导数练习题
1.已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx 在x =±1处取得极值,在x =0处的切线与直线3x +y =0平行.
(1)求f (x )的解析式;
(2)已知点A (2,m ),求过点A 的曲线y =f (x )的切线条数. 解 (1)f ′(x )=3ax 2+2bx +c ,
由题意可得????? f ′(1)=3a +2b +c =0,f ′(-1)=3a -2b +c =0,f ′(0)=c =-3,解得????
?
a =1,
b =0,
c =-3.
所以f (x )=x 3-3x .
(2)设切点为(t ,t 3-3t ),由(1)知f ′(x )=3x 2-3,所以切线斜率k =3t 2-3, 切线方程为y -(t 3-3t )=(3t 2-3)(x -t ).
又切线过点A (2,m ),代入得m -(t 3-3t )=(3t 2-3)(2-t ),解得m =-2t 3+6t 2-6. 设g (t )=-2t 3+6t 2-6,令g ′(t )=0, 即-6t 2+12t =0,解得t =0或t =2.
当t 变化时,g ′(t )与g (t )的变化情况如下表:
作出函数草图(图略),由图可知:
①当m >2或m <-6时,方程m =-2t 3+6t 2-6只有一解,即过点A 只有一条切线; ②当m =2或m =-6时,方程m =-2t 3+6t 2-6恰有两解,即过点A 有两条切线; ③当-6 (1)当a =2,b =12时,求函数f (x )在[1 e ,e]上的最大值; (2)当b =0时,若不等式f (x )≥m +x 对所有的a ∈[0,3 2],x ∈(1,e 2]都成立,求实数m 的取 值范围. 解 (1)由题意知,f (x )=2ln x -12x 2,f ′(x )=2 x -x =2-x 2x , 当1e ≤x ≤e 时,令f ′(x )>0得1 e ≤x <2;令f ′(x )<0,得2 e ,2)上单调递增,在(2,e]上单调递减,∴f (x )max =f (2)=ln 2-1. (2)当b =0时,f (x )=a ln x ,若不等式f (x )≥m +x 对所有的a ∈[0,3 2],x ∈(1,e 2]都成立,则 a ln x ≥m +x 对所有的a ∈[0,32],x ∈(1,e 2]都成立,即m ≤a ln x -x ,对所有的a ∈[0,3 2],x ∈(1, e 2]都成立,令h (a )=a ln x -x ,则h (a )为一次函数,m ≤h (a )min .∵x ∈(1,e 2],∴ln x >0, ∴h (a )在[0,3 2]上单调递增,∴h (a )min =h (0)=-x ,∴m ≤-x 对所有的x ∈(1,e 2]都成立. ∵1 (3)设n ∈N *,比较g (1)+g (2)+…+g (n )与n -f (n )的大小,并加以证明. 解 由题设得,g (x )=x 1+x (x ≥0). (1)由已知,g 1(x )=x 1+x ,g 2(x )=g (g 1(x ))=x 1+x 1+x 1+x =x 1+2x ,g 3(x )=x 1+3x ,…,可得g n (x )=x 1+nx . 下面用数学归纳法证明. ①当n =1时,g 1(x )=x 1+x ,结论成立. ②假设n =k 时结论成立,即g k (x )=x 1+kx .那么,当n =k +1时, g k +1(x )=g (g k (x ))=g k (x )1+g k (x )=x 1+kx 1+ x 1+kx =x 1+(k +1)x ,即结论成立. 由①②可知,结论对n ∈N *成立. (2)已知f (x )≥ag (x )恒成立,即ln(1+x )≥ax 1+x 恒成立.设φ(x )=ln(1+x )-ax 1+x (x ≥0), 则φ′(x )=11+x -a (1+x )2=x +1-a (1+x )2 , 当a ≤1时,φ′(x )≥0(当且仅当x =0,a =1时等号成立),∴φ(x )在[0,+∞)上单调递增. 又φ(0)=0,∴φ(x )≥0在[0,+∞)上恒成立, ∴a ≤1时,ln(1+x )≥ax 1+x 恒成立(当且仅当x =0,a =1时等号成立). 当a >1时,对x ∈(0,a -1]有φ′(x )≤0,∴φ(x )在(0,a -1)上单调递减∴φ(a -1)<φ(0)=0. 即a >1时,存在x >0,使φ(x )<0,故知ln(1+x )≥ax 1+x 不恒成立, 综上可知,a 的取值范围是(-∞,1]. (3)由题设知g (1)+g (2)+…+g (n )=12+23+…+n n +1,n -f (n )=n -ln(n +1),比较结果为g (1) +g (2)+…+g (n )>n -ln(n +1). 证明如下: 方法一:上述不等式等价于12+13+…+1 n +1 在(2)中取a =1,可得ln(1+x )>x 1+x ,x >0.令x =1n ,n ∈N *,则1 n +1 下面用数学归纳法证明. ①当n =1时,1 2 ②假设当n =k 时结论成立,即12+13+…+1 k +1 那么,当n =k +1时,12+13+…+1k +1+1k +2 k +2 即结论成立. 由①②可知,结论对n ∈N *成立. 方法二:上述不等式等价于12+13+…+1 n +1 在(2)中取a =1,可得ln(1+x )> x 1+x ,x >0.令x =1 n ,n ∈N *,则ln n +1n >1n +1. 