金融数学第一章练习题详解
第 1 章 利息度量
1.1 现在投资$600，以单利计息，2 年后可以获得$150 的利息。如果以相同的复利利率投资$2000，试确定在 3 年后的累积值。
65.2847%)5.121(2000%
5.1215026003=+=?=?i i
1.2 在第 1 月末支付 314 元的现值与第 18 月末支付 271 元的现值之和，等于在第 T 月末支付 1004 元的现值。年实际利率为 5% 。求 T 。
58
.1411205.1ln /562352.0ln 562352.0ln 05.1ln 12
562352.01004/)05.127105.1314(05.105.1%)51()1(271314100412/1812/112/12
/1812/112/=?-==-=?+?==+=+=+=------T T i v v v v T t
t t t T 两边取对数，其中
1.3 在零时刻，投资者 A 在其账户存入 X ，按每半年复利一次的年名义利率 i 计息。同时，投资者Ｂ在另一个账户存入 2X ，按利率 i （单利）来计息。 假设两人在第八年的后六个月中将得到相等的利息，求 i 。
094588
.02)12(2)2
1(2
)21()21()21())2
1()21((2
12:))21()21((:215/11515151615161516=?-==+?+=+-+==+-+=??+-+i i i i i i i Xi i i X Xi i X B i i X A i A 两边取对数
，的半年实际利率为
1.4 一项投资以 δ 的利息力累积，27.72 年后将翻番。金额为 1 的投资以每两年复利一次的名义利率 δ 累积 n 年，累积值将成为 7.04。求 n 。
()
80
2)05.1ln /04.7(ln 04
.7)21025
.072.27/2ln 2
)1()(1ln 2/5.072.27=?==+=====+=+=n i e e i t a i n t
t δδ
δδδδ（
1.5 如果年名义贴现率为 6%，每四年贴现一次，试确定$100 在两年末的累积值。 71.114%)641(10024/1=?-?-
1.6 如果 )(m i = 0.1844144 ， )(m d
= 0.1802608 ，试确定 m 。 81802608
.01844144.01802608.01844144.01111111111112
=-?=-?=?=-=?--+=??????-???????+=?????
?-???????+-=??
????-=??????+=+-m m m m m
m m m m
m m m m m m m m m m m m m d i d i m m
d i d i m d i m d i m d m i m d m i d m d m i i
1.7 基金 A 以每月复利一次的名义利率 12 %累积。基金 B 以t δ= t / 6 的利息力累积。在零时刻，分别存入 1 到两个基金中。请问何时两个基金的金额将相等。
()43
.101.1ln 14412/01.1ln 1212/%121212
/6/1220=?===?=+t t t e e t dt t t t 两边取对数，
1.8 基金 A 以 t δ= a+bt 的利息力累积。基金 B 以t δ= g+ht 的利息力累积。基金 A 与基金 B 在零时刻和 n 时刻相等。已知 a > g > 0 ， h > b > 0 。求n 。
h
b a g n hn gn bn an n b n a b a e e t b e e t a ht gt dt ht g bt at dt bt a t t --=?+=+?===?==?=++++)(22
121)
()(),0()0()()(2
2)
21()()2
1()(2020
1.9 在零时刻将
100
支付利息。从 t = 2 开始，利息按照 t
t +=
11δ的利息力支付。在 t = 5 时，存款的累积值为 260。求δ。 ()()
1290
.0)2100/(26014260)4/1(100260)4/1(1008/1-)3ln 6(ln 24-1124-52=?-?==?-=??--?+?δδδδe e
dt t 现率
指前两年内的年名义贴
1.10 在基金 A 中，资金 1 的累积函数为 t+1，t>0；在基金 B 中，资金 1 的累积函数为1+t 2 。请问在何时，两笔资金的利息力相等。 41.012012121112,11222
=-=?=-+?+=+?=+=+=t t t t
t t t t t B A B A δδδδ令 1.11 已知利息力为t t +=
12δ。第三年末支付 300 元的现值与在第六年末支付 600 元的现值之和，等于第二年末支付 200 元的现值与在第五年末支付 X 元的现值。求 X 。82
.315))51/(())21(200-)61(600)31(300()
5()2(200)6(600)3(300)1()()1()(22-2211112
12)1ln(212
0=++?+?++?=??+?=?+?+=?+==?=---------++X a X a a a t t a t e e t a t dt t t
1.12 已知利息力为100
3
t t =δ。请求)3(1-a 。 8167.0)3(2025.0400/81)03(400/110014
303
====?=---?---e e e e a dt t
1.13 资金 A 以 10%的单利累积，资金 B 以 5%的单贴现率累积。请问在何时，两笔资金的利息力相等。
51.011.0-205.0105.01.011.005.0105.0)05.01()(05.01)%51()(:1.011
.01.01)%101()(:11=?+=?-=+?=-=
?-=?-=-=+=?+=+=--t t t t
t t t t a t t t a B t
t t t a A B A B A δδδδ令
1.14 某基金的累积函数为二次多项式，如果向该基金投资 1 年，在上半年的名义利率为 5%（每半年复利一次），全年的实际利率为 7%，试确定5.0δ。
06829.0103.004.003.008.01
03.004.0)(,1,03.0,04.0%
71)1(2
/%515.025.0)5.0(1
)0()(5.025.022=+++=
++====?+=++=+=++===++==t t t t t t t a c b a c b a a c b a a c a c
bt at t a δ设累积函数为
1.15 某投资者在时刻零向某基金存入 100，在时刻 3 又存入 X 。此基金按利息力
100
2
t t =δ累积利息，其中 t > 0。从时刻 3 到时刻 6 得到的全部利息为 X ，求 X 。 61
.784)42.109(8776.0)3()6()42.109(8776.1)42.109()6(42.109100)3(632
302
100100=?=+=-+=?+=+=+?=X X X A A X e X A X
X e A dt t dt t
1.16 一位投资者在时刻零投资 1000，按照以下利息力计息：
?
