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中考数学专题复习 专题跟踪突破七数学思想方法

中考数学专题复习 专题跟踪突破七数学思想方法
中考数学专题复习 专题跟踪突破七数学思想方法

专题跟踪突破七 数学思想方法

一、选择题(每小题6分,共30分)

1.)如图,在五边形ABCDE 中,∠A +∠B +∠E =300°,DP ,CP 分别平分∠EDC ,∠BCD ,则∠P 的度数是( A )

A .60°

B .65°

C .55°

D .50°

2.我们解一元二次方程3x 2-6x =0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x(x -2)=0,从而得到两个一元一次方程:3x =0或x -2=0,进而得到原方程的解为x 1=0,x 2=2.这种解法体现的数学思想是( A )

A .转化思想

B .函数思想

C .数形结合思想

D .公理化思想

3.如图,小红居住的小区内有一条笔直的小路,小路的正中间有一路灯,晚上小红由A 处径直走到B 处,她在灯光照射下的影长l 与行走的路程s 之间的变化关系用图象刻画出来,大致图象是( C )

,A ) ,B ) ,C ) ,D )

4.尔)CD 是⊙O 的一条弦,作直径AB ,使AB ⊥CD ,垂足为点E ,若AB =10,CD =8,则BE 的长是( C )

A .8

B .2

C .2或8

D .3或7

解析:如图,连接OC ,∵直径AB ⊥CD ,∴CE =DE =12CD =1

2

×8=4,在Rt △OCE

中,OC =1

2

AB =5,∴OE =OC 2-CE 2=3,当点E 在半径OB 上时,BE =OB -OE =5-3

=2,当点E 在半径OA 上时,BE =OB +OE =5+3=8,∴BE 的长为2或8.故选C

5.“如果二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个公共点,那么一元二次方程ax 2

+bx +c =0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m ,n(m <n)是关于x 的方程1-(x -a)(x -b)=0的两根,且a <b ,则a ,b ,m ,n 的大小关系是( A )

A .m <a <b <n

B .a <m <n <b

C .a <m <b <n

D .m <a <n <b

解析:依题意,画出函数y =(x -a)(x -b)的图象,如图所示.函数图象为抛物线,开口向上,与x 轴两个交点的横坐标分别为a ,b(a <b).方程1-(x -a)(x -b)=0转化为(x -a)(x -b)=1,方程的两根是抛物线y =(x -a)(x -b)与直线y =1的两个交点.由m <n ,可知对称轴左侧交点横坐标为m ,右侧为n.由抛物线开口向上,则在对称轴左侧,y 随x 增大而减少,则有m <a ;在对称轴右侧,y 随x 增大而增大,则有b <n.综上所述,可知m <a <b <n

二、填空题(每小题6分,共30分)

6.已知3a -2b =2,则9a -6b =__6__.

7.解一元二次方程x 2+2x -3=0时,可转化为解两个一元一次方程,请写出其中的一个一元一次方程__x -1=0或x +3=0__.

8.尔)菱形ABCD 的对角线AC =6 cm ,BD =4 cm ,以AC 为边作正方形ACEF ,则BF 长为__5_73_cm __.

9.,盒子有A ,B 两种型号,单个盒子的容量和价格如下表.现有15升食物需要存放且要求每个盒子要装满,由于A 型号盒子正做促销活动:购买三个及三个以上可一次性返还现金4元,则购买盒子所需要最少费用为__29__元.

10.如图,将矩形ABCD 沿CE 向上折叠,使点B 落在AD 边上的点F 处.若AE =2

3

BE ,

则长AD 与宽AB 的比值是5

解析:∵AE =2

3

BE ,∴设AE =2k ,则BE =3k ,AB =5k.∵四边形ABCD 是矩形,∴

∠A =∠ABC =∠D =90°,CD =AB =5k ,AD =BC.∵将矩形ABCD 沿CE 向上折叠,使点B 落在AD 边上的点F 处,∴∠EFC =∠B =90°,EF =EB =3k ,CF =BC ,∴∠AFE +∠DFC =90°,∠DFC +∠FCD =90°,∴∠DCF =∠AFE ,∴cos ∠AFE =cos ∠DCF.在Rt

△AEF 中,∵∠A =90°,AE =2k ,EF =3k ,∴AF =EF 2-AE 2=5k ,∴AF EF =CD CF ,即

5k

3k

=5k CF ,∴CF =35k ,∴AD =BC =CF =35k ,∴长AD 与宽AB 的比值是35k 5k =35 5 三、解答题(共40分)

11.(10分)开学初,小明到文具批发部一次性购买某种笔记本,该文具批发部规定:这种笔记本售价y(元/本)与购买数量x(本)之间的函数关系如图所示.

