高中数学-空间几何体测试题
第I卷（选择题）
1.在空间直角坐标系中，点M的坐标是（4，7，6），则点M关于y轴的对称点坐标为( ) A．（4，0，6）B．（﹣4，7，﹣6）C．（﹣4，0，﹣6）D．（﹣4，7，0）
2.圆锥的母线长为2，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的表面积为( )
A．6πB．5πC．3πD．2π
3.如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为( )
A．4πB．2πC．πD．
4.由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体木块有
( )
A．6块B．7块C．8块D．9块
5.把球的大圆面积扩大为原来的2倍，那么体积扩大为原来的( )
A．2倍B．2倍C．倍D．3
6.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为( )
A．B．C．D．
7.如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是( )
A ．DC 1⊥D 1P
B ．平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP
C ．∠AP
D 1的最大值为90° D ．AP+PD 1的最小值为22+
8.三棱锥O ﹣ABC 中，OA ⊥OB ，OB ⊥OC ，OC ⊥OA ，若OA=OB=a ，OC=b ，D 是该三棱锥外部（不含表面）的一点，则下列命题正确的是( ) ①存在无数个点D ，使OD ⊥面ABC ；
②存在唯一点D ，使四面体ABCD 为正三棱锥； ③存在无数个点D ，使OD=AD=BD=CD ；
④存在唯一点D ，使四面体ABCD 有三个面为直角三角形．
A ．①③
B ．①④
C ．①③④
D ．①②④
9.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如不计容器的厚度，则球的体积为( )
A ．
33500cm π B ．33
866cm π
C ．
331372cm π D ．33
2048cm π
10.（原创）将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )
（A ）错误!未找到引用源。
（B ）错误!未找到引用源。
（）4π
（）6
11.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段AC1上有两个动点E，F，且EF=．给出下列四个结论：
①CE⊥BD；
②三棱锥E﹣BCF的体积为定值；
③△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形；
④在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线
其中，正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
12.如图，动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D 的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是( )
A．B．C．D．
13.一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为( ) A．1 B．C．2 D．2
14.在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
15.如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
16.已知O是棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线的交点，平面α经过点O，正方体的8个顶点到α的距离组成集合A，则A中的元素个数最多有（）
A．3 B．4 C．5 D．6
17.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC
为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）
A．B．C．D．
18.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段AD1上一动点，点Q为底面ABCD内（含边界）一动点，M为PQ的中点，点M构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为( )
A．棱柱 B．棱锥 C．棱台 D．球
第II 卷（非选择题）
19.如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径
毫米，滴管内液体忽略不计．如果瓶内的药液恰好
156分钟滴完，则每分钟应滴下 滴．
20.三棱锥P ﹣ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，M 在△ABC 内，∠MPA=∠MPB=60°，则∠MPC= ．
21.若一个球的表面积是4π，则它的体积是 ．
22.如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段CC 1上动点，过点A ，P ，
Q 的平面截该正方体所得截面记为S ．当CQ=21
时，S 的面积为__________；若S 为五边形，
则此时CQ 取值范围__________．
23.（原创）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
24.几何体ABCDEF 如图所示，其中AC ⊥AB, AC=3，AB=4，AE 、CD 、BF 均垂直于面ABC ，且AE=CD=5，BF=3，则这个几何体的体积为 .
25.在三棱锥P ﹣ABC 中，△PAB 是等边三角形，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ． （1）证明：AB⊥PC；
（2）若PC=2，且平面PAC⊥平面PBC ，求三棱锥P ﹣ABC 的体积．
26.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S ﹣ABCD 中，∠ABC=90°，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，
AD=21．
（1）求四棱锥S ﹣ABCD 的体积； （2）求证：面SAB⊥面SBC ；
（3）求SC 与底面ABCD 所成角的正切值．
27.如图，边长为2的正方形ABCD 绕AB 边所在直线旋转一定的角度（小于180°）到ABEF 的位置．
（1）若∠CBE=120°，求三棱锥B ﹣ADF 的外接球的表面积；
（2）若K为线段BE上异于B，E的点，CE=22．设直线AK与平面BDF所成角为φ，当30°≤φ≤45°时，求BK的取值范围．
28. (本小题满分13 分)有一个所有棱长均为a 的正四棱锥P—ABCD，还有一个所有棱长均为a 的
正三棱锥．将此三棱锥的一个面与正四棱锥的一个侧面完全重合地粘在一起，得到一个如图所示的多
( I ) 证明： P, E, B, A四点共面；
( II ) 求三棱锥 A-DP E 的体积；
( III )在底面ABCD 内找一点M ，使 EM面PBC ．
指出M 的位置，并说明理由．
试卷答案
1.B
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】计算题；函数思想；空间位置关系与距离．
【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标．
【解答】解：∵在空间直角坐标系中，
点M（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为：（﹣x，y，﹣z），
∴点M（4，7，6）关于y轴的对称点的坐标为：Q（﹣4，7，﹣6）．
故选：B．
【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
2.C