??>≤≤=3,045.030,02.0t t t t δ 求前 4 年每季度复利一次的年名义利率。
%
39.30339.0)11445.1(41445.11000)4/1(1000,1445.1)4(16/144045.009.0045.002.04
330==-?=??=+==??=?++x x x e e a dt dt t 设年名义利率为
1.17 已知每半年复利一次的年名义利率为 7.5%，求下列两项的和：(1)利息力；(2)每季度贴现一次的年名义贴现率。
14658
.007295
.0))2/%5.71(-1(4)2/%5.71()4/1(,07363
.0)2/%5.71ln()2/%5.71()()4/1(22422=+=+?=?+=-=+=+=-?-x x x x t a t t t t t
δδ设名义贴现率为
注：个人认为，求这两个数的和并没有实际意义
1.18 假设利息力为?????≤<≤<=105,25
150,2t kt t kt t δ，期初存入单位 1 在第 10 年末将会累积到 2.7183。试求 k 。
0414
.07183.2)(1667.24)1251000(751225251105250=?===??=-++k e e e
t a k k k dt kt ktdt 1.19 已知利息力为t
t +=
21δ，一笔金额为 1 的投资从 t=0 开始的前 n 年赚取的总利息是 8。试求 n 。 1681211)(21)(2ln )2ln(21
0=?=-+=-+
==?=-++n n n a t e e t a t dt t t
1.20 1996 年 1 月 1 日，某投资者向一个基金存入 1000，该基金在 t 时刻的利息力为 0.1(t-1)2 ，求 1998 年 1 月 1 日的累积值。
94.10681000100006667.0)1(1.0202==?=-e e A dt t
1.21 投资者 A 今天在一项基金中存入 10，5 年后存入 30，已知此项基金按单利 11%计息；投资者 B 将进行同样数额的两笔存款，但是在 n 年后存入 10， 在 2n 年后存入 30，已知此项基金按复利 9.15%计息。在第 10 年末，两基金的累积值相等。求 n 。 5244
.20915.1ln /8017.0ln 40014
.20915.18017.00915
.1302)5.67(0915.1304)0915.110(0915.1105.670915.1300915.1100915
.1ln /ln ,0915.15
.67%)15.91(30%)15.91(10%)15.91(30%)15.91(10:5
.67)5%111(30)10%111(10:10101021010210102101021010=-===??-???-?+?-==??+??-===+++?+++=?++?+-----n t t t t n t B A n n n n
n 即令
注：不知道为什么，笔者算出来的答案恰好是参考答案的两倍，将2.5244带进去右边=66,将1.262代进去，右边=80,由此可得2.5244接近真实结果
1.22 已知利息力为1
2-=t t δ，2 ≤ t ≤10 。请计算在此时间区间的任意一年内，与相应利息力等价的每半年贴现一次的年名义贴现率。 )1(2))1()2(1(2))1(1(21)2/1()1()2()1()()1()()1()2()2()(2/1)2(2)2(2
222
12
2-=---
?=--?=-=-----=--=-?=??=-n n n d d d d n n n n a n a n a d n a e a n a n n
n dt t n
版权所有，翻版必究 ~ 第二章习题答案 1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。 解： S = 1000s 20 ?p 7%+Xs 10 ?p 7% X = 50000 ? 1000s 20 ?p 7% s 10 ?p7% = 2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。 月结算名利率18%。计算首次付款金额。 解： 设首次付款为X ，则有 10000 = X + 250a 48 ?% 解得 X = 3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i =1 。试计算该年金的现值。 解： P V = na?n pi 1 ? v n n = n 1 n = (n + 1)n n 2 ? n n +2 (n + 1)n 4．已知：a?n p = X ，a 2 ?n p = Y 。试用X 和Y 表示d 。 解： a 2 ?n p = a?n p + a?n p (1 ? d)n 则 Y ? X d = 1 ? ( X ) 5．已知：a?7 p = , a 11 ?p = , a 18 ?p = 。计算i 。 解： a 18 ?p = a?7 p + a 11 ?p v 7 解得 6.证明： 1 1?v =
s i = % ?+a?。 s? 北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页
版权所有，翻版必究 证明： s 10 ?p + a ∞?p (1+i)?1+1 1 s 10 ?p = i (1+i)?1 i i = 1 ? v 10 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。 解： P V = 100a?8p3% + 100a 20?p 3% = 8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然 后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%， 后15年的年利率7%。计算每年的退休金。 解： 设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日 1000¨25?p8%=X¨15?p7% 解得 9．已知贴现率为10%，计算¨?8 p 。 X = 解： d = 10%，则 i =1 10.求证： (1) ¨?n p = a?n p + 1 ? v n ； 1?d ? 1 =1 9 ¨?= (1 + i) 1 ? v 8 i = (2) ¨?n p = s? ?n p 1 + (1 + i)n 并给出两等式的实际解释。 证明： (1)¨?n p =1?d v =1 ?v =1 ?v i + 1 ? v n 所以 (2)¨?n p = (1+ i)?1 ¨?n p = a?n p + 1 ? v n (1+i )?1=(1+i)?1 n ? 1
