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高中数学概率大题（经典二）
一．解答题（共10 小题）
1．某会议室用 5 盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照
明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为p1，寿命为 2 年以上的概率为 p2．从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换．
（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换 2 只灯泡的概率；
（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；
（Ⅲ）当 p1=0.8 ，p2=0.3 时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换 4 只灯泡的概率（结
果保留两个有效数字）．
2．已知盒中有 10 个灯泡，其中 8 个正品， 2 个次品．需要从中取出 2 个正品，每次取出 1 个，取出后不放回，直到取出 2 个正品为止．设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及Eξ．3．某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和
张老师负责，已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加（ n 和 k 都是固定的
正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（I I ）求使 P（ X=m）取得最大值的整数 m．
4．在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有 6 只果蝇的笼子里，不慎混
入了两只苍蝇（此时笼内共有8 只蝇子： 6 只果蝇和 2 只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，
让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以ξ表示笼内还剩下的果蝇
的只数．
（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）和数学期
望Eξ；
（Ⅱ）求概率P（ξ≥ Eξ）．
5． A， B，C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部
分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：
A 班 6 6.5 7 7.5 8
B 班 6 7 8 9 10 11 12
C班34.56 7.5 9 10.5 12 13.5
（Ⅰ）试估计 C 班的学生人数；
（Ⅱ）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一个人， A 班选出的人记为甲， C 班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概
率；
（Ⅲ）再从 A，B，C 三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25 （单位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ 0，试判断μ 0 和μ 1 的大小．（结论不要求证明）
6．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4 5
P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250
元；分 4 期或 5 期付款，其利润为300 元，η表示经销一件该商品的利润．
（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．
7．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活
动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队” 得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；
每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，
求：
（I）“星队”至少猜对 3 个成语的概率；
（I I ）“星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX．
8．某小组共10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3 的人数分别为 3， 3， 4，现从这10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会．
（1）设 A为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；
（2）设 X为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．
9．购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元，若投保人在购买保险的一
年度内出险，则可以获得10 000 元的赔偿金．假定在一年度内有10 000 人购买了这种保险，
且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000 元的概率
为 1﹣ 0.999 104．
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不
小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．
10．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B 两地区分别随机调查了20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A 地区： 62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B 地区： 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度
评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分低于 70 分70分到 89分不低于90分
满意度等级不满意满意非常满意
记事件 C：“ A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评
价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求C的概率．
11．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4
个红球、 6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、 5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出
的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不
获奖．
（1）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；
（2）若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为X，求 X 的分布
列和数学期望．
12．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个．
（Ⅰ）求三种粽子各取到 1 个的概率；
（Ⅱ）设 X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．
13．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲
协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名，乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名，从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛．
（Ⅰ）设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率；
（Ⅱ）设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．
