O
A
E C
D B
证明两角相等的方法
黄冈中学 初三数学备课组
【重点解读】
证明两角相等是中考命题中常见的一种题型，此类证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。在教学中总结了一些定理（或常见结论）以及几种处理方法，仅供参考。
【相关定理或常见结论】 1、相交线、平行线： （1）对顶角相等；
（2）等角的余角（或补角）相等；
（3）两直线平行，同位角相等、内错角相等； （4）凡直角都相等；
（5）角的平分线分得的两个角相等. 2、三角形
（1）等腰三角形的两个底角相等；
（2）等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）； （3）三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和 （4）全等三角形的对应角相等； （5）相似三角形的对应角相等. 3、四边形
（1）平行四边形的对角相等；
（2）菱形的每一条对角线平分一组对角； （3）等腰梯形在同一底上的两个角相等. 4、圆
（1）在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等； （2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. ，圆心角相等.
（3）圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. （4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角. （5）三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角. （6）正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角.
（7）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角； 5、利用等量代换、等式性质 证明两角相等. 6、利用三角函数计算出角的度数相等
【典题精析】
（一） 利用全等相关知识证明角相等 例1 已知：如图，CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，BE 与CD 交于点O ，且BD CE =． 求证：AO 平分BAC ∠． 分析：要证AO 平分BAC ∠，因为CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于
点E ，所以只要证明OD=OE ；若能证明若能证△OBD ≌△OCE 即
可，因为可证
∠ODB=∠OEC=90°,∠BOD=∠COE ，而BD=CE ，故问题得到解决． 证明：∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E
∴∠ODB=∠OEC=90° 在△O BD 和△OCE 中
∠ODB=∠OEC ∠BOD=∠COE BD=CE
∴△OBD ≌△OCE ∴OD=OE
∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ∴AO 平分BAC ．
说明：本例的证明运用了对顶角相等，角的平分线性质的逆定理 例2 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是梯形内一点，ED ⊥AD ，
BE=DC ，∠ECB=45 o ． 求证：∠EBC ＝∠EDC 分析：要证明∠EBC ＝∠EDC ，容易想到证全等，而图中没有全等的三角形，如果能构造出两个全等的三角形即可。延长DE 与BC 交于
点于点F ， 这样就很容易证△BEF ≌△DCF ，从而问题得到解决。
证明：延长DE 与BC 交于点于点F AD ∥BC ，ED ⊥AD ∴DF ⊥BC
∴∠BFE=∠DFC=90° ∵∠ECB=45 o
∴∠ECB=∠CEB=45 o ∴CF=EF
在Rt △BEF 和Rt △DCF 中 EF=CF ，BE=DC ∴Rt △BEF ≌Rt △DCF ∴∠EBC ＝∠EDC
说明：本例运用全等三角形的对应角相等，来证明两角相等
例3 如图，已知四边形ABCD 是等腰梯形，CD ∥BA ，四边形AEBC 是平行四边形． 求证：∠ABD ＝∠ABE ．
分析：要证∠ABD ＝∠ABE ，若能证△ABD ≌△ABE 即可．因为可证BE ＝AC ＝BD ，AE ＝BC ＝AD ，而AB 为公共边，故问题得到解决． 证明：∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AD ＝BC ，AC ＝B D ． ∵四边形AEBC 是平行四边形，∴BC ＝AE ，AC ＝BE ． ∴AD ＝AE ，BD ＝BE ．
又∵AB ＝AB ，∴△ABD ≌△ABE ． ∴∠ABD ＝∠ABE ．
说明：本例通过运用等腰梯形的性质来证明三角形全等从而证明两角相等．
总结：这类题主要考查全等三角形、特殊四边形的性质，在中考中也是常考的题型，在证明过程中，特别要抓住一些基本图形，同时还要注意常用辅助线的作法。
（二）利用平行、三角形的内角和、外角关系证明角之间的关系
例4．已知：△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，
求证：⑴G 是CE 的中点；⑵∠B=2∠BCE.
分析：⑴已知中多垂直和中线条件，
可联想直角三角形斜边上的中线性质； 要证明G 是CE 的中点，结合已知条件DG ⊥CE ， 符合等腰三角形三线合一中的两个条件，
故连结DE ，证明△DCE 是等腰三角形，由DG ⊥CE 可得G 是CE 的中点.
⑵由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，BE=DE ，∠B 转化为∠EDB.
证明：⑴连结DE ，
∵∠ADB=90°，E 是AB 的中点，
∴DE=AE=BE （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， 又∵DC=BE ，∴DC=DE ， 又∵DG ⊥CE ，
∴G 是CE 中点（等腰三角形底边上的高平分底边）. ⑵∵DE=DC ，∴∠DCE=∠DEC （等边对等角），
∴∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠BCE （三角形的外角等于两不相邻内角的和）， 又∵DE=BE ，∴∠B=∠EDB ，∴∠B=2∠BCE
直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性质有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式：已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线. 特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系有着密切关系.
例5 如图，直线AC BD ∥，连结AB ，直线AC BD ，及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P 落在某个部分时，连结PA PB ，，构成PAC ∠，APB ∠，PBD ∠三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0角．）
（1）当动点P 落在第①部分时，求证：APB PAC PBD ∠=∠+∠；
（2）当动点P 落在第②部分时，APB PAC PBD ∠=∠+∠是否成立（直接回答成立或不成立）？
（3）当动点P 在第③部分时，全面探究PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
分析：本题主要考查平行线的性质及三角形内角和定理和外角性质
（1）解法一：如图1
A B
C D
①
② ③
A B
C D P
① ②
③ ④ A B C D ① ② ③ ④
④
延长BP交直线AC于点E ∵ AC∥BD , ∴∠PEA = ∠PBD . ∵∠APB = ∠PAE + ∠PEA , ∴∠APB = ∠PAC + ∠PBD . 解法二：如图2
过点P作FP∥AC , ∴∠PAC = ∠APF . ∵ AC∥BD , ∴FP∥BD .
∴∠FPB =∠PBD .
∴∠APB =∠APF +∠FPB =∠PAC + ∠PBD .
解法三：如图3，
∵ AC∥BD , ∴∠CAB +∠ABD = 180°
即∠PAC +∠PAB +∠PBA +∠PBD = 180°.
