课程设计
课程名称：数字信号处理
题目编号： 0801
题目名称：切比雪夫I型带通IIR数字滤波器
专业名称：电子信息工程
班级： 1203班
学号：
学生姓名：段超
任课教师：陈忠泽
2015年08月30日
目 录
1. 数字滤波器的设计任务及要求（编号0801） ................... 2 2. 数字滤波器的设计及仿真 .. (2)
2.1数字滤波器（编号0801）的设计 ................................... 2 2.2数字滤波器（编号0801）的性能分析 . (4)
3. 数字滤波器的实现结构对其性能影响的分析 (6)
3.1数字滤波器的实现结构一（0801）及其幅频响应 ...................... 7 3.2数字滤波器的实现结构二（0801）及其幅频响应 ...................... 9 3.3 数字滤波器的实现结构对其性能影响的小结 (12)
4. 数字滤波器的参数字长对其性能影响的分析 (12)
4.1数字滤波器的实现结构一（0801）参数字长及幅频响应特性变化 ...... 14 4.2数字滤波器的实现结构二（0801）参数字长及幅频响应特性变化 ....... 17 4.3 数字滤波器的参数字长对其性能影响的小结 (20)
5. 结论及体会 (20)
5.1 滤波器设计、分析结论 .......................................... 21 5.2 我的体会 ...................................................... 21 5.3 展望 . (21)
1. 数字滤波器的设计任务及要求
（1）切比雪夫I 型带通IIR 数字滤波器各项指标如下： 阻带下截止频率1s ω=rad
i d π32
)
ln(;
通带下截止频率1p ω=rad i i d d π???? ??
+20
)(32)ln(log 10
;
通带上截止频率2p ω=rad i i d d π???
? ?
?-20
)(32
)ln(-1log 10
;
阻带上截止频率2s ω=rad
i d π???? ??32)ln(-1; 通带最大衰减p α=1dB; 阻带最小衰减s α=60dB.
其中的i d 为抽到的题目的四位数编号，我的题目编号是0801，所以取 i d 为801. （2）滤波器的初始设计通过手工计算完成；
（3）在计算机辅助计算基础上分析滤波器结构对其性能指标的影响（至少两种 合适的滤波器结构进行分析）；
（4）在计算机辅助计算基础上分析滤波器参数的字长对其性能指标的影响； （5）以上各项要有理论分析和推导、原程序以及表示计算结果的图表； （6）课程设计结束时提交说明书。
2. 数字滤波器的设计及仿真 2.1数字滤波器的设计
(1)根据任务,确定性能指标:在设计带通滤波器之前,首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标:（手工计算完成）
通带下截止频率1p ω=0.354π 通带上截止频率2p ω=0.646π 阻带下截止频率1s ω=0.208π 阻带上截止频率2s ω=0.792π 阻带最小衰减 s α=60dB 通带最大衰减 p α=1dB 抽样频率s F =8kHz
（2）有所给的技术参数可直接得到各模拟频率。
1p Ω=1p ω*s F ,2p Ω=2p ω*s F , 1s Ω=1s ω*s F , 2s Ω=2s ω*s F 1p Ω=2832π, 2p Ω=5168π, 1s Ω=1664π, 2s Ω=6336π
(3) 根据教程表7.8的变换关系，设归一化（_
Ωp ）低通滤波器的阻带衰减用
-
Ω表示，则有 p B =2p Ω-1p Ω=2336π， 0p Ω=
2
1p p ΩΩ=3825.6732π
2st Ω=
p
st p st B 20
22
2ΩΩ-Ω=1.723 1st Ω=
p
st p st B 10
12
2
ΩΩ-Ω =-3.053
取 st _
Ω=min （| 1st -
Ω|,| 2st -
Ωst2|）=1.723,可满足阻带衰减要求。 （4）求波纹系数ε
ε=
1101.0-p
α
=0.50885 （5）根据st _
Ω及给定的p α，s α
N ≥[]?
