四边形的定义
由不在同一直线上四条线段依次首尾相接围成的封闭的立体图形叫四边形
平行四边形的性质和判定
1. 定义: 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.性质:
（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
（简述为“平行四边形的对边相等”）
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
（简述为“平行四边形的对角相等”）
（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补
（简述为“平行四边形的邻角互补”）
（4）夹在两条平行线间的平行线段相等。
（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
（简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”）
（6）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
3.判定：
（1）如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”）
（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”）
（3）如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）
（4）如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”
（5）如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”）
矩形的性质和判定
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
性质①四个角都是直角
②矩形的对角线相等.
注意：矩形具有平行四边形的一切性质.
判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形.
菱形的性质和判定
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
性质：①菱形的四条边都相等；
②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
注意：菱形也具有平行四边形的一切性质.
判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四条边都相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形
(4).有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
正方形的性质和判定
定义：有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形.
性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
判定：因为正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，所以我们判定正方形有三个途径
①有一组邻边相等的矩形是正方形
②有一个角是直角的菱形是正方形
③两条对角线相等，且互相垂直平分的四边形
④两条对角线相等，且互相垂直的平行四边形
梯形及特殊梯形的定义
梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.（一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形.）
等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.
直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.
等腰梯形的性质
1、等腰梯形两腰相等、两底平行；
2、等腰梯形在同一底上的两个角相等；
3、等腰梯形的对角线相等；
4、等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴.
等腰梯形的判定
1、两腰相等的梯形是等腰梯形；
2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
3、对角线相等的梯形是等腰梯形.
四边形的性质 知识要点归纳： 平行四边形： 1、定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。 2、表示方法：若四边形ABCD是，平行四边，则记作“ ABCD ”,读作平行四边形ABCD。 3、平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线 4、平行四边形相对的边称为对边，相对的角称为对角 5、平行四边形的性质： （1）平行四边形两组对边分别平行。 （2）平行四边形两组对边分别相等。 （3）平行四边形两组对角分别相等。 （4）平行四边形的对角线互相平分。 6、平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。 7、平行四边形的判别方法： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）两条对角线相互平分的四边形是平行四边形。 （3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 菱形： 1、定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2、性质:具有平行四边形的一切性质；菱形的四边形相等；菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形。 菱形的判别方法： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）对角线互相垂直的四边形是菱形。 （3）四条边都相等的四边形是菱形。 矩形： 1、定义：有一个是直角的平行四边形叫做矩形。 2、性质：矩形具有平行四边形的一切性质；矩形的对角线相等；矩形的四个角都是直角；矩形是轴对称图形，有两条对称轴。 3、矩形的判别方法： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线相等的平行四边形是矩形。 正方形： 1、定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 2、正方形性质： （1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质； （2）边----四边相等、邻边垂直、对边平行。