14．已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，
检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束．
（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用（单位：元），求 X 的分布列和均值（数学期望）
15．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用
的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求 X 的分布列和数学期望．
16．若 n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数” （如 137，359，567 等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有
的“三位递增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递
增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得0 分，若能被 5 整除，但不能被 10 整除，
得﹣ 1 分，若能被 10 整除，得 1 分．
（Ⅰ）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数” ；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望 EX．
17．设每个工作日甲，乙，丙，丁4 人需使用某种设备的概率分别为0.6 ， 0.5 ， 0.5 ，0.4 ，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；
（Ⅱ）实验室计划购买 k 台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的
人数大于 k”的概率小于0.1 ，求 k 的最小值．
18． 20 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求频率分布直方图中 a 的值；
（Ⅱ）分别求出成绩落在[50 ， 60）与 [60 ， 70）中的学生人数；
（Ⅲ）从成绩在 [50 ， 70）的学生任选 2 人，求此 2 人的成绩都在[60 ， 70）中的概率．
19．某大学志愿者协会有 6 名男同学， 4 名女同学，在这 10 名同学中， 3 名同学来自数学学院，其余7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（Ⅰ）求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；
（Ⅱ）设X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．
20．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（Ⅰ）求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率；
（Ⅱ）用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于100 个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E（ X）及方差 D（ X）．
参考答案与试题解析
一．解答题（共10 小题）
1．（ 2005? 湖北）某会议室用 5 盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同．假定每盏
灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为 p1，寿命为 2 年以上的概率为p2．从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换．
（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换 2 只灯泡的概率；
（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；
（Ⅲ）当 p1=0.8 ，p2=0.3 时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换 4 只灯泡的概率（结
果保留两个有效数字）．
【解答】解：因为该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为p1，寿命为 2 年以上的概率为p2．所以寿命为1～ 2 年的概率应为 p1﹣p2．其分布列为：
寿命0～ 1 1～ 2 2～
P 1﹣ P P1﹣P P
1 2 2
（I ）一只灯泡需要不需要换，可以看做一个独立重复试验，根据公式得到
在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为p1 5，需要更换 2 只灯泡的概率为 C52p13 （1﹣ p1）2；
（I I ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡是两个独立事
件的和事件：
①在第 1、2 次都更换了灯泡的概率为（1﹣ p1）2；
②在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1﹣ p2．
2
故所求的概率为p3=（ 1﹣p1） +p1﹣ p2．
（III）由（II）当p1=0.8，p2=0.3时，在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，
2
该盏灯需要更换灯泡的概率p3=（ 1﹣p1） +p1（ p1﹣ p2） =0.54 ．
在第二次灯泡更换工作，至少换 4 只灯泡包括换 5 只和换 4 只两种情况：
5 5
②换 4 只的概率为 C51p34（ 1﹣ p3） =5×0.54 4（ 1﹣ 0.54 ）
=0.196 ，故至少换 4 只灯泡的概率为： p4=0.046+0.196=0.242 ．
即满两年至少需要换 4 只灯泡的概率为0.242 ．
2．（ 2004? 安徽）已知盒中有10 个灯泡，其中8 个正品， 2 个次品．需要从中取出 2 个正品，每次取出 1 个，取出后不放回，直到取出 2 个正品为止．设ξ为取出的次数，求ξ的分
布列及 Eξ．
【解答】解：由题意知每次取 1 件产品，
∴至少需 2 次，即ξ最小为2，有 2 件次品，
当前 2 次取得的都是次品时，ξ=4，
∴ξ可以取2， 3， 4
当变量是 2 时，表示第一次取出正品，第二次取出也是正品，
根据相互独立事件同时发生的概率公式得到
P（ξ =2） =×=；
P（ξ =3） =××+××=；
P（ξ =4） =1﹣﹣=．
∴ξ的分布列如下：
ξ23 4
P
Eξ =2× P（ξ =2） +3× P（ξ =3） +4×P（ξ =4）=．
3．（2013? 安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加（ n 和k 都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该
系 k 位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数
为 X．
（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（I I ）求使 P（ X=m）取得最大值的整数 m．
【解答】解：（ I ）因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老
师所发信息”是相互独立事件，所以与相互独立，由于P（A） =P（ B） ==，故P （）=P（）=1﹣，
因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（ 1﹣）2=
（I I ）当 k=n 时， m只能取 n，此时有 P（ X=m） =P（ X=n） =1
当 k＜ n 时，整数 m满足 k≤ m≤ t ，其中 t 是 2k 和 n 中的较小者，由于“李老师与张老师各
自独立、随机地发送活动信息给k 位”所包含的基本事件总数为（）2，当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k﹣ m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为
m﹣ k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件数为
P（ X=m） ==
当 k≤ m＜ t 时， P（ X=M）＜ P（X=M+1）? （ m﹣ k+1）2≤（ n﹣ m）（2k﹣ m）? m≤ 2k﹣
假如 k≤ 2k﹣＜t成立，则当（k+1）2能被n+2整除时，
