!
1.设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S4=4S2,a2n=2a n+1.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设数列{b n}的前n项和为T n且(λ为常数).令c n=b2n(n∈N*)求数列
{c n}的前n项和R n.
【解答】解:(1)设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由a2n=2a n+1,取n=1,得a2=2a1+1,即a1﹣d+1=0①
再由S4=4S2,得,即d=2a1②
联立①、②得a1=1,d=2.
所以a n=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1;
(2)把a n=2n﹣1代入,得,则.
】
所以b1=T1=λ﹣1,
当n≥2时,=.
所以,.
R n=c1+c2+…+c n=③
④
③﹣④得:=
所以;
所以数列{c n}的前n项和.
)
2.等差数列{a n}中,a2=4,a4+a7=15.
(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;
(Ⅱ)设b n=2+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.
【解答】解:(Ⅰ)设公差为d,则,
解得,
所以a n=3+(n﹣1)=n+2;
(Ⅱ)b n=2+n=2n+n,
(
所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+…+(210+10)
=(2+22+...+210)+(1+2+ (10)
=+=2101.
3.已知数列{log2(a n﹣1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9.
(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;
(Ⅱ)证明++…+<1.
【解答】(I)解:设等差数列{log2(a n﹣1)}的公差为d.
《
由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28,即d=1.
所以log2(a n﹣1)=1+(n﹣1)×1=n,即a n=2n+1.
(II)证明:因为==,
所以++…+=+++…+==1﹣<1,
即得证.
4.已知{a n}是正数组成的数列,a1=1,且点(,a n+1)(n∈N*)在函数y=x2+1的图象上.
(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;
!
(Ⅱ)若列数{b n}满足b1=1,b n+1=b n+2an,求证:b n?b n+2<b n+12.
【解答】解:解法一:
(Ⅰ)由已知得a n+1=a n+1、即a n+1﹣a n=1,又a1=1,
所以数列{a n}是以1为首项,公差为1的等差数列.
故a n=1+(n﹣1)×1=n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:a n=n从而b n+1﹣b n=2n.
b n=(b n﹣b n﹣1)+(b n﹣1﹣b n﹣2)+…+(b2﹣b1)+b1
=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1
。
=
∵b n?b n+2﹣b n+12=(2n﹣1)(2n+2﹣1)﹣(2n+1﹣1)2
=(22n+2﹣2n﹣2n+2+1)﹣(22n+2﹣2?2n+1+1)
=﹣2n<0
∴b n?b n+2<b n+12
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)∵b2=1
>
b n?b n+2﹣b n+12=(b n+1﹣2n)(b n+1+2n+1)﹣b n+12=2n+1?bn+1﹣2n?bn+1﹣2n?2n+1
=2n(b n+1﹣2n+1)
=2n(b n+2n﹣2n+1)
=2n(b n﹣2n)
=…
=2n(b1﹣2)
=﹣2n<0
∴b n?b n+2<b n+12
$
5.已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4﹣a3=2
(1)求{a n}的通项公式;
(2)设等比数列{b n}满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列{a n}的第几项相等【解答】解:(I)设等差数列{a n}的公差为d.
∵a4﹣a3=2,所以d=2
∵a1+a2=10,所以2a1+d=10
∴a1=4,
/
∴a n=4+2(n﹣1)=2n+2(n=1,2,…)
(II)设等比数列{b n}的公比为q,
∵b2=a3=8,b3=a7=16,
∴
∴q=2,b1=4
∴=128,而128=2n+2
∴n=63
∴b6与数列{a n}中的第63项相等
…
6.设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a5+a13=34,S3=9.
(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和公式;
(2)设数列{b n}的通项公式为,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)设等差数列{a n}的公差为d.由已知得
即解得.
故a n=2n﹣1,S n=n2
(2)由(1)知.要使b1,b2,b m成等差数列,必须2b2=b1+b m,
—
即,(8分).