平行四边形 一、平行四边形 1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2.平行四边形的判定定理： （1）判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （3）判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （4）判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （5）判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 3.平行四边形的性质： （1）平行四边形的邻角互补，对角相等。 （2）平行四边形的对边平行且相等。 （3）夹在两条平行线间的平行线段相等。 （4）平行四边形的对角线互相平分。 （5）平行四边形是中心对称图形。 4.平行四边形的面积： 面积=底边长×高= ah（a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离。） 二、矩形 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。 2.矩形的判定定理： （1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。 （2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。 （3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 3.矩形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质。 （2）矩形的四个角都是直角。 （3）矩形的对角线相等。 （4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。 4.矩形的面积： 矩形的面积=长×宽 三、菱形 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.菱形的判定定理： （1）判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）判定定理（1）：四边都相等的四边形是菱形。 （3）判定定理（2）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3.菱形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质。 （2）菱形的四条边都相等。 （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 （4）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。
平行四边形定义及性质教学设计
合作探究平行四边形定义及性质 [指导思想与理论依据] 杰瑞.布劳菲（著）张铁道（译）教学的基本策略文中认为，学生们以相互结对或结成小组的形式进行合作学习，有利于提高理解能力，发展新的技能．研究表明，采用学生结对或结成小组的形式，围绕学习活动、作业进行合作性学习，往往能取得事半功倍的学习效果．合作学习可以促进学生的情感性、社会发展性，唤起他们对学习科目的兴趣和重视，促进不同性别、种族及在学业成就水平及其他方面具有不同特点的同学相互之间的积极态度与社会交往． 而本节课中，对平行四边形的定义及性质的判定过程中，不同的学生会有不同的方法，通过合作探究的方式，学生们可以达到互相补充、互相学习的目的． [教学背景分析] 一．学生认知基础 在知识方面，八年级学生，对于“空间与图形”领域的学习已经具备了一定的基础．与本节相关的知识，学生前面已经学习了平行线的性质与判定，三角形相关知识，全等三角形等，已经具备了一定的识图能力和抽象思维能力及逻辑推理能力． 我的授课班级属于年级的中上等水平，对于平行线的性质和全等三角形的掌握情况较好，因此，课堂上对于平行四边形概念和相关性质的探究，会进行的比较顺利．但学生在学习三角形的有关性质时，体现出即使有了性质，还是更习惯于用全等三角形的知识去判断边和角的关系的特点，因此，在本节的教学中，一方面要强化学生的转化思想，另一方面，也要引导学生用新的方法解决问题，体会解决问题策略的多样性及共通性． 在授课方式方面，我在平时授课过程中某些知识点上会进行适当的拓展．学生的思维比较活跃，对于一些开放性问题有较高的兴趣．但在合作学习方面，平时主要是附近几个同学进行讨论，而没有按照学生的特点进行分组，这是本次的一个新尝试． 二．教学内容 1．知识方面： 平行四边形是最基本的几何图形，也是“空间与图形”领域中研究的主要
合作探究平行四边形定义及性质 [指导思想与理论依据] 杰瑞.布劳菲（著）张铁道（译）教学的基本策略文中认为，学生们以相互结对或结成小组的形式进行合作学习，有利于提高理解能力，发展新的技能．研究表明，采用学生结对或结成小组的形式，围绕学习活动、作业进行合作性学习，往往能取得事半功倍的学习效果．合作学习可以促进学生的情感性、社会发展性，唤起他们对学习科目的兴趣和重视，促进不同性别、种族及在学业成就水平及其他方面具有不同特点的同学相互之间的积极态度与社会交往． 而本节课中，对平行四边形的定义及性质的判定过程中，不同的学生会有不同的方法，通过合作探究的方式，学生们可以达到互相补充、互相学习的目的． [教学背景分析] 一．学生认知基础 在知识方面，八年级学生，对于“空间与图形”领域的学习已经具备了一定的基础．与本节相关的知识，学生前面已经学习了平行线的性质与判定，三角形相关知识，全等三角形等，已经具备了一定的识图能力和抽象思维能力及逻辑推理能力． 我的授课班级属于年级的中上等水平，对于平行线的性质和全等三角形的掌握情况较好，因此，课堂上对于平行四边形概念和相关性质的探究，会进行的比较顺利．但学生在学习三角形的有关性质时，体现出即使有了性质，还是更习惯于用全等三角形的知识去判断边和角的关系的特点，因此，在本节的教学中，一方面要强化学生的转化思想，另一方面，也要引导学生用新的方法解决问题，体会解决问题策略的多样性及共通性． 在授课方式方面，我在平时授课过程中某些知识点上会进行适当的拓展．学生的思维比较活跃，对于一些开放性问题有较高的兴趣．但在合作学习方面，平时主要是附近几个同学进行讨论，而没有按照学生的特点进行分组，这是本次的一个新尝试． 二．教学内容 1．知识方面： 平行四边形是最基本的几何图形，也是“空间与图形”领域中研究的主要对象之一，尤其是特殊平行四边形在生活、生产各领域中有着十分广泛的实际应用．
29. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为11(,)x y ，点Q 的坐标为22(,)x y ，且12x x ≠，12y y ≠，若P ，Q 为某正方形的两个顶点，且该正方形的边均与某条坐标轴平行（含重合），则称P ，Q 互为“正方形点”（即点P 是点Q 的“正方形点”，点Q 也是点P 的“正方形点”）．下图是点P ，Q 互为“正方形点”的示意图. （1） 已知点A 的坐标是（2，3），下列坐标中，与点A 互为“正方形点”的坐标是 .（填序号） ①（1，2）；②（-1，5）；③（3，2）. （2）若点B （1，2）的“正方形点”C 在y 轴上，求直线BC 的表达式； （3）点D 的坐标为（-1，0），点M 的坐标为（2，m ），点N 是线段OD 上一动点（含端点），若点M ，N 互为“正方形点”，求m 的取值范围. 20．已知关于x 的方程2(21)100mx m x m m +-+-=≠（）. （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求整数m 的值. 21．如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 的角平分线AF 交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ． （1）求证：BF =CD ； （2）连接BE ，若BE ⊥ AF ，∠F =60°，BE = 求AB 的长．
26．在矩形ABCD 中，12AD =，8DC =，点F 是AD 边上一点，过点F 作 AFE DFC ∠=∠，交射线AB 于点E ，交射线CB 于点G ． （1）如图1 ，若FG =，则CFG ∠= °； （2）当以F ，G ，C 为顶点的三角形是等边三角形时，依题意在图2中补全图形 并求BG 的长； （3）过点E 作EH ∥CF 交射线CB 于点H ，请探究：当BG 为何值时，以F ，H ，E ，C 为顶点的四边形是 平行四边形． 25．正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点P 是正方形ABCD 对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B ，O ，D 重合），连接CP 并延长，分别过点D ，B 向射线C P 作垂线，垂足分别为点M ，N ． （1）补全图形，并求证：DM=CN ； （2）连接OM ，ON ，判断△OMN 的形状并证明。 小明在解决问题（2）时遇到了困难，通过向其他同学请教，小明得到了以下建议： 建议一：观察现有图形，借助于所证关系线段所在三角形全等的证明来解决问题; 建议二：延长MO 交BN 于点G ，借助构造全等三角形来解决问题; 如果你是小明，能够顺利的解决以上问题吗？ 图1 图2 备用图
初中数学各种四边形的定义、性质、判定(一)、平行四边形的定义、性质及判定. 1：两组对边平行的四边形是平行四边形. 2.性质： (1)平行四边形的对边相等且平行; (2)平行四边形的对角相等，邻角互补; (3)平行四边形的对角线互相平分. 3.判定： (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形： (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形： (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形. 4·对称性：平行四边形是中心对称图形. (二)、矩形的定义、性质及判定. 1-定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2·性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等 3.判定： (1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形; (2)有三个角是直角的四边形是矩形： (3)两条对角线相等的平行四边形是矩形. 4·对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形.
(三)、菱形的定义、性质及判定. 1·定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.性质： (1)菱形的四条边都相等;。 (2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 (3)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形. (4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半： 3.判定： (1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 (2)四条边都相等的四边形是菱形; (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 4.对称性：菱形是轴对称图形也是中心对称图形. (四)、正方形定义、性质及判定. 1.定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 2.性质： (1)正方形四个角都是直角，四条边都相等; (2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角; (3)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形; (4)正方形的对角线与边的夹角是45度; (5)正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 3.判定：
18.1.1平行四边形的定义、性质 第一课时 一、教学目标： 知识与技能目标：理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质。 过程与方法目标：会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 情感与价值目标：培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、教学重点、难点 1、重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 2、难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 3、难点的突破方法： 本节的主要内容是平行四边形的定义和平行四边形对边相等、对角相等的性质．这一节是全章的重点之一，学好本节可为学好全章打下基础． 平行四边形的定义在小学里学过，学生是不生疏的，但对于概念的本质属性的理解并不深刻，所以这里并不是复习巩固的问题，而是要加深理解，要防止学生把平行四边形概念当作已知，而不重视对它的本质属性的掌握． 为了有助于学生对平行四边形本质属性的理解，在讲平行四边形