k≤ 2k﹣＜2k+1﹣＜t，故P（X=M）在m=2k﹣和m=2k+1﹣
处达到最大值；
当（ k+1）2不能被 n+2 整除时， P（X=M）在 m=2k﹣ [] 处达到最大值（注：[x] 表示不超过 x 的最大整数），
下面证明k≤ 2k﹣＜t
因为 1≤ k＜ n，所以 2k﹣﹣ k= ≥= ≥ 0
而 2k﹣﹣ n= ＜ 0，故 2k﹣＜ n，显然 2k﹣＜2k 因此 k≤ 2k﹣＜ t
综上得，符合条件的m=2k﹣ [ ]
4．（ 2007? 安徽）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有 6 只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8 只蝇子： 6 只果蝇和 2 只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以ξ表示笼
内还剩下的果蝇的只数．
（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）和数学期望Eξ；
（Ⅱ）求概率P（ξ≥ Eξ）．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数，ξ的可能取值是0，1， 2，3，4，5，6
得到ξ的分布列为：
ξ0 1 2 3 4 5 6
P
∴数学期望为Eξ =（1×6+2×5+3×4）=2．
（II ）所求的概率为P（ξ≥ Eξ） =P（ξ≥ 2） =．
5．（ 2016? 北京） A，B， C三个班共
有100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层
抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：
A 班 6 6.5 7 7.5 8
B 班 6 7 8 9 10 11 12
C班34.56 7.5 9 10.5 12 13.5
（Ⅰ）试估计 C 班的学生人数；
（Ⅱ）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一个人， A 班选出的人记为甲， C 班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概
率；
（Ⅲ）再从 A，B，C 三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25 （单位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ 0，试判断μ 0 和μ 1 的大小．（结论不要求证明）
【解答】解：（ I ）由题意得：三个班共抽取20 个学生，其中 C 班抽取8 个，
故抽样比 K= = ，
故 C 班有学生8÷=40 人，
（Ⅱ）从从 A 班和 C班抽出的学生中，各随机选取一个人，
共有 5× 8=40 种情况，
而且这些情况是等可能发生的，
当甲锻炼时间为 6 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 2 种情况；
当甲锻炼时间为 6.5 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 3 种情况；
当甲锻炼时间为7 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 3 种情况；
当甲锻炼时间为7.5 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 3 种情况；
当甲锻炼时间为8 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 4 种情况；
故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P= = ；
（Ⅲ）μ 0＞μ 1．
6．（ 2016? 东城区模拟）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ
的分布列为
ξ1234 5
P0.40.20.20.10.1
商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为250 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为300 元，η表示经销一件该商品的利润．
（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率P（ A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款的对立事件
是购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款，
设 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款”．
知表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款”
，
（Ⅱ）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200 元，250 元，300 元．得到变量对应的事件的概率
P（η =200） =P（ξ =1） =0.4 ，
P（η =250） =P（ξ =2） +P（ξ =3） =0.2+0.2=0.4，
P（η =300） =1﹣ P（η =200）﹣ P（η =250） =1﹣ 0.4 ﹣ 0.4=0.2 ．
∴η的分布列为
η200250300
P 0.4 0.4 0.2
∴Eη =200× 0.4+250 × 0.4+300 × 0.2=240 （元）．
7．（ 2016? 山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成
语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队” 得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得0 分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参
加两轮活动，求：
（I）“星队”至少猜对 3 个成语的概率；
（I I ）“星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX．
【解答】解：（ I ）“星队”至少猜对 3 个成语包含“甲猜对 1 个，乙猜对 2 个”，“甲猜对 2 个，乙猜对 1 个”，“甲猜对 2 个，乙猜对 2 个”三个基本事件，故概率
P=++= + + =，
（II ）“星队”两轮得分之和为X 可能为： 0， 1， 2， 3， 4， 6，
则 P（X=0）==，
P（ X=1） =2× [+]=，
P（ X=2）
= + +
+ = ，
P（ X=3） =2×= ，
P（ X=4） =2× [ + ]=
P（ X=6） = =
故 X 的分布列如下图所示：
X 0 1 2 3 4 6
P
∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×==
8．（2016? 天津）某小组共10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3 的人数分别为3， 3， 4，现从这10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会．
（1）设 A为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；
（2）设 X为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．
【解答】解：（ 1）从 10 人中选出 2 人的选法共有=45 种，
事件 A：参加次数的和为 4，情况有：① 1 人参加 1 次，另 1 人参加 3 次，② 2 人都参加 2 次；
共有+ =15 种，
∴事件 A 发生概率： P==．
（Ⅱ） X 的可能取值为0， 1，2．
P（ X=0） ==
P（X=1）==，
P（X=2）==，
∴X 的分布列为：
X 0 1 2
P
∴EX=0×+1×+2×=1．
9．（ 2015? 鄂州校级模拟）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000 元的赔偿金．假定在一年度内有10 0人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付
赔偿金 10 000
104 元的概率为 1﹣0.999 ．
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不
小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．
【解答】解：由题意知
各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，