(1)图中线段AB 所表示的实际意义是__购买不超过10本此种笔记本时售价为5元/本__;

(2)请直接写出y 与x 之间的函数关系式;

(3)已知该文具批发部这种笔记本的进价是3元/本,若小明购买此种笔记本超过10本但

不超过20本,那么小明购买多少本时,该文具批发部在这次买卖中所获的利润W(元)最大?最大利润是多少?

解:(1)图中线段AB 所表示的实际意义是:购买不超过10本此种笔记本时售价为5元/本.故答案为:购买不超过10本此种笔记本时售价为5元/本

(2)①当0<x ≤10时,y 与x 之间的函数关系式y =5,②当10<x ≤20时,设y =kx +b

把B(10,5),C(20,4)代入得???5=10k +b ,

4=20k +b ,解得?

????k =-0.1,b =6.所以y 与x 之间的函数关系式y

=-0.1x +6.③当20<x 时,y 与x 之间的函数关系式为:y =4

(3)W =(-0.1x +6-3)x =-0.1×(x -15)2+22.5.答:当小明购买15本时,该文具批发部在这次买卖中所获的利润最大,最大利润是22.5元

12.(10分)如图,反比例函数y =k

x

的图象与一次函数y =x +b 的图象交于点A(1,4),

点B(-4,n).

(1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)求△OAB 的面积;

(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x 的取值范围.

解:(1)把A 点(1,4)分别代入反比例函数y =k

x ,一次函数y =x +b ,得k =1×4,1+b

=4,解得k =4,b =3,反比例函数的解析式是y =4

x

,一次函数的解析式是y =x +3

(2)当x =-4时,y =-1,B(-4,-1),当y =0时,x +3=0,x =-3,C(-3,0),S

△AOB =S △AOC +S △BOC =12×3×4+12×3×1=15

2

(3)∵B(-4,-1),A(1,4),∴根据图象可知:当x >1或-4<x <0时,一次函数值大于反比例函数值

13.(10分)如图,AB ,CD 为⊙O 的直径,弦AE ∥CD ,连接BE 交CD 于点F ,过点E 作直线EP 与CD 的延长线交于点P ,使∠PED =∠C.

(1)求证:PE 是⊙O 的切线; (2)求证:ED 平分∠BEP ;

(3)若⊙O 的半径为5,CF =2EF ,求PD 的长.

解:(1)证明:如图,连接OE.∵CD 是圆O 的直径,∴∠CED =90°.∵OC =OE ,∴∠1=∠2.又∵∠PED =∠C ,即∠PED =∠1,∴∠PED =∠2,∴∠PED +∠OED =∠2+∠OED =90°,即∠OEP =90°,∴OE ⊥EP ,

又∵点E 在圆上,∴PE 是⊙O 的切线

(2)证明:∵AE ∥CD ,∴∠1=∠3,∵AB ,CD 为⊙O 的直径,∴∠AEB =∠CED =90°,∴∠3=∠4(同角的余角相等).∴∠1=∠4,又∵∠PED =∠1,∴∠PED =∠4,即ED 平分∠BEP

(3)解:设EF =x ,则CF =2x ,∵⊙O 的半径为5,∴OF =2x -5,在Rt △OEF 中,OE 2

=OF 2+EF 2,即25=x 2+(2x -5)2,解得x =4,∴EF =4,∴BE =2EF =8,CF =2EF =8,∴DF =CD -CF =10-8=2,∵AB 为⊙O 的直径,∴∠AEB =90°,∵AB =10,BE =8,

∴AE =6,∵∠BEP =∠A ,∠EFP =∠AEB =90°,∴△AEB ∽△EFP ,∴PF BE =EF AE ,即

PF

8

=46,∴PF =163,∴PD =PF -DF =163-2=103

14.(10分)某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A ,B 两组,采用不同工艺做降温对比试验,设降温开始后经过x min 时,A ,B 两组材料的温度

分别为y A ℃,y B ℃,y A ,y B 与x 的函数关系式分别为y A =kx +b ,y B =1

4

(x -60)2+m(部分

图象如图所示),当x =40时,两组材料的温度相同.

(1)分别求y A ,y B 关于x 的函数关系式;

(2)当A 组材料的温度降至120 ℃时,B 组材料的温度是多少? (3)在0<x <40的什么时刻,两组材料温差最大?

解:(1)由题意可得出:y B =14(x -60)2+m 经过(0,1 000),则1 000=1

4

(0-60)2+m ,解

得m =100,∴y B =14(x -60)2+100,当x =40时,y B =1

4

×(40-60)2+100,解得y B =200,

y A =kx +b 经过(0,1 000),(40,200),则???b =1 000,40k +b =200,解得?

