绝密★考试结束前
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理科）
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式
如果事件,A B 互斥 ，那么
()()()P A B P A P B +=+
如果事件,A B 相互独立，那么
()()()P A B P A P B ?=?
如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
()(1)
(0,1,2,...,)k k n k
n n
P k C p p k n -=-=
台体的体积公式
11221
()3
V h S S S S =+
其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高
柱体体积公式V Sh =
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体
的高
锥体的体积公式1
3
V Sh =
其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式
24S R π=
球的体积公式
34
3
V R π=
其中R 表示球的半径
2
22
2侧视图
俯视图
x
A
y
F
O
B C
一、选择题：本大题共8小题, 每小题5分, 共40分, 在每小题给出的四个选项中只有
一项是符合题目要求的。
1. 已知集合P ={x |x 2-2x ≥0}, Q ={x |1 2. 某几何体的三视图如图所示(单位:cm), 则该几何体的体积是( ) A.8cm 3 B.12cm 3 C. 332cm 3 D.3 40cm 3 3. 已知{a n }是等差数列, 公差d 不为零, 前n 项和是S n , 若a 3, a 4, a 8 成等比数列, 则( ) A. a 1d >0, dS 4>0 B. a 1d <0, dS 4<0 C. a 1d >0, dS 4<0 D. a 1d <0, dS 4>0 4. 命题“*)(*,N n f N n ∈∈? 且f (n )≤n ” 的否定形式是( ) A.*)(*,N n f N n ?∈?且f (n )>n B.*)(*,N n f N n ?∈?或f (n )>n C.*)(*,00N n f N n ?∈?且f (n 0)>n 0 D.*)(*,00N n f N n ?∈?或f (n 0)>n 0 5. 如图, 设抛物线y 2=4x 的焦点为F , 不经过焦点的直线上有三个不同的点A , B , C , 其中 点A , B 在抛物线上, 点C 在y 轴上, 则△BCF 与△ACF 的面积之比是( ) A.1||1 ||--AF BF B.1 ||1||2 2 --AF BF C. 1||1 ||++AF BF D.1 ||1||22 ++AF BF 6. 设A , B 是有限集, 定义d (A , B )=card(A Y B )-card(A I B ), 其中card(A )表示有限集A 中的元素个数, 命题①：对任意有限集A , B , “A ≠B ”是“d (A , B )>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A , B , C , d (A , C )≤d (A , B )+ d (B , C ), 则( ) A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立, 命题②不成立 D.命题①不成立, 命题②成立 7. 存在函数f (x )满足, 对任意x ∈R 都有( ) A.f (sin 2x )=sin x B. f (sin 2x )=x 2+x C.f (x 2+1)=|x +1| D.f (x 2+2x )=|x +1| 8. 如图, 已知△ABC , D 是AB 的中点, 沿直线CD 将△ACD 折 成△CD A ', 所成二面角B CD A --'的平面角为α, 则( ) A.DB A '∠≤α B.DB A '∠≥α C.CB A '∠≤α D.CB A '∠≥α 二、填空题：本大题共7小题, 多空题每题6分, 单空题每题4分, 共36分。 9. 双曲线12 22 =-y x 的焦距是 , 渐近线方程是 10. 已知函数f (x )=?? ? ??<+≥-+1),1lg(1,322x x x x x , 则f (f (-3))= , f (x )的最小值是 11. 函数f (x )=sin 2x +sin x cos x +1的最小正周期是 , 单调递减区间是 12. 若a =log 43, 则a a -+22= 13. 如图, 三棱锥A -BCD 中, AB =AC =BD =CD =3, AD =BC =2, 点M , N 分别是AD , BC 的中点, 则异面直线AN , CM 所成 的角的余弦值是 14. 若实数x , y 满足x 2+y 2≤1, 则|2x +y -2|+|6--3y |的最小值是 15. 已知21 ,e e 是空间单位向量, 21 e e ?= 21, 若空间向量b 满足1 e b ?=2, 2 e b ?