记投保的10000 人中出险的人数为ξ，
由题意知ξ～ B（ 104， p）．
（Ⅰ）记 A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10000 元赔偿金，
则发生当且仅当ξ=0，
=1﹣ P（ξ =0） =1﹣（ 1﹣p）104，
又 P（ A） =1﹣ 0.999
104，故 p=0.001 ．
（Ⅱ）该险种总收入为 10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和．
支出 10000ξ +50000，
盈利η =10000a﹣（ 10000ξ +50000），
盈利的期望为Eη =10000a﹣ 10000Eξ﹣ 50000，
4﹣ 3
由ξ～ B（ 10 ， 10）知，
Eξ =10000× 10﹣3，
Eη =104a﹣ 104Eξ﹣ 5× 104=104a﹣104×104×10﹣3﹣ 5× 104．
Eη≥ 0? 104a﹣ 104× 10﹣ 5× 104≥ 0? a﹣ 10﹣ 5≥ 0? a≥ 15（元）．
∴每位投保人应交纳的最低保费为15 元．
10．（ 2015? 新课标 II ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B 两地区分别随机调
查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A 地区： 62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B 地区： 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度
评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分低于 70 分70分到 89分不低于90分
满意度等级不满意满意非常满意
记事件 C：“ A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评
价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求C的概率．【解答】解：（ 1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下
通过茎叶图可以看出， A 地区用户满意评分的平均值高于 B 地区用户满意评分的平均值； A 地区用户满意度评分比较集中， B 地区用户满意度评分比较分散；
（2）记 C A1表示事件“ A 地区用户满意度等级为满意或非常满意” ，记
C A2表示事件“ A 地区用户满意度等级为非常满意” ，
记 C B1表示事件“ B 地区用户满意度等级为不满意” ，
记 C B2表示事件“ B 地区用户满意度等级为满意” ，则
C A1与 C B1独立， C A2与 C B2独立， C B1与 C B2互斥，
则 C=C A1C B1∪ C A2C B2，
P（ C） =P（C A1C B1） +P（C A2C B2） =P（C A1） P（ C B1） +P（ C A2） P（ C B2），
由所给的数据C A1， C A2， C B1， C B2，发生的频率为，，，，
所以 P（ C A1） =，P（C A2）=，P（C B1）=，P（C B2）=，
所以 P（ C）=×+×=0.48 ．
高中数学解题方法系列：概率的热点题型及其解法 概率主要涉及等可能事件，互斥事件，对立事件，独立事件的概率的求法，对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合，在以后的高考中，可能出现概率与数列、函数、不等式等有关内容的结合的综合题，下面就谈一谈概率与数列、函数、不等式等有关知识的交汇处命题的解题策略。 题型一：等可能事件概率、互斥事件概率、相互独立事件概率的综合。 例1：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 32和4 3.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响. (Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率; (Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率; (Ⅲ)假设某人连续2次未击中．．． 目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少? 解：（1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件A 为“4次均击中目标”，则()()4 26511381P A P A ??=-=-= ???（2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则 ()223 23442131133448P B C C ??????=?????= ? ? ???????（3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。 故()22123313145444441024 P C C ??????=+????=?? ? ?????????例2：某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的. （Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率； （Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率. 解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等. （I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为!32 4?C （从4个部门中任选2个作为1组， 另外2个部门各作为1组，共3组，共有624=C 种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A 1，那么事件A 1的概率为 P（A 1）=.943!3424=?C （II）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A 2
高中数学概率统计专题文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
高三文科数学：概率与统计专题 一、选择题： 1．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数2．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A．1 3 B． 1 2 C． 2 3 D． 3 4 3、在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1,x2,…,x n不全相 等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）(i=1,2,…,n)都在直线y=1 2x+1上，则这组样本 数据的样本相关系数为 （A）－1 （B）0 （C）1 2（D）1 4.如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为 （A）10 3 （B） 1 5 （C） 1 10 （D） 1 20 5．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，学科&网则此点取自黑色部分的概率是 A．1 4B． π 8 C．1 2 D．π4
6.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( ) 二、填空题： 7、从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是_______。 8、将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____. 9．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，制作了对照表： 方程y ^＝b ^x ＋a ^由表中数据得回归直线 中的b ^＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量约为________度． 三、解答题 10.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。 （Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式。 （Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 (1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； (2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量 气温(℃) 18 13 10 －1 用电量(度) 24 34 38 64