第一章 简单市场模型 考虑单时段情形。假设股票、债券在期初的价格分别为S(0)和A(0)，在期末的价格分别为S(1)和A(1)，资产组合在期初和期末的价值分别为V(0)和V(1)。 1.股票在该时段的收益率为S K = ，债券在该时段的收益率为 A K = ，若采用对数收益率表示，则相应的股票和债券的对数收益率 分别为S k = 和A k = 。（列式即可） 2. 设资产组合在该时段的股数和债券份数分别为x,y ，则V(0)= ，V(1)= ，组合的收益率为 V K = 。（列式即可） 3．假设A(0)=90元，A(1)=100元，S(0)=25元，且假设{ 3020(1)S = ，概率为p ，概率为1-p ， 式中0 第二章无风险资产 2.1.某人在未来15 年中每年年初存入银行20 000 元。前 5 年的年利率为 5.2%，中间5 年的年利率下调至3.3%，后 5 年由于通货膨胀率的提高，年利率上调至8.3%。则第15 年年末时这笔存款的积累值为（）元。 (A)496 786 (B) 497 923 (C) 500 010 (D) 501 036 (E) 502 109 2.2已知在未来三年中，银行第一年按计息两次的名义年利率10%计息，第二年按计息四次的名义年利率12%计息，第三年的实际年利率为6.5%。某人为了在第三年末得到一笔10 000元的款项，第一年年初需要存入银行（）元。 (A) 7 356 (B) 7 367 (C) 7 567 (D) 7 576 (E) 7 657 2.3.将9000元存入银行账户2个月(61天)，按单利计算，期末终值9020元。计算利率r和这个投资的收益率。 2.4.如果存款按年复合计息，10年以后可以翻翻，则利率是多少？ 2.5.假设存在一个承诺一年以后支付110元的凭证，现在可以买入或卖出该凭 证，也可以在本年期间任意时间以100元买卖，在按年复合之下，与常数利率 10%一致。如果一个投资者决定买入该凭证，半年以后卖出，卖出的合理价格是 多少？ 金融数学附答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 1、给定股票价格的二项模型，在下述情况下卖出看涨期权 S 0 S u S d X r τ 股数 50 60 40 55 1/2 1000 （1）求看涨期权的公平市场价格。 （2）假设以公平市场价格+美元卖出1000股期权，需要买入多少股股票进行套期保值，无风险利润是多少 答案：（1）d u d r S S S e S q --=τ0=56.040 6040505.005.0=--??e （2）83.2>73.2，τr e S V -?+?='00 83.2> τr e S -?+?'0 40 6005--=--=?d u S S D U =25.0股 104025.00'-=?-=?-=?d S D 753.9975.0105.005.0'-=?-=??-e 美元 则投资者卖空1000份看涨期权，卖空250股股票，借入9753美元 所以无风险利润为1.85835.005.0=?e 美元 2、假定 S 0 = 100，u=，d=，执行价格X=105，利率r=，p=，期权到期时间t=3， 请用连锁法则方法求出在t=0时该期权的价格。(答案见课本46页) 3、一只股票当前价格为30元，六个月期国债的年利率为3%，一投资者购买一份执行价格为35元的六个月后到期的美式看涨期权，假设六个月内股票不派发红利。波动率σ为. 问题：（1）、他要支付多少的期权费【参考N （=；N （）= 】 {提示：考虑判断在不派发红利情况下，利用美式看涨期权和欧式看涨期权的关系} 解析：在不派发红利情况下，美式看涨期权等同于欧式看涨期权！所以利用Ｂ—Ｓ公式，就可轻易解出来这个题！同学们注意啦，N（d1）=N（），N（d2）=N （）。给出最后结果为 4、若股票指数点位是702，其波动率估计值σ=，指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格计算，期货合约的价格是715美元。关于期货的看涨期权时间与期货相同，执行价是740美元，短期利率位7%，问这一期权的理论价格是多少（N（）=，N）= *= 解：F=715，T-t=,σ=,X=740,r= F/X=715/740=，σ(T-t)=*= d1=ln/+2= d2== G=**740) =美元 5、根据看涨期权bs定价公式证明德尔塔等于N（d1）（答案见课本122页） 第一章 函数 习题 1－1 1．下列各组函数是否相同？为什么？ (1) f (x )=x 与()tan(arctan )g x x = 23, 0(2)(), x x f x x x ?≥?=? ?=? ≤??，， 1 )()(?)3(==x g x x x 与 (4)()()y f x s f t ==与 解 (1)因为对?x ∈(-∞, +∞), ()()f x g x 与都有定义,且 ()tan(arctan )()f x x x g x === 所以两个函数相同. (2)因为两个函数的对应规则不同,所以两个函数不同. (3)因为函数 ()x f x x = 的定义域为{1()0}D D f x R x ==∈≠且 而函数()g x 的定义域为2()D D f R == 所以由D 1≠D 2知, 两个函数为不相同的函数. (4) 两个函数的对应关系相同，定义域相同，故两个函数相同. 2．求下列函数的定义域 : (1) (2)y y 2 01 (3) (4), 0212x y y x x x x ? 故函数的定义域为 ()(,1)(1,)D f =-∞-?+∞. (2）由关系式3010 x x ->?? ->? 解得13x <<. 故函数的定义域为()(1,3)D f =. (3) 要使该函数有意义, x 应满足关系式 210 10x x ?-≠? +≥? 解得1,1x x ≠±≥-.故函数的定义域为 D (f )=(1,1)(1,)-?+∞. （4）因为分段函数的定义域为各分段函数定义域之并集，故 D (f )=(-∞, 0)∪[0, 2]∪(2, +∞)=( -∞, +∞). 11 (),(0),(2),(),(2)1,(),(2),2()() (),0. f x f f f x f x f f h x x f x h f x f x h h h = -++++-+≠ 3.