又∠APB +∠PBA +∠PAB = 180°,
∴∠APB =∠PAC +∠PBD .
（2）不成立.
（3）(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是
∠PBD=∠PAC+∠APB .
(b)当动点P在射线BA上，
结论是∠PBD =∠PAC +∠APB .
或∠PAC =∠PBD +∠APB 或∠APB = 0°，
∠PAC =∠PBD（任写一个即可）.
(c) 当动点P在射线BA的左侧时，
结论是∠PAC =∠APB +∠PBD .
选择(a) 证明：
如图4，连接PA，连接PB交AC于M
∵ AC∥BD ,
∴∠PMC =∠PBD .
又∵∠PMC =∠PAM +∠APM ,
∴∠PBD =∠PAC +∠APB .
选择(b) 证明：如图5
∵点P在射线BA上，∴∠APB = 0°.
∵ AC∥BD , ∴∠PBD =∠PAC .
∴∠PBD =∠PAC +∠APB
或∠PAC =∠PBD+∠APB
或∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD.
选择(c) 证明：
如图6，连接PA，连接PB交AC于F
∵ AC∥BD , ∴∠PFA =∠PBD .
∵∠PAC =∠APF +∠PFA ,
∴∠PAC =∠APB +∠PBD 图2
图3
图4
图5
图6
总结：这类题主要考查平行线的性质，三角形的内角和，外角性质及其应用，在求
解角的度数时，一般运用三角形的角及外角的关系，把所求的角集中在同一个三角
形中，然后利用内角和求角度，在证明角之间的关系时，常考虑利用三角形的内角
和定理和外角性质，若题中没有三角形，常通过作辅助线构造三角形。
（三）利用四边形的相关知识证明角的有关问题
例6已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使，连结FC．求证：∠F＝∠A．
分析：要证明∠F＝∠A，由图知只要证明四边形AEFC是平行四边形即可。
证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵EB=ED
∴∠EBD=∠EDB
∴∠EDB=∠ACB
∴EF∥AC
E是AB的中点
∴AE=EB
∵DF＝DE，EB=ED
∴AE=EB= DF＝DE
∴AE+EB= DF+DE
即AB=EF
∵AB=AC
∴EF=AC
又∵EF∥AC
∴四边形AEFC是平行四边形
∴∠F＝∠A
说明：本例的证明用到了等腰三角形的两底角相等，平行四边形的对角相等。
（四）利用圆的相关知识
=，AD⊥BC.
例7如图，已知BC是直径，AB AG
求证：（1）∠EAF=∠AFE
（2）BE=AE=EF
=，
分析：由BC是直径，得到∠BAC是直角，再利用AB AG
得到∠ABE=∠BAE；再证∠EAF=∠FAE。
证明：（1）∵BC是直径
∴∠BAC=90 o
∴∠ABE+∠EFA=90 o ，∠BAE+∠EAF=90 o
=
∵AB AG
∴∠ABE=∠BAE
∴∠EAF=∠AFE
（2）略
说明：本例的证明用到了等弧所对的圆周角相等，等角的余角相等
例8 已知：如图，AD 为锐角△ABC 外接圆的直径，AE ⊥BC 于E ，交⊙O 于F 。 求证：∠1=∠2
分析：∠1和∠2分别是BD 和CF 所对的两个圆周角，故只需证BD =CF ，但不易证明，
由于∠2+∠C=90 o ，联想到把∠1放到直角三角形中，连结BD ，可得∠ABD=90 o ，从而问题得证。 证明：连结BD ∵AD 为直径 ∴∠ABD=90 o ∴∠1+∠D=90 o ∵AE ⊥BC 于E ∴∠2+∠C=90 o ∵∠C=∠D ∴∠1=∠2
总结：此题关键是见直径构造90 o 的圆周角
例9 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，CD ⊥AB 于D ，若AE ＝AC ，BE 交⊙O 于点F ，连结EF 、DE ． 求证：（1）AE 2＝AD ·AB ；
（2）∠ACF ＝∠AED ．
分析：（1）因为AE=AC ，要证AE 2＝AD ·AB ，实际上证AC 2＝AD ·AB ，可转化成比例式，放入三角形中用相似三角形来证明。
（2）欲证∠ACF ＝∠AED ，又知∠ACF ＝∠ABE ，则只需证∠AED=∠ABE ，由（1）得 △ADE ∽△AEB ，对应角相等得证 证明：（1）连结BC ．
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°． 又∵CD ⊥AB 于D ，∴∠ADC ＝90°． 而∠CAB ＝∠DAC ，∴△CAB ∽△DAC ． ∴
AC
AB
AD AC =，∴AC 2＝AD ·AB ． 又AE ＝AC ，∴AE 2＝AD ·AB ． （2）由（1），AE 2＝AD ·AB ，∴
AE
AB
AD AE =． 在△AED 和△ABE 中，∠EAB ＝∠DAE ， ∴△EAB ∽△DAE ．∴∠ABE ＝∠AED ．
B
E
而∠ABE ＝∠ACF ， ∴∠ACF ＝∠AED ．
总结：圆周角定理可提供等角、直角等结论，进而可用于相似三角形判定，从而可得比例式，求线段长等结论，解决此类问题是灵活选用圆周角定理和相似等内容，并适时添加辅助线。
（五）利用三角函数求两角之间的关系
例10 已知抛物线2
y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C （0，3），过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ，抛物线的顶点为M ，直线y= x+5经过D 、M 两点.