高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。 2、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数：112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积：f S y d ==?距；频率=频数/总数 2、频率之和：121n f f f ++???+=；同时 121n S S S ++???+=； 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。 2、平均数： 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中：1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关；?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。 五、回归分析 1、残差：??i i i e y y =-（残差=真实值—预报值）。分析：?i e 越小越好； 2、残差平方和：21?()n i i i y y =-∑， 分析：①意义：越小越好； ②计算：222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ 3、拟合度（相关指数）：221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑，分析：①.(]20,1R ∈的常数； ②.越大拟合度越高； 4、相关系数 ：()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析：①.[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈；相关性很弱； (0.25,0.75)r ∈；相关性一般； [0.75,1]r ∈；相关性很强； 六、独立性检验 1、2×2列联表： 2、独立性检验公式 ①．2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -= ++++ ②．犯错误上界P 对照表 3、独立性检验步骤
高中数学概率大题（经典二）一．解答题（共10小题） 1．某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2．从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换．（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率； （Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率； （Ⅲ）当p1=，p2=时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）． 2．已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品．需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及Eξ． 3．某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师
和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X． （I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m． 4．在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数． （Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）和数学期望Eξ；（Ⅱ）求概率P（ξ≥Eξ）． 5．A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）： A班 6 7 8 B班 6 7 8 9 10 11 12
专题二概率统计专题 【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然问题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识．概率与统计的引入，拓广了应用问题取材的范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良好素材．在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用．由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．该部分在高考试卷中，一般是2—3个小题和一个解答题． 【考点透析】概率统计的考点主要有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归等．【例题解析】 题型1 抽样方法 -）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确【例1】在1000个有机会中奖的号码（编号为000999 定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是（） A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．以上均不对 分析：实际“间隔距离相等”的抽取，属于系统抽样． 解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288，388，488，588，688，788，888，988．答案B． 点评：关于系统抽样要注意如下几个问题：（1）系统抽样是将总体分成均衡几个部分，然按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样方法．（2）系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按事先研究的规则抽取样本．（3）适用范围：个体数较多的总体． 例2（2008年高考广东卷理3）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（） A．24B．18C．16D．12 Array 分析：根据给出的概率先求出x的值，这样就可以知道三年级的学生人数，问题就解决了． x=?=，这样一年级和二年级学生的解析：C 二年级女生占全校学生总数的19%，即20000.19380 +++=，三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生应是总数是3733773803701500 64 50016 ?=．答案C． 2000 点评：本题考查概率统计最基础的知识，还涉及到一点分析问题的能力和运算能力，题目以抽样的等可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识． 例3．（2009江苏泰州期末第2题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系， 2500,3500（元）月收入段应抽要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[) 出人．
高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、 幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m ),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频 率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。 高中数学《概率》第二节古典概型（第一课时） 一、地位作用：本节课是高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。 学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题。 二、重点、难点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。 如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。 三、教学目的 1：知识与技能 (1)理解古典概型及其概率计算公式， (2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 2：过程与方法 根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。 