定义前，要把平行四边形的对边、对角让学生认清楚． 讲定义时要强调“四边形”和“两组对边分别平行”这两个条件，一个“四边形”必须具备有“两组对边分别平行”才是平行四边形；反之，平行四边形，就一定是有“两组对边分别平行”的一个“四边形”．要指出，定义既是平行四边形的一个判定方法，又是平行四边形的一个性质． 新教材是先让学生用观察、度量和猜想的方法得到平行四边形的对边相等、对角相等这两条性质的，然后用两个三角形全等，证明了这两条性质．这有利于培养学生观察、分析、猜想、归纳知识的自学能力． 教学中通过大量的生活中实例引入新课，使学生在已有的知识和认知的基础上去探索数学发展的规律，达到用问题创设数学情境，提高学生学习兴趣． 然后让学生通过具体问题的观察、猜想出一些不同于一般四边形的性质，进一步由学生归纳总结得到平行四边形的性质．同时教师整理出一种推导平行四边形性质的范式，让学生在教师的范式的诱导下，初步达到演绎数学论证过程的能力． 最后通过不同层次的典型例、习题，让学生自己理解并掌握本节课的知识． 三、教学方法 自主、合作探究与讲练结合的方法 四、教学过程
知识点讲解： 一、平行四边形定义 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(如图)，记作“□ABCD”。 平行四边形的表示：一般按一定的方向依次表示各顶点，如右图的平行四边形不能表示成 □ACBD，也不能表示成□ADBC。 二、平行四边形的性质 ①平行四边形的对边平行且相 等 四边形ACBD为平行四边形 ?AB CD ∥、AD BC ∥ ②平行四边形的对角相等； 四边形ACBD为平行四边形 A C B D ?∠=∠∠=∠ ， ③平行四边形的对角线互相平 分 四边形ACBD为平行四边形 OA OC OB OD ?== ， ④平行四边形是中心对称图 形，对称中心就是两条对角线 的交点；连接四边上任意一点 和平行四边形的对称中心，与 另一条边相交于一点，则这两 个点关于平行四边形的对称中 心对称。 四边形ABCD为平行四边形， E、F在AD，BC上，且线段 EF过点O?OE＝OF 平行四边形的定义及性质
⑤平行四边形中重要结论： O AOB BOC DOC D A S S S S ????=== AOB COD ??≌ AOD COB ??≌ ABC CDA ??≌ BCD DAB ??≌ 练个手先： 在□ABCD 中， ①若∠A －∠B ＝40°，则∠A ＝____； ②若周长为54cm ，AB －BC ＝5cm ，则AB ＝____cm ； ③若AC 平分∠DAB ，则对角线AC 与BD 的位置关系为____。 ④若∠A ＝30°，AB ＝7cm ，AD ＝6cm ，则ABCD S Y ＝ ____。 ⑤若E 为AD 上一点，且6ABE DCE S S ??+=，则ABCD S Y ＝ ____。
一、平行四边形知识结构及要点小结 平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边开形是平行四边形。性质：1、平行四边形的两组对边分别平行。 2、平行四边形的两组对边分别相等 3、平行四边形的两组对角分别相等 4、平行四边形的两条对角线互相平分。 判定方法：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 定理；三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 二、解题方法及技巧小结： 证明线段相等或角相等的问题用过去所学的全等知识也可完成，但相对比而言，应用平行四边形的性质求证较为简单。另外平行四边形对角线是很重要的基本图形，应用它的性质解题可开辟新的途径。
特殊的平行四边形知识结构及要点小结 矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 性质：1、具有平行四边形的所有性质。 2、矩形有四个角都是直角。 3、矩形有对角线相等。 4、矩形是轴对称图形，有两条对称轴。 判定方法：1、定义 2、对角线相等的平行四边形是矩形。 3、有三个角是直角的四边形是矩形。 菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。 性质；1、具有平行四边形所有性质。 2、菱形有四条边都相等。 3、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 4、菱形是轴对称图形。 判定方法：1、定义 2、对角线互相垂直的平行四边形 3、四边相等的四边形 正方形：定义；一组邻边相等的矩形 性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质 判定：1、定义 2、有一个内角是直角的菱形 3、对角线相等的菱形 4、对角线互相垂直的矩形 解题方法及技巧小结 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形。它们的性质既有区别又有联系，它们的判定方法虽然不同，但有许多相似之处，因此要用类比的思想，将学到的知识总结出相关规律。
四边形中“新定义”型试题探究 浙江省象山县丹城中学 王赛英 徐敏贤 邮编 315700 所谓“新定义”型试题，是指在试题中给出一个考生从未接触过的新概念，要求考生现学现用，主要考查考生阅读理解能力、应用新知识能力、逻辑推理能力和创新能力.给“什么”，用“什么”，是 “新定义”型试题解题的基本思路.以四边形为背景的几何 “新定义”型试题，看似平淡无奇，仔细研读却发现试题韵味无穷，极具探究价值和选拔功能.求解这类试题的关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据，同时熟练掌握相关的基本概念、性质,把握图形的变化规律. 一、以特殊点为契机进行 “新定义” 例1 （2007年宁波市中考数学试题）四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l ，点P 为四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一点，PD=PB ，PA≠PC ，则点P 为四边形ABCD 的准等距点． (1)如图2，画出菱形ABCD 的一个准等距点． (2)如图3，作出四边形ABCD 的一个准等距点(尺规作图,保留作 图痕迹，不要求写作法)． (3)如图4，在四边形ABCD 中，P 是AC 上的点，PA≠PC ，延长 BP 交CD 于点E ，延长DP 交BC 于点F ，且∠CDF=∠CBE ，CE=CF ．求 证：点P 是四边形ABCD 的准等距点． (4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)． 解:（1）如图2，连结AC,在AC 上任取除AC 中点外的点P,点P 即为所画点． （2）如图3，连结BD,作BD 的中垂线交直线AC 于点P,因点P 不是AC 的中点,故点P 即为所求作点． （3）如图4，连结DB ，在△DCF 与△BCE 中，∠CDF=∠CBE ， ∠DCF=∠BCE ，CF=CE.∴△DCF ≌△BCE(AAS)，∴CD=CB, ∴∠CDB=∠CBD, ∴∠PDB=∠PBD ， ∴PD=PB ， ∵PA≠PC , ∴点P 是四边形ABCD 的准等距点. （4）①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线时，准等距点的个数为0个； ②四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个． 图2 图1 图3 D C B A P 图4 D E C F B P A 图4