（1）求此抛物线的解析式； （2）连接AM 、AC 、BC ，试比较∠MAB
和∠ACB 的大小，并说明你的理由. 解：（1）∵CD ∥x 轴且点C （0，3），
∴设点D 的坐标为(x ，3) ． ∵直线y= x+5经过D 点， ∴3= x+5．∴x =－2． 即点D (－2，3) ．
根据抛物线的对称性，设顶点的坐
标为M （－1，y ），
又∵直线y= x+5经过M 点， ∴y =－1+5，y =4．即M （－1，4）． ∴设抛物线的解析式为
2(1)4y a x =++．
∵点C （0，3）在抛物线上，∴a=－1． 即抛物线的解析式为2
23y x x =--+． （2）作B P ⊥AC 于点P ，M N ⊥AB 于点N ．
由（1）中抛物线2
23y x x =--+可得 点A （－3，0），B （1，0），
∴AB=4，AO=CO=3，AC= ∴∠PAB ＝45°．
∵∠ABP=45°，∴PA=PB=
∴PC=AC －． 在Rt △BPC 中，tan ∠BCP=
PB
PC
=2． 在Rt △ANM 中，∵M （-1，4），∴MN=4．∴AN=2．
tan ∠NAM=
MN
AN
=2． ∴∠BCP ＝∠NAM ． 即∠ACB ＝∠MAB
说明：本例第二问判断∠ACB 和∠MAB 的大小关系是通过构造直角三角形，通过计算这两个角的三角函数值来解决问题的。在解决这类问题时如果不能用全等等方法来寻找思路时，不妨从直角三角形入手，分别计算所求角的三角函数值，从而使问题得到解决.同时还要注意通过一些特殊的点，可能构成特殊的三角形。
【智能巧练】
⒈如图，△ABC 中，∠B 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于点D ，则∠D 与
∠A 的比是________
A
B C E
D
B C
P
P'
A
⒉.已知，如图，在△ABC 中，AC 2
=AD AB 。
求证：∠ACD=∠ABC 。
⒊ 如图，已知：平行四边形ABCD 中，E
F 是AC 延长线上的点，且AE=CF
求证：⑴∠E=∠F ；
⑵BE=DF
⒋ 如图，△ABC 中，高BD 、CE 交于点F ，且CG=AB ，BF=AC ，连接AF ， 求证：AG ⊥AF
F G
E
D B C
A
M
D
E
F C
B
A
第4题 第5题
⒌ Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为BC 上任意一点，DF ⊥AB ，DE ⊥AC ，垂足分别为F 、E ，M 为BC 中点，试判断△MEF 是什么形状的三角形，并说明之.
6．已知：如图，AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D. 延长DA 交
△ABC 的外接圆于点F.
⑴求证：∠FBC=∠FCB ；
⑵若FA AD ==FB 的长.
H
N
M
C D B A
第7题 第8题
7．梯形ABCD 中AB//CD ，对角线AC 、BD 垂直相交于H ，M 是AD 上的点，MH 所 在直线交BC 于N. 在以上前提下，试将下列设定中的两个作为题设，另一个作为结论 组成一个正确的命题，并证明这个命题. ①AD=BC ②MN ⊥BC ③AM=DM
8．⑴如图，已知直线AB 过圆心O ，交⊙O 于A 、B ，直线AF 交⊙O 于F （不与B 重
合），直线l 交⊙O 于C 、D ，交AB 于E ，且与AF 垂直，垂足为G ，连结AC 、AD ． 求证：①∠BAD ＝∠CAG ；②AC ·AD ＝AE ·AF ．
⑵在问题⑴中，直线l 向下平行移动，与⊙O 相切，其他条件不变． ①请你画出变化后的图形，并对照图，标记字母；
②问题⑴中的两个结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
9．如图，⊙O 的内接△ABC 的外角∠ACE 的平分线交⊙O 于点D ，
DE ⊥BC ，垂足为E ，给出下列4个结论：
①CE=CF ；②∠ACB=∠EDF ；③DE 是⊙O 的切线；④D A =D B
；
其中一定成立的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D . ①②④
10．已知，如图，在四边形ABCD 中，AB=DC ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，BA 、CD 的延长线分别与EF 的延长线交于H 、G.
F
B
O A 图（2）
· 图(1)
B
O A F
D C G
E l
·
求证：∠BHE=∠CGE
11．已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于M ，点E 是B C A
上一动点.
⑴ 如图1，若DE 交AB 于N ，交AC 于F ，且DE=AC ，连结AD 、CE ，
求证：①∠CED=∠ADE ②2DN =NF ·NE
⑵ 如图2，若DE 与AC 的延长线交于F ，且DE=AC ，那么2DN =NF ·NE 的结论是否成
立？若成立请证明，若不成立请说明理由.
E
A
图1 图2
【答案点击】
⒈ 1∶2； ⒉证明△ACD ∽△ABC ； ⒊证明△ABE ≌△CDF ，或连结ED 、FB ，证明平行四边形EBFD ； ⒋证明△CAG ≌△BFA ，∴∠G=∠BAF ，∵∠G+∠GAE=90°，∴∠BAF+∠GAE=90°，∴AG ⊥AF ； ⒌△MEF 是等腰Rt △，连结AM ，证△AME ≌△BMF 6、⑴∵∠DAC=∠FBC ，∠EAD=∠FAB=∠FCB ，∵∠DAC =∠EAD ，∴∠FBC=∠FCB ⑵证明△FBA ∽△FDB ，得FB=6 7、题设①② 结论③ 证明略8、⑴①略，②连结DF ，可证得△ACE ∽△AFD ，⑵结论仍成立. 9、分析 ①可证得△CDF ≌△CDE ，得CE=CF 成立； ②∠ACB 和∠EDF （无直接关系，找相关的角）：∠ACB 与∠ACE 邻角互补，∠EDF 也和∠ACE 互补(四边形的内角和360°)，同角的补角相等，即∠ACB=∠EDF ；
④D A 所对的圆周角为∠DCA ，D B
所对的圆周角为∠DAB ，∵∠DAB=∠DCE （四边形的
外角等于不相邻的内角），又∠DCA=∠DCE ，∴∠DCA=∠DCE ，
D A =D B
，故选D.
一般的，
证明线段相等或角相等，可根据条件寻找三角形，证三角形全等；无三角形全等时，可找与之相关连的线段或角，探索等量关系；证明弧相等，可以转化为证明弧所对的圆周角或圆心角相等，即转化为证明角相等的问题. 10、提示:
连结BD ，取BD 的中点M ，连结FM 、EM.只需证FM=EM ，即可证得∠BHE=∠CGE. 11、⑴证明：①∵DE=AC ，
∴C A E D =，D C E A =
∴∠CED=∠ADE ②连结CN
∴CN=DN ， ∠NCF=∠ADE （圆的轴对称性质） ∵∠CED=∠ADE ，∠CNF=∠ENC ∴△NCE ∽△NFC
∴
NC
NE NF NC =
，NF NE NC 2
?= ∴2DN =NF ·NE
【自主检测】
1．已知如左图，在ABC 中, ∠BAC=90°， AB=AC,M 为AC 的中点，AD ⊥BM 。
求证:∠AMB=∠DMC
2. 如右图在△ABC 中，EF ⊥AB ，CD ⊥AB ，G 在AC 边上并且∠GDC=∠EFB ， 求证：∠AGD=∠ACB
3、如图，在△ABC 中，∠B=90，点G 、E 在BC 边上，且AB=BG=GE=GC 。 求证:∠AGB=∠AEB+∠ACB
4、如图，△ABC 內接于圆，D 是弧BC 的中点，AD 交BC 于E ， 求证：∠ABD=∠AEC
5、已知：AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，连接AC ，过点C 作直线CD ⊥AB 于点D ，E 是AB 上一点，直线CE 与⊙O 交于点F ，连结AF ，与直线CD 交于点G
.