??b =1 000,

k =-20,∴y A =-20x +1

000

(2)当A 组材料的温度降至120 ℃时,120=-20x +1000,解得x =44,当x =44,y B =1

4

(44-60)2+100=164(℃),∴B 组材料的温度是164 ℃ (3)当0<x <40时,y A -y B =-20x +1000-14(x -60)2-100=-14x 2+10x =-1

4

(x -20)2

+100,∴当x =20时,两组材料温差最大为100 ℃

专题讲座(数学思想方法与初中数学教学)

专题讲座(数学思想方法与初中数学教学)

数学活动的机会,帮助学生在自主探索和合作交流的过程中,真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人,教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。学生只有领会了数学思想方法,才能有效地应用知识,形成能力,从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。因此,在初中数学教学中,教师必须重视对学生进行数学思想方法的渗透与培养。 二、几种常见的数学思想方法在初中数学教学中的应用 (一)渗透转化思想,提高学生分析解决问题的能力 所谓“转化思想”是指把待解决或未解决的问题,通过转化,归结到已经解决或比较容易解决的问题中去,最终使问题得到解决的一种思想方法。转化思想是初中数学中常见的一种数学思想,它的应用十分广泛,我们在数学学习过程中,常常把复杂的问题转化为简单的问题,把生疏的问题转化为熟悉的问题。数学问题的解决过程就是一系列转化的过程,转化是化繁为简,化难为

易,化未知为已知的有力手段,是解决问题的一种最基本的思想,对提高学生分析解决问题的能力有积极的促进作用。 我们对转化思想并不陌生,中学数学中常用的化高次为低次、化多元为一元,都是转化思想的体现。在具体内容上,有加减法的转化、乘除法的转化、乘方与开方的转化、数形转化等等。例如:初中数学“有理数的减法”和“有理数的除法”这两节教学内容中,教材是通过“议一议”的形式,使学生在自主探究和合作交流的过程中,经历把有理数的减法转化为加法、把有理数的除法转化为乘法的过程,“减去一个数等于加上这个数的相反数”,“除以一个数等于乘以这个数的倒数”,这个地方虽然很简单,但却充分体现了把“没有学过的知识”转化为“已经学过的知识”来加以解决,学生一旦掌握了这种解决问题的策略,今后无论遇到多么难、多么复杂的问题,都会自然而然地想到把“不会的”转化为“会的”、“已经掌握的”知识来加以解决,这符合学生原有认知规律,作为教师,我们不能因为简单而忽视它的教学,实践告诉我们,往往是越简单、越浅显的例子,越能引起学生的认同,

(推荐)高中数学七大数学基本思想方法

高中数学七大数学基本思想方法 第一:函数与方程思想 (1)函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象,概括与提炼,在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时,起着重要作用。 (2)方程思想是解决各类计算问题的基本思想,是运算能力的基础。考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。 第二:数形结合思想 (1)数学研究的对象是数量关系和空间形式,即数与形两个方面 (2)在一维空间,实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间,实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系,形结合中,选择、填空侧重突出考查数到形的转化,在解答题中,考虑推理论证严密性,突出形到数的转化。 第三:分类与整合思想 (1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。 (2)从具体出发,选取适当的分类标准。 (3)划分只是手段,分类研究才是目的。 (4)有分有合,先分后合,是分类整合思想的本质属性。 (5)含字母参数数学问题进行分类与整合的研究,重点考查学生思维严谨性与周密性。 第四:化归与转化思想 (1)将复杂问题化归为简单问题,将较难问题化为较易问题,将未解决题化归为已解决问题。 (2)灵活性、多样性,无统一模式,利用动态思维,去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。 (3)高考重视常用变换方法:一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。 第五:特殊与一般思想 (1)通过对个例认识与研究,形成对事物的认识。 (2)由浅入深,由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。 (3)由特殊到一般,再由一般到特殊的反复认识过程。 (4)构造特殊函数、特殊数列,寻找特殊点、确立特殊位置,利用特殊值、特殊方程。 (5)高考以新增内容为素材,突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向。 第六:有限与无限的思想 (1)把对无限的研究转化为对有限的研究,是解决无限问题的必经之路。 (2)积累的解决无限问题的经验,将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向。 (3)立体几何中求球的表面积与体积,采用分割的方法来解决,实际上是进行有限次分割,再求和求极限,是典型的有限与无限数学思想的应用。 (4)随着高中课程改革,对新增内容考查深入,必将加强对有限与无限的考查。 第七:或然与必然的思想

