?Skip Record If...?再令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?两边乘以 ?Skip Record If...?再令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?令?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 例4 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...? 例5.求?Skip Record If...?

不定积分例题与答案解析

第4章不定积分 容概要

课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★ (1)? 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

§定积分的应用习题与答案

第六章 定积分的应用 （A ） 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）221x y = 与822=+y x （两部分都要计算） 2）x y 1= 与直线x y =及2=x 3）x e y =，x e y -=与直线1=x 4）θρcos 2a = 5）t a x 3cos =，t a y 3sin = １、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积

２、求对数螺线θρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积 ３、求由曲线x y sin =和它在2π =x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 ４、由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体 的体积 ５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形 的立体体积 ６、计算曲线()x y -= 33 3上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 ７、计算星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长

８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ） 成正比，即：kS =→F （k 是比例常数），如果把弹簧原长拉伸6cm ， 计算所作的功 ９、一物体按规律3ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0 =x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功 １０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？ １１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边 与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力 １２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022>=p px y 与直线p y x 2 3=+ 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积

不定积分典型题型

不定积分典型题型 1. 原函数 2.积分公式 3.第一类换元积分法(也称凑微分法） 4.第二类换元积分法 5. 分部积分法 原函数 1. 若F’(x)=f(x), G’(x)=f(x), 则 ?=dx x f )(（ ） A. G （x ） B. F （x ） C. F （x ）+C 分析：此题考查不定积分和原函数之间的关系。 2. 下列函数中，是同一个函数的原函数的为（ ） A.lnx,ln(x+2) B.arcsinx,arccosx C.lnx,ln2x 分析：验证两个函数的差是否为常数。运用对数函数的运算。Ln2x=ln2+lnx 积分公式 1.=? dx e x x 3 分析：运用公式 ? a x dx= a ln 1a x +C ， 把3e 看做一个整体,化为x e )3(。 答： C e x x ++3 ln 13 2.=+?dx x x 2 2 13 分 析 ： 对 函 数 进 行 “ 加 一 项 减 一 项 ” 处 理 ， 则 C x x dx x x x dx x x +-=+-=+-+=+???)arctan (3)11 1(311131322222 3.=? dx x 2tan 分析：运用三角恒等式,1sec tan 2 2-=x x 则C x x dx x ec s dx x +-=-=? ?tan )1(tan 2 2 4. =?dx x x 22sin cos 1 分 析 ： 运 用 三 角 恒 等 式 sin 2x+cos 2x=1, 则 C x x dx x x dx x x x x dx x x +-=+=+=???cot tan )csc (sec sin cos cos sin sin cos 12 2222222.

(完整版)不定积分习题与答案

不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２） ? x x dx 2 ３） dx x ?-2)2 ( ４） dx x x ? +2 2 1 ５）??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ?2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(?+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １） dx x ?-3)2 3( ２） ? - 33 2x dx ３） dt t t ?sin ４） ? ) ln(ln ln x x x dx ５）? x x dx sin cos６） ?- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ? ８） dx x x ? -4 3 1 3 ９） dx x x ?3 cos sin 10） dx x x ? - - 2 4 9 1 11）? -1 22x dx 12） dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan

3、求下列不定积分（第二换元法） １） dx x x ? +2 1 1 ２） dx x ?sin ３） dx x x ?-4 2 ４） ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）? +3 2)1 (x dx ６） ? +x dx 2 1 ７）? - +2 1x x dx ８） ? - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １） inxdx xs ? ２） ?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?- 2 sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６） ?xdx x cos 2 ７）?xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ? ５、求下列不定积分（有理函数积分） １） dx x x ? +3 3 ２）? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）? +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。

不定积分_定积分复习题与答案

上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx =?，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s <<

高数 定积分的应用

第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、 旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均 值等）。 教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面 面积为已知的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6.1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) ( 是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以

[a , b ]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A )( . 一般情况下, 为求某一量U , 先将此量分布在某一区间[a , b ]上, 分布在[a , x ]上的量用函数U (x )表示, 再求这一量的元素dU (x ), 设dU (x )=u (x )dx , 然后以u (x )dx 为被积表达式, 以[a , b ]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U )(. 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法). §6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积.