移项得:=﹣=,
整理得,
因为m,t为正整数,所以t只能取2,3,5.
当t=2时,m=7;当t=3时,m=5;当t=5时,m=4.
故存在正整数t,使得b1,b2,b m成等差数列.
7.设{a n}是等差数列,b n=()an.已知b1+b2+b3=,b1b2b3=.求等差数列的通项a n.
$
【解答】解:设等差数列{a n}的公差为d,则a n=a1+(n﹣1)d.
∴
b1b3=?==b22.
由b1b2b3=,得b23=,
解得b2=.
代入已知条件
整理得
解这个方程组得b1=2,b3=或b1=,b3=2
:
∴a1=﹣1,d=2或a1=3,d=﹣2.
所以,当a1=﹣1,d=2时
a n=a1+(n﹣1)d=2n﹣3.
当a1=3,d=﹣2时
a n=a1+(n﹣1)d=5﹣2n.
8.已知等差数列{a n}的公差大于0,且a3,a5是方程x2﹣14x+45=0的两根,数列{b n}的前n 项的和为S n,且S n=1﹣
(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;
@
(2)记c n=a n b n,求证c n+1≤c n.
【解答】解:(1)∵a3,a5是方程x2﹣14x+45=0的两根,且数列{a n}的公差d>0,
∴a3=5,a5=9,公差
∴a n=a5+(n﹣5)d=2n﹣1.
又当n=1时,有b1=S1=1﹣
当
∴数列{b n}是等比数列,
∴
^
(2)由(Ⅰ)知,
∴
∴c n+1≤c n.
9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,S5=35,a5和a7的等差中项为13.
(Ⅰ)求a n及S n;
(Ⅱ)令(n∈N﹡),求数列{b n}的前n项和T n.
【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d,
|
因为S5=5a3=35,a5+a7=26,
所以,…(2分)
解得a1=3,d=2,…(4分)
所以a n=3+2(n﹣1)=2n+1;
S n=3n+×2=n2+2n.…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a n=2n+1,
所以b n==…(8分)
=,…(10分)
《
所以T n=.…(12分)
10.已知等差数列{a n}是递增数列,且满足a4?a7=15,a3+a8=8.
(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;
(Ⅱ)令b n=(n≥2),b1=,求数列{b n}的前n项和S n.
【解答】解:(1)根据题意:a3+a8=8=a4+a7,a4?a7=15,知:a4,a7是方程x2﹣8x+15=0的两根,且a4<a7
解得a4=3,a7=5,设数列{a n}的公差为d
由.
'
故等差数列{a n}的通项公式为:
(2)
=
又
∴=
11.设f(x)=x3,等差数列{a n}中a3=7,a1+a2+a3=12,记S n=,令b n=a n S n,数列的前n项和为T n.
(Ⅰ)求{a n}的通项公式和S n;
(Ⅱ)求证:;
<
(Ⅲ)是否存在正整数m,n,且1<m<n,使得T1,T m,T n成等比数列若存在,求出m,n 的值,若不存在,说明理由.
【解答】解:(Ⅰ)设数列{a n}的公差为d,由a3=a1+2d=7,a1+a2+a3=3a1+3d=12.
解得a1=1,d=3∴a n=3n﹣2
∵f(x)=x3∴S n==a n+1=3n+1.
(Ⅱ)b n=a n S n=(3n﹣2)(3n+1)
∴∴
(Ⅲ)由(2)知,∴,∵T1,T m,T n成等比数列.∴即
…
当m=1时,7=,n=1,不合题意;当m=2时,=,n=16,符合题意;
当m=3时,=,n无正整数解;当m=4时,=,n无正整数解;
当m=5时,=,n无正整数解;当m=6时,=,n无正整数解;
当m≥7时,m2﹣6m﹣1=(m﹣3)2﹣10>0,则,而,
所以,此时不存在正整数m,n,且1<m<n,使得T1,T m,T n成等比数列.