A
B
C
答案：
1、过点C作CF⊥AC交AD的延长线于F.
证明：△ABM≌△ACF，再证△MCD≌△FCD
2、分析：CD∥EF ∵EF⊥AB，CD⊥AB∴CD∥EF
∴∠DCB=∠EFB ∵∠GDC=∠EFB∴∠DCB=∠GDC
∴GD∥CB∴∠AGD=∠ACB
3、分析先证明△AGE∽△CGA，再利用外角性质
4、分析要证明两个角相等，
可放入两三角形△ABD、△AEC，证三角形相似，
条件有两个：∠D=∠C，∠BAD=∠CAD（等弧所对的圆周角相等）
证明：∵D是弧BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD
∵∠D=∠C，∴△ABD∽△AEC
∴∠ABD=∠CEA
5、分析要证明∠ACD=∠F，可通过角之间的转化，
已知中AB是⊙O的直径是关键的条件，
连结BC，得∠ACB=90°，∠ACD=∠B（直角三角形母子三角形中的对应角相等），
∠F=∠B，（同弧所对的圆周角相等）.
证明：⑴连结BC，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
即∠ACD+∠DCB=90°
∵CD⊥AB ∴∠DCB+∠B=90°，∴∠ACD=∠B（同角的余角相等）
∵∠F=∠B，∴∠ACD=∠F（等量代换）.
证明角相等时，如果没有三角形全等，我们常找与它们都相关或都有联系的角作为桥梁，实现角之间的转化，从而证明它们的等量关系. 直角三角形的母子三角形中相等的角、成比例
的线段要熟悉.
v1.0可编辑可修改 专题复习证明线段相等角相等的基本方法( 一) 一、教学目标： 知识与技能：使学生掌握根据角和线段位置关系如在一个三角形中或在两个 三角形中，利用等边对等角、或三角形全等证明角相等线段相等的基本方法. 过程与方法：使学生在根据角或边的位置关系确定证明角相等或线段等的方法 过程中，体验证明角相等线段相等的基本方法，在交流的过程中感受和丰富学生 的学习经验；培养学生推理论证能力 . 情感态度与价值观：激活学生原有的知识与经验，使每个学生按照自己的习 惯进行提取、存储信息，形成不同的认知结构，优化学生的思维品质，获得不同的 发展 . 二、教学重点： 掌握根据角和线段位置关系确定证明角相等线段相等的基本方法. 教学难点： 分析图形的形状特征，识别角或线段的位置关系，确定证明方法. 三、教学用具：三角板、学案等 四、教学过程： （一）引入： 相等的线段和角是构成特殊几何图形的主要元素，也是识别特殊图形的主要 依据；运用三角形全等证明线段相等角相等，常出现在中考 15 题左右的位置，是 北京市中考必考内容；运用全等三角形的知识寻求经过图形变换后得到的图形 与原图形对应元素间的关系，常与特殊图形结合，出现在综合题中. （二）例题： 例 1 已知：如图 1，△ ABC中， AB=AC，BC为最大边，点 D、 E 分别在 BC、AC上， BD=CE，F 为 BA延长线上一点， BF=CD. 求证：∠ DEF=∠ DFE . 分析：要证在一个三角形中的两角相等，考虑用等腰三角形的性质（等边对
v1.0可编辑可修改 段相等． 证明：∵ AB=AC∴∠ B=∠C． 在△ BDF和△ CED中， BD CE, B C,图 1 BF CD , BDF CED. DF ED.点拨：抓住图形的特征（两角在一个图形中） DEF DFE . 常用等边对等角证明，这是证两角相等的常用方法． 例 2 已知：如图 1，在△ ABC中，∠ ACB=90， CD AB 于点 D, 点 E 在 AC 上， CE=BC,过 E 点作 AC的垂线，交 CD的延长线于点 F ．求证 AB=FC. 分析：观察 AB与 FC在图形中的位置，发现这两条线段分别位于两个三角形中，考虑用三角形全等来证明．准备三角形全等的条件时，已知一对角一对边对应相等，还需证另一对对应角相等；已知条件有直角，故利用同角的余角相等来证. 证明：∵ FE ⊥ AC 于点 E，ACB90°，∴FECACB 90°， 易证A F ． ∴ △ ABC ≌ △ FCE . ∴AB FC ． 点拨：根据图形特征，要证明相等的两边分别在两 F D B A C E 图1 个三角形中，常利用证明两边所在的两个三角形全等来证．在证明两角相等时， 利用了同角的余角相等证明，也可用等角的余角相等来证，但较复杂．例 3 两个大小不同的等腰直角三角板如图1-1 所示放置，图1-2 是由它抽象出的几何图形， B，C，E 在同一条直线D 上，连结 DC ．求证：∠ ABE=∠ ACD．
初中几何证明常用方法 归纳 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
几何证明常用方法归纳 一、证明线段相等的常用办法 1、同一个三角形中，利用等角对等边：先证明某两个角相等。 2、不同的三角形中，利用两个三角形全等：A找到两个合适的目标三角形B确定已有几个 条件C还要增加什么条件。 3、通过平移或旋转或者折叠得到的线段相等。 4、线段垂直平分线性质：线段垂直平分线的一点到线段两个端点的距离相等。 5、角平分线的性质：角平分线上的一点到角两边的距离相等。 6、线段的和差。 二、求线段的长度的常用办法 1、利用线段的和差。 2、利用等量代换：先求其他线段的长度，再证明所求线段与已求的线段相等。 3、勾股定理。 三、证明角相等的常用办法 1、同（等）角的余(补)角相等。 2、两直线平行，内错角（同位角）相等。 3、角的和差 4、同一个三角形中，利用等边对等角：先证明某两条边相等。 5、不同的三角形中，利用两个三角形全等：A找到两个合适的目标三角形B确定已有几个 条件C还要增加什么条件。 四、求角的度数的常用方法 1、利用角的和差。 2、利用等量代换：先求其他角的长度，再证明所求角与已求的角相等。 3、三角形内角和定理。 五、证明直角三角形的常用方法 1、证明有一个角是直角。（从角） 2、有两个角互余。（从角） 3、勾股定理逆定理。（从边） 4、30度角所对的边是另一边的一半。 5、三角形一边上的中线等于这边的一半 六、证明等腰三角形的常用方法 1、证明有两边相等。（从边） 2、证明有两角相等。（从角） 七、证明等边三角形的常用方法 1、三边相等。 2、三角相等。 3、有一角是60度的等腰三角形。 八、证明角平分线的常用方法 1、两个角相等（定义）。 2、等就在：到角两边的距离相等的点在角平行线上。 九、证明线段垂直平分线的常用方法 1、把某条线段平分，并与它垂直。