初中数学思想方法主要有哪些

一、用字母表示数的思想,这是基本的数学思想之一 在代数第一册第一章“代数初步知识”中,主要体现了这种思想。例如: 设甲数为a,乙数为b,用代数式表示:(1)甲乙两数的和的2倍:2(a+b) (2)甲数的1/3与乙数的1/2差:1/3a-1/2b 二、数形结合的思想 “数形结合”是数学中最重要的,也是最基本的思想方法之一,是解决许多数学问题的有效思想。实中数学教材中下列内容体现了这种思想。 1、数轴上的点与实数的一一对应的关系。 2、平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。 3、函数式与图像之间的关系。 4、线段(角)的和、差、倍、分等问题,充分利用数来反映形。 5、解三角形,求角度和边长,引入了三角函数,这是用代数方法解决何问题。 6、“圆”这一章中,贺的定义,点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。 7、统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表,用这些图表的反映数据的分情况,发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况,发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数的特征,这是数形结合思想在实际中的直接应用。 三、转化思想 在整个初中数学中,转化(化归)思想一直贯穿其中。转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决,它是数学基本思想方法之一。下列内容体现了这种思想: 1、分式方程的求解是分式方程转化为前面学过的一元二次方程求解,这里把待解决的新问题化为已解决的问题来求解,体现了转化思想。 2、解直角三角形;把非直角三形问题化为直角三角形问题;把实际问题转化为数学问题。 3、“圆”这一章中,证明圆周角定理进所做的分析:证明弦切角定理的思路:求两圆的切线长的问题。这些转化都是通过辅助线来完成的。 4、把三角形或多边形中的某种线段或面积问题化为相似比问题来解决。 四、分类思想 集合的分类,有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类,三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关生活经验等都是通过分类讨论的。 五、特殊与一般化思想

初中数学中的主要数学思想方法

初中数学中的主要数学思想方法 初中数学中蕴含的数学思想很多,其中最主要的数学思想方法包括转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等. (1) 转化思想.转化思想就是人们将需要解决的问题,通过演绎、归纳等转化手段,归结为另一种相对容 易解决或已经有解决方法的问题,从而使原来的问题得到解决.转化思想体现在数学解题过程中就是将未知的、 陌生的、复杂的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题. 初中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现.具体而言,代数式中加法与减法的转化,乘法与除法的转化,用换元法解方程,在几何中添加辅助线,将四边形的问题转化为三角形 的问题,将一些角转化为圆周角并利用圆的知识解决问题等等都体现了转化思想.在初中数学中,转化思想运用 的最为广泛.

(2) 数形结合思想.数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,因而,在某种程度上可以说数学研究 是围绕着数与形展开的.初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式,初中数学中的“形”就是图形、图象、曲线等形象表达式.数形结合思想的实质是将抽象的数学语言(“数” ) 与直观的图象(“形“ ) 结合起来,数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系,以“形”直观地表达“数”, 以“数”精确地研究“形”,实现代数与几何之间的相互转化.数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形” 两个方面,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.“数无形时不直观,形无数时难入微.”数形结合是研究数学、解决数学问题的重要思想,在初中数学中有着广泛应用. 譬如,在初中数学中,通过数轴将数与点对应,通过直角坐标系将函数与图象对应均体现了数形结合思想的 应用.再比如,用数形结合的思想学习相反数、绝对值等概念,学习有理数大小比较的法则,研究函数的性质等,从形象思维过渡到抽象思维,从而显著降低了学习难度. (3) 分类讨论思想.分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点,将数学对象区分为不同的 种类.分类是以比较为基础的,它有助于揭示数学对象之间的内在联系与规律,有助于学生总结归纳数学知识、

高中数学解题思想之等价变换思想.

等价转化思想方法 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考,等价转化思想无处不见,我们要不断培养和训练自觉的转化意识,将有利于强化解决数学问题中的应变能力,提高思维能力和技能、技巧。 转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的,才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的,要对结论进行必要的修正(如无理方程化有理方程要求验根),它能给人带来思维的闪光点,找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求,实施等价转化时确保其等价性,保证逻辑上的正确。 著名的数学家,莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出:“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程,就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。 等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换;它可以在宏观上进行等价转化,如在分析和解决实际问题的过程中,普通语言向数学语言的翻译;它可以在符号系统内部实施转换,即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等,都体现了等价转化思想,我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说,等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性,我们要合理地设计好转化的途径和方法,避免死搬硬套题型。 在数学操作中实施等价转化时,我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则,即把我们遇到的问题,通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理;或者将较为繁琐、复杂的问题,变成比较简单的问题,比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等;或者比较难以解决、比较抽象的问题,转化为比较直观的问题,以便准确把握问题的求解过程,比如数形结合法;或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作,转化过程省时省力,有如顺水推舟,经常渗透等价转化思想,可以提高解题的水平和能力。 Ⅰ、再现性题组: 1. f(x是R上的奇函数,f(x+2=f(x,当0≤x≤1时,f(x=x,则f(7.5等 于_____。 A. 0.5 B. -0.5 C. 1.5 D. -1.5

