高中数学重点、难点突破(3)
函数的基本性质
知识体系梳理
1 ?增函数、减函数定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I ，区间D? I ，如果对于任意X i ，X 2€ D ，且x i v X 2,则 都有：(1)_______________ ? f(x)在区间D 上是增函数；(2) _____________ ? f(x)在区间D 上是减函数.
2.单调性、单调区间的定义
若函数f(x)在区间D 上是 _________ 或 ______ ，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单
调性，区间D 叫做f(x)的 __________ 前提
设函数f(x)的定义域为I ，如果存在 实数M 满足 条件
①对于任意的x € I ，都有 ； ②存在x o € I ，使得 .
「①对于任意的x € I ，都有 ； ②存在x o € I ，使得 .
结论 M 是y = f(x)的最大值 M 是y = f(x)的最小值 对于函数f(x)的定义域内的任意一个 x. (1) ____________ ? f(x)为偶函数；
(2) ________ ? f(x)为奇函数.
5.奇、偶函数的性质
(1)图象特征：奇函数的图象关于 _______ 对称，偶函数的图象关于 _对称.
⑵对称区间上的单调性：
奇函数在关于原点对称的两个区间上有 ______ 的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区
间上有 _____ 的单调性.
⑶奇函数图象与原点的关系： 如果奇函数f(x)在原点有意义，则
1.如果二次函数f(x) = 3/ + 2(a — 1)x + b 在区间(一a, 1)上是减函数, B . a = 2 C . a W — 2
D . a 》2 (0,1)上是增函数的是( )
1 2
B . y = x
C . y =— x 2 + 4
D . y = |x|
7. 设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是
A . f(x) + |g(x)| 是偶函数
B . f(x)— |g(x)| 是奇函数
C . |f(x)| + g(x)是偶函数
D . |f(x)| — g(x)是奇函数 8.
下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 ( )
3 1
A . y = x + 1
B . y =— x 3
C . y = -
D . y = x|x| x f(0)=
A . a =— 2
2?下列函数中，在区间
A . y = 3 — x 3. 函数y = (2k + 1)x + b 在x € R 上是减函数，则 k 的取值范围是( 1 1 1 A . k >
B . k v 2
C . k >— 2 4. 已知 f(x)= ax 2 + bx 1 A .- 3 5. 已知定义在 A . — 1 )
1 D . k v — 是定义在［a — 1,2a ］上的偶函数，那么 a + b 的值是( B.1 3 R 上的奇函数 B . 0
6. 已知y = f(x)是偶函数，则函数
A . x = 1
B . x =— 1 1 C." D .—- 2 2 f(x),满足 f(x + 4) = f(x)，则 f(8)的值为(
C . 1
D . 2 y = f(x + 1)的图象的对称轴是( ) 1 1 C . x^ 2 D . x^ 2
9. 函数 f(x)= (m — 1)x 2+ 2mx + 3 为偶函数，则 f(x)在区间(一5, — 3)上( )
A .先减后增
B .先增后减
C .单调递减
D .单调递增
10. 函数 f(x) = x 2— 2x , x € ［ — 2,3］的单调增区间为 ____ , f(x)max = _________ .
1
11. 函数f(x)= ——:——的值域是 _________ .
1 — x 1 — x
一… X + 1 x + a 訂,一 p * mr
12.
函数f(x) = _____________________ 3 为奇函数，则 a = . x
13. _________________________________________________________________ 已知 y = f(x) + x 2是奇函数，且 f(1) = 1.若 g(x)= f(x) + 2,贝V g(— 1) = _______________________ . 14. 设函数f(x)= mx 2— mx — 1,若f(x)v 0的解集为R ，则实数m 的取值范围是_
15.________________________________ 若函数f(x)=|2x + a|的单调递增区间是［3 ,+^ )，贝U a = ___________ . 16._________________________________________ 若函数f(x)=|2x + a|在区间［3,+s )上单调递增，则a 的取值范围为 ________________________
17. 判断下列各函数的奇偶性： ⑵f (x )= Z
18. 已知定义在 R 上的奇函数满足 f(x) = x 2+ 2x(x > 0)，若f(3 — a 2)> f(2a),求实数a 的取值
范围
19?已知函数f(x)= 2|x — 2|+ ax(x € R)有最小值.
(1)求实数a 的取值范围；
⑵设g(x)为定义在R 上的奇函数，且当 x v 0时，g(x)= f(x),求g(x)的解析式.
(3)f(x)=
x 2 + x X V 0
—x 2 + x x > 0
(1) f(x) = (x + 1) 1 — x ； 1 +
x
20. 已知f(x) = (X M a).若a> 0且f(x)在(1 ,+^ )上单调递减，求a的取值范围.
x —a
21. 函数f(x)对任意的m、n€ R，都有f(m+ n) = f(m) + f(n) —1,并且x> 0 时，恒有f(x) > 1.
⑴求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(3) = 4，解不等式f(a2+ a —5) < 2.
22?已知函数f(x)是定义在0, 上的增函数，对于任意的x, y (0,)，都有
f(x y) f(x) f(y) 1, f(4) 5.
(1) 求f(2)的值；
(2) 解不等式f(x 2) 3