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】半径为2的半圆的弧长是2π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是2π，利用弧长公式计算底面半径后，可得圆锥的表面积．
【解答】解：一个圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，
圆的弧长为：2π，即圆锥的底面周长为：2π，
设圆锥的底面半径是r，
则得到2πr=2π，
解得：r=1，
这个圆锥的底面半径是1，
∴圆锥的表面积S=πr（r+l）=3π，
故选：C．
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
3.D
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据题意，连接N点与D点，得到一个直角三角形△NMD，P为斜边MN的中点，所以|PD|的长度不变，进而得到点P的轨迹是球面的一部分．
【解答】解：如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，连接N点与D点，
由ND，DM，MN构成一个直角三角形，
设P为MN的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得
不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．
故P点的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的球面积．
所以答案为，
故选D．
【点评】解决此类问题的关键是熟悉结合体的结构特征与球的定义以及其表面积的计算公式．
4.B
考点：简单组合体的结构特征．
专题：计算题．
分析：由俯视图易得最底层正方体的个数，由主视图和左视图找到其余层数里正方体的个数相加即可．
解答：解：由俯视图，我们可得该几何体中小正方体共有4摞，
结合正视图和侧视图可得：
第1摞共有3个小正方体；
第2摞共有1个小正方体；
第3摞共有1个小正方体；
第4摞共有2个小正方体；
故搭成该几何体的小正方体木块有7块，
故选B．
点评：用到的知识点为：俯视图决定底层立方块的个数，三视图的顺序分别为：主视图，左视图，俯视图
5.B
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】直接应用公式化简可得球的半径扩大的倍数，然后求出体积扩大的倍数．
【解答】解：解：设原球的半径R，
∵球的大圆的面积扩大为原来的2倍，
则半径扩大为原来的倍，
∴体积扩大为原来的2倍．
故选B．
【点评】本题考查球的表面积、体积和球的半径的关系，是基础题．
6.C
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．
【解答】解：根据题意作出图形：
设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．
∵CO1==，
∴OO1==，
∴高SD=2OO1=，
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴S△ABC=，
∴V三棱锥S﹣ABC==．
故选：C．
【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．7.C
考点：棱柱的结构特征．
专题：应用题；空间位置关系与距离．
分析：利用DC1⊥面A1BCD1，可得DC1⊥D1P，A正确
利用平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，得出平面D1A1P⊥平面A1AP，B正确；
当A1P=时，∠APD1为直角角，当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，C错；
将面AA1B与面ABCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值．
解答：解：∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P?面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，A正确
∵平面D1A1P即为平面D1A1BC，平面A1AP 即为平面A1ABB1，切D1A1⊥平面A1ABB1，
∴平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，∴B正确；
当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，∴C错；
将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，
在△D1A1A中，∠D1A1A=135°利用余弦定理解三角形得AD1=，
即AP+PD1≥，
∴D正确．
故选：C．
点评：本题考查正方体的结构特征，空间位置关系的判定，转化的思想
8.B
考点：命题的真假判断与应用．
专题：综合题；运动思想；空间位置关系与距离；简易逻辑．
分析：①取AB的中点M，连接OM，CM，过点O作OQ⊥CM，可得OQ⊥平面ABC，则直线OQ 上除去线段OQ上的点取为D，则OD⊥面ABC，因此存在无数个点D，使OD⊥面ABC，即可判断出才正误；
②以线段AB为边作一个正△DAB，使得点C在△ABD内的射影为△ABD的中心，这样的点D 至少有两个，分别位于平面ABC的两侧，即可判断出正误；
③由已知：可以将此四面体补成一个以OA，OB，OC为邻边的长方体，其对角线的中点为此长方体外接球的球心D且唯一，即可判断出正误；
④取点O关于平面ABC的对称点为D，则四面体ABCD有三个面为直角三角形，此D点唯一，即可判断出正误．
解答：解：①取AB的中点M，连接OM，CM，过点O作OQ⊥CM，可得OQ⊥平面ABC，则直线OQ上除去线段OQ上的点取为D，则OD⊥面ABC，因此存在无数个点D，使OD⊥面ABC；
②以线段AB为边作一个正△DAB，使得点C在△ABD内的射影为△ABD的中心，则四面体ABCD 为正三棱锥，这样的点D至少有两个，分别位于平面ABC的两侧，因此不正确；
③∵OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，∴可以将此四面体补成一个以OA，OB，OC为邻边的长方体，其对角线的中点为此长方体外接球的球心D，满足OD=AD=BD=CD，因此有唯一的一个点D，使OD=AD=BD=CD，故不正确；
④取点O关于平面ABC的对称点为D，则四面体ABCD有三个面为直角三角形，此D点唯一，因此正确．
综上可知：①④正确．
故选：B．
点评：本题考查线面垂直的判定与性质定理、直三棱锥、长方体与外接球的性质、特殊的四面体性质，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题
9.A
考点：球的体积和表面积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：设正方体上底面所在平面截球得小圆M ，可得圆心M 为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R ，根据题意得球心到上底面的距离等于（R ﹣2）cm ，而圆M 的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R 的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积． 解答：解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M ， 则圆心M 为正方体上底面正方形的中心．如图．
设球的半径为R ，根据题意得球心到上底面的距离等于（R ﹣2）cm ， 而圆M 的半径为4，由球的截面圆性质，得R 2=（R ﹣2）2+42， 解出R=5，
∴根据球的体积公式，该球的体积V==
=
．
故选A ．
点评：本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题 10.B
由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个求面积，
221
14132
S πππ=?+???=，故选B .