已知求 其中 解 当x = 0时, 11 (0)022f = =+. 当x = 2时, 11 (2)224f = =+. 当x = -t 时, 1()2f t t -= -, 所以 1 ()2f x x -= - . 当2x t =时, 1(2)22f t t =+, 所以23(2)12(1)x f x x ++=+. 当x =1t (t ≠0)时,11()1122t f t t t == ++, 所以1()12x f x x =+. 当2x h =+时, 1(2)4f h h += + . 当x t h =+时, 1()2f t h t h += ++, 所以1 ()2f x h x h += ++. 故 ()()1(2)(2) f x h f x h x h x +-=- +++. 金融数学附答案精编 W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】 1、给定股票价格的二项模型，在下述情况下卖出看涨期权 S 0 S u S d X r τ 股数 50 60 40 55 0.55 1/2 1000 （1）求看涨期权的公平市场价格。 （2）假设以公平市场价格+0.10美元卖出1000股期权，需要买入多少股股票进行套期保值，无风险利润是多少 （3） 答案：（1）d u d r S S S e S q --=τ0=56.040 6040505.005.0=--??e （2）83.2>73.2，τr e S V -?+?='00 83.2> τr e S -?+?'0 406005--=--= ?d u S S D U =25.0股 104025.00'-=?-=?-=?d S D 753.9975.0105.005.0'-=?-=??-e 美元 则投资者卖空1000份看涨期权，卖空250股股票，借入9753美元 所以无风险利润为1.85835.005.0=?e 美元 2、假定 S0 = 100，u=1.1，d=0.9，执行价格X=105，利率r=0.05，p=0.85，期权到期时间t=3，请用连锁法则方法求出在t=0时该期权的价格。(答案见课本46页) 3、一只股票当前价格为30元，六个月期国债的年利率为3%，一投资者购买一份执行价格为35元的六个月后到期的美式看涨期权，假设六个月内股票不派发红利。波动率σ为0.318. 问题：（1）、他要支付多少的期权费【参考N（0.506)=0.7123；N（0.731）=0.7673 】{提示：考虑判断在不派发红利情况下，利用美式看涨期权和欧式看涨期权的关系} 解析：在不派发红利情况下，美式看涨期权等同于欧式看涨期权！所以利用Ｂ—Ｓ公式，就可轻易解出来这个题！同学们注意啦，N（d1）=N（-0.506），N（d2）=N（-0.731）。给出最后结果为0.608 4、若股票指数点位是702，其波动率估计值σ=0.4，指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格计算，期货合约的价格是715美元。关于期货的看涨期权时间与期货相同，执行价是740美元，短期利率位7%，问这一期权的理论价格是多少（ N（-0.071922）=0.4721，N(-0.2271922）=0.3936 e-0.07*0.25=0.98265 解：F=715，T-t=0.25,σ=0.4,X=740,r=0.07 F/X=715/740=0.9622，σ(T-t)=0.4*0.5=0.2 d1=ln(0.9662)/0.2+0.2/2=-0.071922 d2=d1-0.2=-0.071922 第一章 习题一 1.设函数x x x f 3)(3 -=，x x 2sin )(=?，求?? ? ?????? ??6π?f ，()[]1f f ，[])(x f ?。 解：（1）∵233sin 62sin 6==? ? ? ??=??? ??πππ?， ∴83 98312833233833233232363 -=-=-=??? ? ??-???? ??=???? ??=????????? ??f f π?； （2）∵2131)1(3 -=?-=f ， ∴()[]268)2(3)2(13-=+-=-?--=f f ； （3）[][]()() x x x x x f x f 62sin 32sin )(2sin )(3 3 -=-==? 2.设)(x f 的定义域为（0，1），求)12(+x f 的定义域。 解：令012=+x ，得2 1 -=x ，令112=+x ，得0=x ， 故)12(+x f 的定义域为?? ? ??- 0,21。 3，下列表达式中，哪个不是初等函数？ （1）x x y -= 12 ； （2）?????<≥=. 0,, 0,32 x x x y x （3）x x x f -+ -=111)(； （4）x x x f 22sin )(+= 解：（2） 4.分析下列函数的复合结构： （1）x e y 2cos ln =； （2）2tan ln x y = ； （3）x y 21sin +=； （4）[]2 )21arcsin(x y +=； （5）x e y 3tan =； （6）非复合函数。 解（1）u e y =，v u = ，s v ln =，t s cos =，x t 2=； （2）u y = ，v u ln =，s v tan =，2x s =； （3）u y sin =，v u =，x v 21sin +=； 一、填空（每空4分，共20分） 1．一股股票价值100元，一年以后，股票价格将变为130元或者90元。假设相应的衍生产 品的价值将为U=10元或D=0元。即期的一年期无风险利率为5%。则t=0时的衍生产品 的价格_______________________________。（利用博弈论方法) 2．股票现在的价值为50元，一年后，它的价值可能是55元或40元，一年期利率为4%， 则执行价为45元的看跌期权的价格为___________________。（利用资产组合复制方法） 3．对冲就是卖出________________， 同时买进_______________。 4．Black-Scholes 公式_________________________________________________。 5．我们准备卖出1000份某公司的股票期权，这里.1,30.0,05.0,40,500=====T r X s σ 因此为了对我们卖出的1000份股票期权进行对冲，我们必须购买___________股此公司 的股票。