C F B E D A 平行四边形 一、知识梳理 1．平行四边形： (1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形用符号“”表示．平行四边形ABCD 记作，读作平行四边形ABCD ． 2．平行四边形的性质： (1) 平行四边形的对边平行且相等． (2)．平行四边形的对角相等，邻角互补。 (3)平行四边形的对角线互相平分． (4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积． 例1． ABCD 中，∠A 的平分线分BC 成4cm 和3cm 两条线段， 则 ABCD 的周长为 ． 例2．在 ABCD 中，∠C=60o,DE ⊥AB 于E,DF ⊥BC 于F ． （1）则∠EDF= ； （2）如图，若AE=4，CF=7， 则ABCD 周长= ; 例3.在平行四边形ABCD 中，已知∠A ＝40°，则∠B ＝ ，∠C ＝ ，∠D ＝ . 例4。.中，周长为20cm ，对角线AC 交BD 于点O ，△OAB 比△OBC 的周长多4，则边AB ＝____________，BC ＝____________． 变式训练.如图，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，ΔAOB 的周长为15，AB ＝6，那么对角线AC 和BD 的和是多少？ 例5、如图，在□ABCD 中，O 是对角线的交点，过O 的直线交AB 于E ，交DC 于F ，图中全等三角形共有 （ ） A ．2对 B ．3对 C ．6对 D ．8对O F E D C B A 3．两条平行线间的距离： (1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离． (2)两平行线间的距离处处相等．
四边形的定义 由不在同一直线上四条线段依次首尾相接围成的封闭的立体图形叫四边形 平行四边形的性质和判定 1. 定义: 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.性质: （1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。 （简述为“平行四边形的对边相等”） （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。 （简述为“平行四边形的对角相等”） （3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补 （简述为“平行四边形的邻角互补”） （4）夹在两条平行线间的平行线段相等。 （5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。 （简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”） （6）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 3.判定： （1）如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。 （简述为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”） （2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。 （简述为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”） （3）如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。 （简述为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”） （4）如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。 （简述为“两组对角分别相等的四边形是平行四边形” （5）如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。 （简述为“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”） 矩形的性质和判定 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 性质①四个角都是直角 ②矩形的对角线相等. 注意：矩形具有平行四边形的一切性质. 判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形. 菱形的性质和判定 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
平行四边形定义性质以 及判定定理 性质 （1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。 （简述为“平行四边形的两组对边分别相等”[2]） （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。 （简述为“平行四边形的两组对角分别相等”[2]） （3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的。 （简述为“平行四边形的邻角互补”） （4）夹在两条间的平行的高相等。（简述为“平行线间的高距离处处相等”） （5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条互相平分。 （简述为“平行四边形的对角线互相平分”[2]） （6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。（推论） （7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形。） （8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。 （9）平行四边形是图形，对称中心是两对角线的交点. （10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。矩形和菱形是图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。 （11）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。 （12）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。 （13）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份。 （14）平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。 （15）平行四边形的面积等于相邻两边与其夹角正弦的乘积 平行四边形的判定方法（共6种） Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