【考点】旋转体的几何特征，球的表面积. 11.D
【考点】棱柱的结构特征；命题的真假判断与应用． 【专题】计算题；空间位置关系与距离． 【分析】由BD⊥平面ACC 1，知BD⊥CE；
由点C 到直线EF 的距离是定值，点B 到平面CEF 的距离也是定值，知三棱锥B ﹣CEF 的体积为定值；
线段EF在底面上的正投影是线段GH，故△BEF在底面ABCD内的投影是△BGH，由此能导出△BGH的面积是定值；
设平面ABCD与平面DEA1的交线为l，则在平面ABCD内与直线l平行的直线有无数条．【解答】解：∵BD⊥平面ACC1，
∴BD⊥CE，故①正确；
∵点C到直线EF的距离是定值，点B到平面CEF的距离也是定值，
∴三棱锥B﹣CEF的体积为定值，故②正确；
线段EF在底面上的正投影是线段GH，
∴△BEF在底面ABCD内的投影是△BGH，
∵线段EF的长是定值，
∴线段GH是定值，从而△BGH的面积是定值，故③正确；
设平面ABCD与平面DEA1的交线为l，则在平面ABCD内与直线l平行的直线有无数条，故④对．
故选D．
【点评】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，仔细解答，要熟练掌握棱柱的结构特征．
12.B
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】压轴题．
【分析】只有当P移动到正方体中心O时，MN有唯一的最大值，则淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，则淘汰选项D．
【解答】解：设正方体的棱长为1，显然，当P移动到对角线BD1的中点O时，函数
取得唯一最大值，所以排除A、C；
当P在BO上时，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为M1、N1、P1，
则y=MN=M1N1=2BP1=2?xcos∠D1BD=2?是一次函数，所以排除D．
故选B．
【点评】本题考查直线与截面的位置关系、空间想象力及观察能力，同时考查特殊点法、排除法．
13.B
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】设圆锥的底面半径为r，结合圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，求出圆锥和母线，进而根据勾股定理可得圆锥的高．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，
∵它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，
∴圆锥的母线长为3r，
又∵圆锥的表面积为π，
∴πr（r+3r）=π，
解得：r=，l=，
故圆锥的高h==，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征是解答的关键．
14.C
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】常规题型．
【分析】连接C1B，D1A，AC，D1C，将MN平移到D1A，根据异面直线所成角的定义可知∠D1AC 为异面直线AC和MN所成的角，而三角形D1AC为等边三角形，即可求出此角．
【解答】解：连接C1B，D1A，AC，D1C，MN∥C1B∥D1A
∴∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角
而三角形D1AC为等边三角形
∴∠D1AC=60°
故选C．
【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．
15.D
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】A中因为BD∥B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1∥D1A，所以∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD=45°．
【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；
C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；
D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°
故选D
【点评】本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．16.B
考点：棱柱的结构特征．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：根据题意，由正方体的结构特点，可得O是线段A1C的中点，过点O作任一平面α，设A1C与α所成的角为θ，分析可得点A1与C到平面α的距离相等，同理可得B与D1，A与C1，D与B1到平面α的距离相等，则可得集合A中的元素个数最多为4个，即可得答案．
解答：解：根据题意，如图，点O为正方体对角线的交点，则O是线段A1C的中点，
过点O作任一平面α，设A1C与α所成的角为θ，
分析可得点A1与C到平面α的距离相等，均为，
同理B与D1到平面α的距离相等，
A与C1到平面α的距离相等，
D与B1到平面α的距离相等，
则集合A中的元素个数最多为4个；
故选：B．
点评：本题考查正方体的几何结构，注意正方体中心的性质，即体对角线的交点，从而分析得到体对角线的两个端点到平面α的距离相等
17.A
考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：压轴题．
分析：先确定点S到面ABC的距离，再求棱锥的体积即可．
解答：解：∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴△ABC的外接圆的半径
∵点O到面ABC的距离，SC为球O的直径
∴点S到面ABC的距离为
∴棱锥的体积为
故选A．
点评：本题考查棱锥的体积，考查球内角多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．18.A
【考点】棱柱的结构特征．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】先讨论P点与A点重合时，M点的轨迹，再分析把P点从A点向上沿线段AD1移动，在移动过程中M点轨迹，最后结合棱柱的几何特征可得答案．
【解答】解：∵Q点不能超过边界，
若P点与A点重合，
设AB中点E、AD中点F，移动Q点，则此时M点的轨迹为：
以AE、AF为邻边的正方形；
下面把P点从A点向上沿线段AD1移动，
在移动过程中可得M点轨迹为正方形，
…，
最后当P点与D1点重合时，得到最后一个正方形，
故所得几何体为棱柱，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，解答的关键是分析出P点从A点向上沿线段AD1移动，在移动过程中M点轨迹．
19.75
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；方程思想；等体积法；空间位置关系与距离．
【分析】设每分钟滴下k（k∈N*）滴，由圆柱的体积公式求出瓶内液体的体积，再求出k 滴球状液体的体积，得到156分钟所滴液体体积，由体积相等得到k的值．
【解答】解：设每分钟滴下k（k∈N*）滴，
则瓶内液体的体积=156πcm3，
k滴球状液体的体积=mm3=cm3，
∴156π=×156，解得k=75，
故每分钟应滴下75滴．
故答案为：75．
【点评】本题考查简单的数学建模思想方法，解答的关键是对题意的理解，然后正确列出体积相等的关系式，属中档题．
20.45°
【考点】棱锥的结构特征．
【专题】计算题；运动思想；数形结合法；空间位置关系与距离．
【分析】过M做平面PBC的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ，由公式：
cos∠MPB=cos∠MPQ×cos∠QPB，得到cos∠QPB=，从而可得cos∠QPC=，再用公式：cos∠MPC=cos∠MPQ×cos∠QPC，即可求∠MPC．
【解答】解：如图，过M做平面PBC的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ．
∵∠APB=∠APC=90°，∴AP⊥平面PBC，
∵MQ⊥平面PBC，∴AP∥MQ，
∵∠MPA=60°，∴∠MPQ=90°﹣60°=30°．
由公式：cos∠MPB=cos∠MPQ×cos∠QPB，得到cos∠QPB=．
∵∠QPC是∠QPB的余角，∴cos∠QP C=．
再用公式：cos∠MPC=cos∠MPQ×cos∠QPC，得到cos∠MPC=．
∴∠MPC=45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，利用好公式是关键，是中档题．
21.