（参考8643.0)100.1(,8554.0)060.1(==N N ） 1．（15分）假设股票价格模型参数是：.120,8.0,7.10===S d u 一个欧式看涨期权到期时间,3=t 执行价格,115=X 利率06.0=r 。请用连锁法则方法求出在0=t 时刻期权的价格。 2．（15分）假设股票价格模型参数是：85.0.100,9.0,1.10====p S d u 一个美式看跌期权到期时间,3=t 执行价格,105=X 利率05.0=r 。请用连锁法则方法求出在0=t 时刻期权的价格。 3.（10分）利用如下图的股价二叉树，并设置向下敲出的障碍为跌破65元，50=X 元，.06.0=r 求0=t 时刻看涨期权的价格。 4.（15分）若股票指数点位是702，其波动率估计值,4.0=σ指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格结算。期货合约的价格是715美元。若执行价是740美元，短期利率为7%，问这一期权的理论价格应是多少？（参考 经济数学 第一章函数与极限 第一节函数 1.(单选题) 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 2.(单选题) 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 3.(单选题) 下面那一句话是错误的？（）A．两个奇函数的和是奇函数； B．两个偶函数的和是偶函数； C．两个奇函数的积是奇函数； D．两个偶函数的积是偶函数. 答题： A. B. C. D. （已提交） 4.(单选 题) 答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C 第二节初等函数和常见的经济函数 1.(单选题) 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 2.(单选题) 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A 问题解析： 3.(单选题) A. B. C. 4.(单选题) 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 5.(单选 题) 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 6.(单选 题) 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 7.(单选题) 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 8.(单选题) 某厂为了生产某种产品，需一次性投入1000元生产准备费，另外每生产一件产品需要支付3元，共生产了100件产品，则每一件产品的成本是？（） A．11元； B．12元； C．13元； D．14元. 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 9.(单选 题) 数学09，计算09金融数学试题 (河海大学理学院13-01-15) 姓名__________学号__________专业________成绩_______ 一．填空题(每空2分，36%) 1.已知累积函数的形式为a(t)=at2+b,若0时刻投入100元累积到3时刻 为172元则a=_________;b=_________;又设5时刻投入100元，则在 10时刻的终值为________; 2.已知600元投资两年产生利息264元（复利方式）则i=______;若2000 元以同样的利率投资3年的终值为_________; 3.如果δt=,则100元在第10年末的累计值=___________; 4.已知基金A以单利10%累积则累积函数为a A(t)=_______; 基金B以单贴现率5%累积则累积函数为a B(t)=_______; 5. 在证劵交易中，卖出的一方称为_____头；而买入的一方称为____头; 6.在年利率i=_______时，每月初支付100元的永久年金的现值 为元。 7.已知i(4)=,则的d(2)=_________; 8.期货合同与远期合约的理论定价采用的是_________定价法; 9.证劵的风险主要可分为________风险和_________风险；它们是以收益率的_____________来衡量； 10.按期权买方的权利划分，期权可划分为_________期权和__________期权; 二．计算题（52%） 1某人以年实际利率5%借款100万元，并承诺分30次付清，后 20次的付款是前10次的2倍，在第10年末，他可以选择一次性 付清全部剩余款项X,，这会使借款人在10年间获得的年实际利率 为%，求X (8%) 2一笔60万元的贷款，计划在今后的5年内按月偿还，如果 年实际利率为5%，试计算每月初的付款金额。（8%） 3.一笔100万元的贷款，期限为6年，年实际利率为6%，每年末 等额分期偿还，试计算下列各项： （1）每年末应该偿还的金额； （2）每年末的未偿还本金； (3)在每年偿还的金额中，利息和本金分别是多少（要列表）（10%） 4.某员工选择如下方式获得他的20年期退休金：从现在开始一个月 后每月领取2000元月度退休金每年增加10%，每月复利一次的年 名义利率为6%，计算该退休金的现值。(8%) 5. 甲基金按6%的年利率增长，乙基金按8%的年利率增长， 在第20 年的年末两个基金之和为200000，在第10 年末 甲基金是乙基金的一半，求第5 年年末两基金之和。（10%） 6. 某人留下遗产100000元,第一个10年将每年的利息 给收益人甲,底二个10年将每年的利息给受益人乙,20年 后将每年的利息付给收益人丙,并且一直进行下去,均为 年底支付,如果年利率为7%,试计算三个收益人的相对收益比例。（8%）三．证明题（12%） 经济数学基础 第一章 函数 第一章 典型例题与综合练习 第一节 典型例题 一、函数的概念 例1求函数 2 4)1ln(1 )(x x x f -+-= 的定义域． 解：要使函数有意义，必须 ?? ? ??≥->-≠-04010 )1ln(2x x x ，即 ?? ???≤≤->≠221 2x x x 故定义域 {}21|<<=x x D 例2求函数 ???≤<+<-=20 520 32)(2 x x x x x f 的定义域． 