第一章 四边形性质探索 一、四边形的相关概念 1、四边形 在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图 形叫做四边形。 2、四边形具有不稳定性 3、四边形的内角和定理及外角和定理 四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。 四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。 推论：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于?-)2(n 180°； 多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。 6、设多边形的边数为n ，则多边形的对角线共有2 )3(-n n 条。从n 边形的一个顶点出发能引（n-3）条对角线，将n 边形分成（n-2）个三角形。 二、平行四边形 1、平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形的性质 （1）平行四边形的对边平行且相等。 （2）平行四边形相邻的角互补，对角相等 （3）平行四边形的对角线互相平分。 （4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被 一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。 （2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。 3、平行四边形的判定 （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 （5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4、两条平行线的距离 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这 两条平行线的距离。 平行线间的距离处处相等。
四边形的定义、性质及判定 一、平行四边形 平行四边形的定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 平行四边形的性质： （1）平行四边形的两组对边平行且相等。 （2）平行四边形两条对角线互相平分。 （3）平行四边形的对角相等，邻角互补 平行四边形的判定： （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （2）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 平行四边形的相关知识： （1）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。 （2）平行四边形的面积等于底乘以高 （3）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。 （4）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。 二、矩形 矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。也就是长方形。 矩形的性质: （1）矩形的四个角都是直角 （2）矩形的两条对角线相等且互相平分 （3）平行四边形的性质都具有。 矩形的判定： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）对角线相等的平行四边形是矩形 （3）有三个角是直角的四边形是矩形 （4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形 矩形的相关知识： 矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形 矩形的面积为长乘以宽 三、菱形
菱形的定义： 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形的性质： （1）菱形的两条对角线互相垂直且互相平分；每一条对角线平分一组对角（2）菱形的四条边都相等； （3）菱形的对角相等，邻角互补； 菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形（4）在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的√3倍。（5）菱形具备平行四边形的一切性质。 菱形的判定： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 菱形的相关知识： （1）菱形面积 两条对角线乘积的一半；或者底乘高。 （2）顺次连接菱形各边中点的四边形是为矩形 四、正方形 正方形的定义： 四个角是直角，四条边都相等的四边形是正方形 正方形的性质： （1）正方形的四个角都是直角,四条边都相等. （2）正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. 正方形的判定： （1）有一个角是直角的菱形是正方形. （2）有一组邻边相等的矩形是正方形. （3）两组对边平行的菱形是正方形 （4）对角线相等的菱形是正方形 （5）对角线互相垂直的矩形是正方形 （6）两组对边平行的矩形是正方形
北师大版初中数学《平行四边形的概念及性质》教学设计 【学习目标】 ①.认识平行四边形②研究平行四边形的性质③会运用性质解决简单问题，经历 探索平行四边形有关概念和性质的过程，体会解决问题的多样性，在探索过程中养成与他人合作交流的习惯，提高克服困难的勇气及信心 【学习重点】 从边、角、对角线等方面研究平行四边形的性质（类比三角形的研究方法），并会灵活运用。 一、【学习准备】： 1.侯课朗读：①三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接的封闭图形，叫做三角形。②四边形的定义：由不在同一直线上的四条线段首尾顺次连接的封闭图形，叫做四边形。③平行线的性质：两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。④平行四边形的定义：两组对边平行的四边形叫平行四边形。 2.纸、剪刀、两副一样的三角板、直尺、量角器。 二、［学习过程］ 1．解读教材 （1）概念的引入 问题1：请同学们欣赏一组日常生活中的图片，你能发现它们都有什么共同特点？ 请同学们课前找找生活中的一些精美的图片，在组内汇总，也可自制。 〖设计意图〗：通过欣赏图片，激发学生的学习兴趣，自然引出本节课的课题 问题2：你还能举出一些生活中平行四边形的实际例子吗？爱动脑筋的小刚观察到平行四边形影子有一种对称的美，他说：（1）只要量出一个内角的度数，就能知道其余三个内角的度数（2）只需测出一组相邻的边长，便能计算出它的周长，这是为什么呢？ （2）概念的形成和巩固 问题3：平行四边形和一般的四边形有什么异同？一般的四边形通过添加条件后能否转化为平行四边形呢？（提示：抓住“平行”二字，从“对边”的位置关系入手） 〖设计意图〗从一般四边形与平行四边形进行比较，让学生观察平行四边形，分析其特征，进而得出平行四边形的定义，并介绍平四边形的对边、对角、邻角的概念，平行四边形的记法等。 2、归纳概念 问题4.通过上面的研究，你能给出平行四边形的概念吗？ 定义：有两组对边的叫做平行四边形