综上,存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得T1,T m,T n成等比数列.
12.已知等差数列{a n}的前n项和为S n=pn2﹣2n+q(p,q∈R),n∈N+.
)
(Ⅰ)求的q值;
(Ⅱ)若a1与a5的等差中项为18,b n满足a n=2log2b n,求数列{b n}的前n和T n.
【解答】解:(Ⅰ)当n=1时,a1=S1=p﹣2+q
当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=pn2﹣2n+q﹣p(n﹣1)2+2(n﹣1)﹣q=2pn﹣p﹣2
∵{a n}是等差数列,a1符合n≥2时,a n的形式,
∴p﹣2+q=2p﹣p﹣2,
∴q=0
(Ⅱ)∵,由题意得a3=18
[
又a3=6p﹣p﹣2,∴6p﹣p﹣2=18,解得p=4
∴a n=8n﹣6
由a n=2log2b n,得b n=24n﹣3.
∴,即{b n}是首项为2,公比为16的等比数列
∴数列{b n}的前n项和.
13.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足:a2+a4=14,S7=70.
(Ⅰ)求数列a n的通项公式;
{
(Ⅱ)设b n=,数列b n的最小项是第几项,并求出该项的值.
【解答】解:(I)设公差为d,则有…(2分)
解得以a n=3n﹣2.…(4分)
(II)…(6分)
所以=﹣1…(10分)
当且仅当,即n=4时取等号,
故数列{b n}的最小项是第4项,该项的值为23.…(12分)
—
14.己知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12﹣a n+1a n﹣2a n2=0(n∈N*),且a3+2是a2,a4的等差中项.
(1)求数列{a n}的通项公式a n;
(2)若b n=a n a n,S n=b1+b2+…+b n,求S n+n?2n+1>50成立的正整数n的最小值.
【解答】解:(Ⅰ)∵a n+12﹣a n+1a n﹣2a n2=0,∴(a n+1+a n)(a n+1﹣2a n)=0,
∵数列{a n}的各项均为正数,
∴a n+1+a n>0,
∴a n+1﹣2a n=0,
即a n+1=2a n,所以数列{a n}是以2为公比的等比数列.
《
∵a3+2是a2,a4的等差中项,
∴a2+a4=2a3+4,
∴2a1+8a1=8a1+4,
∴a1=2,
∴数列{a n}的通项公式a n=2n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)及b n=得,b n=﹣n?2n,
∵S n=b1+b2++b n,
∴S n=﹣2﹣2?22﹣3?23﹣4?24﹣﹣n?2n①
∴2S n=﹣22﹣2?23﹣3?24﹣4?25﹣﹣(n﹣1)?2n﹣n?2n+1②
①﹣②得,S n=2+22+23+24+25++2n﹣n?2n+1
=,
要使S n+n?2n+1>50成立,只需2n+1﹣2>50成立,即2n+1>52,
∴使S n+n?2n+1>50成立的正整数n的最小值为5.
15.设数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a n+1=2S n+1,数列{b n}满足a1=b1,点P(b n,b n+1)在直线x﹣y+2=0上,n∈N*.
(Ⅰ)求数列{a n},{b n}的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列{c n}的前n项和T n.
【解答】解:(Ⅰ)由a n+1=2S n+1可得a n=2S n﹣1+1(n≥2),
两式相减得a n+1﹣a n=2a n,
a n+1=3a n(n≥2).
又a2=2S1+1=3,
所以a2=3a1.
故{a n}是首项为1,公比为3的等比数列.
所以a n=3n﹣1.
由点P(b n,b n+1)在直线x﹣y+2=0上,所以b n+1﹣b n=2.
则数列{b n}是首项为1,公差为2的等差数列.
则b n=1+(n﹣1)?2=2n﹣1
(Ⅱ)因为,所以.
则,
两式相减得:.
所以=.