解：分段函数的定义域是自变量x 取值的各个区间的并集，即 {}20}0{≤< 经济数学基础 第一章 函数 f (0)=02＋20－6=－6；f (x )=12＋21－6=－3 方法二：将x ＋1看作一个变量，得f (x )=x 2＋2x －6，后面的作法同方法一，分 别得出22621)1(x x x x f -+= ，3)1(,6)0(-=-=f f 例4判断函数f (x )＝log 0.5(x 2＋1)的单调性． 解:易知函数f (x )＝log 0.5(x 2＋1)为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称，故只需讨论x ＞0时函数的单调性． 对任意x 1＞x 2＞0，有x 12＋1＞x 22＋1 因为对数之底0.5＜1，此时对数函数单调减少，故 log 0.5(x 12＋1)＜log 0.5(x 22＋1),即f (x 1)＜f (x 2) 由单调性定义可知当x ＞0时，f (x )＝log 0.5(x 2＋1)是单调减函数．再由偶函数的性质可知当x ＜0时，f (x )＝log 0.5(x 2＋1)是单调增函数． 因此函数f (x )＝log 0.5(x 2＋1)在(－∞,0)上单调增加，在(0,＋∞)上单调减少． 例5设函数f (x )和g (x )都是奇函数，试证f (x )·g (x )是偶函数． 证明：已知f (x )和g (x )都是奇函数，由定义可知，对任意x ，有 f (－x )＝－f (x )； g (－x )＝－g (x )，上两个等式的左右端分别相乘得 f (－x )·g (－x )＝(－f (x ))·(－g (x ))＝f (x )·g (x ) 即对任意x 有f (－x )·g (－x )＝f (x )·g (x ) 由定义可知f (x )·g (x )是偶函数． 二、函数的运算 例1将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算： 第1章 函数 1.1 函数概念 1.1.1 函数的定义 同学们从入小学到高中毕业一直要学习数学，在这一阶段所面对的数学对象的特点是：所讨论的量在研究问题的过程中保持不变．只是从未知到已知．例如解方程或方程组，求得的解都是固定不变的．又如讨论三角形，它的边长也是固定不变的量．这些量叫做常量． 常量——只取固定值的量 这门课程中讨论的量在研究问题的过程中不是保持不变的．如圆的面积与半径的关系： S =πr 2 考虑半径r 可以变化的过程．面积和半径叫做变量． 变量——可取不同值的量 变域——变量的取值范围 我们考虑问题的过程中，不仅是一个变量，可能有几个变量．比如两个变量，要研究的是两个变量之间有什么关系，什么性质．函数就是变量之间确定的对应关系．比如股市中的股指曲线，就是时间与股票指数之间的对应关系．又如银行中的利率表 这几个例子反映的都是两个变量之间的确定的对应关系．函数的定义是： 定义1.1 设x , y 是两个变量，x 的变域为D ，如果存在一个对应规则f ，使得对D 内的每一个值x 都有唯一的y 值与x 对应，则 这个对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并将由对应规则f 所确定的x 与y 之间的对应关系，记为：)(x f y =，称x 为自变量，y 为因变量或函数值，D 为定义域． 集合},)({D x x f y y ∈=称为函数的值域． 我们要研究的是如何发现和确定变量之间的对应关系． 例1 求函数)1ln(1-= x y 的定义域． 解：) 1ln(1-=x y ，求函数的定义域就是使表达式有意义的x ．由对数函数的性质得到 01>-x ，即1>x ．由分式的性质得到0)1ln(≠-x ，即11≠-x ，即2≠x ． 综合起来 得出所求函数的定义域为),2()2,1(∞+= D ． 例2 设国际航空信件的邮资F 与重量m 的关系是 ?? ?≤<-+≤<=200 10, )10(3.04100, 4)(m m m m F 求)20(,)8(,)3(F F F ． 金融数学第一章练习题详解 第 1 章 利息度量 1.1 现在投资$600，以单利计息，2 年后可以获得$150 的利息。如果以相同的复利利率投资$2000，试确定在 3 年后的累积值。 65.2847%)5.121(2000% 5.1215026003=+=?=?i i 1.2 在第 1 月末支付 314 元的现值与第 18 月末支付 271 元的现值之和，等于在第 T 月末支付 1004 元的现值。年实际利率为 5% 。求 T 。 58 .1411205.1ln /562352.0ln 562352.0ln 05.1ln 12 562352.01004/)05.127105.1314(05.105.1%)51()1(271314100412/1812/112/12 /1812/112/=?-==-=?+?==+=+=+=------T T i v v v v T t t t t T 两边取对数，其中 1.3 在零时刻，投资者 A 在其账户存入 X ，按每半年复利一次的年名义利率 i 计息。同时，投资者Ｂ在另一个账户存入 2X ，按利率 i （单利）来计息。 假设两人在第八年的后六个月中将得到相等的利息，求 i 。 094588 .02)12(2)2 1(2 )21()21()21())2 1()21((2 12:))21()21((:215/11515151615161516=?-==+?+=+-+==+-+=??+-+i i i i i i i Xi i i X Xi i X B i i X A i A 两边取对数 ，的半年实际利率为 1.4 一项投资以 δ 的利息力累积，27.72 年后将翻番。金额为 1 的投资以每两年复利一次的名义利率 δ 累积 n 年，累积值将成为 7.04。求 n 。 () 802)05.1ln /04.7(ln 04 .7)21025 .072.27/2ln 2 )1()(1ln 2/5.072.27=?==+=====+=+=n i e e i t a i n t t δδ δδδδ（ 经济数学复习纲要 第一章 函数 1、函数的定义 2、会求函数的定义域x x y --+= 3) 1ln(1 解： 030)1l n (01≥-≠+>+x x x 解得 3 01 ≤≠->x x x ∴函数x x y --+= 3) 1ln(1 的定义域是{}3001≤<<<-x or x 分母不等于0、开偶次根时根号内变量大于等于0、对数函数x a log 底数大于0且不等于1， 真数大于0、函数由多项组成时定义域取各项的交集 3、奇偶函数的定义 下列函数中是偶函数的有（D ） A 、x x x f | |)(= B 、x x f x sin )(2 = C 、a x x f =)( D 、x x x f sin )(= 4、经济中常用的函数（收入函数、利润函数） 设生产某产品的总成本为 180082 ++x x 元，市场对该产品的需求规律为p x 2280-=（其 中x 是需求量，单位：件；p 是价格，单位：元）。