证明三角形全等找角相等的方法 1、利用平行直线性质 两直线平行的性质定理：1. 两直线平行，同位角相等 2. 两直线平行，内错角相等 例1.如图所示，直线AD 、BE 相交于点C ，AC=DC ，BC=EC. 求证：AB=DE 已知：如图所示，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AD ＝BC ，AE ＝BF ，CE ＝DF ，试说明：（1）DF ∥CE ；（2）DE ＝CF ． A B C D E F 1 2 2、巧用公共角 要点：在证两三角形全等时首先看两个三角形是不是有公共交点，如果有公共交点，在看他们是否存在公共角 例1.如图所示，D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC, ∠B=∠C. 求证：AD=AE 10. 已知：如图,AD ＝AE,AB ＝AC,BD 、CE 相交于O. 求证：OD ＝OE ．
三、利用等边对等角 要点：注意相等的两条边一定要在同一个三角形内才能利用等边对等角 例1.在△ABC 中，AB=AC ，AD 是三角形的中线. 求证：△ABD ≌△ACD 四、利用对顶角相等 例1、已知：四边形ABCD 中, AC 、BD 交于O 点, AO=OC , BA ⊥AC , DC ⊥AC ．垂 足分别为A , C ． 求证：AD=BC 已知：如图，在AB 、AC 上各取一点，E 、D ，使AE=AD ，连结BD ，CE ，BD 与CE 交于O ，连结AO ，∠1=∠2， 求证：∠B=∠C 五、利用等量代换关系找出角相等 （1）=A B ∠+∠+公共角公共角，则可以得出=A B ∠∠ 例1. 已知：如图13－4，AE=AC ， AD=AB ，∠EAC=∠DAB ， 求证：△EAD ≌△CAB ． 已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE. 求证 :BD=CE A C B E D 图13－4
徐老师模型数学20170727 证明两角相等的方法 百汇学校徐国纲 一、相交线、平行线 1、对顶角相等； 2、同角或等角的余角（或补角）相等； 3、两直线平行，同位角相等、内错角相等； 4、两边分别对应平行（或垂直）的两角相等或互补； 5、凡直角都相等； 6、角的平分线分得的两个角相等； 二、三角形 7、等腰三角形的两个底角相等； 8、三线合一：等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角； 9、三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和； 10、全等三角形的对应角相等； 11、相似三角形的对应角相等； 12、角平分性质定理的逆定理：到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上； 三、四边形 13、平行四边形的对角相等； 14、菱形的每一条对角线平分一组对角； 15、等腰梯形在同一底上的两个角相等； 四、圆 16、同弧或等弧（或两条相等的弦）所对的圆心角相等； 17、同弧或等弧所对的圆周角相等； 18、圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 19、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角； 20、三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角； 21、弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角； 22、从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角； 五、三角函数 23、如果两个锐角的同名三角函数值相等，则这两个锐角相等； 六、等式性质 24、等量代换：若∠1=∠2，且∠2=∠3，则∠1=∠3； 25、等式性质：等量加等量，其和（或差）相等：若∠1=∠2，则∠1+∠3=∠2+∠3或∠1-∠3=∠2-∠3. 第1 页共1 页
证明两角相等的方法 黄冈中学初三数学备课组【重点解读】 证明两角相等是中考命题中常见的一种题型，此类证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。在教学中总结了一些定理（或常见结论）以及几种处理方法，仅供参考。 【相关定理或常见结论】 1、相交线、平行线： （1）对顶角相等； （2）等角的余角（或补角）相等； （3）两直线平行，同位角相等、内错角相等； （4）凡直角都相等； （5）角的平分线分得的两个角相等. 2、三角形 （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）； （3）三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和 （4）全等三角形的对应角相等； （5）相似三角形的对应角相等. 3、四边形 （1）平行四边形的对角相等； （2）菱形的每一条对角线平分一组对角； （3）等腰梯形在同一底上的两个角相等. 4、圆 （1）在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. ，圆心角相等.
