浙江省名校协作体2018学年第一学期联考试题卷
高三数学
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合}20|{}
11|{<<=<<-=x x Q x x P ，，则P Q = （▲） ()()()().1,2 .0,1 .1,0 .1,2A B C D --
2. 双曲线2
213
x y -=的焦距是（▲） 2.A 22.B 32.C 4.D 3. 在ABC ?中，内角C B A 、、所对的边长分别为c b a ,,，已知3,60,45===b B A o o ， 则=a （▲）
2.A 6.B 22
3.C 62
3.D
4.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是（ ▲）
3
8
.
A 4.
B 2.
C 34.D
5．已知函数()ln f x x =．则()"0"f x >是()()"0"f
f x >（▲）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
6. 在一个箱子中装有大小形状完全相同的3个白球和2个黑球,现从中有放回地摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X ，黑球个数为Y ,则 （ ▲ ）
A .()()>E X E Y ，()()>D X D Y
B .()()=E X E Y ，()()>D X D Y
C .()()>E X E Y ，()()=
D X D Y D .()()=
E X E Y ，()()=D X D Y
7．若变量x ，y 满足约束条件220
1x y x ?-≥?≥-?
，则2z x y =-（▲）
A .有最小值3-，无最大值
B .有最大值1-，无最小值
C .有最小值3-，最大值1-
D .无最小值也无最大值
8. 已知a R ∈，函数()x
x
f x e x a e x a =+-+--，记()f x 的最小值为()m a ，
则（▲）
.A ()m a 在(),0-∞上是增函数，在()0,+∞上是减函数 .B ()m a 在(),0-∞上是减函数，在()0,+∞上是增函数 .C ()m a 在R 上是奇函数 .D ()m a 在R 上是偶函数
9.已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在正整数0n ，对任意正整数m ，
000n n m S S +?<恒成立，则下列结论不一定成立．．．．．的是（▲） 0.1
10. 已知D ABC ,?是边BC )(不包括端点上的动点，将ABD ?沿直线AD 折起到
,'D AB ?使'B 在平面ADC 内的射影恰在直线AD 上，则（▲） .A 当BD CD =时，,B C '两点的距离最大 .B 当BD CD =时，,B C '两点的距离最小 .C 当BAD CAD ∠=∠时，,B C '两点的距离最小 .D 当AD BD ⊥时，,B C '两点的距离最大
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、 填空题: 本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．已知54sin =
α，,2παπ??
∈ ???
，则cos α= ▲ ，α2tan =▲． 12．已知i 是虚数单位，复数z 满足()2i i z ?+=，则z =▲ ，z =▲.
13．已知()12n
x +展开式第三项的二项式系数是15，则n =▲，含2
x 的项的系数是
▲．
14．已知,,R b a ∈若22
2
=-+ab b a ，则b a +的最大值为▲，ab 的取值范围是
▲．
15．已知平面向量a ，b 满足5a = ，5a b ?=
，若a b -≤ ，则b 的取值范围是
▲．
16．用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到
右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为 ▲ （用数字作答）.
17. 设函数2
()++f x ax b x
=
，若对任意的实数a 和实数b ，总存在0[1,3]x ∈，使得 m x f ≥)(0，则实数m 的最大值是__▲___．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）已知函数)0(2
1
cos sin 3cos )(2
>-+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π.
（I ）求ω的值；
（II ）求函数()y f x =在区间[0,
]2
π
上的取值范围．
19．（本小题满分15分）如图，在三棱锥P ABC -中，PAC ?和ABC ?均是等腰三角形，
且90APC BAC ∠=∠=
，4PB AB ==．
（I ）判断AB ⊥PC 是否成立，并给出证明； （II ）求直线PB 与平面ABC 所成角的正弦值．
A
B
C
P
20.（本小题满分15分）已知数列}{n a 满足31=a ，n n n a a a 22
1+=+)(*N n ∈，设数列}
{n b 满足).)(1(log *
2N n a b n n ∈+=
（I ）求}{n b 的前n 项和n S 及}{n a 的通项公式 ; （II ）求证：).2(1
1
31211≥<-+???+++n n b n
21. （本小题满分15分）如图，已知抛物线2:4C y x =的焦点是F ，),(11y x A ，
))(,(2122x x y x B ≠是抛物线C 上的两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点P ，若
4AF BF +=．
（I ）求点P 的坐标；（II ）求PAB ?面积的最大值．
22.（本小题满分15分）已知函数()
x
f x e
-=+（I ）若0a =，直线y kx =是曲线()y f x =的切线，求实数k 的值；
（II ）若12,x x 是函数()f x 的两个极值点，且12x x <，求()1f x 的取值范围．
2018学年第一学期浙江省名校协作体试题模拟卷
高三年级数学学科答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1-5 BDABB 6-10 CADCC
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上）
11．53-，724． 12．i 5251+
，5
. 13．6，6014．22，]2,32
[-．
15
．??16．2017．3
3
2-4
三、解答题（本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．解：（Ⅰ）(
)1cos 21
22
x f x ω+=
+-------------------2分
cos 23x πω?