授课时间第周星期年月日总第课时课题 4.2平行四边形及其性质（1）课型新授课 教学目标1、知识与技能：理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质． 2、会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 3、情感态度与价值观：培养学生严谨的思维习惯和勇于探索的思想意识，体会几何知识的内涵与实际应用价值． 重点平行四边形对角、对边相等的性质，以 及性质的应用． 难 点 运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 教学方法合作交流教学准备教学资源的运用 教学过程 教学内容个人备课一、创设情境 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它 们是什么几何图形的形象？ 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用 的例子吗？你能总结出平行四边形的 定义吗？ 二、自主学习 (1)定义：两组对边分别平行的四边形 是平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“”来表示． 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD 是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形 ABCD”． ①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）； ②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC，AD//BC（性质）． 三、探究新知 平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边 分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下． 让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边 形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有 什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？ （1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，
基本四边形的定义，性质和判定 A、平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 性质：平行四边形的两组对边分别平行，且相等；两组对角分别相等；两条对角线互相平分 判定定理：1、有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2、有两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3、有两组对角分别相等的四边形是平行四边形 4、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 5、对角线互相平分的四边形是平行四边形 6、有一组对边平行，有一组对角相等的四边形是平行四边形 B、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 性质：矩形的两组对边分别平行，且相等；两条对角线相等且互相平分；四个角都是直角 判定定理：1、有一个角是直角的平行四边形是矩形 2、三个角是直角的四边形是矩形 3、对角线相等的平行四边形是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形） C、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 性质：菱形的四边都相等；两组对边分别平行；对角线互相垂直平分，且平分每一组对角；两组对角分别相等判定定理：1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2、四条边都相等的四边形是菱形 3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D、正方形的定义：有一组邻边相等的矩形叫做正方形 性质：四条边都相等；四个角都是直角；对角线相等且互相垂直平分，且平分每一组内角成450 判定定理：1、有一组邻边相等的矩形是正方形 2、对角线互相垂直的矩形是正方形 3、有一个角是直角的菱形是正方形 4、对角线相等的菱形是正方形 E、等腰梯形的定义：有两腰相等的梯形叫做等腰梯形 性质：等腰梯形的两腰相等；等腰梯形的对角线相等；等腰梯形在同一底上的两个底角相等 判定定理：1、有两腰相等的梯形叫做等腰梯形 2、同一底上的两个底角相等的梯形叫做等腰梯形
几类常见四边形的性质与判定方法 1. 平行四边形（定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 平行四边形的性质??? ????）的交点是它的对称中心中心对称图形（对角线对称性：平行四边形是分对角线：对角线互相平 对角相等，邻角互补角边：对边平行且相等: 平行四边形的判定方法?????????边形是平行四边形两组对角分别相等的四 形是平行四边形对角线互相平分的四边四边形是平行四边形一组对边平行且相等的边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四.5.4.3.2.1 2. 矩形（定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形） 矩形的性质??????????????=???一组邻边的乘积）（即：矩形的面积等于 轴）中点的直线是它的对称条对称轴，过每组对边矩形是轴对称图形（有称中心）对角线的交点是它的对矩形是中心对称图形（对称性：分且相等 对角线：对角线互相平角：四个角都是直角边：对边平行且相等 矩形BC AB S ABCD 2 矩形的判定方法?? ???形是矩形有三个角是直角的四边是矩形）相平分且相等的四边形形是矩形（或对角线互对角线相等的平行四边四边形是矩形有一个角是直角的平行.3.2.1 3. 菱形（定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形） 菱形的性质??????? ?????????=???）对角线乘积的（即：菱形的面积等于轴）所在的直线是它的对称条对称轴，两条对角线菱形是轴对称图形（有称中心）对角线的交点是它的对菱形是中心对称图形（对称性线平分一组对角 分且垂直且每一条对角对角线：对角线互相平补角：对角相等，邻角互都相等边：对边平行且四条边 菱形21212BD AC S ABCD