【考点】球的体积和表面积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由球的表面积是4π，求出球半径为1，由此能求出球的体积．
【解答】解：设球的半径为R，
（数学2必修） 第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A .棱台 B .棱锥 C .棱柱 D .都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A 3 B . 23 C . 33 D . 33．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A 3 B 32 C ．23 D 33 5．在△ABC 中，0 2, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 主视图 左视图 俯视图
顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A B C D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M ，高4M ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M （高不变）；二是高度增加4M (底面直径不变)。 （1） 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； （2） 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； （3） 哪个方案更经济些？ 2．将圆心角为0 120，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积 新课程高中数学训练题组 （数学2必修）第一章 空间几何体 [综合训练B 组] 一、选择题
《空 间 几 何 体 的 表 面 积 和 体 积 一、选择题（每小题 5分共50分） 1 ?已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为 4,体积 为16,则这个球的表面积是（ ） A 16 E. 20 C. 24 D. 32 2、 已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为 V i 和V 2,则V : V 2= （ ） A. 1: 3 B. 1 : 1 C. 2 : 1 D. 3 : 1 3、 一个体积为8cm 3 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 A. 8 cm 2 B ? 12 cm 2 C ? 16 cm 2 D ? 20 cm 2 4?、如右图为一个几何体的三视图，其中府视图为正三角形， AB=2, AA=4,则该几何体的表面 积为（ ） （A ）6+ ,3 （B ）24+ ,3 （C ）24+2 ,.3 （D ）32 A. —R 3 B ? 3 R 3 C ? 四5 R 3 D ? —R 3 24 ~8 24 8 8. 两个球体积之和为 12 n ，且这两个球大圆周长之和为 6 n, 那么这两球半径之差是（ ） 10. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的（5.如果一个水 平放I 原平面图形的面积是 A C B 2 2 6.半径为R 的正圆卷成一个圆锥，侧它视体积为府视 450，腰和上底均为1的等腰梯形, 1 2 ） 那么 7. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 较小底面的半径为（ ） A. 7 E. 6 C. 5 3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84 ，则圆台 D. 3 B . 1 C. 2 D. 3 9. 如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出 种 不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母 A B 、C 、D E 、F 这六个字母，现放成下面三 A 、 B 、 C 对面的字母依次分别为 （ ???) ) 1 . 2 置的图形的斜 是'一个底面
第一章空间几何体 1.1 空间几何体的结构 一、选择题 1、下列各组几何体中是多面体的一组是（） A 三棱柱四棱台球圆锥 B 三棱柱四棱台正方体圆台 C 三棱柱四棱台正方体六棱锥 D 圆锥圆台球半球 2、下列说法正确的是（） A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥 B 有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台 C 有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱 D 棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形 3、下面多面体是五面体的是（） A 三棱锥 B 三棱柱 C 四棱柱 D 五棱锥 4、下列说法错误的是（） A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成 B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成 C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成 D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成 5、下面多面体中有12条棱的是（） A 四棱柱 B 四棱锥 C 五棱锥 D 五棱柱 6、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（） A 1 个 B 2 个 C 3个 D 4个 二、填空题 7、一个棱柱至少有————————个面，面数最少的棱柱有————————个顶点， 有—————————个棱。 8、一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为———————————— 9、把等腰三角形绕底边上的高旋转1800，所得的几何体是—————— 10、水平放置的正方体分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示。 图中是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面， “锦”表示右面，“程”表示下面。 则“祝”“你”“前”分别表示正方体的————— 祝 你前程 似锦
o' x' C A 《空间几何体》单元测试题 一．选择题（共10小题，每小题5分） 1、下列命题正确的是（ ） A 、以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥； B 、以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台； C 、圆柱、圆锥、圆台都有两个底面； D 、圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆半径。 2、圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（ ） A 、π B 、π2 C 、π3 D 、π4 3、关于斜二侧画法，下列说法不正确的是（ ） A 、原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x ’ 轴，长度不变； B 、原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y ’ 轴，长度变为原来的 2 1； C 、在画与直角坐标系xoy 对应的x ‘o ’y ’时， x ’o ’y ’必须是?45 D 、在画直观图时由于选轴的不同，所得的直观图可能不同。 4、一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为?45，腰和上底长均为1的 等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ） A 、2221+ B 、2 2 1+ C 、21 + D 、22+ 5、如图，甲、乙、丙是三个立方体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（ ）. ①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱 A ．④③② B ． ②①③ C ． ①②③ D ． ③②④ 6、如果两个球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积之比为（ ） A 、8:27 B 、2:3 C 、4:9 D 、2:9 7如图是长宽高分别为3、2、1在A 处， C '处有一小虫被蜘蛛网粘住，则蜘蛛沿正 方体表面从A 点爬到点 C '的最短距离为（ ） A 、31+ B 、102+ C 、23 D 、32