（3）圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. （4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角. （5）三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角. （6）正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角. （7）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角； 5、利用等量代换、等式性质 证明两角相等. 6、利用三角函数计算出角的度数相等 【典题精析】 （一） 利用全等相关知识证明角相等 例1 已知：如图，CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，BE 与CD 交于点O ，且BD CE =． 求证：AO 平分BAC ∠． 分析：要证AO 平分BAC ∠，因为CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，所以只要证明OD=OE ；若能证明若能证△OBD ≌△OCE 即可，因为可证 ∠ODB=∠OEC=90°,∠BOD=∠COE ，而BD=CE ，故问题得到解决． 证明：∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ∴∠ODB=∠OEC=90° 在△O BD 和△OCE 中 ∠ODB=∠OEC ∠BOD=∠COE BD=CE ∴△OBD ≌△OCE ∴OD=OE ∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ∴AO 平分BAC ∠． 说明：本例的证明运用了对顶角相等，角的平分线性质的逆定理 例2 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是梯形内一点，ED ⊥AD ，BE=DC ，∠ECB=45 o ． 求证：∠EBC ＝∠EDC 分析：要证明∠EBC ＝∠EDC ，容易想到证全等，而图中没有全等的三角形，如果
如何做几何证明题 知识归纳总结： 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 一. 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的 系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两
的角平分线AD、CE相交于O。 （补
AE＝BD，连结CE、DE。
求证：BC＝AC＋AD B、C作此射线的垂线BP和CQ。 设M为BC的中点。求证：MP＝MQ
《专题复习：证明角相等的方法》导学案 学习目标 1、系统归纳已经学习过的结论是“角相等”的几何定理； 2、能够初步应用这些定理证明角相等； 3、养成执果索因的习惯，提高分析、解决问题的能力。 学习重、难点熟悉几何定理的文字、符号表述，依据问题的条件恰当选择证明方法。 问题引入证明两角相等是中考命题中常见的一种题型，此类证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。 一、自主学习： 归纳已经学习过的结论是“角相等”的几何定理(能结合图形用符号语言表述) （1）对顶角； （2）角的余角（或补角）相等； （3）两直线平行，相等、内错角； （4）凡直角都； （5）角的平分线分得的两个角； （6）等腰三角形的两个底角 (简称 ) （7）等腰三角形底边上的高（或中线）顶角（三线合一）； （8）三角形外角和定理：三角形外角等于的内角之和； （9）全等三角形的对应角； 二、典例精析
1、利用平行线的判定与性质证明角相等 例1、如右图在△ABC 中，EF ⊥AB ，CD ⊥AB ，G 在AC 边上并且∠GDC=∠EFB ， 求证：∠AGD=∠ACB 注：如果要证相等的两角是两条直线被第三条直线所截得的同位角或内错角，可考虑用此方法。 2、利用“等(同)角的补角相等”证明角相等 例2、如右图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，求证：∠A=∠C 3、利用“等(同)角的余角相等”证明角相等 例3、如右图，在锐角△ABC 中，BD 、CE 是它的两条高，求证：∠ABD=∠ACE 变式：若果∠A 是钝角，其它条件不变，仍然有∠ABD=∠ACE 为什么 4、利用全等△性质证明角相等 例4、 已知：如图，AC 和BD 相交于点O ，DC AB =，DB AC =。 求证：C B ∠=∠。
专题复习证明线段相等角相等的基本方法(一) 一、教学目标： 知识与技能：使学生掌握根据角和线段位置关系如在一个三角形中或在两个三角形中，利用等边对等角、或三角形全等证明角相等线段相等的基本方法. 过程与方法：使学生在根据角或边的位置关系确定证明角相等或线段等的方法过程中，体验证明角相等线段相等的基本方法，在交流的过程中感受和丰富学生的学习经验；培养学生推理论证能力. 情感态度与价值观：激活学生原有的知识与经验，使每个学生按照自己的习惯进行提取、存储信息，形成不同的认知结构，优化学生的思维品质，获得不同的发展. 二、教学重点： 掌握根据角和线段位置关系确定证明角相等线段相等的基本方法. 教学难点： 分析图形的形状特征，识别角或线段的位置关系，确定证明方法. 三、教学用具：三角板、学案等 四、教学过程： （一）引入： 相等的线段和角是构成特殊几何图形的主要元素，也是识别特殊图形的主要依据；运用三角形全等证明线段相等角相等，常出现在中考15题左右的位置，是北京市中考必考内容；运用全等三角形的知识寻求经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系，常与特殊图形结合，出现在综合题中. （二）例题： 例1已知：如图1，△ABC中，AB=AC，BC为最大边，点D、 E分别在BC、AC上，BD=CE，F为BA延长线上一点，BF=CD.求证：∠DEF=∠DFE . 分析：要证在一个三角形中的两角相等，考虑用等腰三角形的性质（等边对等角）来证；因要证的两条相等的边在两个三角形中，故利用三角形全等来证线段相等． 证明：∵AB=AC∴∠B=∠C． 图1
在△BDF 和△CED 中， 点拨：抓住图形的特征（两角在一个图形中）常用等边对等角证明，这是证两角相等的常用方 法． 例2 已知：如图1，在△ABC 中，∠ACB=，于点D,点E 在 AC 上，CE=BC,过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证AB=FC. 分析：观察AB 与FC 在图形中的位置，发现这两条线段分别位于两个三角形中，考虑用三角形全等来证明．准备三角形全等的条件时，已知一对角一对边对应相等，还需证另一对对应角相等；已知条件有直角，故利用同角的余角相等来证. 证明：∵于点， ∴， 易证． ∴. ∴． 点拨：根据图形特征，要证明相等的两边分别在两个三角形中，常利用证明两边所在的两个三角形全等来 证．在证明两角相等时，利用了同角的余角相等证明，也可用等角的余角相等来证，但较复杂． 例3 两个大小不同的等腰直角三角板如图1-1所示放置，图1-2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．求证：∠ABE=∠ACD ． 分析：图1-2是由两个大小不同的等腰直角三角板构成的旋转图形，分别从一个等腰三角形取一条腰，夹角为等角加同角，就 ,,,... BD CE B C BF CD BDF CED DF ED DEF DFE =?? ∠=∠??=? ∴???∴=∴∠=∠图1 图1-2 图1-1
一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 二、证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 8.相似三角形的对应角相等。 9.圆的内接四边形的外角等于内对角。 10.等于同一角的两个角相等。 三、证明两条直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。 10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。 11.利用半圆上的圆周角是直角。 四、证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。
证明函数单调性的方法总结 导读：1、定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x1、x2∈D，且x1 ②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性． 2、导数法: 设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) 注意：(补充) （1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个， 则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数； 如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数． （2）单调性的判断方法： 定义法及导数法、图象法、 复合函数的单调性(同增异减)、 用已知函数的单调性等 （补充）单调性的有关结论 1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数， 则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数． 2．若f(x)为增(减)函数， 则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，
则 为减(增）函数， 为增（减）函数 3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数， 若f(x)与g(x)的'单调性相同， 则其复合函数f[g(x)]为增函数； 若f(x)、g(x)的单调性相反， 则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． 函数单调性的应用 (1)求某些函数的值域或最值． (2)比较函数值或自变量值的大小． (3)解、证不等式． (4)求参数的取值范围或值． (5)作函数图象． 【证明函数单调性的方法总结】 1.函数单调性的说课稿 2.高中数学函数的单调性的教学设计 3.导数与函数的单调性的教学反思