=2 5 , 且对于 任意x , y ∈R , |) (21e y e x b +-|≥|) (2010e y e x b +-| =1 (x 0, y 0∈R ), 则x 0= , y 0= , |b |= 三、解答题：本大题共5小题, 共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. (本题满分14分)在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 已知A =4 π, b 2-a 2=21c 2 (I)求tan C 的值；(II)若△ABC 的面积为3, 求b 的值 17. (本题满分15分)如图, 在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, ∠BAC =90°, AB =AC =2, A 1A =4, A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点, D 为B 1C 1的中点. (I)证明: A 1D ⊥平面A 1BC ; (II)求二面角A 1-BD -B 1的平面角的余弦值 N M D C B A A B C D A 1 B 1 C 1 y x B A O 18. (本题满分15分)已知函数f (x )=x 2+ax +b (a , b ∈R ), 记M (a , b )是|f (x )|在区间[-1,1]上的 最大值 (I)证明: 当|a |≥2时, M (a , b )≥2; (II)当a , b 满足M (a , b )≤2, 求|a |+|b |的最大值 19. (本题满分15分)已知椭圆222y x +=1上两个不同的点A , B 关于直线y =mx +2 1 对称． (I)求实数m 的取值范围；(II)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点) 20. (本题满分15分)已知数列{a n }满足a 1=2 1, 且1n a +=n a -2 n a (n ∈N*) (I)证明：1≤ 1 +n n a a ≤2 (n ∈N*) (II)设数列{2 n a }的前n 项和为S n , 证明 )2(21+n ≤n S n ≤)1(21+n (n ∈N*) 2005年浙江高考数学（理科）试题参考答案 一．选择题. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B D A A D B 二．填空题． 9.32, x 2±y =0 10. 0,22-3 11. π, [k π +83π, k π +8 7π], k ∈Z 12. 334 13.8 7 14. 3 15. 1, 2,22 三．解答题. 16.解: (I)∵a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-2bc 又b 2-a 2=21c 2∴2bc -c 2=2 1 c 2即3c =22b ∴3sin C =22sin B =22sin(C +4 π )=2(sin C +cos C ) ∴sin C =2cos C , 故tan C =2 (II)S △ABC = 2 1 bc sin A =42bc =3∴bc =62又c =322b ∴322b 2=62∴b 2=9, 故b =3 法二: (I)∵b 2-a 2=21c 2, A =4π∴sin 2B 21-=21 sin 2C 即-cos2B =sin 2C ∴sin 2C =-cos2(C -4 3π )=sin2C =2sin C cos C 即sin C =2cos C , 故tan C =2 (II)由tan C =2, 0 2π , 得cos C =51tan 112=+C , sin C =52 ∴sin 2B = 21(1+sin 2C )=109 ∴sin B =22352223103=?=sin C , 从而c =322b 又S △ABC = 21bc sin A =42bc =3 1 b 2= 3 ∴b 2=9, 故b =3 17.解: (I)设BC 的中点为O , 则A 1O ⊥平面A 1B 1C 1, 即A 1O ⊥平面ABC ∴A 1O ⊥A 1D 又A 1B 1=A 1C 1, B 1D =DC 1∴A 1D ⊥B 1C 1∴A 1D ⊥BC , BC I A 1O =O ∴A 1D ⊥平面A 1BC (II)建立如图所示的坐标系O -xyz , 则D A 1=(-2, 0, 0), DB =(2,2, -14) 设平面A 1BD 的法向量为n =(x , y , z ), 则DB n D A n ?=?1=0 ∴?????=-+=0 70 z y x x , 令z =1, 得n =(0,7, 1) 设平面BB 1D 的法向量为m =(u , v , w ), 则DB m DB m ?=?1=0, O z y x C 1 1 A 1 D C B A 又1DB =(0,2, 0) ∴?????=-+=0 70 w v u v , 令w =1, 得m =(7, 0, 1) ∴cos 1||||=n m 又二面角A 1-BD -B 1的平面角是钝角, 故所求的平面角的余弦值为8 1- 法二: 过A 1作A 1H ⊥BD 交BD 于H , 连结B 1H , 由∠BAC =90°, AB =AC =2 ∴AO =OB =2 ∴A 1O =14221=-OA A A , 从而A 1B =221OB O A +=4=BB 1 又A 1D =B 1D =2 ∴△A 1BD ≌△B 1BD (此题数据设计的要点, 非常规, 不易发现) 故由A 1H ⊥BD 得B 1H ⊥BD ∴∠A 1HB 1是二面角A 1-BD -B 1的平面角 由B 1C 1⊥A 1D , B 1C 1⊥A 1O 得B 1C 1⊥平面A 1DO ∴B 1C 1⊥OD 从而B 1C 1⊥BB 1 ∴A 1H = B 1H =34 212111=+?B B D B B B D B ∴cos ∠A 1HB 1=81 222 121121-=-H B B A H B 因此, 二面角A 1-BD -B 1的平面角的余弦值是8 1 - 18.