(新)高中数学复习专题一---函数图象问题

专题一 函数图象 数形结合是中学数学的重要的数学思想方法,尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式,形象的显示了函数的性质,为研究数量关系提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题的结果的重要工具. 一、知识方法 1.函数图象作图方法 (1)描点法:列表、描点(注意关键点:如图象与x 、y 轴的交点,端点,极值点等))、连线(注 意关键线:如;对称轴,渐近线等) (2)利用基本函数图象变换。 2.图象变换(由一个图象得到另一个图象):平移变换、对称变换和伸缩变换等。 (1)平移变换 ① 水平平移:函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到; ② 竖直平移:函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿y 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到. (2)对称变换 ① 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于y 轴对称即可得到; ② 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于x 轴对称即可得到; ③ 函数()y f x =--的图象可以将函数()y f x =的图象关于原点对称即可得到; (3)翻折变换 ① 函数|()|y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方,去掉原x 轴下方部分,并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到; ② 函数(||)y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到. (4)伸缩变换 ① 函数()y af x =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩(01a <<)为原来的a 倍得到; ② 函数()y f ax =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(01a <<)或压缩(1)a >为原来的 1 a 倍得到. 3.函数图象的对称性:对于函数)(x f y =,若对定义域内的任意x 都有 ①)()(x a f x a f +=-(或))2()(x a f x f -=,则)(x f 的图象关于直线a x =对称; ②b x a f x a f 2)()(=++-(或)2)2()(b x a f x f =-+,,则)(x f 的图象关于点),(b a P 对称. 4、熟练掌握基本初等函数(如正、反比例函数,一次、二次函数,指数、对数函数,幂函数,三角函数)的图象 5、作函数图象的一般步骤: (1)求出函数的定义域;(2)化简函数式;(3)讨论函数的性质(如奇偶性、周期性、单调性)以及图像上的特殊点、线(如极值点、渐近线、对称轴等);(4)利用基本函数的图像(5)利

中考数学思想方法专题之整体思想

初中数学思想之整体思想 整体思想,就是在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题方法.从整体上去认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为易,同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性.整体思想的主要表现形式有:整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等.在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面,整体思想都有很好的应用,因此,每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题,尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用. 一.数与式中的整体思想 【例1】 已知代数式3x 2-4x+6的值为9,则2463x x -+的值为 ( ) A .18 B .12 C .9 D .7 【例2】.已知114a b -=,则2227a ab b a b ab ---+的值等于( ) A.6 B.6- C. 125 D.27- 【例3】已知2002007a x =+,2002008b x =+,2002009c x =+,求多项式222a b c ab bc ac ++---的值. 二.方程(组)与不等式(组)中的整体思想 【例4】已知24122x y k x y k +=+?? +=+? ,且03x y <+<,则k 的取值范围是 【例5】已知关于x ,y 的二元一次方程组3511x ay x by -=??+=?的解为56 x y =??=?,那么关于x , y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=??++-=? 的解为为 【例6】.解方程 22523423x x x x +-=+ 三.函数与图象中的整体思想 【例7】已知y m +和x n -成正比例(其中m 、n 是常数)(1)求证:y 是x 的一次函数;(2)如果y =-15时,x =-1;x =7时,y =1,求这个函数的解析式 四.几何与图形中的整体思想

高中数学知识点以及解题方法大全

前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化(化归)思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查: ①常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等; ②数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等; ③数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、 归纳和演绎等; ④常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化 归)思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化( 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 ,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如: a 2 +b 2 =(a+b) 2 -2ab=(a-b) 2 +2ab; a 2 +ab+b 2 =(a+b) 2 -ab=(a-b) 2 +3ab=(a+ b 2) 2 +( 3 2b) 2 ; a 2 +b 2 +c 2 +ab+bc+ca= 1 2[(a+b) 2 +(b+c) 2 +(c+a) 2 ] a 2 +b 2 +c 2 =(a+b+c) 2 -2(ab+bc+ca)=(a+b-c) 2 -2(ab-bc-ca)=… 结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如: 1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα) 2 ; x 2 + 1 2 x=(x+ 1 x) 2 -2=(x- 1 x) 2 +2 ;……等等。 Ⅰ、再现性题组: 1. 在正项等比数列{a n}中,a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25,则 a3+a5=_______。 2. 方程x 2 +y 2 -4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 41 C. k∈R D. k= 1 4或k=1 3. 已知sin 4 α+cos 4 α=1,则sinα+cosα的值为______。 A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 0 4. 函数y=log1 2 (-2x 2 +5x+3)的单调递增区间是_____。 A. (-∞, 5 4] B. [ 5 4,+∞) C. (- 1 2, 5 4] D. [ 5 4,3) 5. 已知方程x 2 +(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2,则点P(x1,x2)在圆x 2 +y 2 =4上,则实数a=_____。 【简解】 1小题:利用等比数列性质a m p -a m p +=a m 2 ,将已知等式左边后配方(a3+a5) 2 易求。答案是:5。 2小题:配方成圆的标准方程形式(x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 ,解r 2 >0即可,选B。 3小题:已知等式经配方成(sin 2 α+cos 2 α) 2 -2sin 2 αcos 2 α=1,求出sinαcosα,然后求出所求式的平方值,再开方求解。选C。 4小题:配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。 5小题:答案3-11。 Ⅱ、示范性题组: 例1.已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____。 A. 23 B. 14 C. 5 D. 6 【分析】先转换为数学表达式:设长方体长宽高分别为x,y,z,则211 424 () () xy yz xz x y z ++= ++= ? ? ? ,而欲求对角线长x y z 222 ++,将其配凑成两已知式的组合形式可得。