3：情感态度与价值观 概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象。适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例。使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。 四、教学过程： （一）、引入：在课前，教师布置任务，以数学小组为单位，完成下面两个模拟试验：试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数，要求每个数学小组至少完成20次（最好是整十数），最后由科代表汇总； 试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记录“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”的次数，要求每个数学小组至少完成60次（最好是整十数），最后由科代表汇总。 在课上，学生展示模拟试验的操作方法和试验结果，并与同学交流活动感受。 教师最后汇总方法、结果和感受，并提出问题？ 1．用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好？为什么？ 不好，要求出某一随机事件的概率，需要进行大量的试验，并且求出来的结果是频率，而不是概率。 2．根据以前的学习，上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点？ （二）、思考交流：在试验一中随机事件只有两个，即“正面朝上”和“反面朝上”，并且他们都是互斥的，由于硬币质地是均匀的，因此出现两种随机事件的可能性相等，即它们 的概率都是1 2 ； 在试验二中随机事件有六个，即“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”，并且他们都是互斥的，由于骰子质地是均匀的，因此出现六种随机事件的可能性相等，即它 们的概率都是1 6 。 高中数学概率大题（经典二） 一．解答题（共10小题） 1．某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2．从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换．（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率； （Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）． 2．已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品．需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及Eξ．3．某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由老师和老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设老师和老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到老师或老师所发活动通知信息的学生人数为X． （I）求该系学生甲收到老师或老师所发活动通知信息的概率； （II）求使P（X=m）取得最大值的整数m． 4．在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以ξ表示笼还剩下的果蝇的只数． （Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）和数学期望Eξ； （Ⅱ）求概率P（ξ≥Eξ）． 5．A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）： A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （Ⅰ）试估计C班的学生人数； （Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明） 6．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润． （Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）； 高三第一轮复习资料（注意保密） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用 概率与统计是高中数学的重要学习内容，在高考试卷中，每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含概率计算，统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，注重考查基础知识和基本方法；以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算． “大题规范解答——得全分”系列之(十) 概率与统计的综合问题答题模板 [典例](2012辽宁高考改编·满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性． (1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？ 非体育迷体育迷合计 男 女 合计 (2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率． 附K2＝n(ad－bc)2 (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) ， P (K 2≥k ) 0.05 0.01 k 3.841 6.635 [教你快速规范审题] 1．审条件，挖解题信息 观察 条件 ―→ 100名观众收看节目时间的频率分布直方图及日均收看时间不低于40分钟的观众称为体育迷，女体育迷10名 ??????→ 借助直方可确定图非体育迷及 体育迷人数 2．审结论，明解题方向 观察所求结论―→完成2×2列联表并判断“体育迷”与性别的相关性 ???→ 需要确定a ，b ，c ，d 及K 2的值 3．建联系，找解题突破口 由直方图及条件确定体育迷与非体育迷人数―→完成列联表―→ 计算K 2可判断结论 1．审条件，挖解题信息 观察条件―→确定“超级体育迷”标准且有2名女性“超级体育迷” ??????→由率分布直方频图 确定“超级体育迷”的人数 2．审结论，明解题方向 观察所求结论―→从“超级体育迷”中任取2人求至少有1名女性观众的概率 ????→ 分分析类1名女性观众或两名女性观众 3．建联系，找解题突破口 由频率分布直方图确定“超级体育迷”的人数?????→列法列出 举举 第一章 集合和命题 1. 集合及其表示法 能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集； 集合中的各个对象叫做这个集合的元素；集合的元素具有确定性、互异性和无序性； 集合常用大写字母A 、B 、 C …表示，集合中的元素用小写字母a 、b 、c …表示；如果a 是集合A 的元素，就记作A a ∈，读作“a 属于A ”，如果a 不是集合A 的元素，就记作A a ?，读作“a 不属于A ” 数的集合简称数集；全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N ，不包括零的自然 数组成的集合，记作N*；全体整数组成的集合即整数集，记作Z ；全体有理数组成的集合即有理数集，记作Q ；全体实数组成的集合即实数集，记作R ；另外正整数集、负整数集、 正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示为+Z 、-Z 、+Q 、-Q 、+R 、 -R ； 点的集合简称点集，即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合； 含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集； 规定空集不含元素，记作?； 集合的表示方法常用列举法和描述法； 将集合中的元素一一 列出来，并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即{}p x x A 满足性质|=，这种表示集合的方法叫做描述法； 2. 集合之间的关系 对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ， 那么集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ?或A B ?，读作“A 包含于B”或“B 包含A”； 空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；所以若B A ?，不要遗漏?=A 的情况； 对于一个含有n 个元素的集合P ，它的子集个数为n 2真子集个数为12-n ，非空子集个数为12-n ，非空真子集的个数为22-n ； 用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图； 对于两个集合A 和B ，如果B A ?