解: (I)∵|a |≥2 ∴|2 |a - ≥1, 故f (x )在[-1, 1]上为单调函数 ∴M (a , b )=max{|f (-1)|, |f (1)|}=max{|1+b -a |, |1+b +a |}=|1+b |+|a |≥2 (最佳表达式, 重复应用) (II)由(I)知|a |≤2, ∴|2|a - ≤1 ∴M (a , b )=max{{|f (-1)|, |f (1)|, f (2 a -)} ∴| b |-1+|a |≤|1+b |+|a |=max{|f (-1)|, |f (1)|}≤M (a , b )≤2 ∴|a |+|b |≤3, 当a = -2, b = -1时, M (a , b )=2, |a |+|b |=3 (每一点的知识都不难, 串起来才难) 因此, |a |+|b |的最大值为3 法二: (I)由已知得|f (-1)|≤M (a , b ), |f (1)|≤M (a , b ) 又f (-1)=1-a +b , f (1)=1+a +b ∴2a =f (1) -f (-1) (隐含着通过函数值反求系数, 常法) ∴4≤2|a |≤|f (1)|+|f (-1)|≤2M (a , b ) ∴M (a , b )≥2 (II)由(I)知a +b =f (1)-1, a -b =1-f (-1) ∴|a |+|b |=max{|a +b |, |a -b |}=max{|f (1) -1|, |1- f (-1)|}≤M (a , b )+1≤3 O H C 1 B 1 A 1 D C B A 当a = -2, b = -1时, f (x )=x 2-2x -1=(x -1)2-2∈[-2, 2], |x |≤1, 此时M (a , b )=2, |a |+|b |=3 因此, |a |+|b |的最大值为3 19.解: (I)设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), AB 的中点M (x 0, y 0), 则2x 0=x 1+x 2, 2y 0=y 1+y 2 显然m ≠0, 故可设直线AB 的斜率k = 2121x x y y --=m 1 - 由222121 =+y x ,222 222=+y x , 相减得(x 1-x 2)(x 1+x 2)+2(y 1-y 2)(y 1+y 2)=0 即x 0m 2 -y 0=0 又点M (x 0, y 0)在直线y =mx + 21上, ∴y 0=mx 0+21, 故得x 0=m 1-, y 0=2 1- 又点M 在椭圆1222=+y x 的内部, 故得41212+ m <1, 解得m 2>32 因此, m >36或m <3 6 - (此题用点差法最佳, 简明使得出错的几率小) 法二: 设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), AB 的中点M (x 0, y 0), 则2x 0=x 1+x 2 显然m ≠0, 故可设直线AB 的方程为y =m 1 - x +b 由?? ??? =++-=2 222y x b x m y 得(1+22m )x 2x m b 4-+2(b 2-1)=0有两个不等实根x 1, x 2, ∴△=)1)(2 1(8162222-+-b m m b >0 整理得m 2+2-m 2b 2>0 (*) 且x 0=21(x 1+x 2)=2 22+m bm , y 0=m 1 -x 0+b =222+m bm 又∵点M (x 0, y 0)在直线y =mx +21上, ∴y 0=mx 0+2 1 , 整理得bm =m m 222+- 代入(*)式得m 2+22 224)2(m m +->0 即4m 2-(m 2+2)>0, 解得m 2>32 因此, m >36或m <36- (其中也可得x 0=m 1-, y 0=21 -) (II)由k =m 1-, 则0 1 -=0 ∴原点O 到直线AB 的距离d = 22121k k ++ 由?? ???=+- -=2 221222 y x k kx y 得x 2-2kx +21(2k 2+1)1222+-k =0 (利用|x 1-x 2|=?) ∴|AB |=2 1k +|x 1-x 2|=22 2 22 22 461 211 28)12(241k k k k k k k -++= ++ +-+ 故S △AOB = 21|AB |d =8)21(841)46)(12(412222+--=-+k k k ≤ 22, 且0 3 因此, 当k 2= 2 1 即m =2±时, △AOB 的面积S △AOB 有最大值22 20.解: (I)∵a n -a n +1=2 n a ≥0 ∴a n +1≤a n ∴a n ≤a 1=2 1 由a n =11)1(---n n a a 得a n =0)1()1)(1(1121>-----a a a a n n Λ, 故0< a n ≤2 1 从而 n n n n n n a a a a a a -= -=+11 )1(1∈[1, 2] 即1≤1 +n n a a ≤2 法二: 在0< a n ≤ 2 1 基础上证a n ≤2a n +1可用分析法 要使a n ≤2a n +1, 只要a n ≤2(a n -2n a )?22 n a ≤a n ?0< a n ≤2 1, 故a n ≤2a n +1成立 (II)∵2 n a =a n -a n +1 ∴S n =a 1-a 2+a 2-a 3+…+a n -a n +1=a 1-a n +1= 2 1 -a n +1 由a n +1=a n (1-a n ) ∴ n n n a a a -+= +11111 ∴n n n a a a -=