试求出收入函数和利润函数 （1）收入函数)(x R （2）利润函数)(x L （4）令0)(' =x L 得01323=+-x 解得44=x ∴1084421 140=?- =p 最大利润：1104180044132442 32 =-?+?- 即价格p 为108元时利润最大，最大利润为1104元。 第二章 极限与连续 1、函数极限的定义 极限的运算法则 掌握 型极限的运算（课本22页例题7） 1011 1)11(lim lim lim =-=-=-∞→∞→∞ →x x x x x 2 1)5)(3()2)(3(1586552lim lim lim 3 3 2 2 3 -==----=+-+---→→→x x x x x x x x x x x x x 122111 arctan 2 lim lim lim lim 2 222==+=-+- =-+∞→+∞→+∞ →+∞ →x x x x x x x x x x x x π （66页例题3） 解：1)12()(lim lim 11 =-=- - →→x x f x x 11)(lim lim 11==+ + →→x x x f ∴)(1)(lim lim 11x f x f x x + - →→== ∴1)(lim 1 =→x f x 3、无穷小与无穷大的定义 4、无穷小的比较当0→x 时，x x sin 与x 2 之间的关系是x x sin 与 x 2 是等阶无穷小 解： 1sin sin lim lim 20 ==→→x x x x x x x ∴x x s i n 与2 x 是等阶无穷小 5、函数连续的定义 函数||)(x x f =在点0=x 处 （ B ） 版权所有，翻版必究 第二章习题答案 1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。 解： S=1000s 20 ?p 7%+Xs 10 ?p 7% X= 50000?1000s 20 ?p 7% s 10 ?p7% =651.72 2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。 月结算名利率18%。计算首次付款金额。 解：设首次付款为X ，则有 10000=X+250a 48 ?p1.5% 解得 X=1489.36 3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i=1 。试计算该年金的现值。 解： PV = na?n pi 1?v n n = n 1 n = (n+1)n n 2 ?n n +2 (n+1)n 4．已知：a?n p =X ，a 2 ?n p =Y 。试 用X 和Y 表示d 。 解：a 2 ?n p =a?n p +a?n p (1?d)n 则 Y ?X 1 d=1?( X )n 5．已知：a?7 p =5.58238,a 11 ?p =7.88687,a 18 ?p =10.82760。计算i 。 解： a 18 ?p =a ?7p +a 11 ?p v 7 解得 6.证明： 1 1?v 10 = s 10?p +a ∞?p 。 s 10?p i=6.0% 北京大学数学科学学院金融数学系 第1页 版权所有，翻版必究 证明： s 10 ?p +a ∞?p (1+i)10 ?1+1 1 s 10?p = i (1+i)10 ?1 i i = 1?v 10 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。 解： PV =100a?8p3% +100a 20?p 3% =2189.716 8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然 后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%， 后15年的年利率7%。计算每年的退休金。 解：设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日 1000¨25?p8%=X¨15?p7% 解得 9．已知贴现率为10%，计算¨?8 p 。 X=8101.65 解：d=10%，则 i=1 10.求证： (1)¨?n p =a?n p +1?v n ； 1?d ?1=1 9 ¨?8 p =(1+i) 1?v 8 i =5.6953 (2)¨?n p =s??n p 1+(1+i)n 并给出两等式的实际解释。 证明：(1)¨?n p =1 ? d v n =1 ?i v n =1 ?v n i +1?v n 所以 (2)¨?n p = (1+ i)n ?1 1+i ¨?n p =a?n p +1?v n (1+i )n ?1=(1+i)n ?1 n ?1 d = i 1+i i +(1+i) 所以 ¨?n p =s??n p 1+(1+i) n 1. 某人借款1000元，年复利率为9%，他准备利用该资金购买一张3年期，面值为1000元的国库券，每年末按息票率为8%支付利息，第三年末除支付80元利息外同时偿付1000元的债券面值，如果该债券发行价为900元，请问他做这项投资是否合适 2. 已知：1） 16 565111-++=+))(()()()(i i m i m 求?=m 2） 1 65 65111--- =- ))(()()()(d d m d m 求?=m 由于i n n i m m i n m +=+=+111)()() ()( 由于d n n d m m d n m -=-=- 111)()() ()( 3. 假设银行的年贷款利率12%，某人从银行借得期限为1年，金额为100元的贷款。银行对借款人的还款方式有两种方案：一、要求借款人在年末还本付息；二、要求借款人每季度末支付一次利息年末还本。试分析两种还款方式有何区别哪一种方案对借款人有利 4. 设1>m ，按从小到大的顺序排列δ,,,,)() (m m d d i i 解：由 d i d i ?