四边形新定义习题 8、我们给出如下定义：如图18-2所示，若一个四边形的两组相邻两边分别相等，则称这个四边形为筝形四边形， 把这两条相等的邻边称为这个四边形的筝边． （1） 写出一个你所学过的特殊四边形中是筝形四边形的图形的名称_________； （2） 如图18－1，已知格点（小正方形的顶点）(00)O ，，A （0，3） ，B （3，0），请你画出以格点为顶点，OA OB ， 为边的筝形四边形OAMB ； （3） 如图18－2，在筝形ABCD ，AD=CD ，AB=BC ，若∠ADC=60°，∠ABC=30°。求证： 2AB 2 =BD 2。 28．（本题7分）如图1，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，EF 是中位线，AD 与EF 相交于点O ．若将△AEO 与△AFO 分别绕E 、F 两点旋转180°，可与梯形EBCF 构成矩形PBCQ ，我们把这样形成的矩形称为△ABC 的一个等积矩形． （1）若△ABC 的边BC ＝5，高AD ＝6，则等积矩形PBCQ 的长为________，宽为________； （2）如图2，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AC ＝4，试求△ABC 的所有等积矩形的长和宽； （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，那么能形成这样的等积矩形的三角形有多少个？试探究其中周长最小的三角形的三边长． 26. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”. （1 ）已知：如图1，在△ABC 中，∠C=90° ，BC =,AB =求证：△ABC 是“匀称三角形”； 图1 （2）在平面直角坐标系xoy 中，如果三角形的一边在x 轴上，且这边的中线恰好等于这边 A B C D P Q E F O A C B B C A D 图1 图2 图3
四边形的性质与判定知识点梳理 1.定义 平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形 矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形 菱形有一组邻边相等的平行四边形是菱形 正方形有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形2．性质： 性质平行四边 矩形菱形正方形 形 对边平行 对边相等 对角相等 对角线互相平分 四边相等 四个角都是直角 对角线相等 对角线互相垂直 每条对角线平分一组对 角 轴对称图形 中心对称图形 3．判定：
4.知识梳理 平行四边形 矩形 1．两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （定义） 2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4．两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 5．对角线互相平分的四边形是平行四边形。 1．有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （定义） 2．三个角是直角的四边形是矩形。 3．对角线相等的平行四边形是矩形。 其它：对角线相等且互相平分的四边形。 菱形 正方形 1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（定义） 2．四边相等的四边形是菱形。 3．对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 其它：1对角线垂直且互相平分的四边形是菱形。 2．一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。 1．有一个角是直角，有一组邻边相等的 平行四边形是正方形。（定义） 2．一组邻边相等的矩形是正方形。 3．有一个角是直角的菱形是正方形。 其它：对角线互相平分相等且垂直的四边 形是正方形。 1．四边形的内角和与外角和定理： （1）四边形的内角和等于360°； （2）四边形的外角和等于360°. 2．多边形的内角和与外角和定理： （1）n 边形的内角和等于(n-2)180°； （2）任意多边形的外角和等于360°. A B C D 1 234
平行四边形的性质和判定 知识点1 平行四边形的定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。记作“□ABCD”。 知识点2 平行四边形的性质： 边：对边平行且相等。 角：对角相等，邻角互补。 对角线：对角线互相平分。 知识点3 平行四边形的判定： 边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。、 知识点4 两条平行线的距离。 知识点5 三角形的中位线 定义：连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线。性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 例1、如图，是平行四边形的对角线上的点，．猜想：与有怎样的位置关E F ，ABCD AC CE AF BE DF 系和数量关系？并对你的猜想加以证明。 A B C D E F
【变式练习】已知，在□ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、CB 的延长线上，且∠1=∠2，DF 交AB 于G ，BE 交CD 于H 。求证：EH=FG 。 例2、已知如图，O 为平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，EF 经过点O ，且与AB 交于E ，与CD 交于F 。求证： 四边形AECF 是平行四边形。 例3、?ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，线DC 于点F （1）求证：CE=CF ； （2）若∠ABC=120°，FG ∥CE ，FG=CE ，求∠BDG ． 【变式练习】1、如图,在 ABCD 中，AE = CF ，M 、N 分别ED 、FB 的中点．求证：四边形ENFM 是平行四边形． C A B F C M N E