一、线线平行的证明方法: 1、利用平行四边形。 2、利用三角形或梯形的中位线。 3、如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就与交线平行。 (线面平行的性质定理) 4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。(面面平行的性质定理) 5、如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。(线面垂直的性质定理) 6、平行于同一条直线的两条直线平行。 7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。(需证明) 二、线面平行的证明方法: 1、定义法:直线与平面没有公共点。 2、如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行。(线面平行的判定定理) 3、两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。 三、面面平行的证明方法: 1、定义法:两平面没有公共点。 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。(面面平行的判定定理) 3、平行于同一平面的两个平面平行。 4、经过平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行。 5、垂直于同一直线的两个平面平行。 四、线线垂直的证明方法: 1、勾股定理。 2、等腰三角形。 3、菱形对角线。
4、圆所对的圆周角就是直角。 5、点在线上的射影。 6、如果一条直线与一个平面垂直,那么这条直线就与这个平面内任意的直线都垂直。 7、在平面内的一条直线,如果与这个平面一条斜线的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直。(三垂线定理,需证明) 8、在平面内的一条直线,如果与这个平面一条斜线垂直,那么它也与这条斜线的射影垂直。(三垂线逆定理,需证明) 9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线,则另一条也垂直于这条直线。 五、线面垂直的证明方法: 1、定义法:直线与平面内任意直线都垂直。 2、点在面内的射影。 3、如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面。(线面垂直的判定定理) 4、如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。(面面垂直的性质定理) 5、两条平行直线中的一条垂直于平面,则另一条也垂直于这个平面。 6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,则必垂直于另一个平面。 7、两相交平面同时垂直于第三个平面,那么两平面交线垂直于第三个平面。 8、过一点,有且只有一条直线与已知平面垂直。 9、过一点,有且只有一个平面与已知直线垂直。 六、面面垂直的证明方法: 1、定义法:两个平面的二面角就是直二面角。 2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。(面面垂直的判定定理) 3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行,那么这两个平面互相垂直。 4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行,那么这两个平面互相垂直。
切线的证明方法中考总结 Jenny was compiled in January 2021
2 1 F D O B C 切线的证 法 1. 直线与圆只有唯一公共点，则直线是圆的切线 2. 圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线是圆的切线 3. 经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线 一.角平分线证相切：（作弦心距，利用勾股定理） 例：.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F. （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若 AB AC =53,求DF AF 的值。 练习2.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过D 点作EF ∥BC 交AB 的延长线于点E ，交AC 的延长线于点F 。 （1）求证：EF 为⊙O 的切线； （2）若sin ∠ABC=5 4,CF=1,求⊙O 的半径及EF 的长。 3. 如图，AB 为⊙O 的直径，AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ， FB 是⊙O 的切线交AD 的延长线于点F . (1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)若DE =3，⊙O 的半径为5，求BF 的长.
4.已知如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经过B 、M 两点的⊙O 交BC 于点G ，交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. （1） 求证：AE 与⊙O 相切； （2） 当BC=4，cosC=31 时，求⊙O 的半径。 二.平行证相切（1.已知平行、2.角相等平行、3.中位线平行） 例5.如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD ⊥ 5 4 图，在等腰⊿ABC 中，AB=AC,O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 长为半径的圆交BC 于D,DE ⊥AC 交AC 于E. (1)求证DE 时是⊙O 的切线； (2)若⊙O 与AC 相切于F ，AB=AC=5cm ，sinA=5 3 ,求⊙O 的半径长。 7.如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC=BD,连结AC,过点D 作DE ⊥AC,垂足为E. (1).求证：AB=AC (2).求证:DE 为⊙O 的切线. (3).若⊙O 的半径为5，∠BAC=60°，求DE 的长. 8.如图 ，矩形ABCD 中，53AB AD ==，．点E 是CD 上的动点，以AE 为直径的O ⊙与AB 交于点F ，过点F 作FG BE ⊥于点G ． （1）当E 是CD 的中点时： ①tan EAB ∠的值为______________；
O A E C D B 证明两角相等的方法 黄冈中学 初三数学备课组 【重点解读】 证明两角相等是中考命题中常见的一种题型，此类证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。在教学中总结了一些定理（或常见结论）以及几种处理方法，仅供参考。 【相关定理或常见结论】 1、相交线、平行线： （1）对顶角相等； （2）等角的余角（或补角）相等； （3）两直线平行，同位角相等、内错角相等； （4）凡直角都相等； （5）角的平分线分得的两个角相等. 2、三角形 （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）； （3）三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和 （4）全等三角形的对应角相等； （5）相似三角形的对应角相等. 3、四边形 （1）平行四边形的对角相等； （2）菱形的每一条对角线平分一组对角； （3）等腰梯形在同一底上的两个角相等. 4、圆 （1）在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等； （2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. ，圆心角相等. （3）圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. （4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角. （5）三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角. （6）正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角. （7）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角； 5、利用等量代换、等式性质 证明两角相等. 6、利用三角函数计算出角的度数相等 【典题精析】 （一） 利用全等相关知识证明角相等 例1 已知：如图，CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，BE 与CD 交于点O ，且BD CE =． 求证：AO 平分BAC ∠． 分析：要证AO 平分BAC ∠，因为CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于 点E ，所以只要证明OD=OE ；若能证明若能证△OBD ≌△OCE 即