高中数学常用思想方法

高中数学常用的数学思想 一、函数与方程思想 函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。 笛卡尔的方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界,充斥着等式和不等式。我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的……等等;不等式问题也与方程是近亲,密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别,如函数y=f(x),就可以看作关于x、y的二元方程f(x)-y =0。可以说,函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地, 函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是:f(x)、f-1(x)的单调性、 奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题。 函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是:遇到变量,构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题,利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系;实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式,应用函数性质或不等式等知识解答;等差、等比数列中,通项公式、前n项和的公式,都可以看成n的函数,数列问题也可以用函数方法解决。 例设f(x)=lg 124 3 ++ x x a ,如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义,求实数a的取值范围。 【分析】当x∈(-∞,1]时f(x)=lg 124 3 ++ x x a 有意义的函数问题,转化为1+2x+4x a>0 在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。 【解】由题设可知,不等式1+2x+4x a>0在x∈(-∞,1]上恒成立, 即:(1 2 )2x+( 1 2 )x+a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。 设t=(1 2 )x, 则t≥ 1 2 ,又设g(t)=t2+t+a,其对称轴为t=- 1 2

初中数学思想方法大全

一、宏观型思想方法 数学思想是数学基础知识、基本技能的本质体现,是形成数学能力、数学意识的桥梁,是灵活应用数学知识、技能的灵魂。 (一)、转化(化归)思想 解决数学问题就是一个不断转化的过程,把问题进行变换,使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉,变未知为已知,从而使问题得以解决。 不是对原来的问题直接解答,而是想方设法对它进行变形,直到把它转化成某个(某几个)已经解决了的问题为止。通过转化可使原条件中隐含的因素显露出来,从而缩短已知条件和结论之间的距离,找出它们之间内在的联系,以便应用有关方法将问题解决。 “转化”的思想是一种最基本的数学思想。数学解题过程的实质就是转化过程,具体的说,就是把“新知识”转化为“旧知识”,把“未知”转化为“已知”,把“抽象”转化为“具体”,把“复杂问题”转化为“简单问题”,把“高次”转化为“低次”,在不断的相互转化中使问题得到解决。 可运用联想类比实现转化、利用“换元”、“添线”、消元法,配方法,进行构造变形实现转化、数形结合,实现转化。一般转化为特殊,有些代数问题,通过构造图形,化抽象为具体,借助直观启发思维,转化为易解的几何问题。有些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明,有些结构比较复杂的问题,可以简化题中某一条件,甚至暂时撇开不顾,先考虑一个简化的问题,这种简化题对于证明原题常常能起到引路的作用。把实际问题转化为数学问题。结合解题进行化归思想方法的训练的做法:a、化繁为简;b、化高维为低维;c、化抽象为具体;d、化非规范性问题为规范性问题;e、化数为形;f、化实际问题为数学问题; g、化综合为单一;h、化一般为特殊。 有加减法的转化,乘除法的转化,乘方与开方的转化,添辅助线,设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此,首先要认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法 应用:A将未知向已知转化;B将陌生向熟知转化;C方程之间的转化;D平面图形间的转化;E空间图形与平面图形的转化;F统计图之间的相互转化。 例子:减法转化成加法(减去一个数等于加上这个数的相反数);除法转化成乘法(除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数);多项式的先化简再代入求值;单项式乘单项式可化归为有理数乘法和同底数幂的乘法运算;单项式乘多项式和多项式乘多项式都可以化归为单项式乘单项式的运算;将求负数的立方根转化为求正数的立方根的相反数;实数近似运算中据问题需要取近似值,从而转化为有理数计算;将异分母分式的加减转化为同分母分式的加减;将分式的除法转化成分式的乘法;将分式方程转化为整式方程求解;将分子的次数不低于分母次数的分式用带余除法转化为整式部分和分式部分的和;将方程的复杂形式化为最简形式;通过立方程把实际问题转化为数学问题;通过解方程把未知转化为已知;把一元二次方程转化为一元一次方程求解;把二元二次方程组转化为二元一次方程组,再转化为一元一次方程从而求解;通过转化为解方程实现实数范围内二次三项式的分解、方程中字母系数的确定;角度关系的证明和计算;平行线的性质和判定;把几何问题向平行线等简单的熟悉的基本图形转化;特殊化(特殊值法、特殊位置、设项、几何中添辅助线等);图形的变换(轴对称、平移、旋转、相似变换);解斜三角形(多边形)时将其转化为解直角三角形; (二)、数形结合思想 数学的研究对象是现实世界中的数量关系(“数”)和空间形式(“形”),而“数”和“形”是相互联系、相互渗透的,一定条件下也是可以互相转化的,因此,在解决问题时,常需把同一问题的数量关系与空间形式结合起来考查,利用数的抽象严谨和形的直观表意,把抽象思维和形象思维结合起来,把数量关系问题通过图形性质进行研究,或者把图形性质问题通过数量关