故有ln 2-ln 1>12,ln 3-ln 2>13,…,ln(n +1)-ln n >1 n +1, 上述各式相加可得ln(n +1)>12+13+…+1 n +1 ,结论得证. D1、已知函数()2f x m x =+与函数()11ln 3,22g x x x x ?? ??=--∈ ???????的图像上至少存 在一对关于x 轴对称的点,则实数m 的取值范围是( )。 A 、5ln 2,24??+???? B 、52ln 2,ln 24?? -+???? C 、5ln 2,2ln 24?? +-???? D 、[]2ln 2,2- B2、已知函数()32 31f x a x x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值范围,为( )。 A 、(2,+∞) B 、(,2-∞-) C 、(,1-∞-) D 、(1,+∞) A3、定义在R 上的函数()f x 满足:()()()()1,00,f x f x f f x ''>-=是()f x 的导函数,则不等式()1x x e f x e >-(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )。 A 、()0,+∞ B 、()(),10,-∞-?+∞ C 、()(),01,-∞?+∞ D 、()1,-+∞ 4、已知函数()2 143ln 2f x x x x =- +-在[],1t t +上不单调,那么实数t 的取值范围是 。(0,1)(2,3) C5、若函数32()132x a f x x x =-++在区间1,32?? ??? 内有极值点,则实数a 的取值范围 是( )。 A 、52,2?? ??? B 、52,2?????? C 、102,3?? ??? D 、102,3?? ???? B6、已知函数3214 ()33 f x x x x =+++,若函数()y f x a b =++为奇函数,则a b +的 值为( )。 A 、-5 B 、-2 C 、0 D 、2 D7、已知函数2()(32),x f x e x a x =+++在区间(1,0)-有最小值,则实数a 的取值范围是( )。 A 、11,e ??-- ??? B 、1,3e ??-- ??? C 、3,1e ??-- ??? D 11,3e ? ?-- ?? ? A8、设函数()f x 在R 上的导函数为2(),2()()f x f x xf x x ''+>且,下面的不等式在R 上恒成立的是( )。 A 、()0f x > B 、()0f x < C 、()f x x > D 、()f x x < A9、已知函数()(2)x f x x e ax a =---,若不等式()0f x >恰有两个正整数解,则a 的取值范围是( )。 A 、31,04e ??-???? B 、,02e ??-???? C 、31,42e e ??-???? D 、31,24e ?? -???? D10、若函数2()ln ()(0)f x x g x ax a ==>与函数有两条公切线,则实数a 的取值范围是( )。 A 、1(0,)e B 、1(0,)2e C 、1(,)e +∞ D 、1 (,)2e +∞ 11、已知函数()g x 满足121 ()(1)(0)2 x g x g e g x x -'=-+,且存在实数0x 使得不等式 021()m g x -≥成立,则m 的取值范围是 。【1,+无穷】 12、已知1,3x x ==是函数()sin()(0,)f x x ω?ω?π=+><相邻的两个极值点,且 ()f x 在32x = 处的导数302f ?? '< ???,则13f ?? = ??? 。(二分之一) 13、已知函数21 (),()241 f x x g x x ax x =- =-++,若任意[][]120,1,1,2x x ∈∈存在,使12()()f x g x ≥,则实数a 的取值范围是 。【四分之九到正无穷】 B14、已知M 为曲线x y e =上一动点,N 为曲线ln y x =上一动点,则MN 的最小值为( )。 A 、 2 B C 、 D 、A15、723456701234567(12)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++,则代数式 123456234567a a a a a a a ++++++的值为( )。 A 、14- B 、7- C 、7 D 、14 导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1.当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A .在区间[x 0,x 1]上的平均变化率 B .在x 0处的变化率 C .在x 1处的变化量 D .在区间[x 0,x 1]上的导数 2.已知函数y =f (x )=x 2 +1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为( ) A .0.40 B .0.41 C .0.43 D .0.44 3.函数f (x )=2x 2-1在区间(1,1+Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A .4 B .4+2Δx C .4+2(Δx )2 D .4x 4.如果质点M 按照规律s =3t 2 运动,则在t =3时的瞬时速度为( ) A . 