空间几何体测试题 （满分100分） 一、选择题（每小题6分，共54分） 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 3.对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ） A ．2倍 B ． 4倍 C ．2 倍 D ．12倍 3．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） 4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 5．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A B 2 C ． D 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 7．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积 分别为1V 和2V ，则12:V V =（ ） A. 1:3 B. 1:1 C. 2:1 D. 3:1 8．如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) A. 8:27 B. 2:3 C. 4:9 D. 2:9 9.圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半，则此截面分圆锥的高为上、下两段的比为 （ ） A ．1:( 2 -1) B ．1:2 C ．1: 2 D ．1:4 二、填空题（每小题5分，共20分） 10.半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为________. 主视图 左视图 俯视图
11．右面三视图所表示的几何体是 ． 12．已知，ABCD 为等腰梯形，两底边为AB,CD 且AB>CD ，绕AB 所在的直线旋转一周所 得的几何体中是由 、 、 的几何体构成的组合体. 13．正方体1111ABCD A BC D - 中， O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为____________ 三、解答题（每小题13分，共26分） 14．将圆心角为0 120，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积 15. （如图）在底半径为2，母线长为4 求圆柱表面积。 正视图 侧视图 俯视图
空间几何体的内切球与外接球问题 1．[2016·全国卷Ⅱ] 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．12π B.32 3 π C ．8π D ．4π [解析]A 因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π. 2．[2016·全国卷Ⅲ] 在封闭的直三棱柱ABC - A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A ．4π B.9π2 C ．6π D.32π 3 [解析]B 当球与三侧面相切时，设球的半径为r 1，∵AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，∴8－r 1＋6－r 1＝10，解得r 1＝2，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为r 2， 则2r 2＝3，即r 2＝32.∴球的最大半径为32，故V 的最大值为43π×????323＝92 π. 3.[2016·郑州模拟] 在平行四边形ABCD 中，∠CBA ＝120°，AD ＝4，对角线BD ＝23，将其沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一球面上，则该球的体积为________． 答案：2053 π；解析：因为∠CBA ＝120°，所以∠DAB ＝60°，在三角形ABD 中，由余弦 定理得(23)2＝42＋AB 2－2×4·AB ·cos 60°，解得AB ＝2，所以AB ⊥BD .折起后平面ABD ⊥平面BCD ，即有AB ⊥平面BCD ，如图所示，可知A ，B ，C ，D 可看作一个长方体中的四个顶点，长方体的体对角线AC 就是四面体ABCD 外接球的直径，易知AC ＝22＋42＝25， 所以球的体积为205 3 π. 4.[2016·山西右玉一中模拟] 球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大 值为( ) A . 3 3 B . 3 C ．2 3 D ．4 选A ；[解析] (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球的对称性可知，当S 在“最高点”，即H 为AB 的中点时，SH 最大，此时棱锥S -ABC 的体积最大． 因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以球的半径r ＝OC ＝23CH ＝23×32×2＝23 3 . 在Rt △SHO 中，OH ＝12OC ＝3 3 ，
第一章《空间几何体》单元测试题 （时间：60分钟，满分：100分）班别座号姓名成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（） A B C D 2、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分 的面积之比为（） A.1：2：3 B.1：3：5 C.1：2：4 D1：3：9 3、棱长都是1的三棱锥的表面积为（） A. 3 B. 23 C. 33 D. 43 4、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2= A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 5、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 6 A.24πcm2，12πcm3 B.15πcm2，12πcm3 C.24πcm2，36πcm3 D.以上都不正确 7、一个球的外切正方体的全面积等于6 cm2，则此球的体积为（） A.3 3 4 cm π B. 3 8 6 cm π C. 3 6 1 cm π D. 3 6 6 cm π 8、一个体积为3 8cm的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 A．2 8cm π B．2 12cm π C．2 16cm π D．2 20cm π 9、一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（） A. 3 π B. 4 π C. 2 π D. π 10、如右图为一个几何体的 三视图，其中府视图为 正三角形，A1B1=2， AA1=4，则该几何体的表面积为 (A)6+3 (B)24+3 (C)24+23 (D)32 A B 1 C 正视图侧视图府视图
第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A B 2 C ． 5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A BC D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长 方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用） ，已建的仓库的 主视图 左视图 俯视图
空间几何体单元测试卷答案 一、选择题 （每小题5分， 共30分） 1. D 2. B 3. C 4. B 5. C 6. C 、 填空题 （每小题5分， 共 20 分) 7. 球 8. R 9. . 2 10. 50cm 2 三、 解答题 （共3小题，共 50分） 11. 解：（1）设正四棱柱的底面边长为 a ，高为h , 由题意 2a 2 + h 2= 81 ① ............................................................................ 2 分 2a 2 + 4ah = 144 即 a 2 + 2ah = 72 ② ........................ 4 分 ①X 8 —②X 9 得 7a 2— 18ah + 8h 2= 0 即（7a — 4h ） （ a -2h ）= 0, ......... 6 分 因此7a — 4h = 0或a = 2h ,由此可见由①②构成方程组有两组满足条件的解，故 满足这些条件的正四棱柱有 2个. .................................. 8分 （2）由（1）得，正四棱柱的底面边长 a 和高h 满足7a = 4h 或a = 2h , 当7a = 4h 时，代入①可求得 a = 4, h=7;此时正四棱柱的体积为 V=a 2h=42X 7=112(cm 3). 当a = 2h 时，同理可得 r 30 360 … 八 当x = cm 时，S 取到最大值 cm 2. ............................................... 16分 7 7 2 3 1 13.解：(1)依题意，可得—r - 108 ① ................................ 3分 3 6 且-r 3 r 2h 108 ② ................... 6分 3 3 r 27 ,.?? r 3 (cm)；代入②可求得 h 10 (cm).…9分 （2）若将试管垂直放置，并注水至水面离管口 4cm 处，此时水的体积为 2 3 2 2 2 12分 a = 6, h=3;此时正四棱柱的体积为 V=a 2h=62X 3=108(cm 3). 12.解：如图SAB 是圆锥的轴截面，其中 SO = 12, OB = 5. 设圆 锥内接圆柱底面半径为 0Q = 乂，由厶SO 1CSOB , SO 1 _ SO O 1C OB ,SO 1 = SO OB OO 1 = SO — SO 1= 12—玛, 5 则圆柱的表面积 19分 S = S 侧+ 2S 底=2 n x + 2 n x 2 = 2 n 7 2 12x — X 5 由①得 16分
