江苏省苏锡常镇四市2014届高三5月教学情况调研（二）
数学Ⅰ试题
命题单位：苏州市教育科学研究院 2014．5
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 函数1y x =-的定义域为A ，函数()lg 2y x =-的定义域为B ，则A B = ▲ ．
2． 设2i z =-（i 是虚数单位），则||z = ▲ ．
3． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2219x y m
-=的一个焦
点为（5，0），则实数m = ▲ ．
4． 样本容量为100的频率分布直方图如右图所示，由此估计
样本数据落在[6，10]内的频数为 ▲ ． 5． “π
2
?=
”是“函数()sin y x ?=+的图象关于y 轴对称”的 ▲ 条件．（在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、 “既不充分也不必要”中选一个合适的填空）
6． 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1 = -1，S 3 = 6，则S 6 = ▲ ．
7． 函数()1e ln y x x
=≥的值域是 ▲ ．
8． 执行右面的程序图，那么输出n 的值为 ▲ ．
9． 在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a ，再在剩余的三个数
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后请将答题卡交回．
2．答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整笔迹清楚．
4．如需作图须用2B 铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗．
5．请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
结束
开始
n ← 1 S ← 0 n ← n + 1 输出n Y Y
S > 20
S ← 2S + 1
N （第8题）
（第4题）
中随机地抽取一个数记为b ，则“
a
b
是整数”的概率为 ▲ ． 10．已知△ABC 为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线AD = 2，将△ABC 沿AD 折成60°的二面角，连结
BC ，则三棱锥C - ABD 的体积为 ▲ ．
11．直线y = kx 与曲线2e x y =相切，则实数k = ▲ ．
12．已知平面内的四点O ，A ，B ，C 满足2OA BC ?=，3OB CA ?=，则OC AB ? = ▲ ． 13．已知奇函数()f x 是R 上的单调函数，若函数2()()y f x f k x =+-只有一个零点，则实数k 的值是
▲ ．
14．已知x ，y ∈R ，满足24y x -≤≤，x ≥1，则222221
x y x y xy x y ++-+-+-的最大值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足A = B + 30°． （1）若c = 1，sin b B =，求B ．
（2）若2221
2a c ac b +-=，求sin A 的值．
16．（本小题满分14分）
如图，正四棱锥P - ABCD 的高为PO ，PO = AB = 2．E ，F 分别是棱PB ，CD 的中点，Q 是棱PC 上的点．
（1）求证：EF ∥平面P AD ； （2）若PC ⊥平面QDB ，求PQ ．
17．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2
214
x y +=的左、右焦点分别为F '与F ，圆F ：()
2
23
5x y -+=．
P
A
B C
D
O
E
F
Q
（第16题）
（1）设M 为圆F 上一点，满足1MF 'MF ?=，求点M 的坐标；
（2）若P 为椭圆上任意一点，以P 为圆心，OP 为半径的圆P 与圆F 的公共弦为QT ，
证明：点F 到直线QT 的距离FH 为定值．
18．（本小题满分16分）
如图，O 为总信号源点，A ，B ，C 是三个居民区，已知A ，B 都在O 的正东方向上， OA = 10 km ，OB = 20 km ，C 在O 的北偏西45° 方向上，CO =52km ． （1）求居民区A 与C 的距离；
（2）现要经过点O 铺设一条总光缆直线EF （E 在直线OA 的上方），并从A ，B ，C 分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF ．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m （m 为常数）．设∠AOE = θ（0≤θ <π），铺设三条分光缆的总费用为w （元）． ① 求w 关于θ的函数表达式；
② 求w 的最小值及此时tan θ的值．
（第17题）
T
Q
P
F '
H
O y
x
F
（第18题）
θF E
北
O
A
B
C
19．（本小题满分16分）
若存在实数x 0与正数a ，使0x a +，0x a -均在函数()f x 的定义域内，且()()00f x a f x a +=-成立，则称“函数f （x ）在x = x 0处存在长度为a 的对称点”．
（1）设32()321f x x x x =-+-，问是否存在正数a ，使“函数f （x ）在x = 1处存在长度为a 的对称点”？试说明理由．
（2）设()b
g x x x =+（x > 0），若对于任意x 0∈（3，4），总存在正数a ，使得“函数()g x 在x = x 0处存
在长度为a 的对称点”，求b 的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：a 1 = 1， ()
1
1131n n n n n n
a S S a a λ+++=
+?+（*n ∈N ）
． （1）若λ = 0，求数列{a n }的通项公式；
（2）若11
2n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．
江苏省苏锡常镇四市2014届高三5月教学情况调研（二）
数学Ⅱ（附加题）
命题单位：苏州市教育科学研究院 2014．5
21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲
如图，△ABC 中，∠ACB = 90°，以边AC 上的点O 为圆心，OA 为半径作圆，与边AB ，AC 分别交于点E ，F ，EC 与⊙O 交于点D ，连结AD 并延长交BC 于P ，已知AE = EB = 4，AD = 5，求AP 的长．
B ．选修4—2：矩阵与变换
已知点M （3，-1）绕原点按逆时针旋转90°后，且在 矩阵02a b ??
=????
A 对应的变换作用下，得到点N (3，5)， 求a ，b 的值．
C ．选修4—4：坐标系与参数方程
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回.
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．
4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
O P
F E
D C
B
A
如图，在极坐标系中，设极径为ρ（0ρ>），极角为θ（02πθ<≤）．⊙A 的极坐标方程为2cos ρθ=，点C 在极轴的上方，∠AOC =π
6
．△OPQ 是以OQ 为斜边的等腰直角三角形，若C 为OP 的中点，求点Q 的极坐标．
D ．选修4—5：不等式选讲
已知不等式222|2|23a x y z -++≤对满足1x y z ++= 的一切实数x ，y ，z 都成立，求实数a 的取值范围．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
如图，在空间直角坐标系A - xyz 中，已知斜四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1的底面是边长为3的正方形，点B ，D ，B 1分别在x ，y ，z 轴上，B 1A = 3，P 是侧棱B 1B 上的一点，BP = 2PB 1 ． （1）写出点C 1，P ，D 1的坐标；
（2）设直线C 1E ⊥平面D 1PC ，E 在平面ABCD 内， 求点E 的坐标．
23．（本小题满分10分）
如图，圆周上有n 个固定点，分别为A 1，A 2，…，A n （n *∈N ，n ≥2），在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a n ．
（1）写出a 2，a 3，a 4的值；
z y
x
11
1
1
P
A
B C D D
C
B
A n
A A 3
A 2
1
A Q
P
x
C
B
A
O
（2）写出a n的表达式，并用数学归纳法证明．