6 B .18 C .54 D .81 5.已知f (x )=-x 2+10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是( ) A .3 B .-3 C . 2 D .-2 6.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( ) A .不存在 B .与x 轴平行或重合 C .与x 轴垂直 D .与x 轴相交但不垂直 7.曲线y =-1 x 在点(1,-1)处的切线方程 为( ) A .y =x -2 B .y =x C .y =x + 2 D .y =-x -2 8.已知曲线y =2x 2上一点A (2,8),则A 处的切线斜率为( ) A .4 B .16 C .8 D .2 9.下列点中,在曲线y =x 2上,且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A .(0,0) B .(2,4) C .(14,1 16) D .(12,1 4) 10.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( ) A .a =1,b = 1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =- 1 D .a =-1,b =-1 11.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( ) A .0 B .2x C . 6 D .9 12.已知函数f (x )=1 x ,则f ′(-3)=( ) A . 4 B.1 9 C .-14 D .-1 9 13.函数y =x 2 x +3 的导数是( ) 高考数学模拟卷基础题型训练(1)姓名: 导数概念公式 【笔记】 课堂练习 1、在曲线2 y x =上切线倾斜角为 4 π 的点是( D ) A .(0,0) B .(2,4) C .11(, )416 D .11 (,)24 【笔记】 2、曲线2 21y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为( A ) A .41y x =-- B .47y x =-- C .41y x =- D .47y x =+ 【笔记】 3、函数在322y x x =-+在2x =处的切线的斜率为 10 【笔记】 4、函数1 y x x =+ 的导数是( A ) A .211x - B .11x - C .2 11x + D .1 1x + 【笔记】 5、函数cos x y x = 的导数是( C ) A .2sin x x - B .sin x - C .2sin cos x x x x +- D . 2 cos cos x x x x +- 【笔记】 6、函数sin (cos 1)y x x =+的导数是( C ) A .cos2cos x x - B .cos2sin x x + C .cos2cos x x + D .2 cos cos x x + 【笔记】 课后作业(1) 姓名: 1、3 2 ()32f x ax x =++,若' (1)4f -=,则a 的值等于( D ) A .3 19 B .3 16 C .3 13 D .3 10 2、函数sin 4y x =在点(,0)M π处的切线方程为( D ) A .y x π=- B .0y = C . 4y x π=- D .44y x π=- 3、求下列函数的导数: (1)12 y x =; (2)41 y x = ; (3 )y 【答案】(1)11 ' 12x y =, (2)5 4--=x y ;(3)52 5 3- =x y 4、若3' 0(),()3f x x f x ==,则0x 的值为_________1±________ 5、函数sin x y x =的导数为___________2 ' sin cos x x x x y -=__________ 6、与曲线y =1 e x 2相切于P (e ,e)处的切线方程是(其中e 是自然对数的底) 高考数学模拟卷基础题型训练(2)姓名: 1、已知曲线3 :C y x =。求曲线C 上横坐标为1的点处的切线的方程为 【笔记】 2、已知3 2 ()32f x ax x =++,若' (1)4f -=,则a 的值是( ) A . 193 B .163 C .133 D .10 3 【笔记】 高二数学导数单元测试题(有答案) (一).选择题 (1)曲线32 31y x x =-+在点(1,-1)处的切线方程为( ) A .34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (2) 函数y =a x 2 +1的图象与直线y =x 相切,则a = ( ) A . 18 B .41 C .2 1 D .1 (3) 函数13)(2 3 +-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A .),2(+∞ B .)2,(-∞ C .)0,(-∞ D .(0,2) (4) 函数,93)(2 3 -++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值,则a = ( ) A .2 B .3 C .4 D .5 (5) 在函数x x y 83 -=的图象上,其切线的倾斜角小于 4 π 的点中,坐标为整数的点的个数是 ( ) A .3 B .2 C .1 D .0 (6)函数3 ()1f x ax x =++有极值的充要条件是 ( ) A .0a > B .0a ≥ C .0a < D .0a ≤ (7)函数3 ()34f x x x =- ([]0,1x ∈的最大值是( ) A . 