2017年高考数学空间几何高考真题 ?选择题（共9小题） 1 ?如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点，M , N, Q为所在 棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） 2. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为（） A. n B. C. D. 3. 在正方体ABCD- A i B i CD i中，E为棱CD的中点，贝U( ) A. A i E± DC i B. A i E丄BD C A i E丄BG D. A i E丄AC 4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ A. 60 B. 30 C. 20 D . i0 侧〔左）视圄 C
5?某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）, 则该几何体的体积（单位：cm 2） 是（ ） 6?如图，已知正四面体 D -ABC （所有棱长均相等的三棱锥）,P 、Q 、R 分别为 AB 、BC CA 上的点，AP=PB ==2,分别记二面角 D- PR- Q , D- PQ- R, D - A .产 aV B B. aV 产 B C ? a< Y D. p< 产 a 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图, 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A . 90 n B. 63 n C. 42 n D . 36 n 1 .某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 D . +3 +1
4 角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中 有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A . 10 B. 12 C. 14 D . 16 2. 已知直三棱柱 ABC- A 1B 1C 1中，/ ABC=120, AB=2, BC=CC=1，则异面直线 AB 1与BG 所成角的余弦值为（ ） A . B. C. D. 二.填空题（共5小题） 8. 已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球0的球面上，SC 是球0的直径.若平 面SCAL 平面SCB SA=AC SB=BC 三棱锥S-ABC 的体积为9,则球0的表面 积为 _______ . 9. 长方体的长、宽、高分别为3, 2，1，其顶点都在球0的球面上，则球0的 表面积为 _______ . 10. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18， 则这个球的体积为 ________ . 11. 由一个长方体和两个亍圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的
人教A必修2第一章《空间几何体》单元测试题 （时间：60分钟，满分：100分） 班别座号姓名成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（） A B C D 2、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分 的面积之比为（） A.1：2：3 B.1：3：5 C.1：2：4 D1：3：9 3、棱长都是1的三棱锥的表面积为（） A. 3 B. 23 C. 33 D. 43 4、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2= A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 5、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 6、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体的表面积及体积为： A.24πcm2，12πcm3 B.15πcm2，12πcm3 C.24πcm2，36πcm3 D.以上都不正确 7、一个球的外切正方体的全面积等于6 cm2，则此球的体积为（） A.3 3 4 cm π B. 3 8 6 cm π C. 3 6 1 cm π D. 3 6 6 cm π 8、一个体积为3 8cm的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 A．2 8cm π B．2 12cm π C．2 16cm π D．2 20cm π 9、一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（） A. 3 π B. 4 π C. 2 π D. 10、如右图为一个几何体的 三视图，其中府视图为 正三角形，A1B1=2， AA1=4，则该几何体的表面积为 (A)6+3 (B)24+3 (C)24+23 (D)32 选择题答题表 A B 1 正视图侧视图府视图
(人教 A版《必修二》)2006年高考数学章节分类试题 第一章《空间几何体》 一、选择题 【06安徽?理】 体积为 表面积为2、、3的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球 的 A. B . 1 2 C. D .辽 3333 【06安徽?文】表面积为2.3的正八面体的各个顶点都在同一个球面上, 则此球的 体积为 A . B . 1 —Jt 2 C.- D .辽 3333 1 . 2. 如图，在等腰梯形 中点，将△ ADE与厶BEC分别沿 P—DCE的外接球的体积为 3.【06山东?理】ABCD 中，AB=2DC=2，/ DAB=60°, E 为AB 的 EC向上折起，使A、B重合于点P,则三棱锥 ED、 473 兀 (A) 27 (C)丘 8 (D) ^ 24 4. 【06湖南?理】棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上 截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 ,若过该球球心的一个 、.2 A. - 2 B. 2 C. 2 5.【06山东?文】已知集合A亠5, B 1, C =日,3,41，从这三个集合中各取一个元 素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 (A) 33 6.【06山东?文】 (B) 34 (C) 35 正方体的内切球与其外接球的体积之比为 (D) 36 (A) 1： .3 (B) 1：3 (C) 1:3,3 (D) 1 : 9 7.【06四川?文】 个大圆上，点 (A) 4 二 如图，正四棱锥P—ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一P在 球面上，如果V P丄BC D = 16，则球O的表面积为 3 (C) 12 二 (B) 8 二(D) 16二
一、知识回顾 （1）棱柱、棱锥、棱台的表面积= 侧面积+ ______________； （2）圆柱：r为底面半径，l为母线长 侧面积为_______________；表面积为_______________. 圆锥：r为底面半径，l为母线长 侧面积为_______________；表面积为_______________. 圆台：r’、r分别为上、下底面半径，l为母线长 侧面积为_______________；表面积为_______________. （3）柱体体积公式：________________________；（S为底面积，h为高）锥体体积公式：________________________；（S为底面积，h为高）台体体积公式：________________________； （S’、S分别为上、下底面面积，h为高） 二、例题讲解 题1：如图(1)所示，直角梯形ABCD绕着它的底边AB所在的直线旋转一周所得的几何体的表面积是______________；体积是______________。 8