【第1部分 全等基础知识归纳、小结】 1、全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。两个全等三角形中， 互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。 概念深入理解： （1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。（外观长的像） （2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（位置变化） 2、全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A′B′C′是全等的，记作“△ABC ≌△A′B′C′”其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、全等三角形的性质： 全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。 （1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。 （2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。 （3）全等三角形周长，面积相等。 4、寻找对应元素的方法 （1）根据对应顶点找 如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； 图 3 图 1 图2
（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转； 5、全等三角形的判定：（深入理解） ①边边边（SSS）②边角边（SAS）③角边角（ASA）④角角边（AAS） ⑤斜边，直角边（HL） 注意：（容易出错） （1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）； （2）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中一角对应相等，即SSA。 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。 6、常见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯） 如：⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点 同一条辅助线，可以说法不一样，那么得到的条件、证明的方法也不同。
一、线线平行的证明方法： 1、利用平行四边形。 2、利用三角形或梯形的中位线。 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。 （线面平行的性质定理） 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行的性质定理） 5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。（线面垂直的性质定理） 6、平行于同一条直线的两条直线平行。 7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。（需证明） 二、线面平行的证明方法： 1、定义法：直线与平面没有公共点。 2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平
行，那么这条直线和这个平面平行。（线面平行的判定定理） 3、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。 三、面面平行的证明方法： 1、定义法：两平面没有公共点。 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（面面平行的判定定理） 3、平行于同一平面的两个平面平行。 4、经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。 5、垂直于同一直线的两个平面平行。 四、线线垂直的证明方法： 1、勾股定理。 2、等腰三角形。
3、菱形对角线。 4、圆所对的圆周角是直角。 5、点在线上的射影。 6、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直。 7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理，需证明） 8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。（三垂线逆定理，需证明） 9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线。 五、线面垂直的证明方法： 1、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。 2、点在面内的射影。
初中数学9种证明方法思路汇总 -1- 证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。 -2- 两角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 8.相似三角形的对应角相等。 9.圆的内接四边形的外角等于内对角。 10.等于同一角的两个角相等。 -3- 证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。 6.平行于同一直线的两直线平行。 7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。 -4- 证明两直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。 10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
专题复习证明线段相等角相等的基本方法（一） 一、教学目标： 知识与技能：使学生掌握根据角和线段位置关系如在一个三角形中或在两个三角形中，利用等边对等角、或三角形全等证明角相等线段相等的基本方法?过程与方法：使学生在根据角或边的位置关系确定证明角相等或线段等的方法过程中，体验证明角相等线段相等的基本方法，在交流的过程中感受和丰富学生的学习经验；培养学生推理论证能力. 情感态度与价值观：激活学生原有的知识与经验，使每个学生按照自己的习惯进行提取、存储信息，形成不同的认知结构，优化学生的思维品质，获得不同的发展? 二、教学重点： 掌握根据角和线段位置关系确定证明角相等线段相等的基本方法? 教学难点： 分析图形的形状特征，识别角或线段的位置关系，确定证明方法? 三、教学用具：三角板、学案等 四、教学过程： （一）引入： 相等的线段和角是构成特殊几何图形的主要元素，也是识别特殊图形的主要依据；运用三角形全等证明线段相等角相等，常出现在中考15题左右的位置，是北京市中考必考内容；运用全等三角形的知识寻求经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系，常与特殊图形结合，出现在综合题中?（二）例题： 例1已知：如图1，^ ABC中，AB=AC, BC为最大边，点D、E分别在 BC、AC 上, BD=CE，F 为BA延长线上一点，BF=CD .求证：/ DEF=Z DFE . 分析：要证在一个三角形中的两角相等，考虑用等腰三角形的性质（等边对等角）来证；因要证的两条相等的边在两个三角形中，故利用三角形全等来证线段相等. 证明：??? AB=ACB= / C. 在厶BDF和厶CED中， 迟 B
推理证明 一、合情推理与演绎推理 1．合情推理（合情推理对于数学发现的作用，为复数铺垫） 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： （1） 归纳推理：部分到整体，特殊到一般 【例1】 观察以下不等式 222222131,221151, 233 111712344+ <++<+++
地，当、时，有. ④函数中的相关应用 【例5】如图所示，对于函数上任意两点 ，，线段必在曲线段的上方，设点 分向量的比为，则由图象中点在点的 上方可得不等式。请分析函数 的图象，类比上述不等式可以得到的不等式 是． ⑤平面向量中的相关应用 【例6】设平面向量的和为，如果平面向量满足，且顺时针旋转30°后与同向，其中则下列命题中正确的为． ①②③④ ⑥不等式中的相关应用 【例7】研究问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，有如下解法： 解：由，令，则，所以不等式 的解集为． 参考上述解法，已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式
证明角相等的方法 （一）相交直线及平行线： ①二直线相交，对顶角相等。 ②二平行线被第三直线所截时，同位角相等，内错角相等，外错角相等。 ③同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，凡直角都相等。 ④角的平分线分得的两个角相等。 ⑤自两个角的顶点向角内看角的两边，若有一角的左边平行（或垂直）于另一角左边，一角的右边平行（或垂直）于另一角的右边，则此二角相等(图1、2）。 （二）三角形中： ①同一三角形中，等边对等角。（等腰三角形两底角相等、等边三角形三内角相等） ②等腰三角形中底边上的高或中线平分顶角。 ③有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形（三内角都相等） ④直角三角形中，斜边的中线分直角三角形为两个等腰三角形（图3）。 （三）四边形中： ①平行四边形对角相等。 ②菱形的对角线平分一组对角。 ②矩形的四角相等，且均为直角。 ③等腰梯形同一底上的两角相等。 （四）正多边形中： ①正多边形的各内角相等、外角相等，且内角= (n-2)180°/ n，外角=360°/ n ②正多边形的中心角相等，且中心角αn=360°/ n 。 （五）圆中： ①同圆或等圆中，等弧或等弦或等弦心距所对的圆心角相等、圆周角相等。 ②同圆或等圆中，含等弧或等弦的弦切角相等，且与所对的圆周角相等。 ③同圆或等圆中，所夹二弧或二弦相等的圆内角相等、圆外角相等。 ④自圆外一点所作圆的两切线，二切线所夹的角被过该点的连心线平分。 ⑤两相交或外切或外离的圆中，二外公切线所夹的角被二圆的连心线平分；两外离的圆中，二内公切线所夹的角也被二圆的连心线平分(图4）。
⑥圆的内接四边形中，任一外角与其内对角相等。 （六）全等形中： ①全等形中，一切对应角都相等。 （七）相似形中： ①相似形中，一切对应角都相等。 （八）角的运算： ①对应相等角的和相等；对应相等角的差相等。 ②对应相等角乘以的相等倍数所得的积相等；对应相等角除以的相等倍数所得的商相等。 ③两角的大小具有相同的数学解析式，或二解析式相减为零，或相除为1，则此二角相等。 ④两锐角或两钝角的正弦具有相同的数学解析式，此二角相等；两角的余弦、正切具有相同的数学解析式，此二角相等