§3.5 函数
习题3.5
1. 设函数N N →：f 如下：
?????=为偶数若为奇数
若x x
x x f 21)(
求)0(f ，})0({f ，)3(f ，})3({f ，})6420({Λ，
，，，f ，})97531({，，，，f ，})864({，，f 。
解 略
2. 设函数Y X f →：，X B X A ??，，证明 （1）)()()(B f A f B A f Y Y =
（2）)()()(B f A f B A f I I ?
解 略
3. 设可逆函数Y X f →：，Y B Y A ??，，证明 （1）)()()(1
1
1
B f
A f
B A f ---=Y Y （2）)()()(1
1
1
B f
A f
B A f
---?I I
解（1）因为
)(1
B A f
y Y -∈))((y x f B A x x =∧∈??Y
)))(())(((y x f B x y x f A x x =∧∈∨=∧∈?? ))(())((y x f B x x y x f A x x =∧∈?∨=∧∈??
)()(1
1
B f
y A f
y --∈∨∈?)()(1
1
B f
A f
y --∈?Y
所以)()()(1
1
1
B f
A f
B A f
---=Y Y
（2）因为
)(1
B A f
y I -∈))((y x f B A x x =∧∈??I
)))(())(((y x f B x y x f A x x =∧∈∧=∧∈?? ))(())((y x f B x x y x f A x x =∧∈?∧=∧∈??
)()(1
1
B f
y A f
y --∈∧∈?)()(1
1
B f
A f
y --∈?I
所以)()()(1
1
1
B f
A f
B A f
---=Y Y
4. 给定函数f 和集合B A 、如下：
（1）}4{}8{)(===→B A x x f f ，，，：R R
（2）
}21{}1{2)(，，，，：===→+B A x f f x
R R （3）}32{}5{1)(><==>+=
，，，，：B A x x x f f N N N （4）}31{}32{1
2)(，，，，，：==+=→B A x x f f N N （5）}1{}21
{||)(=-==→B A x x f f ，，，，：N Z （6）
]21
41[)10(412)(]10[，，，，，，，：==+=
=→B A x x f S S S f
（7）
}21{}210{11)()0[==+=
∞+=→B A x x f S S f ，，，，，，：R （8）}
32{1
)()10(，，，，，，：====→+B S A x x f S S f R
对以上每一组函数f 和集合B A 、，分别回答以下问题：
（a ）求A 在f 下的像)(A f 和B 在f 下的原像)(1
B f -。
（b ）f 是不是满射、单射和双射？ （c ）如果f 是双射，求f 的逆函数。
解 （1）、（2）、（3）、（5）、（6）、（7）略 （4）}7,5{)(=A f ，}1,0{)(1
=-B f
，f 不是满射，是单射。
（8）),1()(+∞=A f ，
}
31
,21{)(1=-B f ，f 不是满射，是单射。
5. 设X 和Y 分别是m 元集和n 元集，试就三种情况：n m n m n m <=>，，求解下列问题：
（1）从X 到Y 的单射函数有多少个？ （2）从X 到Y 的双射函数有多少个？
解 （1）n m >：不存在，
n m =：!123)2()1(m m m m =????-?-?Λ个 ，
n m <：!!
)1()2()1(m n m n n n n =
+-??-?-?Λ个。 （2）n m >：不存在，
n m = ：!123)2()1(m m m m =????-?-?Λ个 ， n m < ：不存在。
6. 设N
N ∈h g f ，，，即h g f ，，是从N 到N 的函数，且有
1)(+=n n f ， n n g 2)(=， ??
?=为奇数为偶数
n n n h 10)(
求f f ο，f g ο，g f ο， g h ο，h g ο，f g h οο。
解 略
7. 设>-+=<
>
x y x y x f f ，，，：R R R R ，证明f 是双射并求出其逆
函数。
证明：
R R ?>∈
2v u x +=
，2v u y -=，则>=<> 所以f 是满射。 若>-+>=<-+< 2,222v u v u y x y x ，，则22v u y x +=+， 22v u y x -=-，从而 v y u x ==,，即>>=< 从而f 是双射，其逆函数为： >-+=<> 8. 设全集}4321 {，，，=E ，集合}4321{，，，=A ，}21{，=B ，}2{=C ，φ=D ，求特征函数A ψ，B ψ，C ψ和D ψ。 解 略 9. 若B A ，是全集E 的两个子集，证明 （1）E A x x A =?=?)1)((ψ （2）φψ=?=?A x x A )0)(( （3）)((x x A ψ?≤B A x B ??))(ψ （4）B A x x x B A =?=?))()((ψψ （5）) (1)(x x A A c ψψ-= （6）)()()(x x x B A B A ψψψ?=I （7）)) (1()()()(x x x x B A B A B A C ψψψψ-?==-I 解 略 10. 设}{c b a A ，，=，A I a b b a R Y }{><><=，， ，为A 上的等价关系，求自然映射R A A g /→：。 解 略 11. 对于底函数和顶函数，证明如下结论（下面的x 为实数）： （1）??n x =当且仅当1+<≤n x n ，其中n 为整数。 （2）??n x =当且仅当x n <-1≤n ，其中n 为整数。 （3）??n x =当且仅当n x <-1≤x ，其中n 为整数。 （4）??n x =当且仅当x ≤1+ （5）??x x <-1≤x ≤??1+ ???x x -=-，????x x -=-。 （7）????m x m x +=+，其中m 为整数。 （8）????m x m x +=+，其中m 为整数。 解 略 12. 有些计算器上有INT 函数，当x 为非负实数时 ??x x INT =)(，当x 为负实数时 ??x x INT =)(。证明这一INT 函数满足)()(x INT x INT -=-。 解 略 13. 数据在某以太网上以1 500个字节为信息块进行传输。请问下面的数据量在这个以太网上各需要多少个信息块进行传输？ （1）150千字节的数据。 （2）384千字节的数据。 （3）1.544兆字节的数据。 （4）45.3兆字节的数据。 解 略 14. 令a 和b 为实数，且b a <，用底函数及/或顶函数表示使b n a <<成立的整数n 的 数目。 15. 画出下列各函数的图像： （1）??5.0)(+=x x f （2）??12)(+=x x f （3）??3/)(x x f = （4）??x x f /1)(= （5）????22)(++-=x x x f （6）????2/2)(x x x f ?= （7）????5.05.0)(+-=x x f 解 略
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