?
? ??ΩΩ---p st arcch arcch s /1102.01
αε
=)723.1()2147.1965(arcch arcch =1398.12765.8=26114.7
取N=8.
（6）查教程表7.5，可得N=8，p α=1dB 时的归一化原型切比雪夫I 型低通滤波器的系统函数)(-
s H an
)(-
s H an =
01723
.01073.04478.08468.08369.16552.14230.29198.01234
567821
18++++++++---------s s s s
s s s s ε
(7)按教表7.8的相应变换关系，求出模拟带通滤波器系统函数为：
（8）按冲激响应不变法的修正公式（7.78）式，求所需数字滤波器的系统 函数
2.2 数字滤波器的性能分析
MATLAB 程序如下:
>> Rs=1;As=60;Fs=8000;T=1/Fs;
wp1=0.354*pi; wp2=0.646*pi; ws1=0.208*pi; ws2=0.792*pi;
>>
Omegap1=wp1*Fs;Omegap2=wp2*Fs;Omegap=[Omegap1,Omegap2];Omegas1=ws1*Fs ;Omegas2=ws2*Fs;Omegas=[Omegas1,Omegas2];
>> bw=Omegap2-Omegap1;w0=sqrt(Omegap1*Omegap2);
>> [N,OmegaC]=cheb1ord(Omegap1,Omegas1,Rp,As,'s')
N =
8
OmegaC=
8.8970e+03
>>
[z0,p0,k0]=cheb1ap(N,Rp);ba1=k0*real(poly(z0));aa1=real(poly(p0)); >> [ba,aa]=lp2bp(ba1,aa1,w0,bw)；
[bd,ad]=impinvar(ba,aa,Fs)；
%(C,B,A)=dir2par(bd,ad)
[H,w]=freqz(bd,ad);dbH=20*log10((abs(H)+eps)/max(abs(H)));
>> subplot(2,2,1),plot(w/pi,abs(H));
>> subplot(2,2,2),plot(w/pi,angle(H)/pi);
>> subplot(2,2,3),plot(w/pi,dbH);
>> subplot(2,2,4),zplane(ba,ad);
相应的图形
图1频率特性曲线和零极点图
3. 数字滤波器的实现结构对其性能影响的分析
在理想状态下，对于同一个传递函数几乎对应着无数种等效结构，然而这些结构却并不一定都能实现。在无限参数字长的情况下，所有能实现传递函数的结构之间，其表现完全相同。
然而在实际中，由于参数字长有限的限制，各实现结构的表现不同。下面我们就对比直接型和级联型两种结构在本设计中对性能指标的影响。
在MATLAB中可以利用FDATOOL工具箱建构不同类型的数字滤波器。再次为
了使对比效果明显，将上述初步设计的切比雪夫带通IRR数字滤波器的设计参数
字长（即转移函数中分子分母各项前的系数）进行保留小数点后3位的进一步缩
减。缩减参数如下：
Nun=[0 0 0 0 0 0.002 -0.002 -0.001 0.004 -0.002 -0.001 0.001 0 0 0 0] Den=[1 -0.532 5.791 -2.601 15.733 -5.983 26.035 -8.273 28.585 -7.379
21.273 -4.232 10.469 -1.446 3.116 -0.228 0.430]
将上述参数输入FDATOOL中的filter coefficients 工具中
3.1数字滤波器的实现结构一及其幅频响应
直接型结构滤波器的转移函数为：
差分方程：
直接一型的结构流图如下：
选择filter structure 选项框中的Direct-Form I选项，点击窗口下方的