=- ? d i > )()(m m d d >+1 ? )(m d d < )()(n m d i > ? )()(m m i d < )()(m m i i <+1 ? i i m <)( δδ+>=+11e i ， δ==∞ →∞ →)()(lim lim m m m m d i ? i i d d m m <<<<)()(δ 5. 两项基金X,Y 以相同的金额开始，且有：（1）基金X 以利息强度5%计息；（2） 基金Y 以每半年计息一次的名义利率j 计算；（3）第8年末，基金X 中的金额是基金Y 中的金额的倍。求j. 1、给定股票价格的二项模型，在下述情况下卖出看涨期权 S 0 S u S d X r τ 股数 50 60 40 55 1/2 1000 （1）求看涨期权的公平市场价格。 （2）假设以公平市场价格+美元卖出1000股期权，需要买入多少股股票进行套期保值，无风险利润是多少 答案：（1）d u d r S S S e S q --=τ0=56.040 6040505.005.0=--??e （2）83.2>73.2，τr e S V -?+?='00 83.2> τr e S -?+?'0 40 6005--=--=?d u S S D U =25.0股 104025.00'-=?-=?-=?d S D 753.9975.0105.005.0'-=?-=??-e 美元 则投资者卖空1000份看涨期权，卖空250股股票，借入9753美元 所以无风险利润为1.85835.005.0=?e 美元 2、假定 S 0 = 100，u=，d=，执行价格X=105，利率r=，p=，期权到期时间 t=3，请用连锁法则方法求出在t=0时该期权的价格。(答案见课本46页) 3、一只股票当前价格为30元，六个月期国债的年利率为3%，一投资者购买一份执行价格为35元的六个月后到期的美式看涨期权，假设六个月内股票不派发红利。波动率σ为. 问题：（1）、他要支付多少的期权费【参考N （=；N （）= 】 {提示：考虑判断在不派发红利情况下，利用美式看涨期权和欧式看涨期权的关系} 解析：在不派发红利情况下，美式看涨期权等同于欧式看涨期权！所以利用Ｂ—Ｓ公式，就可轻易解出来这个题！同学们注意啦，N（d1）=N（），N（d2）=N（）。给出最后结果为 4、若股票指数点位是702，其波动率估计值σ=，指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格计算，期货合约的价格是715美元。关于期货的看涨期权时间与期货相同，执行价是740美元，短期利率位7%，问这一期权的理论价格是多少（N（）=，N）= *= 解：F=715，T-t=,σ=,X=740,r= F/X=715/740=，σ(T-t)=*= d1=ln/+2= d2== G=**740) =美元 5、根据看涨期权bs定价公式证明德尔塔等于N（d1）（答案见课本122页） 第一章练习题 一、填空题 1．函数的间断点是x=-1；2. 函数的间断点是x=1； 3．函数的间断点是x=0； 4．函数的间断点是x=-2； 5.e15；6.e-10； 7.e-2；8.e2； 9．1；10．2；11. 1/2； 12.设需求函数，供给函数，则均衡价格为260/31； 13.设需求函数，供给函数，则均衡价格为4； 二、判断题（对的打“√”，错误的打“×”） 1．数列收敛于1。（√）； 2.函数列收敛于0。（√）； 3.数列发散。 （ ×） ；4.数列是发散的。（×）； 5. 函数在点处连续。（ × ）； 6. 设在点处连续。（ × ）； 7. （ √ ）； 8. .(×)； 9.（√ ）； 10.（ × ）; 11. . （ √ ）. 三、选择题 11y x =+1-1 y x =1y x =242 x y x -=+=?? ? ??+∞→x x x 531lim 5124lim(1)x x x +→∞-=230lim(1)x x x +→-=41lim(1+)2x x x →∞=lim sin() x x x πππ→-=-0sin 6lim tan 3x x x →=0sin 3lim sin 6x x x →=20033p Q = -2010S p =-+0p 14.5 1.5Q p =-7.54S p =-+0p 1{1}2n +1{}2 n 21{}1n n +-21{2}n +24,2()24, 2x x f x x x ?-≠-?=+??=-? 2x =-2, 0,()21, 0. x x f x x x ?<=?+>?0x =2211lim 1.43x x x x →-=--+0 lim x →01lim sin 0.x x x →=sin lim 1.x x x →∞=01lim cos 0x x x →= 下列各组中f (x )与g (x )是相同的函数的组是( )(A)x x g x x f )(,)(2(B)1 1 )(,1)(2x x x g x x f (C)x x g x x f ln 2)(,)(2(D)) (x f 0 0x x x x x g ) (,; ; ;.. ||| |设x x x x f 29)(22 222 x x x 则下列等式中不成立的是( )(A))2()2(f f (B))4()1(f f (C))3()1(f f (D))3() 0(f f ,.; ; ;. 第 一 章 练习题 一．单项选择题 1. 用区间表示满足不等式|4|||->x x 的所有x 的集合是（ ） (A))2,2(- (B)),2(∞+ (C))2,(--∞ (D)),(∞+-∞ 答 B 2. ()2 4 2--=x x x f 的定义域是（ ） (A)()()+∞∞-,22, (B)(][)+∞-∞-,22, (C)(]()+∞-∞-,22, (D)()()()+∞--∞-,22,22, 答 C 3. ()???≤<+≤≤--=3 0,10 4,32x x x x x f 的定义域是（ ） (A)04≤≤-x (B)30≤≤x (C)[]3,4- (D){}{}3004≤<≤≤-x x x x 答 C 4. 设()x f 的定义域是[]2,0 ，则() 2x f 的定义域是（ ） (A)[]4,0 (B)[]2,0 (C)[]2,2- (D)]2,2[- 答 D 5. 答 C. 6. 答 B. 7. 设()x f y =为单调增加函数，则其反函数()x f y 1-=的单调性为（ ） (A)单调增加 (B)单调减少 (C)有增有减 (D)不能确定 答 A金融数学附答案
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