高中数学常见思想方法总结

高中常见数学思想方法 方法一 函数与方程的思想方法 函数是中学数学的一个重要概念,它渗透在数学的各部分内容中,一直是高考的热点、重点内容.函数的思想,就是用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,建立函数特征,重在对问题的变量的动态研究,从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解. 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的. 【例1】 设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ,已知3121312,0,0a S S =><. (1)求公差d 的取值范围; (2)指出1S 、2S 、…、12S 中哪一个值最大,并说明理由. 【分析】 (1)利用公式n a 与n S 建立不等式,容易求解d 的范围;(2)利用n S 是n 的二次函数,将n S 中哪一个值最大,变成求二次函数中n 为何值时n S 取最大值的函数最值问题. 【解】(1) 由3a =12a d +=12,得到1a =12-2d , 所以12S =121a +66d =12(12-2d )+66d =144+42d >0, 13S =131a +78d =13(12-2d )+78d =156+52d <0. 解得:2437 d -<<-. (2)解法一:(函数的思想) n S =21115(1)(12)222 na n n d dn d n ++=+- =22 124124552222d d n d d ????????---- ? ????????????? 因为0d <,故212452n d ????-- ???????最小时,n S 最大.

最新高中数学思想方法(附经典例题及详解)

最新高中数学思想 方法 经典例题

经典解析

目录 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化(化归)思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案……………………………………

前言 美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查: ①常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等; ②数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等; ③数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳 和演绎等; ④常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思 想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用。每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。

初中数学思想方法汇总

初中数学思想方法的概念、种类 及渗透策略分析 分类讨论思想 一、分类讨论思想的意义 当我们在解决数学问题时,有时由于被研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,因而需对不同属性的对象进行分类研究;或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,因而需对不同情况进行分类研究.通过分类讨论,常能化繁为简,更清楚地暴露事物的本质,并增加条件,“分类讨论”,简言就是先分类,后讨论。阅读大纲和教材会发现,初中数学对分类讨论本着先易后难、循渐进的原则,把“分类讨论思想”分两个层次,即“分类思想”和“讨论思想”。分类思想在初中数学占有相当要的地位,通过教学应使学生确立类思想,学会分类方法,而“讨论思则要求通过有关知识的传授起到潜默化的作用。 分类讨论是一种逻辑方法,也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在试题中占有重要的位置。 二、分类讨论的一般步骤是:明确讨论对象,确定对象的全体→确定分类标准,正确进行分类→逐步进行讨论,获取阶段性结果→归纳小结,综合得出结论。 三、分类讨论思想的分类原则 : 分类讨论必须遵循原则进行,在初中阶段,我们经常用到的有以下4大原则: (1)同一性原则 (2)互斥性原则 (3)相称性原则 (4)多层次性原则 四、七年级数学中体现分类讨论思想的知识点 上册:1、含字母式子的绝对值的化简2、过平面的点画直线的条数3、线段、角的计算4、立体图形异面点之间的最短距离5、数轴上两点间的距离6、分段计费问题。下册:1、两边分别平行的两角的关系2、正数的平方根3、实数的分类4、坐标平面点的坐标5、P 112第10题6、解字母系数的不等式7、借助不等式(组)的正整数解讨论方案设计问题。 五、典型例题 例1.(2011中考 )解关于x 的不等式组: a(2-x )>3-x )9x a +( >9a+8 例2已知直线AB 上一点C ,且有CA=3AB ,则线段CA 与线段CB 之比为__ 或____ 。 练习:已知A 、B 、C 三点在同一条直线上,且线段AB=7cm ,点M 为线段AB 的中点,线段BC=3cm ,点N 为线段BC 的中点,求线段MN 的长.