Import Filter 按钮，构建直接1型结构的椭圆带通IRR 数字滤波器，结果如图所示。
图 3 Direct-Form I
型结构滤波器幅频响应图
表1 Direct-Form I 结构滤波器性能指标影响(1p ω，2p ω，1s ω，2s ω单
位为rad/sample π；s α,p α,单位为dB ）
由图3和表1可以看出：
（1）滤波器幅频曲线在通带和阻带内波动幅度不均匀； （2） 阻带最小衰减与通带最大衰减都存在误差； （3） wp 和ws 分别较初始设计变化了。
3.2数字滤波器的实现结构一及其幅频响应 级联型结构滤波器的转移函数：
图4 级联型的结构流图
图5级联型结构滤波器幅频响应图
表2 级联型结构滤波器性能指标影响(1p ω，2p ω，1s ω，2s ω单位为
rad/sample π；s α,p α,单位为dB ）
从上图和表2中可以看出，采用级联结构的滤波器 (1)滤波器幅频曲线在通带和阻带内波动较均匀；
(2)出现了阻带最小衰减上升了0.45133dB,通带最大衰减下降了0.1324799dB 的
误差；
(3)wp1和ws2分别较初始设计减小-0.0026818和-0.0289624rad π/sample ，
(4)wp2和ws1分别较初始设计增大了0.003292和0.0897295rad π/sample
3.3 数字滤波器的实现结构对其性能影响的小结
比较表1和表2发现：在参数字长仅保留了小数点后三位的情况下，两种结构的滤波器较初始设计在性能指标方面均有误差。但是直接型误差比级联型更大，受有限参数字长影响更大，其各项性能指标与设计要求间的差的绝对值普遍大于级联型。此外，直接型和级联型的幅频响应曲线的通带波动均不稳定，但是级联型的稳定性要好于直接型。
造成这一现象的原因是：直接型滤波器的系数不是直接决定单个零极点，因而不能很好的进行滤波器性能的控制；此外直接性滤波器对参数的变化过于敏感，从而使得系统的响应对参数的变化也特别敏感，对参数的有限字长运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。
而级联型滤波器每个二阶节系数单独控制一对零极点，有利于控制频率响应；此外级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算误差的积累相对直接型就
4.数字滤波器参数字长对其性能指标的影响的分析
在实际的数字滤波器的设计中，由于计算机或DSP芯片字长和存储空间有限，所以也只能对设计参数取有限字长进行设计。然而，如果字长太短，则设计的滤波器误差就会太大，造成的滤波效果不佳。下面就将以上述性能指标为依据，初始设计的切比雪夫I型带通IRR数字滤波器为例，研究不同参数字长对性能指标的影响。并为合适的字长确定探索规律。
将计算获得的滤波器系数输入filter coefficients 工具中，并点击Import Filter 按钮，生成数字滤波器。运用FDATOOL工具中Set
quantizati parameters 按钮，在filter arithmetic下拉菜单下选择Fixed on
Point选项，进入图所示面。通过改变 coefficient word length 的值便可以改变参与构建滤波器的参数字长
图6 Set quantization parameters gong工作界面
4.1 直接型结构滤波器参数字长及其幅频响应变化 1. 直接型结构滤波器（2位）参数字长及其扶贫响应变化
图 7
参数字长取2位时的滤波器幅频响应曲线（直接）
由图9可以看到当参数字长取2位时，直接型滤波器严重失真，误差相当大，远远不能满足设计要求。
2. 直接型结构滤波器（15位）参数字长及其幅频响应变化
图 8 参数字长取
15位时的滤波器幅频响应曲线（直接）
表3参数字长取15位时的直接型结构滤波器实际性能指标一览表(1p ω，2p ω，1s ω，2s ω单位为rad/sample π；s α,p α,单位为dB ）
性能指标
初始设计 Direct Form
相对误差（%）
0.354