图（1） 题2：若一个正三棱柱的三视图如图(2)所示， 求这个正三棱柱的表面积与体积 图（2） 题3：如图(3)所示，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且ADE ?，BCF ?均为正三角形，EF//AB ，EF=2，则该多面体的体积为（ ） A ．32 B ．33 C ．34 D ．2 3 E A B D C F 左视图 俯视图 主视图
图（3） 1、若圆柱的侧面积展开图是长为6cm ，宽为4cm 的矩形，则该圆柱的体积为 2、如图(4)，在正方体1111D C B A ABCD -中， 棱长为2，E 为11B A 的中点，则 三棱锥11D AB E -的体积是____________. 图（4） C B A D C 1 B 1 E A 1 D 1
高中数学 -《空间几何体》单元测试题 参考公式： 球的体积公式34 ,3 V R π= 球，其中R 是球半径． 锥体的体积公式V 锥体 1 3Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 台体的体积公式V 台体1 ()3 h S SS S ''=++，其中,S S '分别是台体上、下底面的面积，h 是 台体的高． 一、选择题（每小题5分，共60分）： 1.对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ） （A ）2倍 （B ） 1 2 倍 （C ）2倍 （D ）2倍 2.下面哪一个不是正方体的平面展开图（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 3.已知棱台的体积是76cm 3，高是6cm ，一个底面面积是18cm 2，则这个棱台的另一个底面面积为（ ） （A ）8cm 2 （B ）7cm 2 （C ）6cm 2 （D ）5cm 2 4.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ） 5.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后剩下的几何体的体积是（ ） （A ） 67 （B ）56 （C ）45 （D ）2 3 6.一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的2倍，圆锥的高与底面半径 之比为（ ） （A ）4：3 （B ）1：1 （C ）2：1 （D ）1：2 7.圆柱的侧面展开图是矩形ABCD,母线为AD ，对角线AC=8cm ，AB 与AC 成角为30o ，则圆柱的表面积为（ ） E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 图1 图2 B E A ． B E B ． B E C ． B E D ．
) C A B D ) ( ) 5 6 1 C B D 6 ) A i C B D 4 2 3: 9 A. 4 () .6 6 A.— 3 班别 第一章《空间几何体》单元测试题 （时间：60分钟，满分：100分） 座号 姓名 成绩 2、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分 3、棱长都是1的三棱锥的表面积为（ A. 1 : 3 B. 1 : 1 C. 2 : 1 D. 3 : 1 A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 选择题 1、图（1） （本大题共10小题， 每小题5分, 是由哪个平面图形旋转得到的（ 的面积之比为（ A. 、3 B. 2 、3 C. 3 .3 D. 4 3 4、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为 V 和 V 2,贝U V 1： V 2= 5、如果两个球的体积之比为 8:27,那么两个球的表面积之比为 6、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位 cm ）,则该几何体的表面积及体积为: 共 50 A.1 : 2: 3 B.1 : 3: 52: 4 D1 10、如右图为一个几何体的 府视图 8、 一个体积为8cm 3 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 A . 8 cm 2 B . 12 cm 2 C . 16 cm 2 D . 20 cm 2 9、 一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（ C 1 B A C B 正视图 侧视图 .3 (D)32 2 3 n cm , 12 n cm D.以上都不正确 6 cm 2 ,则此球的体积为 三视图，其中府视图为 正三角形，A 1B 1=2, AA 1=4,则该几何体的表面积为 (A)6+ , 3 (B)24+ , 3 (C)24+2 7、一个球的外切正方体的全面积等于 3 cm 丄cm 3 3 cm 3 cm B.15 2 A.24 n cm, 3 12 n cm 2 C.24 n cm, 3 36 n cm
空间几何体 一、空间几何体结构 1.空间结合体：如果我们只考虑物体占用空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形，就叫做空间几何体。 2.棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的图形叫做棱柱。（图如下） 底面：棱柱中，两个相互平行的面，叫做棱柱的底面，简称底。底面是几边形就叫做几棱柱。 侧面：棱柱中除底面的各个面. 侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。 顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 棱柱的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。如：六棱柱表示为ABCDEF-A’B’C’D’E’F’ 3.棱锥的结构特征：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共定点，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. （图如下） 底面：棱锥中的多边形面叫做棱锥的底面或底。 侧面：有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面 顶点：各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 棱锥可以表示为：棱锥S-ABCD 底面是三角形，四边形，五边形----的棱锥分别叫三棱锥，四棱锥，五棱锥--- 4.圆柱的结构特征:以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴。 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面。 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 圆柱用表示它的轴的字母表示.如：圆柱O’O 注：棱柱与圆柱统称为柱体 5.圆锥的结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 两余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 轴：作为旋转轴的直角边叫做圆锥的轴。 底面：另外一条直角边旋转形成的圆面叫做圆锥的底面。 侧面：直角三角形斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 顶点：作为旋转轴的直角边与斜边的交点 母线：无论旋转到什么位置，直角三角形的斜边叫做圆锥的母线。 圆锥可以用它的轴来表示。如：圆锥SO 注：棱锥与圆锥统称为锥体 6.棱台和圆台的结构特征 （1）棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台. 下底面和上底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。 侧面：原棱锥的侧面也叫做棱台的侧面（截后剩余部分）。 侧棱：原棱锥的侧棱也叫棱台的侧棱（截后剩余部分）。 顶点：上底面和侧面，下底面和侧面的公共点叫做棱台的顶点。