?=- ??
?--------------------------------------------5分
由22π
πω
=，得1ω=；-----------------------------------------7分
（Ⅱ）()cos 23f x x π??
=- ??
?
， 因为[0,
]2
x π
∈，所以22,333x π
ππ??
-
∈-????
，------------------------------10分 所以1(),12f x ??∈-????
．------------------------------------------------------------14分
19．解：（Ⅰ）AB ⊥PC 不成立，证明如下：-------------2
分 假设AB ⊥PC ，因为AB AC ⊥，
且PC AC C = ，所以AB ⊥面PAC ，---------5分 所以AB PA ⊥，这与已知4PB AB ==矛盾，------7分 所以AB ⊥PC 不成立．
（Ⅱ）解法1：取AC 中点O ，BC 中点G ，连,,PO OG PG ，
由已知计算得2PO OG PG ===，------------9分
由已知得,AC PO AC OG ⊥⊥, 且PO OG O = ， 所以AC ⊥平面POG ，所以平面ABC ⊥平面POG ，--------------12分 取OG 中点H ，连BH ，
则PH ⊥平面ABC ，从而，PBH ∠就是直线PB 与平面ABC 所成的角，
因为PH =4PB =，所以sin PH PBH PB ∠=
=----------------------15分 A
B
C
P
O G H
解法2：如图，以A 为原点，,AB AC 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系， 则()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0A B C ，-----------------------------------------9分
设(),,P x y z ，由()()222222
222841648x y z x y z x y z ?++=??-++=??+-+=??
解得：(P -----------------------------11分
(3,2,PB =--
，因为平面ABC 的
法向量是()0,0,1n =
，--------13分
由sin PB n PB n
θ=?
4=
------------15分
20．解：I.由n n n a a a 221+=+得2
2
11121）（+=++=++n n n n a a a a 由31=a 易得0>n a ，所以两边取对数得到
）（）（1
log 21log )1(log 22
212+=+=++n n n a a a 即n n b b 21=+……………2分 又02)1(log 121≠=+=a b
}{n b ∴是以2为公比的等比数列，即n n b 2=221-=∴+n n S ……………………6分
又)1(log 2+=n n a b 12
2-=∴n
n a ………………………7分
II 证法一、用数学归纳法证明：
1当2=n 时，左边为26
11
31211<=++
=右边，此时不等式成立；………8分 2假设当2≥=k n 时，不等式成立， 则当1+=k n 时，左边
1
2112121121312111-++++-++++=+k k k k ………10分
121121211-++++<+k k k k
个
k k k k k 2212121+++<
1+ ∴当1+=k n 时，不等式成立。 综上可得：对一切2,* ≥∈n N n ，命题成立 ………………………15分 证法二 12131211-+?+++ n )12121()715141()3121(11-+?++?++?+++++=-n n 112 1 24142121--?+?+?+?+ n =………………………15分 21．解：（Ⅰ）因为2p =， 设()()()112200,,,,,A x y B x y C x y ， 124 AF BF x x p +=++= 所以122x x +=，即01x =-------3分 设直线AB 的方程是：x my n =+， 代入24y x =得，2440y my n --=， 所以124y y m +=，故02y m =，因为01x =，所以AB 中点坐标为)2,1(m 又因为AB 的中垂线方程是()21y m m x -=--，令0y =，得()3,0P ，-------7分 （Ⅱ）因为AB 中点)2,1(m 在直线x my n =+上 所以221m n +=，且216160m n ?=+>， 解得201m <<------------------------------------------9分 所以121 32 PAB S n y y ?=--( 222m =+ =-------12分 令21m t -=，()0,1t ∈ ，则PAB S ?=， 设()()()2 2,0,1f t t t t =-∈，则()()()232f t t t '=--， 易得，()f t 在20,3?? ???上单调递增，在2,13?? ??? 上单调递减， 所以()2 max 224333f t f ????== ? ????? ，所以()max PAB S ?=分 22．解：（Ⅰ）当0a =时，()x f x e -'=-， 设()00,P x y 是切点，则 00 x x e k kx e --?-=??=??，解得01x k e =-??=-?------------------5分 （Ⅱ）()x f x e -'=-+=x x e x x ae 22-，------------------7分 令()0f x '=，即0x ae - =，则()x a g x e ==， ()g x '=，所以当10,2x ?? ∈ ???时，()0g x '>， 当1,2x ?? ∈+∞ ??? 时，()0g x '<，且当x →+∞时，()0g x →， 所以当()0f x '=有两个不等的根时， 所以e e a 20< < 此时2 1 01< 1 11121x x f x e x e --=+=+， 因为()()111120x f x x e -'=->恒成立， 所以()1f x 在)21,0(上单调递增，所以()1f x )2 ,1(e ∈------------------15分
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