1 2 B . -1 C .0 D .1 (8)函数)(x f =x (x -1)(x -2)…(x -100)在x =0处的导数值为( ) A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100! (9)曲线313y x x = +在点413?? ???,处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.23 (二).填空题 (1).垂直于直线2x+6y +1=0且与曲线y = x 3 +3x -5相切的直线方程是 。 (2).设 f ( x ) = x 3 - 2 1x 2 -2x +5,当]2,1[-∈x 时,f ( x ) < m 恒成立,则实数m 的取值范围为 . (3).函数y = f ( x ) = x 3+ax 2+bx +a 2 ,在x = 1时,有极值10,则a = ,b = 。 (4).已知函数32 ()45f x x bx ax =+++在3 ,12x x ==-处有极值,那么a = ;b = (5).已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点,则实数a 的取值范围是 (6).已知函数32 ()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值,则实数a 的取值 导数单元测试题 班级姓名 一、选择题 1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为( ) A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 2.函数f(x)=2x2-1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A.4 B.4+2Δx C.4+2(Δx)2 D.4x 3.设f′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( ) A.不存在B.与x轴平行或重合 C.与x轴垂直D.与x轴相交但不垂直 4.曲线y=-1 x 在点(1,-1)处的切线方程为( ) A.y=x-2 B.y=x C.y=x+2 D.y=-x-2 5.下列点中,在曲线y=x2上,且在该点处的切线倾斜角为π 4 的是( ) A.(0,0) B.(2,4) C.(1 4 , 1 16 ) D.( 1 2 , 1 4 ) 6.已知函数f(x)=1 x ,则f′(-3)=( ) A.4 B.1 9 C.- 1 4 D.- 1 9 7.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是( ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 8.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取极值”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有( ) A.1个B.2个 C.3个D.4个 10.函数f(x)=-x2+4x+7,在x∈[3,5]上的最大值和最小值分 别是( ) A.f(2),f(3) B.f(3),f(5) C.f(2),f(5) D.f(5),f(3) 11.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为( ) A.-10 B.-71 C.-15 D.-22 12.一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒运动的距离为s= 1 4 t4- 5 3 t3+2t2,那么速度为零的时刻是( ) A.1秒末 B.0秒 C.4秒末 D.0,1,4秒末 二、填空题 13.设函数y=f(x)=ax2+2x,若f′(1)=4,则a=________. 14.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则 b a =________. 15.函数y=x e x的最小值为________. 16.有一长为16 m的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________m2. 三、解答题 17.求下列函数的导数:(1)y=3x2+x cos x; (2)y= x 1+x ; (3)y=lg x-e x. 18.已知抛物线y=x2+4与直线y=x+10,求: (1)它们的交点; (2)抛物线在交点处的切线方程. 19.已知函数f(x)= 1 3 x3-4x+4.(1)求函数的极值; (2)求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值. 导数单元测试 【检测试题】 一、选择题 1. 设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A .'(1)f B .3'(1)f C .1 '(1)3 f D .以上都不对 2. 