人教A 必修2第一章空间几何体综合练习卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分. 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．不共面的四点可以确定平面的个数为 （ ） A ． 2个 B ． 3个 C ． 4个 D ．无法确定 2．利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形； ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的是 （ ） A ．①② B ． ① C ．③④ D ． ①②③④ 3．棱台上下底面面积分别为16和81,有一平行于底面的截面面积为36,则截面戴的两棱台高 的比为 （ ） A ．1∶1 B ．1∶1 C ．2∶3 D ．3∶4 4．若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是 （ ） A ．正方体 B ．正四棱锥 C ．长方体 D ．直平行六面体 5．已知直线a 、b 与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是 （ ） A ．a ⊥α且a ⊥β B ．α⊥γ且β⊥γ C ．a ?α，b ?β，a ∥b D ．a ?α，b ?α，a ∥β，b ∥β 6．如图所示，用符号语言可表达为（ ） A ．α∩β＝m ，n ?α，m ∩n ＝A B ．α∩β＝m ，n ∈α，m ∩n ＝A C ．α∩β＝m ，n ?α，A ?m ，A ? n D ．α∩β＝m ，n ∈α，A ∈m ，A ∈ n 7．下列四个说法 ①a //α，b ?α,则a // b ②a ∩α＝P ，b ?α，则a 与b 不平行 ③a ?α，则a //α ④a //α，b //α，则a // b 其中错误的说法的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8．正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为 （ ） A ．279cm 2 B ．79cm 2 C ．32 3cm 2 D ．32cm 2 9．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧 面，则两圆锥体积之比为 （ ） A ．3∶4 B ．9∶16 C ．27∶64 D ．都不对 10．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =a ，则三棱锥D —ABC 的体积为 （ ）
高中数学必修2知识点总结01 空间几何体几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科，而空间几何体是几何学的重要组成部分，它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用。教材要求：从空间几何体的整体观察入手，研究空间几何体的结构特征、三视图和直观图，了解简单几何体的表面积与体积的计算方法。 一、空间几何体的结构特征 课标要求： 1．利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构； 2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图； 3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式； 要点精讲： 1．柱、锥、台、球的结构特征 由若干个平面多边形围成的几何体称之为多面体。围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。 把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体称之为旋转体，其中定直线称为旋转体的轴。 （1）柱 棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 注：相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：
o' y' x' C' B' A' D' 高一数学《空间几何体》单元测试题可能用到的公式： 1、 1 () 3 V S S S S h S S h ''' =++ 台体，其中、分别为上、下底面面积，为台体的高．2、() S r r l π' =+ 圆台侧 一、选择题（共10小题，每小题5分） 1、下列命题正确的是（） A、以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥； B、以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台； C、圆柱、圆锥、圆台都有两个底面； D、圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆半径。 2、圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（） A、π B、π2 C、π3 D、π4 3、关于斜二侧画法，下列说法不正确的是（） A、原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x’轴，长度不变； B、原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y’轴，长度变为原来的 2 1 ； C、在画与直角坐标系xoy对应的''' x o y时，''' x o y ∠’必须是? 45 D、在画直观图时由于选轴的不同，所得的直观图可能不同。 4、一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为? 45，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（） A、 2 2 2 1 +B、 2 2 1+ C、2 1+D、2 2+ 5、如图，甲、乙、丙是三个立方体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（）. ①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱 A．④③② B．②①③ C．①②③ D．③②④ 6、如果两个球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积之比为（） A、8:27 B、2:3 C、4:9 D、 2:9
第一章空间几何体一、选择题 1．下图是由哪个平面图形旋转得到的（） A C D 2．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（） A. 1:2:3 B. 1:3:5 C. 1:2:4 D. 1:3:9 3．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（） A. 2 3 B. 7 6 C. 4 5 D. 5 6 4．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为 1 V和 2 V，则 12 : V V=（）A. 1:3 B. 1:1 C. 2:1 D. 3:1 5．如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) A. 8:27 B. 2:3 C. 4:9 D. 2:9 6．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体的表面积及体积为：A. 2 24cm π，2 12cm π B. 2 15cm π，2 12cm π C. 2 24cm π，2 36cm π D. 以上都不正确 二、填空题 1. 若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是0 60，则圆锥的体积是_______。 2.一个半球的全面积为Q，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是. 3．球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的_________ 倍. 4．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米.
5．已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为___________。 三、解答题 1. （如图）在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积 2．如图，在四边形ABCD 中， 090DAB ∠=，0135ADC ∠=，5AB =，22CD =，2AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积. 参考答案 一、选择题 1.A 几何体是圆台上加了个圆锥，分别由直角梯形和直角三角形旋转而得 2.B 从此圆锥可以看出三个圆锥，123123::1:2:3,::1:2:3,r r r l l l == 12312132::1:4:9,:():()1:3:5S S S S S S S S =--= 3.D 111115818322226V V -=-????? =正方体三棱锥 4.D 121:():()3:13 V V Sh Sh == 5.C 121212:8:27,:2:3,:4:9V V r r S S === 6.A 此几何体是个圆锥，23,5,4,33524r l h S πππ====?+??=表面 2134123 V ππ=??=