整理初中数学思想方法专题复习教学设计

课 题 数 学 思 想 方 法 专 题 复 习 20 年月日A4打印/ 可编辑

课题:数学思想方法专题复习 数形结合的思想 宜昌市第一中学周继业 一、教学设计 1.教学内容解析 高考《考试说明》在命题指导思想和命题原则中明确指出:“注重通性通法,强调考查数学思想方法”,并明确了“数学思想方法属方法范畴,但更多的带有思想、观点的属性,属于较高层次的提炼与概括”,而且把“数形结合的思想”作为所要考查的七种基本数学思想之一,纳入重点考查对象. 数形结合的思想贯穿整个高中数学的教学.本课是高三学生经过第一轮教材基础知识梳理后,在第二轮复习中关于数学思想方法的专题复习课.授课内容包含建系以数辅形、构造以形助数和转化数形互助三种结合方式,其目的是为了加强学生对数形结合思想的理解和应用,使学生能够通过数学问题的条件和结论的联系分析其代数含义和几何意义,提高学生运用图形、构造图形的能力,增强学生胸中有图、见数想图的意识.考虑到二轮专题复习回归教材的必要性,本课围绕人教版必修2中阅读材料为情景引入,紧扣数形结合思想内涵展开探究,由情景生成新的问题设问推进,层层深入实现思想建构.为系统展示数形结合思想及其应用的普遍性和重要性,改编题主要以线性规划、平面向量、函数、方程、不等式和解析几何等典型问题作为探究点,兼顾课本知识整合. 根据以上分析,本节课的教学重点确定为 教学重点:分析数学问题的代数含义和几何意义,由数思形解决问题;回顾涉及数形结合思想的知识点,完成思想建构. 2、学生学情诊断 本节课为数学思想方法的专题复习,涉及面广,分布零散,问题形式多样且难易兼备,因此学生容易以点盖面,以偏概全.数形结合思想渗透在中小学数学教材的各个章节,学生一向是以感受为主,经验为重,尚未系统整理建构,所以突破学生对数形结合思想理解上的局限性,站在思想方法的高度重新认识数形结合思想,在学生思维中留下一条清晰的认知线索为本节课成功的关键.二轮复习中,学生对线性规划知识和平面向量的坐标法接受起来相对容易,可以顺利实现以数辅形,但在中学数学的主体知识(函数、方程、不等式)中合理构造图形解决代数问题还是较难.在“探究二”中由2012年北京高考题设计了由两个不同初等函数组成的超越方程,让学生自然产生由数到形、以形助数的想法并完成求解,为凸显复习知识的深度和对学生思维训练的强度,设计的不等式问题将成为学生的难点,难在含有量词和逻辑联结词的处理,还有由数到形的等价性问题,此处要通过小组讨论、学生展示、几何画板演示进行突破.为体现“数”与“形”在本质上的相互渗透而设计“探究三”,让学生体会由形到数、由数到形的过程,帮助学生完善对数形结合思想的理解. 根据以上分析,本节课的教学难点确定为 教学难点:根据代数问题的几何含义构造图形,并借助图形特征找出处理问题的充要条件;运用数形结合思想方法时遵循等价性、简单性原则. 3.教学标准设置 (1)通过由情景生成的四个问题探究,让学生体会数形结合的三种途径,培养学生将复杂的数量关系自觉转化为直观的几何图形来解决问题的能力. (2)明确数形结合思想所涉及的知识点,能够胸中有图、见数想图. (3)借助几何画板演示,通过小组合作交流再展示的方式,让学生经历“数”的抽象和“形”的直观相互转化的过程,感受数学活动的探索性、创造性和数学的美感. 4.教学策略分析

(完整版)高中数学四大思想方法

高中数学四大思想方法 ————读《什么是数学》笔记 《什么是数学》这本书是一本数学经典名著,它收集了许多闪光的数学珍品。它的目标之一是反击这样的思想:"数学不是别的东西,而只是从定义和公理推导出来的一组结论,而这些定义和命题除了必须不矛盾外,可以由数学家根据他们的意志随意创造。"简言之,这本书想把真实的意义放回数学中去。但这是与物质现实非常不同的那种意义。数学对象的意义说的是"数学上'不加定义的对象'之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则"。数学对象是什么并不重要,重要的是做了什么。这样,数学就艰难地徘徊在现实与非现实之间;它的意义不存在于形式的抽象中,也不存在于具体的实物中。对喜欢梳理概念的哲学家,这可能是个问题,但却是数学的巨大力量所在--我们称它为,所谓的"非现实的现实性"。数学联结了心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实的物质世界。我根据自己在数学方面的兴趣,基于已有的数学背景知识,选取一部分和高中有关的内容进行舒心愉快的阅读。重新总结了高中数学中的数学四大思想方法:函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合;函数与方程 函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界,充斥着等式和不等式。我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的……等等;不等式问题也与方程是近亲,密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别,如函数y=f(x),就可以看作关于x、y的二元方程f(x)-y=0。可以说,函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是:f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是:遇到变量,构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题,利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系;实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式,应用函数性质或不等式等知识解答;等差、等比数列中,通项公式、前n项和的公式,都可以看成n的函数,数列问题也可以用函数方法解决。 等价转化等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范

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