且A B ?，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作B A =，读作“集合A 等于集合B ”，因此，如果两个集合所含的元素完全相等，那么这两个集合相等； 对于两个集合A 和B ，如果B A ?，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合的B 真子集，记作B A ≠ ?或 A B ≠ ?，读作“A 包含于B ”或“B 真包含A ”； 对于数集N 、Z 、Q 、R 来说，有R Q Z N ≠ ≠ ≠ ???； 3. 集合的运算 一般地，由集合A 和集合B 的所有公共元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作B A ，读作“A 交B ”，即{}B x A x x B A ∈∈=且| ； 由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合叫做集合A 、B 的并集，记作B A ，读作“A 并B ”，即{}B x A x x B A ∈∈=或| ； 在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合叫做全集，常用符合U 表示；即全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素； 设U 为全集，A 是U 的子集，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做集合A 在 全集U 中的补集，记作A C U ，读作“A 补”，即{}A x U x x A C U ?∈=,| 德摩根定律：()B C A C B A C U U U =；()B C A C B A C U U U = 容斥原理：用A 表示集合A 的元素个数，则B A B A B A -+=； C B A A C C B B A C B A C B A +---++=； §3.2.1 古典概型 一、教材分析 本节课是高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时,是在随机事件的概率之后,几何概型之前,尚未学习排列组合的情况下教学的.古典概型是一种特殊的数学模型,也是一种最基本的概率模型,在概率论中占有相当重要的地位. 学好古典概型可以为其他概率的学习奠定基础,同时有利于理解概率的概念,有利于计算一些事件的概率,有利于解释生活中的一些问题.根据本节课的内容和学生的实际水平,通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性,观察类比各个试验,归纳总结出古典概型的概率计算公式,体现了化归的重要思想,掌握列举法,学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题. 概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义,加强与实际生活的联系,以科学的态度评价身边的一些随机现象.适当地增加学生合作学习交流的机会,尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例.使得学生在体会概率意义的同时,感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神. 二、教学目标 1、知识与技能： （1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等； （2）掌握古典概型的概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数 包含的基本事件个数A 2、过程与方法： （1）通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力； （2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。 3、情感态度与价值观： 通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点. 三、重点难点 教学重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率. 教学难点：如何判断一个试验是否是古典概型,分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数. 四、课时安排 1课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路1 (1)掷一枚质地均匀的硬币,结果只有2个,即“正面朝上”或“反面朝上”,它们都是随机事件. (2)一个盒子中有10个完全相同的球,分别标以号码1,2,3,...,10,从中任取一球,只有10种不同的结果,即标号为1,2,3， (10) 思考讨论根据上述情况,你能发现它们有什么共同特点？ 为此我们学习古典概型,教师板书课题. 思路2 将扑克牌（52张）反扣在桌上,先从中任意抽取一张,那么抽到的牌为红心的概率有多大？是否一定要进行大量的重复试验,用“出现红心”这一事件的频率估计概率？这样工作量较大且不够准确.有更好的解决方法吗？把“抽到红心”记为事件B,那么事件B 相当于“抽到红心1”,“抽到红心2”,…,“抽到红 选修2-3定理概念及公式总结 第一章基数原理 1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整” 3.两个计数原理的区别: 如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理， 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理. 4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 （2）排列数公式:)1()2)(1(+-???--=m n n n n A m n 用于计算， 或m n A )! (! m n n -=() n m N m n ≤∈*,, 用于证明。 n n A =!n =()1231????-Λn n =n(n-1)! 规定0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 （1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，用m n C 表示 （2）组合数公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m A n n n n m C A m ---+==L 用于计算， 或)! (!! m n m n C m n -= ),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。 全国一卷真题分析---概率统计 1.（2011年）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的 概率为0.3，设各车主购买保险相互独立. (Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率； (Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望． 2.（2012年）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果 当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进16朵玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，N n ）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 以100天记录的各需求量的频率作为 各需求量发生的概率． （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． 3.（2013年）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中 优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下， 这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为1 2， 且各件产品是否为优质品相互独立． （1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望． 1 高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．高中数学《概率》第二节 古典概型(
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