已知函数f (x )=ax 2 +c ,且(1)f '=2,则a 的值为( ) A.1 B.2 C.-1 D. 0 3 .()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数,若()f x ,()g x 满足' ' ()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足( ) A ()f x =2()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 4.三次函数x ax y +=3 在()+∞∞-∈,x 内是增函数,则 ( ) A . 0>a B .0 导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题: 1 已知32 ()32f x ax x =++,若(1)4f '-=,则a 的值等于 A 193 B 103 C 16 3 D 133 2 已知直线1y kx =+与曲线3 y x ax b =++切于点(1,3),则b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数2y x a a = +2 ()(x-)的导数为 A 222()x a - B 223()x a + C 223()x a - D 22 2()x a + 4 曲线313y x x =+在点4 (1,)3 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 1 9 B 29 C 13 D 2 3 5 已知二次函数2 y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>,对于任意实数x ,有()0f x ≥,则(1) (0) f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 32 6 已知函数()f x 在1x =处的导数为3,则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D ()1f x x =- 7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x '+=+ B 21 (log )ln 2 x x '= C 3(3)3log x x e '=? D 2 (cos )2sin x x x x '=- 8 曲线32 153 y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A 6 π B 34π C 4π D 3 π 9 曲线3 2 31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A 34y x =- B 32y x =-+ C 43y x =-+ D 45y x =- 10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ,若()k g x =,则函数()k g x =的图像大致为 导数练习题带答案 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 导数及其应用 一、选择题 1.函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的( ) A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件 2.已知点P(1,2)是曲线y=2x 2上一点,则P 处的瞬时变化率为 ( ) A .2 B .4 C .6 D . 2 13.设函数()f x =x 3 ﹣x 2 ,则)1(f '的值为( ) A .-1 B .0 C .1 D .5 4.已知函数???>+<+=) 0()0(1)(x a x x a x f x ,若)(lim 0 x f x →存在,则= -)2(' f A.2ln 4 B. 45 C.2- D.2ln 4 15.设球的半径为时间t 的函数()R t 。若球的体积以均匀速度c 增长,则球的表面积的增长速 度与球半径 A.成正比,比例系数为C B. 成正比,比例系数为2C C.成反比,比例系数为C D. 成反比,比例系数为2C 6.已知函数1)(2 3--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是 ( ) A .),3[]3,(+∞--∞Y B .]3,3[- C .),3()3,(+∞--∞Y D .) 3,3(-7.一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的距离为43215 243 s t t t =-+,那么速度为零的时 刻是 ( ) A .1秒末 B .0秒 C .4秒末 D .0,1,4秒末 8.下列等于1的积分是 ( ) A . dx x ? 1 B . dx x ?+1 0)1( C .dx ?1 01 D .dx ?1021 9.1 1lim 10 0-+→x x x 的值是 A.不存在 B.0 C.2 D.10导数练习题 含答案
《导数》基础训练题(1)答案
(word完整版)高二数学导数单元测试题(有答案)
导数测试题(含答案)
(完整word版)导数单元测试(含答案)
导数练习题含答案
导数练习题带标准答案
(完整版)导数单元测试(含答案)