0.3513184 -0.0026818 -0.76
0.646
0.649292 0.003292 0.51
0.208
0.2976074 0.0896074 43.1
0.792
0.7614746
-0.0305254
-3.85
由图10和表3可以看出当参数字长取15位时，幅频曲线失真明显减小，已具有带通滤波器形制。性能指标也接近设计要求, 但通带最大衰减和阻带最小衰减频率与指标误差还较大。
3. 直接型结构滤波器（20位）参数字长及其幅频响应变化 图 9 参数字长取22位时的滤波器幅频响应曲线（直接）
表4：参数字长取20位时的直接型结构滤波器实际性能指标一览表(1p ω，2p ω，1s ω，2s ω单位为rad/sample π；s α,p α,单位为dB ）
由表4和图9可知，当参数字长取22时，失真程度已经非常小，通带最大衰减和阻带最小衰减和设计要求几乎无差距，基本上满足设计要求。
因直接型结构滤波器根据参数字长的变化跨度很大，未能详细的对更多字长 位数进行分析，下面对级联型结构滤波器进行详细分析。
4.2级联型滤波器参数字长及幅频响应变化
1. 级联型滤波器（2位）参数字长及幅频响应变化
图 10参数字长取2位时的滤波器幅频响应曲线图（级联型）
图10中的虚线为提供参考的理想字长生成的滤波器的幅频响应曲线，实线为参数字长为2位时的滤波器幅频响应曲线。由图可知：字长为2位时，滤波器的各项性能指标偏差很大，滤波器失真明显，滤波效果很差，远远不能满足设计指标的要求。
图 11参数字长取5位时的滤波器幅频响应曲线图（级联型）
表5：参数字长取5位时的级联型结构滤波器实际性能指标一览表 (1p ω，2p ω，1s ω，2s ω单位为rad/sample π；s α,p α,单位为dB ）
由图11和表5可看出，幅频曲线失真变得更小，程度变小，通带最大衰减和阻带最小衰减仍不可忽略。
图12 参数字长取12位时的滤波器幅频响应曲线图（级联型）
表6：参数字长取12位时的级联型结构滤波器实际性能指标一览表 (1p ω，2p ω，1s ω，2s ω单位为rad/sample π；s α,p α,单位为dB ）
由图12和表5可以看出，当参数字长取为12时，幅频曲线失真进一步减小，但程度已经很小，失真几乎可以忽略。截止频率已与设计要求相差无几，改善的程度也变得很小；通带最大衰减和阻带最小衰减和设计要求几乎无差距。 7.级联型结构滤波器（12位）参数字长及幅频响应变化
图13 参数字长取12位时的滤波器幅频响应曲线图
参数为12位及以上时，幅频曲线失真可看作为零，设计的曲线与要求的曲线几乎完全重合。各项指标几乎完全相同，达到设计要求。
4.3 数字滤波器的参数字长对其性能影响的分析
参数的字长对数字滤波器的性能有影响，字长越短，影响越大，误差也越大，会导致滤波器失真，直接型滤波器字长为22位以上时达到设计要求，级联型滤波器字长为12位以上时达到设计要求，故设计时要保有合适的字长。
5.结论及体会
5.1滤波器设计、分析结论
本次数字滤波器课程设计过程中，发现滤波器的级联型结构比直接型结构误差小，幅频特性曲线的通带的波动稳定性要比直接型好。对于参数字长来说，字长越长，滤波器的实际指标就越能达到设计指标的要求，但不是越长越好
5.2我的体会
采用MATLAB设计滤波器，使原来繁琐复杂的程序设计变成了简单的函数调用，为滤波器的设计和实现开辟了广阔的天地，尤其是MATLAB工具箱使各个领域的研究人员可以直观方便地进行科学研究于工程应用。其中的信号处理工具箱，图像处理工具箱，小波工具箱等更是为数字滤波器研究的蓬勃发展提供了可能。MATLAB信号处理工具箱为滤波器设计和分析提供了非常优秀的辅助设计工具，在设计数字滤波器时，善于应用MATLAB进行辅助设计，能够大大提高设计效率。
5.3展望
通过这次切比雪夫i型设计带通IIR数字滤波器，对冲激响应法这一方法有了较为深入的认知，但其他方法还是没能有进一步的理解与掌握，希望以后在数字滤波器的设计方面，去更多的尝试多种方法，有一个全面的提高。